20.4 课题学习 最短路径问题(练习)数学人教版五四制八年级上册

20.4 课题学习 最短路径问题 一、单选题 1．如图，直线是一条河，A、B是两个新农村定居点．欲在l上的某点处修建一个水泵站，由水泵站直接向A、B两地供水．现有如下四种管道铺设方案，图中实线表示铺设的供水管道，则铺设管道最短的方案是（    ） A． B． C． D． 2．如图，直线，表示一条河的两岸，且．现要在这条河上建一座桥（桥与河的两岸相互垂直），使得从村庄P经桥过河到村庄的路程最短，应该选择路线（   ） A． B． C． D． 3．如图所示，有三条道路围成，其中，一个人从处出发沿着行走了，到达处，恰为的平分线，则此时这个人到的最短距离为（　　） A． B． C． D． 4．如图，在正方形网格中有M，N两点，在直线上求一点P使PM＋PN最短，则点P应选在（    ） A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 5．如图，直线上的四个点A，B，C，D分别代表四个小区，其中A小区和B小区相距50m，B小区和C小区相距200m，C小区和D小区相距50m，某公司的员工在A小区有30人，B小区有5人，C小区有20人，D小区有6人，现公司计划在A，B，C，D四个小区中选一个作为班车停靠点，为使所有员工步行到停靠点的路程总和最小，那么停靠点的位置应设在（    ） A．A小区 B．B小区 C．C小区 D．D小区 6．如图所示，OB是一条河流，OC是一片菜田，张大伯每天从家（A点处）去河处流边挑水，然后把水挑到菜田处，最后回到家中．请你帮他设计一条路线，使张大伯每天行走的路线最短．下列四个方案中你认为符合要求的是（） A． B． C． D． 7．如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，当PC与PE的和最小时，∠ECP的度数是（　　） A．30° B．45° C．60° D．90° 8．如图，在中，，，，BD是的角平分线，点P，点N分别是BD，AC边上的动点，点M在BC上，且，则的最小值为（    ） A．3 B． C．3.5 D． 9．如图，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，点P是直线m上一动点，若AB＝7，AC＝6，BC＝8，则△APC周长的最小值是（　　） A．13 B．14 C．15 D．13.5 10．如图，在等边△ABC中，BF是AC边上的中线，点D在BF上，连接AD，在AD的右侧作等边△ADE，连接EF，当△AEF周长最小时，∠CFE的大小是(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 二、填空题 11．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，EF是BC的垂直平分线，P是直线EF上的一动点，则PA+PB的最小值是 ___． 12．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，EF垂直平分AB，点P为直线EF上一动点，则△APC周长的最小值为_____． 13．如图，在中，，，，垂直平分，点为直线上的任意一点，则周长的最小值是__________． 14．如图，在中，，，是的两条中线，是上的一个动点，则图中长度与的最小值相等的线段是_______． 15．如图，∠AOB＝30°，M，N分别是OA，OB上的定点，P，Q分别是边OB，OA上的动点，如果记∠AMP＝，∠ONQ＝，当MP＋PQ＋QN最小时，则与的数量关系是_________________. 16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，BC＝8，AD是∠BAC的平分线，若点P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是_____． 17．如图，将等边折叠，使点B恰好落在AC边上的点D处，折痕为EF，O为折痕EF上的动点，若AD＝2，AC＝6，则的周长最小值为______． 18．如图，AD为等边△ABC的高，E、F分别为线段AD、AC上的动点，且AE＝CF，当BF＋CE取得最小值时，∠AFB＝_______°． 三、解答题 19．在图中直线n上作出点C，使的值最小．（不写作法，保留作图痕迹） 20．如图，已知，，． (1)画出△ABC此关于y轴对称的图形，并写出，的坐标； (2)P为x轴上一点，请在图中画出使PA＋PB最小时的点P，并写出点P的坐标． 21．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，，D是BC的中点，，P为AB上一个动点． (1)在AB上，是否存在一点P，使PC + PD的值最小________（填“是”或“否”）； (2)若存在，请直接写出PC + PD的最小值；若不存在，请说明理由． 