第十二章《全等三角形》同步单元基础与培优高分必刷卷-2024-2025学年八年级上册数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（人教版）

第十二章《全等三角形》同步单元基础与培优高分必刷卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________ 一：选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1．下列每组中的两个图形，是全等形的是（    ） A．   B．   C．   D．   2．如图，于P，，添加下列一个条件，能利用“”判定的条件是（   ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，平分，，，则点到的距离为（　　） A． B． C． D．不能确定 4．如图，在△ABC中，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB、AC于点M、N；再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧相交于点P；连接AP并延长交BC于点D．则下列结论正确的是（    ） A．AD是△ABC的高 B．AD是△ABC的中线 C．AD是△ABC的角平分线 D．AD一定经过△ABC的重心 5．如图，在中，，，垂足分别为D，E，、交于点H，已知，，则的长是（ ） A． B．1 C． D．2 6．如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，，则的面积是（    ）    A．15 B．30 C．45 D．60 7．如图， 在中，，的平分线交于点E，于点 D， 若 的周长为12，则 的周长为 4 ，则为 （　　） A．3 B．4 C．6 D．8 8．在中，，，点在边上，，点在线段上，，若的面积为18，则与的面积之和为（　　）    A．6 B．9 C．12 D．16 9．如图，在中，，是高，是角平分线，交于点，过点作，垂足为，下面说法中不一定正确的是（　　） A． B． C． D．的周长等于线段的长 10．如图，已知，为的角平分线上一点，连接、；如图，已知，、为的角平分线上两点，连接、、、；如图，已知，、、为的角平分线上三点，连接、、、、、；…，依次规律，第个图形中全等三角形的对数是（    ） A． B． C． D． 二：填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．三个全等三角形按下图的形式摆放，则的度数等于 ． 12．如图，是锐角的高，相交于点，若，，，则的长为 ． 13．如图，已知的周长是，，分别平分和， 于点，且，则的面积是 ． 14．如图，作的两内角平分线与两外角平分线，其交点分别为点与点，连接，已知，则 ， ． 15．如图，在四边形中，，，分别是上的点，，线段之间的数量关系是 ． 三、解答题（一）（本大题共3小题，第16题10分，第17 18小题各7分，共24分） 16．如图，已知，利用尺规作图法在内求作，使得．（不写作法，保留作图痕迹）    17．如图所示，已知，，求证． 18．如图，已知，，，在同一直线上，，，． 求证：． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19．如图，，点、分别在、上，，、垂足分别为、，且．求证：． 20．如图1，平分，，，垂足分别为点D、E． (1)求证：； (2)在图1的条件下，如图2，点M、N分别在、上，且，，，求的长． 21．如图①，在中，，，是上一点，，延长交于点． (1)求证：． (2)判断和的数量关系和位置关系，并说明理由． (3)如图②，连接，求证：平分． 五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 22．如图1，在平面直角坐标系中，，，直线交坐标轴于和． (1)若和满足，则点的坐标为 ，点的坐标为 ，点坐标为 ． (2)如图2，点，点分别在轴正半轴和轴负半轴上运动，其中a，b满足，点C在第四象限，过点C作轴于点P，试判断是否为定值?若是，请求出该定值，若不是，请说明理由． (3)如图3，若y轴恰好平分，与y轴交于点D，过点C作轴于点E，问与有怎样的数量关系?请说明理由． 23．如图，在中，，，边沿着过点的某条直线对折得到，连接，以为边在左侧作，其中，，与交于点，连接． (1)如图1，连接，当点在外部时，试说明； (2)如图2，连接，当点在的斜边上时，试判断的形状并说明理由； (3)如图3，当点在的内部时，若点为的中点，且，求的长． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十二章《全等三角形》同步单元基础与培优高分必刷卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________ 一：选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1．下列每组中的两个图形，是全等形的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】根据全等三角形的定义逐项判断即可得到答案． 【详解】解：A、两图形能够完全重合，是全等形，符合题意； B、两图形大小不相同，不能重合，不是全等形，不符合题意； C、两图形大小不相同，不能重合，不是全等形，不符合题意； D、两图形大小不相同，形状也不相同，不能重合，不是全等形，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了全等三角形的定义，能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形，熟练掌握此定义是解题的关键． 2．如图，于P，，添加下列一个条件，能利用“”判定的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据利用“”判定，必须添加斜边相等即可得出答案，熟练掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：∵于P，， ∴利用“”判定，必须添加斜边相等，即， 故选：D． 3．如图，在中，，平分，，，则点到的距离为（　　） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质，过点作于，根据比例求出，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得．点到的距离即为长，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键． 【详解】解：过作于点，    ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴点到的距离为 故选：． 4．