专题2.7 数轴动态问题【11大题型】-2024-2025学年七年级数学上册重难点专题分类必刷清单（北师大版2024）

专题2.7 数轴动态问题【11大题型】（北师大版2024） 题组一 数轴动态基础问题 1 题组二 数轴动态中点问题 2 题组三 数轴动态相遇问题 5 题组四 数轴动态定值问题 6 题组五 数轴动态和差倍关系 8 题组六 数轴动态速度变化问题 11 题组七 数轴动态变向问题 12 题组八 数轴动态折线数轴问题 14 题组九 数轴动态动线段问题 18 题组十 数轴动态最值问题 20 题组十一 数轴动态新定义问题 21 ( 知识导航 ) 知识点 1 数轴 数轴：规定了 原点 、 正方向 和 单位长度 的直线叫做数轴。 在数轴上，点A、B分别表示a、b 注意：①数轴上两点表示的数，右边的总比左边的大，a＜b， AB两点之间距离：AB=b-a ，A、B中点表示的数位为： ③点的移动：左减，右加 知识点 2 数轴动点问题解答步骤 ①画图——在数轴上表示出点的运动情况：速度和方向 ②表示点——起点±运动情况（左“-”右“+”） ③表示距离——右-左，无法判断左右时，加绝对值 ④列示求解——根绝条件列方程或代数式求解 题组一 数轴动态基础问题 1．如图，点A、B在数轴上表示的数分别为﹣12和8，两只蚂蚁M、N分别从A、B两点同时出发，相向而行．M的速度为2个单位长度/秒，N的速度为3个单位长度/秒． （1）运动 　 　秒钟时，两只蚂蚁相遇在点P；点P在数轴上表示的数是 　 　； （2）若运动t秒钟时，两只蚂蚁的距离为10，求出t的值（写出解题过程）． 2．已知，如图A，B分别为数轴上的两点，点A对应的数是﹣20，点B对应的数为80． （1）请直接写出AB的中点M对应的数． （2）现在有一只电子蚂蚁P从B点出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以3个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇．请解答下面问题： ①试求出点C在数轴上所对应的数； ②何时两只电子蚂蚁在数轴上相距15个单位长度？ 3．如图所示，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动3单位长度，再向左移动5个单位长度，可以看到终点表示的数是﹣2，已知点A，B是数轴上的点，请参照图并思考，完成下列各题： （1）如果点A表示数﹣3，将点A向右移动7个单位长度，那么终点B表示的数是　 　，A，B两点间的距离是　 　； （2）如果点A表示数3，将A点向左移动9个单位长度，再向右移动5个单位长度，那么终点B表示的数是　 　，A，B两点间的距离为　 　； （3）一般地，如果A点表示的数为m，将A点向右移动n个单位长度，再向左移动p个单位长度，那么，请你猜想终点B表示什么数？A，B两点间的距离为多少？ 题组二 数轴动态中点问题 4．综合与探究 已知，数轴上三点A，O，B对应的数分别为﹣3，0，1，点C为数轴上任意一点，其对应的数为x． （1）AB的长为 　 　，AC的长为 　 　； （2）若AC＝2BC，求x的值； （3）数轴上，如果动点P从点O出发，以每秒1个单位的速度沿数轴正方向运动；同时动点M和N分别从点A和点B出发，分别以每秒3个单位和每秒2个单位的速度也沿数轴正方向运动．当点P到点M的距离等于点P到点N的距离时，直接写出点P所表示的数． 5．A，B是数轴上的两点（点B在点A的右侧），点A表示的数为﹣10，A、B两点的距离是点A到原点O的距离的3倍，即AB＝3OA．点C为数轴上的动点． （1）数轴上点B表示的数是 　 　； （2）当AC+BC＝58时，求点C表示的数； （3）若点M为AC的中点，点N为CB的中点，点C在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若发生变化，请你说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长度． 6．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础，请利用数轴回答下列问题： ①如果点A表示数﹣3，将点A向右移动7个单位长度，那么终点B表示的数是 　 　，A，B两点间的距离是 　 　； ②如果点A表示数3，将A点先向左移动4个单位长度，再向右移动5个单位长度，那么终点B表示的数是 　 　，A、B两点间的距离是 　 　； ③一般地，如果A点表示的数为m，将A点向右移动n个单位长度，再向左移动P个单位长度，请你猜想终点B表示的数是 　 　，A，B两点间的距离是 　 　． ④如图，数轴上有三个点A、B、C，它们可以沿着数轴左右移动，移动点A到达点E，使B、C、E三点的其中任意一点成为连接另外两点之间线段的中点，请你直接写出所有点A移动的距离和方向． 7．如图：已知A、B、C是数轴（O是原点）上的三点，点C表示的数是6，线段BC＝4，线段AB＝12． （1）写出数轴上A、B两点表示的数． （2）动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒，t为何值时，原点O是线段PQ的中点？ 8．在数轴上，点A在原点O的左侧，点B在原点O的右侧，点A距离原点12个单位长度，点B距离原点2个单位长度． （1）A点表示的数为 　 　，B点表示的数为 　 　，两点之间的距离为 　 　； （2）若点P为数轴上一点，且BP＝2，求AP的值； （3）若点P、Q、M同时向数轴负方向运动，点P从点A出发，点Q从原点出发，点M从点B出发，且点P的运动速度是每秒6个单位长度，点Q的运动速度是每秒8个单位长度，点M的运动速度是每秒2个单位长度．运动过程中，当其中一个点与另外两个点的距离相等时，求这时三个点表示的数各是多少？ 9．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，线段AB的中点表示的数为． 【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为﹣2，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒（t＞0）． 【综合运用】 （1）填空： ①A、B两点间的距离AB＝　 　，线段AB的中点C表示的数为 　 　； ②用含t的代数式表示：t秒后点P表示的数为 　 　；点Q表示的数为 　 　； （2）求当t为何值时，； （3）若点M为PA的中点，点N为PB的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段MN的长． 题组三 数轴动态相遇问题 10．如图，数轴上三点A、B、C对应的数分别为40、10、﹣30．动点P从点A出发，沿数轴负方向以每秒2个单位的速度匀速运动，动点Q从点C出发，沿数轴正方向以每秒3个单位的速度匀速运动．若P、Q两点同时出发，设运动时间为t秒． （1）当P、Q两点相遇时，求线段BQ的长； （2）当P、Q两点在运动过程中到点B的距离相等时，求此时点P对应的数； （3）若P、Q出发时，另一动点M同时从点B出发，沿数轴负方向以每秒5个单位的速度匀速运动，当M和Q相遇后，动点P和M立即掉头，均保持原速度，沿数轴正方向匀速运动．当P、Q、M中任意一点为其他两点构成线段的中点时，请直接写出此时t的值． 11．如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒． （1）数轴上点B表示的数是 　 　，点P表示的数是 　 　（用含t的代数式表示）； （2）动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发．求： ①当点P运动多少秒时，点P与点Q相遇？ ②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？ 12．已知数轴上点A与点B相距12个单位长度，点A在原点的左侧，到原点的距离为24个单位长度，点B在点A的右侧，点C表示的数与点B表示的数互为相反数，动点P从A出发，以每秒1个单位长度的速度向终点C移动，设移动时间为t秒． （1）点A表示的数为 　 　，点C表示的数为 　 　． （2）用含t的代数式表示P与点A的距离：PA＝　 　． （3）当点P运动到B点时，点Q从A点出发，以每秒3个单位的速度向C点运动，Q点到达C点后，再立即以同样的速度返回，回到点A处停止运动． ①点Q运动过程中，请求出点Q运动几秒后与点P相遇？ ②在点Q从点A向点C运动的过程中，P、Q两点之间的距离能否为4个单位？如果能，请直接写出此时点P表示的数；如果不能，请说明理由． 题组四 数轴动态定值问题 13．如图，点C是线段AB上的一点，线段AC＝10m，AB＝BC．机器狗P从点A出发，以6m/s的速度向右运动，到达点B后立即以原来的速度返回；机械猫Q从点C出发，以2m/s的速度向右运动，设它们同时出发，运动时间为xs．当机器狗P与机械猫Q第二次相遇时，机器狗和机械猫同时停止运动． （1）直接写出BC和AB的长； （2）当x为何值时，机器狗P在点A与机械猫Q的中点处？ （3）①当x为何值时，机器狗P与机械猫Q相遇？ ②当x为何值时，机器狗P和机械猫Q之间的距离PQ＝2m？ 14．已知数轴上A，B，C三点对应的数分别为﹣1、3、5，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x．点A与点P之间的距离表示为AP，点B与点P之间的距离表示为BP． （1）若AP＝BP，则x＝　 　； （2）若AP+BP＝8，求x的值； （3）若点P从点C出发，以每秒3个单位的速度向右运动，点A以每秒1个单位的速度向左运动，点B以每秒2个单位的速度向右运动，三点同时出发．设运动时间为t秒，试判断：4BP﹣AP的值是否会随着t的变化而变化？请说明理由． 15．A，B是数轴上的两点（点B在点A的右侧），点A表示的数为﹣1，AB＝4，点P为数轴上的一个动点，其对应的数为x． （1）数轴上点B表示的数是 　 　； （2）若PA＝2PB，求x的值； （3）若点P以每秒2个单位长度的速度从原点O向右运动，同时点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，点B以每秒3个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒．请问在运动过程中，3PB﹣PA的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出3PB﹣PA的值． 16．已知数轴上A，B，C三点对应的数分别为﹣1、3、5，点P为数轴上任意一点（不与A，B，C重合），其对应的数为x．点A与点P之间的距离表示为AP，点B与点P之间的距离表示为BP． （1）若AP＝3BP，则x＝　 　； （2）若AP+BP＝8，求x的值； （3）若点P从点C出发，以每秒3个单位的速度向右运动，点A以每秒1个单位的速度向左运动，点B以每秒2个单位的速度向右运动，三点同时出发．设运动时间为t秒，试判断：4BP﹣AP的值是否会随着t的变化而变化？请说明理由． 17．如图，已知点O为数轴的原点，点A、B、C、D在数轴上，其中A、B两点对应的数分别为﹣1、3． （1）填空：线段AB的长度AB＝　 　； （2）若点A是BC的中点，点D在点A的右侧，且OD＝AC，点P在线段CD上运动．问：该数轴上是否存在一条线段，当P点在这条线段上运动时，PA+PB的值随着点P的运动而没有发生变化？ （3）若点P以1个单位/秒的速度从点O向右运动，同时点E从点A以5个单位/秒的速度向左运动、点F从点B以20个单位/秒的速度向右运动，M、N分点别是PE、OF的中点．点P、E、F的运动过程中，的值是否发生变化？请说明理由． 18．如图，数轴上有两条可以左右移动的线段OB和CD．已知OB＝m，CD＝n，且m，n满足|m﹣4|+（n﹣8）2＝0． （1）m＝　 　，n＝　 　； （2）如图1，线段OB的中点为M，线段CD中点为N，线段OB以每秒4个单位长度向右运动，同时线段CD以每秒1个单位长度也向右运动，若运动6秒后，MN＝8，求线段CD在向右运动前，点C在数轴上所对应的数； （3）如图2，已知BC＝24，线段CD固定不动，M，N分别为OB，CD中点，线段OB以每秒4个单位长度向右运动t秒，若始终有MN+OD为定值．求出这个定值，并直接写出对应t的取值范围． 题组五 数轴动态和差倍关系 19．如图，在数轴上点A、B、C表示的数分别为﹣2，1，6，点A与点B之间的距离表示为AB，点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点C之间的距离表示为AC． （1）则AB＝　 　，BC＝　 　，AC＝　 　． （2）点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动．请问：BC﹣AB的值是否随着运动时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． （3）若点C以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时，点A和点B分别以每秒1个单位长度和每秒2个单位长度的速度向右运动．请问：随着运动时间t的变化，AB、BC、AC之间存在怎样的数量关系？请说明理由． 20．数轴上有A、B、C三点，如图1，点A、B表示的数分别为m、n（m＜n），点C在点B的右侧，AC﹣AB＝2． （1）若m＝﹣8，n＝2，点D是AC的中点． ①则点D表示的数为 　 　． ②如图2，线段EF＝a（E在F的左侧，a＞0），线段EF从A点出发，以1个单位每秒的速度向B点运动（点F不与B点重合），点M是EC的中点，N是BF的中点，在EF运动过程中，MN的长度始终为1，求a的值； （2）若n﹣m＞2，点D是AC的中点，若AD+3BD＝4，试求线段AB的长． 21．已知数轴上，点O为原点，点A对应的数为11，点B对应的数为b，点C在点B右侧，长度为3个单位的线段BC在数轴上移动， （1）如图1，当线段BC在O，A两点之间移动到某一位置时，恰好满足线段AC＝OB，求此时b的值； （2）线段BC在数轴上沿射线AO方向移动的过程中，是否存在AC﹣OB＝AB？若存在，求此时满足条件的b的值；若不存在，说明理由． 22．如图，数轴上A，B两点所对应的有理数分别为16和24，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，点Q同时从原点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设点P，Q的运动时间为t秒 （1）当0＜t＜4时，用含t的式子填空：BP＝　 　，AQ＝　 　 （2）当t＝2时，求PQ的值 （3）当PQ＝AB时，求t的值． 23．如图，数轴上有A、B、C三点，点A和点B所表示的数分别为﹣3和+，点C到点A、点B的距离相等． （1）点C表示的数为　 　； （2）若数轴上有一点P，若满足PA+PB＝10，求点P表示的数； （3）若数轴上有一点Q．若满足QA+QB﹣QC＝，求点Q表示的数． 24．如图，已知数轴上点A表示的数为﹣4，B、C是数轴上原点右侧的点，其中，AB＝5，B是AC的中点． （1）点B表示的数是 　 　，点C表示的数是 　 　； （2）动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向右匀速运动，多少秒后点M与点C相距3个单位长度？ （3）动点P、R分别从点A、B同时出发，分别以每秒2个、1个单位长度的速度向右匀速运动，同时动点Q从点C出发，以每秒1.5个单位长度的速度向左匀速运动，每当两动点相遇时，相遇的两动点会立即以原速往相反方向运动．令运动时间为t，当时，求t的值． 25．如图1，在数轴上从左到右依次是A、B、C三个点，且A、B两点位于原点O的两侧，A点所表示的数为﹣4，B点所表示的数为2，且BC＝3AB． （1）求出数轴上C点所表示的数； （2）如图2，动点P从A点出发，以2个单位长度每秒的速度沿AC方向运动，与此同时，另一动点Q从B出发，以1个单位长度每秒的速度沿BC方向运动；当点P到达B点后原地休息2秒钟，然后继续向C运动，到达C点后，点P停止运动；动点Q中途不休息，到达C后，点Q也停止运动．从运动开始到P、Q两点都停止运动，整个运动过程结束．在运动过程中，点Q的运动时间记为t（秒），当PQ＝4时，求出满足条件的t的值； （3）在第（2）问的条件下，有另一动点M与P、Q同时出发，从点C以3个单位长度每秒的速度沿CA方向运动到A点后，立即原速沿AC返回到C，中途不休息，当M回到点C时，点M停止运动．从运动开始到P、Q、M三点都停止运动，整个运动过程结束．在运动过程中，点Q的运动时间记为t（秒），当PQ+QM+PM＝10时，请直接写出满足条件的t的值． 题组六 数轴动态速度变化问题 26．