22．作图题：（不写作法，但必须保留作图痕迹） (1)如图，已知点M.N和∠AOB，求作一点P，使P到点M.N的距离相等，且到∠AOB的两边的距离相等． (2)要在河边修建一个水泵站，分别向张村.李庄送水（如图）． 修在河边l什么地方，可使所用水管最短？试在图中确定水泵站的位置． 23．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（1，4），点B的坐标是（3，0），点C的坐标是（5，5）． (1)请在如图中作出△ABC关于轴对称的； (2)在（1）的基础上，作出水平向左平移7个单位长度所得的，并直接写出，，的坐标； (3)点P是轴上的一个动点，请直接写出△ABP的周长最小时点P的坐标． 24．如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于N，交AC于M． (1)若∠B=70°，则∠NMA的度数是　　； (2)探究∠B与∠NMA的关系，并说明理由； (3)连接MB，若AB=8cm，△MBC的周长是14cm． ①求BC的长； ②在直线MN上是否存在点P，使PB+CP的值最小？若存在，标出点P的位置并求PB+CP的最小值；若不存在，说明理由． 25．（1）唐朝诗人李顾的诗古从军行开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题：如图所示，诗中大意是将军从山脚下的点出发，带着马走到河边点饮水后，再回到点宿营，请问将军怎样走才能使总路程最短？请你通过画图，在图中找出点，使的值最小，不说明理由； （2）实践应用，如图，点为内一点，请在射线、上分别找到两点、，使的周长最小，不说明理由； （3）实践应用：如图，在中，，，，，平分，、分别是、边上的动点，求的最小值． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$20.4 课题学习 最短路径问题 一、单选题 1．如图，直线是一条河，A、B是两个新农村定居点．欲在l上的某点处修建一个水泵站，由水泵站直接向A、B两地供水．现有如下四种管道铺设方案，图中实线表示铺设的供水管道，则铺设管道最短的方案是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用轴对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离． 【解析】解：作点A关于直线的对称点，连接交直线 于一点， 根据两点之间，线段最短，可知选项D铺设的管道最短． 故选：D 【点睛】本题考查了最短问题、解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 2．如图，直线，表示一条河的两岸，且．现要在这条河上建一座桥（桥与河的两岸相互垂直），使得从村庄P经桥过河到村庄的路程最短，应该选择路线（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两点间直线距离最短，使FEPP′为平行四边形即可，即PP′垂直河岸且等于河宽，接连P′Q即可． 【解析】解：作PP'垂直于河岸l2，使PP′等于河宽， 连接QP′，与另一条河岸相交于F，作FE⊥直线l1于点E， 则EF∥PP′且EF=PP′， 于是四边形FEPP′为平行四边形，故P′F=PE， 根据“两点之间线段最短”，QP′最短，即PE+FQ最短． 故C选项符合题意， 故选：C． 【点睛】此题考查了轴对称-最短路径问题，要利用“两点之间线段最短”，但许多实际问题没这么简单，需要我们将一些线段进行转化，即用与它相等的线段替代，从而转化成两点之间线段最短的问题．目前，往往利用对称性、平行四边形的相关知识进行转化． 3．如图所示，有三条道路围成，其中，一个人从处出发沿着行走了，到达处，恰为的平分线，则此时这个人到的最短距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】据角平分线上一点到角两边的距离相等，知此人此时到AB的最短距离即D到AB的距离，而D到AB的距离等于CD，而CD=BC-BD即得答案． 【解析】解：如下图， 过D作DE⊥AB于E，则此时此人到AB的最短距离即是DE的长． ∵AD平分∠CAB，AC⊥BC ∴DE=CD=BC-BD=1000-700=300（米）． 故选：C． 【点睛】本题考查角平分线性质定理和“垂线段最短” ．其关键是运用角平分线上一点到角两边的距离相等得出CD等于D到AB的距离． 4．如图，在正方形网格中有M，N两点，在直线上求一点P使PM＋PN最短，则点P应选在（    ） A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 【答案】C 【分析】首先求得点M关于直线的对称点M’，连接M’N，即可求得答案． 