20.1.2 线段的垂直平分线的性质（练习）数学人教版五四制八年级上册

20.1.2 线段的垂直平分线 一、单选题 1．如图所示，在中，的垂直平分线交于点E，若，则B、E两点间的距离是（       ） A． B． C． D． 2．用直尺和圆规作线段的垂直平分线，下列作法正确的是（　　） A．       B．       C．       D． 3．如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为，则的周长是（ ）． A． B． C． D． 4．如图所示，直线l是一条河的河岸，P，Q是河同侧的水产的生产基地，现从河岸某点M处分别派出两辆水产车运送水产如下有四种运输方案，则运输路程合理且最短的是（       ） A． B． C． D． 5．如图，在四边形中，垂直平分，垂足为点E，下列结论不一定成立的是（       ） A． B． C． D． 6．如图，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（        ）．    A．在 AC、BC 两边高线的交点处 B．在 AC、BC 两边垂直平分线的交点处 C．在 AC、BC 两边中线的交点处 D．在∠A、∠B两内角平分线的交点处 7．如图，，，点在线段的垂直平分线上，若，，则的长为（       ） A． B． C． D． 8．如图，AC＝AD，BC＝BD，则有（　　） A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分AB C．AB与CD互相垂直平分 D．CD平分∠ACB 9．如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，且BD=DC，E是BC延长线上一点，且点C在AE的垂直平分线上，有下列结论： ①AB=AC=CE；②AB+BD=DE；③AD=AE；④BD=DC=CE， 其中，正确的结论是（　　） A．只有 B．只有 C．只有 D．只有 10．如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，点E、F分别是AD、AB上的动点，若∠BAC＝50°，当BE+EF的值最小时，∠AEB的度数为（　　） A．105° B．115° C．120° D．130° 二、填空题 11．经过线段______并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的_______． 12．某同学在使用尺规作图的方法，作过直线l外一点C作已知直线的垂线．他在直线l上取了两点A，B，分别以A，B为圆心，AC，BC长为半径画弧，两段弧的另一个交点为D，联结CD，那么直线CD即为直线l的过C点的直线．你认为它的作法对吗？__（填“对”，“错”）；理由：__（如果认为对，请填写相应的定理；如果认为错，写关键的理由即可）． 13．如图，已知：AC和BD相交于O，∠1＝∠2，∠3＝∠4．则AC和BD的关系_____． 14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAD＝50°，分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧分别相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠B的度数为______． 15．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于D，交BC的延长线于点E，交AC于点F，AB＋BC＝6，则△BCF的周长＝_______，∠EFC＝_______度． 16．如图，△ABC的周长为24cm，DE垂直平分AB，交BC于点D，垂足为点E，AE＝4cm，则△ACD的周长为______cm． 17．如图，在△ABC中，∠A＝54°，∠C＝76°，D为AB中点，点P在AC上从C向A运动；同时，点Q在BC上从B向C运动，当∠PDQ＝_________时，△PDQ的周长最小． 18．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AC为边，作△ACD，满足AD=AC，点E为BC上一点，连接AE，2∠BAE=∠CAD，连接DE．若BE=a，CE=b，则DE=____（用含a、b的代数式表示）． 三、解答题 19．如图,AD是△ADC中∠A的平分线,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,联结EF．求证：AD⊥EF 20．如图，点E是△ABC的边AB的延长线上一点，∠BCE＝∠A＋∠ACB，求证：点E在BC的垂直平分线上． 21．