12.3 角平分线的性质【5大题型】-2024-2025学年八年级上册数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（人教版）

12.3 角平分线的性质 【考点归纳】 · 考点一：角平分线的性质定理 · 考点二：角平分线的判定定理 · 考点三：作角平分线（尺规作图） · 考点四：角平分线的实际应用 · 考点五：角平分线的综合性问题 【知识梳理】 知识点： 角平分线 性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 内心：三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。 判定：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 【题型探究】 题型一：角平分线的性质定理 1．（24-25八年级上·上海）如图，在中，，的平分线交于点D，，，则的面积是（    ） A．10 B．15 C．20 D．30 2．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，在中，，平分，过点作于点，若，，则的长为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 3．（23-24八年级下·湖南张家界·期末）如图，点是的三个内角平分线的交点，若的周长为，面积为，则点P到边的距离是（ ） A． B． C． D． 题型二：角平分线的判定定理 4．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，于于和交于D，且，求证：平分．      5．（23-24八年级上·重庆长寿·期末）如图，在中，，于点E，，交于点F，的延长线交于点G，求证： (1)； (2)平分． 6．（2024八年级上·全国·专题练习）已知：如图，的外角和的平分线相交于点， (1)求证：点在的平分线上； (2)若，求的大小． 题型三：作角平分线（尺规作图） 7．（24-25八年级上·陕西西安）如图，在中，．请用尺规作图在边上找一点D，使点D到直线的距离等于．（要求：保留作图痕迹，不写作法）． 8．（24-25八年级上·广西南宁·开学考试）如图，在中，． (1)尺规作图：作的平分线，交于点D；（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母） (2)若，，求的度数． 9．（23-24八年级上·江苏镇江·期末）如图，点、在的两边上，且． (1)请按下列语句用直尺和圆规作图：作，垂足为，的平分线交的延长线于点，连接不写作法，保留作图痕迹 (2)作图后，该图中有 对全等三角形． 题型四：角平分线的实际应用 10．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，铁路和铁路交于O处，河道与铁路分别交于A处和B处，试在河岸上建一座水厂M，要求M到铁路，的距离相等，则该水厂M应建在图中什么位置？请在图中标出M点的位置． 11．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，三条公路两两相交于点A，B，C，现在要在公路边建一所加油站，要求加油站的位置到三条公路的距离都相等，则符合要求的位置有几个？请你找出所有加油站的位置(要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出结论)． 12．（23-24八年级上·全国·课堂例题）如图，要在河流的右侧、公路的左侧区建一个工厂，位置选在到河流和公路的距离相等，并且到河流与公路交叉点处的距离为（指图上距离）的地方，则图中工厂的位置应选在哪里？画图并说明理由．    题型五：角平分线的综合性问题 13．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨）如图，中，平分交于点E，平分．交于点D，与交于点O，连接． (1)求的度数； (2)求证：平分 14．（24-25八年级上·广西南宁）如图，于，于，若、． (1)求证：． (2)与有什么数量关系？请写出结论并说明理由． (3)请猜想、、之间的数量关系，并说明理由． 15．（24-25八年级上·辽宁盘锦）（1）感知：如图①，平分，，，易知，数量关系为：______． （2）探究：如图②，平分，，，（1）中的结论是否成立？请作出判断并给予证明． 【高分演练】 一、单选题 16．（2024八年级上·江苏）如图，平分，于点D，若，则P到的距离是（　　）     A．4 B．5 C．6 D．7 17．（23-24八年级上·河北承德·期末）如图，平分，于点，于点，，则图中全等三角形有（    ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 18．（23-24八年级下·陕西榆林·期末）如图，在中，，点在上，连接，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 19．（2024·天津·中考真题）如图，中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点；再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点；画射线，与相交于点，则的大小为（    ）    A． B． C． D． 20．（23-24八年级下·河北保定·阶段练习）如图，在中，平分．若，则的周长是（    ） A．6 B． C．8 D．9 21．（23-24七年级下·江西吉安·期末）如图，点，分别是，平分线上的点，于点，于点，于点，则以下结论错误的是（   ） A． B． C．与相等的角只有 D． 22．