专题2.9 有理数及其运算单元检测卷-培优卷-2024-2025学年七年级数学上册重难点专题分类必刷清单（北师大版2024）

第二章 有理数及其运算单元检测卷--培优卷（北师大版2024） 考卷信息：本试卷共22题，单选10题，填空6题，解答6题，满分100分，现时60分钟 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．如果a与﹣2024互为相反数，那么a的值是（　　） A．﹣2024 B． C． D．2024 2．下列说法错误的是（　　） A．0既不是正数，也不是负数 B．零上6摄氏度可以写成+6℃，也可以写成6℃ C．向东走一定用正数表示，向西走一定用负数表示 D．若盈利1000元记作+1000元，则﹣200元表示亏损200元 3．有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则下列各式中，正确的有（　　） ①a﹣c＞0；②＞；③a+c﹣b＜0；④|a﹣b|＝|a|+|b|；⑤|a+c|＜|a+b|． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．已知|a|＝2，|b|＝3，且a+b＞0，则a﹣b的值等于（　　） A．﹣1 B．﹣5 C．﹣1或﹣5 D．5 5．下列说法正确的有（　　）个． ①相反数是它本身的数是0； ②零除以任何一个数都为零； ③绝对值是它本身的数是正数； ④倒数等于本身的数有±1； ⑤几个有理数相乘时负因数的个数为奇数个时积为负． A．2 B．3 C．4 D．5 6．如图所示，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“●”的个数为3，第2幅图形中“●”的个数为8，第3幅图形中“●”的个数为15..以此类推，则第10幅图形中“●”的个数为（　　） A．100 B．120 C．220 D．240 7．按如图所示的程序分别输入﹣2进行计算，请写出输出结果（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 8．如果ab＜0，a+b＜0，那么下列结论正确的是（　　） A．a＜0，b＜0 B．a＞0，b＜0，且|a|＞|b| C．a+b＝0，且a≠0 D．a＜0，b＞0，且|a|＞|b| 9．a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数．如：2的差倒数是＝﹣1，﹣1的差倒数是＝．已知a1＝，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数，…，以此类推，则a2023＝（　　） A．﹣2 B． C． D． 10．已知m是不为1的有理数，我们把称为m的“友好数”．例如：2的“友好数”是＝﹣1，﹣1的“友好数”是．如果m1＝﹣1，m2是m1的“友好数”，m3是m2的“友好数”，m4是m3的“友好数”，…，以此类推，那么m200的值为（　　） A．﹣1 B． C．2 D．﹣2 二．填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11．比较大小：+（﹣） 　 　|﹣|． 12．若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m是（﹣5）的相反数，则的值是 　 　． 13．定义一种新运算*，规定运算法则为：m*n＝mn﹣mn（m，n均为整数，且m≠0）．例：2*3＝23﹣2×3＝2，则（﹣2）*2＝　 　． 14．已知a是有理数，[a]表示不超过a的最大整数，如[3.2]＝3，[﹣1.5]＝﹣2，[0.8]＝0，[2]＝2等，那么[3.14]÷[3]×[﹣5]＝　 　． 15．幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”（如图1），把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图2），其每行、每列及每条对角线上的三个格子中的数字之和都等于15．