如图，在△ABC中，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB、AC于点M、N；再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧相交于点P；连接AP并延长交BC于点D．则下列结论正确的是（    ） A．AD是△ABC的高 B．AD是△ABC的中线 C．AD是△ABC的角平分线 D．AD一定经过△ABC的重心 【答案】C 【分析】根据作图痕迹判断即可． 【详解】由作图可知AD平分， 线段AD是的角平分线．又三角形的重心是三角形三条中线的交点， 故选：C． 【点睛】本题考查作图-基本作图，三角形的角平分线，重心等知识，解题的关键是读懂图像信息． 5．如图，在中，，，垂足分别为D，E，、交于点H，已知，，则的长是（ ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】根据，，得，得到，结合，得，设，利用三角形全等证明计算即可． 本题考查了垂直的应用，对顶角的性质，三角形全等的判定和性的应用，熟练掌握全等是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则 ∵， ∴， ∴ 解得． 故选B． 6．如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，，则的面积是（    ）    A．15 B．30 C．45 D．60 【答案】B 【分析】本题考查的是角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 作交于点，根据角平分线的性质得到，再根据三角形的面积公式进行计算即可得到答案． 【详解】解：作交于点，   ， 由基本尺规作图可知，是的平分线， ， ， ， ， ， 故选：B． 7．如图， 在中，，的平分线交于点E，于点 D， 若 的周长为12，则 的周长为 4 ，则为 （　　） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查角平分线的性质、全等三角形的性质与判定，根据角平分线的性质可得，，证得，可得，再根据三角形周长可得，即可求解． 【详解】解：∵平分，，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵ 的周长为 4 ， 的周长为12， ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 8．在中，，，点在边上，，点在线段上，，若的面积为18，则与的面积之和为（　　）    A．6 B．9 C．12 D．16 【答案】A 【分析】证明得到，推出，计算出即可得到答案． 【详解】解：，，，， ，， 在和中， ， ， ， ， 的面积为18，， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形外角的定义及性质、三角形全等的判定与性质、三角形面积计算等知识点，熟练掌握以上知识点，是解此题的关键． 9．如图，在中，，是高，是角平分线，交于点，过点作，垂足为，下面说法中不一定正确的是（　　） A． B． C． D．的周长等于线段的长 【答案】D 【分析】根据“”证明即可判断选项A；根据三角形内角和定义以及等量代换即可判断选项B，证明即可判断选项C；根据全等三角形的性质即可判断选项D． 【详解】解析：是角平分线， ， ，， ， ， ，故选项A正确； 为高， ， ， ，， ， ，， ，故选项B正确； 为高， ， ， ，， ， 是的平分线， ， ，即，故选项C正确； 的周长等于， ∵， ∴，故只有选项D不一定正确， 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，三角形内角和定理等知识点，灵活运用所学知识点解题是本题的关键． 10．如图，已知，为的角平分线上一点，连接、；如图，已知，、为的角平分线上两点，连接、、、；如图，已知，、、为的角平分线上三点，连接、、、、、；…，依次规律，第个图形中全等三角形的对数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定以及规律的归纳，解体的关键是根据条件证出图形中有几对三角形全等，然后找规律．根据图证出有对三角形全等，根据图证出有对三角形全等，根据图证出有对三角形全等，根据数据可分析出第个图形中全等三角形的对数． 【详解】解：是的平分线， ， 在和中， ， ， 图中有对三角形全等； 同理图中， ， 又， ， 又， ， 图中有对三角形全等； 同理图中有对三角形全等； 由此发现：第个图形中有全等三角形的对数是． 故选：D． 二：填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．三个全等三角形按下图的形式摆放，则的度数等于 ． 【答案】/180度 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、三角形内角和定理等知识点，正确掌握全等三角形的对应角相等是解题关键． 直接利用平角的定义结合三角形内角和定理以及全等三角形的性质得出，，进而得出答案． 【详解】如图所示： 由图形可得：， 三个三角形全等， ， 又， ， 的度数是． 故答案为：． 12．如图，是锐角的高，相交于点，若，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质定理，熟练掌握性质定理是解题的关键． 根据题意得出，再根据同角的余角相等得出，根据证明，最后根据全等三角形的性质及线段的差与和即可得出答案． 【详解】解：∵是锐角的高， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为． 13．如图，已知的周长是，，分别平分和， 于点，且，则的面积是 ． 【答案】36 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，判断出三角形的面积与周长的关系是解题的关键．过点分别作、的垂线交、于点、点，连接，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，从而可得到的面积等于周长的一半乘以，然后列式进行计算即可求解． 【详解】解：如图，过点分别作、的垂线交、于点、点，连接， ，分别平分和，，，，， ， ， 的周长， ， 故答案为：． 14．如图，作的两内角平分线与两外角平分线，其交点分别为点与点，连接，已知，则 ， ． 【答案】 /115度 /25度 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，解答的关键是结合图形分析清楚各角之间的关系．过点分别作交于点，交于点，交于点，从而可求得，可判定，则有，由三角形的内角和可得，再由角平分线的定义可得，，则有，从而可求，得，由三角形的内角和得，，从而可求的度数 【详解】解：过点分别作交于点，交于点，交于点，如图， ，分别是，的平分线， ，， ， 在与中， ， ， ， ， ， 平分，平分， ，， ， ， ，， ，． 