20.1.2 线段的垂直平分线的性质（教学课件）数学人教版五四制八年级上册

八年级上册数学 第二十章 轴对称 20.1.2 线段的垂直平分线的性质 A B 问题：线段是轴对称图形吗？如果是，你能找出它的一条对称轴吗？这条对称轴与线段存在着什么关系？ A（B） B 问题引入 如图，直线l 垂直平分线段AB，P1，P2，P3，…是l 上的点，分别量一量点P1，P2，P3，… 到点A 与点B 的距离，你有发现什么吗？请猜想点P1，P2，P3，… 到点A 与点B 的距离之间的数量关系． A B l P1 P2 P3 P1A ____P1B P2A ____ P2B P3A ____ P3B ＝ ＝ ＝ 一、线段的垂直平分线的性质 猜想： 点P1，P2，P3，… 到点A 与点B 的距离分别相等． 命题：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等. 由此你能得到什么结论？ 你能验证这一结论吗？ 已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点P 在l 上．求证：PA =PB． 　证明：∵　l⊥AB， ∴ ∠PCA =∠PCB=90°． 　　又 AC =CB，PC =PC， 　　∴ △PCA ≌△PCB（SAS）． 　　∴ PA =PB． P A B l C 验证结论 用几何语言表示为： ∵ CA =CB，l⊥AB， （点P在线段AB的垂直平分线上） ∴ PA =PB． 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等． P A B l C 知识要点 线段垂直平分线的性质 找出图中相等的线段，并说明理由. （1）点A在BC的垂直平分线上 D AB=AC （2）ED是AB 的垂直平分线 EA=EB 练 习 1．如下图 , 直线CD是线段AB的垂直平分线 , P为直线CD上的一点 , 已知线段PA＝5 , 那么线段PB的长度为( ) A．6 B．5 C．4 D．3 2．如下图 , CD是AB的垂直平分线 , 假设AC＝1.6 cm , BD＝2.3 cm , 那么四边形ACBD的周长是( ) A．3.9 cm B．7.8 cm C．4 cm D．4.6 cm B B 练一练 3．如下图 , 在△ABC中 , AB＝8 , BC＝6 , AC的垂直平分线MN 分别交AB , AC于点M , N , 那么△BCM的周长为____． 14 反过来，如果PA =PB，那么点P 是否在线段AB 的垂直平分线上呢？ 已知：如图，PA =PB 求证：点P 在线段AB 的垂直平分线上． P A B 二、线段的垂直平分线的判定 证明：过点P 作AB 的垂线PC，垂足为点C 则∠PCA =∠PCB =90°． 在Rt△PCA 和Rt△PCB 中， ∵　PA =PB，PC =PC， ∴ Rt△PCA ≌Rt△PCB（HL）． ∴ AC =BC． 又 PC⊥AB， ∴ 点P 在线段AB 的垂直平分线上 P A B C 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. ∵PA=PB， ∴点P在线段AB的垂直平分线上. 符号语言表示： 线段的垂直平分线的判定： A B l ┐ O P 1、从上面两个结论可以看出，在线段AB的垂直平分线l上的点与点A，B的距离都相等. 2、反过来，与A，B的距离相等的点都在l上，所以直线l可以看成与两点A，B的距离相等的所有点的集合. A B l ┐ O P 小结 1．已知 , 如下图 , 直线PO与AB交于点O , PA＝PB , 那么以下结论中准确的选项是哪一项：( ) A．AO＝BO B．PO⊥AB C．PO垂直平分AB D．点P在AB的垂直平分线上 D 练一练 2．如下图 , BC＝10 , BD＝6 , AD＝4 , 那么D点在____的垂直平分线上． AC 3．如下图 , AB＝AC , DB＝DC , E是AD延长线上的一点 , BE是否与CE相等？试说明理由。 解 : 相等．理由 : 连接BC , ∵AB＝AC , ∴点A在线段BC的垂直平分线上 , 同理 , 点D也在线段BC的垂直平分线上．∵两点确定一条直线 , ∴AD是线段BC的垂直平分线．∵E是AD延长线上的一点 , ∴BE＝CE 如图，点A和点B关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？ A B 分析：我们只要连接点A和点B,作出线段AB的垂直平分线，就可得到点A和点B的对称轴.为此作出到点A，B的距离相等的两点，即线段AB的垂直平分线上的两点，从而作出线段AB的垂直平分线. 三、尺规作图 A B C D 作法： （1）分别以点A，B为圆心，以大于 AB的长为半径作弧，两弧交于C，D两点. （2）作直线CD. CD即为所求. 特别说明：这个作法实际上就是线段垂直平分线的尺规作图，我们也可以用这种方法确定线段的中点. 如图，A，B是路边两个新建小区，要在公路边增设一个公共汽车站.使两个小区到车站的路程一样长，该公共汽车站应建在什么地方？ A B 分析：增设的公共汽车站要满足到两个小区的路程一样长，应在线段AB的垂直平分线上，又要在公路边上，所以找到AB垂直平分线与公路的交点便是. 公共汽车站 例1 如图，已知点A、点B以及直线l. (1)用尺规作图的方法在直线l上求作一点P，使PA＝PB.(保留作图痕迹，不要求写出作法)； 解：(1)如图所示： M N A B l P (2)在△AMP和△BNP中， ∵AM=PN，AP＝BP，PM＝BN， ∴△AMP≌△PNB(SSS)， ∴∠MAP＝∠NPB. M N A B l P 例1-1 如图，已知点A、点B以及直线l. (1)用尺规作图的方法在直线l上求作一点P，使PA＝PB.