（23-24八年级下·山东菏泽·阶段练习）如图，的三边、、的长分别为、和，三条角平分线的交点为O，则（    ） A． B． C． D． 23．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，为的角平分线．与相交于点F，平分，有下列四个结论：①；②；③；④若，．其中正确的是（　　） A．①③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 24．（23-24八年级上·安徽·单元测试）如图，点D是的外角平分线上一点，且满足，过点D作于点E ，交的延长线于点F，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 25．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，在中，是边上的高，平分，交于点，，，则的面积等于 ． 26．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，、分别是的高线和角平分线，交于点F，的面积是10，，则线段的长度为 ． 27．（23-24八年级下·河南郑州·期末）把两个同样大小的初中专用三角尺与像如图所示那样放置，，，M是与的交点．直接测得的长度为，则点M到AB的距离是 ． 28．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在中，，点到三边的距离相等，则的度数为 ． 29．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，D为中点，，，交于F，，，那么 ． 三、解答题 30．（23-24八年级·山东威海·期末）已知， (1)借助直尺和圆规作（保留作图痕迹，不必写步骤）； (2)若平分，平分，则的度数为 ． 31．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）如图，是AD中点，平分．    (1)若，求证：平分． (2)若，求证：． 32．（23-24七年级下·贵州毕节·期末）如图，是的平分线，，点E在上，连接、，过点D作，，垂足分别是F、G． (1)求证：； (2)求证：． 33．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，在中，点在边上，连接，有，的平分线交于点，过点作交的延长线于点，且，，连接．求的度数． 34．（23-24七年级下·重庆沙坪坝·阶段练习）如图1，在中，为边上的高，是的角平分线，点为上一点，连接，． (1)求证：平分 (2)如图2，连接交于点，若与的面积相等，求证： 35．（23-24八年级下·陕西宝鸡·期中）【问题背景】 如图，在中，，，是的角平分线，它们相交于点． 【初步探究】（1）如图1，连接，求证：点在的平分线上； 【深入探究】（2）如图2，延长交于点，过点作于点于点，并连接，试判断与的大小关系； 【拓展延伸】（3）如图3，延长交于点，连接交于点，过点作于点，于点，请问和有何数量关系？ 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 12.3 角平分线的性质 【考点归纳】 · 考点一：角平分线的性质定理 · 考点二：角平分线的判定定理 · 考点三：作角平分线（尺规作图） · 考点四：角平分线的实际应用 · 考点五：角平分线的综合性问题 【知识梳理】 知识点： 角平分线 性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 内心：三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。 判定：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 【题型探究】 题型一：角平分线的性质定理 1．（24-25八年级上·上海）如图，在中，，的平分线交于点D，，，则的面积是（    ） A．10 B．15 C．20 D．30 【答案】B 【分析】过D作于E，根据角平分线性质求出，根据三角形的面积求出即可．本题考查了角平分线的性质．熟练掌握“角平分线上的点到角两边的距离相等”是解题的关键． 【详解】 如图，过D作于E， ， ， 平分， ， ， 故选B． 2．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，在中，，平分，过点作于点，若，，则的长为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】本题考查角平分线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 根据角平分线的性质可以得到的长，再根据，即可求得的长． 【详解】解：， ∴， ∵平分，， ， ， ， ， ， 故选：B． 3．（23-24八年级下·湖南张家界·期末）如图，点是的三个内角平分线的交点，若的周长为，面积为，则点P到边的距离是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．过点P作于D，于E，于F，根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积公式计算，得到答案． 【详解】解：过点P作于D，于E，于F，如图， ∵点P是的内角平分线的交点， ∴， 又的周长为，面积为， ∴， ∴ ∴ ∴点P到边的距离是3cm 故选：A． 题型二：角平分线的判定定理 4．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，于于和交于D，且，求证：平分．      【答案】见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的判定和全等三角形的性质和判定，解题的关键是根据“角的内部到角两边距离相等的点在角平分线上”证得结论． 