如图，已知，，是上一点. 求证：. 22．嘉淇要证明命题“线段外一点到线段两端点相等的点在该线段的垂直平分线上”是正确的，她先画出了如图所示的图形，并写出了不完整的已知和求证. 已知：，点C是射线上一点，点D是射线上一点.________. 求证：点C在线段的_______上. （1）在方框中补全已知和求证； （2）请你根据嘉淇的想法写出证明过程. 我的想法是：过点C作的垂线，利用直角三角形全等的判定定理进行证明. 23．如图，在四边形ABCD中，，E为CD的中点，连接AE、BE，，延长AE交BC的延长线于点F． (1)请判断FC与AD的数量关系，并说明理由； (2)若AB＝6，AD＝2，求BC的长度． 24．如图，，，，． (1)求证：； (2)连接EC，AO，求证：AO垂直平分EC． 25．如图，AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连接EF交AD于点O． （1）求证：AD垂直平分EF； （2）若∠BAC＝60°，求证：AO︰OD＝3︰1． 26．如图，四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． (1)求证：； (2)测量OB与OD、∠BOA与∠DOA，你有何猜想？证明你的猜想； (3)在“筝形”ABCD中，已知AC=6，BD=4，求“筝形”ABCD的面积． 27．如图，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，BE、CD交于F． （1）求证：BE＝CD； （2）连接CE，若BE＝CE，求证：从“①DE⊥AC”、“②DE∥AB”中选择一个填入（2）中，并完成证明 28．如图，已知∠ABC＝∠ADC＝90°，BC＝CD，CA＝CE． (1)求证：∠ACB＝∠ACD； (2)过点E作ME∥AB，交AC的延长线于点M，过点M作MP⊥DC，交DC的延长线于点P． ①连接PE，交AM于点N，证明AM垂直平分PE； ②点O是直线AE上的动点，当MO+PO的值最小时，证明点O与点E重合． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 20.1.2 线段的垂直平分线 一、单选题 1．如图所示，在中，的垂直平分线交于点E，若，则B、E两点间的距离是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据线段垂直平分线的性质求解即可． 【解析】解：如图，连接． ∵垂直平分线段， ∴． 故选C． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，解题的关键在于能够熟练掌握：线段垂直平分线上的点，到线段两点的距离相等． 2．用直尺和圆规作线段的垂直平分线，下列作法正确的是（　　） A．        B．        C．        D． 【答案】C 【分析】利用尺规作图画出AB的垂直平分线，即可据此作出选择． 【解析】1．以AB为圆心，大于AB为半径作弧相交于E、F， 2．过EF作直线即为AB的垂直平分线． 故选C． 【点睛】本题考查了作图--基本作图，熟悉垂直平分线的作法是解题的关键． 3．如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为，则的周长是（ ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知条件，利用线段的垂直平分线的性质，得到AD=CD，AC=2AE，结合周长，进行线段的等量代换可得答案． 【解析】解：∵DE是AC的垂直平分线， ∴AD=CD，AC=2AE=6cm， 又∵△ABD的周长=AB+BD+AD=13cm， ∴AB+BD+CD=13cm， 即AB+BC=13cm， ∴△ABC的周长=AB+BC+AC=13+6=19cm． 故选C． 【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质（垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等），进行线段的等量代换是正确解题关键． 4．如图所示，直线l是一条河的河岸，P，Q是河同侧的水产的生产基地，现从河岸某点M处分别派出两辆水产车运送水产如下有四种运输方案，则运输路程合理且最短的是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据“将军饮马”模型求最短路线题型，作点P关于直线l的对称点，连接Q交直线l于点M，作图即可. 【解析】根据“将军饮马”模型求最短路线题型，作点P关于直线l的对称点，连接Q交直线l于点M，利用两点之间线段最短和线段垂直平分线的性质作图即可， 故选：B． 