精品解析：2023年吉林省大安市初中毕业生学业考试九年级数学试卷　

大安市初中毕业生学业考试数学试题 时间：120分钟 满分：120分 一、选择题(每小题2分，共12分) 1. －3的相反数是（ ） A. －3 B. 3 C. ±3 D. 2. 吉林省全力打造国家级能源生产基地，“十四五”期间共个项目纳入国家抽水蓄能选点规划，装机规模千瓦，数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 4. 如图是由五个相同的正方体搭成的几何体，这个几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，一束光线先后经平面镜，反射后，反射光线与平行，当时，的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，若∠CAB＝65°，则∠ADC的度数为（　　） A. 25° B. 35° C. 45° D. 65° 二、填空题(每小题3分，共24分) 7. 计算：__________． 8. 分解因式：_______． 9. 中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两我国古代货币单位；马三匹、牛五头，共价三十八两．问马、牛各价几何？”设马每匹两，牛每头两，根据题意可列方程组为________． 10. 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则________． 11. 篮球每个m元，排球每个n元，如果学校要购买10个篮球、3个排球，一共需要支付_____________元（用含有m、n的代数式表示）． 12. 如图，绕点A逆时针旋转得到，点C在上，点C的对应点E在的延长线上，若，则________ 13. 如图，利用标杆BE测量建筑物的高度，如果标杆BE高1.2m，测得AB＝1.6m，BC＝12.4m，楼高CD是________m． 14. 如图，以边长为2的等边顶点A为圆心、一定的长为半径画弧，恰好与边相切，分别交于D，E，则图中阴影部分的面积是______． 三、解答题(每小题5分，共20分) 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 如图，已知AC平分BAD，AB=AD．求证：△ABC≌△ADC 17. 九年级某班同学在毕业晚会中进行抽奖活动，在一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3．随机摸出一个小球记下标号后放回搅匀，再从中随机摸出一个小球记下标号．规定当两次摸出的小球标号相同时中奖，求中奖的概率，请用画树状图或列表法的方法求中奖的概率． 18. 图①，图②均是的正方形网格，点、、均在格点上，请在给定的网格中用无刻度的直尺作图，并保留作图痕迹． （1）在图①中，作的中线； （2）在图②中，作的高线． 四、解答题(每小题7分，共28分) 19. 每年的月日是全国爱眼日，眼睛是人类感官中最重要的器官之一，不当的用眼习惯会影响健康，某校在爱眼日到来之际，计划购买、两类护眼用具，已知类护眼用具每个的价格比类护眼用具便宜元，且用元购买的类护眼用具的个数与用元购买的类用具的个数相同，求、两类护眼用具的单价各是多少元？ 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴、轴交于点、，与反比例函数的图象交于点，连接．已知点，的面积是2． （1）求、的值； （2）求的面积． 21. 如图，一艘轮船位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔海里的处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的南偏东方向上的处，这时，处距离灯塔有多远？（结果保留整数，参考数据：，，，） 22. 为落实“双减”政策，优化作业管理，某中学从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们每天完成书面作业的时间t（单位：分钟）．按照完成时间分成五组：A组“t≤45”，B组“45＜t≤60”，C组“60＜t≤75”，D组“75＜t≤90”，E组“t＞90”．将收集的数据整理后，绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）这次调查的样本容量是 ，请补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，B组的圆心角是 度，本次调查数据的中位数落在 组内； （3）若该校有1800名学生，请你估计该校每天完成书面作业不超过90分钟的学生人数． 五、解答题(每小题8分，共16分) 23. 