专题突破2-2：勾股定理与勾股定理逆定理（4大题型）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记·巧练（浙教版）

专题突破2：勾股定理与勾股定理逆定理 一、直角三角形勾股定理 在Rt△ABC中，两直角边的平方和=斜边的平方，即 常见变形：；； 注意事项： 当直角三角形的给出的两边没有说明是什么边长时，利用勾股定理求长度时通常需要分类讨论 二、勾股定理常见面积模型 图形 结论 总结 当分别以直角三角形的三边为边（或底边、半径）做规则的正方形、等边三角形、等腰直角三角形、半圆时，均满足两直角边所做图形的面积和等于斜边所做图形的面积 三、勾股定理常结合考点 直角三角形斜边上的中线=½斜边长 等腰三角形的两腰长相等； 等腰三角形的“三线合一”； 中垂线的性质定理； 将军饮马模型； 题型一 勾股定理与勾股定理逆定理的直接应用 【例1】．（2023秋•衢州期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以A点，B点为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于E，F，连接EF交AB于点D，交AC于点H．连接CD，以C为圆心，CD长为半径作弧，交AC于G点，若AB＝10cm，BC＝6cm，则GH的长度为（　　） A． B． C．3cm D． 【分析】连接BH，根据直角三角形的性质得出，根据勾股定理求出，求出AG＝AC﹣CG＝8﹣5＝3（cm），设AH＝BH＝x cm，则CH＝（8﹣x）cm，根据勾股定理得出62+（8﹣x）2＝x2，求出，最后求出结果即可． 【解答】解：连接BH，如图所示： 根据作图可知，EF垂直平分AB， ∴BH＝AH，AD＝BD， ∵△ABC为直角三角形， ∴， ∴CG＝CD＝5cm， 根据勾股定理得：， ∴AG＝AC﹣CG＝8﹣5＝3（cm）， 设AH＝BH＝x cm，则CH＝（8﹣x）cm， 根据勾股定理得：BC2+CH2＝BH2， 即62+（8﹣x）2＝x2， 解得：， ∴， 故选：B． 【变式1-1】．（2024•西湖区校级模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5，以点B为圆心，BC为半径画弧交边AB于点P，则AP的长为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【分析】由勾股定理得AB＝＝13，由圆弧性质即可得AP＝AB﹣BP＝AB﹣BC＝13﹣5＝8． 【解答】解：由∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5， 得AB＝＝13， 由以点B为圆心，BC为半径画弧交边AB于点P， 得AP＝AB﹣BP＝AB﹣BC＝13﹣5＝8． 故选：D． 【变式1-2】．（2023秋•鄞州区校级期末）已知一个直角三角形的两边长分别为3和5，则第三边长为（　　） A．4 B． C．4或 D．2或2 【分析】由于此题中直角三角形的斜边不能确定，故应分5是直角三角形的斜边和直角边两种情况讨论． 【解答】解：∵个直角三角形的两边长分别为3和5， ∴①当5是此直角三角形的斜边时，设另一直角边为x，则由勾股定理得到：x＝＝4； ②当5是此直角三角形的直角边时，设另一直角边为x，则由勾股定理得到：x＝＝． 故选：C． 【变式1-3】．（2024春•上虞区期末）如图，一只小猫沿着斜立在墙角的木板往上爬，木板底端距离墙角O处为0.7m．当小猫从木板底端爬到顶端时，木板底端向左滑动了1.3m，木板顶端向下滑动了0.9m，则小猫在木板上爬动的距离为（　　）m． A．3 B．2.5 C．2 D．1.5 【分析】要求小猫在木板上爬动的距离，即求木板长，可以设CD＝x，AB＝DE＝y，则根据木板长不会变这个等量关系列出方程组，即可求BC的长度，在直角△ABC中，根据BC，AC即可求AB． 【解答】解：已知AE＝1.3米，AC＝0.7米，BD＝0.9米， 设CD＝x，AB＝DE＝y， 则BC＝0.9+x， 则在直角△ABC中，y2＝（0.9+x）2+0.72， 在直角△CDE中，y2＝x2+（1.3+0.7）2， 解方程组得：x＝1.5米，y＝2.5米， 故选：B． 【变式1-4】．（2024春•椒江区月考）如图，在离水面点A高度为8m的岸上点C处，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17m，此人以1m/s的速度收绳，7s后船移动到点D的位置，则船向岸边移动了（　　）（假设绳子是直的） A．9米 B．8米 C．7米 D．6米 【分析】由勾股定理求出AB＝15m，再由勾股定理求出AD＝6m，即可解决问题． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，BC＝17m，AC＝8m， ∴AB＝＝15（m）， ∵此人以1m/s的速度收绳，7s后船移动到点D的位置， ∴CD＝17﹣1×7＝10（m）， 在Rt△ACD中，由勾股定理得：AD＝＝＝6（m）， ∴BD＝AB﹣AD＝15﹣6＝9（m）， 即船向岸边移动了9m， 故选：A． 【变式1-5】．（2023秋•北仑区校级期中）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，线段DE的两个端点D、E分别在边AC，BC上滑动，且DE＝6，若点M、N分别是DE、AB的中点，则MN的最小值为（　　） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 【分析】根据勾股定理得到AB＝10，根据直角三角形斜边中线的性质求得CN＝AB＝5，CM＝＝3，由当C、M、N在同一直线上时，MN取最小值，即可求得MN的最小值为2． 【解答】解：如图，连接CM、CN， ∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6， ∴AB＝＝10， ∵DE＝6，点M、N分别是DE、AB的中点， ∴CN＝AB＝5，CM＝DE＝3， 当C、M、N在同一直线上时，MN取最小值， ∴MN的最小值为：5﹣3＝2． 故选：A． 【变式1-6】．（2024春•路桥区期末）以下列各数为边长，能构成直角三角形的是（　　） A．1，1，2 B．1，，2 C．4，5，6 D．2，， 【分析】根据勾股定理的逆定理、三角形的三边关系逐项判断即可得． 【解答】解：A、1+1＝2，不能构成三角形，则此项不符合题意； B、，能构成直角三角形，则此项符合题意； C、42+52＝41≠62，不能构成直角三角形，则此项不符合题意； D、，不能构成直角三角形，则此项不符合题意； 故选：B． 【变式1-7】．（2023秋•舟山期末）下列四个三角形都在正方形网格中，且三角形的顶点都在格点上，其中是直角三角形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】设每个小正方形的边长为1，根据勾股定理逆定理判断直角三角形即可． 【解答】解：设每个小正方形的边长为1， A、三边长为：，，3， ∵8+5≠9， ∴不是直角三角形，此选项不符合题意； B、三边长为：，，， ∵10+5≠17， ∴不是直角三角形，此选项不符合题意； C、三边长为：，，， ∵10+13≠17， ∴不是直角三角形，此选项不符合题意； D、三边长为：，，， ∵10+10＝20， ∴是直角三角形，此选项符合题意， 故选：D． 【变式1-8】．（2022秋•鄞州区期中）2021年10月10日是辛亥革命110周年纪念日．为进一步弘扬辛亥革命中体现的中华民族的伟大革命精神，社区开展了系列纪念活动．如图，有一块四边形空地，社区计划将其布置成展区，陈列有关辛亥革命的历史图片．现测得AB＝AD＝26m，BC＝16m，CD＝12m，且BD＝20m． （1）试说明∠BCD＝90°； （2）求四边形展区（阴影部分）的面积． 【分析】（1）连接BD，由勾股定理的逆定理证得△BCD是直角三角形，即可求得∠BCD＝90°； （2）过A作AE⊥BD于E，由等腰三角形的性质求得BE，再由勾股定理求得AE，由三角形的面积公式可求得S△ABD和S△BCD，即可求得结论． 【解答】解：（1）∵△BCD中，BC＝16m，CD＝12m，BD＝20m， ∴BC2+CD2＝162+122＝400，BD2＝202＝400， ∴BC2+CD2＝BD2， ∴△BCD是直角三角形，∠BCD＝90°； （2）过点A作AE⊥BD于点E， ∴∠AEB＝90°， ∵AB＝AD， ∴BE＝DE＝BD＝10（m）， 在Rt△ABE中，AB＝26m， ∴AE＝（m）， ∴， ∵， ∴． 【变式1-9】．（2023秋•婺城区期末）某数学兴趣小组开展测量学校旗杆的实践活动． 【实践发现】数学兴趣小组实地勘查发现：系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知． 【实践探究】设计测量方案： 第一步：先测量比旗杆多出的部分绳子的长度，测得多出部分绳子的长度是1米； 第二步：如图，把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点C，再测量绳子底端C与旗杆AB的底部（点B）之间的距离为5米． 【问题解决】求旗杆的高度． 【分析】设旗杆的高度为x米，则绳子的长度是（x+1）米，在Rt△ABC中，根据勾股定理列出方程，解方程即可． 【解答】解：设旗杆的高度为x米，则绳子的长度是（x+1）米， 在Rt△ABC中，AB＝x米，BC＝5米， 由勾股定理得：AB2+BC2＝AC2， 即x2+52＝（x+1）2， 解得：x＝12， 答：旗杆的高度为12米． 题型二 勾股定理的证明 【例2】．