20.3.1 等腰三角形（教学课件）数学人教版五四制八年级上册

八年级上册数学 第二十章 轴对称 20.3.1 等腰三角形 图中有些你熟悉的图形吗?它们有什么共同特点? 斜拉桥梁 埃及金字塔 体育观看台架 情景引入 　 如图，把一张长方形的纸按图中虚线对折，并沿虚线剪去，再把剪下的部分展开,得到的△ABC有什么特点? 剪一剪 A C B 一、等腰三角形的相关概念 3 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形. 等腰三角形中，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角. A C B 腰 腰 底边 顶角 底角 底角 剪一剪：把一张长方形的纸按图中的红线对折，并剪去阴影部分（一个直角三角形），再把得到的直角三角形展开，得到的三角形ABC有什么特点？ 二、等腰三角形的性质 A B C AB=AC 等腰三角形 折一折：△ABC 是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？ A C D B 折一折：△ABC 是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？ A C D B 折痕所在的直线是它的对称轴. 等腰三角形是轴对称图形. 找一找：把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折，找出其中重合的线段和角. 重合的线段 重合的角 　 A C B D 猜一猜： 由这些重合的角，你能发现等腰三角形的性质吗？说一说你的猜想. 找一找：把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折，找出其中重合的线段和角. 重合的线段 重合的角 　 A C B D AB与AC BD与CD AD与AD ∠B 与∠C. ∠BAD 与∠CAD ∠ADB 与∠ADC 猜一猜： 由这些重合的角，你能发现等腰三角形的性质吗？说一说你的猜想. A B C 已知：△ABC中，AB=AC, 求证：∠B=C. 思考：如何构造两个全等的三角形？ 猜想:等腰三角形的两个底角相等 如何证明两个角相等呢？ 可以运用全等三角形的性质“对应角相等”来证 已知： 如图，在△ABC中，AB=AC. 求证： ∠B= ∠C. A B C D 证明： 作底边的中线AD， 则BD=CD. AB=AC ( 已知 )， BD=CD ( 已作 )， AD=AD (公共边)， ∴ △BAD≌ △CAD (SSS). ∴ ∠B= ∠C (全等三角形的对应角相等). 在△BAD和△CAD中 方法一：作底边上的中线 还有其他的证法吗？ 已知： 如图，在△ABC中，AB=AC. 求证： ∠B= ∠C. A B C D 证明： 作顶角的平分线AD， 则∠BAD=∠CAD. AB=AC ( 已知 ), ∠BAD=∠CAD ( 已作 ), AD=AD (公共边), ∴ △BAD ≌ △CAD (SAS). ∴ ∠B= ∠C (全等三角形的对应角相等). 方法二：作顶角的平分线 在△BAD和△CAD中 已知： 如图，在△ABC中，AB=AC. 求证： ∠B= ∠C. A B C D 证明： 作底边的高AD，则∠ADB=∠ADC=90°. AB=AC ( 已知 )， AD=AD (公共边)， ∴ △BAD≌ △CAD (HL). ∴ ∠B= ∠C (全等三角形的对应角相等). 在△BAD和△CAD中， 方法三：作底边上的高 想一想：由△BAD≌ △CAD，除了可以得到∠B= ∠C之外，你还可以得到那些相等的线段和相等的角？和你的同伴交流一下，看看你有什么新的发现？ A B C D 想一想：由△BAD≌ △CAD，除了可以得到∠B= ∠C之外，你还可以得到那些相等的线段和相等的角？和你的同伴交流一下，看看你有什么新的发现？ 解：∵△BAD≌ △CAD，由全等三角形的性质易得BD=CD,∠ADB=∠ADC，∠BAD=∠CAD. 又∵ ∠ADB+∠ADC=180°， ∴ ∠ADB=∠ADC= 90° ， 即AD是等腰△ABC底边BC上的中线、顶角∠BAC的角平分线、底边BC上的高线 . A B C D 性质1:等腰三角形的两个底角相等(等边对等角). A C B 如图,在△ABC中, ∵AB=AC(已知), ∴∠B=∠C(等边对等角). 证明后的结论,以后可以直接运用. 性质2:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合(三线合一）. A C B D 1 2 ∵AB=AC, ∠1=∠2(已知)， ∴BD=CD,AD⊥BC（等腰三角形三线合一）. ∵AB=AC, BD=CD (已知)， ∴∠1=∠2,AD⊥BC（等腰三角形三线合一）. ∵AB=AC, AD⊥BC(已知)， ∴BD=CD, ∠1=∠2（等腰三角形三线合一）. 