已知A、B两地之间有一条长440千米的高速公路．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，沿此公路相向而行，甲车先以100千米/时的速度匀速行驶200千米后与乙车相遇，再以另一速度继续匀速行驶4小时到达B地；乙车匀速行驶至A地，两车到达各自的目的地后停止．两车距A地的路程y（千米）与各自的行驶时间x（时）之间的函数关系如图所示． （1）_______，_______； （2）求两车相遇后，甲车距A地的路程y与x之间的函数关系式； （3）当乙车到达A地时，求甲车距A地的路程． 24. 某数学活动小组在学完特殊的平行四边形之后，针对矩形中的折叠问题进行了研究． 如图①，在矩形中，，，点P为边上一点，将矩形沿折叠，点E为点B折叠后的对应点，过点E作，交折痕于点F，连接． （1）猜想四边形的形状，并证明你的结论； （2）如图②，连接，当点E落在上时，的长是多少？（用含a的代数式表示） （3）如图③，当点E落在上时，若，求的长． 六、解答题(每小题10分，共20分) 25. 如图，在等腰中，，，动点由点出发，沿边以的速度运动到点停止，过作交或边于点，过点作的平行线与过点作的平行线交于点． （1）填空：______； （2）当点在边上时，求的值； （3）与重合部分图形的面积为S，用含的代数式表示，并直接写出的取值范围． 26. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数的图象经过点，点P是抛物线上一点(不与点A重合)，其横坐标为m．以为对角线作矩形，垂直于y轴． （1）求抛物线的解析式和顶点坐标； （2）当矩形内部的图象从左到右逐渐上升时，求m的取值范围； （3）当矩形内部的图象(包括边界)的最高点纵坐标与最低点的纵坐标之差为4时，求m的值； （4）设点P的纵坐标为n，当该抛物线上有四个点到直线的距离是到直线距离的2倍时，直接写出n的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大安市初中毕业生学业考试数学试题 时间：120分钟 满分：120分 一、选择题(每小题2分，共12分) 1. －3的相反数是（ ） A. －3 B. 3 C. ±3 D. 【答案】B 【解析】 【详解】分析：一个数的相反数就是在这个数前面添上“-”号． 解答：解：-（-3）=3，故-3的相反数是3． 2. 吉林省全力打造国家级能源生产基地，“十四五”期间共个项目纳入国家抽水蓄能选点规划，装机规模千瓦，数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数． 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：． 故选：C． 3. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接移项解一元一次不等式即可． 【详解】， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 4. 如图是由五个相同的正方体搭成的几何体，这个几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】左视图是从物体的左边观察得到的图形，结合选项进行判断即可． 【详解】解：从左边看，有两列，从左到右第一列是两个正方形，第二列底层是一个正方形． 故选：B． 【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，属于基础题，解答本题的关键是掌握左视图的定义． 5. 如图，一束光线先后经平面镜，反射后，反射光线与平行，当时，的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得：∠ABM=∠OBC， ∠BCO=∠DCN，然后平行线的性质可得∠BCD =70°，即可求解． 【详解】解：根据题意得：∠ABM=∠OBC， ∠BCO=∠DCN， ∵∠ABM=35°， ∴∠OBC=35°， ∴∠ABC=180°-∠ABM-∠OBC=180°-35°-35°=110°， ∵CD∥AB， ∴∠ABC+∠BCD=180°， ∴∠BCD=180°-∠ABC=70°， ∵∠BCO+∠BCD+∠DCN=180°， ∠BCO=∠DCN， ∴． 故选：A 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行，同旁内角互补是解题的关键． 6. 如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，若∠CAB＝65°，则∠ADC的度数为（　　） A. 25° B. 35° C. 45° D. 65° 【答案】A 【解析】 【分析】首先利用直径所对的圆周角是直角确定∠ACB=90°，然后根据∠CAB=65°求得∠ABC的度数，利用同弧所对的圆周角相等确定答案即可． 