第二十章 轴对称 （单元测试）数学人教版五四制八年级上册

第20章 轴对称 单元综合检测 一、单选题 1．下列学校的校徽图案是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则（    ） A．， B．， C．， D．， 3．如图，在△ABC中，分别以点A和B为圆心，大于和长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，若△ABC的周长为17，AB＝7，则△ADC的周长是（　　） A．7 B．10 C．15 D．17 4．下列关于等边三角形的说法不成立的是（    ） A．等边三角形的三条边相等，三个角相等 B．等边三角形三条高线所在的直线是它的三条对称轴 C．角的平分线与对边上的中线或高重合的三角形是等边三角形 D．有两边相等且有一个角为60°的三角形是等边三角形 5．已知等腰三角形的一个内角为，则它的另外两个内角是（    ） A．， B．， C．，或， D．不确定 6．如图，在中，，，于点，垂直平分，在上确定一点，使最小（　　） A．10 B．11 C．12 D．13 7．给图中的1个白色小方格涂上颜色，使涂色部分成为一个轴对称图形，有（    ）种涂法． A．2 B．3 C．4 D．5 8．如图，点C，E分别在BD，AC上，AC⊥BD，且AB＝DE，AC＝CD，则下列结论：①AE＝CE，②∠A＝∠D，③∠EBC＝45°，④AB⊥DE．其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 9．如图，在四边形ABCD中，，E为BC的中点，连接DE，AE，，延长DE交AB的延长线于点F．若，则AD的长为（    ） A．5 B．9 C．7 D．11 10．如图，点在一条直线上，分别以，为边作等边三角形、，连接、，分别交、于点，相交于点．则下列说法：①；；③；④；⑤连接，则平分．其中正确的说法个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二、填空题 11．请写出两个具有轴对称性的汉字　. 12．已知一个等腰三角形的一边是6,另一边是8,则这个等腰三角形的周长是____. 13．若等腰三角形一条腰上的高与另一腰的夹角为50°，则等腰三角形的底角为 _____°． 14．如图,∠A=30°,∠C'=60°,△ABC与△A’B'C '关于直线l对称,则∠B=___________. 15．如图，中，，，的垂直平分线交于点，交边于点，则的周长为________． 16．如图，△ABC是等边三角形，BD⊥AC于点D，E是BC延长线上的一点，DB＝DE，则∠E的度数为 _____． 17．如图，∠AOB＝60°，点C是BO延长线上一点，OC＝6cm，动点P从点C出发沿射线CB以2cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿射线OA以1cm/s的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间，当t＝___s时，△POQ是等腰三角形． 18．如图，在△ABC中，∠C＝45°，AD⊥BC于D，F为AC上一点，连接BF交AD于E，过F作MN⊥FB交BA延长线于M，交BC于N，若点M恰在BN的垂直平分线上，且DE：BN＝1：7，S△ABD＝15，则S△ABE＝_____． 三、解答题 19．如图，△ABC中，∠ABC＝，AD⊥BC于D，点E在AD上，且DE＝DC．求证：△BDE≌△ADC． 20．如图，△ABC，其中AC＞BC． (1)尺规作图：作AB的垂直平分线交AC于点P（要求：不写作法，保留作图痕迹）； (2)若AB＝8，△PBC的周长为13，求△ABC的周长． 21．如图，已知平面上四个点A，B，C，D，请按要求完成作图： (1)作直线，射线，连接； (2)在线段上求作点P，使得；（保留作图痕迹） (3)在直线上确定一点Q，使点Q到点P与点D的距离之和最短． 22．如图，△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD＝DE，连接AE． (1)求证：AB＝EC； (2)若△ABC的周长为14cm，AC＝6cm，求DC长． 23．如图，在四边形ABCD中，，E为CD的中点，连接AE、BE，，延长AE交BC的延长线于点F． (1)请判断FC与AD的数量关系，并说明理由； (2)若AB＝6，AD＝2，求BC的长度． 24．