专题强化02：全等三角形中的辅助线与模型问题【9大模型】-2024-2025学年八年级上册数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（人教版）

专题强化02：全等三角形中的辅助线与模型问题 【模型归纳】 · 模型一：垂直模型 · 模型二：一线三等角模型 · 模型三：手拉手模型 · 模型四：半角模型 · 模型五：做平行线法模型 · 模型六：做垂线法模型 · 模型七：倍线中线模型 · 模型八：截长补短模型 · 模型九：旋转法模型 【题型探究】 题型一：垂直模型 1．（21-22八年级下·青海西宁·期末）如图，直线上有三个正方形，若，的面积分别为5和11，则的面积为（    ） A．13 B．16 C．36 D．55 2．（22-23八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，为等腰直角三角形，若，，则点的坐标为 ． 3．（21-22八年级上·湖北黄石·期中）如图，在中，，，分别过点，作经过点的直线的垂线段，，若，，则的长为 ． 题型二：一线三等角模型 4．（21-22八年级上·广西贵港·期中）如图，已知ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AD⊥DE于点D，BE⊥DE于点E，且点C在DE上，若AD＝5，BE＝8，则DE的长为 ． 5．（2022·四川成都·二模）如图所示，中，．直线l经过点A，过点B作于点E，过点C作于点F．若，则 ．    6．（22-23八年级上·广东潮州·阶段练习）在中，，，直线经过点C，且于D，于E． (1)当直线绕点C旋转到图1的位置时，求证： ①； ②； (2)当直线绕点C旋转到图2的位置时，，，求线段的长． 题型三：手拉手模型 7．（22-23八年级下·上海徐汇·期末）如图，已知是等边三角形，过点作（），且，连接、．    (1)求证：四边形是等腰梯形； (2)点在腰上，连接交于点，若，求证：． 8．（20-21八年级上·甘肃武威·阶段练习）如图所示，△ABC和△ADE都是等边三角形，且点B、A、E在同一直线上，连接BD交AC于M，连接CE交AD于N，连接MN．    (1)求证：BD=CE； (2)求证：△ABM≌△ACN； (3)求证：△AMN是等边三角形． 9．（22-23九年级上·广西河池·期中）如图，在中，，，点O是中点，，将绕点O旋转，的两边分别与射线、交于点D、E． (1)当转动至如图一所示的位置时，连接，求证：； (2)当转动至如图二所示的位置时，线段、、之间有怎样的数量关系？请说明理由． 题型四：半角模型 10．（2021·贵州贵阳·一模）在中，，点在边上，．若，则的长为 ． 11．（21-22八年级下·重庆沙坪坝·期中）如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在边AB，BC上，若F是BC的中点，且∠EDF＝45°，则DE的长为 ． 12．（21-22九年级上·广东广州·期中）如图，在边长为6的正方形ABCD内作∠EAF＝45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，将ADF绕点A顺时针旋转90°得到ABG，若BE＝2，则EF的长为 ． 题型五：做平行线法模型 13．（21-22八年级上·贵州黔西·期末）如图，△ABC是边长为4的等边三角形，点P在AB上，过点P作PE⊥AC，垂足为E，延长BC至点Q，使CQ＝PA，连接PQ交AC于点D，则DE的长为（　　） A．1 B．1.8 C．2 D．2.5 14．（21-22八年级上·山东日照·期中）如图，△ABC是边长为2的等边三角形，点P在AB上，过点P作PE⊥AC，垂足为E，延长BC到点Q，使CQ＝PA，连接PQ交AC于点D，则DE的长为（    ） A．0.5 B．0.9 C．1 D．1.25 15．（23-24八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，在等边中，点为边上任意一点，点在边的延长线上，且．    (1)当点为的中点时（如图1），则有______（填“”“”或“”）； (2)猜想如图2，与的数量关系，并证明你的猜想． 题型六：做垂线法模型 16．（20-21八年级下·广东深圳·期中）如图，在四边形ABCD中，BC＝CD，∠BCD=α°，∠ABC+∠ADC＝180°，AC、BD交于点E．将△CBA绕点C顺时针旋转α°得到△CDF． （1）求证：∠CAB＝∠CAD； （2）若∠ABD＝90°，AB＝3，BD＝4，△BCE的面积为S1，△CDE的面积为S2，求S1：S2的值． 17．（23-24八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，，，点为中点，点为上的动点，将点绕点逆时针旋转得到点，连接，当线段的最小时，则 ． 18．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）在中，，点在上，点在上，连接和交于点，．    (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，若平分，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，点在的延长线上，连接，时，若，，求的长． 题型七：倍线中线模型 19．（22-23八年级上·重庆合川·期末）如图，在中，为边的中线，为上一点，连接并延长交于点，若，，，则的长为 ． 20．（22-23八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，中，点D在上，，点E是的中点，连接，则 ． 21．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）（1）如图①，在中，若，，为边上的中线，求的取值范围； （2）如图②，在中，点D是的中点，，交于点E，交于点F，连接，判断与的大小关系并证明； （3）如图③，在四边形中，，与的延长线交于点F，点E是的中点，若是的角平分线．试探究线段，，之间的数量关系，并加以证明． 题型八：截长补短模型 22．（20-21八年级上·湖北十堰·期末）如图，△ABC中，∠B=2∠A，∠ACB的平分线CD交AB于点D，已知AC=16，BC=9，则BD的长为（　　　） A．6 B．7 C．8 D．9 23．（20-21八年级上·广东广州·阶段练习）如图，在中，AD平分，，，，则AC的长为（    ） A．3 B．9 C．11 D．15 24．（2020·山东菏泽·三模）如图，四边形中，，平分，，，，则四边形的面积为（    ） A．