20.4 课题学习 最短路径问题（教学课件）数学人教版五四制八年级上册

八年级上册数学 第二十章 轴对称 20.4 课题学习 最短路径问题 相传古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦.有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题： 从图1中的A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地.到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？ 精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题.这个问题后来被称为“将军饮马问题”. B A 情景引入 思 考 这是个实际问题，你能用自己理解的语言描述一下吗？ 如图所示：将A，B 两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线. ∙ ∙ B l 那你能用数学语言说明这个问题所表达的意思吗？ A 如图： 点A，B分别在直线l的同侧，点C是直线l上的一个动点，当点C在什么位置的时候，AC+BC的值最小？ 如果点A，B在直线l的两侧，这时该如何求解？ ∙ ∙ A B l ∙ ∙ A B l 解析：连接A，B两点，交直线l于点C，则点C 即为所求的位置，可以使得AC+BC的值最小. 依据：两点之间，线段最短. 如图： 点A，B分别在直线l的两侧，点C是直线l上的一个动点，当点C在什么位置的时候，AC+BC的值最小？ 你能利用两点分别在直线两侧的解题思路，来解决两点在直线同一侧的问题吗？ 分析：如果我们能够把点B转移到直线l的另外一侧B′，同时使得对直线上任意一点C，满足BC=B′C，就可以将问题转化为“两点分别在直线两侧的情况”.那么在直线l上使得满足BC=B′C的点应该怎么找呢？ ∙ ∙ A B l 如图，作出点B关于直线l的对称点B′，利用轴对称的性质可知：对于直线l上的任意一点C均满足BC=B′C.此时，问题转化为：当点C在直线l的什么位置时，AB+B′C的值最小？ ∙ B′ 容易得出：连接AB′交直线l于点C，则点C即为所求. ∙ ∙ A B l C 你能证明这个结论吗 ∙ 证明：在直线l上任意取一点C′（不与点C重合），连接AC′，BC′，B′C′. 由轴对称的性质可得：BC=B′C，BC′=B′C′， 则AC+BC=AC+B′C=AB′，AC′+BC′=AC′+B′C′. 在△AB′C′中，AB′<AC′+B′C′， 所以AC+BC<AC′+B′C′. 由点C′的任意性可知，AC+BC的值是 最小的，故点C的位置符合要求. l ∙ ∙ A B ∙ B′ C C′ 1、直线异侧的两点到直线上一点距离和最短的问题. 如图，点A，B分别是直线l异侧的两个点，在直线l上找一点C使得AC+BC的值最小，此时点C就是线段AB与直线l的交点. ∙ ∙ B l A C 两种最短距离问题 2、直线同侧的两点到直线上一点距离和最短的问题. 如图，点A，B分别是直线l同侧的两个点，在直线l上找一点C使得AC+BC的值最小，这时先作点B关于直线l的对称点的B′，连接AB′交直线l于点C（也可以作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交直线l于点C），此时点C就是所求作的点. ∙ ∙ A B l C B′ 练一练 如图，A，B两个小镇在河的同侧，现要在笔直的河边a上修建一个自来水厂分别向两个镇供水，如何选择自来水厂的位置，可使用的水管最短？ 解：如图，作点B关于河边a的对称点B′，连接AB′交河边a于点P，则点P所在的位置为所求的自来水厂的位置. ∙ ∙ A B a ∙ ∙ B′ P 练一练 如图，点A，B是直线l同侧不重合的两点，在直线l上求作一点C，使得AC+BC的长度最短.作法：①作点B关于直线l的对称点B′；②连接AB′，与直线l相交于点C，则点C为所求作的点.在解决这个问题时没有用到的知识或方法是（ ） A.转化思想 B.三角形两边之和大于第三边 C.两点之间，线段最短 D.三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角 ∙ ∙ A B l C B′ 如图，点A，B是直线l同侧不重合的两点，在直线l上求作一点C，使得AC+BC的长度最短.作法：①作点B关于直线l的对称点B′；②连接AB′，与直线l相交于点C，则点C为所求作的点.