如图，△ABC是等边三角形，D、E、F分别是AB、BC、AC上一点，且∠DEF＝60°． (1)若∠1＝50°，求∠2； (2)连接DF，若DF∥BC，求证：∠1＝∠3． 25．如图，为等边三角形，D、E分别是AB、BC上的点，且，AE与CD相交于点F． (1)如图1，求的度数 (2)如图2，过点C作于点H，求证：． 26．△ABC中，，AC＝BC，点D是BC边上的一个动点，连接AD，过点B作BF⊥AD于点F． (1)如图1，分别延长AC，BF相交于点E，求证：BE＝AD； (2)如图2，若AD平分∠BAC，AD＝5，求BF的长； (3)如图3，M是FB延长线上一点，AD平分∠MAC，试探究AC，CD，AM之间的数量关系并说明理由． 27．如图，在中，，，点在线段上（不与点、点重合）运动，以为腰在上方作等腰直角，于点，且与交于点． (1)求证：≌； (2)如图，交于点，连接，证明：； (3)当时，猜想与的数量关系并证明． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$第20章 轴对称 单元综合检测 一、单选题 1．下列学校的校徽图案是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据轴对称图形的定义逐项判断即可． 【解析】解：根据轴对称图形的定义可知， A选项中的图案不是轴对称图形，不合题意； B选项中的图案是轴对称图形，符合题意； C选项中的图案不是轴对称图形，不合题意； D选项中的图案不是轴对称图形，不合题意； 故选B． 【点睛】此题考查轴对称图形，解题关键是掌握轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 2．在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】直接利用关于轴对称点的性质得出答案． 【解析】解：点与点关于轴对称， ，． 故选：B． 【点睛】直接利用关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣x，y），即可得出a，b的值，进而得出答案． 3．如图，在△ABC中，分别以点A和B为圆心，大于和长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，若△ABC的周长为17，AB＝7，则△ADC的周长是（　　） A．7 B．10 C．15 D．17 【答案】B 【分析】先根据题意得出MN是线段AB的垂直平分线，故可得出AD＝BD，据此可得出结论． 【解析】解：∵根据题意得出MN是线段AB的垂直平分线， ∴AD＝BD， ∴AD+CD＝BC． ∵△ABC的周长为17，AB＝7， ∴△ADC的周长＝AC+CD+AD=AC+BC＝△ABC的周长﹣AB＝17﹣7＝10． 故选：B． 【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质，尺规作图-作线段垂直平分线，熟练掌握用尺规作线段垂直平分线、线段垂直平分线的性质是解题的关键． 4．下列关于等边三角形的说法不成立的是（    ） A．等边三角形的三条边相等，三个角相等 B．等边三角形三条高线所在的直线是它的三条对称轴 C．角的平分线与对边上的中线或高重合的三角形是等边三角形 D．有两边相等且有一个角为60°的三角形是等边三角形 【答案】C 【分析】等边三角形三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形，等腰三角形和等边三角形均满足三线合一（高线，中点线，角平分线），根据以上性质逐一判断即可． 【解析】解：等边三角形的三条边相等，三个角相等，A不符合题意； 等边三角形三条高线所在的直线是它的三条对称轴，B不符合题意； 角的平分线与对边上的中线或高重合的三角形是等边三角形或者等腰三角形，C符合题意； 有两边相等且有一个角为60°的三角形是等边三角形，D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质和等腰三角形的性质，解题关键在于熟练掌握该部分相关的知识． 5．已知等腰三角形的一个内角为，则它的另外两个内角是（    ） A．， B．， C．，或， D．不确定 【答案】C 【分析】因为等腰三角形中必有两个角相等和三角形内角和为，分两种情况讨论即可． 