（2023秋•舟山期末）第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年周中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，由四个全等的直角三角形（△ABF，△BCG，△HCD，△AED）和中间一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD中，点P是AB的中点．连结PE，若BF＝3，且P，E，D在同一直线，则AB的长为（　　） A． B． C．6 D．5 【分析】利用勾股定理即可解答． 【解答】解：由题意得：AE＝BF＝3，∠HEF＝∠EFG＝90°， ∴PD∥BG， ∵点P是AB的中点， ∴AE＝EF＝3，AF＝AE+EF＝6， ∴， 故选：B． 【变式2-1】．（2024春•拱墅区校级期中）勾股定理被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图1所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成的．记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNXT的面积分别为S1，S2，S3，若正方形EFGH的边长为6，则S1+S2+S3＝　108　． 【分析】设全等的直角三角形的两条直角边为a、b且a＞b，则S1＝（a+b）2，S2＝a2+b2，S3＝（a﹣b）2，先证明S2＝a2+b2＝36，再证明S1+S2+S3＝3（a2+b2）即可得到答案． 【解答】解：设全等的直角三角形的两条直角边为a、b，且a＞b， 由题意可知：S1＝（a+b）2，S2＝a2+b2，S3＝（a﹣b）2， ∵正方形EFGH的边长为6， ∴S2＝a2+b2＝36， ∴S1+S2+S3＝（a+b）2+a2+b2+（a﹣b）2 ＝a2+2ab+b2+a2+b2+a2﹣2ab+b2 ＝3（a2+b2） ＝108， 故答案为：108． 【变式2-2】．（2023秋•浦江县期末）赵爽是我国著名的数学家，“赵爽弦图”是他研究勾股定理的重要成果．古人有记载“勾三，股四，则弦五”的定理．如图，外围四个小长方形的宽相等，且邻长互相垂直，对长互相平行．若AB的长是小长方形宽的2倍，内部小正方形面积为9，则最外围的大正方形的边长是（　　） A． B． C． D． 【分析】由题意可知c＝2a，得出b＝a，再由（b﹣a）2＝9，得出a的值，即可得出b的值，再由最外围的大正方形的边长＝a+b即可得出结果． 【解答】解：由题意可知，（b﹣a）2＝9， 又∵AB的长是小长方形宽的2倍， 即c＝2a， ∴b＝a， ∴（a﹣a）2＝9， ∴a＝（负值舍去）， ∴b＝， ∴最外围的大正方形的边长＝a+b＝＝6+3， 故选：D． 题型三 勾股定理与面积 【例3】．（2023秋•宁波期末）将三张半圆形纸片按如图的方式摆置，半圆的直径恰好构成一个直角三角形，若知道图中两个月牙形的面积和，则一定能求出（　　） A．直角三角形的面积 B．最大半圆形的面积 C．较小两个半圆形的面积和 D．最大半圆形与直角三角形的面积和 【分析】两个月牙形的面积和＝以AC、BC为直径的半圆的面积的和+直角三角形三角形的面积﹣以AB为直径的半圆的面积，由此即可解决问题． 【解答】解：以AC为直径的半圆的面积＝π×＝AC2， 同理：以BC、AB为直径的半圆的面积分别是BC2，AB2， ∴两个月牙形的面积和＝以AC、BC为直径的半圆的面积的和+直角三角形三角形的面积﹣以AB为直径的半圆的面积， ∴两个月牙形的面积和＝AC2+BC2﹣AB2+直角三角形的面积＝（AC2+BC2﹣AB2）+直角三角形的面积， 由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2， ∴两个月牙形的面积和＝直角三角形的面积． 故选：A． 【变式3-1】．（2023•临海市校级开学）如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，分别以四边形ABCD的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为a，b，c，d．若a＝2，b+c＝12，则d为（　　） A．8 B．10 C．12 D．14 【分析】利用勾股定理的几何意义解答． 【解答】解：由题意可知：a＝AB2，b＝BC2，c＝CD2，d＝AD2． 如图，连接BD， 在直角△ABD和△BCD中，BD2＝AD2+AB2＝CD2+BC2， 即a+d＝b+c， ∵a＝2，b+c＝12， d＝12﹣2＝10． 故选：B． 【变式3-2】．（2024•玉环市模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以△ABC的各边为边作三个正方形，点G落在HI上，若AC+BC＝7，空白部分面积为13，则AB的长为（　　） A．5 B． C． D． 