已知在数轴上点A表示的数是a，点B表示的数是b，且a、b满足（a+6）2+|2b﹣60|＝0，点C是异于点A的点，且它到原点的距离与点A到原点的距离相等，请回答问题： （1）请直接写出a、b、c的值：a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　． （2）动点M以5个单位每秒的速度从点A出发向点B运动，同时动点N以3个单位每秒的速度从点C出发向点B运动，当M、N其中一个点到达点B时，两点同时停止运动，求经过几秒M、N相距8个单位？ （3）若动点M从点A出发，以2个单位每秒的速度向点B运动（到达点B即停止运动），当点M到达AB的中点时，其速度变为3个单位每秒，此时停在C点的动点N开始出发，以6个单位每秒的速度向点B运动，动点N到达点B时，立即以原速返回向点C运动，当点M停止运动时，点N立即停止运动，设动点M的运动时间为t，求t为多少时，MN＝6． 27．在数轴上，点O为原点，点A表示的数为a，点B表示的数为b，且a、b满足（a+36）2+|b+20|＝0． （1）求线段AB的长； （2）P，Q两点分别从A，B两点同时沿数轴的正方向运动，在到达点O前，P，Q两点的运动速度分别为4个单位长度/秒和2个单位长度/秒．当点P经过点O后，它的速度变为原速度的一半；点Q经过点O后，它的速度变为原速度的2倍．设运动时间为t秒． ①当点P为线段AB的中点时，求线段OQ的长； ②数轴上点M表示的数为12，当OP＝QM时，求t的值． 28．数轴上点A，B对应的数分别为a，b，其中a，b满足（a+24）2+|b+10|＝0，点P为数轴上一动点． （1）a＝　 　，b＝　 　； （2）若点P到点A，B的距离之和为55，求P点对应的数； （3）若点P从点A以2个单位每秒的速度向点B运动，到达点B后立即掉头，速度变为原来的3倍，当点P运动3秒后，点T与点Q同时出发，点T从A点以1个单位每秒的速度向左运动，点Q以5个单位每秒的速度从表示10的点C处向左出发，当点Q与点P相遇后，点Q的速度变为原来的2倍，并继续向左运动，直到点Q追上点T后所有点停止运动．求点P运动多少秒时． 题组七 数轴动态变向问题 29．数轴上的点M对应的数是2，一只蚂蚁从点M出发沿着数轴以每秒2个单位的速度向左或向右爬行，当它到达数轴上的点N后，立即返回到原点，共用6秒． （1）蚂蚁爬行的路程是多少？ （2）点N对应的数是多少？ （3）点M和点N之间的距离是多少？ 30．如图，数轴上有A、B、C三个点，A、B、C对应的数分别是a、b、c，且满足|a+24|+|b+10|+（c﹣10）2＝0，动点P从A出发，以每秒1个单位的速度向终点C运动，设运动时间为t秒． （1）求a、b的值； （2）若点P到A点的距离是点P到B点的距离的2倍，求点P对应的数； （3）当点P运动到B点时，点Q从点A出发，以每秒3个单位的速度向C点运动，Q点到达C点后，再立即以同样的速度返回，运动到终点A．在点Q开始运动后第几秒时，P、Q两点之间的距离为4？请说明理由． 31．如图，数轴上有A、B、C三个点，A、B、C对应的数分别是a、b、10，满足|a+24|+|b+10|＝0，动点P从A出发，以每秒1个单位的速度向终点C运动，设运动时间为t秒． （1）求a、b的值； （2）若点P到A点的距离是点P到B点的距离的2倍，求点P对应的数； （3）当点P运动到B点时，点Q从点A出发，以每秒3个单位的速度向C点运动，Q点到达C点后，再立即以同样的速度返回，运动到终点A．在点Q开始运动后第几秒时，P、Q两点之间的距离为4？请说明理由． 32．已知数轴上有A、B、C三个点，分别表示有理数﹣24，﹣10，10，动点P从A出发，以每秒1个单位的速度向终点C移动，设移动时间为t秒． （1）用含t的代数式表示P到点A和点C的距离：PA＝　 　，PC＝　 　． （2）当点P运动到B点时，点Q从A点出发，以每秒3个单位的速度向C点运动，Q点到达C点后，再立即以同样的速度返回，运动到终点A，则点P出发17秒后QA＝　 　． （3）在点Q开始运动后，P、Q两点之间的距离能否为2个单位？如果能，请求出此时点P表示的数；如果不能，请说明理由． 33．如图所示，在数轴上点A表示的有理数为﹣6，点B表示的有理数为4，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度在数轴上向点B运动，当点P到达点B后立即返回，仍然以每秒2个单位长度的速度运动至点A停止．设运动时间为t（单位：秒）． （1）求t＝1时点P表示的有理数； （2）求点P与点B重合时的t值； （3）在点P沿数轴由点A到点B再回到点A的运动过程中，求点P与点A的距离（用含t的代数式表示）； （4）当点P表示的有理数与原点的距离是a个单位长度时（其中0＜a＜4），直接写出所有满足条件的t值（用含a的代数式表示）． 34．如图，在数轴上，点A表示数a，点B表示数b，点C表示数﹣3，a，b满足|a+4|+（b﹣7）2＝0． （1）在数轴上确定点D，使得点D与点C的距离等于点A与点B的距离，求点D表示的数； （2）若点E为线段AB的四等分点，求点E表示的数； （3）质点M从A出发，质点N从B出发，分别以每秒4个单位长度和每秒2个单位长度向数轴负方向匀速运动，质点P从C出发，以每秒6个单位长度向数轴正方向匀速运动，当P与N相遇时，P立即调转方向以原速度向数轴负方向运动，M，N的速度和方向保持不变（质点M，N，P同时出发，P调转方向的时间忽略不计），设运动时间为t秒． ①当P为线段MN的中点时，求质点P表示的数； ②直接写出质点M与P的距离（用含t的整式表示）． 题组八 数轴动态折线数轴问题 35．数轴上点A表示﹣12，点B表示6，点C表示12，点D表示20．如图，将数轴在原点O和点B、C处各折一下．得到一条“折线数轴”．在“折线数轴”上，把两点所对应的两数之差的绝对值叫这两点间的和谐距离．例如，点A和点D在折线数轴上的和谐距离为|﹣12﹣20|＝32个单位长度．动点M从点A出发，以4个单位/秒的速度沿着折线数轴的正方向运动，从点O运动到点C期间速度变为原来的一半，过点C后继续以原来的速度向终点D运动：点M从点A出发的同时，点N从点D出发，一直以3个单位/秒的速度沿着“折线数轴”负方向向终点A运动，其中一点到达终点时，两点都停止运动，设运动时间为t秒． （1）当t＝2秒时，M、N两点在折线数轴上的和谐距离|MN|为 　 　； （2）当点M、N都运动到折线段O﹣B﹣C上时， O、M两点间的和谐距离|OM|＝　 　（用含有才的代数式表示）；C、N两点间的和谐距离|CN|＝　 　（用含有t的代数式表示）；t＝　 　时，M、N两点相遇； （3）当t＝　 　时，M、N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度；当t＝　 　时，M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等． 36．如图①，在直角三角形ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，AC＝10． （1）动点E、F同时从A出发，E以每秒1个单位长度的速度沿折线A→B→C方向运动，F以每秒2个单位长度的速度沿折线A→C→B方向运动，经过 　 　秒两点首次相遇，相遇时它们距点B 　 　个单位长度； （2）如图②，动点K从B出发，沿折线B→C→A（含端点B和A）运动，速度为每秒2个单位长度，到达A点停止运动，已知点B到AC的距离为个单位长度，设点K的运动时间为t秒，当△ABK的面积为时，求t的值； （3）如图③，将三角形ABC的顶点A与数轴原点重合，将数轴正半轴部分沿A→B→C折叠在三角形ABC的两边AB、BC上，得到一条“折线数轴”，在“折线数轴”上，把两点所对应的两数之差的绝对值叫这两点间的距离．例如，点M和点N在折线数轴上的距离为|20﹣（﹣8）|＝28个单位长度．动点P从点M出发，以4个单位/秒的速度沿着折线数轴的正方向运动，从点A运动到点C期间速度变为原来的一半，过点C后继续以原来的速度向数轴的正方向运动；与此同时，点Q从点N出发，以2个单位/秒的速度沿着折线数轴的负方向运动，从点C运动到点A期间速度变为3.5个单位/秒，过点A后继续以原来的速度向数轴的负方向运动，设运动时间为m秒．在此运动过程中，P、A两点的距离与Q、C两点的距离是否会相等？若相等，请直接写出m的值；若不相等，请说明理由． 37．已知点A，B，C在数轴上对应的数分别是a，b，c，其中a，c满足（a+10）2+|c﹣18|＝0，a，b互为相反数（如图1）． （1）请求出a，b，c的值； （2）点P为一动点，其对应的数为x，若PA＝2PC，求x的值； （3）如图2，将数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”（图中A，C两点在“折线数轴”上的距离为28个单位长度），动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿“折线数轴”的正方向运动，在OB段运动速度变为原来的一半，之后立刻恢复：P从点A运动同时，动点Q从点C出发，以1单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，在OB段运动速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速，设运动时间为t秒，请直接写出当t为何值时，P，O两点在“折线数轴”上的距离与Q，B两点在“折线数轴”的距离相等． 38．如图1，已知点A、B、C、D在数轴上对应的数分别是a、b、c、24，其中a、b满足（a+12）2+|b﹣8|＝0，OC＝2OB． （1）填空：a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　； （2）如图1，若点A、B分别同时以每秒4个单位长度、1个单位长度的速度匀速向右运动，假设经过t秒后，点A与点D之间的距离表示为AD．问：当t为何值时，A、B之间的距离为2？ （3）如图2，将数轴在原点O、点B和点C处各折一下，得到一条“折线数轴”．动点P从点A出发．以每秒3个单位长度的速度沿“折线数轴”的正方向匀速运动至点D，同时，动点Q从点D出发以每秒4个单位长度沿着“折线数轴”的负方向变速运动，该点在平地保持初始速度不变，上坡时速度变为初始速度的一半，下坡时速度变为初始速度的两倍，设运动时间为t秒．若P、Q两点在点M处相遇，则点M表示的数为 　 　． 39．已知D＝（a+10）x3+cx2﹣2x+5是关于x的二次多项式，且a，b，c满足（c﹣18）2＝﹣|a+b|，a，b，c在数轴上所对应的点分别为A，B，C． （1）a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　； （2）点A，B，C同时在数轴上运动，点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动．若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB，设运动时间为t秒，请问：BC﹣AB的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值；（3）如图，将这条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”，我们称A，C两点在折线数轴上的距离为AO，OB，BC三段的和，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点Q从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿着“折线数轴”的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速，P点运动到C点停止运动，Q点运动到A点停止运动．设运动时间为t秒． ①当t为多少秒时P，Q两点相遇？相遇点M所表示的数是多少？ ②当P，O两点在数轴上的距离与Q，B两点在数轴上的距离相等时，求出此时t的值． 40．如图将一条数轴在原点O，点B，点C，点D处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示﹣8，点B表示8，点C表示16，点D表示24，点E表示28，我们称点A和点E在数轴上相距36个长度单位．动点P从点A出发，以4单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，同时，动点Q从点E出发，以2单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，两点上坡时速度均变为初始速度的一半，下坡时速度均变为初始速度的两倍，平地则保持初始速度不变．当点P运动至点E时则两点停止运动，设运动的时间为t秒．问： （1）动点P从点A运动至E点需要 　 　秒，此时点Q对应的点是 　 　； （2）P，Q两点在点M处相遇，求出相遇点M所对应的数是多少？ （3）求当t为何值时，P，B两点在数轴上相距的长度与Q，D两点在数轴上相距的长度相等． 题组九 数轴动态动线段问题 41．如图，数轴上有A，B，C三个点，分别表示数﹣20，﹣8，16，有两条动线段PQ和MN（点Q与点A重合，点N与点B重合，且点P在点Q的左边，点M在点N的左边），PQ＝2，MN＝4，线段MN以每秒1个单位的速度从点B开始向右匀速运动，同时线段PQ以每秒3个单位的速度从点A开始向右匀速运动．当点Q运动到点C时，线段PQ立即以相同的速度返回；当点Q回到点A时，线段PQ、MN同时停止运动．设运动时间为t秒（整个运动过程中，线段PQ和MN保持长度不变）． （1）当t＝20时，点M表示的数为 　 　，点Q表示的数为 　 　． （2）在整个运动过程中，当CQ＝PM时，求出点M表示的数． （3）在整个运动过程中，当两条线段有重合部分时，速度均变为原来的一半，当重合部分消失后，速度恢复，请直接写出当线段PQ和MN重合部分长度为1.5时所对应的t的值． 42．数学为人们提供了一种认识和探索现实世界的观察方式．在数学综合实践活动课上，小明同学借助两根木棒PQ、MN研究数轴上的动点问题： 如图，数轴上有A，B，C三个点，分别表示有理数﹣24，﹣10和12．小明把两根木棒放在数轴上，使点Q与点A重合，点N与点B重合，点P在点Q的左边，点M在点N的左边，且PQ＝3，MN＝6．木棒MN从点B开始一直向右以每秒1个单位的速度匀速运动；木棒PQ同时从点A开始向右以每秒3个单位的速度匀速运动，设运动时间为t秒． （1）当t＝9时，点N表示的数为 　 　，点P表示的数为 　 　； （2）当点Q运动到C时，两根木棒立即同时停止运动，在整个运动的过程中，当线段PM和线段QN的长度之和为11时，求出对应的t的值； （3）当点Q运动到C时，木棒PQ立即以每秒2个单位的速度返回（返回过程中，仍然保持点P在点Q的左边），当点Q再次运动到点A时，两根木棒立即同时停止运动，点D为木棒PQ上一点，在整个运动过程中，是否存在某些时间段，使得点D到点P、Q、M、N的距离之和为一个定值？若存在，请求出这个定值和持续的总时长；若不存在，请说明理由． 43．初一年级开设了丰富多彩的选修课，佳佳同学在“数学实验与探究”课上借助两根木棒PQ、MN研究数轴上的动点问题： 如图，数轴上有A，B，C三个点，分别表示有理数﹣24，﹣10和12、佳佳把两根木棒放在数轴上，使点Q与点A重合，点N与点B重合，点P在点Q的左边，点M在点N的左边，且PQ＝2，MN＝6．木棒MN从点B开始一直向右以每秒1个单位的速度匀速运动；木棒PQ同时从点A开始向右以每秒3个单位的速度匀速运动，当点Q运动到C时，木棒PQ立即以每秒2个单位的速度返回（返回过程中，仍然保持点P在点Q的左边），当点Q再次运动到点A时，两根木棒立即同时停止运动，设运动时间为t秒． （1）当t＝16时，点N表示的数为 　 　，点P表示的数为 　 　； （2）在整个运动的过程中，当线段PM和线段QN的长度之和为12时，求出对应的t的值； （3）点D为木棒PQ上一点，在整个运动过程中，是否存在某些时间段，使得点D到点P、Q、M、N的距离之和为一个定值？若存在，请求出这个定值和持续的总时长；若不存在，请说明理由． 题组十 数轴动态最值问题 44．在数轴上，点A、B分别表示a，b，则A、B间的距离为AB＝|a﹣b|． （1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是 　 　，数轴上表示﹣2和5的两点之间的距离是 　 　，数轴上表示2和﹣5的两点之间的距离是 　 　； （2）数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是 　 　（用含x的式子表示），如果|AB|＝2，那么x为 　 　； （3）当代数式|x+1|+|x﹣2|＝5，则x的值是 　 　； （4）当代数式|x+1|+|x﹣1|取最小值时，则x的取值范围是 　 　． 45．阅读材料，回答下列问题： 数轴是学习有理数的一种重要工具，这样能够运用数形结合的方法解决一些问题．