20.3.2 等边三角形(练习)数学人教版五四制八年级上册

20.3.2 等边三角形 一、单选题 1．如图，是等边三角形，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等边三角形的性质，以及平角的性质即可求得． 【解析】∵是等边三角形， ∴， ∴, 故选C． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，平角的性质，掌握等边三角形的性质是解题的关键． 2．下列条件不能得到等边三角形的是（   ） A．有一个内角是60°的锐角三角形 B．有一个内角是60°的等腰三角形 C．顶角和底角相等的等腰三角形 D．腰和底边相等的等腰三角形 【答案】A 【分析】根据等边三角形的判定、等腰三角形的性质进行逐一判断即可． 【解析】解：因为有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形， 所以A选项符合题意，B选项不符合题意； 因为顶角和底角相等的等腰三角形是等边三角形， 所以C不符合题意； 因为腰和底边相等的等腰三角形是等边三角形， 所以D选项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定、等腰三角形的性质，解决本题的关键是掌握等边三角形的判定、等腰三角形的性质． 3．如图，等边中，点D是上一点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等边三角形的性质，三角形内角和定理以及平角的定义，即可求得 【解析】∵是等边三角形， ∴， 在中，， 即， 又∵， 即， ∴． 故选D 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形内角和定理以及平角的定义，掌握等边三角形的性质是解题的关键． 4．三角形三边长分别为a，b，c，它们满足(a－b)2＋|b－c|＝0，则该三角形是(    ) A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】根据任意一个数的绝对值都是非负数和偶次方具有非负性可得：a-b=0，b-c=0，再根据三角形的判断方法即可知道该三角形的形状． 【解析】∵（a-b）2+|b-c|=0， ∴a-b=0，b-c=0， ∴a=b=c， ∴以a，b，c，为三边长的三角形是等边三角形， 故选C． 【点睛】考查了任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0、偶次方的非负性以及等边三角形的判定． 5．如图，∠B=∠D=90°，AB=AD，∠2=60°，BC=5，则AC=（    ） A．5 B．10 C．15 D．2.5 【答案】B 【分析】利用HL证明Rt△ACB≌Rt△ACD，推出∠1=30°，再利用含30度角的直角三角形的性质即可求解． 【解析】解：∵∠B=∠D=90°，AB=AD，CA=AC， ∴Rt△ACB≌Rt△ACD（HL）， ∴∠ACB=∠ACD=60°， ∴∠1=30°， ∵BC=5， ∴AC=2BC=10， 故选：B． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，解题的关键是证明Rt△ACB≌Rt△ACD． 6．如图所示，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，E为AD上一点，∠CED＝50°，则∠ABE等于（    ） A．10° B．15° C．20° D．25° 【答案】C 【分析】先判断出AD是BC的垂直平分线，进而求出∠ECB=40°=∠EBC，即可得出结论． 【解析】解：∵等边三角形ABC中，AD⊥BC， ∴BD=CD，即：AD是BC的垂直平分线， ∵点E在AD上， ∴BE=CE， ∴∠EBC=∠ECB， ∵∠CED=50°， ∴∠ECB=40°=∠EBC， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC=60°， ∴∠ABE=∠ABC-∠EBC=20°， 故选C． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质，求出∠ECB是解题关键． 7．如图，D、E是等边的BC边和AC边上的点，，AD与EE相交于P点，则的度数是（    ） A．45° B．55° C．60° D．75° 【答案】C 【分析】根据条件先可以得出△ABD≌△BCE，由全等三角形的性质就可以得出∠BAD＝∠DBP．