【分析】由正方形的性质推出AB＝AF，∠BAN＝∠F＝90°，由余角的性质推出∠ABN＝∠MAF，由ASA证明△BAN≌△AFM，得到△BAN的面积＝△AFM的面积，因此四边形FNCM的面积＝△ABC的面积，得到空白部分的面积＝正方形ABGF的面积﹣2×△ABC的面积，因此AB2﹣2×AC•BC＝13①，由完全平方公式得AC2+BC2+2AC•BC＝49，由勾股定理得到AB2+2AC•BC＝49②，于是AB2＝25，即可求出AB的长． 【解答】解：∵四边形ABGF是正方形， ∴AB＝AF，∠BAN＝∠F＝90°， ∴∠MAF+∠BAC＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ABN+∠BAC＝90°， ∴∠ABN＝∠MAF， ∵AB＝AF，∠BAN＝∠F， ∴△BAN≌△AFM（ASA）， ∴△BAN的面积＝△AFM的面积， ∴四边形FNCM的面积＝△ABC的面积， ∴空白部分的面积＝正方形ABGF的面积﹣2×△ABC的面积， ∴AB2﹣2×AC•BC＝13①， ∵AC+BC＝7， ∴（AC+BC）2＝72， ∴AC2+BC2+2AC•BC＝49， ∵AB2＝AC2+BC2， ∴AB2+2AC•BC＝49②， 由①和②得AB2＝25， ∴AB＝5（舍去负值）． 故选：A． 【变式3-3】．（2023秋•义乌市期末）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一．如图1，以直角三角形ABC的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大的正方形内，三个阴影部分面积分别记为S1，S2，S3，若已知S1＝2，S2＝5，S3＝8，则两个较小正方形纸片的重叠部分（四边形DEFG）的面积为（　　） A．7 B．10 C．13 D．15 【分析】根据勾股定理得到a2＝c2+b2，根据正方形的面积公式结合图形得出阴影部分面积等于两个较小正方形纸片的重叠部分（四边形DEFG）的面积． 【解答】解：设直角三角形的斜边长为a，较长直角边为c，较短直角边为b， 由勾股定理得，a2＝c2+b2， ∴a2﹣c2﹣b2＝0， ∴S阴影＝a2﹣c2﹣（b2﹣S四边形DEFG）＝a2﹣c2﹣b2+S四边形DEFG＝S四边形DEFG ∴S四边形DEFG＝S1+S2+S3＝2+5+8＝15， 故选：D． 【变式3-4】．（2023秋•南浔区期末）如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，以AB，AC，BC为边作正方形ABDE，正方形BCGF，正方形ACMN．设△ABC的面积为S1，△BDF的面积为S2，△DHG的面积为S3，四边形CHET的面积为S4，四边形ATMN的面积为S5，则下列结论正确的是（　　） A．S1+S4＝S2+S3+S5 B．S2+S5＝S1+S3+S4 C．S1+S3＝S2+S3+S4 D．S4+S5＝S1+S2+S3 【分析】如图，由直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，正方形ABDE，正方形BCGF，正方形ACMN．得（S2+S3+X）+（S5+Y）＝BC2+AC2＝AB2＝S1+S4+X+Y，得S1+S4＝S2+S3+S5． 【解答】解：如图，由直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，正方形ABDE，正方形BCGF，正方形ACMN． 得（S2+S3+X）+（S5+Y）＝BC2+AC2＝AB2＝S1+S4+X+Y， 得S1+S4＝S2+S3+S5． 故选：A． 题型四 勾股定理与最短路径 【例4】．（2024•新昌县一模）如图，桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖）高6厘米，底面周长16厘米，在杯口内壁离杯口1.5厘米的A处有一滴蜜糖，在玻璃杯的外壁，A的相对方向有一小虫P，小虫离杯底的垂直距离为1.5厘米，小虫爬到蜜糖A处的最短距离是（　　） A．厘米 B．10厘米 C．8厘米 D．8厘米 【分析】由于小虫从外壁进入内壁，要先到杯子上沿，再进入杯子，故先求出到杯子上沿的最短距离即可解答． 【解答】解：如图所示：最短距离为PA'的长度，将圆柱展开， PA'＝＝＝10cm， 最短路程为PA'＝10cm． 故选：B． 【变式4-1】．（2023春•咸丰县校级期中）如图，台阶阶梯每一层高20cm，宽30cm，长50cm，一只蚂蚁从A点爬到B点，最短路程是（　　）cm． A．10 B．50 C．120 D．130 【分析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答． 【解答】解：如图所示， ∵它的每一级的高为20cm，宽30cm，长50cm， ∴AB＝＝50（cm）． 答：蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程是50cm， 故选：B． 