22.1.3二次函数y＝a（x﹣h）²+k的图像和性质同步练习2024-2025学年人教版数学九年级上册

22.1.3二次函数y＝a（x﹣h）2+k的图像和性质 时间60分钟，总分100分 一．选择题（每小题4分，共28分） 1．已知二次函数y＝﹣3（x﹣2）2﹣3，下列说法正确的是（　　） A．图象的对称轴为直线x＝﹣2 B．图象的开口向上 C．函数的最大值是﹣3 D．函数的最小值是﹣3 2．将抛物线y＝3x2﹣1先向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度得到的抛物线解析式为（　　） A．y＝3（x+3）2﹣1 B．y＝3（x﹣3）2+3 C．y＝3（x+3）2+3 D．y＝3（x﹣3）2+1 3．设A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（0，y3）是抛物线y＝（x+1）2+k上的三点，则y1、y2、y3的大小关系为（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3 4．已知二次函数y＝﹣（x﹣1）2+3，当t＜x＜4时，y随x的增大而减小，则实数t的取值范围是（　　） A．t＜0 B．0≤t＜1 C．1⩽t＜4 D．t⩾4 5．抛物线y＝a（x﹣1）2﹣2（a≠0）当﹣1≤x≤2时，y的最大值与最小值的差为3，则a的值为（　　） A．1 B． C．或 D．或 6．在下列二次函数中，图象以直线x＝﹣2为对称轴，且经过点（0，﹣1）的是（　　） A．y＝（x+2）2﹣1 B．y＝（x﹣2）2﹣1 C．y＝（x+2）2﹣5 D．y＝（x﹣2）2﹣5 7．k为任意实数，抛物线y＝a（x﹣k）2+k的顶点在（　　） A．x轴上 B．y轴上 C．直线y＝x上 D．直线y＝﹣x上 二．填空题（每小题4分，共24分） 8．已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象上，若x1＞x2＞1，则y1　 　y2（填“＜”，“＞”或“＝”）． 9．如果抛物线y＝m（x+1）2+m（m是常数）的顶点坐标在第二象限，那么它的开口方向　 　． 10．在平面直角坐标系中，将二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度所得抛物线对应的函数表达式为 　 　． 11．已知二次函数y＝（x﹣m）2﹣1（m为常数），如果当自变量x分别取﹣1，2时，所对应的y值相等，那么m的值为 　 　． 12．已知抛物线y＝a（x+1）2+k（a＞0）经过点（﹣4，y1），（1，y2），则y1　 　y2（填“＞”，“＝”，或“＜”）． 13．如图，在正方形OABC中，点A（0，2），点C（2，0），当二次函数y＝（x﹣m）2﹣m与正方形有公共点时，m的最小值等于 　 　． 三．解答题（每小题8分，共48分） 14．已知二次函数y＝（x﹣2）2﹣4． （1）此二次函数的图象与x轴的两个交点为 　 　、　 　； （2）在给定的直角坐标系中，画出这个函数的图象； （3）根据图象，直接写出当y＜0时x的取值范围． 15．把二次函数y＝a（x﹣h）2+k的图象先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到二次函数y（x+1）2﹣1的图象． （1）试确定a，h，k的值； （2）指出二次函数y＝a（x﹣h）2+k的开口方向，对称轴和顶点坐标． 16．把二次函数y＝a（x﹣h）2+k的图象先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到二次函数yx2的图象． （1）试确定a，h，k的值； （2）指出二次函数y＝a（x﹣h）2+k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 17．