12.2三角形全等的判定【7大题型】-2024-2025学年八年级上册数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（人教版）

12.2三角形全等的判定 【考点归纳】 考点一：SSS证明三角形全等问题 考点二：SAS证明三角形全等问题 考点三：ASA（AAS）证明三角形全等问题 考点四：“HL”证明三角形全等问题 考点五：添加一个条件证明全等问题 考点六：尺规作图的全等问题 考点七：全等三角形的辅助线问题 【知识梳理】 知识点一：三角形全等的判定： ①三边对应相等的两个三角形全等；（“边边边”或“SS”S） ②两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等；（“边角边”或“SAS”） ③两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等；（“角边角”或“ASA”） ④两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等；（“角角边”或“AAS”） ⑤斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等；（“斜边直角边”或“HL”） 技巧归纳：．证题的思路： 注意：①判定两个三角形全等必须有一组边对应相等； ②全等三角形面积相等． 【题型探究】 题型一：SSS证明三角形全等问题 1．（2024·贵州·模拟预测）如图，在 和 中 ，，， 在不添加任何辅助线的条件下， 可判断，  判断这两个三角形全等的依据是（    ） A． B． C． D． 2．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，，，求证：． 3．（2023·云南玉溪·三模）如图，点在一条直线上，，求证：． 题型二：SAS证明三角形全等问题 4．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，点B、C、E、F共线，，，．求证：． 5．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，点、、、共线，，，．求证：． 6．（23-24八年级下·四川泸州·阶段练习）如图，，，，，直线与交于点F，交于点G，连接．求证：． 题型三：ASA（AAS）证明三角形全等问题 7．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，A，F，E，C四点在同一条直线上，．求证：． 8．（2024八年级上·全国·专题练习）如图， ，，点D在边上，．求证： 9．（2024·山东淄博·二模）如图， 点在的外部，点在上，交于点， ，．求证： ． 题型四：“HL”证明三角形全等问题 10．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，在中，，且，点E是线段上一点，连接，且．求证：． 11．（23-24八年级下·河北保定·阶段练习）如图，，过点作于点，过点作于点．求证：． 12．（23-24八年级上·云南曲靖·期中）如图，在和中，与分别为边上的中线，且，求证：． 题型五：添加一个条件证明全等问题 13．（24-25八年级上·上海·单元测试）如图，线段与相交于点O，连接，且，要使，应添加一个条件是 （只填一个即可）． 14．（23-24七年级下·山西太原·期末）如图，，，要使，则可添加的一个条件是 （写出一个即可）．    15．（2024·陕西渭南·二模）如图，在和中，点D在上，，，请你再添加一个条件：______，使得，并说明理由． 题型六：尺规作图的全等问题 16．（2021·湖南长沙·中考真题）人教版初中数学教科书八年级上册第35-36页告诉我们作一个三角形与已知三角形全等的方法： 已知：． 求作：，使得≌． 作法：如图． （1）画； （2）分别以点，为圆心，线段，长为半径画弧，两弧相交于点； （3）连接线段，，则即为所求作的三角形． 请你根据以上材料完成下列问题： （1）完成下面证明过程（将正确答案填在相应的横线上）： 证明：由作图可知，在和中， ∴≌______． （2）这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是______．（填序号） ①AAS；②ASA；③SAS；④SSS 17．（23-24八年级上·北京·期中）已知一个三角形的两条边长分别是和，一个内角为．    (1)请你借助图1画出一个满足题设条件的三角形； (2)你是否还能画出既满足题设条件，又与（1）中所画的三角形不全等的三角形？若能，请你在图1的右边用“尺规作图”作出所有这样的三角形；若不能，请说明理由． 友情提醒：请在你画的图中标出已知角的度数和已知边的长度，“尺规作图”不要求写作法，但要保留作图痕迹． (3)如果将题设条件改为“三角形的两条边长分别是和，一个内角为”，那么满足这一条件，且彼此不全等的三角形共有__________个． 18．（2021·甘肃庆阳·一模）如图，B，C分别为射线的端点，连接，按要求完成下列各小题．（保留作图痕迹，不要求写作法，标明各顶点字母） （1）在的右侧，作，交射线于点E； （2）在（1）的条件下，求作（点F在内）使得． 题型七：全等三角形的辅助线问题 19．