精品解析：安徽省六安市2024-2025学年九年级上学期开学诊断数学试题

2024~2025学年度秋学期九年级阶段性检测一 数学试题卷 （分值：150 时间：120分钟） 一、单选题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列各式中表示二次函数（ ） A. B. C. D. 2. 若反比例函数的图象在一、三象限，则的值可以是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 二次函数的图象向下平移3个单位，再向左平移2个单位，所得到的函数关系式是（ ） A. B. C. D. 4. 已知点，，都在反比例函数图像上，且，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 5. 已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数的大致图像正确的是（　　） A. B. C. D. 6. 若与都是反比例函数（）图象上的点，则的值是（　　） A. B. C. D. 7. 根据下列表格中二次函数（，a，b，c为常数）的自变量与函数值的对应值，判断方程的一个解的范围是（ ） A. B. C. D. 8. 新定义：，，为二次函数，，，为实数）的“图像数”，如：的“图像数”为，，，若“图像数”是，，的二次函数的图像与轴只有一个交点，则的值为（ ） A. B. C. 或2 D. 2 9. 直线和抛物线（a，b是常数，且）在同一平面直角坐标系中，直线经过点．下列结论： ①抛物线的对称轴是直线 ②抛物线与x轴一定有两个交点 ③关于x的方程有两个根， ④若，当或时， 其中正确的结论是（ ） A. ①②③④ B. ①②③ C. ②③ D. ①④ 10. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，．直线由原点开始向上平移，所得的直线与矩形两边分别交于、两点，设面积为S，那么能表示S与函数关系的图象大致是（ ）． A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11. 已知二次函数的图象开口向下，则m的值是______． 12. 已知二次函数的图象与x轴的两个交点分别是和且抛物线还经过点和，则______． 13. 如图，点是反比例函数图象上一点，轴于点，与反比例函数的图象交于点，，连接，，若的面积为，则______． 14. 已知二次函数（为常数，）是该函数图象上一点． （1）当时，抛物线的对称轴是______． （2）当时，，则的取值范围是______． 三、（本大题共2小题，每小题8分，共16分） 15. 已知二次函数的图象经过点，． （1）求该二次函数的表达式； （2）求该二次函数的与轴的交点． 16. 如图，反比例函数的图象的一支在平面直角坐标系中的位置如图所示． （1）求的取值范围； （2）若此反比例函数的图象经过点，求的值． 四、（本大题共2小题，每小题8分，共16分） 17. 已知抛物线． （1）求证：此抛物线与轴必有两个不同的交点； （2）若此抛物线与直线的一个交点在轴上，求的值． 18. 某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x小时之间函数关系如图所示． （1）根据图象分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段y与x之间的函数关系式； （2）问血液中药物浓度不低于2微克/毫升的持续时间多少小时？ 五、（本大题共2小题，每小题10分，共20分） 19. 如图，一段长为的篱笆，现一面利用墙（墙的最大可用长度为）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽为，面积为． （1）求与的函数关系式及值的取值范围； （2）当长是多少米时，围成的花圃面积最大？最大面积是多少？ 20. 如图，直线与双曲线相交于，B两点，与x轴相交于点． （1）分别求一次函数与反比例函数的解析式； （2）连接，求的面积； （3）直接写出当时，关于x的不等式的解集． 六、（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 21. 已知关于x二次函数． （1）若该函数图象经过． ①求a的值； ②设抛物线与x轴正半轴交于点B，交y轴于点C，点P是直线上动点，求的最小值． （2）在时，该函数的最大值与最小值之差为12，求a的值． 22. 某公司销售一种商品，成本为每件30元，经过市场调查发现，该商品的日销售量y（件）与销售单价x（元）是一次函数关系，其销售单价、日销售量的三组对应数值如下表： 销售单价x（元） 40 60 80 日销售量y（件） 80 60 40 （1）直接写出y与x的关系式_________________； （2）求公司销售该商品获得的最大日利润； （3）销售一段时间以后，由于某种原因，该商品每件成本增加了10元，若物价部门规定该商品销售单价不能超过a元，在日销售量y（件）与销售单价x（元）保持（1）中函数关系不变情况下，该商品的日销售最大利润是1500元，求a的值． 