先根据定理得出，故可得出，由此可得出结论． 【详解】证明：∵于于E， ∴． 在与中， ， ∴， ∴， ∴平分． 5．（23-24八年级上·重庆长寿·期末）如图，在中，，于点E，，交于点F，的延长线交于点G，求证： (1)； (2)平分． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定定理． （1）由平行线的公理可得出，先证明，再证明，即可得结论； （2）证明，得，然后根据角平分线的判定即可解决问题． 【详解】（1）证明：， ， ∵， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：在和中， ， ， ∴． 平分． 6．（2024八年级上·全国·专题练习）已知：如图，的外角和的平分线相交于点， (1)求证：点在的平分线上； (2)若，求的大小． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】本题主要考查了角平分线的判定与性质，三角形的内角和定理和外角性质，熟练掌握角平分线上的点到这个角的两边距离相等，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上是解题的关键． （）作于，于，于，根据角平分线的性质定理得到，同理得到，根据角平分线的判定定理证明即可； （）利用角平分线的性质和三角形的外角性质可求出，，再利用三角形内角和定理便可求出的度数； 【详解】（1）证明：作于，于，于， ∵平分，，， ∴， 同理，， ∴， 又∵，， ∴点在的平分线上； （2）解：∵为两外角的平分线，， ∴，， 由三角形内角和定理得： ． 题型三：作角平分线（尺规作图） 7．（24-25八年级上·陕西西安）如图，在中，．请用尺规作图在边上找一点D，使点D到直线的距离等于．（要求：保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】见解析 【分析】本题考查尺规作角平分线，角平分线的性质， 作的平分线交于，根据角平分线的性质得点到的距离等于． 【详解】解：如图，作的平分线交于， ∵，即， ∵平分 ∴点到的距离等于， ∴点即为所作． 8．（24-25八年级上·广西南宁·开学考试）如图，在中，． (1)尺规作图：作的平分线，交于点D；（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母） (2)若，，求的度数． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题主要考查作角平分线和三角形内角和定理， （1）根据作已知角的角平分线作图即可； （2）根据三角形内角和定理求得，结合角平分线求得，再利用三角形内角和即可求得答案． 【详解】（1）解：如图，线段即为所求． （2）解：，， ∴， ∵平分， ， ∴． 9．（23-24八年级上·江苏镇江·期末）如图，点、在的两边上，且． (1)请按下列语句用直尺和圆规作图：作，垂足为，的平分线交的延长线于点，连接不写作法，保留作图痕迹 (2)作图后，该图中有 对全等三角形． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题考查了基本作图，角平分线的作法，全等三角形的判定，等腰三角形三线合一的性质，是基础题，难度不大． （1）作的平分线，然后根据等腰三角形三线合一的性质可得，以点为圆心，以任意长为半径画弧，与、分别相交，再以交点为圆心，以大于两交点之间距离的一半为半径画弧，相交于一点，然后作出角平分线，作线段即可； （2）根据对称性找出全等三角形． 【详解】（1）解：如图所示， （2）解：根据对称性，，，，共3对． 故答案为：3 题型四：角平分线的实际应用 10．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，铁路和铁路交于O处，河道与铁路分别交于A处和B处，试在河岸上建一座水厂M，要求M到铁路，的距离相等，则该水厂M应建在图中什么位置？请在图中标出M点的位置． 【答案】见解析 【分析】本题考查了角平分线的性质，角平分线的作法；根据题意作的平分线交于点，点即为水厂的位置． 【详解】解：如图所示，作的平分线交于点，点即为水厂的位置． 11．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，三条公路两两相交于点A，B，C，现在要在公路边建一所加油站，要求加油站的位置到三条公路的距离都相等，则符合要求的位置有几个？请你找出所有加油站的位置(要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出结论)． 【答案】4个；图见解析 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，角平分线的性质等知识，利用角平分线的性质作出图形即可． 【详解】解：如图所示，即为加油站的位置，共有4个符合要求的位置． 12．（23-24八年级上·全国·课堂例题）如图，要在河流的右侧、公路的左侧区建一个工厂，位置选在到河流和公路的距离相等，并且到河流与公路交叉点处的距离为（指图上距离）的地方，则图中工厂的位置应选在哪里？画图并说明理由．    【答案】见解析 【分析】先根据角平分线的尺规作图方法作出图，再根据角平分线的性质即可得到答案． 【详解】解：如图，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，分别以点为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧交内部于点，作射线，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，则点即为所求，   ， 理由：由作图步骤可知，是的角平分线，角的平分线上的点到角的两边的距离相等， 上的点到的距离相等， ， 工厂应该选在点处． 