图3也是一个三阶幻方，其每行、每列及每条对角线上的三个格子中的数字之和都等于s，则s的值为 　 　． 16．若一个两位数十位、个位上的数字分别为m，n，我们可将这个两位数记为，易知；同理，一个三位数也可以用此记法，如．若t＝4，则＝　 　，数字中有一个有趣的黑洞现象：任选一个四位位数，要求个位、十位、百位、千位的数字各不相同，把这个四位数的四个数字按大小重新排列，得出一个最大的数和一个最小的数，用得出的最大的数减去最小的数得到一个新数（例如若选的数为5894，则用9854﹣4589＝5265），再将这个新数按上述方式重新排列，再相减，像这样运算若干次后一定会得到同一个重复出现的数，这个数称为“卡普雷卡尔黑洞数”．通过探索发现：该“卡普雷卡尔黑洞数”为 　 　． 三．解答题（共6小题，第17~18题各7分，第19题6分，第20题12分，第21~22题每小题10分，共52分） 17．在数轴上表示有理数：2.5，﹣|﹣3|，0，﹣（﹣1），，并用“＜”号将它们连接起来． 18．把下列各数分别填入相应的集合里． ﹣5，﹣0.，0，﹣3.14，，0.1010010001…，﹣（﹣6），﹣ （1）有理数集合：{ 　 　…}； （2）正数集合：{ 　 　…}． 19．计算： （1）； （2）． 20．请用简便方法运算（不用简便方法不得分）： （1）； （2）； （3）×（﹣25%）． 21．一辆出租车从公司出发，在南北向的北京路上连续接送5批客人，行驶路程记录如下（规定向南为正，向北为负）： 第1批 第2批 第3批 第4批 第5批 5千米 2千米 ﹣4千米 ﹣3千米 6千米 （1）接送完第5批客人后，该驾驶员在公司什么方向，距离公司多少千米？ （2）若该出租车每千米耗油0.3升，那么在这过程中共耗油多少升？ （3）若该出租车的计价标准为：行驶路程不超过3千米收费8元，超过3千米的部分按每千米加1.6元收费，在这过程中该驾驶员共收到车费多少元？ 22．如图，数轴上的A，B两点分别表示有理数a，b，O为原点，且a、b满足|a﹣4|+|b﹣16|＝0，请回答下列问题： （1）a＝　 　，b＝　 　； （2）若点P从点A出发，以每秒3个单位长度向x轴正半轴运动，求运动时间为多少时，点P到点A的距离是点P到点B距离的3倍； （3）数轴上还有一点C表示的数为30，若点P和点Q同时从点A和点B出发，分别以每秒3个单位长度和每秒1个单位长度的速度向C点运动，P点到达C点后，再立刻以同样的速度返回，运动到终点A．求点P和点Q运动多少秒时，P、Q两点之间的距离为4． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 有理数及其运算单元检测卷--培优卷（北师大版2024） 考卷信息：本试卷共22题，单选10题，填空6题，解答6题，满分100分，现时60分钟 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．如果a与﹣2024互为相反数，那么a的值是（　　） A．﹣2024 B． C． D．2024 【解答】解：∵a与﹣2024互为相反数， ∴a+（﹣2024）＝0， ∴a＝2024． 故选：D． 2．下列说法错误的是（　　） A．0既不是正数，也不是负数 B．零上6摄氏度可以写成+6℃，也可以写成6℃ C．向东走一定用正数表示，向西走一定用负数表示 D．若盈利1000元记作+1000元，则﹣200元表示亏损200元 【解答】解：∵0既不是正数，也不是负数， ∴A正确，不符合题意； ∵零上6摄氏度可以写成+6℃，也可以写成6℃， ∴B正确，不符合题意； ∵正方向可以自主确定， ∴向东走一定用正数表示，向西走一定用负数表示，是错误的， ∴C不正确，符合题意； ∵盈利1000元记作+1000元，则﹣200元表示亏损200元， ∴D正确，不符合题意； 故选：C． 3．