【解析】解：如图，点M’是点M关于直线的对称点，连接M’N，则M’N与直线的交点，即为点P，此时PA＋PB最短， ∵M’N与直线交于点C， ∴点P应选C点． 故选：C． 【点睛】此题考查了最短路径问题．注意首先作出其中一点关于直线的对称点，对称点与另一点的连线与直线的交点就是所要找的点． 5．如图，直线上的四个点A，B，C，D分别代表四个小区，其中A小区和B小区相距50m，B小区和C小区相距200m，C小区和D小区相距50m，某公司的员工在A小区有30人，B小区有5人，C小区有20人，D小区有6人，现公司计划在A，B，C，D四个小区中选一个作为班车停靠点，为使所有员工步行到停靠点的路程总和最小，那么停靠点的位置应设在（    ） A．A小区 B．B小区 C．C小区 D．D小区 【答案】B 【分析】根据题意分别计算停靠点分别在A、B、D、C各点时员工步行的路程和，选择最小的即可求解． 【解析】解：当停靠点在A区时，所有员工步行到停靠点路程和是：5×50+20×(200+50)+6(2×50+200)＝7050(m)， 当停靠点在B区时，所有员工步行到停靠点路程和是：30×50+20×200+6(50+200)＝7000(m)， 当停靠点在C区时，所有员工步行到停靠点路程和是：30(50+200)+5×200+6×50＝8800(m)， 当停靠点在D区时，所有员工步行到停靠点路程和是：30×(2×50+200)+5(50+200)+20×50＝11900(m)， 因为7000＜7050＜8800＜11900， 所以当停靠点在B小区时，所有员工步行到停靠点路程和最小，那么停靠点的位置应该在B区． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了两点间的距离，理清题意，正确列出算式是解答本题的关键． 6．如图所示，OB是一条河流，OC是一片菜田，张大伯每天从家（A点处）去河处流边挑水，然后把水挑到菜田处，最后回到家中．请你帮他设计一条路线，使张大伯每天行走的路线最短．下列四个方案中你认为符合要求的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】做出点A关于OB和OC的对称点A′和A″，连接A′A″，与OB、OC分别交于点M，N，则沿AM-MN-NA的路线行走路线最短． 【解析】要找一条最短路线，以河流为轴，取A点的对称点A'，连接A'N与河流相交于M点，再连接AM，则张大伯可沿着AM走一条直线去河边M点挑水，然后再沿MN走一条直线到菜园去，同理，画出回家的路线图如下： 故选D． 【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质和两点之间线段最短是解决问题的关键． 7．如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，当PC与PE的和最小时，∠ECP的度数是（　　） A．30° B．45° C．60° D．90° 【答案】A 【分析】连接BE，则BE的长度即为PE与PC和的最小值．再利用等边三角形的性质可得∠PBC=∠PCB=30°，即可解决问题． 【解析】解：如图，连接BE，与AD交于点P，此时PE+PC最小， ∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC， ∴PC=PB， ∴PE+PC=PB+PE≥BE， 即BE就是PE+PC的最小值， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠BCE=60°， ∵BA=BC，AE=EC， ∴BE⊥AC， ∴∠BEC=90°， ∴∠EBC=30°， ∵PB=PC， ∴∠PCB=∠PBC=30°， ∴∠ECP=30°， 故选：A． 【点睛】本题考查的是最短线路问题及等边三角形的性质，熟知两点之间线段最短是解答此题的关键． 8．如图，在中，，，，BD是的角平分线，点P，点N分别是BD，AC边上的动点，点M在BC上，且，则的最小值为（    ） A．3 B． C．3.5 D． 【答案】A 【分析】作点关于的对称点，连接，则，，当，，在同一直线上，且时，的最小值等于垂线段的长，利用含角的直角三角形的性质，即可得到的最小值． 【解析】解：如图所示，作点关于的对称点，连接，则，， ， 当，，在同一直线上，且时，的最小值等于垂线段的长， 此时，△中，， ， 的最小值为3， 故选择A． 【点睛】本题主要考查了最短路线问题，30°直角三角形性质，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 9．