30 B．40 C．50 D．60 题型九：旋转法模型 25．（22-23八年级上·福建泉州·阶段练习）如图，点是等边三角形内一点，且，，，若将绕着点逆时针旋转后得到，则的度数．（　　） A． B． C． D． 26．（23-24八年级下·福建福州·期末）如图，已知两个菱形与菱形，其中 连接，CG，BE，其中EF与BC相交于点H． (1)求证∶ (2)连接，，求证： (3)在线段上找一点，使得，，三点共线，请直接写出点的位置，并利用点的位置说明共线的理由． 27．（22-23八年级上·江西吉安·期中）（1）问题发现：如图1，和均为等边三角形，当应转至点，，在同一直线上，连接，易证，则① ；②线段，之间的数量关系 ； （2）拓展研究：如图2，和均为等腰三角形，且，点，，在同一直线上，若，，求的长度； （3）如图3，为等边三角形内一点，且，，，，，求的长． 【专题精练】 一、单选题 28．（20-21八年级上·安徽安庆）如图，已知：，，，，则（    ） A． B． C．或 D． 29．（23-24八年级上·湖北省直辖县级单位·期末）如图，AD为的中线，，则AD的长可能是（    ） A．0.5 B．2 C．2.5 D．3 30．（22-23八年级上·湖北武汉·期末）如图，在五边形中，，，，且，，则五边形的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 31．（19-20八年级上·江苏南通·期中）如图，在中，，，点的坐标为，点的坐标为，求点的坐标（    ） A． B． C． D． 二、填空题 32．（22-23八年级上·福建泉州·期末）如图，在中，，是边上的中线，，则的面积是 ． 33．（21-22八年级上·贵州遵义·期末）在中，，且E为边的中点，连接，以为边向上作等边三角形，连接，则的长为 ． 34．（23-24八年级上·江苏南京·期中）如图，在中，，，，点P是线段上的动点，将点A绕点P顺时针旋转至点D，连接，则的最小值是 ． 35．（21-22八年级上·安徽合肥·期末）如图，直角坐标系中，的顶点，分别在坐标轴上，且，，若点、的坐标分别为、，则点的坐标为 ．    36．（22-23八年级上·福建厦门·期末）如图，在中，是锐角，以为斜边在内部作一个等腰直角三角形，过点D作于点E，交于点F，若F为的中点，，，则 ． 三、解答题 37．（23-24八年级上·云南红河·期末）如图所示，点的坐标为，点的坐标为，且，为轴上的一个动点，，且，连接交轴于点． (1)求，两点的坐标； (2)若点的坐标为，求点的坐标； (3)当点在轴上运动时，求证为定值． 38．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）已知四边形中，，，为边上一点且，． (1)如图，求证：≌． (2)如图，若，求的长． (3)如图，若，求此时的长． 39．（2024·山东济宁·一模）已知正方形的边长为8，点E是对角线上的一点． (1)如图①，若点E到的距离为6，则点E到的距离为 ； (2)连接，过点E作，交于点F． ①如图②，以，为邻边作矩形．求证：矩形是正方形； ②如图③，在①的条件下，连接，求的值． 40．（23-24八年级上·安徽·期末）如图，在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且．    (1)如图1，当为的中点时，则______（填“”“”或“”）． (2)如图2，当为边上任意一点时，（1）中的结论是否仍然成立，请说明理由． (3)如图3，当点在的延长线上时，若的边长为2，，求的长． 41．（23-24八年级上·四川达州·期末）如图，，，点为中点，连接并延长，交于点． (1)当时，求的长度． (2)如图，将的角度都调整为，其余条件不变，求此时的长度． (3)如图，当的角度都变为，其余条件不变，动点在线段上，从点向点运动，动点在线段上，从点向点运动，并且运动速度相同，连接，探究的数量关系并说明理由． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题强化02：全等三角形中的辅助线与模型问题 【模型归纳】 模型一：垂直模型 模型二：一线三等角模型 模型三：手拉手模型 模型四：半角模型 模型五：做平行线法模型 模型六：做垂线法模型 模型七：倍线中线模型 模型八：截长补短模型 模型九：旋转法模型 【题型探究】 题型一：垂直模型 1．（21-22八年级下·青海西宁·期末）如图，直线上有三个正方形，若，的面积分别为5和11，则的面积为（    ） A．13 B．16 C．36 D．55 【答案】B 【分析】根据正方形的性质，易证，可得，，根据，的面积以及勾股定理即可求出的面积． 【详解】解：如图： 根据题意，得，， ，， ， 在和中， ， ， ，， ，的面积分别为5和11， ，， ， 根据勾股定理，得， 的面积为16， 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，涉及正方形的性质，勾股定理等，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 2．（22-23八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，为等腰直角三角形，若，，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】过点作轴于点T．证明，可得结论． 【详解】解：如图中，过点作轴于点． ∵，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ ，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了坐标与图形，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 3．（21-22八年级上·湖北黄石·期中）如图，在中，，，分别过点，作经过点的直线的垂线段，，若，，则的长为 ． 【答案】6 【分析】利用垂直的定义得到，由平角的定义及同角的余角相等得到，利用证得，由全等三角形对应边相等得到，，由即可求出长． 【详解】解：，， ， ， ， ， 在和中， ， ∴， ，， 则． 故答案为：6． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，根据由平角的定义及同角的余角相等证得是解决问题的关键． 题型二：一线三等角模型 4．（21-22八年级上·广西贵港·期中）如图，已知ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AD⊥DE于点D，BE⊥DE于点E，且点C在DE上，若AD＝5，BE＝8，则DE的长为 ． 