故答案为：，． 15．如图，在四边形中，，，分别是上的点，，线段之间的数量关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，延长至点，使得，连接，可证得到，，进而由可得，即可证得，得到，即可由得到，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，延长至点，使得，连接， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴ 又∵， ∴． 三、解答题（一）（本大题共3小题，第16题10分，第17 18小题各7分，共24分） 16．如图，已知，利用尺规作图法在内求作，使得．（不写作法，保留作图痕迹）    【答案】见解析 【分析】分别作和的平分线，交于点O即可． 【详解】解：如图所示，即为所求．    【点睛】本题考查了尺规作图，解题的关键是掌握角平分线的作法． 17．如图所示，已知，，求证． 【答案】证明见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，直接利用“”证明全等，再根据全等三角形的性质即可求证，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】证明：在和中， ， ∴， ∴． 18．如图，已知，，，在同一直线上，，，． 求证：． 【答案】证明见解析． 【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定，由，得，再根据得，最后由证明全等即可，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴ 在和中， ， ∴． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19．如图，，点、分别在、上，，、垂足分别为、，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了两个直角三角形全等的判定方法的运用，即：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．根据判定两个三角形全等的方法“斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等”可证，从而得出，进而可证得，从而得出． 【详解】证明：，， 和是直角三角形， 在和中， ， ． ． 又， ； ． 在和中， ， ． ． 20．如图1，平分，，，垂足分别为点D、E． (1)求证：； (2)在图1的条件下，如图2，点M、N分别在、上，且，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，（1）根据角平分线性质得到，利用证明，根据全等三角形的性质即可得解； （2）利用证明，根据全等三角形的性质得出，根据线段的和差求解即可． 【详解】（1）证明：∵平分，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 21．如图①，在中，，，是上一点，，延长交于点． (1)求证：． (2)判断和的数量关系和位置关系，并说明理由． (3)如图②，连接，求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2)相等且垂直，见解析 (3)见解析 【分析】（1）利用进行证明即可； （2）由①可得，，再推导出，即可得； （3）过点作交于点，通过证明，可知是等腰直角三角形，再推导出，即可证明平分． 【详解】（1）证明：， ， ，， ； （2）解：且，理由如下： ， ，， ， ， ， ； （3）证明：过点作交于点， ，， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， 平分． 【点睛】本题考查三角形的综合应用，熟练掌握三角形全等的判定及证明，直角三角形的性质是解题的关键． 五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 22．如图1，在平面直角坐标系中，，，直线交坐标轴于和． (1)若和满足，则点的坐标为 ，点的坐标为 ，点坐标为 ． (2)如图2，点，点分别在轴正半轴和轴负半轴上运动，其中a，b满足，点C在第四象限，过点C作轴于点P，试判断是否为定值?若是，请求出该定值，若不是，请说明理由． (3)如图3，若y轴恰好平分，与y轴交于点D，过点C作轴于点E，问与有怎样的数量关系?请说明理由． 【答案】(1)，， (2)是定值，为2 (3)，理由见解析 【分析】（1）因为与不可能为负数，要使，则有，，求出和即可得到点、点的坐标，又因为是等腰直角三角形，根据其性质即可得出点的坐标； （2）先根据“角角边”判断，从而得到，，，根据点，点分别在轴正半轴和轴负半轴上运动， 得到即可求解； （3）先利用“角边角”证明，得到，然后利用“角角边”证明，得到，最后根据即可解答． 【详解】（1）解：和满足， ，， ，， 点的坐标为，点的坐标为． ，， 是等腰直角三角形， 点向左平移1个单位，向上平移1个单位得到点， 点是点向右平移3个单位，向下平移1个单位得到的， 点的坐标为：． 故答案为： ，，． （2）解：轴， ， ， 又， ， ， 又， ， ，， ． 点，点分别在轴正半轴和轴负半轴上运动， ． ， ． （3）解：延长交的延长线与点， y轴恰好平分， ， 轴于点E， ， ， ， ． ，， 轴， 轴， ， ， ， ， 又， ， ， ． 23．如图，在中，，，边沿着过点的某条直线对折得到，连接，以为边在左侧作，其中，，与交于点，连接． (1)如图1，连接，当点在外部时，试说明； (2)如图2，连接，当点在的斜边上时，试判断的形状并说明理由； (3)如图3，当点在的内部时，若点为的中点，且，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)是等腰三角形；理由见解析 (3) 【分析】（1）根据证明三角形全等即可； （2）是等腰三角形．证明即可； （3）延长到T，使得，连接，延长交于点M，证明是等腰三角形，推出点E是三角形的重心，可得，再证明，可得结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵在和中 ， ∴． （2）解：结论：是等腰三角形．理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． （3）解：延长到T，使得，连接，延长交于点M，如图所示： ∵，， ∴（SAS） ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴平分， ∵， ∴点E是是重心， ∴， ∵垂直平分线段， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的重心的性质，属于中考压轴题． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$