【点睛】本题考查了“将军饮马”模型求最短路线题型，掌握两点之间线段最短和线段垂直平分线的性质作图方法. 5．如图，在四边形中，垂直平分，垂足为点E，下列结论不一定成立的是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据线段垂直平分线的性质得出AB＝AD，BC＝BD，再对各选项进行逐一分析即可． 【解析】解：∵垂直平分， ∴，故A正确，该选项不符合题意； 在和中， ∴，故C正确，该选项不符合题意，； ∴，故B正确，该选项不符合题意；； 不一定等于，故D错误，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质和全等三角形的性质和判定，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键． 6．如图，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（        ）．    A．在 AC、BC 两边高线的交点处 B．在 AC、BC 两边垂直平分线的交点处 C．在 AC、BC 两边中线的交点处 D．在∠A、∠B两内角平分线的交点处 【答案】B 【分析】根据线段垂直平分线的性质即可得出答案． 【解析】根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等， 可知超市应建在AC、BC两边垂直平分线的交点处， 故选：B． 【点睛】本题考查线段垂直平分线性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，熟练掌握其性质是解题的关键． 7．如图，，，点在线段的垂直平分线上，若，，则的长为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，，结合图形计算，得到答案． 【解析】解：，， ， 点在线段的垂直平分线上， ， ， 故选：． 【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 8．如图，AC＝AD，BC＝BD，则有（　　） A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分AB C．AB与CD互相垂直平分 D．CD平分∠ACB 【答案】A 【分析】由AC＝AD，BC＝BD，可得点A在CD的垂直平分线上，点B在CD的垂直平分线上，又由两点确定一条直线，可得AB是CD的垂直平分线． 【解析】∵AC＝AD，BC＝BD， ∴点A在CD的垂直平分线上，点B在CD的垂直平分线上， ∴AB是CD的垂直平分线． 即AB垂直平分CD． 故选A 【点睛】本题考查了垂直平分线的判定定理，熟悉垂直平分线的判定定理是解题的关键． 9．如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，且BD=DC，E是BC延长线上一点，且点C在AE的垂直平分线上，有下列结论： ①AB=AC=CE；②AB+BD=DE；③AD=AE；④BD=DC=CE， 其中，正确的结论是（　　） A．只有 B．只有 C．只有 D．只有 【答案】B 【分析】由线段垂直平分线的性质可得CA=CE，又可判定AB=AC，可AB+BD=AC+CD=CE+CD=DE，由于∠E不一定等于30°，于是得到AD不一定等于AE，由BD=CD＜AC，故④错误． 【解析】解：∵BD=CD，AD⊥BC， ∴AD垂直平分BC， ∴AB=AC， ∵C在AE的垂直平分线上， ∴AC=CE， ∴AB=AC=CE，故①正确， ∴AB+BD=AC+CD=CE+CD=DE，故②正确， ∵∠E不一定等于30°， ∴AD不一定等于AE，故③错误， ∵BD=CD＜AC，故④错误． 故选B． 【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键． 10．如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，点E、F分别是AD、AB上的动点，若∠BAC＝50°，当BE+EF的值最小时，∠AEB的度数为（　　） A．105° B．115° C．120° D．130° 【答案】B 【分析】过点B作BB′⊥AD于点G，交AC于点B′，过点B′作B′F′⊥AB于点F′，与AD交于点E′，连接BE′，证明AD垂直平分BB′，推出BE＝BE′，由三角形三边关系可知，，即BE+EF的值最小为，通过证明△ABE′≌△AB′E′，推出∠AE′B＝AE′B′，因此利用三角形外角的性质求出AE′B′即可． 