【点睛】本题主要考查了尺规作图—角平分线，角平分线的性质，熟练掌握角平分线的尺规作图方法以及角平分线的性质是解题的关键． 题型五：角平分线的综合性问题 13．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，中，平分交于点E，平分．交于点D，与交于点O，连接． (1)求的度数； (2)求证：平分 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查角平分线的性质、三角形外角的性质和三角形内角和定理、 （1）结合角平分线设，，则，即，利用三角形的外角定理得即可； （2）过点O作于点N，于点M，于点K．则有和．即，即可得到点O在的平分线上． 【详解】（1）解：∵，平分， ∴设，； ∵ ； ∴，即， ∴， 在中，， ∴． （2）证明：如图1，过点O作于点N，于点M，于点K． ∵平分，平分， ∴，． ∴． ∴点O在的平分线上． ∴平分． 14．（24-25八年级上·广西南宁·开学考试）如图，于，于，若、． (1)求证：． (2)与有什么数量关系？请写出结论并说明理由． (3)请猜想、、之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)详见解析 (2)，详见解析 (3)，详见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的性质和角平分线的性质， （1）根据题意得，即可证明，有成立； （2）由（1）知，，则平分，那么，，即有； （3）由（1）知，，可证明，有，则，即有． 【详解】（1）证明：∵，， ， 在与中 ∴， ． （2）解：，理由如下： ∵，，且， 平分， ∴， 即． （3）解：，理由如下： 由（1）知，， ∵，， ， 在与中 ， ∴， ∴， 即． 15．（24-25八年级上·辽宁盘锦·开学考试）（1）感知：如图①，平分，，，易知，数量关系为：______． （2）探究：如图②，平分，，，（1）中的结论是否成立？请作出判断并给予证明． 【答案】（1）；（2）结论成立，见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． （1）只要证明即可； （2）如图②中，作于，于，只要证明即可； 【详解】解：（1）结论：． 理由：，， ， ，， ． ． 故答案为：． （2）结论成立． 理由：如图②中，作于，于． 平分，，， ， ，， ， 在和中， ， ， ． 【高分演练】 一、单选题 16．（2024八年级上·江苏）如图，平分，于点D，若，则P到的距离是（　　）     A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】此题考查了角平分线的性质定理，过点P作于点E，根据角平分线的性质得到即可． 【详解】解：过点P作于点E，如图， ∵平分，于点D，于点E， ∴． 即P到的距离是． 故选：C． 17．（23-24八年级上·河北承德·期末）如图，平分，于点，于点，，则图中全等三角形有（    ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形全等的判定定理，角平分线的性质，熟练掌握三角形全等的判定方程是解题的关键． 根据全等三角形的判定分别证明，，，即可得到答案． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵，， ∴； ∴， ∵平分， ∴， ∵于点，于点， ∴； ∵平分， ∴， 又∵， ∴． ∴图中全等三角形有3对 故选C． 18．（23-24八年级下·陕西榆林·期末）如图，在中，，点在上，连接，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的判定以及三角形的内角和性质，根据，以及，得出，证明是的角平分线，结合，，得出，即可作答． 【详解】解：如图：过点D作 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴是的角平分线 ∴ ∵， ∴ ∴的度数为 故选：C． 19．（2024·天津·中考真题）如图，中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点；再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点；画射线，与相交于点，则的大小为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查基本作图，直角三角形两锐角互余以及三角形外角的性质，由直角三角形两锐角互余可求出，由作图得，由三角形的外角的性质可得，故可得答案 【详解】解：∵， ∴， 由作图知，平分， ∴， 又 ∴ 故选：B 20．（23-24八年级下·河北保定·阶段练习）如图，在中，平分．若，则的周长是（    ） A．6 B． C．8 D．9 【答案】C 【分析】此题主要考查角平分线的性质以及全等三角形的判定和性质，首先根据，是的平分线，，得出，，然后判定，得出，，即可得出的周长． 【详解】解：∵，是的平分线，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴的周长， 故选C． 21．（23-24七年级下·江西吉安·期末）如图，点，分别是，平分线上的点，于点，于点，于点，则以下结论错误的是（   ） A． B． C．与相等的角只有 D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，余角的定义，熟记各性质并准确识图是解题的关键． 