【详解】解：∵AB是直径， ∴∠ACB=90°， ∵∠CAB=65°， ∴∠ABC=90°-∠CAB=25°， ∴∠ADC=∠ABC=25°， 故选：A． 【点睛】本题考查了圆周角定理的知识，解题的关键是了解直径所对的圆周角为直角，难度不大． 二、填空题(每小题3分，共24分) 7. 计算：__________． 【答案】a5 【解析】 【分析】分析：根据同底数的幂的乘法，底数不变，指数相加，计算即可． 【详解】解：a2×a3=a2+3=a5． 故答案为： 【点睛】熟练掌握同底数的幂的乘法的运算法则是解题的关键． 8. 分解因式：_______． 【答案】 【解析】 【分析】原式提取公因式m即可得到结果． 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了提公因式分解因式，正确找出公因式是解答本题的关键． 9. 中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两我国古代货币单位；马三匹、牛五头，共价三十八两．问马、牛各价几何？”设马每匹两，牛每头两，根据题意可列方程组为________． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马三匹、牛五头，共价三十八两”，分别得出方程得出答案． 【详解】解：设马每匹两，牛每头两，根据题意可列方程组为： ． 故答案是：． 【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的应用，正确得出等式是解题关键． 10. 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与判别式的关系，列出关于m的方程，即可求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴，解得：， 故答案是：． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根与判别式的关系，掌握一元二次方程有两个实数根，则，是解题的关键． 11. 篮球每个m元，排球每个n元，如果学校要购买10个篮球、3个排球，一共需要支付_____________元（用含有m、n的代数式表示）． 【答案】 【解析】 【分析】根据单价和所买个数，分别计算出买篮球和买排球所需钱数，然后相加即可． 【详解】解：由题意得， 买篮球需支付元，买排球需支付元， ∴一共需要支付元， 故答案为：． 【点睛】本题考查了列代数式，根据题意得出关系是解决此题的关键． 12. 如图，绕点A逆时针旋转得到，点C在上，点C的对应点E在的延长线上，若，则________ 【答案】##30度 【解析】 【分析】根据旋转的性质和等腰三角形的性质即可得到结论． 本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，正确的识别图形是解题的关键． 【详解】解：绕点A逆时针旋转得到， 故答案为：． 13. 如图，利用标杆BE测量建筑物的高度，如果标杆BE高1.2m，测得AB＝1.6m，BC＝12.4m，楼高CD是________m． 【答案】10.5 【解析】 【分析】先根据题意得出△ABE∽△ACD，再根据相似三角形的对应边成比例即可求出CD的值． 【详解】解：∵EB⊥AC，DC⊥AC， ∴EB∥DC， ∴△ABE∽△ACD， ∴， ∵BE=1.2，AB=1.6，BC=12.4， ∴AC=14， ∴， ∴CD=10.5． 故答案为：10.5． 【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，熟知相似三角形的对应边成比例的性质是解答此题的关键． 14. 如图，以边长为2的等边顶点A为圆心、一定的长为半径画弧，恰好与边相切，分别交于D，E，则图中阴影部分的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】作，由勾股定理求出，然后根据得出答案． 【详解】解：由题意，以A为圆心、一定的长为半径画弧，恰好与边相切， 设切点为F，连接，则． 等边中，， ∴． 在中， 故答案为： 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，求扇形面积，理解切线的性质，将阴影部分的面积转化为三角形的面积-扇形的面积是解题的关键． 三、解答题(每小题5分，共20分) 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】根据完全平方公式、单项式乘多项式以及整式加减运算法则先进行化简，然后再代入数据求值即可． 