由∠APE＝∠ABP+∠BAP，就可以得出∠APE＝60°． 【解析】解：∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC，∠ABC＝∠ACB＝60°． 在△ABD和△BCE中， ， ∴△ABD≌△BCE（SAS）， ∴∠BAD＝∠DBE． ∵∠APE＝∠ABP+∠BAP， ∴∠APE＝∠ABP+∠DBE． 即∠APE＝∠ABD． ∴∠APE＝60°． 故选：C． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，三角形的外角与内角的关系的运用． 8．下列结论中：①有一个外角是的等腰三角形是等边三角形；②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形；③有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形；④三个内角都相等的三角形是等边三角形．其中正确的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等边三角形的判定条件：三条边相等的三角形是等边三角形，有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形，有两个角是60度的三角形是等边三角形，进行判断即可 【解析】解：①∵等腰三角形有一个外角是120°， ∴与这个外角相邻的内角是60°， ∴这个等腰三角形是等边三角形，正确； ②等腰三角形有两个外角相等，当这两个外角是两个底角相邻的外角时，等腰三角形不是等边三角形，错误； ③有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形不一定是等边三角形，如这条高是底边的高也满足这条高是底边的中线，但是这个三角形不一定是等边三角形，错误； ④三个内角都相等的三角形是等边三角形，正确． 故选C． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定，解题的关键在于能够熟练掌握等边三角形的判定条件． 9．如图，在中，，点D在上，，则等于（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】根据已知条件求得，再根据含30度角的直角三角形的性质，求得，根据等腰三角形的性质求得，进而求得． 【解析】∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，掌握含30度角的直角三角形的性质是解题的关键． 10．如图，P，Q是△ABC的边BC上的两点，且有BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ，则∠BAC的大小为（　　） A．90° B．100° C．120° D．150° 【答案】C 【分析】根据等边三角形的性质，得∠PAQ=∠APQ=∠AQP=60°，再根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质求得∠BAP=∠CAQ=30°，从而求解． 【解析】解：∵BP=PQ=QC=AP=AQ， ∴∠PAQ=∠APQ=∠AQP=60°，∠B=∠BAP，∠C=∠CAQ． 又∵∠BAP+∠ABP=∠APQ，∠C+∠CAQ=∠AQP， ∴∠BAP=∠CAQ=30°． ∴∠BAC=120°． 故∠BAC的度数是120°． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了运用等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及三角形的外角的性质． 11．如图，是等边三角形，，连接，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由△ABC是等边三角形，CB＝BD得出∠DCB＝∠CDB，由∠ACD＝110°，得出∠DCB＝50°，由AB＝BC，BC＝BD，得出AB＝BD，根据三角形的内角和定理即可求得． 【解析】解：∵△ABC是等边三角形，CB＝BD，∠ACD＝110°， ∴ ∠DCB＝50° ， ∵CB＝BD，AB＝BC， ∴AB＝BD， ∴∠BAD＝∠BDA 故选：C． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，关键是根据等腰三角形的性质，三角形的内角和定理解答． 12．