综上可得：如图,在△ABC中, 例1 (1)若等腰三角形的一个底角为72°,则这个等腰三角形的顶角为_________.  (2)在△ABC中,AB=AC,∠A=40°,则∠B=_______°. 36° 70 变式1如图,已知∠AOB=10°，且OC=CD=DE=EF=FG=GH，则∠BGH= (　 ) A.50°　　 B.60° C.70°　　 D.80° B 例2 如图,△ABC中，AB=AC，垂足为点D，若∠BAC=70°，则∠BAD= . 35° 画出任意一个等腰三角形的底角平分线、这个底角所对的腰上的中线和高，看看它们是否重合？ 三线合一 做一做： 为什么会不一样？ 等腰三角形的重要线段的性质 想一想： 上节课我们证明了等腰三角形的“三线合一”，即顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线. 试猜想等腰三角形的两底角的角平分线、两腰上的高、两腰上的中线有什么关系呢？ 作图观察,我们可以猜想： 等腰三角形两底角的平分线相等； 等腰三角形两腰上的中线相等； 等腰三角形两腰上的高相等． A C B D E A C B M N A C B P Q 你能证明你的猜想吗？ A C B E 已知: 求证: BD=CE. 如图, 在△ABC中, AB=AC, BD和CE是△ABC的角平分线． 1 2 D 猜想证明： 等腰三角形两底角的平分线相等． ∠2= ∠ACB(已知), ∵AB=AC(已知),∴∠ABC=∠ACB(等边对等角). 证明： 又∵∠1= ∠ABC， ∴∠1=∠2(等式性质)． 在△BDC与△CEB中， ∠DCB=∠ EBC（已知）， BC=CB（公共边）， 　∠1=∠2（已证）， ∴ △BDC≌△CEB（ASA）． ∴ BD=CE(全等三角形的对应边相等)． A C B E 1 2 D 思考：如图，在等腰三角形ABC中， （1）如果∠ABD= ∠ABC，∠ACE= ∠ACB，那么BD=CE吗？ （2）如果∠ABD= ∠ABC，∠ACE= ∠ACB，那么BD=CE吗？ 由此你得到什么结论? 在△ABC中，如果AB=AC，∠ABD= ∠ABC，∠ACE= ∠ACB，那么BD=CE. 简述为：过底边的端点且与底边夹角相等的两线段相等. 结论 A C B E D 已知: 求证: BM=CN. 如图, 在△ABC中, AB=AC,BM,CN是△ABC两腰上的中线． 猜想证明： 等腰三角形两腰上的中线相等． A C B M N 又∵CM= ，BN=　 ， 证明： ∵AB=AC(已知)，∴∠ABC=∠ACB. ∴CM=BN． 在△BMC与△CNB中， ∵ BC=CB,∠MCB=∠NBC, CM=BN， ∴△BMC≌△CNB（SAS）． ∴BM=CN. A C B M N 已知: 求证: BP=CQ. 如图, 在△ABC中, AB=AC,BP,CQ是△ABC两腰上的高． 猜想证明： 等腰三角形两腰上的高相等． A C B P Q 证明： ∵AB=AC(已知)，∴∠ABC=∠ACB. 在△BMC与△CNB中， ∵ BC=CB,∠QBC=∠PCB, ∠BQC=∠CPB， ∴△BQC≌△CPB（AAS）． ∴BP=CQ. 思考：如图，在等腰三角形ABC中， （1）如果AD= AC，AE= AB，那么BD=CE吗？ （2）如果AD= AC，AE= AB，那么BE=CE吗？ 由此你得到什么结论? 在△ABC中，如果AB=AC，AD= AC， AE= AB，那么BD=CE. 简述为：两腰上距顶点等距的两点与底边顶点的连线段相等. 结论 A C B E D 例3 如图,在△ABC中,AB=AC,CD⊥AB于点D,BE⊥AC于点E,求证:DE∥BC. 证明：∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB. 又∵CD⊥AB于点D,BE⊥AC于点E, ∴∠AEB=∠ADC=90°, ∴∠ABE=∠ACD, ∴∠ABC-∠ABE=∠ACB-∠ACD, 即∠EBC=∠DCB. 在△BEC与△CDB中, ∴△BEC≌△CDB,∴BD=CE, ∴AB-BD=AC-CE,即AD=AE, ∴∠ADE=∠AED. 又∵∠A是△ADE和△ABC的顶角, ∴∠ADE=∠ABC, ∴DE∥BC. 变式3-1如图,已知AD,BE分别是△ABC的中线和高,且AB=AC, ∠EBC=20°,则∠BAD的度数为 (　 　) A.18° B.20°　 C.22.5° D.25° B 变式3-2下列说法: (1)等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合; (2)等腰三角形的两腰上的中线长相等; (3)等腰三角形的腰一定大于其腰上的高; (4)等腰三角形的一边长为8,一边长为16,那么它的周长是32或40. 其中不正确的个数是(　 　) A.1 B.2 C.3 D.4 C 1.等腰三角形的顶角一定是锐角. 2.等腰三角形的底角可能是锐角或者直角、钝角都可以. 3.钝角三角形不可能是等腰三角形. 4.等腰三角形的顶角平分线一定垂直底边. 