如图，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，点P是直线m上一动点，若AB＝7，AC＝6，BC＝8，则△APC周长的最小值是（　　） A．13 B．14 C．15 D．13.5 【答案】A 【分析】根据垂直平分线的性质BP=PC，所以△APC周长=AC+AP+PC=AC+AP+BP≥AC+AB=13． 【解析】∵直线m是△ABC中BC边的垂直平分线， ∴BP=PC ∴△APC周长=AC+AP+PC=AC+AP+BP ∵两点之间线段最短， ∴AP+BP≥AB ∴△APC的周长=AC+AP+BP≥AC+AB ∵AC=6，AB=7 ∴△APC周长最小为AC+AB=13 故选：A． 【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的性质定理，以及两点之间线段最短，灵活运用两点之间线段最短时解题的关键． 10．如图，在等边△ABC中，BF是AC边上的中线，点D在BF上，连接AD，在AD的右侧作等边△ADE，连接EF，当△AEF周长最小时，∠CFE的大小是(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 【答案】D 【分析】首先证明点E在射线CE上运动（∠ACE=30°），因为AF为定值，所以当AE+EF最小时，△AEF的周长最小，作点A关于直线CE的对称点M，连接FM交CE 于E′，此时AE′+FE′的值最小，根据等边三角形的判定和性质即可求出∠CFE的大小． 【解析】解：∵△ABC，△ADE都是等边三角形， ∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=∠ABC=60°， ∴∠BAD=∠CAE， ∴△BAD≌△CAE， ∴∠ABD=∠ACE， ∵AF=CF， ∴∠ABD=∠CBD=∠ACE=30°， ∴点E在射线CE上运动（∠ACE=30°）， 作点A关于直线CE的对称点M，连接FM交CE 于E′，此时AE′+FE′的值最小， ∵CA=CM，∠ACM=60°， ∴△ACM是等边三角形， ∵AF=CF， ∴FM⊥AC， ∴∠CFE′=90°， 故选D． 【点睛】本题考查轴对称——最短距离问题、等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明点E在射线CE上运动（∠ACE=30°），本题难度比较大，属于中考选择题中的压轴题． 二、填空题 11．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，EF是BC的垂直平分线，P是直线EF上的一动点，则PA+PB的最小值是 ___． 【答案】4 【分析】根据题意知点B关于直线EF的对称点为点C，故当点P为EF和AC的交点时，AP+BP值最小为AC的长为4． 【解析】解：如图：连结BP，CP， ∵EF垂直平分BC， ∴B、C关于EF对称， ∴BP=CP， ∴AP+BP=AP+CP， 根据两点之间相等最短AP+PC≥AC， ∴当点P在AC与EF交点时，AP+BP最小=AC，最小值等于AC的长为4． 故答案为4． 【点睛】本题考查轴对称——最短路线问题的应用，解决此题的关键是能根据想到垂直平分线的性质和两点之间线段最短找出P点的位置． 12．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，EF垂直平分AB，点P为直线EF上一动点，则△APC周长的最小值为_____． 【答案】7 【分析】△APC周长，因为AC＝3，所以求出AP+CP的最小值即可求出△APC周长的最小值，根据题意知点关于直线EF的对称点为点B，故当点P与点E重合时，AP+CP的值最小，即可得到结论． 【解析】∵直线EF垂直平分AB， ∴A，B关于直线EF对称， 设直线EF交BC于E， ∴当P和E重合时，AP+CP的值最小，最小值等于BC的长， ∴△APC周长的最小值， 故答案为：7． 【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题的应用、垂直平分线的性质、三角形周长，解答本题的关键是准确找出P的位置． 13．如图，在中，，，，垂直平分，点为直线上的任意一点，则周长的最小值是__________． 【答案】10 【分析】如图，根据题意知点关于直线的对称点为点，故当点与点重合时，的最小值等于的长，根据，的长度即可得到周长的最小值． 【解析】∵垂直平分， ∴点与点关于对称， 如图，设与相交于点, ∴当和重合时，的值最小，最小值等于的长， ∵，， ∴的周长的最小值是， 故答案为：10． 【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题的应用、垂直平分线的性质，解答此题的关键是准确找出点的位置． 14．如图，在中，，，是的两条中线，是上的一个动点，则图中长度与的最小值相等的线段是_______． 