第2章 特殊三角形（单元测试A卷）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记·巧练（浙江专用）

第2章 《特殊三角形》单元测试A卷 （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一．选择题（每题3分，共10小题，共30分） 1．以下是清华大学、北京大学、上海交通大学、中国人民大学四个大学的校徽，其中是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．判定两个等腰三角形全等的条件可以是（　　） A．有一腰和一角对应相等 B．有两角一边对应相等 C．有顶角和一个底角对应相等 D．有两角对应相等 3．如图，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为C，D，要根据“HL”证明Rt△ABC与Rt△BAD全等，则还需要添加一个条件是（　　） A．∠CAB＝∠DBA B．AC＝BD C．AB＝BD D．∠ABC＝∠BAD 4．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝50°，AD⊥BC，垂足为D，△ADB与△ADB'关于直线AD对称，点B的对称点是点B'，则∠CAB'的度数为（　　） A．10° B．20° C．30° D．40° 5．如图所示，在△ABC中，∠BCA＝90°，分别以直角三角形ABC的三条边为直径向外作三个半圆，面积分别为25和9，则以BC为直径的半圆的面积是（　　） A．4 B．10 C．16 D．32 6．笔直的公路AB，AC，BC如图所示，AC，BC互相垂直，AB的中点D与点C被建筑物隔开，若测得AC的长为6km，BC的长为8km，则C，D之间的距离为（　　） A．3km B．4km C．5km D．6km 7．如图，A、B是6×8网格中的格点，网格中的每个小正方形边长都为1，以A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形的格点C的位置有（　　） A．8个 B．11个 C．12个 D．14个 8．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，面积是24；AC的中垂线分别交AB，AC的边于E，F；若点D是BC边的中点，点M是线段EF上的一动点，则△CDM周长的最小值为（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 9．如图，在△ABC中，AB＞AC，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，那么下列结论：①DE＝BD+CE；②AD＝AE；③△ADE的周长＝AB+AC；④BF＝CF；⑤．其中正确的有（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③⑤ D．①③④⑤ 10．如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，连接CE交AD于点F，连接BD交CE于点G，连接BE．下列结论中，正确的结论有（　　） ①CE＝BD；②△ADC是等腰直角三角形；③∠ADB＝∠AEB； ④S四边形BCDE＝BD•CE；⑤BC2+DE2＝BE2+CD2． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二．填空题（每题3分，共6小题，共18分） 11．已知命题：等边三角形的各个内角都等于60°．这个命题的逆命题是 　 　． 12．已知等腰三角形的周长为18，其中一边长为4，则该等腰三角形的底边长为 　 　． 13．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的中线，点E在AC上，且AE＝AD，连接DE，若∠CDE＝20°，则∠B的度数为 　 　°． 14．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别记为S1，S2，S3，S4．若S1+S4＝135，S3＝49，则S2＝　 　． 15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，点D在BC上，∠ADC＝2∠B，AD＝10，则BC的长为 　 　． 16．如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．