精品解析：冀教版2024-2025学年九年级数学上册期末达标测试卷

冀教版九年级数学上册期末达标测试卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1. 如图，，若，，，则等于（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 9 2. 已知中，，，则的形状（　　） A. 一定是锐角三角形 B. 一定是直角三角形 C. 一定钝角三角形 D. 无法确定 3. 知一次函数的图象（如图所示），那么正比例函数和反比例函数在同一坐标系的图象可能是（ ） A B. C. D. 4. 超市决定招聘广告策划人员一名，某应聘者三项素质测试的成绩如下表： 测试项目 创新能力 综合知识 语言表达 测试成绩/分 70 80 92 将创新能力、综合知识和语言表达三项测试成绩按的比例计入总成绩，则该应聘者的总成绩是（　　） A. 77.4分 B. 80.4分 C. 92分 D. 以上都不对 5. 如图，在中，，，的面积等于，则四边形的面积等于（ ） A. B. C. D. 6. 已知，是一元二次方程的两根，则的值是（ ） A. 1 B. C. D. 7. 在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，以原点为位似中心，作的位似图形，若与的相似比为，则点的坐标为（　　） A. 或 B. 或 C. 或 D. 8. 一次综合实践主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量一次性纸杯杯口的直径？小聪同学所在的学习小组想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯口，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A、B、C、D四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．请你帮忙计算纸杯的直径为（ ） A. B. C. D. 9. 我国古代数学家研究过一元二次方程正数解的几何解法以方程，即为例说明，方图注中记载的方法是：构造如图中大正方形的面积是同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此小明用此方法解关于的方程时，构造出同样的图形，已知大正方形的面积为，小正方形的面积为，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 10. 如图，在中，，，点D是上一点，连接．若，，则的长为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 11. 如图，在中，直径与弦相交于点，连接弦，，．若，给出下列结论：①；②，则下列判断正确的是（ ） A. ①，②都对 B. ①，②都错 C. ①对，②错 D. ①错，②对 12. 在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点叫做整点，已知函数y＝（x＞0）的图象G经过点A（4，1），直线l：y＝x+b与图象G交于点B，与y轴交于点C．记图象G在点A，B之间的部分与线段OA，OC，BC围成的区域（不含边界）为W，若区域W内恰有4个整点，则b的取值范围是（　　） A. ﹣＜b≤﹣ B. ＜b≤ C. ﹣≤b＜﹣或＜b≤ D. ﹣＜b≤﹣或≤b＜ 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 如图，有一长为，宽为的长方形木板在桌面上做无滑动的翻滚（顺时针方向）．木板上的顶点的位置变化为，其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，此时，则点翻滚到位置时，走过的路径长为______________． 14. 如图，梯形是拦水坝的横断面图（图中是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）．，，，拦水坝的横断面的面积是______．（结果保留整数，参考数据：） 15. 已知关于x的一元二次方程． （1）若方程的一个根为，则a的值为 ________； （2）若方程有实数根，则满足条件的正整数a的值为 __________． 16. 定义：若x，y满足且（t为常数），则称点为“和谐点”． （1）若是“和谐点”，则__________． （2）若双曲线存在“和谐点”，则k的取值范围为__________． 三、解答题（本大题共8小题，共72分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解下列方程： （1）； （2）（配方法）． 18. 已知在中，，，为边上的中线． （1）求的长； （2）求值． 19. 如图，把两个扇形与扇形的圆心重合叠放在一起，且，连接． （1）求证：； （2）若，弧的长为，弧的长为，求阴影部分的面积； （3）在（2）的条件下求由扇形围成的圆锥的高． 20. 某学校为调查九年级学生对“二十大”知识的了解情况，进行了“二十大”知识竞赛测试，从两班各随机抽取了名学生的成绩，整理如下：（成绩得分用x表示，共分成四组：，，，） 九年级（1）班名学生的成绩是：，，，，，，，，，． 九年级（2）班名学生的成绩在C组中的数据是：，，． 通过数据分析，绘制如下扇形统计图，并列表： 九年级（1）班、（2）班抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 九年级（1）班 b c 九年级（2）班 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出上述，，的值：________，________，________． （2）学校欲选派成绩更稳定的班级参加下一阶段的活动，根据表格中的数据，学校会选派哪一个班级？说明理由． （3）九年级两个班共名学生参加了此次调查活动，估计两个班参加此次调查活动成绩优秀的学生总人数是多少？ 21. 如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）． （1）当羊圈的边的长为多少米时，能围成一个面积为的羊圈？ （2）羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 22. 贵州旅游资源丰富．某景区为给游客提供更好的游览体验，拟在如图①景区内修建观光索道．设计示意图如图②所示，以山脚A为起点，沿途修建，两段长度相等的观光索道，最终到达山顶D处，中途设计了一段与平行的观光平台为．索道与的夹角为，与水平线的夹角为，，两处的水平距离为，，垂足为点．（图中所有点都在同一平面内，点，，在同一水平线上） （1）求索道的长（结果精确到）； （2）求水平距离的长（结果精确到）．（参考数据：，，，） 23. 心理学家研究发现，一般情况下，一节课分钟中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间x（分钟）的变化规律如下图所示（其中、分别为线段，为双曲线的一部分）： （1）求出y与x之间的函数关系； （2）开始上课后第5分钟时与第分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？ （3）一道数学竞赛题，需要讲分钟，为了效果较好，要求学生注意力指标数最低达到，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？说明理由． 24. 如图，在矩形中，点在边上，是线段上任意一点，直线与直线相交于点，射线与边相交于点，且．已知，，，，完成以下问题： （1）如图①，当时，________． （2）①如图②，当点与点重合时，求的值． ②如图③，当时，求线段的长． （3）直接写出的值．（用含有的代数式表示） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 冀教版九年级数学上册期末达标测试卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1 如图，，若，，，则等于（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可求得结果． 【详解】解：∵， ∴， 即， 解得． 故选：B． 【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 2. 已知中，，，则的形状（　　） A. 一定是锐角三角形 B. 一定是直角三角形 C. 一定是钝角三角形 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由三角函数值求锐角、三角形的内角和，根据特殊角的三角函数值得、，再利用三角形的内角和即可求解，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】解：由，得， ，得， ， 故是钝角三角形， 故选：C． 3. 知一次函数的图象（如图所示），那么正比例函数和反比例函数在同一坐标系的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了通过一次函数的图象求解系数的范围、反比例函数的图象等．掌握相关结论是解题关键．根据一次函数的图象所在象限，可得k，b的取值范围，据此即可求解． 【详解】解：如图所示，∵一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴，． ∴正比例函数的图象经过第二、四象限， 反比例函数的图象经过第一、三象限． 综上所述，符合条件的图象是D选项． 故选：D． 4. 超市决定招聘广告策划人员一名，某应聘者三项素质测试的成绩如下表： 测试项目 创新能力 综合知识 语言表达 测试成绩/分 70 80 92 将创新能力、综合知识和语言表达三项测试成绩按的比例计入总成绩，则该应聘者的总成绩是（　　） A. 77.4分 B. 80.4分 C. 92分 D. 以上都不对 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查加权平均数．根据该应聘者的总成绩=创新能力×所占的比值+综合知识×所占的比值+语言表达×所占的比值即可求得． 【详解】解：根据题意，该应聘者的总成绩是：（分） 故选：A． 5. 如图，在中，，，的面积等于，则四边形的面积等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由证明，再根据“相似三角形面积的比等于相似比的平方”得 ，而，可求得的值，再求出四边形的面积值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形的面积， 故选：C． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 6. 已知，是一元二次方程的两根，则的值是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系式得出，进而根据分式的减法进行化简即可求解． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两根， ∴ ∴ ， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，分式的化简求值，熟练掌握以上知识是解题的关键． 7. 在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，以原点为位似中心，作的位似图形，若与的相似比为，则点的坐标为（　　） A. 或 B. 或 C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换的性质、相似三角形的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或． 根据位似变换的性质解答即可． 【详解】解：与位似，与的相似比为， 与的相似比为， 点的坐标为， 点的坐标为或， 即或， 故选：B 8. 一次综合实践主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量一次性纸杯杯口的直径？小聪同学所在的学习小组想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯口，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A、B、C、D四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．