例如，两个有理数在数轴上对应的点之间的距离可以用这两个数的差的绝对值表示：如图1，在数轴上有理数a对应的点为点A，有理数b对应的点为点B，A，B两点之间的距离表示为|a﹣b|或|b﹣a|，记为|AB|＝|a﹣b|＝|b﹣a|． （1）数轴上有理数﹣10与﹣5对应的两点之间的距离等于 　 　；若数轴上有理数x与﹣1对应的两点A，B之间的距离为2，可记为|x+1|＝2，则x等于 　 　； （2）如图2，点M，N，P是数轴上的三点，点M表示的数为4，点N表示的数为﹣2，动点P表示的数为x． ①若点P在点M，N之间，则|x+2|+|x﹣4|＝　 　；若|x+2|+|x﹣4|＝10，则x＝　 　； ②直接写出|x+2|+|x|+|x﹣2|+|x﹣4|的最小值等于 　 　； ③根据阅读材料及上述各题的解答方法，直接写出下列式子的值（最小值）． |x+1|+|x+2|+|x+3|+|x+4|+|x+5|+|x+6|+|x+7|+|x+8|+|x+9|＝　 　； ④当x＝　 　时，2|x﹣2|+2|x﹣3|+5|x﹣4|取最小值，最小值为 　 　． 46．认真阅读下面的材料，完成有关问题： 材料：在学习绝对值时，我们已了解绝对值的几何意义，如|6﹣2|表示6、2在数轴上对应的两点之间的距离；又如|6+2|＝|6﹣（﹣2）|，所以|6+2|表示6、﹣2在数轴上对应的两点之间的距离．因此，一般地，点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，那么A，B之间的距离（也就是线段AB的长度）可表示为|a﹣b|． 因此我们可以用绝对值的几何意义按如下方法求|x﹣4|+|x+1|的最小值：|x﹣4|即数轴上x与4对应的点之间的距离，|x+1|即数轴上x与﹣1对应的点之间的距离，把这两个距离在同一个数轴上表示出来，然后把距离相加即可得原式的值．请你借助数轴进行以下探索： （1）|x﹣1|+|x+3|的最小值是 　 　； （2）当x＝　 　时，4|x+1|+|2x﹣1|+|x﹣4|的最小值是 　 　； （3）已知（|x+1|+|x﹣2|）（|y﹣2|+|y+1|）（|z﹣3|+|z+1|）＝36，求x+y+z的最大值和最小值． 题组十一 数轴动态新定义问题 47．对于数轴上的点M，线段AB，给出如下定义：P为线段AB上任意一点，如果M，P两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为点M，线段AB的“近距”，记作d1（点M，线段AB）；如果M，P两点间的距离有最大值，那么称这个最大值为点M，线段AB的“远距”，记作d2（点M，线段AB）．特别的，若点M与点P重合，则M，P两点间距离为0．已知点A表示的数为﹣2，点B表示的数为3．例如，若点C表示的数为5，则d1（点C，线段AB）＝2，d2（点C，线段AB）＝7． （1）若点D表示的数为﹣3，则d1（点D，线段AB）＝　 　，d2（点D，线段AB）＝　 　； （2）若点E表示数为x，点F表示数为x+1．d2（点F，线段AB）是d1（点E，线段AB）的4倍，求x的值． 48．对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“联盟点”．例如：数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A，C的“联盟点”． （1）若点A表示数﹣2，点B表示的数是4，下列各数3，2，0所对应的点分别为C1，C2，C3，其中是点A，B的“联盟点”的是 　 　； （2）点A表示数﹣10，点B表示的数是30，点P为数轴上一个动点：若点P在线段AB上，且点P是点A，B的“联盟点”，求此时点P表示的数． 49．对数轴上的点P进行如下操作：先把点P沿数轴向右平移m个单位长度，得到点P1，再把点P1表示的数乘以n，所得数对应的点为P2．若mn＝k（m，n是正整数），则称点P2为点P的“k倍关联点”．已知数轴上点M表示的数为2，点N表示的数为﹣3．例如，当m＝1，n＝2时，若点A表示的数为﹣4，则它的“2倍关联点”对应点A2表示的数为﹣6． （1）当m＝1，n＝2时，已知点B的“2倍关联点”是点B2，若点B2表示的数是4，则点B表示的数为 　 　； （2）已知点C在点M右侧，点C的“6倍关联点”C2表示的数为11，则点C表示的数为 　 　； （3）若点P从M点沿数轴正方向以每秒2个单位长度移动，同时点Q从N点沿数轴正方向以每秒1个单位长度移动，且在任何一个时刻，点P始终为点Q的“k倍关联点”，直接写出k的值． 50．已知数轴上点A，B对应的数分别为a，b，且b＝a+2，点P在线段AB上，点M为数轴上一动点，其对应的数为m．我们规定：点M到点P的距离的最小值为点M到线段AB的“到达距离”． （1）如图1，当点M与数轴上原点重合时， ①如果a＝﹣3，那么点M到线段AB的“到达距离”是 　 　； ②如果点M到线段AB的“到达距离”是2，那么a＝　 　； （2） 当点A对应的数a在﹣2～3之间（包含﹣2，3）时，如果点M到线段AB的“到达距离”始终大于3，直接写出m的取值范围． （3） 51．定义：在数轴上，若M，N两点到原点的距离之和等于点P到原点的距离，则称点P为M，N两点的“和距点”．例如，数轴上，表示5的点是表示2，3的点的“和距点”；表示的点是表示，的点的“和距点”． 已知数轴上A，B，C三点表示的数分别是a，b，﹣6，点C为A，B两点的“和距点”． （1）如果a＝﹣3，点B在x轴的正半轴，则b＝　 　； （2）若点A也是B，C两点的“和距点”，请确定b的值，并说明理由； （3）若a＝﹣2b+1，请直接写出b的值． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.7 数轴动态问题【11大题型】（北师大版2024） 题组一 数轴动态基础问题 1 题组二 数轴动态中点问题 4 题组三 数轴动态相遇问题 4 题组四 数轴动态定值问题 14 题组五 数轴动态和差倍关系 21 题组六 数轴动态速度变化问题 31 题组七 数轴动态变向问题 31 题组八 数轴动态折线数轴问题 42 题组九 数轴动态动线段问题 52 题组十 数轴动态最值问题 58 题组十一 数轴动态新定义问题 63 ( 知识导航 ) 知识点 1 数轴 数轴：规定了 原点 、 正方向 和 单位长度 的直线叫做数轴。 在数轴上，点A、B分别表示a、b 注意：①数轴上两点表示的数，右边的总比左边的大，a＜b， AB两点之间距离：AB=b-a ，A、B中点表示的数位为： ③点的移动：左减，右加 知识点 2 数轴动点问题解答步骤 ①画图——在数轴上表示出点的运动情况：速度和方向 ②表示点——起点±运动情况（左“-”右“+”） ③表示距离——右-左，无法判断左右时，加绝对值 ④列示求解——根绝条件列方程或代数式求解 题组一 数轴动态基础问题 1．如图，点A、B在数轴上表示的数分别为﹣12和8，两只蚂蚁M、N分别从A、B两点同时出发，相向而行．M的速度为2个单位长度/秒，N的速度为3个单位长度/秒． （1）运动 　4　秒钟时，两只蚂蚁相遇在点P；点P在数轴上表示的数是 　﹣4　； （2）若运动t秒钟时，两只蚂蚁的距离为10，求出t的值（写出解题过程）． 【解答】解：（1）设运动x秒时，两只蚂蚁相遇在点P，根据题意可得： 2x+3x＝8﹣（﹣12）， 解得：x＝4， ﹣12+2×4＝﹣4． 答：运动4秒钟时，两只蚂蚁相遇在点P；点P在数轴上表示的数为：﹣4； （2）运动t秒钟，蚂蚁M向右移动了2t，蚂蚁N向左移动了3t， 若在相遇之前距离为10，则有2t+3t+10＝20， 解得：t＝2． 若在相遇之后距离为10，则有2t+3t﹣10＝20， 解得：t＝6． 综上所述：t的值为2或6． 故答案为：4；﹣4． 2．已知，如图A，B分别为数轴上的两点，点A对应的数是﹣20，点B对应的数为80． （1）请直接写出AB的中点M对应的数． （2）现在有一只电子蚂蚁P从B点出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以3个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇．请解答下面问题： ①试求出点C在数轴上所对应的数； ②何时两只电子蚂蚁在数轴上相距15个单位长度？ 【解答】解：（1）AB的中点M所对应的数为＝30 （2）①如图1，设点C所表示的数为x，则AC＝x+20，BC＝80﹣x， 由题意得，＝， 解得，x＝40， 答：点C在数轴上所表示的数为40； ②分两种情况进行解答，设运动的时间为t秒 Ⅰ）如图2，相遇前相距15个单位长度， 则3t+2t＝80﹣（﹣20）﹣15， 解得，t＝17（秒）， Ⅱ）如图3，相遇后相距15个单位长度 则3t+2t＝80﹣（﹣20）+15， 解得，t＝23（秒） 答：当两只蚂蚁运动17秒或23秒时，两只电子蚂蚁在数轴上相距15个单位长度． 3．如图所示，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动3单位长度，再向左移动5个单位长度，可以看到终点表示的数是﹣2，已知点A，B是数轴上的点，请参照图并思考，完成下列各题： （1）如果点A表示数﹣3，将点A向右移动7个单位长度，那么终点B表示的数是　4　，A，B两点间的距离是　7　； （2）如果点A表示数3，将A点向左移动9个单位长度，再向右移动5个单位长度，那么终点B表示的数是　﹣1　，A，B两点间的距离为　4　； （3）一般地，如果A点表示的数为m，将A点向右移动n个单位长度，再向左移动p个单位长度，那么，请你猜想终点B表示什么数？A，B两点间的距离为多少？ 【解答】解：（1）∵点A表示数﹣3，∴点A向右移动7个单位长度，终点B表示的数是﹣3+7＝4， A，B两点间的距离是|﹣3﹣4|＝7； （2）∵点A表示数3，∴将A点向左移动9个单位长度，再向右移动5个单位长度， 那么终点表示的数是3﹣9+5＝﹣1，A，B两点间的距离为3﹣（﹣1）＝4； （3）∵A点表示的数为m，∴将A点向右移动n个单位长度，再向左移动p个单位长度， 那么点B表示的数为（m+n﹣p），A，B两点间的距离为|n﹣p| 故答案为：（1）4，7；（2）﹣1，4． 题组二 数轴动态中点问题 4．综合与探究 已知，数轴上三点A，O，B对应的数分别为﹣3，0，1，点C为数轴上任意一点，其对应的数为x． （1）AB的长为 　4　，AC的长为 　|x+3|　； （2）若AC＝2BC，求x的值； （3）数轴上，如果动点P从点O出发，以每秒1个单位的速度沿数轴正方向运动；同时动点M和N分别从点A和点B出发，分别以每秒3个单位和每秒2个单位的速度也沿数轴正方向运动．当点P到点M的距离等于点P到点N的距离时，直接写出点P所表示的数． 【解答】解 （1）∵A，O，B对应的数分别为﹣3，0，1， ∴AB＝1﹣（﹣3）＝4，AC＝|x﹣（﹣3）|＝|x+3|， 故答案为：4；|x+3|； （2）∵AC＝2BC，BC＝2|x﹣1|， ∴|x+3|＝2|x﹣1|， ∴x+3＝2（x﹣1）或x+3＝﹣2（x﹣1），解得x＝5或x＝﹣， 故答案为：5或﹣； （3）由题意知，t秒时，点P所表示的数为t，点M所表示的数为﹣3+3t，点P所表示的数为1+2t， ∴PM＝|﹣3+3t﹣t|＝|﹣3+2t|，PN＝|1+2t﹣t|＝|1+t|＝1+t，当点P到点M的距离等于点P到点N的距离时，PM＝PN， ∴|﹣3+2t|＝1+t， ∴﹣3+2t＝1+t或﹣（﹣3+2t）＝1+t，解得：t＝4或t＝， ∴点P所表示的数为4或， 故答案为：4或． 5．A，B是数轴上的两点（点B在点A的右侧），点A表示的数为﹣10，A、B两点的距离是点A到原点O的距离的3倍，即AB＝3OA．点C为数轴上的动点． （1）数轴上点B表示的数是 　20　； （2）当AC+BC＝58时，求点C表示的数； （3）若点M为AC的中点，点N为CB的中点，点C在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若发生变化，请你说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长度． 【解答】解：（1）∵点A表示的数为﹣10， ∴OA＝10， ∵AB＝3OA， AB＝30， OB＝AB﹣OA＝20（点B在点A的右侧）， ∴点B表示的数为20， 故答案为：20； （2）设点C表示的数为x， ∵AC+BC＝58＞AB＝30， 故点C在点A的左侧或点B的右侧， 当点C在点A的左侧时， （﹣10﹣x）+（20﹣x）＝58， 解得x＝﹣24； 当C在B的右侧时，（x﹣20）+（x+10）＝58． 解得x＝34． 综上所述，点C表示的数为﹣24或34． （3）MN的长度不发生变换，理由如下： ∵AC＝﹣10﹣x，BC＝20﹣x， M是AC的中点，N是BC的中点， ∴AM＝，BN＝， OM＝+10，ON＝20﹣，或ON＝﹣20 ∴点M表示的数为：﹣（﹣+10）＝， 点N表示的数为：20﹣＝，或﹣（﹣20）＝， MN＝﹣＝15． 6．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础，请利用数轴回答下列问题： ①如果点A表示数﹣3，将点A向右移动7个单位长度，那么终点B表示的数是 　4　，A，B两点间的距离是 　7　； ②如果点A表示数3，将A点先向左移动4个单位长度，再向右移动5个单位长度，那么终点B表示的数是 　1　，A、B两点间的距离是 　4　； ③一般地，如果A点表示的数为m，将A点向右移动n个单位长度，再向左移动P个单位长度，请你猜想终点B表示的数是 　m+n﹣p　，A，B两点间的距离是 　|n﹣p|　． ④如图，数轴上有三个点A、B、C，它们可以沿着数轴左右移动，移动点A到达点E，使B、C、E三点的其中任意一点成为连接另外两点之间线段的中点，请你直接写出所有点A移动的距离和方向． 【解答】解：（1）如图所示： ， 可以得出终点B表示的点为：4，A、B两点的距离为：7． 故答案为4，7． （2）如图所示： ， 可以得出终点B表示的点是：4，A、B两点的距离为1． 故答案为4，1． （3）终点B表示的数是m+n﹣p，A，B两点间的距离是|n﹣p|． 故答案为m+n﹣p，|n﹣p|． （4）当B为中点时，点A向左平移3个单位． 当E为中点时，点A向右平移4.5个单位． 当C为中点时，点A向右平移12个单位． 7．如图：已知A、B、C是数轴（O是原点）上的三点，点C表示的数是6，线段BC＝4，线段AB＝12． （1）写出数轴上A、B两点表示的数． （2）动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒，t为何值时，原点O是线段PQ的中点？ 【解答】解：（1）∵点C表示的数是6，BC＝4，AB＝12，且点A、点B在点C左边， ∴点B表示的数为：6﹣4＝2，点A表示的数为：6﹣4﹣12＝﹣10， 即数轴上A点表示的数为﹣10，数轴上B点表示的数为2； （2）若点O是点P与点Q的中点，则 |﹣10+2t|＝|6﹣t|， 解得：t1＝4，t2＝（舍去）． 故t为4秒时，原点O是线段PQ的中点． 8．在数轴上，点A在原点O的左侧，点B在原点O的右侧，点A距离原点12个单位长度，点B距离原点2个单位长度． （1）A点表示的数为 　﹣12　，B点表示的数为 　2　，两点之间的距离为 　14　； （2）若点P为数轴上一点，且BP＝2，求AP的值； （3）若点P、Q、M同时向数轴负方向运动，点P从点A出发，点Q从原点出发，点M从点B出发，且点P的运动速度是每秒6个单位长度，点Q的运动速度是每秒8个单位长度，点M的运动速度是每秒2个单位长度．运动过程中，当其中一个点与另外两个点的距离相等时，求这时三个点表示的数各是多少？ 【解答】解：（1）∵点A在原点的左边，距离原点12个单位长度， ∴点A对应的数是﹣12， 同理可得点B表示的数为2， ∴A，B两点之间的距离为：2﹣（﹣12）＝2+12＝14， 故答案为：﹣12，2，14； （2）分两种情况： ①当点P在点B的右边时，AP＝AB+BP＝14+2＝16； ②当点P在点B的左边时，AP＝AB﹣BP＝14﹣2＝12； 综上，AP的值是16或12； （3）设移动的时间为t秒，则动点P，Q，M对应的数分别为﹣12﹣6t，﹣8t，2﹣2t， 分三种情况： ①点Q是PM的中点时，PQ＝QM， ∴﹣8t﹣（﹣12﹣6t）＝2﹣2t﹣（﹣8t）， ∴t＝， 此时，点P表示的数为：﹣12﹣6×＝﹣19.5， 点Q表示的数为：﹣8×＝﹣10， 点M表示的数为：2﹣2×＝﹣0.5． ②点P是QM的中点时，PQ＝MP， ∴﹣12﹣6t﹣（﹣8t）＝2﹣2t﹣（﹣12﹣6t）， ∴t＝﹣13（舍）， ③点M是PQ的中点时，因为点M的速度小，所以此种情况不存在． ④P与Q重合时，MQ＝MP， ﹣8t＝﹣12﹣6t， ∴t＝6； 这时三个点表示的数各是：﹣48，﹣48，﹣10． 9．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，线段AB的中点表示的数为． 【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为﹣2，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒（t＞0）． 