【答案】##EC 【分析】如图，连接，根据，是的中线，可推出，即可得到，由于是上的一个动点同时结合三角形三边关系定理可得，根据两点之间线段最短，当点、、共线时，的值最小，最小值为线段的长度，即可得解． 【解析】解：如图，连接， ∵，是的中线， ∴，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵是上的一个动点， ∴， 当点、、共线时，的值最小，最小值为线段的长度， 即与的最小值相等的线段是． 故答案为：． 【点睛】本题考查轴对称—最短路线问题，等腰三角形三线合一的性质，线段的垂直平分线的判定和性质，三角形三边关系定理，两点之间线段最短等知识．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 15．如图，∠AOB＝30°，M，N分别是OA，OB上的定点，P，Q分别是边OB，OA上的动点，如果记∠AMP＝，∠ONQ＝，当MP＋PQ＋QN最小时，则与的数量关系是_________________. 【答案】α－β＝90° 【分析】分别作点M,N关于OB,OA的对称点,连接，交OA于点Q,交OB于点P时MP＋PQ＋QN有最小值.通过三角形的内角和与外角和性质可得出， 从而得出两者间的关系. 【解析】解：如图，作M关于OB的对称点M′，N关于OA的对称点N′，连接M′N′交OA于Q，交OB于P，则MP+PQ+QN最小， 易知∠OPM=∠OPM′=∠NPQ，∠OQP=∠AQN′=∠AQN， ∵∠OQN=180°-30°-∠ONQ，∠OPM=∠NPQ=30°+∠OQP， ∠OQP=∠AQN=30°+∠ONQ， ∴． ∵， ∴ 故答案为：. 【点睛】本题考查的知识点主要有轴对称，最短路线问题，三角形的内角和定理，三角形外角和的性质，解题的关键是正确的作出图形. 16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，BC＝8，AD是∠BAC的平分线，若点P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是_____． 【答案】4 【分析】过C作CM⊥AB，交AD于P，交AB于M，过P作PQ⊥AC于Q，根据垂直平分线的性质得到PC+PQ的最小值即CM的长，再根据30°角的直角三角形的性质即可求得结果． 【解析】解：如图，过C作CM⊥AB，交AD于P，交AB于M，过P作PQ⊥AC于Q， ∵AD是∠BAC的平分线， ∴PQ＝PM， 这时PC+PQ有最小值，即CM的长度， ∵CM⊥AB，∠B＝30°，BC＝8， ∴CM＝＝4， ∴PC+PQ的最小值为4． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，30°角的直角三角形的性质，正确作出辅助线，熟练掌握各性质是解题的关键． 17．如图，将等边折叠，使点B恰好落在AC边上的点D处，折痕为EF，O为折痕EF上的动点，若AD＝2，AC＝6，则的周长最小值为______． 【答案】10 【分析】连接BD、OB，由折叠得OB=OD，根据等边三角形的性质求出BC，CD，当点B、O、C共线时，的周长最小，计算即得． 【解析】解：连接BD、OB， 由折叠得EF是BD的垂直平分线， ∴OB=OD， ∵△ABC是等边三角形，AD＝2，AC＝6， ∴AC=BC=6，CD=AC-AD=6-2=4， ∴的周长=CD+OC+OD=4+OC+OB， ∴当点B、O、C共线时，的周长最小，最小值为4+BC=4+6=10， 故答案为：10． ． 【点睛】此题考查了轴对称的性质，三角形周长最小值，正确理解轴对称的性质及三点共线的性质是解题的关键． 18．如图，AD为等边△ABC的高，E、F分别为线段AD、AC上的动点，且AE＝CF，当BF＋CE取得最小值时，∠AFB＝_______°． 【答案】105° 【分析】如图，作辅助线，构建全等三角形，证明△AEC≌△CFH，得CE＝FH，将CE转化为FH，与BF在同一个三角形中，根据两点之间线段最短，确定点F的位置，即F为AC与BH的交点时，BF＋CE的值最小，求出此时∠AFB＝105°． 【解析】解：如图，作CH⊥BC，且CH＝BC，连接BH交AD于M，连接FH， ∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC， ∴AC＝BC，∠DAC＝30°， ∴AC＝CH， ∵∠BCH＝90°，∠ACB＝60°， ∴∠ACH＝90°−60°＝30°， ∴∠DAC＝∠ACH＝30°， ∵AE＝CF， ∴△AEC≌△CFH， ∴CE＝FH，BF＋CE＝BF＋FH， ∴当F为AC与BH的交点时，BF＋CE的值最小， 此时∠FBC＝45°，∠FCB＝60°， ∴∠AFB＝105°， 故答案为105°. 