5.等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合. 6.等腰三角形底边上的中线一定平分顶角. （ × ） （ × ） （ × ） （ × ） （ √ ） （ √ ） 练一练 7.一个等腰三角形的顶角是50°，则它的底角是(　 　) A A.65° B.70° C.75° D.100° 8.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，CD∥AB，则∠BCD=(　 　) D A.40° B.50° C.60° D.70° 2.如图，AB=AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，若∠C=65°，则∠DBC的度数是 (　 ) A.25°　 　 B.20° C.30°　　 D.15° D 如图，在△ABC中, ∠B=∠C,那么它们所对的边AB和AC有什么数量关系? C A B 请同学用直尺和量角器，画一个△ABC，其中∠B=∠C=30°，请你量一量AB与AC的长度，它们之间有什么数量关系，你能得出什么结论？ AB=AC 你能验证你的结论吗？ 小活动 三、等腰三角形的判定 在△ABD与△ACD， ∠1=∠2， ∴ △ABD ≌ △ACD（AAS）. ∠B=∠C， AD=AD， ∴AB=AC. 过A作AD平分∠BAC交BC于点D. 证明： C A B 2 1 D （ （ △ABC是等腰三角形. ∴ AC=AB. ( ) 即△ABC为等腰三角形. ∵∠B=∠C， ( ) 等腰三角形的判定方法： 如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”，这又是一个判定两条线段相等的根据之一）. 已知 等角对等边 在△ABC中， B C A ( ( 归纳总结 应用格式： A B C D 2 1 ∵∠1=∠2 , ∴ BD=DC （等角对等边）. ∵∠1=∠2, ∴ DC=BC A B C D 2 1 （等角对等边）. 错，因为都不是在同一个三角形中. 【思考】如图,下列推理正确吗? 例1 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形． 已知： 如图，∠CAE是△ABC的外角，∠1=∠2，AD∥BC． 求证：AB=AC． 证明：∵AD∥BC， ∴∠1=∠B（两直线平行，同位角相等）， ∠2=∠C（两直线平行，内错角相等）． 又∵∠1=∠2， ∴∠B=∠C， ∴AB=AC（等角对等边）． A B C E （ （ 1 2 D 利用等腰三角形的判定定理判定三角形的形状 素养考点 1 例2 已知：如图，AD∥BC，BD平分∠ABC. 求证：AB=AD. B A D C 证明：∵ AD∥BC， ∴∠ADB=∠DBC. ∵ BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠DBC， ∴∠ABD=∠ADB， ∴AB=AD. 总结：平分角+平行=等腰三角形 由平行及角平分线识别等腰三角形 素养考点 2 变式2如图，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD＝3cm，则CD等于_______. 3cm 如图，把一张长方形的纸沿着对角线折叠，重合部分是一个等腰三角形吗？为什么？ B C A D E 答：是. 由折叠可知，∠EBD=∠CBD. ∵AD∥BC， ∴∠EDB=∠EBD， ∴BE=DE，△EBD是等腰三角形. ∴∠EDB=∠CBD， 例3 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AE是∠BAC的平分线，AE与CD交于点F，求证：△CEF是等腰三角形． 证明：∵在△ABC中，∠ACB＝90°， ∴∠B＋∠BAC＝90°. ∵CD是AB边上的高，∴∠ACD＋∠BAC＝90°， ∴∠B＝∠ACD. ∵AE是∠BAC的平分线，∴∠BAE＝∠EAC， ∴∠B＋∠BAE＝∠ACD＋∠EAC，即∠CEF＝∠CFE， ∴CE＝CF，∴△CEF是等腰三角形． 通过计算角相等来证明等腰三角形 素养考点 3 “等角对等边”是判定等腰三角形的重要依据，它的前提条件是“在同一个三角形中”． 变式3如图所示,在△ABC中,AB=AC,点D,E在BC边上,∠ABD= ∠DAE=∠EAC=36°,则图中共有等腰三角形的个数是 (　　)　　 　　　　　 　　　　　 A.4 B.5 C.6 D.7 C 解析: ∵AB=AC，∠ABC=36°， ∴∠BAC=108°,∴∠BAD=∠DAE=∠EAC=36°， ∴等腰三角形有△ABC,△ABD,△ADE,△ACE,△ACD,△ABE,共有6个. 例4 已知等腰三角形底边长为a,底边上的高的长为h，求作等腰△ABC.使底边BC=a，底边上的高为h. a h 作法： 1.作线段AB=a. 2.作线段AB的垂直平分线MN，交AB 于点D. 3.