【解析】解：过点B作BB′⊥AD于点G，交AC于点B′，过点B′作B′F′⊥AB于点F′，与AD交于点E′，连接BE′，如图： 此时BE+EF最小． ∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC＝50°， ∴∠BAD＝∠B′AD＝25°， ∵BB′⊥AD， ∴∠AGB＝∠AGB′＝90°， 在△ABG和△AB′G中， ， ∴△ABG≌△AB′G（ASA）， ∴BG＝B′G， AB＝AB′， ∴AD垂直平分BB′， ∴BE＝BE′， 在△ABE′和△AB′E′中， ， ∴△ABE′≌△AB′E′（SSS）， ∴∠AE′B＝AE′B′， ∵AE′B′＝∠BAD+ AF′E′＝25°+90°=115°， ∴∠AE′B＝115°． 即当BE+EF的值最小时，∠AEB的度数为115°． 故选B． 【点睛】本题考查垂直平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，三角形三边关系等知识点，解题的关键是找出BE+EF取最小值时点E的位置． 二、填空题 11．经过线段______并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的_______． 【答案】     中点     垂直平分线 【解析】略 12．某同学在使用尺规作图的方法，作过直线l外一点C作已知直线的垂线．他在直线l上取了两点A，B，分别以A，B为圆心，AC，BC长为半径画弧，两段弧的另一个交点为D，联结CD，那么直线CD即为直线l的过C点的直线．你认为它的作法对吗？__（填“对”，“错”）；理由：__（如果认为对，请填写相应的定理；如果认为错，写关键的理由即可）． 【答案】     对     到线段两端点距离相等的点在线段垂直平分线上 【分析】根据线段垂直平分线的判定定理可得出答案． 【解析】解：由题意可得：AC=AD，BC=BD， ∵A、B两点都在线段CD的垂直平分线上． ∴直线CD即为直线l的过C点的直线． 故答案为：对，到线段两端点距离相等的点在线段垂直平分线上． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．掌握这一性质是解题的关键． 13．如图，已知：AC和BD相交于O，∠1＝∠2，∠3＝∠4．则AC和BD的关系_____． 【答案】AC垂直平分线段BD． 【分析】根据ASA证△ABC≌△ADC,推出AB=AD,BC=CD, 可得AC和BD的关系. 【解析】解: AC垂直平分线段BD, 理由是:在△ABC和△ADC中, , △ABC≌△ADC AB=AC,BC=CD AC垂直平分线段BD. 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定及垂直平分线的性质. 14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAD＝50°，分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧分别相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠B的度数为______． 【答案】20°##20度 【分析】证明，设=x，利用三角形内角和定理构建方程求解． 【解析】由作图可知，MN垂直平分线段AB， ∴DA=DB， ∴， 设=x， 在△ABC中，则有50°+x+x=90°， ∴x=20°， ∴． 故答案为：20°． 【点睛】本题考查了作图-基本作图，线段的垂直平分线等知识，解决本题的关键是掌握线段的垂直平分线的性质． 15．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于D，交BC的延长线于点E，交AC于点F，AB＋BC＝6，则△BCF的周长＝_______，∠EFC＝_______度． 【答案】     6；     40． 【分析】根据垂直平分线的性质计算，周长△BCF=FC+BF+BC，∠EFC=∠AFD=180°-∠A-∠ADF． 【解析】解：∵已知DF垂直且平分AB ∴AF=BF，AD=BD，∠A=∠ABF=50°，∠ADF=90° ∴∠EFC=∠AFD=180°-∠A-∠ADF=40°， ∵AB+BC=6，AB=AC=BF+FC ∴△BCF=FC+BF+BC=6． 故答案为6；40°． 【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的性质（垂直平分线上任意一点，和线段两端点的距离相等）有关知识． 16．如图，△ABC的周长为24cm，DE垂直平分AB，交BC于点D，垂足为点E，AE＝4cm，则△ACD的周长为______cm． 