有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则下列各式中，正确的有（　　） ①a﹣c＞0；②＞；③a+c﹣b＜0；④|a﹣b|＝|a|+|b|；⑤|a+c|＜|a+b|． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：由数轴得出c＜a＜0＜b，|b|＞|a|， ∴a﹣c＞0，①正确； ＜，②错误； a+c﹣b＜0，③正确； |a﹣b|＝|a|+|b|，④正确； |a+c|＞|a+b|．⑤错误； ∴正确的有①③④． 故选：C． 4．已知|a|＝2，|b|＝3，且a+b＞0，则a﹣b的值等于（　　） A．﹣1 B．﹣5 C．﹣1或﹣5 D．5 【解答】解：∵|a|＝2，|b|＝3， ∴a＝±2，b＝±3， ∵a+b＞0， ∴①a＝﹣2，b＝3，则a﹣b＝﹣2﹣3＝﹣5， ②a＝2，b＝3，则a﹣b＝2﹣3＝﹣1． 故选：C． 5．下列说法正确的有（　　）个． ①相反数是它本身的数是0； ②零除以任何一个数都为零； ③绝对值是它本身的数是正数； ④倒数等于本身的数有±1； ⑤几个有理数相乘时负因数的个数为奇数个时积为负． A．2 B．3 C．4 D．5 【解答】解：①相反数是它本身的数是0，该说法正确； ②零除以任何一个数不为0的数都为零，故该说法错误； ③绝对值是它本身的数除了正数还有0，故该说法错误； ④倒数等于本身的数有±1，故该说法正确； ⑤几个非0有理数相乘时负因数的个数为奇数个时积为负，故该说法错误． 则正确的只有2个． 故选：A． 6．如图所示，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“●”的个数为3，第2幅图形中“●”的个数为8，第3幅图形中“●”的个数为15..以此类推，则第10幅图形中“●”的个数为（　　） A．100 B．120 C．220 D．240 【解答】解：由题意可得， 第1幅图形中“●”的个数为3＝22﹣1， 第2幅图形中“●”的个数为8＝32﹣1， 第3幅图形中“●”的个数为15＝42﹣1， …… ∴第n幅图中“●”的个数为（n+1）2﹣1， ∴第10幅图形中“●”的个数为（10+1）2﹣1＝120， 故选：B． 7．按如图所示的程序分别输入﹣2进行计算，请写出输出结果（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【解答】解：由题意可得， 当输入﹣2时，﹣2+4+（﹣3）+1＝0＜2， 0+4+（﹣3）+1＝2＝2， 2+4+（﹣3）+1＝4＞2， 即当输入﹣2时，输出结果为4， 故选：A． 8．如果ab＜0，a+b＜0，那么下列结论正确的是（　　） A．a＜0，b＜0 B．a＞0，b＜0，且|a|＞|b| C．a+b＝0，且a≠0 D．a＜0，b＞0，且|a|＞|b| 【解答】解：A、∵a＜0，b＜0， ∴ab＞0，故选项错误； B、∵a＞0，b＜0，且|a|＞|b|， ∴ab＜0，a+b＞0，故选项错误； C、∵a+b＝0，且a≠0， ∴与a+b＜0矛盾，故选项错误； D、∵a＜0，b＞0，且|a|＞|b|， ∴ab＜0，a+b＜0，故选项正确． 故选：D． 9．a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数．如：2的差倒数是＝﹣1，﹣1的差倒数是＝．已知a1＝，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数，…，以此类推，则a2023＝（　　） A．﹣2 B． C． D． 【解答】解：∵a1＝， ∴a2＝＝， a3＝＝﹣2， a4＝＝， … ∴每3个数为一周期循环， ∵2023÷3＝674......1， ∴a2023＝a1＝， 故选：C． 10．已知m是不为1的有理数，我们把称为m的“友好数”．例如：2的“友好数”是＝﹣1，﹣1的“友好数”是．如果m1＝﹣1，m2是m1的“友好数”，m3是m2的“友好数”，m4是m3的“友好数”，…，以此类推，那么m200的值为（　　） A．