（23-24八年级上·贵州铜仁·期末）某数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到，使，请补充完整证明“”的推理过程． （1）求证： 证明：延长到点，使 在和中 （__________） （2）由（1）的结论，根据与之间的关系，探究得出的取值范围是__________； （3）【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 如图2，中，，，是的中线，，，且，求的长． 20．（22-23八年级上·广东江门·阶段练习）已知，中，，，直线m过点A，且于D，于E，当直线m绕点A旋转至图1位置时，我们可以发现． (1)当直线m绕点A旋转至图2位置时，问：与、的关系如何？请予证明； (2)直线m在绕点A旋转一周的过程中，、、存在哪几种不同的数量关系？（直接写出，不必证明） 21．（23-24八年级上·山西吕梁·期末）数学课上，老师让同学们利用三角形纸片进行操作活动，探究有关线段之间的关系 问题情境： 如图1，三角形纸片中，，.将点C放在直线上，点A，B位于直线的同侧，过点A作于点D 初步探究： (1)在图1的直线上取点E，使，得到图2，猜想线段与的数量关系，并说明理由； (2)小颖又拿了一张三角形纸片继续进行拼图操作，其中，.小颖在图1的基础上，将三角形纸片的顶点P放在直线上，点M与点B重合，过点N作于点H.如图3，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由 【高分演练】 一、单选题 22．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，与的边，在同一条直线上，，且，请添加一个条件，使，全等的依据是“”，则需要添加的条件是（    ） A． B． C． D． 23．（2024·湖南·模拟预测）用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示，则说明的依据是（　　） A． B． C． D． 24．（2024八年级上·全国·专题练习）在中，，是上的一点，且，过作交于，如果，则等于（　　） A． B． C． D． 25．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，已知于点，交于点，于点，且．若，则的大小为（　　） A． B． C． D． 26．（23-24八年级上·四川眉山·期中）如图，在和中，已知，还需要添加两个条件才能使，不能添加的一组条件是（       ）． A． ， B． ， C． ， D．， 27．（23-24七年级下·陕西榆林·期末）如图，在中，，垂足分别为D，E，与交于点F，已知，则的长是（    ） A． B．1 C． D．2 28．（23-24七年级下·福建福州·期末）如图，是的角平分线，，垂足为．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 29．（23-24八年级下·江西吉安·期末）如图，是的角平分线，，垂足为F，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 30．（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图，，平分，下列结论∶① 平分；②；③；④．其中正确的有（   ） A．①③ B．③④ C．①③④ D．②③④ 二、填空题 31．（24-25八年级上·北京·开学考试）如图，，点D，E分别在与上，与相交于点F．只填一个条件使得，添加的条件是： ． 32．（24-25八年级上·北京）如图，是锐角的高，相交于点，若，，，则的长为 ． 33．（2024八年级上·全国·专题练习）已知面积为24，将沿的方向平移到的位置，使和C重合，连接交于D，则的面积为 ． 34．（23-24九年级下·重庆·期中）如图，分别是外部的两点，连接，有，，．连接交于点，则的度数为 ． 三、解答题 35．（2024八年级上·全国·专题练习）已知：如图，， ，，求证：． 36．（2024·江苏无锡·二模）如图，点C在线段上，，，，．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 37．（23-24八年级上·安徽·期末）如图，在四边形中，，为对角线上一点，，且． (1)求证：． (2)若，，求的长． 38．（24-25八年级上·广东深圳）如图1，点为线段上的任意一点（不于，重合），分别以，为一腰在的同侧作等腰和，，，与都是锐角，且． (1)试说明：； (2)如图2，与相交于点，，求的度数． 39．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，已知，，，与交于点P，点C在上． (1)求证：； (2)若，． ①求的度数； ②求证：． 40．（2024八年级上·河北·专题练习）如图1，把一块直角三角尺的直角顶点C放置在水平直线上，在中，，，试回答下列问题： (1)若把三角尺绕着点C按顺时针方向旋转，当时， 度； (2)在三角尺绕着点C按顺时针方向旋转过程中，分别作于M，与N，若，，求． (3)三角尺绕着点C按顺时针方向继续旋转到图3的位置，其他条件不变，则、与之间有什么关系？请说明理由． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 12.2三角形全等的判定 【考点归纳】 考点一：SSS证明三角形全等问题 考点二：SAS证明三角形全等问题 考点三：ASA（AAS）证明三角形全等问题 考点四：“HL”证明三角形全等问题 考点五：添加一个条件证明全等问题 考点六：尺规作图的全等问题 考点七：全等三角形的辅助线问题 【知识梳理】 知识点一：三角形全等的判定： ①三边对应相等的两个三角形全等；（“边边边”或“SS”S） ②两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等；（“边角边”或“SAS”） ③两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等；（“角边角”或“ASA”） ④两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等；（“角角边”或“AAS”） ⑤斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等；（“斜边直角边”或“HL”） 技巧归纳：．证题的思路： 注意：①判定两个三角形全等必须有一组边对应相等； ②全等三角形面积相等． 【题型探究】 题型一：SSS证明三角形全等问题 1．（2024·贵州·模拟预测）如图，在 和 中 ，，， 在不添加任何辅助线的条件下， 可判断，  判断这两个三角形全等的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了三角形全等的判定方法，根据已知条件结合公共边，即可根据证明两三角形全等． 【详解】解：在和中， ， ∴． 故选：C． 2．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，已知，又公共，根据即可证明． 【详解】证明：在与中， ， ∴． 3．（2023·云南玉溪·三模）如图，点在一条直线上，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定，由可得，即可由证明，掌握全等三角形的判定方法解题的关键． 【详解】证明：∵， ∴， 即， 在和中 ， ∴． 题型二：SAS证明三角形全等问题 4．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，点B、C、E、F共线，，，．求证：． 【答案】证明见解答过程 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握判定方法是解题的关键．根据全等三角形的判定方法即可证明结论． 【详解】证明：， ， 即， 在和中， ， ． 5．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，点、、、共线，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据题意得出，利用即可证明． 【详解】证明：， ， 即， 在和中， ， ． 6．（23-24八年级下·四川泸州·阶段练习）如图，，，，，直线与交于点F，交于点G，连接．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定．根据垂直的定义得到，由角的和差得到，即可得到结论． 【详解】证明：∵，， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴． 题型三：ASA（AAS）证明三角形全等问题 7．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，A，F，E，C四点在同一条直线上，．求证：． 【答案】见解析 【分析】题目主要考查平行性的性质及全等三角形的判定，根据题意得出，，，再由全等三角形的判定即可证明． 【详解】证明：∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 8．（2024八年级上·全国·专题练习）如图， ，，点D在边上，．求证： 【答案】见解析 【分析】先证明，则可得，然后根据即可证明． 本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】证明：∵和相交于点O， ∴． 在和中， ， ∴． 又∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴． 9．（2024·山东淄博·二模）如图， 点在的外部，点在上，交于点， ，．求证： ． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，三角形内角和，熟知判定方法是解题的关键．通过，，可得，即可通过证明． 【详解】证明：， ，即， ， ， 即， 在与中， ． 题型四：“HL”证明三角形全等问题 10．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，在中，，且，点E是线段上一点，连接，且．求证：． 【答案】证明见解析． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，直接利用证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴． 11．（23-24八年级下·河北保定·阶段练习）如图，，过点作于点，过点作于点．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了用证明三角形全等，先由垂直得出，再由线段的和差关系即可得出，则可用证明． 【详解】证明：，， ． ，，， ． 在和中， ． 12．（23-24八年级上·云南曲靖·期中）如图，在和中，与分别为边上的中线，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，三角形中线的定义，先根据三角形中线的定义证明，再利用即可证明． 【详解】证明：∵与分别为边上的中线， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． 题型五：添加一个条件证明全等问题 13．（24-25八年级上·上海·单元测试）如图，线段与相交于点O，连接，且，要使，应添加一个条件是 （只填一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）是解题的关键．观察图形可知：已有一角一边对应相等．根据三角形全等的判定方法解答． 【详解】解：添加条件， 在和中， ， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 14．（23-24七年级下·山西太原·期末）如图，，，要使，则可添加的一个条件是 （写出一个即可）．    【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键，全等三角形的判定定理有：． 【详解】解：添加条件，理由如下： ∵， ∴，即， 又∵，， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 15．（2024·陕西渭南·二模）如图，在和中，点D在上，，，请你再添加一个条件：______，使得，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定条件，判定三角形全等的定理有：，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关键． 根据已知条件可推知，两个三角形有一组角、一组边分别对应相等，只需要再添加一组对应角相等，构成或即可证得两三角形全等（也可添加条件，构成）． 【详解】解：添加的条件是：． 理由：∵， ∴，即． 在和中，，，， ∴． 注：答案不唯一，添加或均可． 题型六：尺规作图的全等问题 16．（2021·湖南长沙·中考真题）人教版初中数学教科书八年级上册第35-36页告诉我们作一个三角形与已知三角形全等的方法： 已知：． 求作：，使得≌． 作法：如图． （1）画； （2）分别以点，为圆心，线段，长为半径画弧，两弧相交于点； （3）连接线段，，则即为所求作的三角形． 请你根据以上材料完成下列问题： （1）完成下面证明过程（将正确答案填在相应的横线上）： 证明：由作图可知，在和中， ∴≌______． （2）这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是______．（填序号） ①AAS；②ASA；③SAS；④SSS 【答案】（1）；（2）④． 【分析】（1）先根据作图可知，再根据三角形全等的判定定理即可得； （2）根据三边对应相等的两个三角形是全等三角形即可得． 【详解】（1）证明：由作图可知，在和中， ， ∴． 故答案为：． （2）这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是， 故答案为：④． 【点睛】本题考查了利用定理判定三角形全等，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键． 17．（23-24八年级上·北京·期中）已知一个三角形的两条边长分别是和，一个内角为．    (1)请你借助图1画出一个满足题设条件的三角形； (2)你是否还能画出既满足题设条件，又与（1）中所画的三角形不全等的三角形？若能，请你在图1的右边用“尺规作图”作出所有这样的三角形；若不能，请说明理由． 友情提醒：请在你画的图中标出已知角的度数和已知边的长度，“尺规作图”不要求写作法，但要保留作图痕迹． (3)如果将题设条件改为“三角形的两条边长分别是和，一个内角为”，那么满足这一条件，且彼此不全等的三角形共有__________个． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)4 【分析】（1）在角的两边上分别以顶点为圆心截取1cm和2cm的线段，连接即可得到符合条件的三角形； （2）能，可在角的一边上以顶点为圆心截取1cm的线段，然后以1cm线段的另一个端点为圆心，2cm长为半径作弧，与角的另一边交于一点，也得符合条件的三角形； （3）分情况考虑即可：角可以是已知两边的夹角，也可以是其中一边的对角． 【详解】（1）作一个角等于已知角，然后在角的两边上分别以顶点为圆心截取1cm和2cm的线段，连接即可得到符合条件的三角形， 如图1所示；    （2）能，可在角的一边上以顶点为圆心截取1cm的线段，然后以1cm线段的另一个端点为圆心，2cm长为半径作弧，与角的另一边交于一点，所得三角形也符合条件， 如图2所示；    （3）角是边长为3cm与4cm两边的夹角， 如图3所示的；   角是4cm边的对角，如图4所示的两个三角形：及；角是3cm边的对角，如图5中的，故共有4个这样的三角形满足条件． 