【解析】解：当为等腰三角形的顶角时， 则底角为 ∴另外两个角分别为： 当为等腰三角形的底角时， 则顶角为： ∴另外两个角分别为： 故选C 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和知识；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键． 6．如图，在中，，，于点，垂直平分，在上确定一点，使最小（　　） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】C 【分析】根据三角形的面积公式得到，由垂直平分，得到点，关于直线对称，于是得到的长度的最小值，即可得到结论． 【解析】解：∵，，，， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴点，关于直线对称， ∴与的交点即为的，此时，的长度的最小值， 即的最小值为12， 故选：C． 【点睛】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，知道的长度的最小值是解题的关键． 7．给图中的1个白色小方格涂上颜色，使涂色部分成为一个轴对称图形，有（    ）种涂法． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据轴对称图形的概念求解即可． 【解析】解：如图，在数字所在方格涂上颜色，涂色部分是轴对称图形，共有3种涂法， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了学生对轴对称意义的灵活运用，解题关键是找对称轴，按对称轴的不同位置得出不同图案． 8．如图，点C，E分别在BD，AC上，AC⊥BD，且AB＝DE，AC＝CD，则下列结论：①AE＝CE，②∠A＝∠D，③∠EBC＝45°，④AB⊥DE．其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由“HL”可证Rt△ABC≌Rt△DEC，可得∠A＝∠D，BC＝CE，可得∠EBC＝45°，由余角的性质可证AB⊥DE，即可求解． 【解析】解：如图，延长DE交AB于点H， ∵AC⊥BD， ∴∠ACB＝∠ECD＝90°， 在Rt△ABC和Rt△DEC中， ， ∴Rt△ABC≌Rt△DEC（HL）， ∴∠A＝∠D，BC＝CE，故②正确， ∴∠EBC＝45°，故③正确， ∵∠A+∠ABC＝90°， ∴∠D+∠ABC＝90°，即：∠BHD=90°， ∴AB⊥DE，故④正确， ∵点E不一定是AC的中点， ∴AE=CE不一定成立，故①不正确， 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，证明Rt△ABC≌Rt△DEC是本题的关键． 9．如图，在四边形ABCD中，，E为BC的中点，连接DE，AE，，延长DE交AB的延长线于点F．若，则AD的长为（    ） A．5 B．9 C．7 D．11 【答案】C 【分析】由“AAS”可证△BEF≌△CED，可得EF＝DE，BF＝CD＝2，由线段垂直平分线的性质可得AD＝AF＝8． 【解析】解：∵E为BC的中点， ∴BE＝EC， ∵AB∥CD， ∴∠F＝∠CDE， 在△BEF与△CED中， ， ∴△BEF≌△CED（AAS） ∴EF＝DE，BF＝CD＝2， ∴AF＝AB+BF＝7， ∵AE⊥DE，EF＝DE， ∴AF＝AD＝7， 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，证明△BEF≌△CED是本题的关键． 10．如图，点在一条直线上，分别以，为边作等边三角形、，连接、，分别交、于点，相交于点．则下列说法：①；；③；④；⑤连接，则平分．其中正确的说法个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】根据SAS先证，可得①正确；再根据AAS证，得②正确；由全等三角形的对应边相等得AD=BE，AM=BN，从而可得DM=EN，所以③正确；再由全等三角形的对应角相等及对顶角相等得∠DAC=∠EBC，∠AMC=∠BMD，得证∠BOM=∠ACB=60°，∠AOE=120°,④正确；连接OC，过点C作CH⊥AB于点H，作CF⊥BE于点F，由全等三角形的对应高相等得CH=CF，从而由角平分线的判定证得平分，得⑤正确． 