将抛物线y＝a（x﹣h）2+k向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到二次函数y＝﹣2（x+1）2+1的图象． （1）确定a，h，k的值； （2）指出二次函数y＝a（x﹣h）2+k的开口方向、对称轴和顶点坐标； （3）说明此二次函数的增减性和最大（小）值． 18．如图，二次函数y＝a（x+1）2+2的图象与x轴交于A，B两点，已知A（﹣3，0），根据图象回答下列问题． （1）求a的值和点B的坐标； （2）设抛物线的顶点是P，试求△PAB的面积； （3）在抛物线上是否存在点M，使得△MAB的面积等于△PAB的面积的2倍？若存在，求出点M的坐标． 19．某喷泉中间的喷水管OA＝0.5m，喷水点A向各个方向喷射出去的水柱为形状相同的抛物线，以水平方向为x轴，喷水管所在直线为y轴，喷水管与地面的接触点O为原点建立直角坐标系，如图所示．已知喷出的水柱在距原点的水平距离为3m处达到最高，高度为2m． （1）求水柱所在抛物线（第一象限）的函数表达式． （2）身高为1.7m的小明站在距离喷水管4m的地方，他会被水喷到吗？ （3）现重新改建喷泉，升高喷水管，使落水点与喷水管距离7m，已知喷水管升高后，喷水管喷出的水柱抛物线形状不变，且水柱仍在距离原点3m处达到最高，则喷水管OA要升高多少？ 参考答案 一．选择题（共7小题） 1．解：∵二次函数解析式为y＝﹣3（x﹣2）2﹣3，﹣3＜0， ∴二次函数开口向下，对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，﹣3）， ∴函数的最大值为﹣3， ∴四个选项中，只有C选项符合题意， 故选：C． 2．解：将抛物线y＝3x2﹣1先向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度得到的抛物线解析式为y＝3（x﹣3）2﹣1+4＝3（x﹣3）2+3． 故选：B． 3．解：∵抛物线y＝（x+1）2+k（k为常数）的开口向上，对称轴为直线x＝﹣1， 而A（﹣3，y1）离直线x＝﹣1的距离最远，B（﹣1，y2）点离直线x＝﹣1最近， ∴y2＜y3＜y1． 故选：B． 4． 解：抛物线的对称轴为直线x＝1， 因为a＝﹣1＜0， 所以抛物线开口向下， 所以当x＞1时，y的值随x值的增大而减小， 而t＜x＜4，y随x的增大而减小， 所以1≤t＜4 故选：C． 5．解：∵y＝a（x﹣1）2﹣2， ∴对称轴为直线x＝1， 当a＞0时，当x＝1时有最小值﹣2，当x＝﹣1时，有最大值是y＝4a﹣2， ∵y的最大值与最小值的差为3， ∴4a﹣2﹣（﹣2）＝3， 解得：a； 当a＜0时，当x＝1时有最大值﹣2，当x＝﹣1时，有最小值是y＝4a﹣2， ∵y的最大值与最小值的差为3， ∴﹣2﹣（4a﹣2）＝3， 解得：a； 故选：C． 6．解：函数y＝（x+2）2﹣1的对称轴为直线x＝﹣2，过点（0，3），故选项A不符合题意； 函数y＝（x﹣2）2﹣1的对称轴为直线x＝2，过点（0，3），故选项B不符合题意； 函数y＝（x+2）2﹣5的对称轴为直线x＝﹣2，过点（0，﹣1），故选项C符合题意； 函数y＝（x﹣2）2﹣5的对称轴为直线x＝2，过点（0，﹣1），故选项D不符合题意； 故选：C． 7．解：∵抛物线y＝a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k）， ∴抛物线y＝a（x﹣k）2+k的顶点坐标为（k，k）， ∴抛物线y＝a（x﹣k）2+k的顶点在直线y＝x上． 故选：C． 二．填空题（共6小题） 8．已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象上，若x1＞x2＞1，则y1　＞　y2（填“＜”，“＞”或“＝”）． 解：∵二次函数y＝（x﹣1）2+2， ∴二次函数的图象开口向上，对称轴为x＝1， ∴在对称轴的右侧y随x的增大而增大， ∵x1＞x2＞1， ∴y1＞y2． 