【综合运用】 （1）填空： ①A、B两点间的距离AB＝　10　，线段AB的中点C表示的数为 　3　； ②用含t的代数式表示：t秒后点P表示的数为 　﹣2+3t　；点Q表示的数为 　8﹣2t　； （2）求当t为何值时，； （3）若点M为PA的中点，点N为PB的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段MN的长． 【解答】解：（1）①由题意得：AB＝|﹣2﹣8|＝10，线段AB的中点C为， 故答案为：10，3； ②由题意得：t秒后，点P表示的数为：﹣2+3t，点Q表示的数为：8﹣2t； 故答案为：﹣2+3t，8﹣2t； （2）∵t秒后，点P表示的数﹣2+3t，点Q表示的数为8﹣2t， ∴PQ＝|（﹣2+3t）﹣（8﹣2t）|＝|5t﹣10|， 又∵， ∴|5t﹣10|＝5， 解得：t＝1或3， ∴当t＝1或3时，； （3）不发生变化，理由如下： ∵点M为PA的中点，点N为PB的中点， ∴点M表示的数为， 点N表示的数为 ， ∴． 题组三 数轴动态相遇问题 10．如图，数轴上三点A、B、C对应的数分别为40、10、﹣30．动点P从点A出发，沿数轴负方向以每秒2个单位的速度匀速运动，动点Q从点C出发，沿数轴正方向以每秒3个单位的速度匀速运动．若P、Q两点同时出发，设运动时间为t秒． （1）当P、Q两点相遇时，求线段BQ的长； （2）当P、Q两点在运动过程中到点B的距离相等时，求此时点P对应的数； （3）若P、Q出发时，另一动点M同时从点B出发，沿数轴负方向以每秒5个单位的速度匀速运动，当M和Q相遇后，动点P和M立即掉头，均保持原速度，沿数轴正方向匀速运动．当P、Q、M中任意一点为其他两点构成线段的中点时，请直接写出此时t的值． 【解答】解：（1）P表示的数为40﹣2t，Q表示的数为﹣30+3t， P、Q两点相遇时，40﹣2t＝﹣30+3t， 解得t＝14， ∴Q表示的数为﹣30+3t＝﹣30+3×14＝12， ∵B对应的数为10， ∴线段BQ的长为12﹣10＝2； （2）∵P表示的数为40﹣2t，Q表示的数为﹣30+3t，B对应的数为10， ∴PB＝|40﹣2t﹣10|＝|30﹣2t|，QB＝|﹣30+3t﹣10|＝|﹣40+3t|， ∵P、Q两点在运动过程中到点B的距离相等， ∴|30﹣2t|＝|﹣40+3t|， 即30﹣2t＝﹣40+3t或30﹣2t＝40﹣3t， 解得t＝14或t＝10， ∴40﹣2t＝40﹣2×14＝12或40﹣2t＝40﹣2×10＝20， 即点P对应的数为12或20； （3）M和Q相遇前，M为PQ中点， ∴﹣30+3t+40﹣2t＝2（10﹣5t）， 解得t＝； M和Q相遇所需时间为（10+30）÷（3+5）＝5（秒），相遇点表示的数为﹣30+3×5＝﹣15；此时P运动到表示40﹣2×5＝30的点处； ∵M和Q相遇后，P和M立即掉头，均保持原速度，沿数轴正方向匀速运动， ∴掉头后M表示的数为﹣15+5（t﹣5）＝5t﹣40，P表示的数为30+2（t﹣5）＝2t+20，Q表示的数为﹣30+3t， 当M为PQ中点时，2（5t﹣40）＝2t+20﹣30+3t， 解得t＝14； 当P为MQ中点时，2（2t+20）＝5t﹣40﹣30+3t， 解得t＝27.5； 当Q为PM中点时，2（﹣30+3t）＝5t﹣40+2t+20， 解得t＝﹣40（舍去）； ∴t的值为或14或27.5． 11．如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒． （1）数轴上点B表示的数是 　﹣4　，点P表示的数是 　6﹣6t　（用含t的代数式表示）； （2）动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发．求： ①当点P运动多少秒时，点P与点Q相遇？ ②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？ 【解答】解：（1）∵数轴上点A表示的数为6， ∴OA＝6， 则OB＝AB﹣OA＝4， 点B在原点左边， ∴数轴上点B所表示的数为﹣4； 点P运动t秒的长度为6t， ∵动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动， ∴P所表示的数为：6﹣6t； （2）①点P运动t秒时追上点Q， 根据题意得6t＝10+4t， 解得t＝5， 答：当点P运动5秒时，点P与点Q相遇； ②设当点P运动a秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度， 当P不超过Q，则10+4a﹣6a＝8，解得a＝1； 当P超过Q，则10+4a+8＝6a，解得a＝9； 答：当点P运动1或9秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度． 12．已知数轴上点A与点B相距12个单位长度，点A在原点的左侧，到原点的距离为24个单位长度，点B在点A的右侧，点C表示的数与点B表示的数互为相反数，动点P从A出发，以每秒1个单位长度的速度向终点C移动，设移动时间为t秒． （1）点A表示的数为 　﹣24　，点C表示的数为 　12　． （2）用含t的代数式表示P与点A的距离：PA＝　t　． （3）当点P运动到B点时，点Q从A点出发，以每秒3个单位的速度向C点运动，Q点到达C点后，再立即以同样的速度返回，回到点A处停止运动． ①点Q运动过程中，请求出点Q运动几秒后与点P相遇？ ②在点Q从点A向点C运动的过程中，P、Q两点之间的距离能否为4个单位？如果能，请直接写出此时点P表示的数；如果不能，请说明理由． 【解答】解：（1）∵点A在原点的左侧，到原点的距离为24个单位长度， ∴点A表示的数为﹣24， ∵点B在点A的右侧，且与点A相距12个单位长度， ∴点B表示的数为﹣12， ∵点C表示的数与点B表示的数互为相反数， ∴点C表示的数为12． 故答案为：﹣24，12； （2）∵动点P从A出发，以每秒1个单位长度的速度向终点C移动，设移动时间为t秒， ∴PA＝1•t＝t． 故答案为：t； （3）如图： AB＝12，AC＝36，BC＝24． ①设点Q运动t秒后与点P相遇， 由题意得：3t＝t+12或3t﹣36＝24﹣t， 解得：t＝6或t＝15， ∴点Q运动6秒或15秒时与点P相遇； ②能，理由： 点Q从点A向点C运动时， 由题意得：|（﹣24+3t）﹣（﹣12+t）|＝4， 解得：t＝4或8， 此时点P表示的数为﹣12+4＝﹣8或﹣12+8＝﹣4． 故在点Q从点A向点C运动的过程中，P、Q两点之间的距离能为4个单位，此时点P表示的数为﹣8或﹣4． 题组四 数轴动态定值问题 13．如图，点C是线段AB上的一点，线段AC＝10m，AB＝BC．机器狗P从点A出发，以6m/s的速度向右运动，到达点B后立即以原来的速度返回；机械猫Q从点C出发，以2m/s的速度向右运动，设它们同时出发，运动时间为xs．当机器狗P与机械猫Q第二次相遇时，机器狗和机械猫同时停止运动． （1）直接写出BC和AB的长； （2）当x为何值时，机器狗P在点A与机械猫Q的中点处？ （3）①当x为何值时，机器狗P与机械猫Q相遇？ ②当x为何值时，机器狗P和机械猫Q之间的距离PQ＝2m？ 【解答】解：（1）∵AB＝BC，且AB＝AC+BC，AC＝10m， ∴10+BC＝BC， ∴BC＝20m，AB＝×20＝30m， （2）根据题意可知，机器狗P在点A与机械猫Q的中点处只存在一种情况，即机器狗P与机械猫Q第一次相遇之前， ∴6x＝（10+2x）， 解得x＝1， 答：当x＝1，机器狗P在点A与机械猫Q的中点处． （3）①P没有到达B之前， 此时AP＝10+CQ， 即6x＝10+2x， 解得：x＝； P从B点返回时， 此时6x+10+2x＝2×30， 解得：x＝； ∴x＝或x＝时，机器狗P与机械猫Q相遇． ②当点P在线段AQ上且PQ＝2m时，则6x+2＝10+2x， 解得x＝2， 当点P在线段BQ上且PQ＝2m时，则6x﹣2＝10+2x或30×2﹣6x＝10+2x+2， 解得x＝3或x＝6， 答：当x＝2或x＝3或x＝6时，机器狗和机械猫之间的距离PQ＝2m． 14．已知数轴上A，B，C三点对应的数分别为﹣1、3、5，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x．点A与点P之间的距离表示为AP，点B与点P之间的距离表示为BP． （1）若AP＝BP，则x＝　1　； （2）若AP+BP＝8，求x的值； （3）若点P从点C出发，以每秒3个单位的速度向右运动，点A以每秒1个单位的速度向左运动，点B以每秒2个单位的速度向右运动，三点同时出发．设运动时间为t秒，试判断：4BP﹣AP的值是否会随着t的变化而变化？请说明理由． 【解答】解：（1）由数轴可得：若AP＝BP，则x＝1； 故答案为：1； （2）∵AP+BP＝8 分3种情况 ①若点P在点A左侧 ∵AP+BP＝8 ∴﹣1﹣x+3﹣x＝8， ∴x＝﹣3， ②若点P在点B右侧 ∵AP+BP＝8 ∴x+1+x﹣3＝8， ∴x＝5 ③若点P在点A、B之间 ∵AB＝4 ∴AP+BP＝4 这与题目条件AP+BP＝4矛盾 ∴综上所述x的值为﹣3或5． （3）BP＝5+3t﹣（3+2t）＝t+2， AP＝t+6+3t＝4t+6， ∴4BP﹣AP＝4（t+2）﹣（4t+6）＝2， ∴4BP﹣AP的值不会随着t的变化而变化． 15．A，B是数轴上的两点（点B在点A的右侧），点A表示的数为﹣1，AB＝4，点P为数轴上的一个动点，其对应的数为x． （1）数轴上点B表示的数是 　3　； （2）若PA＝2PB，求x的值； （3）若点P以每秒2个单位长度的速度从原点O向右运动，同时点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，点B以每秒3个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒．请问在运动过程中，3PB﹣PA的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出3PB﹣PA的值． 【解答】解：（1）∵点A表示的数为﹣1，AB＝4，点B在点A的右侧， ∴点B表示的数是﹣1+4＝3， 故答案为：3； （2）设点P对应的数为x， ①当P点在A点左侧时，PA＜PB，不合题意，舍去； ②当P点位于A、B两点之间时， ∵PA＝2PB， ∴x﹣（﹣1）＝2（3﹣x）， ∴； ③当P点位于B点右侧时， ∵PA＝2PB， ∵x﹣（﹣1）＝2（x﹣3）， ∴x＝7， 综上，或x＝7； （3）3PB﹣PA的值为定值8，不随时间变化而变化； t秒后，A点的值为（﹣1﹣t），P点的值为2t，B点的值为（3+3t）， ∴3PB﹣PA ＝3（3+3t﹣2t）﹣[2t﹣（﹣1﹣t）] ＝9+3t﹣（2t+1+t） ＝9+3t﹣3t﹣1 ＝8． 16．已知数轴上A，B，C三点对应的数分别为﹣1、3、5，点P为数轴上任意一点（不与A，B，C重合），其对应的数为x．点A与点P之间的距离表示为AP，点B与点P之间的距离表示为BP． （1）若AP＝3BP，则x＝　2或5　； （2）若AP+BP＝8，求x的值； （3）若点P从点C出发，以每秒3个单位的速度向右运动，点A以每秒1个单位的速度向左运动，点B以每秒2个单位的速度向右运动，三点同时出发．设运动时间为t秒，试判断：4BP﹣AP的值是否会随着t的变化而变化？请说明理由． 【解答】解：（1）由数轴可得：若AP＝3BP， ①当P在AB之间，则x＝2； ②当点P在点B右侧，则x＝5， 故答案为：2或5； （2）∵AP+BP＝8， ∴若点P在点A左侧，则﹣1﹣x+3﹣x＝8， ∴x＝﹣3， 若点P在点A右侧，则x+1+x﹣3＝8， ∴x＝5， ∴x的值为﹣3或5． （3）BP＝5+3t﹣（3+2t）＝t+2， AP＝t+6+3t＝4t+6， ∴4BP﹣AP＝4（t+2）﹣（4t+6）＝2， ∴4BP﹣AP 的值不会随着t的变化而变化． 17．如图，已知点O为数轴的原点，点A、B、C、D在数轴上，其中A、B两点对应的数分别为﹣1、3． （1）填空：线段AB的长度AB＝　4　； （2）若点A是BC的中点，点D在点A的右侧，且OD＝AC，点P在线段CD上运动．问：该数轴上是否存在一条线段，当P点在这条线段上运动时，PA+PB的值随着点P的运动而没有发生变化？ （3）若点P以1个单位/秒的速度从点O向右运动，同时点E从点A以5个单位/秒的速度向左运动、点F从点B以20个单位/秒的速度向右运动，M、N分点别是PE、OF的中点．点P、E、F的运动过程中，的值是否发生变化？请说明理由． 【解答】解：（1）∵A、B两点对应的数分别为﹣1、3， ∴OA＝1，OB＝3， ∴AB＝OA+OB＝4． 故答案为：4； （2）数轴上存在一条线段，当P点在这条线段上运动时，PA+PB的值随着点P的运动而没有发生变化．理由： A、B两点对应的数分别为﹣1、3， ∴OA＝1，OB＝3， ∵点A是BC的中点， ∴AC＝AB＝4． ∴OC＝AC+OA＝5， ∴C点对应的数为﹣5． 又∵OD＝AC，点D在点A的右侧， ∴D点对应的数为4． 设P点对应的数为x， ①P点在射线CA上时，PA＝﹣1﹣x，PB＝3﹣x， ∴PA+PB＝﹣1﹣x+（3﹣x）＝2﹣2x， ∴PA+PB的值随着点P的运动而发生变化； ②P点在线段AB上时，PA＝x﹣（﹣1）＝x+1，PB＝3﹣x， ∴PA+PB＝x+1+（3﹣x）＝4， ∴PA+PB的值随着点P的运动没有发生变化； ③P点在射线BD上时，PA＝x﹣（﹣1）＝x+1，PB＝x﹣3， ∴PA+PB＝x+1+（x﹣3）＝2x﹣2， ∴PA+PB的值随着点P的运动而发生变化． 综上，P点在线段AB上时，PA+PB的值没有发生变化， ∴数轴上存在一条线段，当P点在这条线段上运动时，PA+PB的值随着点P的运动而没有发生变化； （3）在运动过程中，的值不发生变化．理由： 设运动时间为t分钟，则OP＝t，OE＝5t+1，OF＝20t+3， ∴EF＝OE+OF＝25t+4， ∵M、N分别是PE、OF的中点， ∴EM＝PM＝PE＝（OP+OE）＝3t+，ON＝OF＝10t+， ∴OM＝OE﹣EM＝5t+1﹣（3t+）＝2t+， ∴MN＝OM+ON＝12t+2， ∴． ∴在运动过程中，的值不发生变化． 18．如图，数轴上有两条可以左右移动的线段OB和CD．已知OB＝m，CD＝n，且m，n满足|m﹣4|+（n﹣8）2＝0． （1）m＝　4　，n＝　8　； （2）如图1，线段OB的中点为M，线段CD中点为N，线段OB以每秒4个单位长度向右运动，同时线段CD以每秒1个单位长度也向右运动，若运动6秒后，MN＝8，求线段CD在向右运动前，点C在数轴上所对应的数； （3）如图2，已知BC＝24，线段CD固定不动，M，N分别为OB，CD中点，线段OB以每秒4个单位长度向右运动t秒，若始终有MN+OD为定值．求出这个定值，并直接写出对应t的取值范围． 【解答】解：（1）∵|m﹣4|+（n﹣8）2＝0， ∴m﹣4＝0，n﹣8＝0， ∴m＝4，n＝8， 故答案为：4，8； （2）设线段CD在向右运动前，点C在数轴上所对应的数是x， ∵线段OB的中点为M，线段CD中点为N， 而OB＝4，CD＝8， ∴OM＝2，ND＝4， ∴运动前，M在数轴上表示的数是2，N在数轴上表示的数是x+4， 由题意得2+4×6+8＝x+4+1×6，或2+4×6﹣8＝x+4+1×6， 解得x＝24或8， 答：线段CD在向右运动前，点C在数轴上所对应的数是24或8． （3）运动t秒后，MN＝|30﹣4t|，OD＝|36﹣4t|， 当0≤t＜7.5时，MN+OD＝30﹣4t+36﹣4t＝66﹣8t， 当7.5≤t≤9时，MN+OD＝4t﹣30+36﹣4t＝6， 当t≥9时，MN+OD＝4t﹣30+4t﹣36＝8t﹣66， 所以当MN+OD是定值时，7.5≤t≤9． 题组五 数轴动态和差倍关系 19．如图，在数轴上点A、B、C表示的数分别为﹣2，1，6，点A与点B之间的距离表示为AB，点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点C之间的距离表示为AC． （1）则AB＝　3　，BC＝　5　，AC＝　8　． （2）点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动．请问：BC﹣AB的值是否随着运动时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． （3）若点C以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时，点A和点B分别以每秒1个单位长度和每秒2个单位长度的速度向右运动．请问：随着运动时间t的变化，AB、BC、AC之间存在怎样的数量关系？请说明理由． 【解答】解：（1）由图可得，AB＝3，BC＝5，AC＝8， 故答案为：3，5，8； （2）BC﹣AB的值不变． 设运动时间为t秒， 则BC﹣AB ＝[6+5t﹣（1+2t）]﹣[1+2t﹣（﹣2﹣t）] ＝6+5t﹣1﹣2t﹣1﹣2t﹣2﹣t ＝2， 故BC﹣AB的值不会随着时间t的变化而改变； （3）由题意得，AB＝t+3， BC＝5﹣5t（t≤1时）或BC＝5t﹣5（t＞1时）， AC＝8﹣4t（t≤2时）或AC＝4t﹣8（t＞2时）， 当t≤1时，AB+BC＝（t+3）+（5﹣5t）＝8﹣4t＝AC； 当1＜t≤2时，BC+AC＝（5t﹣5）+（8﹣4t）＝t+3＝AB； 当t＞2时，AB+AC＝（t+3）+（4t﹣8）＝5t﹣5＝BC． 