【解析】解：∵△ABC与△DCE是等边三角形， ∴AC=BC，∠ACB=∠DCE=60°，DC=EC， ∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD， 即∠ACD=∠BCE， ∴(SAS) ∴AD=BE， 故①正确； ∵， ∴∠DAC=∠EBC， 又∵∠ACB=∠BCD=60°，AC=BC， ∴， 故②正确； ∵， ∴AM=BN， ∴AD-AM=BE-BN 即DM=EN 故③正确； ∵∠DAC=∠EBC，∠AMC=∠BMD ∴∠BOM=∠ACB=60° ∴∠AOE=120° 故④正确； 如图，连接OC，过点C作CH⊥AB于点H，作CF⊥BE于点F， ∵， ∴CH=CF， ∴平分， 故⑤正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质与全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，此题图形比较复杂，解题的关键是仔细识图，找准全等的三角形． 二、填空题 11．请写出两个具有轴对称性的汉字　. 【答案】甲、由、中、田、日等(答案不唯一). 【分析】根据轴对称图形的概念，即可写出：甲，日，田等字． 【解析】解：具有轴对称性的汉字：甲，日等字． 故答案是：甲、由、中、田、日等(答案不唯一). 【点睛】此题为开放性试题，能够根据轴对称图形的概念，写出左右对称或上下对称的汉字均可． 12．已知一个等腰三角形的一边是6,另一边是8,则这个等腰三角形的周长是____. 【答案】20或22 【分析】因为等腰三角形的底边和腰不确定，6cm可以为底边也可以为腰长，故分两种情况考虑：当6cm为腰时，根据等腰三角形的性质得另一腰也为6cm，底边为8cm，求出此时的周长；当6cm为底边时，8cm为腰长，根据等腰三角形的性质得另一腰也为8cm，求出此时的周长． 【解析】解：若6为等腰三角形的腰长，则8底边的长， 此时等腰三角形的周长=6+6+8=20； 若8为等腰三角形的腰长，则6为底边的长， 此时等腰三角形的周长=8+6+8=22； 则等腰三角形的周长为20或22． 故答案是：20或22 【点睛】此题考查等腰三角形的性质，以及分类讨论的数学思想．学生做题时对于两种情况得到的三角形三边需利用三角形的两边之和大于第三边判定是否能构成三角形． 13．若等腰三角形一条腰上的高与另一腰的夹角为50°，则等腰三角形的底角为 _____°． 【答案】70或20##20或70 【分析】本题要分情况讨论．当等腰三角形的顶角是钝角或者等腰三角形的顶角是锐角两种情况． 【解析】解：①当为锐角三角形时，如图1， ∵∠ABD＝50°，BD⊥AC， ∴∠A＝90°−50°＝40°， ∴三角形的顶角为40°； ∴底角为 ②当为钝角三角形时，如图2， ∵∠ABD＝50°，BD⊥AC， ∴∠BAD＝90°−50°＝40°， ∵∠BAD＋∠BAC＝180°， ∴∠BAC＝140° ∴三角形的顶角为140°， ∴底角为 故答案为：70或20 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，做题时，考虑问题要全面，必要的时候可以做出模型帮助解答，进行分类讨论是正确解答本题的关键，难度适中． 14．如图,∠A=30°,∠C'=60°,△ABC与△A’B'C '关于直线l对称,则∠B=___________. 【答案】90° 【分析】先根据轴对称的性质得出△ABC≌△A′B′C′，由全等三角形的性质可知∠C=∠C′，再由三角形内角和定理可得出∠B的度数． 【解析】∵△ABC 与△A′B′C′关于直线l对称， ∴△ABC≌△A′B′C′， ∴∠C=∠C′=60°， ∵∠A=30°， ∴∠B=180°-∠A-∠C=180°-30°-60°=90°． 故答案为90°． 15．如图，中，，，的垂直平分线交于点，交边于点，则的周长为________． 【答案】13 【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EA=EB，根据三角形的周长公式计算即可． 【解析】是的垂直平分线， ， 则的周长， 故答案为：13． 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 16．如图，△ABC是等边三角形，BD⊥AC于点D，E是BC延长线上的一点，DB＝DE，则∠E的度数为 _____． 【答案】30° 【分析】根据等边三角形的性质得出∠ABC=60°，AB=BC，根据等边三角形的性质得出∠DBC=30°，再根据等腰三角形的性质得出∠E=∠DBC即可． 