在MN上取一点C，使DC=h. 4.连接AC，BC，则△ABC即为所求. A B C M N D 利用尺规作图作等腰三角形 素养考点 4 变式4如图, 在△ABC中，AC=BC，用尺规作CF⊥AB，交AB于 点G，若∠BCG=50°，则∠A的度数为 (　 ) A.40°　　 B.45° C.50°　　 D.60° A 例5 如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O.过O作EF∥BC交AB于E，交AC于F. 探究EF，BE，FC之间的关系. O A B C E F 解：EF=BE+CF. 理由如下：∵ EF∥BC, ∴∠EOB=∠CBO，∠FOC=∠BCO. ∵ BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB， ∴∠CBO＝∠ABO，∠BCO＝∠ACO， ∴∠EOB＝∠ABO ，∠FOC＝∠ACO， ∴BE＝OE，CF=OF， ∴ EF=EO+FO＝BE+CF. A B C O E F 若AB≠AC，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗？结论还成立吗？ 利用等腰三角形的判定证明线段之间的关系 素养考点 5 判定线段之间的数量关系，一般做法是通过证明线段所在的两个三角形全等或利用同一个三角形中“等角对等边”，运用转化思想，解决问题. ∴MN= O A B C M N 1 2 3 4 5 6 变式5在ΔABC中,OB平分∠ABC， OC平分∠ACB，过O点作MN ∥BC. ΔAMN的周长=AB+AC吗？为什么？ ∴ ΔAMN的周长= AM+MN+AN BM+CN. = AM+BM+CN +AN =AB +AC. 解：∵ OB平分∠ABC，∴∠1=∠2， 又 ∵MN∥BC，∴∠2=∠3，∴∠1=∠3. ∴OM=BM.同理得：ON=CN. ∵ MN= OM+ON, 54 1、等腰三角形的一个内角是50°，则这个三角形的底角的大小是(　　) A．65°或50° B．80°或40° C．65°或80° D．50°或80° 知识点拨：当50°的角是底角时，三角形的底角就是50°；当50°的角是顶角时，两底角相等，根据三角形的内角和定理易得底角是65°.故选A. A 课堂练习 55 2．如图，a∥b，点A在直线a上，点C在直线b上，∠BAC＝90°，AB＝AC，若∠1＝20°，则∠2的度数为( ) A．25° B．65° C．70° D．75° B 3.如图，在△ABC中，AB=AC，过点A作AD∥BC，若∠1=70°，则∠BAC的大小为（　　） A．40° B．30° C．70° D．50° A 56 4、（1）等腰三角形一个底角为75°,它的另外两个角为____ __； (2)等腰三角形一个角为36°,它的另外两个角为__________________； (3)等腰三角形一个角为120°,它的另外两个角为_ ___ __. 75°, 30° 72°,72°或36°,108° 30°，30° 57 5.如图，在△ABC中，AB = AC，D是BC边上的中点，∠B = 30°， 求 ∠BAD 和 ∠ADC的度数. A B C D 解：∵AB=AC，D是BC边上的中点， ∴ ∠C= ∠ B=30°， ∠BAD = ∠ DAC，∠ADC = 90°. ∴∠ BAC =180° - 30°-30° = 120°. ∴ = 60°. 58 7．如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线．若在边AB上截取BE＝BC，连接DE，则图中等腰三角形共有( ) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 D 6．在△ABC中，不能判定是等腰三角形的是( ) A．∠A∶∠B∶∠C＝1∶1∶3 B．a∶b∶c＝2∶2∶3 C．∠B＝50°，∠C＝80° D．2∠A＝∠B＋∠C D 59 8.如图，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD＝3cm，则CD等于_______. 3cm 9．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM＋CN＝9，则线段MN的长为____． 9 60 10.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AE是∠BAC的平分线，AE与CD交于点F，求证：△CEF是等腰三角形． 证明：∵在△ABC中，∠ACB＝90°， ∴∠B＋∠BAC＝90°. ∵CD是AB边上的高，∴∠ACD＋∠BAC＝90°， ∴∠B＝∠ACD. ∵AE是∠BAC的平分线，∴∠BAE＝∠EAC， ∴∠B＋∠BAE＝∠ACD＋∠EAC，即∠CEF＝∠CFE， ∴CE＝CF，∴△CEF是等腰三角形． 61 谢 谢！ $$