如图，在中，，D是边上的点，过点D作交于点F，交的延长线于点B，连接，，则下列结论：①；②点D为的中点；③是等边三角形；④若，则；⑤若，则，正确的是（   ） A．①②⑤ B．①②④⑤ C．②③④⑤ D．①③④ 【答案】B 【分析】由在△ABC中，∠ACB=90°，DE⊥AB，易证得∠DCA=∠DAC，继而可得CD=BD，再由AD=CD，可得D为AB中点，由于无法得到AC，AD，CD的关系，故不能证得△ADC是等边三角形，由若∠E=30°，易求得∠FDC=∠FCD=30°，则可证得DF=CF，继而证得DE=EF+CF，在此条件下，利用ASA即可证明△ADE≌△ACB，从而判断结果． 【解析】解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，DE⊥AB， ∴∠ADE=∠ACB=90°， ∴∠A+∠B=90°，∠ACD+∠DCB=90°， ∵∠DCA=∠DAC， ∴AD=CD，∠DCB=∠B； ∴CD=BD，故①正确； ∵AD=CD， ∴CD=BD=AD，即D为AB中点，故②正确； 但不能判定△ADC是等边三角形；故③错误； ∵若∠E=30°， ∴∠A=60°， ∴△ACD是等边三角形， ∴∠ADC=60°， ∵∠ADE=∠ACB=90°， ∴∠EDC=∠BCD=∠B=30°， ∴CF=DF， ∴DE=EF+DF=EF+CF．故④正确． ∵若∠E=30°，则△ACD是等边三角形， 在△ADE和△ACB中， ， ∴△ADE≌△ACB（ASA），故⑤正确； 故选：B． 【点睛】此题考查了等腰三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，以及直角三角形的性质．注意证得D是AB的中点是解此题的关键． 二、填空题 13．等边三角形是特殊的___________三角形，因此它也是___________图形，有_______条对称轴． 【答案】     等腰     轴对称     3 【分析】根据等边三角形与等腰三角形的联系与区别，具有等腰三角形的一切性质，和自身的独特性即可得出结论． 【解析】解：等边三角形是特殊的__等腰___三角形，因此它也是__轴对称____图形，有____3___条对称轴． 故答案为：等腰；轴对称；3． 【点睛】本题考查等边三角形与等腰三角形的联系与区别，具有等腰三角形的一切性质，和自身的独特性，掌握等边三角形与等腰三角形的联系与区别，具有等腰三角形的一切性质，和自身的独特性是解题关键． 14．在△ABC中，∠A＝60°，要使是等边三角形，则需要添加一条件是______. 【答案】AB＝AC或AB＝BC或AC＝BC 【分析】由在△ABC中，∠A＝60°，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，即可求得答案. 【解析】∵在△ABC中，∠A＝60°， ∴要使是等边三角形，则需要添加一条件是：AB＝AC或AB＝BC或AC＝BC. 故答案为此题答案不唯一，如AB＝AC或AB＝BC或AC＝BC. 【点睛】此题考查等边三角形的判定，解题关键在于掌握判定定理. 15．如图，在等边△ABC中，于点D，若，则________． 【答案】4 【分析】根据△ABC是等边三角形可知AB＝AC，再由BD⊥AC可知AD＝AC，由此即可得出结论． 【解析】解：∵△ABC是等边三角形，AB＝8， ∴AB＝AC＝8， ∵BD⊥AC， ∴AD＝AC＝×8＝4． 故答案为：4． 【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，熟知等边三角形三线合一的性质是解答此题的关键． 16．如图，中，平分交于D，，则________． 【答案】4 【分析】根据∠B=90°，∠A＝30°，易求得，而根据角平分线的定义得到，可证得是等腰三角形，可求得CD，即可求解． 【解析】解：∵∠B=90°，∠A＝30°， ∴， 又∵CD平分∠ACB， ∴， 在中，， 又∵30° ， ∴； 故答案是：4． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，结合含30度角的直角三角形的性质计算是关键． 17．如图，已知点B、C、D、E在同一直线上，是等边三角形，且，则__________． 【答案】 【分析】根据等边三角形的性质，求得，根据平角的性质求得，由已知条件根据等边对等角求得，进而求得； 【解析】∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，掌握相关图形的性质是解题的关键． 18．如图，中，，，于，是的平分线，且交于点.