七、（本大题14分） 23. 如图1，抛物线与轴，轴分别交于点，点，三点． （1）求抛物线的解析式； （2）点在抛物线上，连接，．在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点，满足？如果存在，请求出点点的坐标；如果不存在，请说明理由； （3）点在抛物线的对称轴上，点在抛物线上，当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024~2025学年度秋学期九年级阶段性检测一 数学试题卷 （分值：150 时间：120分钟） 一、单选题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列各式中表示二次函数（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，一般地，形如（、、是常数，）的函数，叫做二次函数，熟练掌握二次函数的定义是解此题的关键． 【详解】解：A、，未知数的最高次数是1，不是二次函数，故不符合题意； B、，分母中含有字母，不二次函数，故不符合题意； C、，是二次函数，故符合题意； D、，未知数的最高次数是1，不是二次函数，故不符合题意； 故选：C． 2. 若反比例函数的图象在一、三象限，则的值可以是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据反比例函数性质：反比例函数的图象位于第一、三象限，则可知系数，解得的取值范围即可． 【详解】解：反比例函数的图象在一、三象限， ， 解得：． 结合选项可知，只有1符合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查反比例函数的性质，当时，双曲线的两个分支在一，三象限，在每一分支上随的增大而减小；当时，双曲线的两个分支在二，四象限，在每一分支上随的增大而增大． 3. 二次函数的图象向下平移3个单位，再向左平移2个单位，所得到的函数关系式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，根据“左加右减，上加下减”的规律进行解答即可． 【详解】二次函数的图象向下平移3个单位，再向左平移2个单位，所得到的函数关系式是，即， 故选：A． 4. 已知点，，都在反比例函数的图像上，且，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先画出反比例函数，利用函数图像的性质得到当时，，，的大小关系． 详解】解： 反比例函数， 反比例函数图像在第二、四象限， 观察图像：当时， 则． 故选A． 【点睛】本题考查的是反比例函数的图像与性质，掌握反比例函数的图像与性质是解题的关键． 5. 已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数的大致图像正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的图象、反比例函数的图象、二次函数的图象等知识点，根据函数图象确定相关参数的正负成为解题的关键．根据一次函数与反比例函数图象确定a、b、c的正负，再结合二次函数图象的对称轴即可解答． 【详解】解：∵抛物线开口向上，对称轴位于y轴右侧，与y轴交于负半轴， ∴，， ∴，， ∴一次函数的图象经过第二、三、四象限， 反比例函数的图象经过第二、四象限． 故选：D． 6. 若与都是反比例函数（）图象上的点，则的值是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，函数图象点的坐标特征，先利用点的坐标求出反比例函数解析式，再把点坐标代入计算即可求解，掌握待定系数法求反比例函数解析式是解题的关键． 【详解】解：∵点在反比例函数图象上， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式为， 又∵点也在反比例函数图象上， ∴， 故选：． 7. 根据下列表格中二次函数（，a，b，c为常数）的自变量与函数值的对应值，判断方程的一个解的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据当时，，当时，，即可得到答案． 【详解】解：∵当时，，当时，， ∴方程的一个根的取值范围是， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次函数与一元二次方程，正确理解题意是解题的关键． 8. 新定义：，，为二次函数，，，为实数）的“图像数”，如：的“图像数”为，，，若“图像数”是，，的二次函数的图像与轴只有一个交点，则的值为（ ） A. B. C. 或2 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据新定义得到二次函数的解析式为，然后根据判别式的意义得到，从而解的方程即可． 【详解】解：由“图像数”的定义可知：该二次函数的解析式为， 根据题意得， 解得，， 故选：C． 