【点睛】此题考查全等三角形的性质和判定、等边三角形的性质、最短路径问题，关键是作出辅助线，当BF＋CE取得最小值时确定点F的位置，有难度． 三、解答题 19．在图中直线n上作出点C，使的值最小．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】作图见解析 【分析】作出A点关于直线n的对称点D，连接BD交直线n于点C，连接AC，点C为所求． 【解析】作出A点关于直线n的对称点D，连接BD交直线n于点C，连接AC，点C即为所求． 理由：∵AC=CD， ∴AC+BC=CD+BC≥BD， ∴当B，C，D三点共线时，AC + BC有最小值． 【点睛】本题考查了利用轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称的性质来求最短距离的方法是解题的关键． 20．如图，已知，，． (1)画出△ABC此关于y轴对称的图形，并写出，的坐标； (2)P为x轴上一点，请在图中画出使PA＋PB最小时的点P，并写出点P的坐标． 【答案】(1)见解析，， (2)见解析， 【分析】（1）先画出关于轴的对称点，再连接三点即可求解；根据点的坐标特点直接写出坐标即可； （2）作点关于轴的对称点，连接交轴于点P，则点P即是所求作的点，据此直接写出点P的坐标即可． （1） 解：如图所示，，； （2） 解：如图，点P即是所求作的点，． 【点睛】本题是一道作图题，考查了点的坐标特征，点关于轴，关于轴的对称，最短路径，正确理解点关于轴，关于轴的对称特点是解本题的关键． 21．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，，D是BC的中点，，P为AB上一个动点． (1)在AB上，是否存在一点P，使PC + PD的值最小________（填“是”或“否”）； (2)若存在，请直接写出PC + PD的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)是； (2) 【分析】（1）作D关于直线AB的对称点E，连接CE，与AB的交点即为P，此时PC + PD的值最小； （2）证明∠CBE=90°，根据PC + PD的最小值等于CE计算即可． （1） 如图，作D关于直线AB的对称点E，连接CE，与AB的交点即为P，此时PC + PD的值最小； 故答案为：是 （2） ∵△ABC是等腰直角三角形， ∴∠CBA=45° ∵D关于直线AB的对称点E ∴∠CBA=∠EBA=45°，EB=BE，PD=PE ∴∠CBE=90° ∵D是BC的中点 ∴DB=DC=BE ∵ ∴ ∴ ∴ 即PC + PD的最小值为 【点睛】本题主要考查了轴对称的性质、全等三角形的性质及判定，利用轴对称的性质对线段进行转化是解题的关键． 22．作图题：（不写作法，但必须保留作图痕迹） (1)如图，已知点M.N和∠AOB，求作一点P，使P到点M.N的距离相等，且到∠AOB的两边的距离相等． (2)要在河边修建一个水泵站，分别向张村.李庄送水（如图）． 修在河边l什么地方，可使所用水管最短？试在图中确定水泵站的位置． 【答案】（1）见解析；（2）见解析. 【分析】（1）根据题意可知只要作出∠AOB的角平分线、线段MN的垂直平分线，然后找到这两条线的交点即为所求； （2）作B点关于小河的对称点B′，连接B′A与小河的交点C，点C就是所求． 【解析】解：（1）如图所示：作出∠AOB的角平分线、线段MN的垂直平分线，这两条线的交点即为所求P点 ． （2）作点B关于河岸的对称点B′，连接B′A，交河岸于点C，CA+CB=AB′的长度之和最短，则修在河边l的点C处，可使所用水管最短． 【点睛】本题考查作图—复杂作图，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，轴对称与最短路线问题，熟练掌握相关性质是解题关键． 23．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（1，4），点B的坐标是（3，0），点C的坐标是（5，5）． (1)请在如图中作出△ABC关于轴对称的； (2)在（1）的基础上，作出水平向左平移7个单位长度所得的，并直接写出，，的坐标； (3)点P是轴上的一个动点，请直接写出△ABP的周长最小时点P的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析， (3)（0，3） 【分析】（1）找出点A与点C的对称点，点B的对称点是还是B，再连线即可； （2）将的三个顶点都向左平移7个单位长度之后，再连接写出坐标即可； （3）将军饮马问题，找出点B关于y轴对称的点，再连接与轴的交点P即为最小值点． （1） 如下图所示，即为所求作三角形；（见小问2详解） （2） 如下图所示，即为所求作三角形； 的三个顶点的坐标分别是：． （3） 如下图所示，取点B关于y轴对称的点，再连接，，， 由图可知：△ABP的周长最小时点P的坐标的坐标为（0，3）． 