【详解】解：原式 把代入得：原式． 【点睛】本题主要考查了整式的混合运算以及代数式求值，熟练掌握整式混合运算的法则得出准确的化简结果是解题的关键． 16. 如图，已知AC平分BAD，AB=AD．求证：△ABC≌△ADC 【答案】 证明：∵AC平分BAD， ∴BAC=DAC， 在△ABC和△ADC中， , ∴△ABC≌△ADC（SAS）. 【解析】 【分析】首先根据角平分线的定义得到∠BAC=∠DAC，再利用SAS定理便可证明其全等． 【详解】略 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定，关键是找准能使三角形全等的条件． 17. 九年级某班同学在毕业晚会中进行抽奖活动，在一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3．随机摸出一个小球记下标号后放回搅匀，再从中随机摸出一个小球记下标号．规定当两次摸出的小球标号相同时中奖，求中奖的概率，请用画树状图或列表法的方法求中奖的概率． 【答案】． 【解析】 【分析】】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的小球标号相同时的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】解：画树状图得： 则共有9种等可能的结果，两次摸出的小球标号相同时的情况有3种， 所以中奖的概率＝＝． 【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 18. 图①，图②均是的正方形网格，点、、均在格点上，请在给定的网格中用无刻度的直尺作图，并保留作图痕迹． （1）在图①中，作的中线； （2）在图②中，作的高线． 【答案】（1） 如图中，线段即为所求； （2） 如图中，线段即为所求． 【解析】 【分析】本题考查作图应用与设计作图，三角形的角平分线，中线，高的定义等知识，解题的关键是理解三角形的中线，高的定义． （1）利用平行四边形的对角线互相平分解决问题即可； （2）取格点，连接交于点，线段即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 四、解答题(每小题7分，共28分) 19. 每年的月日是全国爱眼日，眼睛是人类感官中最重要的器官之一，不当的用眼习惯会影响健康，某校在爱眼日到来之际，计划购买、两类护眼用具，已知类护眼用具每个的价格比类护眼用具便宜元，且用元购买的类护眼用具的个数与用元购买的类用具的个数相同，求、两类护眼用具的单价各是多少元？ 【答案】类护眼用具的单价为元，类护眼用具的单价为元 【解析】 【分析】设类护眼用具的单价为元，则类护眼用具的单价为元，根据用元购买的类护眼用具的个数与用元购买的类用具的个数相同．列出分式方程，解方程即可． 本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 【详解】解：设类护眼用具的单价为元，则类护眼用具的单价为元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：类护眼用具的单价为元，类护眼用具的单价为元． 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴、轴交于点、，与反比例函数的图象交于点，连接．已知点，的面积是2． （1）求、的值； （2）求的面积． 【答案】（1）4；6 （2）6 【解析】 【分析】（1）由点B（0，4）在一次函数y=2x+b的图象上，代入求得b=4，由△BOC的面积是2得出C的横坐标为1，代入直线关系式即可求出C的坐标，从而求出k的值； （2）根据一次函数的解析式求得A的坐标，然后根据三角形的面积公式代入计算即可． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象轴交于点， ∴，OB=4， ∴一次函数解析式为， 设点C（m，n）， ∵的面积是2． ∴，解得：m=1， ∵点C在一次函数图象上， ∴， ∴点C（1，6）， 把点C（1，6）代入得：k=6； 【小问2详解】 当y=0时，，解得：x=-2， ∴点A（-2，0）， ∴OA=2， ∴． 【点睛】本题是一次函数与反比例函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，求出C的坐标是解题的关键． 21. 如图，一艘轮船位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔海里的处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的南偏东方向上的处，这时，处距离灯塔有多远？