如果，则的长为______. 【答案】6 【分析】根据题意易证△AEP为等边三角形，则AE=AP=2，在Rt△ACE中，利用含30°角的直角三角形性质求得EC的长，然后在等腰三角形BCE中得到BE的长，进而得到AB的长. 【解析】∵，， ∴∠ACB=60°， ∵是的平分线， ∴∠ECA=∠ECB=30°， 在△AEC中，∠AEC=90°﹣∠ACE=60°， ∵， ∴∠BAD=90°﹣∠B=60°， ∴△AEP为等边三角形， ∴AE=AP=2， ∴EC=2AE=4， ∵∠B=∠BCE=30°， ∴BE=CE=4， ∴AB=BE+AE=4+2=6. 故答案为6. 【点睛】本题主要考查等边三角形的判定，含30°角的直角三角形性质等知识点，解此题的关键在于熟练掌握其知识点. 19．如图，等边三角形的周长为，、两点分别从、两点同时出发，点以的速度按顺时针方向在三角形的边上运动，点以的速度按逆时针方向在三角形的边上运动，设、两点第一次在三角形的顶点处相遇的时间为，第二次在三角形顶点处相遇的时间为，则__． 【答案】 【分析】根据相遇问题的数量关系求得、两点第一次相遇的时间为，以后每相遇一次的时间为，设、相遇次数为次，则当（为正整数）时，、两点就在三角形的顶点处相遇，由此关系求得的两个最小整数，即可得到的值． 【解析】解：等边三角形的周长为， 的边长为， 由题意知，、第一次时间为， 以后每隔，、就会相遇一次， 设、相遇次数为次， 则当（为正整数）时，、两点就在三角形的顶点处相遇， 整理得：， （为正整数）， 当时，即时，、两点第二次在三角形的顶点处相遇， 则，． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，相遇问题，解题的关键是得出、相遇次数与三角形边长的关系． 20．如图，已知是等边△内一点，是线段延长线上一点，且，=120°，那么_____． 【答案】60° 【分析】由的度数利用邻补角互补可得出，结合可得出为等边三角形，而根据旋转全等模型由易证出，根据全等三角形的性质可得出，再根据即可求出的度数． 【解析】解：为等边三角形， ，． ，， ． 又， 为等边三角形， ，，． ， ． 在和中， ， ， ， ． 故答案为：60． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及角的计算，通过证明，找出是解题的关键． 三、解答题 21．如图，等边中，分别交BC，AC于点D、E． 求证：是等边三角形． 【答案】证明见详解 【分析】先由等边三角形的性质得到，然后根据平行线的性质得到，，从而证明是等边三角形． 【解析】∵ 是等边三角形， ∴  ， ∵  ， ∴  ，， ∴ ， ∴  是等边三角形． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判定，平行线的性质，熟练掌握等边三角形的判定定理是关键． 22．已知：如图，在中，是腰上的高． 求证：． 【答案】证明见解析 【分析】根据等腰三角形的性质，三角形的内角与外角的关系得到∠DAC＝30°．在直角△ACD中，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半解得CD的长． 【解析】证明：在中， ∵， ∴（等边对等角）． ∴． ∵是腰上的高， ∴． ∴（在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半）． ∴． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质：等边对等角．三角形的内角与外角的关系以及直角三角形中30度所对的直角边等于斜边的一半． 23．如图，若是等边三角形，是的平分线，延长到点E，使，求的长度． 【答案】9 【分析】首先由等边三角形的定义可得，然后利用“三线合一”的性质求出，即可得出结论． 【解析】解：∵是等边三角形， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，理解等边三角形的基本性质是解题关键． 24．如图，在等边中，点D，E分别在边上，且与交于点F．求证：． 【答案】见解析 【分析】由等边三角形的性质，得到∠B=∠CAE，AC=AB，根据SAS证出△ABD≌△CAE即可； 【解析】证明：∵是等边三角形， ∴， 在与中， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理进行证明． 25．如图，在中，交边于点，，，. (1)求的度数； (2)求证：. 