【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程． 9. 直线和抛物线（a，b是常数，且）在同一平面直角坐标系中，直线经过点．下列结论： ①抛物线的对称轴是直线 ②抛物线与x轴一定有两个交点 ③关于x的方程有两个根， ④若，当或时， 其中正确的结论是（ ） A. ①②③④ B. ①②③ C. ②③ D. ①④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数、一次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．根据一次函数的性质求出，由此即可判断结论①正确；根据利用二次函数的性质求解即可判断结论②正确；将代入方程，利用因式分解法解方程即可判断结论③正确；根据当时，直线位于抛物线的上方即可判断结论④错误． 【详解】解：将点代入直线得：，即， 则抛物线的对称轴是直线，结论①正确； ∵，且， ∴， ∴抛物线与轴一定有两个交点，结论②正确； ∵， ∴可变形为，即， 又∵， ∴， 解得，， ∴关于的方程有两个根，，结论③正确； 当时，抛物线的开口向上， ∴当时，直线位于抛物线的上方，即，结论④错误； 综上，正确的结论是①②③， 故选：B． 10. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，．直线由原点开始向上平移，所得的直线与矩形两边分别交于、两点，设面积为S，那么能表示S与函数关系的图象大致是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可表示出各阶段的函数解析式，从而可以得到各阶段的函数图象，进而得到哪个是正确的． 【详解】解：∵当点从移至点A时． ，． ∴（）， 当时． 此时点到的距离不变． ∴． 当点时． ． 故选：B． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11. 已知二次函数的图象开口向下，则m的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的定义可得及开口向下时即可解答． 【详解】解：根据题意得： 解得：， 故答案为． 【点睛】本题考查的是二次函数的定义及性质，易错点是只考虑其次数是2，没有考虑开口向下时的性质． 12. 已知二次函数的图象与x轴的两个交点分别是和且抛物线还经过点和，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是由函数图象与轴的交点坐标得出其对称轴．先根据和求出二次函数的对称轴，然后根据两点与对称轴的距离结合开口方向进行解答即可． 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴的两个交点分别是和 ∴对称轴为 ∵抛物线还经过点和， ∴， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴抛物线的距离离轴越远，函数值越小， ∴， 故答案为：． 13. 如图，点是反比例函数图象上一点，轴于点，与反比例函数的图象交于点，，连接，，若的面积为，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由的面积为，可求出的面积为2，进而求出的面积为6，再根据反比例函数系数的几何意义可求出，，进而得出答案． 【详解】解：，， ， ， ， ， 又，，，， ，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数系数的几何意义，掌握反比例函数系数的几何意义是正确解答的关键． 14. 已知二次函数（为常数，）是该函数图象上一点． （1）当时，抛物线的对称轴是______． （2）当时，，则的取值范围是______． 【答案】 ①. ## ②. 或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质； （1）把代入解析式，利用公式计算即可； （2）根据抛物线解析式得出对称轴为直线，分，两种情况讨论，根据当时，，得出的范围即可求解． 【详解】解：（1）当时，二次函数为， ， 故答案为：； （2）二次函数对称轴为直线， 当时，， 抛物线与轴的交点为， 当时，， 当时，， 解得：， ， 当时，抛物线开口向下， 当时，抛物线随的增大而减小，， 当时，，则恒成立， 综上所述，或， 故答案为：或． 三、（本大题共2小题，每小题8分，共16分） 15. 已知二次函数的图象经过点，． （1）求该二次函数的表达式； （2）求该二次函数的与轴的交点． 【答案】（1）二次函数的表达式为； （2）二次函数与轴的交点为． 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数的性质，正确求出函数解析式是解题关键． （1）将点，代入函数解析式，利用待定系数法即可求出二次函数的表达式． （2）令，求出对应的y的值，即可求出二次函数与轴的交点坐标． 【小问1详解】 解：将和代入函数解析式得， ， 解得． 所以二次函数的表达式为． 【小问2详解】 因为， 时，， 二次函数的与轴的交点为． 