20．数轴上有A、B、C三点，如图1，点A、B表示的数分别为m、n（m＜n），点C在点B的右侧，AC﹣AB＝2． （1）若m＝﹣8，n＝2，点D是AC的中点． ①则点D表示的数为 　﹣2　． ②如图2，线段EF＝a（E在F的左侧，a＞0），线段EF从A点出发，以1个单位每秒的速度向B点运动（点F不与B点重合），点M是EC的中点，N是BF的中点，在EF运动过程中，MN的长度始终为1，求a的值； （2）若n﹣m＞2，点D是AC的中点，若AD+3BD＝4，试求线段AB的长． 【解答】解：（1）①∵m＝﹣8，n＝2， ∴AB＝2﹣（﹣8）＝10． ∵AC﹣AB＝2， ∴AC＝12， ∴点C对应的数字为4， ∵点D是AC的中点， ∴CD＝AC＝6， 设点D表示的数为x， ∴4﹣x＝6， ∴x＝﹣2． ∴点D表示的数为﹣2． 故答案为：﹣2； ②设EF运动的时间为t秒， 则点E对应的数字为t﹣8，点F对应的数字为t﹣8+a， ∵点M是EC的中点，N是BF的中点， ∴点M对应的数字为＝，点N对应的数字为＝， ∵MN＝1， ∴||＝1． 解得：a＝0或a＝4， ∵a＞0， ∴a＝4； （2）设点C对应的数字为c，点D对应的是为d， ∵点A、B表示的数分别为m、n（m＜n），点C在点B的右侧，AC﹣AB＝2， ∴c＝n+2，AB＝n﹣m． ∵点D是AC的中点， ∴d＝， ∴AD＝m＝，BD＝n﹣＝， ∵AD+3BD＝4， ∴＝4， 解得：n﹣m＝3． ∴AB＝3． 21．已知数轴上，点O为原点，点A对应的数为11，点B对应的数为b，点C在点B右侧，长度为3个单位的线段BC在数轴上移动， （1）如图1，当线段BC在O，A两点之间移动到某一位置时，恰好满足线段AC＝OB，求此时b的值； （2）线段BC在数轴上沿射线AO方向移动的过程中，是否存在AC﹣OB＝AB？若存在，求此时满足条件的b的值；若不存在，说明理由． 【解答】解：（1）由题意得： 11﹣（b+3）＝b， 解得：b＝4． 答：线段AC＝OB，此时b的值是4． （2）由题意得： ①11﹣（b+3）﹣b＝（11﹣b）， 解得：b＝． ②11﹣（b+3）+b＝（11﹣b）， 解得：b＝﹣5． 答：若AC﹣OB＝AB，满足条件的b值是或﹣5． 22．如图，数轴上A，B两点所对应的有理数分别为16和24，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，点Q同时从原点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设点P，Q的运动时间为t秒 （1）当0＜t＜4时，用含t的式子填空：BP＝　8﹣2t　，AQ＝　16﹣3t　 （2）当t＝2时，求PQ的值 （3）当PQ＝AB时，求t的值． 【解答】解：（1）当0＜t＜4时，BP＝24﹣16﹣2t＝8﹣2t， AQ＝16﹣3t； 故答案为8﹣2t，16﹣3t； （2）当t＝2时，PQ＝AQ+AP＝16﹣3t+2t＝16﹣t＝16﹣2＝14； （3）PQ＝|OP﹣OQ|＝|OA+AP﹣OQ|＝|16+2t﹣3t|＝|16﹣t|， ∵PQ＝AB＝×（24﹣16）＝4， ∴|16﹣t|＝4， ∴t＝12或t＝20． 23．如图，数轴上有A、B、C三点，点A和点B所表示的数分别为﹣3和+，点C到点A、点B的距离相等． （1）点C表示的数为　﹣　； （2）若数轴上有一点P，若满足PA+PB＝10，求点P表示的数； （3）若数轴上有一点Q．若满足QA+QB﹣QC＝，求点Q表示的数． 【解答】解：（1）∵点A和点B所表示的数分别为﹣3和+， ∴AB＝﹣（﹣3）＝5.5， ∵AC＝BC， ∴点C表示的数为﹣＝﹣， 故答案为：﹣； （2）设点P表示的数是x， ∵PA+PB＝10， 分两种情况： ①P在A的左边时，﹣x+（﹣3）﹣x＝10，x＝﹣ ②P在B的右边时，x﹣+x﹣（﹣3）＝10，x＝ ∴点P表示的数是﹣或； （3）设点Q表示的数为y， 分四种情况： ①当Q在点A的左边时，如图1， ∵QA+QB﹣QC＝， ∴QA+BC＝，即﹣3﹣y+＝，y＝﹣ ∴点Q表示的数是﹣； ②当Q在点B的右边时，如图2， ∵QA+QB﹣QC＝， ∴QB+AC＝，即y﹣+＝，y＝ ∴点Q表示的数是； ③当Q在点A和点C之间时，如图3， ∵QA+QB﹣QC＝， ∴AB﹣QC＝，即5.5﹣（﹣﹣y）＝，y＝﹣ ∴点Q表示的数是﹣； ④当Q在点B和点C之间时，如图4， ∵QA+QB﹣QC＝， ∴AB﹣QC＝，即5.5﹣（y+）＝，y＝， ∴点Q表示的数是； 综上，点Q表示的数是﹣或或﹣或． 24．如图，已知数轴上点A表示的数为﹣4，B、C是数轴上原点右侧的点，其中，AB＝5，B是AC的中点． （1）点B表示的数是 　1　，点C表示的数是 　6　； （2）动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向右匀速运动，多少秒后点M与点C相距3个单位长度？ （3）动点P、R分别从点A、B同时出发，分别以每秒2个、1个单位长度的速度向右匀速运动，同时动点Q从点C出发，以每秒1.5个单位长度的速度向左匀速运动，每当两动点相遇时，相遇的两动点会立即以原速往相反方向运动．令运动时间为t，当时，求t的值． 【解答】解：（1）点B表示的数是﹣4+5＝1，点C表示的数是1+5＝6； 故答案为：1，6； （2）设M运动t秒，则M表示的数是﹣4+2t， ∴|﹣4+2t﹣6|＝3， 解得t＝6.5或t＝3.5， ∴6.5秒或3.5秒后点M与点C相距3个单位长度； （3）①当R，Q相遇前，即t＜2时，P表示的数是﹣4+2t，R表示的数是1+t，Q表示的数是6﹣1.5t， ∵PQ＝RQ， ∴（6﹣1.5t+4﹣2t）＝6﹣1.5t﹣1﹣t， 解得t＝； ②当t＝2时，R，Q在表示3的点处相遇， 相遇后，以原速往相反方向运动，R所表示的数为3﹣（t﹣2）＝5﹣t，Q表示的数是3+1.5（t﹣2）＝1.5t，P表示的数是﹣4+2t， ∵PQ＝RQ， ∴（1.5t+4﹣2t）＝1.5t﹣5+t， 解得t＝； ③由﹣4+2t＝5﹣t得t＝3， ∴当t＝3时，P，R在表示2的点处相遇， 相遇后，以原速往相反方向运动，R所表示的数为2+（t﹣3）＝t﹣1，P表示的数是2﹣2（t﹣3）＝8﹣2t，Q表示的数是1.5t， ∵PQ＝RQ， ∴（1.5t﹣8+2t）＝1.5t﹣t+1， 解得t＝5.5； 综上所述，当PQ＝RQ时，t的值为秒或秒或5.5秒． 25．如图1，在数轴上从左到右依次是A、B、C三个点，且A、B两点位于原点O的两侧，A点所表示的数为﹣4，B点所表示的数为2，且BC＝3AB． （1）求出数轴上C点所表示的数； （2）如图2，动点P从A点出发，以2个单位长度每秒的速度沿AC方向运动，与此同时，另一动点Q从B出发，以1个单位长度每秒的速度沿BC方向运动；当点P到达B点后原地休息2秒钟，然后继续向C运动，到达C点后，点P停止运动；动点Q中途不休息，到达C后，点Q也停止运动．从运动开始到P、Q两点都停止运动，整个运动过程结束．在运动过程中，点Q的运动时间记为t（秒），当PQ＝4时，求出满足条件的t的值； （3）在第（2）问的条件下，有另一动点M与P、Q同时出发，从点C以3个单位长度每秒的速度沿CA方向运动到A点后，立即原速沿AC返回到C，中途不休息，当M回到点C时，点M停止运动．从运动开始到P、Q、M三点都停止运动，整个运动过程结束．在运动过程中，点Q的运动时间记为t（秒），当PQ+QM+PM＝10时，请直接写出满足条件的t的值． 【解答】解：（1）∵点A所表示的数是﹣4，点B所表示的数是2， ∴AB＝2﹣（﹣4）＝2+4＝6， ∴BC＝3AB＝18， ∴点C表示的数是18+2＝20． （2）∵AB＝6，BC＝18， ∴点P从点A到点B需要3s， 又在B处休息2s， 从点A到点C所用时间为14s， 点Q从点B到点C所需要的时间为18s． ①当0≤t≤3时，点P表示的数为：﹣4+2t，点Q表示的数为2+t， ∵PQ＝4， ∴|（2+t）﹣（﹣4+2t）|＝4， 解得t＝2或t＝10（舍去）； ②当3＜t≤5时，点P表示的数为：2，点Q表示的数为2+t， ∵PQ＝4， ∴|2﹣（2+t）|＝4， 解得t＝4或t＝﹣4（舍去）； ③当5＜t≤14时，点P表示的数为：2（t﹣2）﹣4＝2t﹣8，点Q表示的数为2+t， ∵PQ＝4， ∴|（2+t）﹣（2t﹣8）|＝4， 解得t＝14或t＝6； ④当14＜t≤18时，点P表示的数为：20，点Q表示的数为2+t， ∵PQ＝4， ∴|（2+t）﹣20|＝4， 解得t＝22（舍去）或t＝14（舍去）； 综上所述，t的值为2或4或6或14． （3）点M从点C到点A需要的时间为8s，再回到点C需要16s， 当t＝10s是，点P追上点Q， ①当0≤t≤3时，点P表示的数为：﹣4+2t，点Q表示的数为2+t，点M表示的数为20﹣3t， ∴PQ＝2+t﹣（﹣4+2t）＝6﹣t，QM＝20﹣3t﹣（2+t）＝18﹣4t，PM＝20﹣3t﹣（﹣4+2t）＝24﹣5t， ∵PQ+QM+PM＝10， ∴6﹣t+18﹣4t+24﹣5t＝10， 解得t＝3.8（舍去）； ②当3＜t≤5时，且当t＝4.5时，点Q与点M相遇， ∴PQ＝2+t﹣2＝2，QM＝|20﹣3t﹣（2+t）|＝|18﹣4t|，PM＝20﹣3t﹣2＝18﹣3t， ∵PQ+QM+PM＝10， ∴t+|18﹣4t|+18﹣3t＝10， 解得t＝5或t＝； ③当5＜t≤8时，且当t＝5.6s时，点P，M相遇， ∴PQ＝10﹣t，QM＝4t﹣18，PM＝|5t﹣28|， ∵PQ+QM+PM＝10， ∴10﹣t+4t﹣18+|5t﹣28|＝10， 解得t＝5（舍去）或t＝； ④当8＜t≤10时，此时点M已返回，表示的数为3t﹣28； ∴PQ＝10﹣t，QM＝30﹣2t，PM＝20﹣t， ∵PQ+QM+PM＝10， ∴10﹣t+30﹣2t+20﹣t＝10， 解得t＝12.5（舍去）； ⑤当10＜t≤14时， ∴PQ＝t﹣10，QM＝30﹣2t，PM＝20﹣t， ∵PQ+QM+PM＝10， ∴t﹣10+30﹣2t+20﹣t＝10， 解得t＝15（舍去）； ⑥当14＜t≤16时，此时点P所对应的数是20， ∴PQ＝18﹣t，QM＝|30﹣2t|，PM＝48﹣3t， ∵PQ+QM+PM＝10， ∴18﹣t+|30﹣2t|+48﹣3t＝10， 解得t＝13（舍去）或t＝； ⑦当16＜t≤18时，点P所对应的数是20，点M表示的点是20，点Q表示的点是2+t， ∴PQ＝18﹣t，QM＝18﹣t，PM＝0， ∵PQ+QM+PM＝10， ∴18﹣t+18﹣t+0＝10， 解得t＝13（舍去）； 综上，t的值为5或或或． 题组六 数轴动态速度变化问题 26．已知在数轴上点A表示的数是a，点B表示的数是b，且a、b满足（a+6）2+|2b﹣60|＝0，点C是异于点A的点，且它到原点的距离与点A到原点的距离相等，请回答问题： （1）请直接写出a、b、c的值：a＝　﹣6　，b＝　30　，c＝　6　． （2）动点M以5个单位每秒的速度从点A出发向点B运动，同时动点N以3个单位每秒的速度从点C出发向点B运动，当M、N其中一个点到达点B时，两点同时停止运动，求经过几秒M、N相距8个单位？ （3）若动点M从点A出发，以2个单位每秒的速度向点B运动（到达点B即停止运动），当点M到达AB的中点时，其速度变为3个单位每秒，此时停在C点的动点N开始出发，以6个单位每秒的速度向点B运动，动点N到达点B时，立即以原速返回向点C运动，当点M停止运动时，点N立即停止运动，设动点M的运动时间为t，求t为多少时，MN＝6． 【解答】解：（1）∵（a+6）2+|2b﹣60|＝0，（a+6）2≥0，|2b﹣60|≥0， ∴a+6＝0，2b﹣60＝0， 解得：a＝﹣6，b＝30； ∵点C是异于点A的点，且它到原点的距离与点A到原点的距离相等， ∴c＝6； 故答案为：﹣6，30，6； （2）设经过x秒M、N相距8个单位， 则：M表示的数为：﹣6+5x，N表示的数为：6+3x， 由题意得：|﹣6+5x﹣（6+3x）|＝8， 解得x＝10或x＝2， 当﹣6+5x＝30时：x＝7.2， 当6+3x＝30时：x＝8， 即M需7.2秒可到B点，N需8秒可到B点， ∴x＝10不符合题意； ∴x＝2，即经过2秒，M、N相距8个单位． （3）AB中点表示的数为：， 则：M点移动到AB中点所需时间为：（12+6）÷2＝9秒， ∴当0＜t≤9时：M表示的数为：﹣6+2t，N表示的数为：6， 此时由题意得：|﹣6+2t﹣6|＝6：解得：t＝9或t＝3； 当N点到达B点时，所用时间为：（30﹣6）÷6＝4秒， ∴当9＜t≤9+4，即：9＜t≤13时：M表示的数为：12+3（t﹣9）＝3t﹣15，N表示的数为：6+6（t﹣9）＝6t﹣48， 由题意得：|3t﹣15﹣6t+48|＝6，解得：t＝9（舍），t＝13； 当M从AB中点，到达B点时，所用时间为：（30﹣12）÷3＝6， 即M移动的总时间为：9+6＝15秒， ∴当13＜t≤15时，M表示的数为：3t﹣15，N表示的数为：30﹣（t﹣13）×6＝108﹣6t， 由题意得：|3t﹣15+6t﹣108|＝6，解得：t＝13（舍）或； 综上：当t为3或9或13或时，MN＝6． 27．在数轴上，点O为原点，点A表示的数为a，点B表示的数为b，且a、b满足（a+36）2+|b+20|＝0． （1）求线段AB的长； （2）P，Q两点分别从A，B两点同时沿数轴的正方向运动，在到达点O前，P，Q两点的运动速度分别为4个单位长度/秒和2个单位长度/秒．当点P经过点O后，它的速度变为原速度的一半；点Q经过点O后，它的速度变为原速度的2倍．设运动时间为t秒． ①当点P为线段AB的中点时，求线段OQ的长； ②数轴上点M表示的数为12，当OP＝QM时，求t的值． 【解答】解：（1）∵（a+36）2+|b+20|＝0．而（a+36）2，≥0，|b+20|≥0． ∴a+36＝0，b+20＝0， 解得a＝﹣36，b＝﹣20， AB＝|﹣36﹣（﹣20）|＝16， 故答案为：﹣36，﹣20，16； （2）①∵AB＝16，点P为线段AB的中点， ∴AP＝BP＝8， ∴t＝＝2（秒）， ∴BQ＝2×2＝4， ∴OQ＝OB﹣BQ＝20﹣4＝16； ②当点P、Q都在原点的左侧时， OP＝|﹣36+4t|＝36﹣4t，MQ＝|﹣20+2t|+12＝20﹣2t+12＝32﹣2t， 所以36﹣4t＝32﹣2t， 解得t＝2； 由于点P到达原点需要36÷4＝9秒，而点Q到达原点需要20÷2＝10秒， 当点P、Q在原点的右侧，在点M的左侧时， OP＝2（t﹣9）＝2t﹣18，OQ＝4（t﹣10）＝4t﹣40，MQ＝12﹣4t+40＝52﹣4t， 由于OP＝MQ， 所以2t﹣18＝52﹣4t， 解得t＝； 当点P、Q都在点M的右侧时， OP＝2（t﹣9）＝2t﹣18，OQ＝4（t﹣10）＝4t﹣40，MQ＝4t﹣40﹣12＝4t﹣52， 由于OP＝MQ， 所以2t﹣18＝4t﹣52， 解得t＝17； 综上所述，当OP＝QM时，t的值为2或或17． 28．数轴上点A，B对应的数分别为a，b，其中a，b满足（a+24）2+|b+10|＝0，点P为数轴上一动点． （1）a＝　﹣24　，b＝　﹣10　； （2）若点P到点A，B的距离之和为55，求P点对应的数； （3）若点P从点A以2个单位每秒的速度向点B运动，到达点B后立即掉头，速度变为原来的3倍，当点P运动3秒后，点T与点Q同时出发，点T从A点以1个单位每秒的速度向左运动，点Q以5个单位每秒的速度从表示10的点C处向左出发，当点Q与点P相遇后，点Q的速度变为原来的2倍，并继续向左运动，直到点Q追上点T后所有点停止运动．求点P运动多少秒时． 【解答】（1）解：∵（a+24）2+|b+10|＝0． ∴a+24＝0 b+10＝0． 故答案为：a＝﹣24 b＝﹣10． （2设P对应的数为x． AB＝﹣10﹣（﹣24）＝14＜25． ①当P在A左侧： PA＝﹣24﹣x，PB＝﹣10﹣x． PA+PB＝（﹣24﹣x）+（﹣10﹣x）＝﹣2x﹣34＝55． ∴x＝﹣． ②当P在B右侧： PA＝x﹣（﹣24）＝x+24，PB＝x﹣（﹣10）＝x+10． PA+PB＝（x+24）+（x+10）＝2x+34＝55． ∴x＝． 综上所述x＝﹣或． 答：x＝﹣或． （3）P从A到B用时：[﹣10﹣（﹣24）]÷2＝14÷2＝7秒． 此时，Q运动：7﹣3＝4秒 10﹣4×5＝﹣10 即Q到达点B．Q、P相遇． 此时，T运动：7﹣3＝4秒﹣24﹣4×1＝﹣28 即T到达表示﹣28的点． ①在点Q与点P相遇前： 设点P运动时间为m，则AT＝m﹣3，AP＝2m，CQ＝5（m﹣3）＝5m﹣15． 于是得：QT＝10﹣（﹣24）﹣（5m﹣15）+（m﹣3）＝46﹣4m， PQ＝QT＝10﹣（﹣24）﹣2m﹣（5m﹣15）＝49﹣7m， QT＝PQ即46﹣4m＝（49﹣7m）×， 解得：m＝，＜7，符合题意． 故P运动秒时QT＝PQ． ②在点Q与点P相遇后： 2×3＝6个单位每秒，5×2＝10个单位每秒． 