（结果保留整数，参考数据：，，，） 【答案】处距离灯塔约海里 【解析】 【分析】过点作于点，由题意可知，，，在中，根据锐角三角函数求得，继而在中，根据锐角三角函数得即可求解． 此题主要考查了解直角三角形的应用方向角问题，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线． 【详解】解：过点作于点， ， 由题意可知，，， 在中，， （海里）． 在中，， （海里）． 答：处距离灯塔约海里． 22. 为落实“双减”政策，优化作业管理，某中学从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们每天完成书面作业的时间t（单位：分钟）．按照完成时间分成五组：A组“t≤45”，B组“45＜t≤60”，C组“60＜t≤75”，D组“75＜t≤90”，E组“t＞90”．将收集的数据整理后，绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）这次调查的样本容量是 ，请补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，B组的圆心角是 度，本次调查数据的中位数落在 组内； （3）若该校有1800名学生，请你估计该校每天完成书面作业不超过90分钟的学生人数． 【答案】（1）100，补全的条形统计图如图所示： （2）72，C； （3）估计该校每天完成书面作业不超过90分钟的学生有1710人． 【解析】 【分析】（1）根据C组的人数和所占的百分比，可以计算出本次调查的人数，然后即可计算出D组的人数，从而可以将条形统计图补充完整； （2）根据统计图中的数据，可以计算出B组的圆心角的度数，以及中位数落在哪一组； （3）根据题意和统计图中的数据，可以计算出该校每天完成书面作业不超过90分钟的学生人数． 【小问1详解】 这次调查的样本容量是：25÷25%=100， D组的人数为：100-10-20-25-5=40， 补全的条形统计图如图所示： 故答案为：100； 【小问2详解】 在扇形统计图中，B组的圆心角是：360°×=72°， ∵本次调查了100个数据，第50个数据和51个数据都在C组， ∴中位数落在C组， 故答案为：72，C； 【小问3详解】 1800×=1710（人）， 答：估计该校每天完成书面作业不超过90分钟的学生有1710人． 【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、中位数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 五、解答题(每小题8分，共16分) 23. 已知A、B两地之间有一条长440千米的高速公路．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，沿此公路相向而行，甲车先以100千米/时的速度匀速行驶200千米后与乙车相遇，再以另一速度继续匀速行驶4小时到达B地；乙车匀速行驶至A地，两车到达各自的目的地后停止．两车距A地的路程y（千米）与各自的行驶时间x（时）之间的函数关系如图所示． （1）_______，_______； （2）求两车相遇后，甲车距A地的路程y与x之间的函数关系式； （3）当乙车到达A地时，求甲车距A地的路程． 【答案】（1）2.6 （2）甲车距A地的路程y与x之间的函数关系式（2≤x≤6） （3）300千米 【解析】 【分析】（1）先根据甲乙两车相遇时甲车行驶的路程除以速度可求出m的值，再用m的值加4即可得n的值； （2）由（1）得（2，200）和（6，440），再运用待定系数法求解即可； （3）先求出乙车的行驶速度，从而可求出行驶时间，代入函数关系式可得结论． 【小问1详解】 根据题意得，（时） （时） 故答案为：2.6； 【小问2详解】 由（1）得（2，200）和（6，440）， 设相遇后，甲车距A地的路程y与x之间的函数关系式为 则有：， 解得， 甲车距A地的路程y与x之间的函数关系式（2≤x≤6） 【小问3详解】 甲乙两车相遇时，乙车行驶的路程为440-200=240千米， ∴乙车的速度为：240÷2=120（千米/时） ∴乙车行完全程用时为：440÷120=（时） ∵ ∴当时，千米， 即：当乙车到达A地时，甲车距A地的路程为300千米 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，读懂图象是解答本题的关键． 24. 某数学活动小组在学完特殊的平行四边形之后，针对矩形中的折叠问题进行了研究． 如图①，在矩形中，，，点P为边上一点，将矩形沿折叠，点E为点B折叠后的对应点，过点E作，交折痕于点F，连接． （1）猜想四边形的形状，并证明你的结论； （2）如图②，连接，当点E落在上时，的长是多少？（用含a的代数式表示） （3）如图③，当点E落在上时，若，求的长． 