请你帮忙计算纸杯的直径为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查垂径定理的应用，勾股定理，关键是通过作辅助线构造直角三角形，由垂径定理，勾股定理求出的长．由垂径定理求出的长，设，由勾股定理得到，求出x的值，得到的长，由勾股定理求出长，即可求出纸杯的直径长． 【详解】解：如图，过点O做于点N，交于点M， ∵， ∴， 连接，， ∴， ∴， 设， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴纸杯的直径为． 故选：C． 9. 我国古代数学家研究过一元二次方程的正数解的几何解法以方程，即为例说明，方图注中记载的方法是：构造如图中大正方形的面积是同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此小明用此方法解关于的方程时，构造出同样的图形，已知大正方形的面积为，小正方形的面积为，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】画出方程的拼图过程，由面积之间的关系得，，即可求解． 【详解】解：如图， 由题意得：，， 解得：，. 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，理解一元二次方程的正数解的几何解法是解题的关键． 10. 如图，在中，，，点D是上一点，连接．若，，则的长为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两个正切值求出、，即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， ∵，，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， 故答案为B． 【点睛】本题考查根据正切求线段，解题的关键是熟练掌握一个角的正切值等于对边比邻边． 11. 如图，在中，直径与弦相交于点，连接弦，，．若，给出下列结论：①；②，则下列判断正确的是（ ） A. ①，②都对 B. ①，②都错 C. ①对，②错 D. ①错，②对 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件设，则，根据直径所对的圆周角是直角得出，根据同弧所对的圆周角相等得出，根据三角形内角和定理以及对顶角相等得出，根据等角对等边即可判断①，连接，证明，根据相似三角形的性质，即可得出②，从而求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵，设，则， ∵， ∴， ∵是直径， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ， ∴， ∴；故①正确； ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， 即， ∴，故②正确， 故选：A． 【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 12. 在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点叫做整点，已知函数y＝（x＞0）的图象G经过点A（4，1），直线l：y＝x+b与图象G交于点B，与y轴交于点C．记图象G在点A，B之间的部分与线段OA，OC，BC围成的区域（不含边界）为W，若区域W内恰有4个整点，则b的取值范围是（　　） A. ﹣＜b≤﹣ B. ＜b≤ C. ﹣≤b＜﹣或＜b≤ D. ﹣＜b≤﹣或≤b＜ 【答案】B 【解析】 【分析】可知直线与平行；分两种情况：直线在的下方和上方，画图根据区域内恰有4个整点，确定的取值范围． 【详解】如图1，直线在的下方时， 当直线过时，，且经过点，区域内有三点整点， 当直线过时，，且经过，区域内有5点整点， 区域内没有4个整点的情况， 如图2，直线在的上方时， 点在函数的图象， 当直线过时，， 当直线过时，， 区域内恰有4个整点，的取值范围是． 综上所述，区域内恰有4个整点，的取值范围是． 故选：B． 【点睛】本题考查了新定义和反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，本题理解整点的定义是关键，并利用数形结合的思想． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 如图，有一长为，宽为的长方形木板在桌面上做无滑动的翻滚（顺时针方向）．木板上的顶点的位置变化为，其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，此时，则点翻滚到位置时，走过的路径长为______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理及扇形的弧长，根据已知得出点运动的路线是解题关键． 根据弧长公式计算即可． 【详解】解：第一次是以为旋转中心，长为半径旋转， 此次点走过的路径是． 第二次是以为旋转中心，为半径旋转， 此次走过的路径是， 故点两次共走过的路径是． 故答案为：． 14. 如图，梯形是拦水坝的横断面图（图中是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）．，，，拦水坝的横断面的面积是______．（结果保留整数，参考数据：） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角函数的综合运用，坡面坡比问题，以及矩形的判定以及性质．过点A作，垂足为点F．，在中，先求出和的长，再利用构造的矩形，求出和的长；在中，根据坡度可求出的长，故而得出BC的长，最终得到梯形的面积． 【详解】解：过点A作，垂足为点F． 在中，，， ∴， ， ∵四边形为梯形， ∴， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴，， 中，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 已知关于x的一元二次方程． （1）若方程的一个根为，则a的值为 ________； （2）若方程有实数根，则满足条件的正整数a的值为 __________． 