【答案】13 【分析】先根据AD⊥DE，BE⊥DE，∠ADC=∠CEB=90°，则∠DAC+∠DCA=90°，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，可得AC=CB，推出∠DAC=∠ECB，即可证明△DAC≌△ECB得到CE=AD=5，CD=BE=8，由此求解即可． 【详解】解：∵AD⊥DE，BE⊥DE， ∴∠ADC=∠CEB=90°， ∴∠DAC+∠DCA=90°， ∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°， ∴∠DCA+∠BCE=90°，AC=CB ∴∠DAC=∠ECB， ∴△DAC≌△ECB（AAS）， ∴CE=AD=5，CD=BE=8， ∴DE=CD+CE=13， 故答案为：13． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，垂线的定义，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定条件． 5．（2022·四川成都·二模）如图所示，中，．直线l经过点A，过点B作于点E，过点C作于点F．若，则 ．    【答案】7 【分析】根据全等三角形来实现相等线段之间的关系，从而进行计算，即可得到答案； 【详解】解：∵BE⊥l，CF⊥l， ∴∠AEB=∠CFA=90°． ∴∠EAB+∠EBA=90°． 又∵∠BAC=90°， ∴∠EAB+∠CAF=90°． ∴∠EBA=∠CAF． 在△AEB和△CFA中 ∵∠AEB=∠CFA，∠EBA=∠CAF，AB=AC， ∴△AEB≌△CFA． ∴AE=CF，BE=AF． ∴AE+AF=BE+CF． ∴EF=BE+CF． ∵， ∴； 故答案为：7． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，余角的性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的证明三角形全等． 6．（22-23八年级上·广东潮州·阶段练习）在中，，，直线经过点C，且于D，于E． (1)当直线绕点C旋转到图1的位置时，求证： ①； ②； (2)当直线绕点C旋转到图2的位置时，，，求线段的长． 【答案】(1)①见解析，②见解析 (2)3 【分析】本题主要考查了邻补角的意义，全等三角形的性质和判定等知识点，能根据已知证出符合全等的条件是解此题的关键． （1）①由已知推出，因为，，推出，根据“”即可得到答案； ②由①得到，，即可求出答案； （2）与（1）证法类似可证出，能推出，得到，，代入已知即可得到答案． 【详解】（1）证明：①，， ， ， ，， ， 在和中， ， （）； ②由（1）知：， ，， ， ； （2）解：，， ， ， ， ， ， 在和中， ， （）；， ，， 题型三：手拉手模型 7．（22-23八年级下·上海徐汇·期末）如图，已知是等边三角形，过点作（），且，连接、．    (1)求证：四边形是等腰梯形； (2)点在腰上，连接交于点，若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据等边三角形和平行线的性质得到，继而得到进行证明即可； （2）先证明，进而得到≌，从而，由，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴，， 又∵， ∴， ∵ ∴ ∴ ∵（） ∴四边形是等腰梯形； （2）证明：，， ， ， ， ，， ≌， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形判定和性质，等腰梯形的判定，等边三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 8．（20-21八年级上·甘肃武威·阶段练习）如图所示，△ABC和△ADE都是等边三角形，且点B、A、E在同一直线上，连接BD交AC于M，连接CE交AD于N，连接MN．    (1)求证：BD=CE； (2)求证：△ABM≌△ACN； (3)求证：△AMN是等边三角形． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）由已知条件等边三角形，可知AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，进一步求证∠BAD=∠CAE，从而△ABD≌△ACE(SAS)，所以BD=CE． （2）由(1)知△ABD≌△ACE，得∠ABM=∠CAN，由点B、A、E共线，得∠CAN=60°=∠BAC，进一步求证△ABM≌△ACN(ASA)． （3）由△ABM≌△ACN，得AM=AN，而∠CAN=60°，所以△AMN是等边三角形． 【详解】（1）∵△ABC和△ADE都是等边三角形， ∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°， ∴∠BAD=∠CAE． 在△ABD和△ACE中， ∴△ABD≌△ACE(SAS)， ∴BD=CE． （2）由(1)知△ABD≌△ACE， ∴∠ABM=∠ACN． ∵点B、A、E在同一直线上，且∠BAC=∠DAE=60°， ∴∠CAN=60°=∠BAC． 在△ABM和△ACN中， ∴△ABM≌△ACN(ASA)． （3）由(2)知△ABM≌△ACN， ∴AM=AN， ∵∠CAN=60°， ∴△AMN是等边三角形． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质和判定、全等三角形判定和性质；将等边三角形的条件转化为相等线段和等角，选择合适的方法判定三角形全等是解题的关键． 9．（22-23九年级上·广西河池·期中）如图，在中，，，点O是中点，，将绕点O旋转，的两边分别与射线、交于点D、E． (1)当转动至如图一所示的位置时，连接，求证：； (2)当转动至如图二所示的位置时，线段、、之间有怎样的数量关系？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)CE﹣CD＝AC．理由见解析 【分析】（1）结论：．连接．证明； （2）结论：，证明方法类似（1）． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． （2）解：． 理由：连接． ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 题型四：半角模型 10．