以下五个结论： ①AD＝BE；②PQ∥AE；③OP＝OQ；④△CPQ为等边三角形；⑤∠AOB＝60°．其中正确的有 　 　．（注：把你认为正确的答案序号都写上） 三．解答题（共8小题，共72分） 17．（6分）如图，在△ABC中，∠C＝∠ABC＝2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数． 18．（6分）如图，在11×11的正方形网格中，网格中有一个格点△ABC（即三角形的顶点都在格点上）． （1）在图中作出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1（要求A与A1，B与B1，C与C1相对应）； （2）在直线l上找一点P，使得△PAC的周长最小； （3）△ABC的面积为 　 　． 19．（8分）如图，△ABC中，AB＝AC，点M、N分别在BC所在直线上，且AM＝AN，请问：BM＝CN吗？请说明理由． 20．（8分）如图，∠A＝∠B＝90°，E是AB上的一点，且AE＝BC，∠1＝∠2，求证：Rt△ADE≌Rt△BEC． 21．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE． （1）求证：△DEF是等腰三角形； （2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数． 22．（10分）在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P从点B出发，沿射线BC以1cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒，当△ABP为直角三角形时，求t的值． 23．（12分）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝16，D是AC上的一点，CD＝3，点P从B点出发沿射线BC方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点P的运动时间为t．连接AP． （1）当t＝3秒时，求AP的长度（结果保留根号）； （2）当△ABP为等腰三角形时，求t的值； （3）过点D作DE⊥AP于点E．在点P的运动过程中，当t为何值时，能使DE＝CD？ 24．（12分）如图，在△ABC中，∠A＝60°，BE⊥AC，垂足为E，CF⊥AB，垂足为F，点D是BC的中点，BE，CF交于点M． （1）如果AB＝AC，求证：△DEF是等边三角形； （2）如果AB≠AC，试猜想△DEF是不是等边三角形？如果△DEF是等边三角形，请加以证明；如果△DEF不是等边三角形，请说明理由； （3）如果CM＝4，FM＝5，求BE的长度． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2章 《特殊三角形》单元测试A卷 （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一．选择题（每题3分，共30分） 1．以下是清华大学、北京大学、上海交通大学、中国人民大学四个大学的校徽，其中是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据轴对称图形的定义，逐项判断即可求解． 【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、是轴对称图形，故本选项符合题意； C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：B． 2．判定两个等腰三角形全等的条件可以是（　　） A．有一腰和一角对应相等 B．有两角一边对应相等 C．有顶角和一个底角对应相等 D．有两角对应相等 【分析】依据全等三角形的判定定理回答即可． 【解答】解：A、当一个三角形的顶角与另一个三角形的底角对应相等时，三角形的另外两组角不一定相等，故不能判定两三角形全等，故A错误； B、依据AAS可判定两三角形全等，故B正确； C、由顶角和一个底角对应相等，没有边的参与不能证明它们全等，故C错误； D、有两角对应相等，没有边的参与不能证明它们全等，故D错误． 故选：B． 3．如图，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为C，D，要根据“HL”证明Rt△ABC与Rt△BAD全等，则还需要添加一个条件是（　　） A．∠CAB＝∠DBA B．AC＝BD C．AB＝BD D．