在解决这个问题时没有用到的知识或方法是（ ） D 分析：上述题目中应用了轴对称把最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”来解决，该过程用到了“转化思想”，“两点之间，线段最短”，验证是否为最短距离时利用了三角形两边之和大于第三边. ∙ ∙ A B l C B′ 作法：过点P分别作关于直线l1，l2的对称点P1，P2，连接P1P2分别交直线l1，l2于点M，N，则点M，N即为所求. ∙ P l2 l1 P1 P2 N M 如图，在直线l1和直线l2上分别找到点M，N，使得△PMN的周长最小. 两点一线型问题 解析：通过轴对称的原理，把周长最小值转化为两点间距离最短的问题.△PMN周长的最小值为PM+MN+PN=P1P2. ∙ P l2 l1 P1 P2 N M 如图，在直线l1和直线l2上分别找到点M，N，使得△PMN的周长最小. 如图，在直线l1和直线l2上分别找到点M，N，使得四边形PQMN的周长最小. ∙ P l2 l1 Q ∙ 两点两线型问题 作法：分别作点P，Q关于直线l1，l2的对称点P1，Q1，连接P1Q1分别交直线l1，l2于点M，N，则点M，N即为所求. ∙ P l2 l1 Q ∙ P1 Q1 N M 如图，在直线l1和直线l2上分别找到点M，N，使得四边形PQMN的周长最小. 解析：通过轴对称把周长最小问题转化为两点间距离最短问题，四边形PMNQ的周长的最小值为PM+MN+NQ+QP=P1Q1+PQ，依据的是两点之间，线段最短. 如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）？ B A A B N M 造桥选址问题 B A ● ● ? N M N M N M 如图假定任选位置造桥MN，连接AM和BN，从A到B的路径是AM+MN+BN，那么怎样确定什么情况下最短呢？ 我们能否在不改变AM+MN+BN的前提下把桥转化到一侧呢？什么图形变换能帮助我们呢？ B A Ｍ Ｎ B A A1 M N 如图，平移A到A1，使AA1等于河宽，连接A1B交河岸于N作桥MN，此时路径AM+MN+BN最短. 理由:另任作桥M1N１，连接AM１，BN１，A１N１. Ｎ１ Ｍ１ 由平移性质可知，AM＝A１N，AA１＝MN＝M１N１，AM１＝A１N１. AM+MN+BN转化为AA１＋A１B，而AM１＋M１N１＋BN１转化为AA１＋A１N１＋BN１. 在△A１N１B中，因为A1N1+BN1＞A1B. 因此AM１＋M１N１＋BN１＞ AM+MN+BN. A· B M N E C D 证明：由平移的性质，得 BN∥EM 且BN=EM, MN=CD, BD∥CE, BD=CE,所以A到B的路径长为AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN, 若桥的位置建在CD处，连接AC,CD,DB,CE,则A到B的路径长为AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN, 在△ACE中，∵AC+CE＞AE, ∴AC+CE+MN＞AE+MN, 即AC+CD+DB ＞AM+MN+BN， 所以桥的位置建在MN处，A到B的路径最短. B 题型分析 D C 1．龟兔赛跑新规则：参赛者从点A出发到达直线a上任意一点C后，再回到直线a同侧的终点B，最先到达终点者胜，图D－25－1中的四个图是为它们设计的路线，其中路程最短的是(　　) 图D－25－1 课堂练习 2.如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为（　　） A．7.5 B．5 C．4 D．不能确定 解析：△ABC为等边三角形，点D是BC边的中点，即点B与点C关于直线AD对称.∵点F在AD上，故BF=CF.即BF+EF的最小值可转化为求CF+EF的最小值，故连接CE即可，线段CE的长即为BF+EF的最小值. B 3.如图，荆州古城河在CC′处直角转弯，河宽相同，从A处到B处，须经两座桥：DD ′,EE ′（桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，怎样架桥可使ADD ′E ′EB的路程最短？ A D D ′ C C′ E E′ B 解：作AF⊥CD,且AF=河宽，作BG ⊥CE，且BG=河宽，连接GF,与河岸相交于E ′,D′.作DD′,EE′即为桥. 理由：由作图法可知，AF//DD′，AF=DD′， 则四边形AFD′D为平行四边形， 于是AD=FD′, 同理，BE=GE′， 由两点之间线段最短可知， GF最小. A D ′ C C′ E E′ B F G D 原理 线段公理和垂线段最短 将军饮马问题 解题方法 造桥选址问题 关键是将固定线段“桥”平移 最短路径问题 轴对称知识+线段公理 解题方法 课堂小结 $$