【答案】(1)∠B=45°；(2)证明见解析. 【分析】（1）先求得∠ADC的度数，再根据三角形的外角性质即可得解； （2）过作于，连接BE，由（1）得到∠ECD=30°，根据直角三角形30°角所对直角边为斜边的一半得到，进而得到，再根据三角形外角性质得到，进而求得，得到，则△ACE为等腰直角三角形，从而得到答案. 【解析】(1)∵，， ∴． ∴． (2)过作于，连接BE， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查三角形外角的性质，含30°角的直角三角形性质，等腰三角形的判定等，解此题的关键在于熟练掌握其知识点，作适当的辅助线帮助解题. 26．如图，、分别是等边三角形的边，上的点，且，、交于点． （1）求证：； （2）求的度数． 【答案】（1）见解析；（2）120° 【分析】（1）欲证明CE=BF，只需证得△BCE≌△ABF； （2）利用（1）中的全等三角形的性质得到∠BCE=∠ABF，则由图示知∠PBC+∠PCB=∠PBC+∠ABF=∠ABC=60°，即∠PBC+∠PCB=60°，所以根据三角形内角和定理求得∠BPC=120°． 【解析】解：（1）证明：如图，∵△ABC是等边三角形， ∴BC=AB，∠A=∠EBC=60°， ∴在△BCE与△ABF中， ， ∴△BCE≌△ABF（SAS）， ∴CE=BF； （2）∵由（1）知△BCE≌△ABF， ∴∠BCE=∠ABF， ∴∠PBC+∠PCB=∠PBC+∠ABF=∠ABC=60°，即∠PBC+∠PCB=60°， ∴∠BPC=180°-60°=120°． 即：∠BPC=120°． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． 27．如图，△ABC和△ADE都是等边三角形，点B在ED的延长线上. （1）求证：△ABD≌△ACE； （2）若AE＝2，CE＝3，求BE的长； （3）求∠BEC的度数 【答案】（1）见解析；（2）5；（3）60° 【分析】（1）依据等边三角形的性质，由SAS即可判定△ABD≌△ACE； （2）依据等边三角形的性质以及全等三角形的性质，即可得出BD=CE，DE=AE，进而得到AE+CE=BE，代入数值即可得出结果； （3）依据等边三角形的性质可得∠ADE=60°，进而可得∠ADB=120°，由全等三角形的性质可得∠AEC=120°，由∠BEC=∠AEC-∠AED即可得出∠BEC的度数． 【解析】（1）证明∵△ABC 和△ADE 都是等边三角形， ∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°， ∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE， 在△ABD和△ACE中，， ∴△ABD≌△ACE（SAS）； （2）解：∵△ABD≌△ACE， ∴BD＝CE， ∵△ADE 是等边三角形， ∴DE＝AE， ∵DE+BD＝BE， ∴AE+CE＝BE， ∴BE＝2+3＝5； （3）解：∵△ADE 是等边三角形， ∴∠ADE＝∠AED＝60°， ∴∠ADB＝180°﹣∠ADE＝180°﹣60°＝120°， ∵△ABD≌△ACE， ∴∠AEC＝∠ADB＝120°， ∴∠BEC＝∠AEC﹣∠AED＝120°﹣60°＝60°． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 28．如图，已知点B、C、D在同一条直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形.BE交AC于F，AD交CE于H，求证： （1）△BCE≌△ACD； （2）CF=CH； （3）△FCH是等边三角形； （4）FH∥BD． 【答案】见解析 【解析】试题分析：（1）由等边三角形的三边相等，三角都是60°，再根据平角的关系，就能证明△BCE≌△ACD；（2）由△BCE≌△ACD得出对应角相等，结合等边三角形的边角特点证明△BCF≌△ACH，能得出CF=CH；（3）两边等，加上一个角60°推出△CFH是等边三角形；（4）根据内错角相等，两直线平行推出FH∥BD. 试题解析： 证明：∵△ABC和△CDE都是等边三角形， ∴∠BCA=∠DCE=60°，BC=AC=AB，EC=CD=ED， ∴∠BCE=∠ACD. 