故P运动7秒后，从B向A以6个单位每秒运动． 同时，Q以10个单位每秒，从B点继续向左运动，T以1个单位每秒，从表示﹣28的点继续向左运动． 设P运动7秒后，又运动了t秒．（找P、Q、T在数轴上对应的数）． 则P对应（﹣10﹣6t）Q对应（﹣10﹣10t）T对应（﹣28﹣t）． QT＝（﹣10﹣10t）﹣（﹣28﹣t）＝﹣10﹣10t+28+t＝18﹣9t． PQ＝（﹣10﹣6t）﹣（﹣10﹣10t）＝﹣10﹣6t+10+10t＝4t． QT＝PQ即18﹣9t＝4t×． ∴t＝1.2． Q追上T则：﹣10﹣10t＝﹣28﹣t． t＝2． 1.2＜2，符合题意． 1.2+7＝8.2秒． 故P运动8.2秒时QT＝PQ． 答：P运动秒或8.2秒时QT＝PQ． 题组七 数轴动态变向问题 29．数轴上的点M对应的数是2，一只蚂蚁从点M出发沿着数轴以每秒2个单位的速度向左或向右爬行，当它到达数轴上的点N后，立即返回到原点，共用6秒． （1）蚂蚁爬行的路程是多少？ （2）点N对应的数是多少？ （3）点M和点N之间的距离是多少？ 【解答】解：（1）2×6＝12（个单位长度）． 故蚂蚁爬行的路程是12个单位长度； （2）①当点M在点N左侧时： a﹣2+a＝12， a＝7； ②当点M在点N右侧时： ﹣a+2﹣a＝12， a＝﹣5； （3）若向左爬MN＝2﹣（﹣5）＝7 若向右爬MN＝7﹣2＝5． 30．如图，数轴上有A、B、C三个点，A、B、C对应的数分别是a、b、c，且满足|a+24|+|b+10|+（c﹣10）2＝0，动点P从A出发，以每秒1个单位的速度向终点C运动，设运动时间为t秒． （1）求a、b的值； （2）若点P到A点的距离是点P到B点的距离的2倍，求点P对应的数； （3）当点P运动到B点时，点Q从点A出发，以每秒3个单位的速度向C点运动，Q点到达C点后，再立即以同样的速度返回，运动到终点A．在点Q开始运动后第几秒时，P、Q两点之间的距离为4？请说明理由． 【解答】解：（1）∵|a+24|+|b+10|+（c﹣10）2＝0， ∴a+24＝0，b+10＝0，c﹣10＝0， 解得a＝﹣24，b＝﹣10，c＝10； （2）﹣10﹣（﹣24）＝14， ①点P在AB之间，AP＝14×＝， ﹣24+＝﹣， 点P的对应的数是﹣； ②点P在AB的延长线上，AP＝14×2＝28， ﹣24+28＝4， 点P的对应的数是4； （3）设在点Q开始运动后第a秒时，P、Q两点之间的距离为4， 当P点在Q点的右侧，且Q点还没追上P点时，3a+4＝14+a， 解得a＝5； 当P在Q点左侧时，且Q点追上P点后，3a﹣4＝14+a， 解得a＝9； 当Q点到达C点后，当P点在Q点左侧时，14+a+4+3a﹣34＝34，a＝12.5； 当Q点到达C点后，当P点在Q点右侧时，14+a﹣4+3a﹣34＝34， 解得a＝14.5， 综上所述：当Q点开始运动后第5、9、12.5、14.5秒时，P、Q两点之间的距离为4． 31．如图，数轴上有A、B、C三个点，A、B、C对应的数分别是a、b、10，满足|a+24|+|b+10|＝0，动点P从A出发，以每秒1个单位的速度向终点C运动，设运动时间为t秒． （1）求a、b的值； （2）若点P到A点的距离是点P到B点的距离的2倍，求点P对应的数； （3）当点P运动到B点时，点Q从点A出发，以每秒3个单位的速度向C点运动，Q点到达C点后，再立即以同样的速度返回，运动到终点A．在点Q开始运动后第几秒时，P、Q两点之间的距离为4？请说明理由． 【解答】解：（1）∵|a+24|+|b+10|＝0， ∴a+24＝0，b+10＝0， ∴a＝﹣24，b＝﹣10； （2）由题意得，点P表示的数是﹣24+t， ∵点P到A点的距离是点P到B点的距离的2倍， ∴|﹣24+t﹣（﹣24）|＝2|﹣24+t﹣（﹣10）|， 即|t|＝2|t﹣14|， 解得t＝28或， 当t＝28时，﹣24+t＝﹣24+28＝4； 当时，﹣24+t＝﹣24+； ∴点P对应的数为4或； （3）设在点Q开始运动后第a秒时，P、Q两点之间的距离为4， 当点P在点Q的右侧，且点Q还没追上点P时，3a+4＝14+a， 解得a＝5； 当点P在点Q的左侧，且点Q追上点P后时，3a﹣4＝14+a， 解得a＝9； 当点Q到达点C后，且点P在点Q左侧时，14+a+4+3a﹣34＝34， 解得a＝12.5； 当点Q到达点C后，且点P在点Q右侧时，14+a﹣4+3a﹣34＝34， 解得a＝14.5； 综上，当点Q开始运动后第5、9、12.5、14.5秒时，P、Q两点之间的距离为4． 32．已知数轴上有A、B、C三个点，分别表示有理数﹣24，﹣10，10，动点P从A出发，以每秒1个单位的速度向终点C移动，设移动时间为t秒． （1）用含t的代数式表示P到点A和点C的距离：PA＝　t　，PC＝　34﹣t　． （2）当点P运动到B点时，点Q从A点出发，以每秒3个单位的速度向C点运动，Q点到达C点后，再立即以同样的速度返回，运动到终点A，则点P出发17秒后QA＝　9　． （3）在点Q开始运动后，P、Q两点之间的距离能否为2个单位？如果能，请求出此时点P表示的数；如果不能，请说明理由． 【解答】解：（1）∵动点P从A出发，以每秒1个单位的速度向终点C移动，设移动时间为t秒， ∴P到点A的距离为：PA＝t，P到点C的距离为：PC＝（24+10）﹣t＝34﹣t； 故答案为：t，34﹣t； （2）当点P运动到B点时，t＝﹣10﹣（﹣24）＝14， ∴点P出发17秒后QA＝3×（17﹣14）＝9， 故答案为：9； （3）当P点在Q点右侧，且Q点还没有追上P点时， 3（t﹣14）+2＝t， 解得：t＝20， ∴此时点P表示的数为﹣4； 当P点在Q点左侧，且Q点追上P点后，相距2个单位， 3（t﹣14）﹣2＝t， 解得：t＝22， ∴此时点P表示的数为﹣2； 当Q点到达C点后，当P点在Q点左侧时， t+2+3（t﹣14）﹣34＝34， 解得：t＝27， ∴此时点P表示的数为3； 当Q点到达C点后，当P点在Q点右侧时， t﹣2+3（t﹣14）﹣34＝34， 解得：t＝28， ∴此时点P表示的数为4． 综上所述：在点Q开始运动后，P、Q两点之间的距离能为2个单位，此时点P表示的数为﹣4或﹣2或3或4． 33．如图所示，在数轴上点A表示的有理数为﹣6，点B表示的有理数为4，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度在数轴上向点B运动，当点P到达点B后立即返回，仍然以每秒2个单位长度的速度运动至点A停止．设运动时间为t（单位：秒）． （1）求t＝1时点P表示的有理数； （2）求点P与点B重合时的t值； （3）在点P沿数轴由点A到点B再回到点A的运动过程中，求点P与点A的距离（用含t的代数式表示）； （4）当点P表示的有理数与原点的距离是a个单位长度时（其中0＜a＜4），直接写出所有满足条件的t值（用含a的代数式表示）． 【解答】解：（1）当t＝1时，点P表示的有理数是：﹣6+2×1＝﹣4； （2）点P与点B重合，即PA＝BA＝4﹣（﹣6）＝10， 由路程除以速度，得 t＝10÷2＝5（s）； （3）当0≤t≤5时，点P与点A的距离是：2t， 当5＜t≤10时，点P与点A的距离是：20﹣2t． （4）点P表示的有理数与原点的距离是a个单位长度，得P点表示的数是﹣a或a， 当P表示﹣a时，﹣6+2t＝﹣a或﹣6+20﹣2t＝﹣a， 解得：t＝或7+； 当P表示a时，﹣6+2t＝a或﹣6+20﹣2t＝a， 解得：t＝3+或7﹣； 综上，t的值是3或7． 34．如图，在数轴上，点A表示数a，点B表示数b，点C表示数﹣3，a，b满足|a+4|+（b﹣7）2＝0． （1）在数轴上确定点D，使得点D与点C的距离等于点A与点B的距离，求点D表示的数； （2）若点E为线段AB的四等分点，求点E表示的数； （3）质点M从A出发，质点N从B出发，分别以每秒4个单位长度和每秒2个单位长度向数轴负方向匀速运动，质点P从C出发，以每秒6个单位长度向数轴正方向匀速运动，当P与N相遇时，P立即调转方向以原速度向数轴负方向运动，M，N的速度和方向保持不变（质点M，N，P同时出发，P调转方向的时间忽略不计），设运动时间为t秒． ①当P为线段MN的中点时，求质点P表示的数； ②直接写出质点M与P的距离（用含t的整式表示）． 【解答】解：因为|a+4|+（b﹣7）2＝0， 所以 a＝﹣4，b＝7． （1）设点D表示的数为x，则点D与点C的距离为|﹣3﹣x|， 又因为点A与点B的距离为11， ∴|﹣3﹣x|＝11， 即3+x＝11或3+x＝﹣11， 解得x＝8或x＝﹣14， ∴点D表示的数为﹣14或8； （2）设点E表示的数为y， 线段AB的四等分点共有3个， 当E为靠近点A的四等分点时，即 BE＝3AE， ∴7﹣y＝3[y﹣（﹣4）]， 解得； 当E为线段AB的中点时，即AE＝BE， ∴7﹣y＝y﹣（﹣4）， 解得， 当E为靠近点B的四等分点时，即AE＝3BE， ∴3（7﹣y）＝y﹣（﹣4）， 解得； 综上所述，点E表示的数为﹣或或； （3）①P与N相遇时，有﹣3+6t＝7﹣2t． 解得， 此时点P与N表示的数为， 当点P与N未相遇时，点M，N，P表示的数分别为﹣4﹣4t，7﹣2t，﹣3+6t， P为线段MN的中点时， 有﹣3+6t﹣（﹣4﹣4t）＝7﹣2t﹣（﹣3+6t）． 解得， 此时点P表示的数为0； 当点P与N相遇后，点M，N，P表示的数分别为﹣4﹣4t，7﹣2t，12﹣6t， P为线段MN的中点时， 有12﹣6t﹣（﹣4﹣4t）＝7﹣2t﹣（12﹣6t）， 解得， 此时点P表示的数为﹣9． 综上所述，点P表示的数为﹣9或0； ②当 时，PM＝﹣3+6t﹣（﹣4﹣4t）＝﹣3+6t+4+4t＝10t+1； 当t＝时，点P表示的数为﹣3+6×＝， 当 时，PM＝﹣6（t﹣）﹣（﹣4﹣4t）＝12﹣6t+4+4t＝﹣2t+16； 当t＝8时，点P表示的数为﹣36， 当t＞8时，PM＝﹣4﹣4t﹣[﹣6（t﹣）]＝﹣4﹣4t﹣12+6t＝2t﹣16． ∴PM＝10t+1或﹣2t+16或2t﹣16． 题组八 数轴动态折线数轴问题 35．数轴上点A表示﹣12，点B表示6，点C表示12，点D表示20．如图，将数轴在原点O和点B、C处各折一下．得到一条“折线数轴”．在“折线数轴”上，把两点所对应的两数之差的绝对值叫这两点间的和谐距离．例如，点A和点D在折线数轴上的和谐距离为|﹣12﹣20|＝32个单位长度．动点M从点A出发，以4个单位/秒的速度沿着折线数轴的正方向运动，从点O运动到点C期间速度变为原来的一半，过点C后继续以原来的速度向终点D运动：点M从点A出发的同时，点N从点D出发，一直以3个单位/秒的速度沿着“折线数轴”负方向向终点A运动，其中一点到达终点时，两点都停止运动，设运动时间为t秒． （1）当t＝2秒时，M、N两点在折线数轴上的和谐距离|MN|为 　18　； （2）当点M、N都运动到折线段O﹣B﹣C上时， O、M两点间的和谐距离|OM|＝　2t﹣6　（用含有才的代数式表示）；C、N两点间的和谐距离|CN|＝　3t﹣8　（用含有t的代数式表示）；t＝　　时，M、N两点相遇； （3）当t＝　或6　时，M、N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度；当t＝　4或8或10　时，M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等． 【解答】解：（1）当t＝2时，点M表示的数为﹣12+4×2＝﹣4，点N表示的数为：20﹣3×2＝14， ∴|MN|＝|﹣4﹣14|＝18； 故答案为：18； （2）点M运动到点O需要的时间为：12÷4＝3（秒）， 点N运动到点C需要的时间为：（20﹣12）÷3＝（秒）， ∴当t≥3时，点M、N都运动到折线段O−B−C上， ∴点M表示的数为：（t﹣3）＝2t﹣6，点N表示的数为20﹣3t， ∴|OM|＝（t﹣3）＝2t﹣6，|CN|＝|12﹣20+3t|＝3t﹣8； ∵M、N两点相遇时，M、N表示的数相同， ∴2t﹣6＝20﹣3t， ∴t＝； 故答案为：2t﹣6，3t﹣8，； （3）当M、N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度时，点M，N在折线段O−B−C上， ∴|2t﹣6﹣（20﹣3t）|＝4， 解得：t＝或t＝6； 点M从O运动到C需要的时间为：12÷＝6（秒）； 点M从C到达D时，需要的时间为：（20﹣12）÷4＝2（秒）； 点N到达点A所需时间为：32÷3＝（秒）， 当0＜t＜3时：即点M到达O点之前， 点M表示的数为：﹣12+4t，点N表示的数为：20﹣3t， 此时：|OM|＝4t﹣12，|BN|＝20﹣3t﹣6＝14﹣3t， ∴4t﹣12＝14﹣3t，解得：t＝（不合题意，舍去）； 当3≤t≤9时，即：点M在O−B−C上时， 由（2）值：|OM|＝2t﹣6，点N表示的数为20﹣3t， ∴|BN|＝|6﹣20+3t|＝|3t﹣14|， ∴2t﹣6＝|3t﹣14|，解得：t＝4或t＝8； 当9＜t≤时，即点M在点C的右侧时，此时点M表示的数为12+4（t﹣9）＝4t﹣24， ∴6﹣20+3t＝4t﹣24，解得：t＝10； 综上：t＝4或t＝8或t＝10时，M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等． 故答案为：或6；4或8或10． 36．如图①，在直角三角形ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，AC＝10． （1）动点E、F同时从A出发，E以每秒1个单位长度的速度沿折线A→B→C方向运动，F以每秒2个单位长度的速度沿折线A→C→B方向运动，经过 　8　秒两点首次相遇，相遇时它们距点B 　2　个单位长度； （2）如图②，动点K从B出发，沿折线B→C→A（含端点B和A）运动，速度为每秒2个单位长度，到达A点停止运动，已知点B到AC的距离为个单位长度，设点K的运动时间为t秒，当△ABK的面积为时，求t的值； （3）如图③，将三角形ABC的顶点A与数轴原点重合，将数轴正半轴部分沿A→B→C折叠在三角形ABC的两边AB、BC上，得到一条“折线数轴”，在“折线数轴”上，把两点所对应的两数之差的绝对值叫这两点间的距离．例如，点M和点N在折线数轴上的距离为|20﹣（﹣8）|＝28个单位长度．动点P从点M出发，以4个单位/秒的速度沿着折线数轴的正方向运动，从点A运动到点C期间速度变为原来的一半，过点C后继续以原来的速度向数轴的正方向运动；与此同时，点Q从点N出发，以2个单位/秒的速度沿着折线数轴的负方向运动，从点C运动到点A期间速度变为3.5个单位/秒，过点A后继续以原来的速度向数轴的负方向运动，设运动时间为m秒．在此运动过程中，P、A两点的距离与Q、C两点的距离是否会相等？若相等，请直接写出m的值；若不相等，请说明理由． 【解答】解：（1）相遇时间：（6+8+10）÷（1+2）＝8（秒）， E走的路程为：1×8＝8， 相遇点到B的距离为：8﹣6＝2， 故答案为：8，2； （2）当K在BC上时，BK＝2t， ∴×2t×6＝， ∴t＝， 当K在AC上时，AK＝AC+BC﹣2t＝18﹣2t， ∴×（18﹣2t）×＝， ∴t＝， ∴t＝或； （3）P从M到A所用时间：8÷4＝2s， 从A到C所用时间：14÷2＝7s， Q从N到C所用时间：（20﹣14）÷2＝3s， 从C到A所用时间：14÷3.5＝4s， 当0≤t≤2时，AP＝8﹣4t，CQ＝6﹣2t， ∵AP＝CQ， ∴8﹣4t＝6﹣2t， ∴t＝1； 当2＜t≤3时，AP＝2（t﹣2）＝2t﹣4，CQ＝8﹣2t， ∵AP＝CQ， ∴2t﹣4＝6﹣2t， ∴t＝2.5，符合题意； 当3＜t≤7时，AP＝2（t﹣2）＝2t﹣4，CQ＝14﹣3.5（t﹣3）， ∴2t﹣4＝14﹣3.5（t﹣3）， ∴t＝，符合题意； 当7＜t≤9时，AP＝2t﹣4，CQ＝14+2（t﹣7）＝2t， ∴AP≠CQ，不符合题意； 当t＞9时，AP＝14+4（t﹣9）＝4t﹣22，CQ＝14+2（t﹣7）＝2t， ∵AP＝CQ， ∴4t﹣22＝2t， ∴t＝11， 综上所述，t＝1或2.5或或11． 37．已知点A，B，C在数轴上对应的数分别是a，b，c，其中a，c满足（a+10）2+|c﹣18|＝0，a，b互为相反数（如图1）． （1）请求出a，b，c的值； （2）点P为一动点，其对应的数为x，若PA＝2PC，求x的值； （3）如图2，将数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”（图中A，C两点在“折线数轴”上的距离为28个单位长度），动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿“折线数轴”的正方向运动，在OB段运动速度变为原来的一半，之后立刻恢复：P从点A运动同时，动点Q从点C出发，以1单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，在OB段运动速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速，设运动时间为t秒，请直接写出当t为何值时，P，O两点在“折线数轴”上的距离与Q，B两点在“折线数轴”的距离相等． 