（2021·贵州贵阳·一模）在中，，点在边上，．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】将CE绕点C顺时针旋转90°得到CG，连接GB，GF，可得△ACE≌△BCG，从而得FG2＝AE2＋BF2，再证明△ECF≌△GCF，从而得EF2＝AE2＋BF2，进而即可求解． 【详解】解：将CE绕点C顺时针旋转90°得到CG，连接GB，GF， ∵∠BCE＋∠ECA＝∠BCG＋∠BCE＝90° ∴∠ACE＝∠BCG． ∵在△ACE与△BCG中， ∵， ∴△ACE≌△BCG（SAS）， ∴∠A＝∠CBG＝45°，AE＝BG， ∴∠FBG＝∠FBC＋∠CBG＝90°． 在Rt△FBG中，∠FBG＝90°， ∴FG2＝BG2＋BF2＝AE2＋BF2． 又∵∠ECF＝45°， ∴∠FCG＝∠ECG−∠ECF＝45°＝∠ECF． ∵在△ECF与△GCF中， ， ∴△ECF≌△GCF（SAS）． ∴EF＝GF， ∴EF2＝AE2＋BF2， ∵， ∴BF=， 故答案是：． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质以及旋转变换，二次根式的化简，通过旋转变换，构造全等三角形，是解题的关键． 11．（21-22八年级下·重庆沙坪坝·期中）如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在边AB，BC上，若F是BC的中点，且∠EDF＝45°，则DE的长为 ． 【答案】2 【分析】延长BA到点G，使AG=CF，连接DG，EF，利用SAS证明△ADG≌△CDF，得∠CDF=∠GDA，DG=DF，再证明△GDE≌△FDE（SAS），得GE=EF，设AE=x，则BE=6x，EF=x+3，再利用勾股定理解决问题． 【详解】解：延长BA到点G，使AG＝CF，连接DG，EF， ∵AD＝CD，∠DAG＝∠DCF， ∴△ADG≌△CDF（SAS）， ∴∠CDF＝∠GDA，DG＝DF， ∵∠EDF＝45°， ∴∠EDG=∠ADE+∠ADG＝∠ADE+∠CDF＝45°， ∵DE＝DE， ∴△GDE≌△FDE（SAS）， ∴GE＝EF， ∵F是BC的中点， ∴AG=CF=BF=3， 设AE＝x，则BE＝6﹣x，EF＝x+3， 由勾股定理得，（6﹣x）2+32＝（x+3）2， 解得x＝2， ∴AE＝2， ∴DE＝， 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握半角模型的处理策略是解题的关键． 12．（21-22九年级上·广东广州·期中）如图，在边长为6的正方形ABCD内作∠EAF＝45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，将ADF绕点A顺时针旋转90°得到ABG，若BE＝2，则EF的长为 ． 【答案】5 【分析】由旋转的性质可得，，，由“”可证，可得，由勾股定理可求解． 【详解】解：由旋转的性质可知：，，， ， 点在的延长线上， 四边形为正方形， ． 又， ． ． ． 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的性质和判定、勾股定理的应用，正方形的性质，解题的关键是掌握利用勾股定理求线段的长． 题型五：做平行线法模型 13．（21-22八年级上·贵州黔西·期末）如图，△ABC是边长为4的等边三角形，点P在AB上，过点P作PE⊥AC，垂足为E，延长BC至点Q，使CQ＝PA，连接PQ交AC于点D，则DE的长为（　　） A．1 B．1.8 C．2 D．2.5 【答案】C 【分析】过作的平行线交于，通过证明≌，得，再由是等边三角形，即可得出． 【详解】解：过作的平行线交于， ， 是等边三角形， ，， 是等边三角形， ， ∵CQ＝PA， ∴ 在中和中， ， ≌， ， 于，是等边三角形， ， ， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 14．（21-22八年级上·山东日照·期中）如图，△ABC是边长为2的等边三角形，点P在AB上，过点P作PE⊥AC，垂足为E，延长BC到点Q，使CQ＝PA，连接PQ交AC于点D，则DE的长为（    ） A．0.5 B．0.9 C．1 D．1.25 【答案】C 【分析】过作的平行线交于，通过证明≌，得，再由是等边三角形，即可得出． 【详解】 解：过作的平行线交于， ， 是等边三角形， ，， 是等边三角形， ， 在中和中， ， ≌， ， 于，是等边三角形， ， ， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 15．（23-24八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，在等边中，点为边上任意一点，点在边的延长线上，且．    (1)当点为的中点时（如图1），则有______（填“”“”或“”）； (2)猜想如图2，与的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】（1）由是等边三角形，得到，，由三线合一得到，，由，得，由外角的性质得到，得到，则，证得； （2）过作交于，先证明是等边三角形，得到，再用证明，得到，进而证得猜想 【详解】（1）∵是等边三角形， ∴，． ∵E为的中点， ∴，， ∵， ∴是等腰三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为： （2）解：．理由如下： 过E作交于F，    ∵是等边三角形， ∴，． ∴，，即． ∴是等边三角形． ∴． ∵， ∴，． ∵， ∴． ∴． 在和中， ∴． ∴，即． 【点睛】此题主要考查了等边三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定与性质等知识，在等边三角形中通过作平行线构造全等三角形是解题的关键． 题型六：做垂线法模型 16．（20-21八年级下·广东深圳·期中）如图，在四边形ABCD中，BC＝CD，∠BCD=α°，∠ABC+∠ADC＝180°，AC、BD交于点E．将△CBA绕点C顺时针旋转α°得到△CDF． （1）求证：∠CAB＝∠CAD； （2）若∠ABD＝90°，AB＝3，BD＝4，△BCE的面积为S1，△CDE的面积为S2，求S1：S2的值． 【答案】（1）见解析；（2）. 【分析】（1）由旋转旋转可得△CAB≌△CFD，再根据全等三角形的性质和∠ABC+∠ADC=180°，即可得∠CAB=∠CAD； （2）根据∠ABD=90°，AB=3，BD=4，可得AD的长，再根据勾股定理求出BE和DE的长，根据△BCE和△CDE同高，即可得S1：S2的值． 