故答案为：4． 【点睛】本题是一道开放性的探索题，也考查了尺规作图，在已知两边与一角的情况下，所作的三角形不唯一，注意不同的情况所作的三角形个数不同． 18．（2021·甘肃庆阳·一模）如图，B，C分别为射线的端点，连接，按要求完成下列各小题．（保留作图痕迹，不要求写作法，标明各顶点字母） （1）在的右侧，作，交射线于点E； （2）在（1）的条件下，求作（点F在内）使得． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）利用基本作图作出∠BCE； （2）分别以C、B点为圆心，BE、CE为半径画弧，两弧交于点F，则△CBF为所作． 【详解】解：（1）如图，为所作； （2）如图，为所作． 【点睛】本题考查了作图，解决此类问题的关键是熟悉几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图． 题型七：全等三角形的辅助线问题 19．（23-24八年级上·贵州铜仁·期末）某数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到，使，请补充完整证明“”的推理过程． （1）求证： 证明：延长到点，使 在和中 （__________） （2）由（1）的结论，根据与之间的关系，探究得出的取值范围是__________； （3）【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 如图2，中，，，是的中线，，，且，求的长． 【答案】（1）已作；对顶角相等；； （2） （3）6 【分析】本题是三角形的综合题和倍长中线问题，主要考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）延长到点，使，由“”可证； （2）由全等三角形的性质可得，由三角形的三边关系可求解； （3））延长交的延长线于F，由“”可证，则，，证明，得，根据，即可得的长． 【详解】（1）证明：延长到点，使， 在和中， ， ； （2）由（1）得：，且，， ， 在中，， ； （3）延长交的延长线于F， ，， ， 在和中， ， ，， 又且 ， ， ， ． 即：的长是6． 20．（22-23八年级上·广东江门·阶段练习）已知，中，，，直线m过点A，且于D，于E，当直线m绕点A旋转至图1位置时，我们可以发现． (1)当直线m绕点A旋转至图2位置时，问：与、的关系如何？请予证明； (2)直线m在绕点A旋转一周的过程中，、、存在哪几种不同的数量关系？（直接写出，不必证明） 【答案】(1)，证明见解析； (2)，，． 【分析】（1）利用条件证明， 再结合线段的和差可得出结论； （2）根据图，可得、、存在3种不同的数量关系； 【详解】（1）证明：如图2， ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴（AAS）， ∴， ∵， ∴． （2）直线m在绕点A旋转一周的过程中，、、存在3种不同的数量关系：，，． 如图1时，， 如图2时，， 如图3时，，（证明同理） 【点睛】本题主要考查三角形全等，注意证三角形全等的方法及三角形全等后的性质． 21．（23-24八年级上·山西吕梁·期末）数学课上，老师让同学们利用三角形纸片进行操作活动，探究有关线段之间的关系 问题情境： 如图1，三角形纸片中，，.将点C放在直线上，点A，B位于直线的同侧，过点A作于点D 初步探究： (1)在图1的直线上取点E，使，得到图2，猜想线段与的数量关系，并说明理由； (2)小颖又拿了一张三角形纸片继续进行拼图操作，其中，.小颖在图1的基础上，将三角形纸片的顶点P放在直线上，点M与点B重合，过点N作于点H.如图3，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了全等三角形的常见模型－垂直模型，熟记模型的构成以及结论是解题关键． （1）过点B作于点F，证得，根据“三线合一”可得，即可求解； （2）结合（1）的推理过程可得得，再证得即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： 过点B作于点F，即， ， ，， . ， . . 在和中，， . . ，， . . （2）解：.理由如下： 过点B作于点F，∴， 由（1）可得：， . ， ，. ， . . 在和中，， . . 【高分演练】 一、单选题 22．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，与的边，在同一条直线上，，且，请添加一个条件，使，全等的依据是“”，则需要添加的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题关键． 由平行线的性质得，再证，然后由证即可． 【详解】解：A、若，不是对应角相等，显然不能证明，不符合题意； B、， ， ， ， 即， ， 不符合全等三角形的判定定理，不符合题意； C、， ， ， ， 即， ， ， 在和中， ， ，符合题意； D、， ， ， ， 即， 在和中， ， ，不符合题意， 故选：C． 23．（2024·湖南·模拟预测）用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示，则说明的依据是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形“边边边”的判定以及全等三角形的对应角相等这个知识点，熟练掌握三角形全等的性质是解题的关键．