故答案为：＞． 9．如果抛物线y＝m（x+1）2+m（m是常数）的顶点坐标在第二象限，那么它的开口方向　向上　． 解：由抛物线y＝m（x+1）2+m（m是常数）可知顶点为（﹣1，m）， ∵顶点坐标在第二象限， ∴m＞0， ∴抛物线开口向上， 故答案为：向上． 10．在平面直角坐标系中，将二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度所得抛物线对应的函数表达式为 　y＝x2+1　． 解：在平面直角坐标系中，将二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度所得抛物线对应的函数表达式为y＝x2+1． 故答案为：y＝x2+1． 11．已知二次函数y＝（x﹣m）2﹣1（m为常数），如果当自变量x分别取﹣1，2时，所对应的y值相等，那么m的值为 　　． 解：∵自变量x分别取﹣1，2时，所对应的y值相等， ∴抛物线对称轴为直线x， ∵抛物线解析式为y＝（x﹣m）2﹣1（m为常数）， ∴m， 故答案为：． 12．已知抛物线y＝a（x+1）2+k（a＞0）经过点（﹣4，y1），（1，y2），则y1　＞　y2（填“＞”，“＝”，或“＜”）． 解：抛物线y＝a（x+1）2+k（a＞0，a，k为常数）的对称轴为直线x＝﹣1， 所以点（﹣4，y1），（1，y2），到直线x＝﹣1的距离分别为5和2， 所以y1＞y2． 故答案为：＞． 13．如图，在正方形OABC中，点A（0，2），点C（2，0），当二次函数y＝（x﹣m）2﹣m与正方形有公共点时，m的最小值等于 　﹣1　． 解：∵y＝（x﹣m）2﹣m， ∴抛物线开口向上，顶点坐标为（m，﹣m）， ∴抛物线顶点在直线y＝﹣x上， 如图，当抛物线顶点在y轴左侧，抛物线经过A时，满足题意． 把（0，2）代入y＝（x﹣m）2﹣m得2＝m2﹣m， 解得m＝2（舍）或m＝﹣1， 故答案为：﹣1． 三．解答题（共6小题） 14．已知二次函数y＝（x﹣2）2﹣4． （1）此二次函数的图象与x轴的两个交点为 　（0，0）　、　（4，0）　； （2）在给定的直角坐标系中，画出这个函数的图象； （3）根据图象，直接写出当y＜0时x的取值范围． 解：（1）当y＝0时，0＝（x﹣2）2﹣4， 解得x1＝0，x2＝4， 二次函数的图象与x轴的两个交点为（0，0）、（4，0）， 故答案为：（0，0）、（4，0）， （2）列表： x … 0 1 2 3 4 … y … 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 … 描点、连线如图； （3）由图象可知：当y＜0时x的取值范围是0＜x＜4． 15．把二次函数y＝a（x﹣h）2+k的图象先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到二次函数y（x+1）2﹣1的图象． （1）试确定a，h，k的值； （2）指出二次函数y＝a（x﹣h）2+k的开口方向，对称轴和顶点坐标． 解：（1）由题意，得 y＝a（x﹣h+2）2+k+4与y（x+1）2﹣1是同一函数， a，2﹣h＝1，k+4＝﹣1， 解得a，h＝1，k＝﹣5． （2）y＝a（x﹣h）2+k的解析式为y（x﹣1）2﹣5， a0函数图象开口向上，对称轴是直线x＝1，顶点坐标是（1，﹣5）． 16．把二次函数y＝a（x﹣h）2+k的图象先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到二次函数yx2的图象． （1）试确定a，h，k的值； （2）指出二次函数y＝a（x﹣h）2+k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 解：（1）把二次函数y＝a（x﹣h）2+k的图象先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到y＝a（x﹣h+2）2+k+4， ∵二次函数yx2与y＝a（x﹣h+2）2+k+4是同一函数， ∴a，2﹣h＝0，k+4＝0， 解得a，h＝2，k＝﹣4． （2）∵二次函数y＝a（x﹣h）2+k的解析式为y（x﹣2）2﹣4， ∴函数图象开口向上，对称轴是直线x＝2，顶点坐标是（2，﹣4） 17．