【答案】 ①. ②. 4，2，1 【解析】 【分析】（1）将代入一元二次方程即可求a； （2）由于根的存在性可得，再结合二次项系数，可求a的范围进而解答． 【详解】解：（1）∵方程的一个根为， 将代入一元二次方程， 可得， ∴； 故答案为：； （2）∵是一元二次方程， ∴， ∵方程有实数根， ∴， ∴， ∴且， ∵a是正整数， ∴，2，1． 故答案为：4，2，1． 【点睛】本题考查一元二次方程的根与根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根的判别式求法，注意二次项系数的取值情况是解题的关键． 16. 定义：若x，y满足且（t为常数），则称点为“和谐点”． （1）若是“和谐点”，则__________． （2）若双曲线存在“和谐点”，则k的取值范围为__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）根据“和谐点”的定义得到，整理得到，解得（不合题意，舍去），即可得到答案； （2）设点为双曲线上“和谐点”，根据“和谐点”的定义整理得到，由得到，则，由进一步得到，且，根据二次函数的图象和性质即可得到k的取值范围． 【详解】解：（1）若是“和谐点”，则， 则， ∴， 即，解得（不合题意，舍去）， ∴， 故答案为： （2）设点为双曲线上的“和谐点”， ∴，， 即， ∴， 则， ∵， ∴， 即， ∵， ∴，且， 对抛物线来说， ∵， ∴开口向下， 当时，， 当时，， ∵对称轴为，， ∴当时，k取最大值为4， ∴k的取值范围为， 故答案为： 【点睛】此题考查了反比例函数的性质、二次函数的图象和性质等知识， 读懂题意，熟练掌握反比例函数和二次函数的性质是解题的关键． 三、解答题（本大题共8小题，共72分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解下列方程： （1）； （2）（配方法）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了配方法，因式分解法求解方程的根，选择适当解方程的方法是解题的关键． （1）利用因式分解法法求解即可． （2）利用配方法求解即可． 【小问1详解】 解：， 因式分解得：， 解得：． 【小问2详解】 原方程变形得：， 配方得：， 即， 直接开平方得：， 解得：． 18. 已知在中，，，为边上的中线． （1）求的长； （2）求的值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）在Rt△ABC中，利用三角函数即可求出AB，故可得到AC的长； （2）过点F作FG⊥BD，利用中位线的性质得到FG，CG，再根据正切的定义即可求解． 【详解】（1）∵， ∴ ∴AB=10 ∴=； （2）过点F作FG⊥BD， ∵为边上的中线． ∴F是AD中点 ∵FG⊥BD， ∴ ∴FG是△ACD的中位线 ∴FG=3 CG= ∴在Rt△BFG中，=． 【点睛】此题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟知三角函数的定义． 19. 如图，把两个扇形与扇形的圆心重合叠放在一起，且，连接． （1）求证：； （2）若，弧的长为，弧的长为，求阴影部分的面积； （3）在（2）的条件下求由扇形围成的圆锥的高． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先证得，即可利用证明； （2）根据代入计算即可； （3）求出圆锥底面圆的半径长，利用勾股定理求出圆锥的高． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； 【小问2详解】 答：阴影部分的面积是． 【小问3详解】 圆锥底面圆的半径为，母线长为， ∴圆锥的高． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和扇形的面积，勾股定理， 正确掌握扇形的面积公式是解题的关键． 20. 某学校为调查九年级学生对“二十大”知识的了解情况，进行了“二十大”知识竞赛测试，从两班各随机抽取了名学生的成绩，整理如下：（成绩得分用x表示，共分成四组：，，，） 九年级（1）班名学生的成绩是：，，，，，，，，，． 九年级（2）班名学生的成绩在C组中的数据是：，，． 通过数据分析，绘制如下扇形统计图，并列表： 九年级（1）班、（2）班抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 九年级（1）班 b c 九年级（2）班 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出上述，，的值：________，________，________． （2）学校欲选派成绩更稳定的班级参加下一阶段的活动，根据表格中的数据，学校会选派哪一个班级？说明理由． （3）九年级两个班共名学生参加了此次调查活动，估计两个班参加此次调查活动成绩优秀的学生总人数是多少？ 【答案】（1）；； （2）选派九年级（1）班，理由见解析 （3）估计两个班参加此次调查活动成绩优秀的学生总人数是名 【解析】 【分析】本题考查的是扇形统计图，统计表，众数，中位数，方差的含义及应用，同时考查了利用样本估计总体，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）将九年级（1）班名学生的成绩按由小到大的顺序排列，再结合中位数和众数的定义即可求出和的值；由题意可知九年级班组有人，即可求出其所占百分比，最后用其它各组所占百分比即可求出的值； （2）直接比较两个班级的方差即可； （3）求出样本中两个班级成绩优秀的人数，再利用样本的百分率估计总体即可得到答案． 【小问1详解】 解：九年级（2）班C组占的百分比为， ， ， 九年级班名学生的成绩从低到高排列后，第和第位的数是和， ， 九年级班名学生的成绩中，出现的次数最多， 众数 【小问2详解】 解：这次比赛中，学校会选派九年级（1）班． 理由：九年级（1）班成绩的方差小于九年级（2）班的方差， 九年级（1）班成绩更稳定， 学校会选派九年级（1）班． 