∠ABC＝∠BAD 【分析】根据已知公共边为AB，根据HL只要找到对应的直角边AD＝BC或AC＝BD，即可求解． 【解答】解：在Rt△ABC与Rt△BAD中， ∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL）， 故选：B． 4．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝50°，AD⊥BC，垂足为D，△ADB与△ADB'关于直线AD对称，点B的对称点是点B'，则∠CAB'的度数为（　　） A．10° B．20° C．30° D．40° 【分析】求出∠C，∠AB′D，利用三角形的外角的性质求解即可． 【解答】解：∵∠B＝50°，∠BAC＝90°， ∴∠C＝90°﹣50°＝40°， ∵AD⊥BC，△ADB与△ADB'关于直线AD对称， ∴∠AB′D＝∠B＝50°， ∵∠AB′D＝∠C+∠CAB′， ∴∠CAB′＝50°﹣40°＝10°， 故选：A． 5．如图所示，在△ABC中，∠BCA＝90°，分别以直角三角形ABC的三条边为直径向外作三个半圆，面积分别为25和9，则以BC为直径的半圆的面积是（　　） A．4 B．10 C．16 D．32 【分析】根据圆面积计算公式得到，再由勾股定理得到，据此利用圆面积公式求解即可． 【解答】解：由题意得，， ∴， 由勾股定理得， ∴以BC为直径的半圆的面积是， 故选：C． 6．笔直的公路AB，AC，BC如图所示，AC，BC互相垂直，AB的中点D与点C被建筑物隔开，若测得AC的长为6km，BC的长为8km，则C，D之间的距离为（　　） A．3km B．4km C．5km D．6km 【分析】根据勾股定理求出AB，再根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”求解即可． 【解答】解：∵AC，BC互相垂直， ∴∠ACB＝90°， ∵AC的长为6km，BC的长为8km， ∴AB＝＝10（km）， ∵D为AB的中点， ∴CD＝AB＝5（km）， 故选：C． 7．如图，A、B是6×8网格中的格点，网格中的每个小正方形边长都为1，以A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形的格点C的位置有（　　） A．8个 B．11个 C．12个 D．14个 【分析】分三种情况：当AB＝AC时；当BA＝BC时；当CA＝CB时；即可解答． 【解答】解：如图： 分三种情况： 当AB＝AC时，以点A为圆心，以AB长为半径作圆，交正方形网格中的格点为点C1，C2，C3，C4，C5，C6； 当BA＝BC时，以点B为圆心，以BA长为半径作圆，交正方形网格中的格点为点C7，C8，C9，C10，C11，C12； 当CA＝CB时，作AB的垂直平分线，与正方形网格中的格点没有交点； 综上所述：以A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形的格点C的位置有12个， 故选：C． 8．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，面积是24；AC的中垂线分别交AB，AC的边于E，F；若点D是BC边的中点，点M是线段EF上的一动点，则△CDM周长的最小值为（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 【分析】连接AM，由垂直平分线的性质可得AM＝CM，所以△CDM周长的最小值为AD+CD的长，分别求出AD、CD的长即可求解． 【解答】解：连接AM， ∵EF是AC的垂直平分线， ∴AM＝CM， ∴△CDM周长＝CM+DM+CD＝AM+MD+CD≥AD+CD， ∴△CDM周长的最小值为AD+CD的长， ∵D是BC的中点，AB＝AC， ∴AD⊥BC， ∵BC＝6，△ABC的面积是24， ∴AD＝8， ∵BC＝6，D是BC的中点， ∴CD＝3， ∴AD+CD＝8+3＝11， ∴△CDM周长的最小值为11， 故选：D． 9．如图，在△ABC中，AB＞AC，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，那么下列结论：①DE＝BD+CE；②AD＝AE；③△ADE的周长＝AB+AC；④BF＝CF；⑤．其中正确的有（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③⑤ D．