根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，，再利用“HL”证明，根据全等三角形对应边相等可得，，同理可得，，然后求出，然后对各项分析判断即可． 【详解】解：∵A，B分别是，平分线上的点， ∴，， ∵， ∴，故选项A结论正确， 在和中， ， ∴， ∴，， 同理可得，， ∴，故B选项结论正确， ∵， ∴， ∵A，B分别是，平分线上的点， ∴，， ∴，， ∴， ∵于点C，于点D， ∴，， ∴，， 与互余的角有，，，共4个，故选项C结论错误 ∵， 故选项D结论正确． 故选：C． 22．（23-24八年级下·山东菏泽·阶段练习）如图，的三边、、的长分别为、和，三条角平分线的交点为O，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查角平分线的性质，过O作于M，于N，于K，由角平分线的性质推出，由三角形面积公式得到的面积，的面积，的面积，于是得到． 【详解】解：过O作于M，于N，于K， ∵的三条角平分线的交点为O， ∴， ∴的面积，的面积，的面积， ∵、、的长分别为、和， ∴． 故选：A． 23．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，为的角平分线．与相交于点F，平分，有下列四个结论：①；②；③；④若，．其中正确的是（　　） A．①③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、角平分线的性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 根据可对①进行判断；根据三角形全等的判定方法中必须有边的参与可对②进行判断；根据“”证明可对③进行判断；根据等边三角形的判定及性质得出，利用证明△BDF≌△CEF可对④进行判断． 【详解】解：∵，为三角形ABC的角平分线， ∴， ∴，故①正确； 在和中，，但没有相等的边，则和不一定全等， ∴，故②错误； ∵， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∴，故③正确，符合题意； 若， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 在和中，， ∴，故④正确； 综上，正确的结论是①③④． 故选：C． 24．（23-24八年级上·安徽·单元测试）如图，点D是的外角平分线上一点，且满足，过点D作于点E ，交的延长线于点F，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并准确识图判断出全等的三角形是解题的关键．根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，再证明；然后得到，证明，得，然后求出；根据得到，然后由，即可证明出；根据可得，然后根据三角形内角和定理得到． 【详解】解：如图所示， ∵平分，，， ∴， 在和中， ∴，故①不符合题意； ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴，故②符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故③不符合题意； ∵， ∴， 又∵， ∴，故④符合题意； 故选B． 二、填空题 25．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，在中，是边上的高，平分，交于点，，，则的面积等于 ． 【答案】6 【分析】本题考查了角平分线的性质以及三角形的面积，解题关键是恰当作出辅助线求得三角形的高． 过点作于，由角平分线的性质得到，所以根据三角形的面积公式作答即可． 【详解】解：如图，过点作于， 是边上的高， ． 平分，， ． ， ． 故答案为：6． 26．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，、分别是的高线和角平分线，交于点F，的面积是10，，则线段的长度为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质、三角形外角和定理和角平分性质，过C作交延长线于H，则，，结合已知可得，则和，进一步求得，有，即可证明，则，利用三角形面积公式即可求得． 【详解】解：过C作交延长线于H，如图， 则，， ∵， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， 即， ∴， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 则， 解得． 故答案为：4． 27．（23-24八年级下·河南郑州·期末）把两个同样大小的初中专用三角尺与像如图所示那样放置，，，M是与的交点．直接测得的长度为，则点M到AB的距离是 ． 【答案】4.5 【分析】本题考查了角平分线的性质，过点M作于点E，证明，即可得到点M到的距离． 【详解】解：过点M作于点E， ∵， ∴ ∴ ∵， ∴， 故答案为：4.5． 28．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在中，，点到三边的距离相等，则的度数为 ． 【答案】/135度 【分析】本题考查角平分线的判定，根据点到三边的距离相等，得出点在的角平分线上，即可得解．解题的关键是掌握：到角两边距离相等的点在角的平分线上． 【详解】解：∵点到三边的距离相等， ∴点在的角平分线上，即与都是的角平分线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为． 故答案为：． 29．