【答案】16 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DA=DB，AB=2AE=8（cm），根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【解析】解：∵△ABC的周长为24cm， ∴AB+AC+BC=24cm. ∵DE是AB的垂直平分线，AE=4cm， ∴DA=DB，AB=2AE=8（cm）， ∴AC+BC=24-8=16（cm）， ∴△ACD的周长=AC+CD+DA=AC+CD+DB=AC+BC=16（cm）， 故答案为：16． 【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 17．如图，在△ABC中，∠A＝54°，∠C＝76°，D为AB中点，点P在AC上从C向A运动；同时，点Q在BC上从B向C运动，当∠PDQ＝_________时，△PDQ的周长最小． 【答案】28°##28度 【分析】根据两点之间线段最短，把三角形的周长转化为一条线段的长，利用三角形的内角和及平角的定义求解． 【解析】过点D作DF⊥BC于N，并截取NF＝DN，过点D作DE⊥AC于M，并截取ME＝DM，连接EF，则EF的长为△PDQ的最小值， 根据作图知：AC垂直平分DE，BC垂直平分DF， ∴DQ＝FQ，PD＝PE， ∴DQ+DP+PQ＝FQ+PE+PQ， 根据两点之间线段最短，所以EF的长是△PDQ的最小值， 此时有：∠FDQ∠DQP，∠MDP∠DPQ， 在△ABC中有∠A＝54°，∠C＝76°， ∴∠B＝180°－∠A－∠C ＝50°， ∴∠BDN＝40°，∠ADM＝36°， ∴∠PDQ＝180°﹣∠BDN﹣∠ADM﹣∠FDQ﹣∠MDP ＝180°﹣40°﹣36°（∠DQP+∠DPQ） ＝104°（180°﹣∠PDQ） ＝104°﹣90°∠PDQ， 解得：∠PDQ＝28°． 故当∠PDQ＝28°时，△PDQ的周长最小． 故答案为：28° 【点睛】本题考查了最短路径问题，通过轴对称把问题进行转化是解题的关键． 18．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AC为边，作△ACD，满足AD=AC，点E为BC上一点，连接AE，2∠BAE=∠CAD，连接DE．若BE=a，CE=b，则DE=____（用含a、b的代数式表示）． 【答案】2a+b##b+2a 【分析】延长EB至 G，使BE=BG，从而得到∠GAE=∠CAD，进一步证明∠GAC=∠EAD，且AE=AG，接着证明△GAC≌△EAD，则DE=CG，即可求解． 【解析】解：如图，延长EB至G，使BE=BG， ∵∠ABC=90°， ∴AB⊥GE， ∴AB垂直平分GE， ∴AG=AE，∠GAB=∠BAE=∠DAC， ∵2∠BAE=∠GAE， ∴∠GAE=∠CAD， ∴∠GAE+∠EAC=∠CAD+∠EAC， ∴∠GAC=∠EAD， 在△GAC与△EAD中， ， ∴△GAC≌△EAD（SAS）， ∴DE=CG， ∵BE=a，CE=b， ∴DE=CG=CE+GE=CE+2BE=2a+b， 故答案为：2a+b． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定和性质，通过二倍角这一条件，构造两倍的∠BAE，是本题的突破口，也是常用方法． 三、解答题 19．如图,AD是△ADC中∠A的平分线,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,联结EF．求证：AD⊥EF 【答案】见解析 【分析】由角平分线的性质可知，再利用三角形全等证明，根据线段垂直平分线的判定定理可得结论. 【解析】解：∵是中的平分线，， ∴， ∵，， ∴ ∴点、D都在的垂直平分线上 ∴ 【点睛】本题综合考查了角平分线及线段的垂直平分线，熟练掌握角平分线的性质定理及线段垂直平分线的判定定理是解题的关键. 20．如图，点E是△ABC的边AB的延长线上一点，∠BCE＝∠A＋∠ACB，求证：点E在BC的垂直平分线上． 【答案】见解析 【分析】由三角形的外角性质得到∠EBC=∠A+∠ACB，结合已知推出∠BCE=∠EBC，得到BE=CE，即可得到结论． 【解析】证明：∵∠BCE=∠A+∠ACB，∠EBC=∠A+∠ACB， ∴∠BCE=∠EBC， ∴BE=CE， ∴点E在BC的垂直平分线上． 【点睛】本题考查了三角形的外角性质，线段垂直平分线的判定，用到的知识点：到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上． 21．如图，已知，，是上一点. 求证：. 【答案】证明见解析. 【分析】连接BC，根据线段垂直平分线性质得出AD是线段BC的垂直平分线，根据线段垂直平分线性质得出PB=PC，再利用SSS证明△ABP与△ACP全等，进而得出． 