①③④⑤ 【分析】先由DE∥BC，得∠2＝∠5，∠4＝∠6，结合角平分线的定义，得∠1＝∠2，∠4＝∠3，则由等角对等边，得①；因为AB＞AC，所以②AD≠AE；因为③△ADE的周长＝AD+DE+AE，所以得③；因为AB＞AC，∠ABC≠∠ACB，则④BF≠CF，结合三角形的内角和，列式化简，得⑤．即可作答． 【解答】解：如图： ∵DE∥BC， ∴∠2＝∠5，∠4＝∠6， ∵∠ABC与∠ACB的平分线交于点F， ∴∠1＝∠2，∠4＝∠3， ∴∠5＝∠1，∠6＝∠3， ∴BD＝DF，FE＝CE， ∴DE＝DF+FE＝BD+CE，故①是正确的； ∵AB＞AC，DE∥BC， ∴∠ABC≠∠ACB，∠ADE≠∠AED， ∴AD≠AE，故②是错误的； ∵△ADE的周长＝AD+DF+FE+AE＝AD+BD+CE+AC， ∴△ADE的周长＝AB+AC，故③是正确的； ∵∠ABC≠∠ACB， ∴∠2≠∠4， ∴BF≠CF，故④是错误的； ∵∠A＝180°﹣∠1﹣∠2﹣∠3﹣∠4＝180°﹣2（∠2+∠4），∠BFC＝180°﹣（∠2+∠4）， ∴， ∴， 故⑤正确， 故选：C． 10．如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，连接CE交AD于点F，连接BD交CE于点G，连接BE．下列结论中，正确的结论有（　　） ①CE＝BD； ②△ADC是等腰直角三角形； ③∠ADB＝∠AEB； ④S四边形BCDE＝BD•CE； ⑤BC2+DE2＝BE2+CD2． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据等腰直角三角形的性质可得AB＝AC，AD＝AE，然后求出∠BAD＝∠CAE，再利用“边角边”证明△ABD和△ACE全等，根据全等三角形对应边相等可得CE＝BD，判断①正确；根据全等三角形对应角相等可得∠ABD＝∠ACE，从而求出∠BCG+∠CBG＝∠ACB+∠ABC＝90°，再求出∠BGC＝90°，从而得到BD⊥CE，根据四边形的面积判断出④正确；根据勾股定理表示出BC2+DE2，BE2+CD2，得到⑤正确；再求出AE∥CD时，∠ADC＝90°，判断出②错误；∠AEC与∠BAE不一定相等判断出③错误． 【解答】解：∵，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形， ∴AB＝AC，AD＝AE， ∵∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝90°+∠CAD， ∠CAE＝∠DAE+∠CAD＝90°+∠CAD， ∴∠BAD＝∠CAE， 在△ABD和△ACE中，， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴CE＝BD，故①正确； ∠ABD＝∠ACE， ∴∠BCG+∠CBG＝∠ACB+∠ABC＝90°， 在△BCG中，∠BGC＝180°﹣（∠BCG+∠CBG）＝180°﹣90°＝90°， ∴BD⊥CE， ∴S四边形BCDE＝BD•CE，故④正确； 由勾股定理，在Rt△BCG中，BC2＝BG2+CG2， 在Rt△DEG中，DE2＝DG2+EG2， ∴BC2+DE2＝BG2+CG2+DG2+EG2， 在Rt△BGE中，BE2＝BG2+EG2， 在Rt△CDG中，CD2＝CG2+DG2， ∴BE2+CD2＝BG2+CG2+DG2+EG2， ∴BC2+DE2＝BE2+CD2，故⑤正确； 只有AE∥CD时，∠AEC＝∠DCE， ∠ADC＝∠ADB+∠BDC＝90°， 无法说明AE∥CD，故②错误； ∵△ABD≌△ACE， ∴∠ADB＝∠AEC， ∵∠AEC与∠AEB相等无法证明， ∴∠ADB＝∠AEB不一定成立，故③错误； 综上所述，正确的结论有①④⑤共3个． 故选：C． 二．填空题（每题3分，共18分） 11．已知命题：等边三角形的各个内角都等于60°．这个命题的逆命题是 　三个角都是60°的三角形是等边三角形　． 【分析】根据逆命题的概念写出原命题的逆命题，根据等边三角形的判定定理判断即可． 【解答】解：命题“等边三角形的每个内角都等于60°”的逆命题是“三个角都是60°的三角形是等边三角形”， 故答案为：三个角都是60°的三角形是等边三角形． 12．已知等腰三角形的周长为18，其中一边长为4，则该等腰三角形的底边长为 　4　． 【分析】由于长为4的边可能为腰，也可能为底边，故应分两种情况讨论． 【解答】解：当腰为4时，另一腰也为4，则底为18﹣2×4＝10， ∵4+4＝8＜10， ∴这样的三边不能构成三角形． 当底为4时，腰为（18﹣4）÷2＝7， ∵0＜7＜7+4＝11， ∴以4，7，7为边能构成三角形， ∴该三角形的底边长为4． 故答案为：4． 13．