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，D为中点，，，交于F，，，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，直角三角形全等的判定及性质，连接，过点E作交的延长线于点G，由角平分线的性质得，由可判定，由全等三角形的性质得，同理可证，即可求解；掌握相关的性质，构建三角形全等是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，过点E作交的延长线于点G， 为中点，， ， ， ， ， ，， ， 在和中， ， （）， ， 同理可证：， ， ， 解得：， ， 故答案：． 三、解答题 30．（23-24八年级·山东威海·期末）已知， (1)借助直尺和圆规作（保留作图痕迹，不必写步骤）； (2)若平分，平分，则的度数为 ． 【答案】(1)见解析 (2)30或60 【分析】本题主要考查了尺规作图，角的和差，角平分线的定义，关键是分情况讨论． （1）根据尺规作图作垂线的步骤作图即可； （2）根据角平分线的定义求出、，再分两种情况：当在上方时，当在上方时，分别进行讨论求解． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求 （2）∵平分，， ∴， ∵平分，， ∴， 当在上方时，； 当在上方时，； 故答案为：30或60． 31．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）如图，是AD中点，平分．    (1)若，求证：平分． (2)若，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题主要考查三角形全等的判定与性质，灵活做辅助线是解题的关键． （1）过点E作，垂足为H，根据角平分线性质可得，再由角平分线判定即可得出结论； （2）在上截取，连接．先证明可得，再证可得即可证明结论． 【详解】（1）证明：过点E作，垂足为H，    ∵平分，， ∴， 又∵是中点，即， ∴， ∵，， ∴：平分． （2）解：如图：在上截取，连接．   平分， ． 在和中， ， ，． 是的中点， ． 又， ， ， ， 在和中 ． ， ， ， ∴ 32．（23-24七年级下·贵州毕节·期末）如图，是的平分线，，点E在上，连接、，过点D作，，垂足分别是F、G． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查角平分线的性质，全等三角形性质和判定，补角定义，熟练掌握相关性质是解题的关键． （1）首先利用角平分线的性质可得，然后再利用“”判定即可； （2）根据全等三角形的性质可得，根据等角的补角相等可得，再证明，即可证明． 【详解】（1）证明：是的平分线， ， 在和中， ， ； （2）证明：， ， ， ，，， ， ． 33．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，在中，点在边上，连接，有，的平分线交于点，过点作交的延长线于点，且，，连接．求的度数． 【答案】 【分析】此题考查了角平分线的性质，理解角平分线上的点到角的两边距离相等，到角两边距离相等的点在角的平分线上是解答此题的关键．过点作于点，于点，先通过计算得出，根据角平分线的性质得，，进而得，据此根据角平分线的性质可得出结论 【详解】解：如图，过点作于点，于点， ，， ， ， ， ，即为的平分线． 又，， ． 是的平分线， ， ， 点在的平分线上， 平分． 34．（23-24七年级下·重庆沙坪坝·阶段练习）如图1，在中，为边上的高，是的角平分线，点为上一点，连接，． (1)求证：平分 (2)如图2，连接交于点，若与的面积相等，求证： 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的证明以及性质运用，角平分线的判定以及基本性质，熟练掌握全等三角形的几种判定方法以及角平分线的判定是解答该题的关键． （1）根据是的角平分线和，为边上的高，可得，由得，即可证明； （2）过点E作于点M，于点N，由角平分线性质可以得，由与的面积相等可得，证明，得出，， 即可得出，再根据垂直模型证明，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵为边上的高，即， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即：平分． （2）过点E作于点M，于点N， 平分，且，， ． ， ， 平分， ， 在和中， ， ，， ， ， ， 为边上的高， ， ， ． 在和中， ． . 35．（23-24八年级下·陕西宝鸡·期中）【问题背景】 如图，在中，，，是的角平分线，它们相交于点． 【初步探究】（1）如图1，连接，求证：点在的平分线上； 【深入探究】（2）如图2，延长交于点，过点作于点于点，并连接，试判断与的大小关系； 【拓展延伸】（3）如图3，延长交于点，连接交于点，过点作于点，于点，请问和有何数量关系？ 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】本题考查了角平分线的性质和判定，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． （1）过点作的垂线段，分别交于点，证明即可解答； （2）过点作的垂线段，交的延长线于点，可得，证明，可得，即可解答； （3）过点作的垂线段，交于点，过点作于点于点，同（2）中原理可得平分，可得即可解答。 【详解】（1）证明：如图，过点作的垂线段，分别交于点， ，是的角平分线， ， 点在的角平分线上（到角两边距离相等的点，在这个角的角平分线上）； （2），理由如下： 如图，过点作的垂线段，交的延长线于点， 是的角平分线，， ， ， ， 是的平分线， ， ， ， ， ； （3）解：如图，过点作的垂线段，交于点，过点作于点于点， 根据（2）中原理可得， 是的平分线， ， ， 平分，，， ． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$