【解析】证明：连接 点在的垂直平分线上， 同理，点也在的垂直平分线上， ∵两点确定一条直线， 直线是线段的垂直平分线， 是上一点， 又，， . 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等． 22．嘉淇要证明命题“线段外一点到线段两端点相等的点在该线段的垂直平分线上”是正确的，她先画出了如图所示的图形，并写出了不完整的已知和求证. 已知：，点C是射线上一点，点D是射线上一点.________. 求证：点C在线段的_______上. （1）在方框中补全已知和求证； （2）请你根据嘉淇的想法写出证明过程. 我的想法是：过点C作的垂线，利用直角三角形全等的判定定理进行证明. 【答案】（1）；垂直平分线；（2）详见解析. 【分析】（1）根据命题直接可得出答案； （2）过点C作的垂线，垂足为点E，根据条件可得出，继而结论得以证明. 【解析】解：（1）根据已知命题“线段外一点到线段两端点相等的点在该线段的垂直平分线上”可得 出已知和求证： 已知：，点C是射线上一点，点D是射线上一点.CD. 求证：点C在线段的垂直平分线上. 答案为：CD；垂直平分线. （2）证明：如图，过点C作的垂线，垂足为点E，则. 在和中， ∴.      ∴.    ∴是线段的垂直平分线. ∴点C在线段的垂直平分线上. 【点睛】本题考查的知识点是利用全等三角形的性质求证线段外一点到线段两端点相等的点在该线段的垂直平分线上，属于容易题. 失分原因：1.没有掌握垂直平分线的性质；2.不能正确的作出辅助线，通过证明直角三角形全等求证. 23．如图，在四边形ABCD中，，E为CD的中点，连接AE、BE，，延长AE交BC的延长线于点F． (1)请判断FC与AD的数量关系，并说明理由； (2)若AB＝6，AD＝2，求BC的长度． 【答案】(1)FC=AD，理由见解析 (2) 【分析】（1）根据AD∥BC可知∠ADC=∠ECF，再根据E是CD的中点可求出△ADE≌△FCE，根据全等三角形的性质即可解答； （2）根据全等三角形的性质、线段垂直平分线的性质判断出AB=BF，据此求解即可． （1）解：FC=AD，理由如下：∵AD∥BC（已知），∴∠ADC=∠ECF（两直线平行，内错角相等），∵E是CD的中点（已知），∴DE=EC（中点的定义）．在△ADE与△FCE中，，∴△ADE≌△FCE（ASA），∴FC=AD（全等三角形的性质）； （2）解：∵△ADE≌△FCE，∴AE=EF，AD=CF（全等三角形的对应边相等），∵BE⊥AE，∴BE是线段AF的垂直平分线，∴AB=BF=BC+CF，∴AB=BC+AD，∵AB=6，AD=2，∴BC=4． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键． 24．如图，，，，． (1)求证：； (2)连接EC，AO，求证：AO垂直平分EC． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）先证得，可得．再由，，．可证得，即可求证； （2）由（1）可知，，．可得，从而得到，进而得到点在的垂直平分线上．再由，点也在的垂直平分线上，即可求证． （1）证明：在和中， ∵，，∴，∴．∵，，∴，∵，∴，∴； （2）证明∶如图， 由（1）可知，，．∴，∴，即，∴，∴点在的垂直平分线上．又∵，∴点也在的垂直平分线上，∴垂直平分． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定是解题的关键． 25．如图，AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连接EF交AD于点O． （1）求证：AD垂直平分EF； （2）若∠BAC＝60°，求证：AO︰OD＝3︰1． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）根据角平分线的性质得到DE=DF，证明Rt△AED≌Rt△AFD，根据全等三角形的性质证明； （2）根据角平分线的定义、直角三角形的性质计算即可． 【解析】证明：（1）∵AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE=DF，∠AED=∠AFD=90°， 在Rt△AED和Rt△AFD中， ， ∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL）， ∴AE=AF， ∴点A、D都在EF的垂直平分线上， ∴AD垂直平分EF； （2）∵AD为△ABC的角平分线，∠BAC=60°， ∴∠EAD=30°， ∴DE=AD， ∵∠EAD=30°，DE⊥AB， ∴∠DEO=30°， ∴OD=DE， ∴DO=AD， ∴AO︰OD＝3︰1． 