【变式4-2】．（2023•东阳市三模）如图，长方体的长、宽、高分别是4cm，2cm，2cm，一只蚂蚁沿着A长方体的表面从点A爬到点B，则蚂蚁爬行的最短路径长为 　4　cm． 【分析】蚂蚁有两种爬法，就是把正视和俯视（或正视和侧视）两个面展平成一个长方形，然后求其对角线，比较大小即可求得最短路程． 【解答】解：如图所示， 如图1，路径一：AB＝＝4（cm）； 如图2，路径二：AB＝＝2（cm）， ∵4， ∴蚂蚁爬行的最短路程为4cm． 故答案为：4． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题突破2：勾股定理与勾股定理逆定理 一、直角三角形勾股定理 在Rt△ABC中，两直角边的平方和=斜边的平方，即 常见变形：；； 注意事项： 当直角三角形的给出的两边没有说明是什么边长时，利用勾股定理求长度时通常需要分类讨论 二、勾股定理常见面积模型 图形 结论 总结 当分别以直角三角形的三边为边（或底边、半径）做规则的正方形、等边三角形、等腰直角三角形、半圆时，均满足两直角边所做图形的面积和等于斜边所做图形的面积 三、勾股定理常结合考点 直角三角形斜边上的中线=½斜边长 等腰三角形的两腰长相等； 等腰三角形的“三线合一”； 中垂线的性质定理； 将军饮马模型； 题型一 勾股定理与勾股定理逆定理的直接应用 【例1】．（2023秋•衢州期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以A点，B点为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于E，F，连接EF交AB于点D，交AC于点H．连接CD，以C为圆心，CD长为半径作弧，交AC于G点，若AB＝10cm，BC＝6cm，则GH的长度为（　　） A． B． C．3cm D． 【变式1-1】．（2024•西湖区校级模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5，以点B为圆心，BC为半径画弧交边AB于点P，则AP的长为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式1-2】．（2023秋•鄞州区校级期末）已知一个直角三角形的两边长分别为3和5，则第三边长为（　　） A．4 B． C．4或 D．2或2 【变式1-3】．（2024春•上虞区期末）如图，一只小猫沿着斜立在墙角的木板往上爬，木板底端距离墙角O处为0.7m．当小猫从木板底端爬到顶端时，木板底端向左滑动了1.3m，木板顶端向下滑动了0.9m，则小猫在木板上爬动的距离为（　　）m． A．3 B．2.5 C．2 D．1.5 【变式1-4】．（2024春•椒江区月考）如图，在离水面点A高度为8m的岸上点C处，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17m，此人以1m/s的速度收绳，7s后船移动到点D的位置，则船向岸边移动了（　　）（假设绳子是直的） A．9米 B．8米 C．7米 D．6米 【变式1-5】．（2023秋•北仑区校级期中）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，线段DE的两个端点D、E分别在边AC，BC上滑动，且DE＝6，若点M、N分别是DE、AB的中点，则MN的最小值为（　　） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 【变式1-6】．（2024春•路桥区期末）以下列各数为边长，能构成直角三角形的是（　　） A．1，1，2 B．1，，2 C．4，5，6 D．2，， 【变式1-7】．（2023秋•舟山期末）下列四个三角形都在正方形网格中，且三角形的顶点都在格点上，其中是直角三角形的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-8】．（2022秋•鄞州区期中）2021年10月10日是辛亥革命110周年纪念日．为进一步弘扬辛亥革命中体现的中华民族的伟大革命精神，社区开展了系列纪念活动．如图，有一块四边形空地，社区计划将其布置成展区，陈列有关辛亥革命的历史图片．现测得AB＝AD＝26m，BC＝16m，CD＝12m，且BD＝20m． （1）试说明∠BCD＝90°； （2）求四边形展区（阴影部分）的面积． 【变式1-9】．（2023秋•婺城区期末）某数学兴趣小组开展测量学校旗杆的实践活动． 【实践发现】数学兴趣小组实地勘查发现：系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知． 【实践探究】设计测量方案： 第一步：先测量比旗杆多出的部分绳子的长度，测得多出部分绳子的长度是1米； 第二步：如图，把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点C，再测量绳子底端C与旗杆AB的底部（点B）之间的距离为5米． 