【解析】解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝60°，AB＝BC， ∵BD⊥AC， ∴∠DBC＝∠DBA＝∠BAC＝30°， ∵DB＝DE， ∴∠E＝∠DBC＝30°， 故答案为：30°． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质和三线合一的性质，掌握等边三角形的性质是解此题的关键． 17．如图，∠AOB＝60°，点C是BO延长线上一点，OC＝6cm，动点P从点C出发沿射线CB以2cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿射线OA以1cm/s的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间，当t＝___s时，△POQ是等腰三角形． 【答案】2或6##6或2 【分析】根据等腰三角形的判定，分两种情况：当点P在线段OC上时；当点P在CO的延长线上时，分别列式计算即可； 【解析】根据题意分两种情况： 当点P在线段OC上时， 设t秒后是等腰三角形， 有，即，解得：； 当点P在CO的延长线上时，此时经过CO时的时间已用3s， 当是等腰三角形时，， ∴是等边三角形， ∴， 即，解得：； 故答案是：2或6． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定；解题时把几何问题转化为方程求解，是常用的方法，解决本题的关键要注意分类讨论，当点P在点O的左侧还是在右侧分别求解． 18．如图，在△ABC中，∠C＝45°，AD⊥BC于D，F为AC上一点，连接BF交AD于E，过F作MN⊥FB交BA延长线于M，交BC于N，若点M恰在BN的垂直平分线上，且DE：BN＝1：7，S△ABD＝15，则S△ABE＝_____． 【答案】 【分析】过点F作FG⊥BN于点G，根据已知条件证明△ABD≌△BFG，可得BD＝FG，AD＝BG，再证明△BDE≌△FGN可得DE＝GN，根据DE：BN＝1：7，可得GN：BN＝1：7，设ED＝x，DE：BG＝1：6，可得AD＝BG＝6x， AE＝5x，然后根据S△ABD＝15，进而可得S△ABE． 【解析】解：如图，过点F作FG⊥BN于点G， ∵AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， ∵∠C＝45°， ∴∠DAC＝45°， ∵MN⊥FB， ∴∠FBN+∠FNB＝90°， ∵点M恰在BN的垂直平分线上， ∴MB＝MN， ∴∠ABN＝∠FNB， ∴∠ABN+∠BAD＝90°， ∴∠BAD＝∠FBN， ∵∠AFB＝∠FBC+∠C＝∠BAD+∠DAC＝∠BAF， ∴BA＝BF， 在△ABD和△BFG中， ， ∴△ABD≌△BFG（AAS）， ∴BD＝FG，AD＝BG， ∵∠BED+∠EBD＝90°，∠BAD+∠ABD＝90°， ∴∠BED＝∠ABD＝∠BFG=∠FNG， 在△BDE和△FGN中， ， ∴△BDE≌△FGN（AAS）， ∴DE＝GN， ∵DE：BN＝1：7， ∴GN：BN＝1：7， 设ED＝x， ∴DE：BG＝1：6， ∴AD＝BG＝6x， ∴AE＝AD﹣ED＝6x﹣x＝5x， ∵S△ABD＝15， ∴S△ABE＝=． 故答案为：． 【点睛】本题是三角形的综合题，属于中考题中填空题压轴题，考查全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，三角形的面积等知识，解决本题的关键是综合运用以上知识． 三、解答题 19．如图，△ABC中，∠ABC＝，AD⊥BC于D，点E在AD上，且DE＝DC．求证：△BDE≌△ADC． 【答案】见解析 【分析】先证明∠ABC＝∠BAD，可得AD＝BD，再利用SAS证明两个三角形全等即可． 【解析】证明：∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝∠ADC＝， ∵∠ABC＝， ∴∠BAD＝， ∴∠ABC＝∠BAD， ∴AD＝BD， 在△BDE和△ADC中， ， ∴△BDE≌△ADC（SAS）． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定，证明AD＝BD是解本题的关键． 20．如图，△ABC，其中AC＞BC． (1)尺规作图：作AB的垂直平分线交AC于点P（要求：不写作法，保留作图痕迹）； (2)若AB＝8，△PBC的周长为13，求△ABC的周长． 