【答案】（1） 解：四边形是菱形，证明如下： 由折叠可知：，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）a （3） 【解析】 【分析】本题考查矩形和折叠性质、平行线的性质、等腰三角形的判定、菱形的判定、勾股定理等知识，掌握折叠性质是解答的关键． （1）先根据折叠性质和平行线的性质证得，，，结合等腰三角形的判定证得，然后利用菱形的判定得出结论； （2）先利用勾股定理求得，再利用折叠性质得到，， 在中，利用勾股定理求得即可； （3）在中，利用勾股定理求得即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在矩形中，， ∵，， ∴， 由折叠可知，， ∵ ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问3详解】 解：∵， ∴，， 在中，，， ∴， ∴（负值舍去）， ∴． 六、解答题(每小题10分，共20分) 25. 如图，在等腰中，，，动点由点出发，沿边以的速度运动到点停止，过作交或边于点，过点作的平行线与过点作的平行线交于点． （1）填空：______； （2）当点在边上时，求的值； （3）与重合部分图形的面积为S，用含的代数式表示，并直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）t=2 （3） 【解析】 【分析】根据勾股定理求解即可； 根据题意得，，求出，的表达式，根据列方程即可求出的值； 当时，重合部分的面积为的面积；当时，重合部分的面积为四边形的面积；当时，重合部分的面积为的面积，分情况分别求解即可． 【小问1详解】 ∵在等腰中，，， ， 故答案为：； 【小问2详解】 如图，是等腰直角三角形， ， ， 是等腰直角三角形， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ； 【小问3详解】 当时，重合部分的面积为的面积， ； 当时，如图所示，设，分别交于点，， ，， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ； 当时，如图所示， ． 综上所述，． 【点睛】本题考查了三角形综合题，考查分类讨论的思想，分三种情况分别求重合部分的面积是解题的关键． 26. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数的图象经过点，点P是抛物线上一点(不与点A重合)，其横坐标为m．以为对角线作矩形，垂直于y轴． （1）求抛物线的解析式和顶点坐标； （2）当矩形内部的图象从左到右逐渐上升时，求m的取值范围； （3）当矩形内部的图象(包括边界)的最高点纵坐标与最低点的纵坐标之差为4时，求m的值； （4）设点P的纵坐标为n，当该抛物线上有四个点到直线的距离是到直线距离的2倍时，直接写出n的取值范围． 【答案】（1）， （2）且时，矩形内部的图象从左到右逐渐上升 （3）或或 （4）且时，抛物线上有四个点到直线的距离是到直线距离的倍 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合解题是关键． （1）将点代入，即可求解； （2）由题意，结合图象，可得且时，矩形内部的图象从左到右逐渐上升； （3）分两种情况讨论：当点在的下方时，矩形内部的图象的最高点纵坐标为，最低点纵坐标为，则解得；当点在的上方时，矩形内部的图象的最低点纵坐标为，最高点纵坐标为，则，解得或； （4）在矩形内部，在边上取点，使，过点作直线，则与抛物线始终有两个交点，且交点到直线的距离是到直线距离的倍，作直线关于直线的对称直线，则上的点到直线的距离是到直线距离的倍，由题意可知只需与抛物线有两个交点即可． 【小问1详解】 解：将点代入， ， 解得， ， 顶点为； 【小问2详解】 解：如图，当时，， 解得或， 垂直于轴，为对角线作矩形， 轴， 点横坐标为， 且时，矩形内部的图象从左到右逐渐上升； 【小问3详解】 解：当点在的下方时，矩形内部的图象的最高点纵坐标为， 最高点纵坐标与最低点的纵坐标之差为， 最低点纵坐标为， ， 解得； 当点在的上方时，矩形内部的图象的最低点纵坐标为， 最高点纵坐标与最低点的纵坐标之差为， 最高点纵坐标为， ， 解得或； 综上所述：或或； 【小问4详解】 解：如图，在矩形内部，在边上取点，使， 过点作直线，则与抛物线始终有两个交点，且交点到直线的距离是到直线距离的倍， 作直线关于直线的对称直线，则上的点到直线的距离是到直线距离的倍， 抛物线上有四个点到直线的距离是到直线距离的倍， 只需与抛物线有两个交点即可， 当经过点时，， 且时，抛物线上有四个点到直线的距离是到直线距离的倍． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $