专题突破2-1：等腰三角形专题复习（4大题型）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记·巧练（浙教版）

专题突破1：等腰三角形专题复习 轴对称与“将军饮马” 1、轴对称的性质：①成轴对的连个图形全等；②对应点的连线被对称轴垂直平分。 2、“将军饮马”模型 等腰三角形的边与角的考法 1、等腰三角形的定义方面，常和△的三边关系、△的周长、边的奇偶性等考点一起出题，做题时注意考虑全面； 2、等腰三角形的两底角相等，常和三角形内角和、三角形外角定理、平行线等考点一起出题，做题时谨遵一条——题目中出现什么概念，就立刻想其对应的性质。 “知二得一”模型 ①角平分线、②平行线、③等腰三角形 以上三个条件，已知任意两个，就可以推出剩余一个。 “两定一动”型等腰三角形的存在性问题 利用“两圆一线”确定等腰三角形 如图，已知线段AB，在直线L上找点P使得△ABP为等腰三角形 等腰三角形ABP可分为三种情况： ①当AB=AP时：以A为圆心，AB为半径作圆，与直线l相交于P1、P2； ②当AB=BP时：以B为圆心，AB为半径作圆，与直线l相交于P3、P4； ③当AP=BP时：作AB的垂直平分线交直线l于P5； 则P1、P2、P3、P4、P5即为所求 题型一 线段和最小模型—将军饮马 【例1】．（2024春•东阳市期末）如图，直线l1、l2表示一条河的两岸，且l1∥l2，现要在这条河上建一座桥，使得村庄A经桥过河到村庄B的路程最短，现两位同学提供了两种设计方案，下列说法正确的是（　　） 方案一： ①将点A向上平移d得到A'；②连接A'B交l1于点M；③过点M作MN⊥l1，交l2于点N，MN即桥的位置． 方案二： ①连接AB交l1于点M；②过点M作MN⊥l1，交l2于点N．MN即桥的位置． A．唯方案一可行 B．唯方案二可行 C．方案一、二均可行 D．方案一、二均不可行 【变式1-1】．（2023秋•温岭市期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，点D，E，F分别在AC，AB，BC上，连接BD，DE，DF，∠DBC＝30°，BE＝BF，当DE+DF最小时，则∠DFB＝（　　） A．75° B．82.5° C．90° D．97.5° 【变式1-2】．（2024•惠阳区校级三模）如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，当PC与PE的和最小时，∠CPE的度数是　 　． 【变式1-3】．（2023秋•义乌市月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（　　） A．2.4 B．4.8 C．4 D．5 【变式1-4】．（2023秋•北仑区期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点△ABC（即三角形的顶点都在格点上）． （1）△ABC的面积为　 　； （2）在图中作出△ABC关于直线MN的对称图形△A′B′C′． （3）利用网格纸，在MN上找一点P，使得PB+PC的距离最短．（保留痕迹） 【变式1-5】．（2023•滨江区校级开学）如图所示，点P在∠AOB内，点M，N分别是点P关于AO，BO的对称点，MN分别交OA，OB于点E，F． （1）若∠AOB＝α°，则∠MON＝　 　，∠EPF＝　 　（用含α的代数式表示）； （2）①若△PEF的周长是10cm，求MN的长． ②若∠O＝45°，OP＝x cm，直接写出△PEF的周长的最小值（用含x的代数式表示） 题型二 等腰三角形的边与角 【例2】．（2023秋•浙江月考）等腰三角形的一个内角为80°，则这个等腰三角形的底角为（　　） A．80°或50° B．80° C．50° D．50°或20° 【变式2-1】．（2023秋•苍南县期中）等腰三角形有两条边长分别为5和10，则这个等腰三角形的周长为（　　） A．15 B．20 C．25或20 D．25 【变式2-2】．（2023秋•龙湾区校级月考）如图，D为BC延长线上一点，点E在AB上，连结DE交AC于点F．若DB＝DE，∠A＝35°，∠D＝30°，则∠ACD的度数是（　　） A．115° B．110° C．105° D．95° 【变式2-3】．（2024•鄞州区校级开学）如图，在△PAB中，PA＝PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM＝AK，BN＝BK，若∠MKN＝44°，则∠P＝（　　） A．90 B．92 C．96 D．98 【变式2-4】．（2024•路桥区校级开学）如图，AB＝AC，D为AC的垂直平分线上一点，且CD＝BC，BD＝AB，则∠BAC＝　 　． 【变式2-5】．（2024•海曙区校级开学）如图，△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AC于P点． （1）若∠A＝35°，求∠BPC的度数 （2）若AB＝5cm，BC＝3cm，求△PBC的周长． 【变式2-6】．（2023秋•德清县月考）某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：设∠BAC＝θ（0°＜θ＜90°），现把小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在射线AB，AC上．如图所示，从点A1开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A1A2为第一根小棒，且A1A2＝AA1． （1）若已经摆放了3根小棒，则θ1＝　 　，θ2＝　 　，θ3＝　 　（用含θ的式子表示）； （2）若只能摆放4根小棒，求θ的范围． 题型三 等腰三角形“三线合一” 【例3】．（2023秋•沭阳县期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，且BC＝4，则BD长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3-1】．（2024•鹿城区校级开学）如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线．若AB＝AC，∠CAD＝20°，则∠AEC的度数是（　　） A．95° B．100° C．105° D．110° 【变式3-2】．（2023秋•娄星区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D点，点E、F分别是AD的任意两点，若△ABC的面积为18cm2，则图中阴影部分面积为 　 　cm2． 【变式3-3】．（2023秋•杭州期中）已知：如图，B，D，E，C在同一直线上，AB＝AC，AD＝AE．求证：BD＝CE． 【变式3-4】．（2023秋•富阳区校级月考）如图，在△ABC中，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，AD⊥BC，且BD＝DE，连接AE． （1）若∠BAE＝44°，求∠C的度数． （2）若AC＝7cm，DC＝5cm，求△ABC的周长． 题型四 等腰三角形的判定及存在性问题 【例4】．（2023秋•金华期中）如图，M，A，N是直线l上的三点，AM＝3，AN＝5，P是直线l外一点，且∠PAN＝60°，AP＝1，若动点Q从点M出发，向点N移动，移动到点N停止，在△APQ形状变化过程中，依次出现的特殊三角形是（　　） A．直角三角形—等边三角形—直角三角形—等腰三角形 B．直角三角形—等腰三角形—直角三角形—等边三角形 C．等腰三角形—直角三角形—等腰三角形—直角三角形 D．等腰三角形—直角三角形—等边三角形—直角三角形 【变式4-1】．（2023秋•台州期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＞BC，作高线CE，角平分线BF，中线AD，三者两两相交于点G，H，I．则下列说法正确的是（　　） A．△ACE一定为等腰三角形 B．△ABF一定为等腰三角形 C．△CFG一定为等腰三角形 D．△GHI一定为等腰三角形 【变式4-2】．（2023秋•义乌市校级期中）如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G，F．若FG＝2，ED＝4，则EB+DC的值为 　 　． 【变式4-3】．（2023秋•西湖区期末）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，AD与CE交于点F，点G为CE的中点，CD＝AE． （1）求证：DG⊥CE． （2）若AF＝EF，求∠B的度数． 【变式4-4】．（2023秋•拱墅区校级期中）如图，在△ABC中，AC＝BC，点F为AB的中点，边AC的垂直平分线交AC，CF，CB于点D，O，E，连接OB． （1）求证：△OBC为等腰三角形； （2）若∠ACF＝23°，求∠BOE的度数． 【变式4-5】．（2023秋•婺城区校级月考）（1）如图1，线段OA的一个端点O在直线l上，且与直线l所成的锐角为50°，以OA为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点P在直线l上，这样的等腰三角形能画 　 　个． （2）如图1，如果OA与直线l所成的锐角为60°，以OA为一边画等腰三角形，并使另一个顶点P在直线l上，这样的等腰三角形能画 　 　个． 想一想：如图2，△ABC中，∠A＝20°，∠B＝50°，过顶点C作一条直线，分割出一个等腰三角形这样的直线最多可以画 　 　条． 算一算：如图3，在△ABC中，∠BAC＝10°，若存在过点C的一条直线，能把该三角形分成两个等腰三角形，试求∠B的度数． 【变式4-6】．（2022秋•金华期中）如图1，△ABC中，CD⊥AB于D，且BD：AD：CD＝2：3：4． （1）试说明△ABC是等腰三角形； （2）如图2，已知S△ABC＝160cm2，动点M从点B出发以每秒3cm的速度沿线段BA向点A运动，同时动点N从点A出发以相同速度沿线段AC向点C运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止．设点M运动的时间为t（秒），是否存在t，使△DMN的一边与BC平行？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由． 【变式4-7】．（2023秋•江北区月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若点P从点A出发，以每秒1cm的速度沿折线A→C→B→A运动，设运动时间为t秒（t＞0）． （1）若点P恰好在∠BAC的角平分线上（点A除外），求t的值； （2）点P运动的过程中，当△BPC为等腰三角形时，则t的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题突破1：等腰三角形专题复习 轴对称与“将军饮马” 1、轴对称的性质：①成轴对的连个图形全等；②对应点的连线被对称轴垂直平分。 2、“将军饮马”模型 等腰三角形的边与角的考法 1、等腰三角形的定义方面，常和△的三边关系、△的周长、边的奇偶性等考点一起出题，做题时注意考虑全面； 2、等腰三角形的两底角相等，常和三角形内角和、三角形外角定理、平行线等考点一起出题，做题时谨遵一条——题目中出现什么概念，就立刻想其对应的性质。 “知二得一”模型 ①角平分线、②平行线、③等腰三角形 以上三个条件，已知任意两个，就可以推出剩余一个。 “两定一动”型等腰三角形的存在性问题 利用“两圆一线”确定等腰三角形 如图，已知线段AB，在直线L上找点P使得△ABP为等腰三角形 等腰三角形ABP可分为三种情况： ①当AB=AP时：以A为圆心，AB为半径作圆，与直线l相交于P1、P2； ②当AB=BP时：以B为圆心，AB为半径作圆，与直线l相交于P3、P4； ③当AP=BP时：作AB的垂直平分线交直线l于P5； 则P1、P2、P3、P4、P5即为所求 题型一 线段和最小模型—将军饮马 【例1】．（2024春•东阳市期末）如图，直线l1、l2表示一条河的两岸，且l1∥l2，现要在这条河上建一座桥，使得村庄A经桥过河到村庄B的路程最短，现两位同学提供了两种设计方案，下列说法正确的是（　　） 方案一： ①将点A向上平移d得到A'；②连接A'B交l1于点M；③过点M作MN⊥l1，交l2于点N，MN即桥的位置． 方案二： ①连接AB交l1于点M；②过点M作MN⊥l1，交l2于点N．MN即桥的位置． A．唯方案一可行 B．唯方案二可行 C．方案一、二均可行 D．方案一、二均不可行 【分析】因为河宽是确定的，要使村庄A经桥过河到村庄B的路程最短，只要AN+BM最短即可，可利用平移解决问题． 【解答】解：河宽是确定的，要使村庄A经桥过河到村庄B的路程最短，只要AN+BM最短即可． ∵AA'垂直于河岸l2，AA′＝d， 连接BA′，与另一条河岸相交于M，作MN⊥直线l1， 由平移的性质，知MN∥AA′，且MN＝AA′＝d，MA′＝NA， 根据“两点之间线段最短”，BA′最短，即AN+BM最短． 故方案一符合题意， 故选：A． 【变式1-1】．（2023秋•温岭市期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，点D，E，F分别在AC，AB，BC上，连接BD，DE，DF，∠DBC＝30°，BE＝BF，当DE+DF最小时，则∠DFB＝（　　） A．75° B．82.5° C．90° D．97.5° 【分析】将△BED绕点B旋转45°，得到△BD′F，则：DE＝D′F，进而得到DF+DE＝DF+D′F≥DD′，得到当D，F，D′三点共线时，DE+DF最小，利用等边对等角，结合三角形的内角和定理，进行求解即可． 【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝90°， ∴∠ABC＝45°， ∵BE＝BF， ∴将△BED绕点B旋转45°，得到△BFD′， ∴DE＝D′F，BD＝BD′，∠DBD'＝45°， ∴DF+DE＝DF+D′F≥DD′， ∴当D，F，D′三点共线时，DE+DF最小， 如图： ∵BD＝BD′，∠DBD'＝45°， ∴， ∴∠DFB＝180°﹣∠DBC﹣∠BDD′＝180°﹣30°﹣67.5°＝82.5°， 故选：B． 【变式1-2】．（2024•惠阳区校级三模）如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，当PC与PE的和最小时，∠CPE的度数是　60°　． 【分析】连接BE，则BE的长度即为PE与PC和的最小值．再利用等边三角形的性质可得∠PBC＝∠PCB＝30°，即可解决问题； 【解答】解：如连接BE，与AD交于点P，此时PE+PC最小， ∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC， ∴PC＝PB， ∴PE+PC＝PB+PE＝BE， 即BE就是PE+PC的最小值， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠BCE＝60°， ∵BA＝BC，AE＝EC， ∴BE⊥AC， ∴∠BEC＝90°， ∴∠EBC＝30°， ∵PB＝PC， ∴∠PCB＝∠PBC＝30°， ∴∠CPE＝∠PBC+∠PCB＝60°， 故答案为60°． 【变式1-3】．（2023秋•义乌市月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（　　） A．2.4 B．4.8 C．4 D．5 【分析】过点C作CM⊥AB交AB于点M，交AD于点P，过点P作PQ⊥AC于点Q，由AD是∠BAC的平分线．得出PQ＝PM，这时PC+PQ有最小值，即CM的长度，运用勾股定理求出AB，再运用S△ABC＝AB•CM＝AC•BC，得出CM的值，即PC+PQ的最小值． 【解答】解：如图，过点C作CM⊥AB交AB于点M，交AD于点P，过点P作PQ⊥AC于点Q， ∵AD是∠BAC的平分线． ∴PQ＝PM，这时PC+PQ有最小值，即CM的长度， ∵AC＝6，AB＝10，∠ACB＝90°，BC＝8， ∵S△ABC＝AB•CM＝AC•BC， ∴CM＝＝， 即PC+PQ的最小值为． 故选：B． 【变式1-4】．（2023秋•北仑区期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点△ABC（即三角形的顶点都在格点上）． （1）△ABC的面积为　5　； （2）在图中作出△ABC关于直线MN的对称图形△A′B′C′． （3）利用网格纸，在MN上找一点P，使得PB+PC的距离最短．（保留痕迹） 【分析】（1）利用矩形的面积减去三个顶点上三角形的面积即可； （2）分别作出各点关于直线MN的对称点，再顺次连接即可； （3）连接BC′交直线MN于点P，则点P即为所求点． 【解答】解：（1）S△ABC＝3×4﹣×2×2﹣×1×4﹣×2×3＝12﹣2﹣2﹣3＝5． 故答案为：5； （2）如图，△A′B′C′即为所求； （3）如图，点P即为所求． 【变式1-5】．（2023•滨江区校级开学）如图所示，点P在∠AOB内，点M，N分别是点P关于AO，BO的对称点，MN分别交OA，OB于点E，F． （1）若∠AOB＝α°，则∠MON＝　2α°　，∠EPF＝　180°﹣2α°　（用含α的代数式表示）； （2）①若△PEF的周长是10cm，求MN的长． ②若∠O＝45°，OP＝x cm，直接写出△PEF的周长的最小值（用含x的代数式表示） 【分析】（1）如图，连接OP、OM、ON，根据轴对称的性质可得△OMP和△EMP都是等腰三角形，且∠MOA＝∠AOP，进而可根据等腰三角形的性质得∠OME＝∠OPE，同理可得∠BOP＝∠BON，∠OPF＝∠ONF，于是可推得∠MON＝2∠AOB，∠EPF＝∠OPE+∠OPF＝∠OMN+∠ONM，再根据已知条件和三角形的内角和定理即可求出答案； （2）①根据轴对称的性质可推出MN＝△PEF的周长，进而可得结果； ②易得△OMN是等腰直角三角形，且OM＝ON＝OP＝x，从而可根据勾股定理求出MN，而由轴对称的性质可知MN即为△PEF的周长的最小值，于是可得结果． 【解答】解：（1）如图，连接OP、OM、ON． ∵M是点P关于AO的对称点， ∴OP＝OM，ME＝PE，∠MOA＝∠AOP， ∴∠OMP＝∠OPM，∠EMP＝∠EPM， ∴∠OME＝∠OPE， 同理可得：OP＝ON，∠BOP＝∠BON，∠OPF＝∠ONF， ∴OM＝ON，∠MON＝2（∠AOP+∠BOP）＝2∠AOB＝2α°； ∴∠OMN+∠ONM＝180°﹣∠MON＝180°﹣2α°， ∴∠EPF＝∠OPE+∠OPF＝∠OMN+∠ONM＝180°﹣2α°， 故答案为：2α°，180°﹣2α°； （2）①∵M、N分别是点P关于AO、BO的对称点， ∴ME＝PE，NF＝PF， ∴MN＝ME+EF+FN＝PE+EF+PF＝△PEF的周长， ∵△PEF的周长等于10cm， ∴MN＝10cm； ②∵∠AOB＝45°，OM＝ON＝OP＝x， ∴∠MON＝2∠AOB＝90°，， ∵MN＝△PEF的周长，且△PEF的周长的最小值为MN的长， ∴△PEF的周长的最小值是cm． 题型二 等腰三角形的边与角 【例2】．（2023秋•浙江月考）等腰三角形的一个内角为80°，则这个等腰三角形的底角为（　　） A．80°或50° B．80° C．50° D．50°或20° 【分析】由于不明确80°的角是等腰三角形的底角还是顶角，故应分80°的角是顶角和底角两种情况讨论． 【解答】解：分两种情况： ①当80°的角为等腰三角形的顶角时， 底角的度数＝（180°﹣80°）÷2＝50°； ②当80°的角为等腰三角形的底角时，其底角为80°， 故它的底角度数是50°或80°． 故选：A． 【变式2-1】．（2023秋•苍南县期中）等腰三角形有两条边长分别为5和10，则这个等腰三角形的周长为（　　） A．15 B．20 C．25或20 D．25 【分析】根据腰为5或10，分类求解，注意根据三角形的三边关系进行判断． 【解答】解：当等腰三角形的腰为5时，三边为5，5，10，5+5＝10，三边关系不成立； 当等腰三角形的腰为10时，三边为5，10，10，三边关系成立，周长为5+10+10＝25． 故选：D． 【变式2-2】．（2023秋•龙湾区校级月考）如图，D为BC延长线上一点，点E在AB上，连结DE交AC于点F．若DB＝DE，∠A＝35°，∠D＝30°，则∠ACD的度数是（　　） A．115° B．110° C．105° D．95° 【分析】先利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得∠B＝∠DEB＝75°，然后利用三角形的外角性质进行计算，即可解答． 【解答】解：∵DB＝DE，∠D＝30°， ∴∠B＝∠DEB＝＝75°， ∵∠ACD是△ABC的一个外角， ∴∠ACD＝∠A+∠ABC＝35°+75°＝110°， 故选：B． 【变式2-3】．（2024•鄞州区校级开学）如图，在△PAB中，PA＝PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM＝AK，BN＝BK，若∠MKN＝44°，则∠P＝（　　） A．90 B．92 C．96 D．98 【分析】根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠B，根据全等三角形的判定证得△AMK≌△BKN，得到∠AMK＝∠BKN，根据三角形的外角的性质求出∠A＝∠MKN＝44°，根据三角形内角和定理计算即可求出∠P． 【解答】解：∵PA＝PB， ∴∠A＝∠B， 在△AMK和△BKN中， ， ∴△AMK≌△BKN（SAS）， ∴∠AMK＝∠BKN， ∵∠MKB＝∠MKN+∠NKB＝∠A+∠AMK， ∴∠A＝∠MKN＝44°， ∴∠P＝180°﹣∠A﹣∠B＝92°， 故选：B． 【变式2-4】．（2024•路桥区校级开学）如图，AB＝AC，D为AC的垂直平分线上一点，且CD＝BC，BD＝AB，则∠BAC＝　36°　． 【分析】连接AD，过点D作DE⊥AC交于点E，BD与AC交于点G，根据垂直平分线的性质得出AD＝CD，根据等边对等角得出∠CBD＝∠CDB，等量代换得出AC＝BD，根据三条边对应相等的两个三角形是全等三角形，全等三角形的对应角相等得出∠DAC＝∠DCA＝∠CBD＝∠CDB，根据等角对等边得出DG＝CG，推得AG＝BG，根据等边对等角得出∠ABG＝∠BAG，结合对顶角相等得出∠ABG＝∠CDG＝∠CBG，即∠ABC＝2∠GAB＝2∠BAG，据此设∠BAC＝α，则∠ABC＝∠ACB＝2α，根据三角形内角和定理列出方程，求得α＝36°，即∠BAC＝36°． 【解答】解：连接AD，过点D作DE⊥AC交于点E，BD与AC交于点G，如图： ∵D为AC的垂直平分线上一点， ∴AD＝CD， ∵CD＝BC， ∴∠CBD＝∠CDB，AD＝BC， ∵AB＝AC，BD＝AB， ∴AC＝BD， ∴△ADC≌△BCD（SSS）， ∴∠DAC＝∠CBD＝∠DCA＝∠CDB， ∴DG＝CG， ∴AG＝BG， ∴∠ABG＝∠BAG， ∵，，且∠AGB＝∠DGC， ∴∠CDG＝∠ABG＝∠CBG， ∴∠ABC＝2∠BAG＝2∠GAB， 设∠BAC＝α，则∠ABC＝∠ACB＝2α， 故5α＝180°， ∴α＝36°， 即∠BAC＝36°． 故答案为：36°． 【变式2-5】．（2024•海曙区校级开学）如图，△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AC于P点． （1）若∠A＝35°，求∠BPC的度数 （2）若AB＝5cm，BC＝3cm，求△PBC的周长． 【分析】（1）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AP＝BP，根据等边对等角可得∠A＝∠ABP，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解； （2）求出△PBC的周长＝AB+BC，代入数据计算即可得解． 【解答】解：（1）∵AB的垂直平分线交AC于P点， ∴AP＝BP， ∴∠A＝∠ABP＝35°， ∴∠BPC＝∠A+∠ABP＝35°+35°＝70°； （2）△PBC的周长＝BP+PC+BC， ＝AP+PC+BC， ＝AC+BC， ＝AB+BC， ∵AB＝5cm，BC＝3cm， ∴△PBC的周长＝5+3＝8cm． 【变式2-6】．（2023秋•德清县月考）某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：设∠BAC＝θ（0°＜θ＜90°），现把小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在射线AB，AC上．如图所示，从点A1开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A1A2为第一根小棒，且A1A2＝AA1． （1）若已经摆放了3根小棒，则θ1＝　2θ　，θ2＝　3θ　，θ3＝　4θ　（用含θ的式子表示）； （2）若只能摆放4根小棒，求θ的范围． 【分析】（1）本题需先根据A1A2＝AA1，得出∠A1AA2和∠AA2A1相等，即可得出θ1的值，同样道理得出θ2、θ3的值； （2）根据（1）的结论，和三角形外角的性质，即可推出不等式，解不等式即可． 【解答】解：（1）∵A1A2＝AA1 ∴θ1＝∠A2A1A3＝2θ， ∴θ2＝∠A2A4A3＝θ+2θ＝3θ， ∴θ3＝∠A2A4A3+θ＝4θ， 故答案为2θ，3θ，4θ； （2）由题意得： ， ∴18°≤θ＜22.5°． 题型三 等腰三角形“三线合一” 【例3】．（2023秋•沭阳县期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，且BC＝4，则BD长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据等腰三角形的三线合一的性质即可解决问题． 【解答】解：∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴AD是△ABC的BC边的中线， ∴BD＝DC＝BC＝2， 故选：B． 【变式3-1】．（2024•鹿城区校级开学）如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线．若AB＝AC，∠CAD＝20°，则∠AEC的度数是（　　） A．95° B．100° C．105° D．110° 【分析】先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出∠CAB＝2∠CAD＝40°，∠B＝∠ACB＝（180°﹣∠CAB）＝70°．再利用角平分线定义得出∠ACE＝∠ACB＝35°，最后根据三角形内角和180°得∠AEC＝180°﹣∠ACE﹣∠CAB＝105°即可． 【解答】解：∵AD是△ABC的中线，AB＝AC，∠CAD＝20°， ∴∠CAB＝2∠CAD＝40°，∠B＝∠ACB＝（180°﹣∠CAB）＝70°． ∵CE是△ABC的角平分线， ∴∠ACE＝∠ACB＝35°， ∴∠AEC＝180°﹣∠ACE﹣∠CAB＝180°﹣35°﹣40°＝105°． 故选：C． 【变式3-2】．（2023秋•娄星区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D点，点E、F分别是AD的任意两点，若△ABC的面积为18cm2，则图中阴影部分面积为 　9　cm2． 【分析】根据等腰三角形是轴对称图形知，△CEF和△BEF的面积相等，所以阴影部分的面积是三角形面积的一半． 【解答】解：∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴BD＝CD， ∴S△BEF＝S△CEF， ∵， ∴阴影部分面积＝． 故答案为：9． 【变式3-3】．（2023秋•杭州期中）已知：如图，B，D，E，C在同一直线上，AB＝AC，AD＝AE．求证：BD＝CE． 【分析】此题可以用等腰三角形的三线合一的性质解决． 【解答】证明：作AF⊥BC于F， ∵AB＝AC（已知）， ∴BF＝CF（三线合一）， 又∵AD＝AE（已知）， ∴DF＝EF（三线合一）， ∴BF﹣DF＝CF﹣EF，即BD＝CE（等式的性质）． 【变式3-4】．（2023秋•富阳区校级月考）如图，在△ABC中，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，AD⊥BC，且BD＝DE，连接AE． （1）若∠BAE＝44°，求∠C的度数． （2）若AC＝7cm，DC＝5cm，求△ABC的周长． 【分析】（1）根据线段垂直平分线和等腰三角形性质得出AB＝AE＝CE，求出∠AEB和∠C＝∠EAC，即可得出答案； （2）根据已知能推出AB+BD＝EC+DE＝DC，即可得出答案． 【解答】解：（1）∵AD⊥BC，EF垂直平分AC，BD＝DE， ∴AE＝AB＝EC， ∴∠CAE＝∠C， ∵∠BAE＝44°， ∴， ∴． （2）由（1）知：EC＝AE＝AB， ∵DE＝BD． ∴AB+BD＝EC+DE＝DC， ∴△ABC的周长为AB+BC+AC＝AB+BD+DC+AC＝2DC+AC＝2×5+7＝17（cm）． 答：△ABC的周长为17cm． 题型四 等腰三角形的判定及存在性问题 【例4】．（2023秋•金华期中）如图，M，A，N是直线l上的三点，AM＝3，AN＝5，P是直线l外一点，且∠PAN＝60°，AP＝1，若动点Q从点M出发，向点N移动，移动到点N停止，在△APQ形状变化过程中，依次出现的特殊三角形是（　　） A．直角三角形—等边三角形—直角三角形—等腰三角形 B．直角三角形—等腰三角形—直角三角形—等边三角形 C．等腰三角形—直角三角形—等腰三角形—直角三角形 D．等腰三角形—直角三角形—等边三角形—直角三角形 【分析】动点Q从M点出发沿直线l向N点移动的过程中，由等边三角形，等腰三角形，直角三角形的判定，即可解决问题． 【解答】解：动点Q从M点出发沿直线l向N点移动， 当AQ＝AP＝1时，△APQ是等腰三角形； 当Q运动到A的右侧AQ＝AP＝时，△APQ是直角三角形； 当AQ＝AP＝1时，因为∠PAN＝60，此时△APQ是等边三角形； 当AQ＝2PA＝2时，△APQ是直角三角形． ∴依次出现的特殊三角形是等腰三角形——直角三角形——等边三角形——直角三角形． 故选：D． 【变式4-1】．（2023秋•台州期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＞BC，作高线CE，角平分线BF，中线AD，三者两两相交于点G，H，I．则下列说法正确的是（　　） A．△ACE一定为等腰三角形 B．△ABF一定为等腰三角形 C．△CFG一定为等腰三角形 D．△GHI一定为等腰三角形 【分析】根据等腰三角形的性质，直角三角形的性质，角平分线的定义求得∠IGH＝∠EGB＝90°﹣∠1，∠GH＝90°﹣∠2＝90°﹣∠1，推出∠IGH＝∠GIH，即可判断选项D符合题意． 【解答】解：如图， ∵CE是高线， ∴∠AEC＝90°， 若△ACE为等腰三角形，则EA＝EC， ∴∠EAC＝∠ECA＝45°， 而题设中∠BAC并不一定是45°， 故选项A不符合题意； ∵AB＝AC＞BC， 若△ABF 为等腰三角形，则FA＝FB， ∴∠FAB＝∠FBA＝∠1， ∵角平分线BF， ∴∠1＝∠2，∠ABC＝∠ACB＝2∠1， ∴5∠1＝180°， ∴∠1＝36°＝∠BAC， 而题设中∠BAC并不一定是36°， 故选项B不符合题意，同理选项C不符合题意； ∵AB＝AC，中线AD， ∴AD⊥BC， ∵角平分线BF，CE是高线， ∴∠IGH＝∠EGB＝90°﹣∠1，∠GIH＝90°﹣∠2＝90°﹣∠1， 即∠IGH＝∠GIH， ∴IH＝HG， ∴△GHI一定为等腰三角形， 故选项D符合题意． 