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的中线，点E在AC上，且AE＝AD，连接DE，若∠CDE＝20°，则∠B的度数为 　50　°． 【分析】由AB＝AC，AD是△ABC的中线，可得∠B＝∠C，AD⊥BC，即∠ADC＝90°，则∠ADE＝90°﹣∠CDE＝70°，由AE＝AD，可得∠AED＝∠ADE＝70°，根据∠B＝∠C＝∠AED﹣∠CDE，求解作答即可． 【解答】解：∵AB＝AC，AD是△ABC的中线， ∴∠B＝∠C，AD⊥BC，即∠ADC＝90°， ∴∠ADE＝90°﹣∠CDE＝70°， ∵AE＝AD， ∴∠AED＝∠ADE＝70°， ∴∠B＝∠C＝∠AED﹣∠CDE＝50°， 故答案为：50． 14．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别记为S1，S2，S3，S4．若S1+S4＝135，S3＝49，则S2＝　86　． 【分析】根据正方形面积计算公式得到，，，再由勾股定理推出S1+S4＝S2+S3，据此可得答案． 【解答】解：如图，连接BD． 由题意，得，，，． 在Rt△ABD中，由勾股定理得BD2＝AB2+AD2＝S1+S4． 在Rt△BCD中，由勾股定理得BD2＝BC2+CD2＝S2+S3． ∴S1+S4＝S2+S3． ∴S2＝S1+S4﹣S3＝135﹣49＝86， 故答案为：86． 15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，点D在BC上，∠ADC＝2∠B，AD＝10，则BC的长为 　16　． 【分析】根据三角形外角的性质可得∠B＝∠BAD，从而得到BD＝AD＝10，再由勾股定理可得CD＝6，即可求解． 【解答】解：∵∠ADC＝∠B+∠BAD，∠ADC＝2∠B， ∴∠B＝∠BAD， ∴BD＝AD＝10， ∵∠C＝90°，AC＝8， ∴CD＝＝＝6， ∴BC＝BD+CD＝10+6＝16． 故答案为：16． 16．如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．以下五个结论： ①AD＝BE；②PQ∥AE；③OP＝OQ；④△CPQ为等边三角形；⑤∠AOB＝60°．其中正确的有 　①②④⑤　．（注：把你认为正确的答案序号都写上） 【分析】①根据全等三角形的判定方法，证出△ACD≌△BCE，即可得出AD＝BE，①正确． ④先证明△ACP≌△BCQ，即可判断出CP＝CQ，即可得④正确； ②根据∠PCQ＝60°，可得△PCQ为等边三角形，证出∠PQC＝∠DCE＝60°，得出PQ∥AE，②正确． ③没有条件证出OP＝OQ，得出③错误； ⑤∠AOB＝∠DAE+∠AEO＝∠DAE+∠ADC＝∠DCE＝60°，⑤正确；即可得出结论． 【解答】解：∵△ABC和△CDE都是等边三角形， ∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°， ∴∠ACB+∠BCD＝∠DCE+∠BCD， ∴∠ACD＝∠BCE， 在△ACD和△BCE中， AC＝BC，∠ACD＝∠BCE，CD＝CE， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴AD＝BE，结论①正确． ∵△ACD≌△BCE， ∴∠CAD＝∠CBE， 又∵∠ACB＝∠DCE＝60°， ∴∠BCD＝180°﹣60°﹣60°＝60°， ∴∠ACP＝∠BCQ＝60°， 在△ACP和△BCQ中， ∠ACP＝∠BCQ，∠CAP＝∠CBQ，AC＝BC， ∴△ACP≌△BCQ（AAS）， ∴AP＝BQ，CP＝CQ， 又∵∠PCQ＝60°， ∴△PCQ为等边三角形，结论④正确； ∴∠PQC＝∠DCE＝60°， ∴PQ∥AE，结论②正确． ∵△ACD≌△BCE， ∴∠ADC＝∠AEO， ∴∠AOB＝∠DAE+∠AEO＝∠DAE+∠ADC＝∠DCE＝60°， ∴结论⑤正确． 没有条件证出OP＝OQ，③错误； 综上，可得正确的结论有4个：①②④⑤． 故答案为：①②④⑤． 三．解答题（共8小题，共72分） 17．（6分）如图，在△ABC中，∠C＝∠ABC＝2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数． 【分析】根据三角形的内角和定理与∠C＝∠ABC＝2∠A，即可求得△ABC三个内角的度数，再根据直角三角形的两个锐角互余求得∠DBC的度数． 【解答】解：∵∠C＝∠ABC＝2∠A， ∴∠C+∠ABC+∠A＝5∠A＝180°， ∴∠A＝36°． 