16. 如图，反比例函数的图象的一支在平面直角坐标系中的位置如图所示． （1）求的取值范围； （2）若此反比例函数的图象经过点，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据反比例函数的图象和性质，可以得出答案； （2）把点代入函数关系式，求出m的值即可． 【小问1详解】 解：因为反比例函数的图象的一个分支在第二象限，由反比例函数的性质可知， ， 得； 【小问2详解】 解：把代入得到： ， 解得：． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握相关知识是解题关键． 四、（本大题共2小题，每小题8分，共16分） 17. 已知抛物线． （1）求证：此抛物线与轴必有两个不同的交点； （2）若此抛物线与直线的一个交点在轴上，求的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）m的值为-3或1. 【解析】 【分析】（1）先求得△的值，然后证明△即可； （2）依据此抛物线与直线的一个交点在轴上可得到，然后解关于的方程即可． 【详解】解：（1）令得：① △ 方程①有两个不等的实数根， 原抛物线与轴有两个不同的交点； （2）令：，根据题意有：， 整理得： 解得或． 【点睛】本题主要考查的是抛物线与轴的交点，依据此抛物线与直线的一个交点在轴上得到关于的方程是解题的关键． 18. 某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x小时之间函数关系如图所示． （1）根据图象分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段y与x之间的函数关系式； （2）问血液中药物浓度不低于2微克/毫升的持续时间多少小时？ 【答案】（1）血液中药物浓度上升阶段的函数关系式为，下降阶段的函数关系式为． （2）15小时 【解析】 【分析】（1）设出解析式，利用待定系数法求解析式，并写出自变量的取值范围即可； （2）根据题意得出在两个函数中的自变量的值，即可找出取值范围． 【小问1详解】 解：当时，设直线解析式为：， 将代入得：，解得：， 故直线解析式为：； 当时，设反比例函数解析式为： ， 将代入得： ，解得：a=32， 故反比例函数解析式为： ； 所以血液中药物浓度上升阶段的函数关系式为， 下降阶段的函数关系式为． 【小问2详解】 解：如图：由题意：，解得：；，， ∴ ∴血液中药物浓度不低于2微克/毫升的持续时间为15小时． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的应用、一次函数的应用等知识点，根据题意得出函数解析式是解题关键． 五、（本大题共2小题，每小题10分，共20分） 19. 如图，一段长为篱笆，现一面利用墙（墙的最大可用长度为）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽为，面积为． （1）求与的函数关系式及值的取值范围； （2）当的长是多少米时，围成的花圃面积最大？最大面积是多少？ 【答案】（1） （2）时，围成的花圃面积最大，最大面积为 【解析】 【分析】（1）根据题意，花圃的宽为，则花圃的长为，结合矩形面积公式即可获得与的函数关系式；根据题意，墙的最大可用长度为，可得墙的最大可用长度为，即可求得值的取值范围； （2）由函数解析式，可知该函数图像开口向下，对称轴为，当时，随的增大而减小，然后结合值的取值范围，即可获得答案． 【小问1详解】 解：根据题意，花圃的宽为，则花圃的长为， 可得， ∵， ∴， ∴与的函数关系式为； 【小问2详解】 ∵， 可知该函数图像开口向下，对称轴为， ∴当时，随的增大而减小， 又∵， ∴当时，即时，围成的花圃面积最大， 最大面积为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题关键． 20. 如图，直线与双曲线相交于，B两点，与x轴相交于点． （1）分别求一次函数与反比例函数的解析式； （2）连接，求的面积； （3）直接写出当时，关于x的不等式的解集． 【答案】（1）一次函数的解析式为，反比例的解析式为 （2）4 （3）或 【解析】 【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，主要考查了待定系数法求一次函数和反比例函数解析式、三角形面积等；解题时着重使用一次函数，体现了方程思想，综合性较强． （1）将已知点坐标代入函数表达式，即可求解； （2）两函数解析式联立成方程组，求出点B的坐标，然后根据的面积即可以解决问题； （3）根据图象即可解决问题． 【小问1详解】 解：将，代入，得： ， 解得：， ∴一次函数解析式为， 将代入，得， ∴反比例的解析式为； 【小问2详解】 解：对于， 当时， ∴点D的坐标为， 由，解得或， ∴点B的坐标为， ∴的面积； 【小问3详解】 解：观察图象，当时，关于x的不等式的解集是或． 六、（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 21. 