在△BCE和△ACD中， ∴△BCE≌△ACD（SAS）； （2）∵△BCE≌△ACD， ∴∠CBF=∠CAH． ∵∠ACB=∠DCE=60°， 在△BCF和△ACH中， ∴∠ACH=60°， ∴∠BCF=∠ACH， ∴△BCF≌△ACH（ASA）， ∴CF=CH； （3）∵CF=CH，∠ACH=60°， ∴△CFH是等边三角形． （4）∵△CHF为等边三角形 ∴∠FHC=60°， ∵∠HCD=60°， ∴FH∥BD 点睛：本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了等边三角形的判定与性质． 29．如图，和都是等边三角形，连接，，与交于点，连接，与交于点． (1)求证：； (2)求的大小； (3)若 ， ，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据推出≌即可解答； （2）如图，过点作于，作于，先根据（1）中≌，可得，由三角形的面积公式可得高，由角平分线的逆定理可得平分，根据三角形内角和定理可得，所以，从而得结论； （3）如图，作辅助线构建等边三角形和全等三角形，证明≌，得，根据角平分线的性质得，由同高三角形面积的关系可得，从而可得结论． （1） 证明：如图，和为等边三角形， ，，， ， 在和中， ， ≌， ； （2） 解：如图，过点作于，作于， ≌， ，， ， ， ， ， ， ， ，，， ； （3） 解：如图，在上截取，连接，过点作于，作于，则是等边三角形， ，， ， ， ≌， ， 平分，，， ， ， 的面积的面积， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质和判定定理；熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键． 30．已知点D是△ABC外一点，连接AD，BD，CD，． (1)【特例体验】 如图1，AB＝BC，α＝60°，则∠ADB的度数为 ； (2)【类比探究】 如图2，AB＝BC，求证：∠ADB＝∠BDC； (3)【拓展迁移】 如图3，α＝60°，∠ACB+∠BCD＝180°，CE⊥BD于点E，AC＝kDE，直接写出的值（用k的代数式表示）． 【答案】(1)60° (2)证明见解析； (3) ． 【分析】（1）在BD上取点E，使BE= CD，证明△ABE≌△ACD(SAS)，由全等三角形的性质得出∠BAE=∠CAD， AE= AD，由等边三角形的性质可得出答案； （2）在DC的延长线上取一点H，使BD= BH，证明△ABD≌△CBH (SAS)，由全等三角形的性质得出，则可得出结论； （3）延长DC至H，使CH = AC，连接BH，证明△ABC≌△HBC(SAS)，由全等三角形的性质得出AB= BH，，证出△BDH为等边三角形，在Rt△CED中，设ED = m，则CE=2m，由等边三角形的性质得出DH=BH=AB=km+2m，则可得出答案． （1） 解：在BD上取点E，使BE= CD，如图1所示： ∵，， ∴△ABC是等边三角形， ∴AB= AC， ∵∠BAC =∠BDC，∠AOB=∠COD， ∴∠ABE=∠ACD， 在△ABE和△ACD中， ， ∴（SAS）， ∴，， ∴， ∴△AED是等边三角形， ∴∠ADB=60°； 故答案为：60°； （2） 证明：在DC的延长线上取一点H，使，如图2所示： ∴ ， ∵，， ∴， ∵AB＝BC，， ∴， 又∵， 即， ∴， 在△ABD和△CDH中， ∴(SAS)， ∴ ， ∴； （3） 解：延长DC至H，使CH = AC，连接BH，如图3所示： 图3 ∵∠ACB+∠BCD=180°，∠BCH+∠BCD=180°， ∴∠ACB=∠BCH， ∵AC = CH，BC= BC， ∴（SAS）， ∴，， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵ ∴， ∴， 又∵， ∴△BDH为等边三角形， ∴， ∴． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角性质，能够准确作出辅助线构造出全等三角形以及等边三角形性质的运用是解题的关键． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 20.3.2 等边三角形 一、单选题 1．如图，是等边三角形，则（    ） A． B． C． D． 2．下列条件不能得到等边三角形的是（   ） A．有一个内角是60°的锐角三角形 B．有一个内角是60°的等腰三角形 C．顶角和底角相等的等腰三角形 D．腰和底边相等的等腰三角形 3．如图，等边中，点D是上一点，，则（    ） A． B． C． D． 4．三角形三边长分别为a，b，c，它们满足(a－b)2＋|b－c|＝0，则该三角形是(    ) A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 5．