【详解】解：（1）证明：由旋转旋转可知：△CAB≌△CFD， ∴∠CDF=∠CBA，∠F=∠CAB，CA=CF， ∵∠CBA+∠CDA=180°， ∴∠CDF+∠CDA=180°， ∴A、D、F三点共线， ∵AC=CF， ∴∠F=∠CAD， ∴∠CAB=∠CAD； （2）过点E作EM⊥AF于点M，过点C作CN⊥BD于点N， ∴∠ABE=∠AME=90°， 在△ABE和△AME中， ， ∴△ABE≌△AME（AAS）， ∴AM=AB=3，BE=ME， ∵∠ABD=90°，AB=3，BD=4， ∴AD==5， ∴DM=2，设BE=EM=x，则DE=4-x ∴x2+22=（4-x）2， 解得x=1.5， ∴BE=1.5，DE=2.5， ∴S1：S2=BE•CN：DE•CN=． 【点睛】本题考查了作图-旋转变换、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，解决本题的关键是掌握旋转的性质． 17．（23-24八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，，，点为中点，点为上的动点，将点绕点逆时针旋转得到点，连接，当线段的最小时，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了旋转的性质以及全等三角形判定与性质的综合应用， 过作于，易证，可得，再根据当时，，即点与点重合，即可得出线段的最小值为3，求出此时，又勾股定理即可求出此时． 【详解】解：如图所示，过作于，则， 由旋转可得，，， ， 在和中， ， ， ， 点的运动轨迹是平行的直线， 当点与点重合，的值最小，的最小值为3， 此时，∴， 故答案为：． 【点睛】本题涉及了旋转的性质、三角形全等的性质和判定、点的运动轨迹、依据垂线段最短、勾股定理解三角形，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，依据垂线段最短进行求解． 18．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）在中，，点在上，点在上，连接和交于点，．    (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，若平分，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，点在的延长线上，连接，时，若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)． 【分析】本题主要考查了等腰三角形、全等三角形的判定和性质， （1）利用三角形外角的性质可得，再结合已知可得，根据等边对等角可得，即可得出结论； （2）过点C作、垂足分别为M、N，过点A作垂足为Q，构造，得，由角平分线性质可得，进而证明，即可得出结论； （3）过点C作交于P，作交延长线于G，由角平分线+平行线可得：，利用中点加平行模型可得，，进而可得，，结合已知可得，，由此即可得出． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）过点C作、垂足分别为M、N，过点A作垂足为Q，    在和中， ∴， ∴， 又∵，，平分， ∴， 在和中， ， ∴ ∴． （3）过点C作交于P，作交延长线于G，    ∴，， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴，， 同理可得：，，， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵，， ∴， ， ∴ 【点睛】本题涉及了等腰三角形的性质和判定、全等三角形的判定和性质、三角形外角的性质、角平分线的定义和性质、平行线的性质等知识；解题关键是作辅助线构造三角形全等转化线段关系，（2）利用了垂直全等模型和角平分线性质，（3）利用中点+平行线构造三角形全等． 题型七：倍线中线模型 19．（22-23八年级上·重庆合川·期末）如图，在中，为边的中线，为上一点，连接并延长交于点，若，，，则的长为 ． 【答案】2.4 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，延长至，使，连接，可证明，则，，根据，得，可证出，即得出，然后利用线段的和差即可解决问题． 【详解】解：如图，延长至，使，连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：2.4． 20．（22-23八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，中，点D在上，，点E是的中点，连接，则 ． 【答案】/ 【分析】如图，延长至F，使得，交于点G，通过“边角边”证明，则，根据题意与三角形的外角性质可得，进而可得，设，根据题意得到关于x的方程，然后求解方程即可． 【详解】解：如图，延长至F，使得，交于点G， ∵点E是的中点， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，   设， ∵， ∴， 解得， 即． 故答案为： 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，三角形的外角性质，解此题的关键在于熟练掌握其知识点，根据中点作出适当的辅助线． 21．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）（1）如图①，在中，若，，为边上的中线，求的取值范围； （2）如图②，在中，点D是的中点，，交于点E，交于点F，连接，判断与的大小关系并证明； （3）如图③，在四边形中，，与的延长线交于点F，点E是的中点，若是的角平分线．试探究线段，，之间的数量关系，并加以证明． 【答案】（1）；（2），见解析；（3），见解析 【分析】（1）由已知得出，即为的一半，即可得出答案； （2）延长至点M，使，连接，可得，得出，由线段垂直平分线的性质得出，在中，由三角形的三边关系得出即可得出结论； （3）延长交于点G，根据平行和角平分线可证，也可证得，从而可得，即可得到结论． 【详解】解：（1）如图①，延长到点E，使，连接， ∵D是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2），理由如下： 延长至点M，使，连接，如图②所示． 同（1）得：， ∴， ∵， ∴， 在中，由三角形的三边关系得： ， ∴； （3），理由如下： 如图③，延长交于点G， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴ ． 