利用可证得，那么． 【详解】解：由作图知， ∴， ∴， 依据是， 故选：A． 24．（2024八年级上·全国·专题练习）在中，，是上的一点，且，过作交于，如果，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角形全等的判定和性质．利用“”得到，利用全等三角形对应边相等得到，最后根据，等量代换即可确定出的长．熟练掌握三角形全等的判定定理及性质定理是解题关键． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 25．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，已知于点，交于点，于点，且．若，则的大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的内角和定理，先由、得到，然后结合，得证，进而得到，再利用求得的大小，最后求得的大小． 【详解】解：，， ， ，， ， ， ，， ， ． 故选：B． 26．（23-24八年级上·四川眉山·期中）如图，在和中，已知，还需要添加两个条件才能使，不能添加的一组条件是（       ）． A． ， B． ， C． ， D．， 【答案】C 【分析】根据全等三角形的判定方法依次判定即可． 本题主要考查了全等三角形的判定．全等三角形的判定方法有：、、和，注意没有和．熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：A. 已知，若添加，，则可根据得到，故A选项不符合题意； B. 已知，若添加，，则可根据得到，故B选项不符合题意； C. 已知，若添加，，则不能得到，因为没有，故C选项符合题意； D. 已知，若添加，，则可根据得到，故D选项不符合题意； 故选：C． 27．（23-24七年级下·陕西榆林·期末）如图，在中，，垂足分别为D，E，与交于点F，已知，则的长是（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，先利用等角的余角相等得到，则可根据证明，则，然后计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 28．（23-24七年级下·福建福州·期末）如图，是的角平分线，，垂足为．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查角平分线的定义、全等三角形的判定和性质、三角形的内角和定理等知识，根据三角形的内角和求出相应各个角的度数是解决问题的关键. 根据三角形的内角和求出利用三角形全等求出，再利用外角求出答案. 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选： A. 29．（23-24八年级下·江西吉安·期末）如图，是的角平分线，，垂足为F，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，根据，求出，再根据三角形全等证明即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 30．（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图，，平分，下列结论∶① 平分；②；③；④．其中正确的有（   ） A．①③ B．③④ C．①③④ D．②③④ 【答案】C 【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，平行线的性质，理解题意，结合图形求解是解题关键． 根据平行线的性质及各角之间的等量代换得出，再由角平分线及等量代换可判断①；根据全等三角形的判定和性质可判断②和④；利用三角形面积的关系可判断③，即可得出结果． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∵ 平分， ， ∴ 平分，故①正确； 在上截取，连接， 在和中， ∴ ， 在和中， ，， 故②不正确，④正确； ， ∴， 故③正确； 故选：C． 二、填空题 31．（24-25八年级上·北京·开学考试）如图，，点D，E分别在与上，与相交于点F．只填一个条件使得，添加的条件是： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查的是全等三角形的判定定理，根据全等三角形的判定定理添加条件即可． 【详解】添加的条件是： ∵，， ∴ 故答案为：（答案不唯一）． 32．（24-25八年级上·北京·开学考试）如图，是锐角的高，相交于点，若，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质定理，熟练掌握性质定理是解题的关键． 根据题意得出，再根据同角的余角相等得出，根据证明，最后根据全等三角形的性质及线段的差与和即可得出答案． 【详解】解：∵是锐角的高， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为． 33．