【点睛】本题考查直角坐标系网格中的平移和轴对称作图，根据直角坐标系中的位置写点的坐标，掌握关于x轴对称的两点的坐标特点和平移坐标变化规则是解题的关键． 24．如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于N，交AC于M． (1)若∠B=70°，则∠NMA的度数是　　； (2)探究∠B与∠NMA的关系，并说明理由； (3)连接MB，若AB=8cm，△MBC的周长是14cm． ①求BC的长； ②在直线MN上是否存在点P，使PB+CP的值最小？若存在，标出点P的位置并求PB+CP的最小值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)50° (2)∠AMN =2∠B-90°，理由见解析 (3)①6cm；②存在，图见解析，8cm 【分析】（1）根据等腰三角的性质，三角形的内角和定理，可得∠A的度数，根据直角三角形两锐角的关系，可得答案； （2）根据等腰三角的性质，三角形的内角和定理，再根据直角三角形两锐角的关系，可得答案； （3）①根据垂直平分线的性质，可得AM与MB的关系，再根据三角形的周长，可得答案；②根据题意得出点B关于直线MN的对称点为点A，要使PB+PC的值最小，则连接AC与直线MN的交点即为点P，此时点P与点M重合，则可得PB＋PC的最小值． （1） 解：∵AB=AC，∠B=70°， ∴∠B=∠C=70°， ∴， ∵MN垂直平分AB， ∴， ∴． 故答案为：50°． （2） 解：∠AMN =2∠B-90°；理由如下： ∵AB=AC， ∴∠B=∠C， ∴∠A=180°-∠B-∠C=180°-2∠B， 又∵MN是AB的垂直平分线， ∴∠ANM=90°， ∴∠A+∠AMN=90°， ∴∠AMN=90-∠A=90°-（180°-2∠B）=2∠B−90°． （3） ①∵MN是AB的垂直平分线 ∴AM=BM ∵C△BCM =BM+BC+CM =AM+MC+BC =AC+BC =14cm， 又∵AB=AC=8cm， ∴BC=14-8=6（cm）； ②∵MN是AB的垂直平分线， ∴AN=BN， ∴点B关于直线MN的对称点为点A， ∴要使PB+PC的值最小，则连接AC与直线MN的交点即为点P， ∴点P与点M重合，PB+PC=AC=8cm， ∴PB＋CP的最小值是8cm． 【点睛】本题主要考查了轴对称，等腰三角形的性质，线段垂直平分线性质、最短路径问题，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等． 25．（1）唐朝诗人李顾的诗古从军行开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题：如图所示，诗中大意是将军从山脚下的点出发，带着马走到河边点饮水后，再回到点宿营，请问将军怎样走才能使总路程最短？请你通过画图，在图中找出点，使的值最小，不说明理由； （2）实践应用，如图，点为内一点，请在射线、上分别找到两点、，使的周长最小，不说明理由； （3）实践应用：如图，在中，，，，，平分，、分别是、边上的动点，求的最小值． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）的最小值为 【分析】（1）作点关于直线小河的对称点，连接，交于，则最小； （2）分别作点关于，的对称点和，连接交于，于，连接，，，则的周长最小； （3）过点C作，交于，于，连接ME，则最小，证明≌，可得，，可证得△COM≌△EOM，从而得到当点N，M，E共线时，CM+MN最小，最小值为EN，且当EN⊥AC时，NE最小，再根据，可得，即可求解． 【解析】解：（1）如图，作点关于直线小河的对称点，连接，交于，则最小； 理由：根据作法得：， ∴， ∴当点共线时，最小； （2）如图，分别作点关于，的对称点和，连接交于，于，连接，，，则的周长最小； 理由：根据作法得：，， ∴， ∴当点共线时，的周长最小； （3）如图，过点C作，交于，于，连接ME，则最小， ， 平分， ， 在和中， ， ≌， ，， ∵，OM=OM， ∴△COM≌△EOM， ， ， ∴当点N，M，E共线时，CM+MN最小，最小值为EN，且当EN⊥AC时，NE最小， 过点C作CF⊥AB于点F， ∵，，，， ∴， 即， 解得：， ∵， ， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了轴对称性质，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“将军饮马”及其变形的模型． ( 18 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$