故选：D． 【变式4-2】．（2023秋•义乌市校级期中）如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G，F．若FG＝2，ED＝4，则EB+DC的值为 　6　． 【分析】由角平分线与平行线易得∠EBG＝∠EGB，从而得到EB＝EG，同理可得DF＝DC，再根据EB+DC＝EG+DF＝ED+FG即可得答案． 【解答】解：∵BG平分∠EBC， ∴∠EBG＝∠GBC， ∵ED∥BC， ∴∠EGB＝∠GBC， ∴∠EBG＝∠EGB， ∴EB＝EG， 同理可得DF＝DC， ∴EB+DC＝EG+DF＝ED+FG＝4+2＝6， 故答案为：6． 【变式4-3】．（2023秋•西湖区期末）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，AD与CE交于点F，点G为CE的中点，CD＝AE． （1）求证：DG⊥CE． （2）若AF＝EF，求∠B的度数． 【分析】（1）连接DE，根据垂直的定义得到∠ADB＝90°，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，等量代换得到DE＝CD，根据等腰三角形的性质得到结论． （2）根据余角的性质得到∠B+∠BAD＝90°，求得∠BAD＝90°﹣∠B，根据等腰三角形的性质得到∠AEF＝∠BAF＝90°﹣∠B，∠DEC＝∠ECD，设∠DEC＝∠ECD＝α，根据三角形外角的性质即可得到结论． 【解答】（1）证明：连接DE， ∵AD是BC边上的高线， ∴∠ADB＝90°， ∵DE是AB边上的中线， ∴BE＝， ∵AE＝CD， ∴DE＝CD， ∵点G为CE的中点， ∴DG⊥CE． （2）解：连接DE， 则DE＝AE＝CD， ∵点G为CE的中点， ∴DG⊥CE， ∵BE＝DE，EF＝AF， ∴∠B＝∠BDE， 设∠B＝∠BDE＝x，则∠AED＝2x，∠AEF＝y， ∴∠DEF＝2x﹣y， ∵DE＝DC， ∴∠DEF＝∠BDE＝x， ∴2x﹣y＝x， ∴y＝x， ∴x+x＝90°， ∴x＝36°， ∴∠B＝36°． 【变式4-4】．（2023秋•拱墅区校级期中）如图，在△ABC中，AC＝BC，点F为AB的中点，边AC的垂直平分线交AC，CF，CB于点D，O，E，连接OB． （1）求证：△OBC为等腰三角形； （2）若∠ACF＝23°，求∠BOE的度数． 【分析】（1）连接OA，如图，利用等腰三角形的性质得到CF⊥AB，则CF垂直平分AB，根据线段垂直平分线的性质得到OA＝OB，OA＝OC，所以OB＝OC，从而得到结论； （2）利用等腰三角形的性质得到CF平分∠ACB，则∠BCF＝∠ACF＝23°，再利用OB＝OC得到∠OBC＝∠OCB＝23°，接着根据互余计算出∠DEC＝44°，然后根据三角形外角性质计算∠BOE的度数． 【解答】（1）证明：连接OA，如图， ∵AC＝BC，点F为AB的中点， ∴CF⊥AB， ∴CF垂直平分AB， ∴OA＝OB， ∵DE垂直平分AC， ∴OA＝OC， ∴OB＝OC， ∴△OBC为等腰三角形； （2）解：∵CA＝CB，CF⊥AB， ∴CF平分∠ACB， ∴∠BCF＝∠ACF＝23°， ∵OB＝OC， ∴∠OBC＝∠OCB＝23°， ∵∠EDC＝90° ∴∠DEC＝90°﹣∠DCE＝90°﹣23°﹣23°＝44°， ∵∠OEC＝∠OBE+∠BOE， ∴∠BOE＝44°﹣23°＝21°． 【变式4-5】．（2023秋•婺城区校级月考）（1）如图1，线段OA的一个端点O在直线l上，且与直线l所成的锐角为50°，以OA为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点P在直线l上，这样的等腰三角形能画 　4　个． （2）如图1，如果OA与直线l所成的锐角为60°，以OA为一边画等腰三角形，并使另一个顶点P在直线l上，这样的等腰三角形能画 　2　个． 想一想：如图2，△ABC中，∠A＝20°，∠B＝50°，过顶点C作一条直线，分割出一个等腰三角形这样的直线最多可以画 　5　条． 算一算：如图3，在△ABC中，∠BAC＝10°，若存在过点C的一条直线，能把该三角形分成两个等腰三角形，试求∠B的度数． 【分析】（1）根据等腰三角形的判定，两个边相等的三角形是等腰三角形即可得到结论； （2）以O为圆心，OA为半径画弧，交AB于两点，即可得到结论； 想一想：①当AC＝AF，②当BC＝BE，③当CB＝CE，于是得到结论； 算一算：如图3，当AD＝CD，①当CD＝BD时，∠B＝∠BCD＝80°；②当CD＝BC时，∠B＝∠CDB＝20°；③当BD＝BC时，∠B＝180°﹣20°﹣20°＝140°；如图4，当AC＝AE，CE＝BE时，G根据等腰三角形的性质即可得到结论． 【解答】解：（1）如图1，①当AO＝OP1，②当AO＝AP2；③当AO＝OP3，④当AP4＝OP4，这样的等腰三角形能画4个． 