﹣1 B． C．2 D．﹣2 【解答】解：由题知， 因为m1＝﹣1， 所以， ， ， …， 由此可见，这列数按循环出现， 又因为200÷3＝66余2， 所以． 故选：B． 二．填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11．比较大小：+（﹣） 　＜　|﹣|． 【解答】解：∵+（﹣）＝﹣，|﹣|＝， ∴﹣＜， ∴+（﹣）＜|﹣|． 故答案为：＜． 12．若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m是（﹣5）的相反数，则的值是 　6　． 【解答】解：∵a、b互为相反数，c、d互为倒数，m是（﹣5）的相反数， ∴a+b＝0，cd＝1，m＝5， ∴． 故答案为：6． 13．定义一种新运算*，规定运算法则为：m*n＝mn﹣mn（m，n均为整数，且m≠0）．例：2*3＝23﹣2×3＝2，则（﹣2）*2＝　8　． 【解答】解：∵m*n＝mn﹣mn， ∴（﹣2）*2 ＝（﹣2）2﹣（﹣2）×2 ＝4+4 ＝8， 故答案为：8． 14．已知a是有理数，[a]表示不超过a的最大整数，如[3.2]＝3，[﹣1.5]＝﹣2，[0.8]＝0，[2]＝2等，那么[3.14]÷[3]×[﹣5]＝　﹣6　． 【解答】解：根据题意得：原式＝3÷3×（﹣6）＝﹣6． 故答案为：﹣6． 15．幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”（如图1），把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图2），其每行、每列及每条对角线上的三个格子中的数字之和都等于15．图3也是一个三阶幻方，其每行、每列及每条对角线上的三个格子中的数字之和都等于s，则s的值为 　36　． 【解答】解：设12上面的数字为a，12下面的数字为b， 根据题意得，10+12＝21+a，10+b＝21+12， 解得a＝1，b＝23， ∴s＝1+12+23＝36， 故答案为：36． 16．若一个两位数十位、个位上的数字分别为m，n，我们可将这个两位数记为，易知；同理，一个三位数也可以用此记法，如．若t＝4，则＝　109　，数字中有一个有趣的黑洞现象：任选一个四位位数，要求个位、十位、百位、千位的数字各不相同，把这个四位数的四个数字按大小重新排列，得出一个最大的数和一个最小的数，用得出的最大的数减去最小的数得到一个新数（例如若选的数为5894，则用9854﹣4589＝5265），再将这个新数按上述方式重新排列，再相减，像这样运算若干次后一定会得到同一个重复出现的数，这个数称为“卡普雷卡尔黑洞数”．通过探索发现：该“卡普雷卡尔黑洞数”为 　6174　． 【解答】解：当t＝4时，＝439﹣548＝109； 若选的数为5894，则第一次运算结果为：9854﹣4589＝5265， 第二次运算结果为：6552﹣2556＝3996， 第三次运算结果为：9963﹣3699＝6264， 第四次运算结果为：6642﹣2466＝4176， 第五次运算结果为：7641﹣1467＝6174， 第六次运算结果为：7641﹣1467＝6174， …… ∴“卡普雷卡尔黑洞数”为6174， 故答案为：109，6174． 三．解答题（共6小题，第17~18题各7分，第19题6分，第20题12分，第21~22题每小题10分，共52分） 17．在数轴上表示有理数：2.5，﹣|﹣3|，0，﹣（﹣1），，并用“＜”号将它们连接起来． 【解答】解；﹣|﹣3|＝﹣3，﹣（﹣1）＝1， 在数轴上表示如下： 用“＜”号将它们连接起来：﹣|﹣3|＜﹣＜0＜﹣（﹣1）＜2.5． 18．把下列各数分别填入相应的集合里． ﹣5，﹣0.，0，﹣3.14，，0.1010010001…，﹣（﹣6），﹣ （1）有理数集合：{ 　﹣5，﹣0.，0，﹣3.14，，0.1010010001…，﹣（﹣6）　…}； （2）正数集合：{ 　正数有：，0.1010010001…，﹣（﹣6）　…}． 