【解答】解：（1）∵（a+10）2+|c﹣18|＝0， ∴a+10＝0，c﹣18＝0， ∴a＝﹣10，c＝18， ∵a，b互为相反数， ∴b＝10； （2）PA＝|x﹣（﹣10）|，PC＝|18﹣x|， ∵PA＝2PC， ∴|x﹣（﹣10）|＝2|18﹣x|， 解得：或x＝46； （3）当点P在AO，点Q在BC上运动时，依题意得： 10﹣2t＝8﹣t， 解得：t＝2， 当点P、Q两点都在OB上运动时， t﹣5＝2（t﹣8）， 解得：t＝11， 当P在OB上，Q在BC上运动时， 8﹣t＝t﹣5， 解得：； 当P在BC上，Q在OA上运动时， t﹣8﹣5+10＝2（t﹣5﹣10）+10， 解得：t＝17； 即PO＝QB时，运动的时间为2秒或秒或11秒或17秒． 38．如图1，已知点A、B、C、D在数轴上对应的数分别是a、b、c、24，其中a、b满足（a+12）2+|b﹣8|＝0，OC＝2OB． （1）填空：a＝　﹣12　，b＝　8　，c＝　16　； （2）如图1，若点A、B分别同时以每秒4个单位长度、1个单位长度的速度匀速向右运动，假设经过t秒后，点A与点D之间的距离表示为AD．问：当t为何值时，A、B之间的距离为2？ （3）如图2，将数轴在原点O、点B和点C处各折一下，得到一条“折线数轴”．动点P从点A出发．以每秒3个单位长度的速度沿“折线数轴”的正方向匀速运动至点D，同时，动点Q从点D出发以每秒4个单位长度沿着“折线数轴”的负方向变速运动，该点在平地保持初始速度不变，上坡时速度变为初始速度的一半，下坡时速度变为初始速度的两倍，设运动时间为t秒．若P、Q两点在点M处相遇，则点M表示的数为 　　． 【解答】解：（1）∵（a+12）2+|b﹣8|＝0， ∴a+12＝0，b﹣8＝0， ∴a＝﹣12，b＝8， ∵OC＝2OB，即c＝2b， ∴c＝16． 故答案为：﹣12，8，16． （2）∵经过t秒后，点A对应的数为4t﹣12，点B对应的数为t+8， ∴AB＝|4t﹣12﹣（t+8）|＝|3t﹣20|， 当AB＝2时，得|3t﹣20|＝2，即20﹣3t＝2或3t﹣20＝2， 解得t＝6或， ∴当t为6或时，A、B之间的距离为2． （3）点P在数轴上对应的数为3t﹣12（0≤t≤12）； 当点Q在DC上时，速度为每秒4个单位长度，对应的数为﹣4t+24（0≤t＜2）； 当点Q在CB上时，速度为每秒8个单位长度，对应的数为﹣8（t﹣2）+16＝﹣8t+32（2≤t＜3）； 当点Q在BO上时，速度为每秒2个单位长度，对应的数为﹣2（t﹣3）+8＝﹣2t+14（3≤t＜7）； 当点Q在OA上时，速度为每秒4个单位长度，对应的数为﹣4（t﹣7）＝﹣4t+28（t≥7）． ①当点M在DC上时，得3t﹣12＝﹣4t+24，解得t＝（不符合题意，舍去）； ②当点M在CB上时，得3t﹣12＝﹣8t+32，解得t＝4（不符合题意，舍去）； ③当点M在BO上时，得3t﹣12＝﹣2t+14，解得t＝； ④当点M在OA上时，得3t﹣12＝﹣4t+28，解得t＝（不符合题意，舍去）； ∴当t＝时，P、Q两点在点M处相遇，此时点M表示的数为3×﹣12＝． 故答案为：． 39．已知D＝（a+10）x3+cx2﹣2x+5是关于x的二次多项式，且a，b，c满足（c﹣18）2＝﹣|a+b|，a，b，c在数轴上所对应的点分别为A，B，C． （1）a＝　﹣10　，b＝　10　，c＝　18　； （2）点A，B，C同时在数轴上运动，点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动．若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB，设运动时间为t秒，请问：BC﹣AB的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值；（3）如图，将这条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”，我们称A，C两点在折线数轴上的距离为AO，OB，BC三段的和，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点Q从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿着“折线数轴”的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速，P点运动到C点停止运动，Q点运动到A点停止运动．设运动时间为t秒． ①当t为多少秒时P，Q两点相遇？相遇点M所表示的数是多少？ ②当P，O两点在数轴上的距离与Q，B两点在数轴上的距离相等时，求出此时t的值． 【解答】解：（1）∵（c﹣18）2＝﹣|a+b|，即（c﹣18）2+|a+b|＝0，而（c﹣18）2≥0，|a+b|≥0， ∴c﹣18＝0，a+b＝0， ∴c＝18，a+b＝0， 又∵（a+10）x3+cx2﹣2x+5是关于x的二次多项式， ∴a+10＝0， 即a＝﹣10， ∴b＝﹣a＝10， ∴a＝﹣10，b＝10，c＝18， 故答案为：﹣10，10，18； （2）解：BC﹣AB的值不随着时间t的变化而改变，其值是﹣12，理由如下： ∵点A都以每秒1个单位的速度向左运动，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动， ∴点A表示的数为﹣10﹣t，点B表示的数为10+2t，点C表示的数为18+5t， ∴AB＝10+2t﹣（﹣10﹣t）＝3t+20，BC＝18+5t﹣（10+2t）＝3t+8．BC﹣AB＝（3t+8）﹣（3t+20）＝3t+8﹣3t﹣20＝﹣12； （3）①解：t＝8时，Q到B点，P在OB上且距O点3个单位长度，PQ两点间的距离是7， 则再走7÷（2+1）＝秒时，两点相遇，此时OP＝3+＝， 故当t为＝秒时P，Q两点相遇，相遇点M所表示的数是； ②a/动点Q在CB上，动点P在AO上，则：8﹣t＝10﹣2t，解得：t＝2． b/动点Q在CB上，动点P在OB上，则：8﹣t＝（t﹣5）×1，解得：t＝6.5． c/动点Q在BO上，动点P在OB上，则：2（t﹣8）＝（t﹣5）×1，解得：t＝11． d/动点Q在OA上，动点P在BC上，则：10+2（t﹣15）＝t﹣13+10，解得：t＝17． e/动点Q在OA上，动点P在点C上，则：t﹣13+10＝18，解得：t＝21．综上所述：t的值为2、6.5、11、17或21． 40．如图将一条数轴在原点O，点B，点C，点D处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示﹣8，点B表示8，点C表示16，点D表示24，点E表示28，我们称点A和点E在数轴上相距36个长度单位．动点P从点A出发，以4单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，同时，动点Q从点E出发，以2单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，两点上坡时速度均变为初始速度的一半，下坡时速度均变为初始速度的两倍，平地则保持初始速度不变．当点P运动至点E时则两点停止运动，设运动的时间为t秒．问： （1）动点P从点A运动至E点需要 　10　秒，此时点Q对应的点是 　C　； （2）P，Q两点在点M处相遇，求出相遇点M所对应的数是多少？ （3）求当t为何值时，P，B两点在数轴上相距的长度与Q，D两点在数轴上相距的长度相等． 【解答】解：（1）由题意可知，动点P在AO、BC、DE段的速度均为4单位/秒，在OB段的速度为2单位/秒，在CD段的速度为8单位/秒， AO＝OB＝BC＝CD＝8，DE＝4， ∴动点P从点A运动至E点需要的时间为t＝8÷4+8÷2+8÷4+8÷8+4÷4＝2+4+2+1+1＝10（秒）， ∵动点Q从点E出发，以2单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，在DE段的速度为2单位/秒，CD段的速度为1单位/秒， ∴动点Q从点E运动到点D需要4÷2＝2（秒），从点D运动到点C需要8÷1＝8（秒）， ∴此时点Q对应的点是C； 故答案为：10，C； （2）由（1）可知，P，Q两点在M处相遇时，点M在C﹣D﹣E段， 动点P由点A到点C点用时为8÷4+8÷2+8÷4＝8（秒）， 动点Q从点E到点D用时为4÷2＝2（秒）， ∵（8﹣2）×＝6， ∴当动点P到达点C时，点Q与点C的距离8﹣6＝2， ∵＝（秒）， ∴此时P、Q两点再运动秒在点M处相遇， ∴点M所对应的数16+＝； （3）①当点P在OA段时，点Q在DE段，此时PB大于8，QD小于4，不符合题意； ②当点P在OB段时，点Q在CD段， 若PB＝QD，则OB﹣（t﹣2）×2＝PB，QD＝（t﹣2）×1， ∴8﹣2t+4＝t﹣2， 解得：； ③当点P在BC段时，点Q在CD段， PB＝（t﹣6）×4，QD＝（t﹣2）×1， ∴4t﹣24＝t﹣2， 解得：； ④当点P在CD段或DE段时，PB大于8，QD小于8，不符合题意． 综上所述，当秒时，P，B 两点在数轴上相距的长度与Q，D两点在数轴上相距的长度相等． 题组九 数轴动态动线段问题 41．如图，数轴上有A，B，C三个点，分别表示数﹣20，﹣8，16，有两条动线段PQ和MN（点Q与点A重合，点N与点B重合，且点P在点Q的左边，点M在点N的左边），PQ＝2，MN＝4，线段MN以每秒1个单位的速度从点B开始向右匀速运动，同时线段PQ以每秒3个单位的速度从点A开始向右匀速运动．当点Q运动到点C时，线段PQ立即以相同的速度返回；当点Q回到点A时，线段PQ、MN同时停止运动．设运动时间为t秒（整个运动过程中，线段PQ和MN保持长度不变）． （1）当t＝20时，点M表示的数为 　8　，点Q表示的数为 　﹣8　． （2）在整个运动过程中，当CQ＝PM时，求出点M表示的数． （3）在整个运动过程中，当两条线段有重合部分时，速度均变为原来的一半，当重合部分消失后，速度恢复，请直接写出当线段PQ和MN重合部分长度为1.5时所对应的t的值． 【解答】解：（1）∵﹣8﹣4+20×1＝8， ∴当t＝20时，点M表示的数为8； ∵16﹣{20×3﹣[16﹣（﹣20）]}＝﹣8， ∴当t＝20时，点Q表示的数为﹣8； 故答案为：8，﹣8； （2）当t≤12时，Q表示的数是﹣20+3t，P表示的数是﹣22+3t，M表示的数是﹣12+t， ∴CQ＝16﹣（﹣20+3t）＝36﹣3t，PM＝|﹣22+3t﹣（﹣12+t）|＝|﹣10+2t|， ∴36﹣3t＝|﹣10+2t|， 解得t＝或t＝26（舍去）， 此时﹣12+t＝﹣12+＝﹣， 当12＜t≤24时，Q表示的数是16﹣3（t﹣12）＝52﹣3t，P表示的数是50﹣3t，M表示的数是﹣12+t， ∴CQ＝16﹣（52﹣3t）＝3t﹣36，PM＝|50﹣3t﹣（﹣12+t）|＝|62﹣4t|， ∴3t﹣36＝|62﹣4t|， 解得t＝14或t＝26（舍去）， 此时﹣12+t＝﹣12+14＝2， ∴当CQ＝PM时，点M表示的数是﹣或2； （3）当PQ从A向C运动时， t＝4时，PQ与MN开始有重合部分，有重合部分时，Q表示的数为﹣8+（t﹣4），P表示的数为﹣10+（t﹣4），M表示的数为﹣8+（t﹣4），N表示的数是﹣4+（t﹣4）， 若线段PQ和MN重合部分长度为1.5，则﹣8+（t﹣4）﹣[﹣8+（t﹣4）]＝1.5或﹣4+（t﹣4）﹣[﹣10+（t﹣4）]＝1.5， 解得t＝5.5或t＝8.5， 由﹣10+（t﹣4）＝﹣4+（t﹣4）得t＝10， ∴当t＝10时，PQ与MN的重合部分消失，恢复原来的速度，此时Q表示的数是1， 再过（16﹣1）÷3＝5（秒），Q到达C，此时t＝15，M所在点表示的数是﹣12+4++5＝0，N所在点表示的数4， 当PQ从C向A运动时， t＝时，PQ与MN开始有重合部分，有重合部分时，Q表示的数为﹣（t﹣），P表示的数为﹣（t﹣），M表示的数为+（t﹣），N表示的数是+（t﹣）， 若线段PQ和MN重合部分长度为1.5，+（t﹣）﹣[﹣（t﹣）]＝1.5或﹣（t﹣）﹣[+（t﹣）]＝1.5， 解得t＝18.25或t＝19.75， ∴重合部分长度为1.5时所对应的t的值是5.5或8.5或18.25或19.75． 42．数学为人们提供了一种认识和探索现实世界的观察方式．在数学综合实践活动课上，小明同学借助两根木棒PQ、MN研究数轴上的动点问题： 如图，数轴上有A，B，C三个点，分别表示有理数﹣24，﹣10和12．小明把两根木棒放在数轴上，使点Q与点A重合，点N与点B重合，点P在点Q的左边，点M在点N的左边，且PQ＝3，MN＝6．木棒MN从点B开始一直向右以每秒1个单位的速度匀速运动；木棒PQ同时从点A开始向右以每秒3个单位的速度匀速运动，设运动时间为t秒． （1）当t＝9时，点N表示的数为 　﹣1　，点P表示的数为 　0　； （2）当点Q运动到C时，两根木棒立即同时停止运动，在整个运动的过程中，当线段PM和线段QN的长度之和为11时，求出对应的t的值； （3）当点Q运动到C时，木棒PQ立即以每秒2个单位的速度返回（返回过程中，仍然保持点P在点Q的左边），当点Q再次运动到点A时，两根木棒立即同时停止运动，点D为木棒PQ上一点，在整个运动过程中，是否存在某些时间段，使得点D到点P、Q、M、N的距离之和为一个定值？若存在，请求出这个定值和持续的总时长；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）∵﹣10+1×9＝﹣1， ∴点N表示的数为﹣1； ∵点Q表示的数为﹣24，PQ＝3，点P在点Q的左边， ∴点P运动前表示的有理数为﹣24﹣3＝﹣27， ∴点P运动后表示的有理数为﹣27+3×9＝0， 故答案为：﹣1；0． （2）分类讨论： ①当0≤t＜4时， PM＝（﹣16+t）﹣（﹣27+3t）＝﹣16+t+27﹣3t＝﹣2t+11， QN＝（﹣10+t）﹣（﹣24+3t）＝﹣10+t+24﹣3t＝﹣2t+14， 根据题意得，（﹣2t+11）+（﹣2t+14）＝11， 整理得，﹣4t+14＝0， 解得：t＝， ②当4≤t＜时，不成立， ③时 PM＝（﹣27+3t）﹣（﹣16+t）＝﹣27+3t+16﹣t+＝2t﹣11， QN＝（﹣24+3t）﹣（﹣10+t）＝﹣24+3t+10﹣t＝2t﹣14， 根据题意得，（2t﹣11）+（2t﹣14）＝11， 整理得，4t＝36， 解得：t＝9， 综上所述，对应t的值为秒或9秒． （3）定值为9，持续总时长为2.5秒， 理由：①当0＜t≤12时， ∵﹣27+3t＝﹣16+t， ∴t＝5.5， ∵﹣24+3t＝﹣10+t， ∴t＝7， ∴5.5≤t≤7， ∴持续时长为7﹣5.5＝1.5（秒）． ②当12＜t≤30时， ∵36﹣2t＝﹣10+t， ∴t＝， ∵33﹣2t＝﹣16+t， ∴t＝， ∵， ∴， ∴持续时长为 （秒）， 综上所述，持续的总时长为1.5+1＝2.5（秒）． 故持续的总时长为2.5秒． 43．初一年级开设了丰富多彩的选修课，佳佳同学在“数学实验与探究”课上借助两根木棒PQ、MN研究数轴上的动点问题： 如图，数轴上有A，B，C三个点，分别表示有理数﹣24，﹣10和12、佳佳把两根木棒放在数轴上，使点Q与点A重合，点N与点B重合，点P在点Q的左边，点M在点N的左边，且PQ＝2，MN＝6．木棒MN从点B开始一直向右以每秒1个单位的速度匀速运动；木棒PQ同时从点A开始向右以每秒3个单位的速度匀速运动，当点Q运动到C时，木棒PQ立即以每秒2个单位的速度返回（返回过程中，仍然保持点P在点Q的左边），当点Q再次运动到点A时，两根木棒立即同时停止运动，设运动时间为t秒． （1）当t＝16时，点N表示的数为 　6　，点P表示的数为 　2　； （2）在整个运动的过程中，当线段PM和线段QN的长度之和为12时，求出对应的t的值； （3）点D为木棒PQ上一点，在整个运动过程中，是否存在某些时间段，使得点D到点P、Q、M、N的距离之和为一个定值？若存在，请求出这个定值和持续的总时长；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）当t＝16时，点N表示的数为：﹣10+16＝6， [12﹣（﹣24）]÷3＝12， P表示的数为：12﹣（16﹣12）×2﹣2＝2， 故答案为：6，2； （2）况1：当0＜t≤12时，P：﹣26+3t，M：﹣16+t，Q：﹣24+3t，N：﹣10+t， PM＝|（﹣26+3t）﹣（﹣16+t）|＝|2t﹣10|， QN＝|（﹣24+3t）﹣（﹣10+t）|＝|2t﹣14|， ∵PM+QN＝12， ∴|2t﹣10|+|2t﹣14|＝12，即|t﹣5|+|t﹣7|＝6， ∴t1＝3，t2＝9； 况2：当12＜t≤30时， P：10﹣2（t﹣12）＝34﹣2t，M：﹣16+t，Q：36﹣2t，N：﹣10+t， PM＝|50﹣3t|，QN＝|46﹣3t|， ∵PM+QN＝12， ， ∴t3＝14，t4＝18， 综上所述，对应t的值为3秒、9秒、14秒或18秒； （3）定值为8；持续总时长为秒，求解过程如下： ∵点D为小木棒PQ上任意一点， ∴在运动过程中PD+QD＝PQ＝2始终保持不变， ∴只要使DM+DN保持不变即可， ∴当PQ与MN完全重合时，点D到点P、Q、M、N的距离之和为一个定值，该定值为PQ+MN＝2+6＝8； 况1：当0＜t≤12时， 1°∵﹣26+3t＝﹣16+t， ∴t1＝5； 2°∵﹣24+3t＝﹣10+t， ∴t2＝7； ∴5≤t≤7， ∴持续时长：7﹣5＝2（秒）； 况2：当12＜t≤30时， ∵36﹣2t＝﹣10+t， ∴， 2°∵﹣16+t＝34﹣2t， ∴， ∴持续时长为＝（ 秒）， 2+＝（ 秒）， ∴持续的总时长为秒． 