【答案】(1)见解析 (2)21 【分析】（1）根据线段垂直平分线的作图方法作图即可； （2））证明PA＝PB，可得结论． （1） 解：如图，直线PQ为所求； （2） 解：∵AB的垂直平分线交AC于点P， ∴PA＝PB， ∵△PBC的周长为13， ∴PB+PC+BC＝13， ∴PA+PC+BC＝13， 即AC+BC＝13， ∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝8+13＝21． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的尺规作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是掌握线段的垂直平分线的作法，属于中考常考题型． 21．如图，已知平面上四个点A，B，C，D，请按要求完成作图： (1)作直线，射线，连接； (2)在线段上求作点P，使得；（保留作图痕迹） (3)在直线上确定一点Q，使点Q到点P与点D的距离之和最短． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据直线，射线，线段的定义画出图形即可； （2）以A为圆心，AB为半径作弧，交AC于点P，点P即为所求； （3）连接DP交AB于点Q，点Q即为所求． （1） 解：如图，直线AB，射线BD，线段AC即为所求； （2） 解：如图，点P即为所求； （3） 解：如图，点Q即为所求． 【点睛】本题考查作图-复杂作图，直线，射线，线段的定义等知识，解题的关键是理解直线，射线，线段的定义，属于中考常考题型． 22．如图，△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD＝DE，连接AE． (1)求证：AB＝EC； (2)若△ABC的周长为14cm，AC＝6cm，求DC长． 【答案】(1)见解析 (2)4cm 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质可得AE＝EC，AB＝AE，即可求证； （2）根据△ABC的周长为14cm，可得AB+BC＝8（cm），再由AB＝EC，BD＝DE，可得DC＝DE+EC＝（AB+BC），即可求解． （1） 证明：∵EF垂直平分AC， ∴AE＝EC， ∵AD⊥BC，BD＝DE， ∴AB＝AE， ∴AB＝EC； （2） 解：∵△ABC的周长为14cm， ∴AB+BC+AC＝14（cm）， ∵AC＝6cm， ∴AB+BC＝8（cm）， ∵AB＝EC，BD＝DE， ∴DC＝DE+EC＝（AB+BC）＝4（cm）． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键． 23．如图，在四边形ABCD中，，E为CD的中点，连接AE、BE，，延长AE交BC的延长线于点F． (1)请判断FC与AD的数量关系，并说明理由； (2)若AB＝6，AD＝2，求BC的长度． 【答案】(1)FC=AD，理由见解析 (2) 【分析】（1）根据AD∥BC可知∠ADC=∠ECF，再根据E是CD的中点可求出△ADE≌△FCE，根据全等三角形的性质即可解答； （2）根据全等三角形的性质、线段垂直平分线的性质判断出AB=BF，据此求解即可． （1） 解：FC=AD，理由如下： ∵AD∥BC（已知）， ∴∠ADC=∠ECF（两直线平行，内错角相等）， ∵E是CD的中点（已知）， ∴DE=EC（中点的定义）． 在△ADE与△FCE中， ， ∴△ADE≌△FCE（ASA）， ∴FC=AD（全等三角形的性质）； （2） 解：∵△ADE≌△FCE， ∴AE=EF，AD=CF（全等三角形的对应边相等）， ∵BE⊥AE， ∴BE是线段AF的垂直平分线， ∴AB=BF=BC+CF， ∴AB=BC+AD， ∵AB=6，AD=2， ∴BC=4． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键． 24．如图，△ABC是等边三角形，D、E、F分别是AB、BC、AC上一点，且∠DEF＝60°． (1)若∠1＝50°，求∠2； (2)连接DF，若DF∥BC，求证：∠1＝∠3． 【答案】(1)50° (2)见解析 【分析】（1）根据等边三角形的性质，然后根据已知条件进行等量代换即可得到答案； （2）根据平行线的性质以及各角之间的关系，进行等量代换即可求解； （1） 解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝∠A＝∠C＝60°， ∵∠B+∠1+∠DEB＝180°， ∠DEB+∠DEF+∠2＝180°， ∵∠DEF＝60°， ∴∠1+∠DEB＝∠2+∠DEB， ∴∠2＝∠1＝50°； （2） ∵DF BC， ∴∠FDE＝∠DEB， ∵∠B+∠1+∠DEB＝180°，∠FDE+∠3+∠DEF＝180°， ∵∠B＝60°，∠DEF＝60°， ∴∠1＝∠3． 