（2024八年级上·全国·专题练习）已知面积为24，将沿的方向平移到的位置，使和C重合，连接交于D，则的面积为 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查了平移的性质，全等三角形的性质与判定，三角形中线的性质，熟知平移的性质是解题的关键：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行（或共线）且相等，对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等． 根据平移的性质可得，证明，得到，则，再推出，则． 【详解】解：由平移的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，的面积为24， ∴， ∴． 故答案为：12． 34．（23-24九年级下·重庆·期中）如图，分别是外部的两点，连接，有，，．连接交于点，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形外角的定义及性质，设交于点，由，推导出，而，，即可根据“”证明，得，可求得，再根据邻补角定义求解即可． 【详解】解：设交于点， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 35．（2024八年级上·全国·专题练习）已知：如图，， ，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定及性质，三角形的内角和定理． 由，推导出，即可证明，得，即可由，，又，证明． 【详解】证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ， 又， ∴． 36．（2024·江苏无锡·二模）如图，点C在线段上，，，，．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质； （1）由即可得证； （2）由全等三角形的性质得，，即可求解； 掌握全等三角形的判定方法与性质，准确找出对应边、对应角是解题的关键． 【详解】（1）证明：，， ， 在和中， ， （）； （2）解：， ，， ． 37．（23-24八年级上·安徽·期末）如图，在四边形中，，为对角线上一点，，且． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，由全等三角形得到线段相等是解题的关键． （1）由补角的性质得到，由平行得，由即可证明三角形全等； （2）由全等三角形得，，进而求得，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴． ∴ 38．（24-25八年级上·广东深圳·开学考试）如图1，点为线段上的任意一点（不于，重合），分别以，为一腰在的同侧作等腰和，，，与都是锐角，且． (1)试说明：； (2)如图2，与相交于点，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握判定定理内容是解题关键． （1）证即可求解； （2）由（1）可得，根据可求得，即可求解； 【详解】（1）证明：∵， ∴ 即： ∵，， ∴ ∴ （2）解：∵， ∴ ∴ ∵，， ∴ ∴ 39．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，已知，，，与交于点P，点C在上． (1)求证：； (2)若，． ①求的度数； ②求证：． 【答案】(1)见解析(2)①；②见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形外角的性质，等腰三角形性质，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识． （1）根据题意证明，由全等三角形的性质即可证明； （2）①由三角形外角的性质求出，由全等三角形的性质得出，利用等腰三角形的性质求解，即可解题； ②利用“”证明，由全等三角形的性质即可得出结论． 【详解】（1）证明：， ， 即， 在和中， ， ， ； （2）解：①，， ， ， ， ， ； ②证明：， ， ， 由①可知：， 在和中， ， ， ． 40．（2024八年级上·河北·专题练习）如图1，把一块直角三角尺的直角顶点C放置在水平直线上，在中，，，试回答下列问题： (1)若把三角尺绕着点C按顺时针方向旋转，当时， 度； (2)在三角尺绕着点C按顺时针方向旋转过程中，分别作于M，与N，若，，求． (3)三角尺绕着点C按顺时针方向继续旋转到图3的位置，其他条件不变，则、与之间有什么关系？请说明理由． 【答案】(1)45(2)8(3)，理由见详解 【分析】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． （1）根据等腰直角三角形的性质以及平行线的性质求解即可； （2）根据等腰直角三角形的性质以及等角的余角相等，先证明，进而可得结论； （3）证明，可得结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为： 45； （2）∵于M，于N， ∴，． 在中， ∴， 同理：． 又∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； （3）解：结论：．理由如下： ∵， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$