题组十 数轴动态最值问题 44．在数轴上，点A、B分别表示a，b，则A、B间的距离为AB＝|a﹣b|． （1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是 　3　，数轴上表示﹣2和5的两点之间的距离是 　7　，数轴上表示2和﹣5的两点之间的距离是 　7　； （2）数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是 　|x+1|　（用含x的式子表示），如果|AB|＝2，那么x为 　x＝﹣3或x＝1，　； （3）当代数式|x+1|+|x﹣2|＝5，则x的值是 　x＝﹣2或x＝3　； （4）当代数式|x+1|+|x﹣1|取最小值时，则x的取值范围是 　﹣1≤x≤1　． 【解答】解：（1）∵A、B间的距离为AB＝|a﹣b|， ∴表示2和5的两点之间的距离是|2﹣5|＝3； 表示﹣2和5的两点之间的距离是|﹣2﹣5|＝7； 表示2和﹣5的两点之间的距离是|2﹣（﹣5）|＝|2+5|＝7． 故答案为：3，7，7； （2）数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是|﹣1﹣x|＝|x+1|， 若|AB|＝2，则|x+1|＝2， 解得：x＝﹣3或x＝1， 故答案为：|x+1|，x＝﹣3或x＝1； （3）代数式|x+1|+|x﹣2|＝5表示数轴上表示x的点到﹣1和2的距离为5， 若x＜﹣1，则原式可化为：﹣（x+1）﹣（x﹣2）＝5， 解得：x＝﹣2； 若x＞2，则原式可化为：x﹣1+x﹣2＝5， 解得：x＝3； 当﹣1≤x≤2时，此方程无解． 故答案为：x＝﹣2或x＝3； （4）根据题意，由线段的性质，两点之间线段最短， 可知当﹣1≤x≤1时，|x+1|+|x﹣1|取最小值， 故答案为：﹣1≤x≤1． 45．阅读材料，回答下列问题： 数轴是学习有理数的一种重要工具，这样能够运用数形结合的方法解决一些问题．例如，两个有理数在数轴上对应的点之间的距离可以用这两个数的差的绝对值表示：如图1，在数轴上有理数a对应的点为点A，有理数b对应的点为点B，A，B两点之间的距离表示为|a﹣b|或|b﹣a|，记为|AB|＝|a﹣b|＝|b﹣a|． （1）数轴上有理数﹣10与﹣5对应的两点之间的距离等于 　5　；若数轴上有理数x与﹣1对应的两点A，B之间的距离为2，可记为|x+1|＝2，则x等于 　1或﹣3　； （2）如图2，点M，N，P是数轴上的三点，点M表示的数为4，点N表示的数为﹣2，动点P表示的数为x． ①若点P在点M，N之间，则|x+2|+|x﹣4|＝　6　；若|x+2|+|x﹣4|＝10，则x＝　6或﹣4　； ②直接写出|x+2|+|x|+|x﹣2|+|x﹣4|的最小值等于 　8　； ③根据阅读材料及上述各题的解答方法，直接写出下列式子的值（最小值）． |x+1|+|x+2|+|x+3|+|x+4|+|x+5|+|x+6|+|x+7|+|x+8|+|x+9|＝　20　； ④当x＝　4　时，2|x﹣2|+2|x﹣3|+5|x﹣4|取最小值，最小值为 　6　． 【解答】解：（1）数轴上有理数﹣10与﹣5对应的两点之间的距离等于|﹣10﹣（﹣5）|＝5， ∵|x+1|＝2， ∴x+1＝2或x+1＝﹣2， 解得：x＝1或x＝﹣3， 故答案为：5，1或﹣3； （2）①∵点P在点M，N之间， ∴﹣2＜x＜4， ∴x+2＞0，x﹣4＜0， ∴|x+2|+|x﹣4|＝x+2+[﹣（x﹣4）]＝x+2﹣x+4＝6， ∴若点P在点M，N之间，则|x+2|+|x﹣4|＝6， 当点P在M的右侧时，则x＞4， ∴x+2＞0，x﹣4＞0， ∴|x+2|+|x﹣4|＝x+2+x﹣4＝10， 解得：x＝6， 当点P在N剂左侧时，则x＜﹣2， ∴x+2＜0，x﹣4＜0， ∴|x+2|+|x﹣4|＝﹣（x+2）﹣（x﹣4）＝10， 解得：x＝﹣4， ∴若|x+2|+|x﹣4|＝10，则x＝6或﹣4； 故答案为：6，6或﹣4； ②∵|x+2|+|x|+|x﹣2|+|x﹣4|＝（|x+2|+|x﹣4|）+（|x|+|x﹣2|）， ∴由①可得：当﹣2≤x≤4时，|x+2|+|x﹣4|的值最小为：x+2+4﹣x＝6， 当0≤x≤2时，|x|+|x﹣2|的值最小为：x+2﹣x＝2， ∴当0≤x≤2时，|x+2|+|x|+|x﹣2|+|x﹣4|剂值最小为：6+2＝8， 故答案为：8； ③∵|x+1|+|x+2|+|x+3|+|x+4|+|x+5|+|x+6|+|x+7|+|x+8|+|x+9|＝（|x+1|+|x+9|）+（|x+2|+|x+8|）+（|x+3|+|x+7|）+（|x+4|+|x+6|）+|x+5|， ∴当﹣9≤x≤﹣1时，|x+1|+|x+9|的值最小为：﹣x﹣1+x+9＝8， 当﹣8≤x≤﹣2时，|x+2|+|x+8|的值最小为：﹣x﹣2+x+8＝6， 当﹣7≤x≤﹣3时，|x+3|+|x+7|的值最小为：﹣x﹣3+x+7＝4， 当﹣6≤x≤﹣4时，|x+4|+|x+6|的值最小为：﹣x﹣4+x+6＝2， 当x＝﹣5时，|x+5|的值最小为﹣5+5＝0， ∴当x＝﹣5时，|x+1|+|x+2|+|x+3|+|x+4|+|x+5|+|x+6|+|x+7|+|x+8|+|x+9|的值最小＝8+6+4+2+0＝20， 故答案为：20； ④∵2|x﹣2|+2|x﹣3|+5|x﹣4|＝2|x﹣2|+2|x﹣4|+2|x﹣3|+2|x﹣4|+|x﹣4|＝2（|x﹣2|+|x﹣4|）+2（|x﹣3|+|x﹣4|）+|x﹣4|， ∴当2≤x≤4时，|x﹣2|+|x﹣4|有最小值为：x﹣2+4﹣x＝2， 当3≤x≤4时，|x﹣3|+|x﹣4|有最小值为：x﹣3+4﹣x＝1， 当x＝4时，|x﹣4|有最小值为：4﹣4＝0， ∴当x＝4时，2|x﹣2|+2|x﹣3|+5|x﹣4|有最小值为：2×2+2×1+0＝6， 故答案为：4，6． 46．认真阅读下面的材料，完成有关问题： 材料：在学习绝对值时，我们已了解绝对值的几何意义，如|6﹣2|表示6、2在数轴上对应的两点之间的距离；又如|6+2|＝|6﹣（﹣2）|，所以|6+2|表示6、﹣2在数轴上对应的两点之间的距离．因此，一般地，点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，那么A，B之间的距离（也就是线段AB的长度）可表示为|a﹣b|． 因此我们可以用绝对值的几何意义按如下方法求|x﹣4|+|x+1|的最小值：|x﹣4|即数轴上x与4对应的点之间的距离，|x+1|即数轴上x与﹣1对应的点之间的距离，把这两个距离在同一个数轴上表示出来，然后把距离相加即可得原式的值．请你借助数轴进行以下探索： （1）|x﹣1|+|x+3|的最小值是 　4　； （2）当x＝　﹣1　时，4|x+1|+|2x﹣1|+|x﹣4|的最小值是 　8　； （3）已知（|x+1|+|x﹣2|）（|y﹣2|+|y+1|）（|z﹣3|+|z+1|）＝36，求x+y+z的最大值和最小值． 【解答】解：（1）∵|x﹣1|+|x+3|理解为：在数轴上表示x的点到﹣3和1的距离之和， ∴当点x在﹣3与1之间的线段上，即﹣3≤x≤1时，|x﹣1|+|x+3|有最小值． 最小值为：1﹣（﹣3）＝4． 故答案为：4； （2）由题意，原式＝4|x+1|+2|x﹣|+|x﹣4|． 当x≤﹣1时，原式＝4（﹣x﹣1）﹣2（x﹣）﹣（x﹣4） ＝﹣4x﹣4﹣2x+1﹣x+4 ＝﹣7x+1≥8， 故此时最小值为8； 当﹣1＜x≤时，原式＝4（x+1）﹣2（x﹣）﹣（x﹣4） ＝4x+4﹣2x+1﹣x+4 ＝x+9． ∴8＜x≤9，此时最小值大于8； 当＜x≤4，原式＝4（x+1）+2（x﹣）﹣（x﹣4） ＝4x+4+2x﹣1﹣x+4 ＝5x+7． ∴9＜5x+7≤27，此时最小值大于9． 当x＞4时，原式＝4（x+1）+2（x﹣）+（x﹣4） ＝4x+4+2x﹣1+x﹣4 ＝7x﹣1＞27． ∴此时最小值大于27． 综上，当x＝﹣1时，4|x+1|+|2x﹣1|+|x﹣4|最小值为8． 故答案为：﹣1；8． （3）∵|x+1|+|x﹣2|表示数轴上表示数x的点到表示﹣1和2的两个点的距离之和， ∴|x+1|+|x﹣2|≥3． 同理|y﹣2|+|y+1|≥3，表示数轴上表示数y的点到表示2和﹣1的两个点的距离之和， |z﹣3|+|z+1|≥4．表示数轴上表示数z的点到表示3和﹣1的两个点的距离之和， ∴（|x+1|+|x﹣2|）（|y﹣2|+|y+1|）•（|z﹣3|+|z+1|）≥36． ∵（|x+1|+|x﹣2|）（|y﹣2|+|y+1|）•（|z﹣3|+|z+1|）＝36， ∴|x+1|+|x﹣2|＝3，|y﹣2|+|y+1|＝3，|z﹣3|+|z+1|＝4． ∴﹣1≤x≤2，﹣1≤y≤2，﹣1≤z≤3． ∴﹣3≤x+y+z≤7． ∴x+y+z的最大值是7，最小值是﹣3． 题组十一 数轴动态新定义问题 47．对于数轴上的点M，线段AB，给出如下定义：P为线段AB上任意一点，如果M，P两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为点M，线段AB的“近距”，记作d1（点M，线段AB）；如果M，P两点间的距离有最大值，那么称这个最大值为点M，线段AB的“远距”，记作d2（点M，线段AB）．特别的，若点M与点P重合，则M，P两点间距离为0．已知点A表示的数为﹣2，点B表示的数为3．例如，若点C表示的数为5，则d1（点C，线段AB）＝2，d2（点C，线段AB）＝7． （1）若点D表示的数为﹣3，则d1（点D，线段AB）＝　1　，d2（点D，线段AB）＝　6　； （2）若点E表示数为x，点F表示数为x+1．d2（点F，线段AB）是d1（点E，线段AB）的4倍，求x的值． 【解答】解：（1）∵点D表示的数为﹣3， ∴d1（点D，线段AB）＝DA＝﹣2﹣（﹣3）＝﹣2+3＝1， d2（点D，线段AB）＝DB＝3﹣（﹣3）＝3+3＝6， 故答案为：1，6； （2）分两种情况： 当点E在点A的左侧， d2（点F，线段AB）＝BF＝3﹣（x+1）＝2﹣x， d1（点E，线段AB）＝AE＝﹣2﹣x， ∵d2（点F，线段AB）是d1（点E，线段AB）的4倍， ∴2﹣x＝4（﹣2﹣x）， 解得：， 当点E在点B的右侧， d2（点F，线段AB）＝AF＝x+1﹣（﹣2）＝x+3， d1（点E，线段AB）＝EB＝x﹣3， ∵d2（点F，线段AB）是d1（点E，线段AB）的4倍， ∴3+x＝4（x﹣3）， 解得：x＝5， 综上所述：x的值为：或5． 48．对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“联盟点”．例如：数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A，C的“联盟点”． （1）若点A表示数﹣2，点B表示的数是4，下列各数3，2，0所对应的点分别为C1，C2，C3，其中是点A，B的“联盟点”的是 　C2或C3　； （2）点A表示数﹣10，点B表示的数是30，点P为数轴上一个动点：若点P在线段AB上，且点P是点A，B的“联盟点”，求此时点P表示的数． 【解答】解：（1）∵点A表示数﹣2，点B表示的数是4，下列各数3，2，0所对应的点分别为C1，C2，C3， ∴AC1＝3﹣（﹣2）＝5，BC1＝4﹣3＝1， ∴C1不是A，B的“联盟点”； ∵AC2＝2﹣（﹣2）＝4，BC2＝4﹣2＝2， ∴C2是A，B的“联盟点”； ∵AC3＝0﹣（﹣2）＝2，BC3＝4﹣0＝4， ∴C3是A，B的“联盟点”； 故答案为：C2或C3． （2）设点P在数轴上所表示的数为x， 当点P在线段AB上，且PA＝2PB时， 根据题意得x﹣（﹣10）＝2（30﹣x）， 解得； 当点P在线段AB上，且2PA＝PB时， 根据题意得2[x﹣（﹣10）]＝30﹣x， 解得； 综上所述，点P表示的数为或． 49．对数轴上的点P进行如下操作：先把点P沿数轴向右平移m个单位长度，得到点P1，再把点P1表示的数乘以n，所得数对应的点为P2．若mn＝k（m，n是正整数），则称点P2为点P的“k倍关联点”．已知数轴上点M表示的数为2，点N表示的数为﹣3．例如，当m＝1，n＝2时，若点A表示的数为﹣4，则它的“2倍关联点”对应点A2表示的数为﹣6． （1）当m＝1，n＝2时，已知点B的“2倍关联点”是点B2，若点B2表示的数是4，则点B表示的数为 　1　； （2）已知点C在点M右侧，点C的“6倍关联点”C2表示的数为11，则点C表示的数为 　或5　； （3）若点P从M点沿数轴正方向以每秒2个单位长度移动，同时点Q从N点沿数轴正方向以每秒1个单位长度移动，且在任何一个时刻，点P始终为点Q的“k倍关联点”，直接写出k的值． 【解答】解：（1）设B表示的数为x，则有：2（x+1）＝4， ∴x＝1， 即B表示的数为1． 故答案为：1． （2）设C表示的数为y，C在M的右侧，则y＞2， ∵6的正因数有1、2、3、6， ∴①当m＝1，n＝6时，则有6（y+1）＝11，解得：y＝＜2，不符合题意，舍去； ②当m＝2，n＝3时，则有3（y+2）＝11，解得：y＝＜2，不符合题意，舍去； ③当m＝3，n＝2时，则有2（y+3）＝11，解得：y＝＞2，符合题意； ④当m＝6，n＝1时，则有y+6＝11，解得：y＝5＞2，符合题意； 综上所述，y为或5，即C表示的数为或5． 故答案为：或5． （3）设运动时间为t秒，则P表示的数为2+2t，Q点表示的数为﹣3+t， ∵点P始终为点Q的“k倍关联点”， ∴n（﹣3+t+m）＝2+2t， ∴（n﹣2）t+（﹣3n+mn﹣2）＝0， 对于任意t都成立 ∴n＝2，3n+mn﹣2＝0， 解得：n＝2，m＝4， ∴k＝8． 50．已知数轴上点A，B对应的数分别为a，b，且b＝a+2，点P在线段AB上，点M为数轴上一动点，其对应的数为m．我们规定：点M到点P的距离的最小值为点M到线段AB的“到达距离”． （1）如图1，当点M与数轴上原点重合时， ①如果a＝﹣3，那么点M到线段AB的“到达距离”是 　1　； ②如果点M到线段AB的“到达距离”是2，那么a＝　2或﹣4　； （2）当点A对应的数a在﹣2～3之间（包含﹣2，3）时，如果点M到线段AB的“到达距离”始终大于3，直接写出m的取值范围． 【解答】解：（1）∵a＝﹣3，b＝a+2， ∴b＝﹣3+2＝﹣1， ∵点M到点P的距离的最小值为点M到线段AB的“到达距离”，且点M与数轴上原点重合时， ∴点M到线段AB的“到达距离”是1， 故答案为：1． （2）∵点M到线段AB的“到达距离”是2，且点M与数轴上原点重合时，b＝a+2， ∴当a＝2时，b＝4，点M到线段AB的“到达距离”是2，符合题意； 当a＝﹣2时，b＝0，点M到线段AB的“到达距离”是0，不符合题意； 当b＝2时，a＝0，点M到线段AB的“到达距离”是0，不符合题意； 当b＝﹣2时，a＝﹣4，点M到线段AB的“到达距离”是2，符合题意； 综上所述，a＝2或a＝﹣4， 故答案为：a＝2或a＝﹣4． （3）当点A对应的数a在﹣2～3之间（包含﹣2，3）时，b＝a+2， ∴点b对应的数b在0～5之间（包含0，5）， ∵点M到线段AB的“到达距离”始终大于3， ∴点M在线段AB外， 这里只考虑两种极限：①当a＝﹣2，b＝0时，点M到线段AB的“到达距离”始终大于3，点M在线段AB的左侧，则m﹣（﹣2）＜﹣3，即m＜﹣5； ②当a＝3，b＝5时，点M到线段AB的“到达距离”始终大于3，点M在线段AB的右侧，则m﹣5＞3，即m＞8； 综上所述，如果点M到线段AB的“到达距离”始终大于3，则m＞8或m＜﹣5． 51．定义：在数轴上，若M，N两点到原点的距离之和等于点P到原点的距离，则称点P为M，N两点的“和距点”．例如，数轴上，表示5的点是表示2，3的点的“和距点”；表示的点是表示，的点的“和距点”． 已知数轴上A，B，C三点表示的数分别是a，b，﹣6，点C为A，B两点的“和距点”． （1）如果a＝﹣3，点B在x轴的正半轴，则b＝　3　； （2）若点A也是B，C两点的“和距点”，请确定b的值，并说明理由； （3）若a＝﹣2b+1，请直接写出b的值． 【解答】解：（1）由题意得：6＝|﹣3|+|b|， 解得：b＝±3， ∵a＝﹣3， ∴b＝3， 故答案为：3； （2）由题意得：|a|+|b|＝6，且|b|+6＝|a|， 解得：b＝0； （3）由题意得：|﹣2b+1|+|b|＝6， 当b＜0时，﹣2b+1﹣b＝6， 解得：b＝﹣， 当0≤b时，1﹣2b+b＝6， 解得：b＝﹣5（舍去）， 当b时，2b﹣1+b＝6， 解得：b＝． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$