(保留作图痕迹，不要求写出作法)； (2)在(1)中所作的图中，若AM＝PN，BN＝PM，求证：∠MAP＝∠NPB. 例2 如图，某地有两所大学和两条交叉的公路．图中点M，N表示大学，OA，OB表示公路，现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相同，到两条公路的距离也相同，你能确定出仓库P应该建在什么位置吗？请在图中画出你的设计．(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) O N M A B 方法总结：到角两边距离相等的点在角的平分线上，到两点距离相等的点在两点连线的垂直平分线上. 解：如图所示： P 想一想：下图中的五角星有几条对称轴？如何作出这些对称轴呢？ A B 作法：（1）找出五角星的一对对称点A和B，连接AB． （2）作出线段AB的垂直平分线l． 则l就是这个五角星的一条对称轴． l 用同样的方法，可以找出五条对称轴，所以五角星有五条对称轴． 作轴对称图形的对称轴 方法总结：对于轴对称图形，只要找到任意一组对称点，作出对称点所连线段的垂直平分线，即能得此图形的对称轴. 例3 如图，△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，请用无刻度的直尺作出它们的对称轴. A B C A ′ B ′ C ′ l 方法总结：如果成轴对称的两个图形对称点连线段（或延长线）相交，那么交点必定在对称轴上. 解：延长BC、B'C'交于点P，延长AC，A'C'交于点Q，连接PQ，则直线PQ即为所要求作的直线l. P Q 1.作出下列图形的一条对称轴，和同学比较一下，你们作出的对称轴一样吗？ 练一练 2.如图，与图形 A 成轴对称的是哪个图形？画出它的对称轴. A B C D 1.如图，角是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ 课堂练习 2.如图1-23，在△ABC中，AB = AC，∠A = 120°, AB的垂直平分线交BC于D，求证：CD =2BD. 证明：连结AD ∵D在AB垂直平分线上 ∴BD=AD ∴∠B=∠BAD ∵∠BAC=120° AB=AC ∴∠B=∠C=30° ∴∠DAC=90° 在Rt△DAC中 ∵∠C=30° ∴DC=2AD即DC=2BD. 3.如图，若AC=12，BC=7，AB的垂直平分线交AB于E，交AC于D，求△BCD的周长. ∴BD=AD， A B C D E 解：∵ED是线段AB的垂直平分线， ∵ △BCD的周长=BD+DC+BC ∴ △BCD的周长=AD+DC+BC =AC+BC =12+7=19. 4.如图所示，∠AOB＝30°，点P为∠AOB内一点，OP＝8，分别作出点P关于OA，OB的对称点P1，P2，连接P1P2交OA于M，交OB于N，则△PMN的周长为 　　． 8 5．如图，AD与BC相交于点O，OA＝OC，∠A＝∠C，BE＝DE． 求证：OE垂直平分BD． 证明：在△AOB与△COD中， ∴△AOB≌△COD（ASA）， ∴OB＝OD， ∴点O在线段BD的垂直平分线上， ∵BE＝DE， ∴点E在线段BD的垂直平分线上， ∴OE垂直平分BD． 画一画： 利用尺规作三角形三条边的垂直平分线，完成之后你发现了什么？ 发现：三角形三边的垂直平分线交于一点．这一点到三角形三个顶点的距离相等． 拓展：三角形三边的垂直平分线的性质 剪一个三角形纸片通过折叠找出每条边的垂直平分线． 结论：三角形三条边的垂直平分线相交于一点． 怎样证明这个结论呢？ 做一做： 点拨：要证明三条直线相交于一点，只要证明其中两条直线的交点在第三条直线上即可. 思路可表示如下： 试试看，你会写出证明过程吗？ B C A P l n m l是AB的垂直平分线 m是BC的垂直平分线 PA=PB PB=PC PA=PC 点P在AC的垂直平分线上 结论证明： 求证：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等． 已知：如图，在△ABC中，AB，BC的垂直平分线相交于点P． 求证：点P也在AC的垂直平分线上， 且PA=PB=PC． B C A P l n m 证明：∵点P在AB，AC的垂直平分线上， ∴PA=PB，PA=PC （线段垂直平分线上 的点到线段两端距离相等）. 同理，PB=PC，∴ PA=PB=PC， ∴点P在BC的垂直平分线上 (到线段两端距离相等的点在线段的 垂直平分线上）. 即边AC的垂直平分线经过点P. B C A P l n m 文字语言： 三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等. 三角形三边的垂直平分线的性质 结论 几何语言： ∵点P 为△ABC 三边垂直平分线的交点， ∴PA =PB=PC． A B C P 线段的垂直平分线（线段的对称性） 性质 到线段的两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上 内容 判定 内容 作用 线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等 作用 见垂直平分线，得线段相等 判断一个点是否在线段的垂直平分线上 尺规作图 定理 1. 定理:三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等. 课堂小结 谢 谢！ $$