【解答】解：（1）有理数有：﹣5，﹣0.，0，﹣3.14，，0.1010010001…，﹣（﹣6）． 故答案为：﹣5，﹣0.，0，﹣3.14，，0.1010010001…，﹣（﹣6）． （2）正数有：，0.1010010001…，﹣（﹣6）． 故答案为：正数有：，0.1010010001…，﹣（﹣6）． 19．计算： （1）； （2）． 【解答】解：（1）原式＝﹣1×（﹣3）×3+1 ＝3×3+1 ＝9+1 ＝10． （2）原式＝﹣1﹣×6×（﹣2+27） ＝﹣1﹣×6×25 ＝﹣1+25 ＝24． 20．请用简便方法运算（不用简便方法不得分）： （1）； （2）； （3）×（﹣25%）． 【解答】解：（1） ＝﹣×××16 ＝﹣（×16）×（×） ＝﹣1×1 ＝﹣1； （2） ＝（﹣100+）×26 ＝﹣100×26+×26 ＝﹣2600+ ＝﹣2599； （3）×（﹣25%） ＝370×+×24.5+5.5× ＝（370+24.5+5.5）× ＝400× ＝100． 21．一辆出租车从公司出发，在南北向的北京路上连续接送5批客人，行驶路程记录如下（规定向南为正，向北为负）： 第1批 第2批 第3批 第4批 第5批 5千米 2千米 ﹣4千米 ﹣3千米 6千米 （1）接送完第5批客人后，该驾驶员在公司什么方向，距离公司多少千米？ （2）若该出租车每千米耗油0.3升，那么在这过程中共耗油多少升？ （3）若该出租车的计价标准为：行驶路程不超过3千米收费8元，超过3千米的部分按每千米加1.6元收费，在这过程中该驾驶员共收到车费多少元？ 【解答】解：（1）5+2+（﹣4）+（﹣3）+6＝6（千米）． 答：接送完第5批客人后，该驾驶员在公司南方，距离公司6千米； （2）|5|+|2|+|﹣4|+|﹣3|+|6| ＝5+2+4+3+6 ＝20（千米）， 0.3×20＝6（升）， 答：在这过程中共耗油6升； （3）第1批客人运费为8+1.6×（5﹣3）＝11.2（元）， 第2批客人运费为8元； 第3批客人运费为8+1.6×（4﹣3）＝9.6（元）， 第4批客人运费为8元， 第5批客人运费为8+1.6×（6﹣3）＝12.8（元）， 11.2+8+9.6+8+12.8＝49.6（元）． 答：在这过程中该驾驶员共收到车费49.6元． 22．如图，数轴上的A，B两点分别表示有理数a，b，O为原点，且a、b满足|a﹣4|+|b﹣16|＝0，请回答下列问题： （1）a＝　4　，b＝　16　； （2）若点P从点A出发，以每秒3个单位长度向x轴正半轴运动，求运动时间为多少时，点P到点A的距离是点P到点B距离的3倍； （3）数轴上还有一点C表示的数为30，若点P和点Q同时从点A和点B出发，分别以每秒3个单位长度和每秒1个单位长度的速度向C点运动，P点到达C点后，再立刻以同样的速度返回，运动到终点A．求点P和点Q运动多少秒时，P、Q两点之间的距离为4． 【解答】解：（1）∵|a﹣4|+|b﹣16|＝0， ∴a﹣4＝0，b﹣16＝0， ∴a＝4，b＝16， 故答案为：4，16； （2）P运动后表示的数为4+3t， ∵点P到点A的距离是点P到点B距离的3倍， ∴3t＝3|4+3t﹣16|， 解得t＝3或t＝6， ∴运动3秒或6秒时，点P到点A的距离是点P到点B距离的3倍； （3）设运动的时间为t秒， P从A到C需要的时间为（30﹣4）÷3＝（秒），Q从B到C所需时间为（30﹣16）÷1＝14（秒）， 当0＜t≤时，P表示的数为4+3t，Q表示的数为16+t， |4+3t﹣（16+t）|＝4， 解得t＝4或t＝8； 当＜t≤14时，P表示的数为30﹣3（t﹣）＝56﹣3t，Q表示的数为16+t， |56﹣3t﹣（16+t）|＝4， 解得t＝9或t＝11； 当14＜t≤时，|56﹣3t﹣30|＝4， 解得t＝（舍去）或t＝10（舍去）， 综上所述，点P和点Q运动4秒或8秒或9秒或11时，P、Q两点之间的距离为4． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$