则∠C＝∠ABC＝2∠A＝72°． 又BD是AC边上的高， 则∠DBC＝90°﹣∠C＝18°． 18．（6分）如图，在11×11的正方形网格中，网格中有一个格点△ABC（即三角形的顶点都在格点上）． （1）在图中作出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1（要求A与A1，B与B1，C与C1相对应）； （2）在直线l上找一点P，使得△PAC的周长最小； （3）△ABC的面积为 　5　． 【分析】（1）分别作出点A、B、C关于直线l对称的点，然后顺次连接； （2）连接AC1与l的交点即为点P，此时△PAC的周长最小． （3）利用割补法求解即可． 【解答】解：（1）所作图形如图1所示； （2）点P即为所求的点． 由轴对称知PC＝PC1，又AC的长为定值， ∴△PAC的周长为PA+PC+AC＝PA+PC1+AC， ∴当A，P，C1共线时，△PAC的周长最小． （3）△ABC的面积＝3×4﹣×2×2﹣×1×4﹣×2×3＝12﹣2﹣2﹣3＝5． 故答案为：5． 19．（8分）如图，△ABC中，AB＝AC，点M、N分别在BC所在直线上，且AM＝AN，请问：BM＝CN吗？请说明理由． 【分析】根据等边对等角可得∠B＝∠C，∠AMN＝∠ANM，根据等角的补角相等可得∠AMB＝∠ANC，然后再利用AAS判定△ABM≌△ACN，根据全等三角形的性质可得BM＝CN． 【解答】解：BM＝CN． 理由：∵AB＝AC ∴∠B＝∠C， 又∵AM＝AN， ∴∠AMN＝∠ANM， ∴∠AMB＝∠ANC， 在△ABM和△ACN中， ∴△ABM≌△ACN（AAS）， ∴BM＝CN． 20．（8分）如图，∠A＝∠B＝90°，E是AB上的一点，且AE＝BC，∠1＝∠2，求证：Rt△ADE≌Rt△BEC． 【分析】由∠1＝∠2得DE＝EC，进而可依据“HL”判定Rt△ADE和Rt△BEC全等． 【解答】证明：∵∠A＝∠B＝90°， ∴△ADE和△BEC均为直角三角形， ∵∠1＝∠2， ∴DE＝EC， 在Rt△ADE和Rt△BEC中， ， ∴Rt△ADE≌Rt△BEC（HL）． 21．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE． （1）求证：△DEF是等腰三角形； （2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数． 【分析】（1）由AB＝AC，∠ABC＝∠ACB，BE＝CF，BD＝CE．利用边角边定理证明△DBE≌△ECF，然后即可求证△DEF是等腰三角形． （2）根据∠A＝40°可求出∠ABC＝∠ACB＝70°根据△DBE≌△ECF，利用三角形内角和定理即可求出∠DEF的度数． 【解答】证明：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， 在△DBE和△ECF中 ， ∴△DBE≌△ECF（SAS）， ∴DE＝EF， ∴△DEF是等腰三角形； （2）∵△DBE≌△ECF， ∴∠1＝∠3，∠2＝∠4， ∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠B＝（180°﹣40°）＝70° ∴∠1+∠2＝110° ∴∠3+∠2＝110° ∴∠DEF＝70° 22．（10分）在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P从点B出发，沿射线BC以1cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒，当△ABP为直角三角形时，求t的值． 【分析】分类讨论，分∠APB为直角和∠BAP为直角两种情况来求解． 【解答】解：在Rt△ABC中， 由勾股定理得：BC2＝AB2﹣AC2＝52﹣32＝16， ∴BC＝4cm． 根据题意得：BP＝tcm． ①如图①，当∠BAP为直角时， BP＝tcm．CP＝（t﹣4）cm，AC＝3cm， 在Rt△ACP中，AP2＝AC2+CP2＝32+（t﹣4）2， 在Rt△BAP中，AB2+AP2＝BP2， ∴52+32+（t﹣4）2＝t2， 解得． ②如图②，当∠APB为直角时， 此时点P与点C重合， BP＝BC＝4cm， ∴t＝4． ∴当△ABP为直角三角形时，t＝4或． 23．（12分）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝16，D是AC上的一点，CD＝3，点P从B点出发沿射线BC方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点P的运动时间为t．