如图，∠B=∠D=90°，AB=AD，∠2=60°，BC=5，则AC=（    ） A．5 B．10 C．15 D．2.5 6．如图所示，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，E为AD上一点，∠CED＝50°，则∠ABE等于（    ） A．10° B．15° C．20° D．25° 7．如图，D、E是等边的BC边和AC边上的点，，AD与EE相交于P点，则的度数是（    ） A．45° B．55° C．60° D．75° 8．下列结论中：①有一个外角是的等腰三角形是等边三角形；②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形；③有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形；④三个内角都相等的三角形是等边三角形．其中正确的个数是（    ） A． B． C． D． 9．如图，在中，，点D在上，，则等于（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 10．如图，P，Q是△ABC的边BC上的两点，且有BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ，则∠BAC的大小为（　　） A．90° B．100° C．120° D．150° 11．如图，是等边三角形，，连接，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 12．如图，在中，，D是边上的点，过点D作交于点F，交的延长线于点B，连接，，则下列结论：①；②点D为的中点；③是等边三角形；④若，则；⑤若，则，正确的是（   ） A．①②⑤ B．①②④⑤ C．②③④⑤ D．①③④ 二、填空题 13．等边三角形是特殊的___________三角形，因此它也是___________图形，有_______条对称轴． 14．在△ABC中，∠A＝60°，要使是等边三角形，则需要添加一条件是______. 15．如图，在等边△ABC中，于点D，若，则________． 16．如图，中，平分交于D，，则________． 17．如图，已知点B、C、D、E在同一直线上，是等边三角形，且，则__________． 18．如图，中，，，于，是的平分线，且交于点.如果，则的长为______. 19．如图，等边三角形的周长为，、两点分别从、两点同时出发，点以的速度按顺时针方向在三角形的边上运动，点以的速度按逆时针方向在三角形的边上运动，设、两点第一次在三角形的顶点处相遇的时间为，第二次在三角形顶点处相遇的时间为，则__． 20．如图，已知是等边△内一点，是线段延长线上一点，且，=120°，那么_____． 三、解答题 21．如图，等边中，分别交BC，AC于点D、E． 求证：是等边三角形． 22．已知：如图，在中，是腰上的高． 求证：． 23．如图，若是等边三角形，是的平分线，延长到点E，使，求的长度． 24．如图，在等边中，点D，E分别在边上，且与交于点F．求证：． 25．如图，在中，交边于点，，，. (1)求的度数； (2)求证：. 26．如图，、分别是等边三角形的边，上的点，且，、交于点． （1）求证：； （2）求的度数． 27．如图，△ABC和△ADE都是等边三角形，点B在ED的延长线上. （1）求证：△ABD≌△ACE； （2）若AE＝2，CE＝3，求BE的长； （3）求∠BEC的度数 28．如图，已知点B、C、D在同一条直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形.BE交AC于F，AD交CE于H，求证： （1）△BCE≌△ACD； （2）CF=CH； （3）△FCH是等边三角形； （4）FH∥BD． 29．如图，和都是等边三角形，连接，，与交于点，连接，与交于点． (1)求证：； (2)求的大小； (3)若 ， ，求的长度． 30．已知点D是△ABC外一点，连接AD，BD，CD，． (1)【特例体验】 如图1，AB＝BC，α＝60°，则∠ADB的度数为 ； (2)【类比探究】 如图2，AB＝BC，求证：∠ADB＝∠BDC； (3)【拓展迁移】 如图3，α＝60°，∠ACB+∠BCD＝180°，CE⊥BD于点E，AC＝kDE，直接写出的值（用k的代数式表示）． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$