故答案为：4； （2）以O为圆心，OA为半径画弧，交直线l于两点； 故这样的等腰三角形能画2个， 故答案为：2； 想一想：如图2中，①当AC＝AF，②当BC＝BE，③当CB＝CE，④当AD＝CD，⑤当BE＝EC故过顶点C作一条直线，分割出一个等腰三角形这样的直线最多可以画5条， 故答案为：5； 算一算：如图3，当AD＝CD， ∴∠ACD＝∠A＝10°， ∴∠CDB＝20°， ∴①当CD＝BD时，∠B＝∠BCD＝80°； ②当CD＝BC时，∠B＝∠CDB＝20°； ③当BD＝BC时，∠B＝180°﹣20°﹣20°＝140°； 如图4，当AC＝AE，CE＝BE时， ∵∠A＝10°， ∴∠ACE＝∠AEC＝85°， ∴∠B＝∠BCE＝42.5°， 如图5， 当AC＝CE，CE＝BE时， ∵∠A＝10°， ∴∠AEC＝∠A＝10°， ∴∠B＝5°， 综上所述，存在过点C的一条直线，能把该三角形分成两个等腰三角形，∠B的度数为80°或20°或140°或42.5°或5°． 【变式4-6】．（2022秋•金华期中）如图1，△ABC中，CD⊥AB于D，且BD：AD：CD＝2：3：4． （1）试说明△ABC是等腰三角形； （2）如图2，已知S△ABC＝160cm2，动点M从点B出发以每秒3cm的速度沿线段BA向点A运动，同时动点N从点A出发以相同速度沿线段AC向点C运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止．设点M运动的时间为t（秒），是否存在t，使△DMN的一边与BC平行？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由． 【分析】（1）设BD＝2x，AD＝3x，CD＝4x，则AB＝5x，由勾股定理求出AC，根据等腰三角形的概念证明结论； （2）由△ABC的面积求出BD、AD、CD，分当MN∥BC、DN∥BC两种情况，根据平行线分线段成比例定理列出方程，解方程得到答案． 【解答】（1）证明：设BD＝2x，则AD＝3x，CD＝4x， ∴AB＝BD+AD＝5x， 在Rt△ACD中，AC＝＝5x， ∴AB＝AC，即△ABC是等腰三角形； （2）解：由（1）知，AB＝5x，CD＝4x， ∴S△ABC＝×5x×4x＝160，而x＞0， ∴x＝4（cm）， 则BD＝8cm，AD＝12cm，CD＝16cm，AB＝AC＝20cm， 由题意知，AM＝（20﹣3t）cm，AN＝3t cm， 当MN∥BC时，AM＝AN， 即20﹣3t＝3t， ∴t＝； 当DN∥BC时，AD＝AN， ∴12＝3t， ∴t＝4， ∴△DMN的边与BC平行时，t值为或4． 【变式4-7】．（2023秋•江北区月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若点P从点A出发，以每秒1cm的速度沿折线A→C→B→A运动，设运动时间为t秒（t＞0）． （1）若点P恰好在∠BAC的角平分线上（点A除外），求t的值； （2）点P运动的过程中，当△BPC为等腰三角形时，则t的值． 【分析】（1）过P作PE⊥AB，设CP＝x，根据角平分线的性质和勾股定理，列方程式进行解答即可； （2）分类讨论：当CP＝CB时，△BCP为等腰三角形，若点P在AC上，根据AP的长即可得到t的值，若点P在AB上，根据P移动的路程易得t的值；当PC＝PB时，△BCP为等腰三角形，作PD⊥BC于D，根据等腰三角形的性质得BD＝CD，则可判断PD为△ABC的中位线，则AP＝AB＝5，易得t的值；当BP＝BC＝6时，△BCP为等腰三角形，易得t的值． 【解答】解：（1）如图1，过P作PE⊥AB， ∵∠ACB＝90°， ∴AC＝＝＝8， ∵点P恰好在∠BAC的角平分线上，且∠C＝90°，AB＝10，BC＝6， ∴CP＝EP， 在Rt△ACP和Rt△AEP中， ， ∴Rt△ACP≌Rt△AEP（HL）， ∴AC＝8cm＝AE，BE＝2， 设CP＝x，则BP＝6﹣x，PE＝x， ∴Rt△BEP中，BE2+PE2＝BP2， 即22+x2＝（6﹣x）2， 解得x＝， ∴CP＝， ∴CA+CP＝8+＝， ∴t＝÷1＝； 当点P沿折线A﹣C﹣B﹣A运动到点A时，点P也在∠BAC的角平分线上， 此时，t＝（10+8+6）÷1＝24． 综上，若点P恰好在∠BAC的角平分线上，t的值为或6； （2）①如图2，当CP＝CB时，△BCP为等腰三角形， 若点P在CA上，则t＝8﹣6， 解得t＝2； ②如图3，当BP＝BC＝6时，△BCP为等腰三角形， ∴AC+CB+BP＝8+6+6＝20， ∴t＝20； ③如图4，若点P在AB上，CP＝CB＝6，作CD⊥AB于D，根据面积法求得CD＝4.8， 在Rt△BCD中，由勾股定理得BD＝3.6， ∴PB＝2BD＝7.2， ∴CA+CB+BP＝8+6+7.2＝21.2， 此时t＝21.2； ④如图5，当PC＝PB时，△BCP为等腰三角形，作PD⊥BC于D，则D为BC的中点， ∴PD为△ABC的中位线， ∴AP＝BP＝AB＝5， ∴AC+CB+BP＝8+6+5＝19， ∴t＝19； 综上所述，t为2或21.2或20或19时，△BCP为等腰三角形． 故答案为：2或21.2或20或19． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$