已知关于x的二次函数． （1）若该函数图象经过． ①求a的值； ②设抛物线与x轴正半轴交于点B，交y轴于点C，点P是直线上的动点，求的最小值． （2）在时，该函数的最大值与最小值之差为12，求a的值． 【答案】（1）①；② （2） 【解析】 【分析】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、待定系数法求函数表达式、点的对称性等，其中（2），要注意分类求解，避免遗漏． （1）①将点代入抛物线表达式即可求解； ②点B关于函数对称轴的对称点为点A，连接交于点P，则点P为所求点，进而求解； （2）当时，抛物线开口向上，则抛物线在顶点处取得最小值，在时取得最大值，当时，当时，，则，即可求解，当时，同理可解． 【小问1详解】 ①将点代入抛物线表达式得：，解得； ②由①知，抛物线的表达式为，对称轴为， 设抛物线与x轴的另外一个交点为A， 令，解得， 故点A、B的坐标分别为， 令，解得，， 由抛物线的表达式知，函数的对称轴为直线，即点P在函数的对称轴上， ∵点B关于函数对称轴的对称点为点A，连接交于点P，则点P为所求点， 即为最小， 故的最小值； 【小问2详解】 抛物线的对称轴为直线， 则比距离对称轴更远， 当时，抛物线开口向上，则抛物线在时取得最小值，在时取得最大值， 当时，最小值为， 当时，最大值为， ∵该函数的最大值与最小值之差为12， ∴，解得 当时，抛物线开口向下，则抛物线在顶点处取得最大值，在时取得最小值， ∵该函数的最大值与最小值之差为12， ∴，解得； 故． 22. 某公司销售一种商品，成本为每件30元，经过市场调查发现，该商品的日销售量y（件）与销售单价x（元）是一次函数关系，其销售单价、日销售量的三组对应数值如下表： 销售单价x（元） 40 60 80 日销售量y（件） 80 60 40 （1）直接写出y与x的关系式_________________； （2）求公司销售该商品获得的最大日利润； （3）销售一段时间以后，由于某种原因，该商品每件成本增加了10元，若物价部门规定该商品销售单价不能超过a元，在日销售量y（件）与销售单价x（元）保持（1）中函数关系不变的情况下，该商品的日销售最大利润是1500元，求a的值． 【答案】（1）；（2）当销售单价是75元时，最大日利润是2025元；（3）70 【解析】 【分析】（1）根据题中所给的表格中的数据，可以直接写出其关系式； （2）根据利润等于每件的利润乘以件数，再利用配方法求得其最值； （3）根据题意，列出关系式，再分类讨论求最值，比较得到结果. 【详解】（1）设解析式为， 将和代入，可得，解得， 所以y与x的关系式为， 所以答案为； （2） ， ∴抛物线开口向下，函数有最大值 ∴当时， 答：当销售单价是75元时，最大日利润是2025元． （3） 当时， 解得 ，∴有两种情况 ①时，在对称轴左侧，w随x的增大而增大， ∴当时， ②时，在范围内， ∴这种情况不成立，． 【点睛】该题考查的是有关函数的问题，涉及到的知识点有一次函数解析式的求解，二次函数应用题，在解题的过程中，注意正确找出等量关系是解题的关键，属于简单题目. 七、（本大题14分） 23. 如图1，抛物线与轴，轴分别交于点，点，三点． （1）求抛物线的解析式； （2）点在抛物线上，连接，．在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点，满足？如果存在，请求出点点的坐标；如果不存在，请说明理由； （3）点在抛物线的对称轴上，点在抛物线上，当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点的坐标． 【答案】（1）；（2）存在，点的坐标为；（3）点的坐标为或或 【解析】 【分析】（1）把已知点A、C的坐标代入抛物线y=ax2+2x+c中即可求解； （2）将二次函数与方程、几何知识综合起来，先根据∠PBC=∠DBC证明三角形全等，再求出直线BP解析式即可求出P点坐标； （3）根据平行四边形的判定，分三种情况讨论，即可写出点M的坐标． 【详解】解：（1）将A(−1，0)， C(0，3)代入中，得： ， 解得， ∴抛物线的解析式为：； （2）存在．理由如下： 将点D(m，3)代入得， 解得，m=0舍去， ∴D(2，3)， 令，则， 解得：． ∴B(3，0)， ∴， ∵，， ∴， 当时，与相交于点， 又∵， ∴， ∴， ∴G(0，1)． 设直线解析式为， 把G(0，1)，B(3，0)代入，得，， ∴直线的解析式为． 联立方程组， 解得，或（舍去）， 所以点的坐标为； （3）抛物线的对称轴为， 设点N（1，n），M（d，）， 当BC、MN为平行四边形对角线时， 由BC、MN互相平分， ∴， 解得：， ∴M（2，3）； 当BM、NC为平行四边形对角线时， 由BM、NC互相平分， ∴， 解得：， ∴M（-2，-5）； 当MC、BN为平行四边形对角线时， 由MC、BN互相平分， ∴， 解得：， ∴M（4，-5）； 综上所述，点M的坐标为：（2，3）或（-2，-5）或（4，-5）． 【点睛】本题考查了二次函数与方程、几何知识的综合，将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$