【小问3详解】 解：解：九年级（1）班名学生的成绩为优秀的有人， 九年级（2）班组的人数为 (人)， ∴九年级（2）班名学生的成绩为优秀的有 (人)． ∴估计参加此次调查活动成绩优秀的九年级学生人数是（人） 答：估计两班参加此次调查活动成绩优秀的学生总人数是人． 21. 如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）． （1）当羊圈的边的长为多少米时，能围成一个面积为的羊圈？ （2）羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【答案】（1）当羊圈的边AB的长为或时，能围成一个面积为的羊圈 （2）羊圈的面积不能达到，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程，解一元二次方程是解题的关键． （1）设羊圈的边的长为，则边的长为根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解； （2）同（1）的方法建立方程，根据方程无实根即可求解． 【小问1详解】 解：设羊圈的边的长为，则边的长为，根据题意，得， 化简，得， 解方程，得，，当时，， 当时，． 答：当羊圈的边的长为或时，能围成一个面积为的羊圈． 【小问2详解】 不能，理由如下：根据题意，得， 化简，得， ， ∴该方程没有实数根． ∴羊圈的面积不能达到 22. 贵州旅游资源丰富．某景区为给游客提供更好的游览体验，拟在如图①景区内修建观光索道．设计示意图如图②所示，以山脚A为起点，沿途修建，两段长度相等的观光索道，最终到达山顶D处，中途设计了一段与平行的观光平台为．索道与的夹角为，与水平线的夹角为，，两处的水平距离为，，垂足为点．（图中所有点都在同一平面内，点，，在同一水平线上） （1）求索道的长（结果精确到）； （2）求水平距离的长（结果精确到）．（参考数据：，，，） 【答案】（1）索道的长约为． （2）水平距离的长约为 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形解决实际应用题，解题的关键是熟练掌握几种三角函数． （1）根据的余玄直接求解即可得到答案； （2）根据、两段长度相等及与水平线夹角为求出到距离即可得到答案； 【小问1详解】 解：在中，，，， ． 答：索道的长约为． 【小问2详解】 延长交于点， ，， ． ∴四边形为矩形． ． ，， ． ． 答：水平距离的长约为 23. 心理学家研究发现，一般情况下，一节课分钟中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间x（分钟）的变化规律如下图所示（其中、分别为线段，为双曲线的一部分）： （1）求出y与x之间的函数关系； （2）开始上课后第5分钟时与第分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？ （3）一道数学竞赛题，需要讲分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指标数最低达到，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？说明理由． 【答案】（1）； （2）第分钟注意力更集中； （3）能达到，理由见解析． 【解析】 【分析】本题考查了函数的应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据自变量的值求算对应的函数值． （1）分别从图象中找到其经过点，利用待定系数法求得函数的解析式即可； （2）根据上题求出的和的函数表达式，再分别求第5分钟和第30分钟的注意力指数，最后比较判断； （3）分别求出注意力指数为时的两个时间，再将两时间之差和比较，大于则能讲完，否则不能． 【小问1详解】 解：当时，设线段所在的直线的解析式为， 把代入得，， ∴． 当时，， 当时， 设C、D所在双曲线的解析式为， 把代入得，， ∴， ∴y与x之间的函数关系为：； 【小问2详解】 当时，， 当时， ∴， ∴第分钟注意力更集中． 【小问3详解】 能达到； 令， ∴， ∴， 令， ∴， ∴ ∵， ∴经过适当安排，老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目． 24. 如图，在矩形中，点在边上，是线段上任意一点，直线与直线相交于点，射线与边相交于点，且．已知，，，，完成以下问题： （1）如图①，当时，________． （2）①如图②，当点与点重合时，求的值． ②如图③，当时，求线段的长． （3）直接写出的值．（用含有的代数式表示） 【答案】（1） （2）①或；② （3） 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质得，即可判定，由三角形相似的性质得，即可求解； （2）①由矩形的性质得，由同角的余角相等，由两角对应相等的三角形相似得，由三角形相似的性质得，可得，由，求出即可求解；②由（1）得，可求，由勾股定理得，与交于，由由两角对应相等的三角形相似得，由相似三角形的性质可求，同理可证，由性质得； （3）由（1）得，可求，同理可证，由相似的性质得，可求，由（2）中的②得，可求，由即可求解． 【小问1详解】 解：四边形是矩形， ， ， ， ， 解得：， 故答案：； 【小问2详解】 解：①四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得： 或， ， 或， ②由（1）得， ， 解得：， ， ， ， 如图，与交于， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， 四边形是矩形， ， ， ， ， 解得：， 故线段的长为； 【小问3详解】 解：如图， ， ， 解得：， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， 由（2）中的②得 ， ， 解得：， ， ， ． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，三角函数，三角形相似的判定及性质，割补法求面积，掌握判定方法及性质及三角形相似模型“”和“”的典型解法是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$