【问题解决】求旗杆的高度． 题型二 勾股定理的证明 【例2】．（2023秋•舟山期末）第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年周中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，由四个全等的直角三角形（△ABF，△BCG，△HCD，△AED）和中间一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD中，点P是AB的中点．连结PE，若BF＝3，且P，E，D在同一直线，则AB的长为（　　） A． B． C．6 D．5 【变式2-1】．（2024春•拱墅区校级期中）勾股定理被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图1所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成的．记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNXT的面积分别为S1，S2，S3，若正方形EFGH的边长为6，则S1+S2+S3＝　 　． 【变式2-2】．（2023秋•浦江县期末）赵爽是我国著名的数学家，“赵爽弦图”是他研究勾股定理的重要成果．古人有记载“勾三，股四，则弦五”的定理．如图，外围四个小长方形的宽相等，且邻长互相垂直，对长互相平行．若AB的长是小长方形宽的2倍，内部小正方形面积为9，则最外围的大正方形的边长是（　　） A． B． C． D． 题型三 勾股定理与面积 【例3】．（2023秋•宁波期末）将三张半圆形纸片按如图的方式摆置，半圆的直径恰好构成一个直角三角形，若知道图中两个月牙形的面积和，则一定能求出（　　） A．直角三角形的面积 B．最大半圆形的面积 C．较小两个半圆形的面积和 D．最大半圆形与直角三角形的面积和 【变式3-1】．（2023•临海市校级开学）如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，分别以四边形ABCD的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为a，b，c，d．若a＝2，b+c＝12，则d为（　　） A．8 B．10 C．12 D．14 【变式3-2】．（2024•玉环市模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以△ABC的各边为边作三个正方形，点G落在HI上，若AC+BC＝7，空白部分面积为13，则AB的长为（　　） A．5 B． C． D． 【变式3-3】．（2023秋•义乌市期末）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一．如图1，以直角三角形ABC的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大的正方形内，三个阴影部分面积分别记为S1，S2，S3，若已知S1＝2，S2＝5，S3＝8，则两个较小正方形纸片的重叠部分（四边形DEFG）的面积为（　　） A．7 B．10 C．13 D．15 【变式3-4】．（2023秋•南浔区期末）如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，以AB，AC，BC为边作正方形ABDE，正方形BCGF，正方形ACMN．设△ABC的面积为S1，△BDF的面积为S2，△DHG的面积为S3，四边形CHET的面积为S4，四边形ATMN的面积为S5，则下列结论正确的是（　　） A．S1+S4＝S2+S3+S5 B．S2+S5＝S1+S3+S4 C．S1+S3＝S2+S3+S4 D．S4+S5＝S1+S2+S3 题型四 勾股定理与最短路径 【例4】．（2024•新昌县一模）如图，桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖）高6厘米，底面周长16厘米，在杯口内壁离杯口1.5厘米的A处有一滴蜜糖，在玻璃杯的外壁，A的相对方向有一小虫P，小虫离杯底的垂直距离为1.5厘米，小虫爬到蜜糖A处的最短距离是（　　） A．厘米 B．10厘米 C．8厘米 D．8厘米 【变式4-1】．（2023春•咸丰县校级期中）如图，台阶阶梯每一层高20cm，宽30cm，长50cm，一只蚂蚁从A点爬到B点，最短路程是（　　）cm． A．10 B．50 C．120 D．130 【变式4-1】．（2023•东阳市三模）如图，长方体的长、宽、高分别是4cm，2cm，2cm，一只蚂蚁沿着A长方体的表面从点A爬到点B，则蚂蚁爬行的最短路径长为 　 　cm． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$