将抛物线y＝a（x﹣h）2+k向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到二次函数y＝﹣2（x+1）2+1的图象． （1）确定a，h，k的值； （2）指出二次函数y＝a（x﹣h）2+k的开口方向、对称轴和顶点坐标； （3）说明此二次函数的增减性和最大（小）值． 解：（1）∵将抛物线y＝a（x﹣h）2+k向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到二次函数y＝﹣2（x+1）2+1的图象， ∴二次函数y＝﹣2（x+1）2+1向下平移3个单位，向右平移2个单位即可得出原来的抛物线， ∴原来的抛物线的解析式为y＝﹣2（x+1﹣2）2+1﹣3＝﹣2（x﹣1）2﹣2， ∴a＝﹣2，h＝1，k＝﹣2； （2）∵a＝﹣2＜0， ∴抛物线的开口向下，对称轴是直线x＝1，顶点坐标是（1，﹣2）； （3）∵图象的开口方向向下，对称轴是直线x＝1， ∴当x＜l时，y随x的增大而增大； 当x＞l时，y随z的增大而减小． 且当x＝l时，y有最大值，y的最大值是﹣2． 18．如图，二次函数y＝a（x+1）2+2的图象与x轴交于A，B两点，已知A（﹣3，0），根据图象回答下列问题． （1）求a的值和点B的坐标； （2）设抛物线的顶点是P，试求△PAB的面积； （3）在抛物线上是否存在点M，使得△MAB的面积等于△PAB的面积的2倍？若存在，求出点M的坐标． 解：（1）将（﹣3，0）代入y＝a（x+1）2+2， 可得0＝4a+2，解得a； ∵抛物线对称轴方程为x＝﹣1，A、B两点关于对称轴对称， ∴B的坐标为（1，0）， （2）∵y（x+1）2+2， ∴抛物线的顶点坐标是（﹣1，2）， ∵A（﹣3，0），B（1，0）， ∴AB＝XB﹣XA＝1﹣（﹣3）＝4， ∴S△PAB4×2＝4． （3）S△MAB4×|yM|＝2 S△PAB＝8 ∴|yM|＝4，∴yM＝±4， 当yM＝4时，y（x+1）2+2＝4，无解． 当yM＝﹣4时，y（x+1）2+2＝﹣4， 解得x＝﹣1±2 ∴M（﹣1+2，﹣4）或M（﹣1﹣2，﹣4） 19．某喷泉中间的喷水管OA＝0.5m，喷水点A向各个方向喷射出去的水柱为形状相同的抛物线，以水平方向为x轴，喷水管所在直线为y轴，喷水管与地面的接触点O为原点建立直角坐标系，如图所示．已知喷出的水柱在距原点的水平距离为3m处达到最高，高度为2m． （1）求水柱所在抛物线（第一象限）的函数表达式． （2）身高为1.7m的小明站在距离喷水管4m的地方，他会被水喷到吗？ （3）现重新改建喷泉，升高喷水管，使落水点与喷水管距离7m，已知喷水管升高后，喷水管喷出的水柱抛物线形状不变，且水柱仍在距离原点3m处达到最高，则喷水管OA要升高多少？ 解：（1）设抛物线的函数表达式为y＝a（x﹣3）2+2 （ a＝0）， 把A（0，0.5），代入得：9a+2＝0.5， 解得：a， ∴y（x﹣3）2+2， 令y＝0，（x﹣3）2+2＝0， 解得：x＝3±2， ∴抛物线（第一象限）的表达式为y（x﹣3）2+2 （0＜x＜3+2）； （2）解法一：对于y（x﹣3）2+2， 令x＝4，则y＝﹣（4﹣3）2+21.7， ∴小明不会被水喷到； 解法二：令y＝1.7， 则（x﹣3）2+2＝1.7， 解得：x1＝3，x2＝3， ∵34，34， ∴小明不会被水喷到； （3）设喷水管OA的高度要升高h m， 则抛物线的表达式为y（x﹣3）2+2+h． 把（7，0）代入得：0（x﹣3）2+2+h， 解得：h， ∴喷水管OA的高度要升高m． 学科网（北京）股份有限公司 $$