【点睛】此题考查等边三角形的性质，关键是根据等边三角形的性质和三角形的内角和解答． 25．如图，为等边三角形，D、E分别是AB、BC上的点，且，AE与CD相交于点F． (1)如图1，求的度数 (2)如图2，过点C作于点H，求证：． 【答案】(1)60° (2)见解析 【分析】（1）利用已知证明，即得，即可求出角的读数. （2）利用已知和（1）的信息，先得到。再结合，即可求求证. （1） 解：∵为等边三角形. ∴，. 在和中 ∴ .    ∴. ∵. 在中，. 答：. （2） 证明：∵ .    ∴. 在中，.   ∴. 即. 又∵     ∴. ∴. 即：. 【点睛】本题考查了三角形全等知识、特殊直角三角形的性质，关键在于熟悉三角形全等的证明和全等的性质。属于拔高题. 26．△ABC中，，AC＝BC，点D是BC边上的一个动点，连接AD，过点B作BF⊥AD于点F． (1)如图1，分别延长AC，BF相交于点E，求证：BE＝AD； (2)如图2，若AD平分∠BAC，AD＝5，求BF的长； (3)如图3，M是FB延长线上一点，AD平分∠MAC，试探究AC，CD，AM之间的数量关系并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)AC＋CD＝AM，理由详见解析 【分析】（1）欲证BE＝AD，只要证明△ACD≌△BCE即可； （2）如图2，分别延长BF，AC交于点E，先根据三角形的内角和定理可得∠ABF＝∠E，由等腰三角形的判定和性质以及（1）中结论即可求解； （3）如图3中，分别延长BF，AC交于点E，由（1）可得△ACD≌△BCE，得CD＝CE，再根据等腰三角形的判定与性质可得结论． （1） 证明：如图1， ∵BF⊥AD， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴∠CAD＝∠CBE， 在△ACD和△BCE中 ∴△ACD≌△BCE（ASA）， ∴BE＝AD； （2） 解：如图2，分别延长BF，AC交于点E， 由（1）知：BE＝AD＝5， ∵AD平分∠BAC，BF⊥AD， ∴∠BAF=∠EAF，∠AFB=∠AFE=90°， ∴∠ABF＝∠E， ∴AB＝AE， ∴BF＝BE＝； （3） 解：AC＋CD＝AM，理由如下： 如图3，分别延长BF，AC交于点E， 由（1）可得△ACD≌△BCE， ∴CD＝CE， ∵BF⊥AD， ∴， ∵AF平分∠EAM， ∴∠EAF＝∠MAF， ∴∠M＝∠E， ∴AM＝AE＝AC＋CE， ∴AC＋CD＝AM． 【点睛】本题考查三角形综合题，涉及角平分线的定义、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理、等角的余角相等等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 27．如图，在中，，，点在线段上（不与点、点重合）运动，以为腰在上方作等腰直角，于点，且与交于点． (1)求证：≌； (2)如图，交于点，连接，证明：； (3)当时，猜想与的数量关系并证明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，证明见解析 【分析】由直角三角形的性质证出，根据可证明≌； 过点作交于点，证明≌，由全等三角形的性质证出，则可得出结论； 延长交的延长线于点，证明和都是等腰直角三角形，连接，则和都是等腰直角三角形，得出，证明≌，由全等三角形的性质得出，则可得了结论． （1） 证明：是等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ≌； （2） 证明：过点作交于点， ， ， ， ， 和都是等腰直角三角形， ， ， ， ， 又， ≌， ， ； （3） 解：． 证明：延长交的延长线于点， 由可知， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 和都是等腰直角三角形， ， ， ， ， 连接，则和都是等腰直角三角形， ， ，， ≌， ， ， ． 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$