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了三角形的三边关系，作辅助线—倍长中线法、全等三角形的判定与性质，角的关系等知识点，所以本题的综合性比较强，有一定的难度，通过作辅助线证明三角形全等是解题的关键． 题型八：截长补短模型 22．（20-21八年级上·湖北十堰·期末）如图，△ABC中，∠B=2∠A，∠ACB的平分线CD交AB于点D，已知AC=16，BC=9，则BD的长为（　　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】如图，在上截取 连接证明利用全等三角形的性质证明 求解 再证明 从而可得答案． 【详解】解：如图，在上截取 连接 平分 故选： 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，掌握以上知识是解题的关键． 23．（20-21八年级上·广东广州·阶段练习）如图，在中，AD平分，，，，则AC的长为（    ） A．3 B．9 C．11 D．15 【答案】C 【分析】在AC上截取AE=AB，连接DE，证明△ABD≌△AED，得到∠B=∠AED，AB=AE，再证明CD=CE，进而代入数值解答即可． 【详解】在AC上截取AE=AB，连接DE， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD=∠DAC， 在△ABD和△AED中， ， ∴△ABD≌△AED（SAS）， ∴∠B=∠AED，∠ADB =∠ADE， AB=AE， 又∠B=2∠ADB ∴∠AED=2∠ADB，∠BDE=2∠ADB， ∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠ADB，∠BDE=∠C+∠DEC=2∠ADB， ∴∠DEC =∠EDC， ∴CD=CE， ∵，， ∴AC =AE+CE=AB+CD = 5+6=11． 故选：C． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质；利用了全等三角形中常用辅助线-截长补短法构造全等三角形，然后利用全等三角形解题，这是解决线段和差问题最常用的方法，注意掌握． 24．（2020·山东菏泽·三模）如图，四边形中，，平分，，，，则四边形的面积为（    ） A．30 B．40 C．50 D．60 【答案】C 【分析】由题意在BC上截取一点E使得BE=BA,并连接DE，证得进而求出和即可求出四边形的面积． 【详解】解：由题意在BC上截取一点E使得BE=BA,并连接DE， ∵平分， ∴， ∵， ∴,, ∵，，，， ∴, ∴, , ∴四边形的面积为: ; 故选：C． 【点睛】本题考查四边形综合问题，熟练掌握全等三角形的判定与性质以及勾股定理和角平分线性质是解题的关键． 题型九：旋转法模型 25．（22-23八年级上·福建泉州·阶段练习）如图，点是等边三角形内一点，且，，，若将绕着点逆时针旋转后得到，则的度数．（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先证明为等边三角形，得，由可得，在中，已知三边，用勾股定理逆定理证出得出，可求的度数，由此即可解决问题． 【详解】解：连接，由题意可知， 则， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴ ∴， 故选C． 【点睛】本题考查旋转的性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是勾股定理逆定理的应用，属于中考常考题型． 26．（23-24八年级下·福建福州·期末）如图，已知两个菱形与菱形，其中 连接，CG，BE，其中EF与BC相交于点H． (1)求证∶ (2)连接，，求证： (3)在线段上找一点，使得，，三点共线，请直接写出点的位置，并利用点的位置说明共线的理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)当，即是中点时，、、在同一条直线上． 【分析】本题考查了菱形的性质和全等三角形的判定和性质，由旋转全等模型的构造证明全等是解题关键． （1）根据菱形性质，证明即可； （2）连接，证明即可； （3）当，即是中点时，、、在同一条直线上．将逆时针旋转到如图位置，先证明，再证明，从而可得，进而证明，，由即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵菱形与菱形， ∴，， ∵， ∴，即， ∴ ∴， （2）连接，如解图（1） ∵菱形与菱形，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴ （3）当，即是中点时，、、在同一条直线上． 证明：连接，将绕点C逆时针旋转到位置，连接、， ∵在菱形，，， ∴，， ∴， ∴， 同理：， ∵由旋转可得：， ∴，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴ ∴， ∴， ∴、、在同一条直线上． 27．（22-23八年级上·江西吉安·期中）（1）问题发现：如图1，和均为等边三角形，当应转至点，，在同一直线上，连接，易证，则① ；②线段，之间的数量关系 ； （2）拓展研究：如图2，和均为等腰三角形，且，点，，在同一直线上，若，，求的长度； （3）如图3，为等边三角形内一点，且，，，，，求的长． 【答案】（1）①；②；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及性质和勾股定理的应用， （1）证明．得到．利用为等边三角形，得到，再利用点A，D，E在同一直线上，可得，即可得； （2）证明，可得，，再证明，利用勾股定理求解即可； （3）把绕点逆时针旋转得，连接，可得，证明是等边三角形，证明，再证明、、在同一条直线上，求出，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）①∵和均为等边三角形， ∴，，． ∴． 在和中， ， ∴． ∴． ∵为等边三角形， ∴． ∵点A，D，E在同一直线上， ∴． ∴． ②由①得：△， ∴； 故答案为：①；②． （2）∵和均为等腰直角三角形， ∴，，． ∴． 在和中， ， ∴， ∴，， ∵为等腰直角三角形 ∴． ∵点，，在同一直线上， ∴． ∴． ∴． ∴； （3）把绕点逆时针旋转得，连接，如图所示：，， 则， ∴，，，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又∵， 即D、P、E在同一条直线上， ∴， 在中，=， 即的长为． 