连接AP． （1）当t＝3秒时，求AP的长度（结果保留根号）； （2）当△ABP为等腰三角形时，求t的值； （3）过点D作DE⊥AP于点E．在点P的运动过程中，当t为何值时，能使DE＝CD？ 【分析】（1）根据动点的运动速度和时间先求出PC，再根据勾股定理即可求解； （2）根动点运动过程中形成三种等腰三角形，分情况即可求解； （3）根据动点运动的不同位置利用勾股定理即可求解． 【解答】解：（1）根据题意，得BP＝2t，PC＝16﹣2t＝16﹣2×3＝10，AC＝8， 在Rt△APC中，根据勾股定理，得AP＝＝＝2． 答：AP的长为2． （2）在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝16， 根据勾股定理，得AB＝＝＝8 若BA＝BP，则 2t＝8，解得t＝4； 若AB＝AP，则BP＝32，2t＝32，解得t＝16； 若PA＝PB，则（2t）2＝（16﹣2t）2+82，解得t＝5． 答：当△ABP为等腰三角形时，t的值为4、16、5． （3）①点P在线段BC上时，过点D作DE⊥AP于E，如图1所示： 则∠AED＝∠PED＝90°， ∴∠PED＝∠ACB＝90°， ∴PD平分∠APC， ∴∠EPD＝∠CPD， ， ∴△PDE≌△PDC（AAS）， ∴ED＝CD＝3，PE＝PC＝16﹣2t， ∴AD＝AC﹣CD＝8﹣3＝5， ∴AE＝4， ∴AP＝AE+PE＝4+16﹣2t＝20﹣2t， 在Rt△APC中，由勾股定理得：82+（16﹣2t）2＝（20﹣2t）2， 解得：t＝5； ②点P在线段BC的延长线上时，过点D作DE⊥AP于E，如图2所示： 同①得：△PDE≌△PDC（AAS）， ∴ED＝CD＝3，PE＝PC＝2t﹣16， ∴AD＝AC﹣CD＝8﹣3＝5， ∴AE＝4， ∴AP＝AE+PE＝4+2t﹣16＝2t﹣12， 在Rt△APC中，由勾股定理得：82+（2t﹣16）2＝（2t﹣12）2， 解得：t＝11； 综上所述，在点P的运动过程中，当t的值为5或11时，能使DE＝CD． 24．（12分）如图，在△ABC中，∠A＝60°，BE⊥AC，垂足为E，CF⊥AB，垂足为F，点D是BC的中点，BE，CF交于点M． （1）如果AB＝AC，求证：△DEF是等边三角形； （2）如果AB≠AC，试猜想△DEF是不是等边三角形？如果△DEF是等边三角形，请加以证明；如果△DEF不是等边三角形，请说明理由； （3）如果CM＝4，FM＝5，求BE的长度． 【分析】（1）先判定△ABC是等边三角形，再根据等腰三角形三线合一的性质可得EF＝ED＝DF，从而可得△DEF是等边三角形； （2）先根据直角三角形两锐角互余的性质求出∠ABE＝∠ACF＝30°，再根据三角形的内角和定理求出∠BCF+∠CBE＝60°，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠BDF+∠CDE＝120°，从而得到∠EDF＝60°，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DE＝DF，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形即可证明； （3）根据30°角所对的直角边等于斜边的一半可得BM＝2FM，ME＝CM，然后代入数据进行计算即可求解． 【解答】（1）证明：∵∠A＝60°，AB＝AC， ∴△ABC是等边三角形， ∵BE⊥AC，垂足为E，CF⊥AB，垂足为F， ∴E、F分别是AC、AB边的中点， 又∵点D是BC的中点， EF＝BC，DE＝AB，DF＝AC， ∴EF＝ED＝DF， ∴△DEF是等边三角形； （2）解：△DEF是等边三角形． 理由如下：∵∠A＝60°，BE⊥AC，CF⊥AB， ∴∠ABE＝∠ACF＝90°﹣60°＝30°， 在△ABC中，∠BCF+∠CBE＝180°﹣60°﹣30°×2＝60°， ∵点D是BC的中点，BE⊥AC，CF⊥AB， ∴DE＝DF＝BD＝CD， ∴∠BDF＝2∠BCF，∠CDE＝2∠CBE， ∴∠BDF+∠CDE＝2（∠BCF+∠CBE）＝2×60°＝120°， ∴∠EDF＝60°， ∴△DEF是等边三角形； （3）解：∵∠A＝60°，BE⊥AC，CF⊥AB， ∴∠ABE＝∠ACF＝90°﹣60°＝30°， ∴BM＝2FM＝2×5＝10，ME＝CM＝×4＝2， ∴BE＝BM+ME＝10+2＝12． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$