20.4课题学习 最短路径问题 教案2023-2024学年人教版（五四制）数学八年级上册

20.4课题学习 最短路径问题 教学目标： 1.利用轴对称解决简单的最短路径问题. 2.能够利用轴对称、平移变换解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想． 教学过程： 问题引入 例：牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？ A、B在直线l的同侧时，在直线上找点C使得AC+BC最小. A、B在直线l的异侧，在直线上找点C使得AC+BC最小. 造桥选址问题 如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）？ 问题分析 问题描述：已知两条直线a，b，a∥b，N为直线b上的一个动点，MN⊥b，交直线a于点M，当点M、N在直线什么位置时，AM+MN+NB最小呢？ 转化1：当点N在直线b的什么位置时，AM+NB最小。 思考：能否简化这个问题？ 转化1：当点N在直线b的什么位置时，AM+NB最小？ 思考：左图和右图的区别是什么？如何通过图形的变换(轴对称、平移等）转化为右图？ 将AM沿与河岸垂直的方向平移，使得点M与点N重合，此时点A移动到点A'，则AA'=MN，AM=A'N。 转化2：当点N在直线b的什么位置时，A'N+NB最小？ 探索新知 问题1、已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点P，使得PA+PB的值最小。 连接AB,线段AB与直线L的交点P ，则点P就是所求。 根据：两点之间线段最短. 　　问题2 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直 线l上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？ 思考：问题1与问题2的联系与区别分别是什么？ 　　追问1　类比问题1,对于问题2，如何将点B“移”到l 的另一侧B′处，满足直线l 上的任意一点C，都保持CB 与CB′的长度相等？ ( B · l A · ) 　　将军饮马 问题：相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦。有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B 地。到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？ 精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的 知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马 问题”。你能将这个问题抽象为数学问题吗？ 学科网（北京）股份有限公司 $$