【点睛】本题涉及全等三角形的判定及性质，等边三角形的性质，勾股定理，旋转的性质等知识点，解题的关键是利用旋转构造全等三角形，把分散的已知条件集中到同一个三角形中． 【专题精练】 一、单选题 28．（20-21八年级上·安徽安庆）如图，已知：，，，，则（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】连接，可证≌，根据全等三角形对应角相等可以得到，，代入角度即可求出和的度数，最后利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】连接，如图， 在与中 ， ≌， ，， ， ， ， ， ， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，添加正确的辅助线是解题的关键． 29．（23-24八年级上·湖北省直辖县级单位·期末）如图，AD为的中线，，则AD的长可能是（    ） A．0.5 B．2 C．2.5 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的常见模型—倍长中线模型及三角形三边关系的应用．倍长，构造，推出，再利用三角形三边关系求解即可． 【详解】解：如图，延长至E，使，连接， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 观察四个选项，B选项符合题意， 故选：B． 30．（22-23八年级上·湖北武汉·期末）如图，在五边形中，，，，且，，则五边形的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、三点共线，解题的关键是利用全等的性质将面积进行转化． 将绕点A逆时针旋转至，首先证明点D，E，F三点共线，证明，得到，，再将所求面积转化为进行计算即可． 【详解】如图，将绕点A逆时针旋转至， ，， 则，， ，即点D，E，F三点共线， ， ， 即， 在和中 ， ， ， ， 五边形的面积为： ， ， ． 故选：D． 31．（19-20八年级上·江苏南通·期中）如图，在中，，，点的坐标为，点的坐标为，求点的坐标（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意过A和B分别作AD⊥OC于D，BE⊥OC于E，利用已知条件可证明△ADC≌△CEB，再由全等三角形的性质和已知数据即可求出B点的坐标． 【详解】解：过A和B分别作AD⊥OC于D，BE⊥OC于E， ∵∠ACB=90°， ∴∠ACD+∠CAD=90°∠ACD+∠BCE=90°， ∴∠CAD=∠BCE， 在△ADC和△CEB中， ∴△ADC≌△CEB（AAS）， ∴DC=BE，AD=CE， ∵点C的坐标为（-2，0），点A的坐标为（-6，3）， ∴OC=2，AD=CE=3，OD=6， ∴CD=OD-OC=4，OE=CE-OC=3-2=1， ∴BE=4， ∴则B点的坐标是（1，4）． 故选：D. 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的性质和判定、坐标与图形特点，本题能根据AAS证明两三角形全等是关键，利用坐标与图形特点根据坐标写出线段的长，反之，能根据线段的长写出B的坐标，注意象限的符号问题． 二、填空题 32．（22-23八年级上·福建泉州·期末）如图，在中，，是边上的中线，，则的面积是 ． 【答案】 【分析】如图所示，延长至，使得，连接，可证，可得，根据勾股定理的逆定理可证是直角三角形，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，延长至，使得，连接， ∴， ∵是边上的中线， ∴， 在中， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴，即， ∴是直角三角形， ∴，即的面积是 故答案为：． 【点睛】本题主要考查勾股定理的逆定理，理解题意，构造边的关系，掌握勾股定理逆定理的运用是解题的关键． 33．（21-22八年级上·贵州遵义·期末）在中，，且E为边的中点，连接，以为边向上作等边三角形，连接，则的长为 ． 【答案】6 【分析】延长BC到F，使BF=2BC，得是等边三角形，再证明得即可解题． 【详解】解：延长BC到F，使BF=2BC，即， ∵在中，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， 又∵在等边三角形中，，， ∴， ∴ （SAS）， ∴， 又∵，E为边的中点， ∴， ∴， ∴． 故答案为6． 【点睛】本题主要考查了等边三角形性质和判定、全等三角形性质和判定．解题关键是补全图形构造手拉手全等模型，从而由得． 34．（23-24八年级上·江苏南京·期中）如图，在中，，，，点P是线段上的动点，将点A绕点P顺时针旋转至点D，连接，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短等知识点，截取，连接；过点D作，垂足为E，证可推出为等腰直角三角形；点D在射线上运动，当时，最小，据此即可求解． 【详解】解：如图，截取，连接；过点D作，垂足为E； 可得等腰直角三角形； ∵ ∴ ∵ ∴ 则：， ∴， 即 即为等腰直角三角形 ∴ ∵点F为定点 ∴点D在射线上运动 当时，最小， 在等腰直角中：， ∴， 故答案为：． 35．（21-22八年级上·安徽合肥·期末）如图，直角坐标系中，的顶点，分别在坐标轴上，且，，若点、的坐标分别为、，则点的坐标为 ．    【答案】 【分析】过作轴于点，由，可得，从而证明，再根据全等三角形的性质即可求出，，通过线段和差与点在第四象限即可求解． 【详解】如图，过作轴于点，   ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴点坐标为， 故答案为：． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握判定与性质的应用和全等三角形的垂线模型． 36．（22-23八年级上·福建厦门·期末）如图，在中，是锐角，以为斜边在内部作一个等腰直角三角形，过点D作于点E，交于点F，若F为的中点，，，则 ． 【答案】 【分析】延长，过C作，垂足为G，证明，得到，，再证明，，，设，根据边的关系代换得到，再根据列出方程，解之可得． 【详解】解：延长，过C作，垂足为G， ∵， ∴， ∵F为中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 设，则， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，得到相等的边． 