【点睛】本题考查的是平分线的性质，线段的垂直平分线的判定，全等三角形的判定和性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 26．如图，四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． (1)求证：； (2)测量OB与OD、∠BOA与∠DOA，你有何猜想？证明你的猜想； (3)在“筝形”ABCD中，已知AC=6，BD=4，求“筝形”ABCD的面积． 【答案】(1)见解析 (2)OB=OD、 (3)12 【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质进行证明即可； （2）测量得出OB=OD、，故猜想：OB=OD、，根据垂直平分线的判定和性质即可得出证明； （3）根据进行计算即可． （1）证明：在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC， （2）猜想：OB=OD、，证明如下：∵AB=AD，BC=DC，∴在的垂直平分线上，∴,平分，∴，OB=OD，∴，OB=OD， （3）∵∴=====∴“筝形”ABCD的面积为：． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质,垂直平分的判定和性质，“筝形”的面积求法,掌握以上知识点是解题的关键． 27．如图，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，BE、CD交于F． （1）求证：BE＝CD； （2）连接CE，若BE＝CE，求证：从“①DE⊥AC”、“②DE∥AB”中选择一个填入（2）中，并完成证明 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）根据“SAS”证明△BAE≌△CAD，然后根据全等三角形的性质解答即可； （2）根据线段垂直平分线的判定可知CA垂直平分DE，进而可证明结论成立． 【解析】证明：（1）∵∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴∠DAE＋∠DAB＝∠BAC＋∠DAB， 即∠BAE＝∠CAD， 在△BAE与△CAD中， ， ∴△BAE≌△CAD（SAS）， ∴BE＝CD； （2）∵BE＝CD，BE＝CE， ∴CE＝CD， 又∵AD＝AE， ∴CA垂直平分DE， ∴DE⊥AC（可得①）， 又∵∠BAC＝90°， ∴DE//AB（可得②）． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键．也考查了线段垂直平分线的判定、平行线的判定等知识． 28．如图，已知∠ABC＝∠ADC＝90°，BC＝CD，CA＝CE． (1)求证：∠ACB＝∠ACD； (2)过点E作ME∥AB，交AC的延长线于点M，过点M作MP⊥DC，交DC的延长线于点P． ①连接PE，交AM于点N，证明AM垂直平分PE； ②点O是直线AE上的动点，当MO+PO的值最小时，证明点O与点E重合． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②见解析 【分析】（1）用HL证明Rt△ABC≌Rt△ADC，即可得到结论； （2）①证明△NEC≌△NPC (SAS)即可； ②作P点关于AE的对称点，连接M交AE于点O，证明∠ MP=30°即可． (1) 证明：在Rt△ABC和Rt△ADC中， BC＝CD，AC=AC， ∴Rt△ABC≌Rt△ADC， ∴∠ACB=∠ACD； (2) ∵Rt△ABC≌Rt△ADC， ∴∠BAC=∠CAD， ∵CA=CE， ∴∠CAE=∠CED， ∵∠EBA=90°， ∴∠BEA=∠BAC=∠CAE=30°， ∵PD⊥AE，MP⊥PD， ∴AE∥MP， ∴∠PMC=∠MAE=30°， ∵ME∥AB， ∴∠MEB=90°， ∴∠MEA=120°， ∵∠MAE=30°， ∴∠EMA=30°， ∵CР⊥MP，CE⊥ME， ∴∠MCP=∠MCE=60°， ∴△NEC≌△NPC (SAS)， ∴EN=PN， ∴ N是EP的中点，NC⊥PE， ∴AM垂直平分PE； ②作P点关于AE的对称点，连接M交AE于点O， ∵AM垂直平分PE， ∴ME=MP， ∵∠EMP=60°， ∴∠MPE=60°， ∴∠EPD=30°， ∴∠=30°， ∴∠ MP=30°， ∵∠MЕP=60°， ∴O点与E点重合． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定及性质定理，线段垂直平分线的判定及性质，轴对称的性质，正确掌握全等三角形的判定及性质定理是解题的关键． ( 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