三、解答题 37．（23-24八年级上·云南红河·期末）如图所示，点的坐标为，点的坐标为，且，为轴上的一个动点，，且，连接交轴于点． (1)求，两点的坐标； (2)若点的坐标为，求点的坐标； (3)当点在轴上运动时，求证为定值． 【答案】(1)，； (2)； (3)证明见解析． 【分析】（）根据非负性得出，的值，进而解答即可； （）过点作轴于，证明可得结论； （）证明可得为的中点，证明可得结论； 本题考查了绝对值非负性，算术平方根非负性，全等三角形的判定和性质，坐标与图形的性质等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴，； （2）解：如图，过点作轴于， ∵，，， ∴，，， ∵，轴， ∴， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴， ∴； （3）证明: ∵， ∴， ∵， ∴， ∵轴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是定值． 38．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）已知四边形中，，，为边上一点且，． (1)如图，求证：≌． (2)如图，若，求的长． (3)如图，若，求此时的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）证出，根据可证明≌； （2）由勾股定理可得出答案； （3）过点作于点，求出，，，证明为等边三角形，则可得出答案． 【详解】（1）证明： ∴， 在和中， ， （2）解：≌， ， ，， （3）解：过点作于点， ，， ∴ ， ，， 为等边三角形， 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识． 39．（2024·山东济宁·一模）已知正方形的边长为8，点E是对角线上的一点． (1)如图①，若点E到的距离为6，则点E到的距离为 ； (2)连接，过点E作，交于点F． ①如图②，以，为邻边作矩形．求证：矩形是正方形； ②如图③，在①的条件下，连接，求的值． 【答案】(1)6 (2)①见解析；② 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等，掌握相关图形的判定和性质是解题的关键． （1）过点E作于M，利用角平分线的性质定理解决问题即可． （2）①连接，证明，，可得结论；②证明，推出，可得结论． 【详解】（1）解：如图①中，过点E作于M，于N． 四边形是正方形， ∴， ，， ∴， ∴点E到的距离为6， 故答案为：6． （2）①证明：如图②中，连接． 四边形是正方形， ，， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， 四边形是正方形． ②解：如图③中， 四边形，四边形都是正方形， ，，， ， 在和中， ， ， ， ， 在中，，由勾股定理有， ． 40．（23-24八年级上·安徽·期末）如图，在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且．    (1)如图1，当为的中点时，则______（填“”“”或“”）． (2)如图2，当为边上任意一点时，（1）中的结论是否仍然成立，请说明理由． (3)如图3，当点在的延长线上时，若的边长为2，，求的长． 【答案】(1) (2)当为边上任意一点时，（1）中的结论仍然成立，理由见解析 (3)5 【分析】本题是三角形综合题目，考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． （1）由等腰三角形的性质得，再由等边三角形的性质得，然后证，得，即可得出结论； （2）过点作，交于点，证为等边三角形，得，再证（），得，即可得出结论； （3）过点作，交的延长线于点，可证得是等边三角形，，由，，即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，    ∵是等边三角形，点是的中点， ∴平分，，，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 故答案为：． （2）解：当点为上任意一点时，（1）中的结论仍然成立，如图，．理由如下：    如图，过作交于， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴，∘，即， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， （3）解：过点作，交的延长线于点，如图所示：    ∵是等边三角形， ∴，， ∴，∘， 即， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 41．（23-24八年级上·四川达州·期末）如图，，，点为中点，连接并延长，交于点． (1)当时，求的长度． (2)如图，将的角度都调整为，其余条件不变，求此时的长度． (3)如图，当的角度都变为，其余条件不变，动点在线段上，从点向点运动，动点在线段上，从点向点运动，并且运动速度相同，连接，探究的数量关系并说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)，理由见解析． 【分析】（）先求出，再证，即可得出结论； （）先求出，再证，即可得出结论； （）连接，过点作，交的延长线于点，证，得，，再证是等腰直角三角形，得，则，然后由勾股定理得，化简即可求解． 【详解】（1）解：∵点为中点，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， 在和中， ∴， ∴； （2）解：∵点为中点，， ∴， ∵，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； （3）解：，理由如下： 如图，连接，过点作，交的延长线于点， ∵，， ∴, ∵动点在线段上，从点向点运动，动点在线段上，从点向点运动，并且运动速度相同， ∴， 在和中， ， ∴ ， ∴， ， ∴，即， ∴， ∵, ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴， 即． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、余角性质、等腰直角三角形的判定与性质、三角形内角和定理以及勾股定理，掌握以上知识点是解题的关键． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$