山东省沂水县第一中学2024-2025学年高一上学期开学考试数学试题

沂水县第一中学2024级高一开学考试（数学） 考试范围：初中衔接教材+集合第1、2节 [时间：120分钟　　满分：150分] 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列研究对象能构成集合的是（    ） A．数轴上离原点距离很近的所有点 B．德育中学的全体高一学生 C．某高一年级全体视力差的学生 D．与大小相仿的所有三角形 2．若集合A＝{－x，|x|}，则x应满足(　　) A．x>0 B．x<0 C．x＝0 D．x≤0 3．下列集合与集合相等的是（    ） A． B． C． D． 4．已知，化简的结果为（   ） A． B．1 C． D． 5．若多项式可因式分解成，其中、、均为整数，则（　　） A． B． C． D． 6．如图，直线与双曲线相交于点、，那么不等式的解集是（    ） A． B． C．或 D． 7．已知x，y为非零实数，则集合M＝{m|m＝＋＋}为(　　) A．{0，3} B．{1，3} C．{－1，3} D．{1，－3} 8．设集合，，，则下列关系中正确的是（　　） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的有（　　） A．N与N*是同一个集合 B．N中的元素都是Z中的元素 C．Q中的元素都是Z中的元素 D．Q中的元素都是R中的元素 10．下列集合中子集个数等于1的是（    ） A． B．是边长分别为的三角形} C． D． 11．如图，抛物线经过点，．下列结论中正确是（   ） A． B． C．若抛物线上有点，，，则 D．方程的解为， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是 ． 13．若集合，，且，则实数的值是_________. 14．已知非空集合，满足：若，则必有，若集合S是U的真子集，则集合S的数量为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）（1）计算： （2）求不等式组的解集． （3）先化简，再求值：，其中 16．（15分）如图，某校劳动实践基地用总长为80m的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为42m．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为x(单位：m)，与墙平行的一边长为y(单位：m)，面积为S(单位：)． (1)直接写出y与x，S与x之间的函数解析式(不要求写x的取值范围)； (2)矩形实验田的面积S能达到吗？如果能，求x的值；如果不能，请说明理由． (3)当x的值是多少时，矩形实验田的面积S最大？最大面积是多少？ 17．（15分）（1）设集合，，当时，求实数的取值范围. （2）已知，．若，求实数a的取值范围． 18．（17分）已知函数（a，b为常数）．设自变量x取时，y取得最小值． (1)若，，求的值； (2)在平面直角坐标系中，点在双曲线上，且．求点P到y轴的距离； (3)当，且时，分析并确定整数a的个数． 19．（17分）设数集由实数构成，且满足：若（且），则. (1)若，试证明中还有另外两个元素； (2)集合是否为双元素集合，并说明理由； (3)若中元素个数不超过8个，所有元素的和为，且中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合. 2024级高一开学考试（数学） [时间：120分钟　　满分：150分] 1. 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列研究对象能构成集合的是（    ） A．数轴上离原点距离很近的所有点 B．德育中学的全体高一学生 C．某高一年级全体视力差的学生 D．与大小相仿的所有三角形 答案 B 解析 对A，数轴上离原点距离很近的所有点不满足集合中元素的确定性，故A错误； 对B，德育中学的全体高一学生满足集合中元素的确定性，故B正确； 对C，某高一年级全体视力差的学生不满足集合中元素的确定性，故C错误； 对D，与大小相仿的所有三角形不满足集合中元素的确定性，故D错误故选B 2．若集合A＝{－x，|x|}，则x应满足(　　) A．x>0 B．x<0 C．x＝0 D．x≤0 答案　A 解析　由元素的互异性可知|x|≠－x，∴x>0. 3．下列集合与集合相等的是（    ） A． B． C． D． 答案 C 解析 对于A和B：集合中的元素代表点，与集合不同，A、B错误； 对于C：由得：或，与集合元素相同，C正确； 对于D：表示两个代数式的集合，与集合不同，D错误.故选C. 4．已知，化简的结果为（   ） A． B．1 C． D． 答案 B 解析 ：， ∵， ∴，∴，∴，故选B． 5．若多项式可因式分解成，其中、、均为整数，则（　　） A． B． C． D． 答案 A 解析： ．，，．故选A． 6．如图，直线与双曲线相交于点、，那么不等式的解集是（    ） A． B． C．或 D． 答案 C 解析：解集从图形上来看就是直线在双曲线的上方，观察图象得，不等式的解集是或，故选C． 7．已知x，y为非零实数，则集合M＝{m|m＝＋＋}为(　　) A．{0，3} B．{1，3} C．{－1，3} D．{1，－3} 答案　C 解析　当x>0，y>0时，m＝3；当x<0，y<0时，m＝－1；当x>0，y<0时，m＝－1；当x<0，y>0时，m＝－1.故M＝{－1，3}． 8．设集合，，，则下列关系中正确的是（　　） A． B． C． D． 答案B 解析 ，， 中的元素为点，故，故选B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的有（　　） A．N与N*是同一个集合 B．N中的元素都是Z中的元素 C．Q中的元素都是Z中的元素 D．Q中的元素都是R中的元素 答案 BD 解析 因为N*表示正整数集，N表示自然数集，不是同一个集合， Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集， 所以A、C中的说法不正确，B、D中的说法正确．故选BD. 10．下列集合中子集个数等于1的是（    ） A． B．是边长分别为的三角形} C． D． 答案 ABC 解析 A．，子集数为1； B．是边长分别为的三角形}，子集个数为1； C．，子集个数为1： D．是非空集，集合含有1个元素，所以子集个数为2．故选ABC 11．如图，抛物线经过点，．下列结论中正确是（   ） A． B． C．若抛物线上有点，，，则 D．方程的解为， 答案 AC 解析：根据二次函数图象可知：，，， ∴，∴，故A正确； 将点，代入得出：， 得出：，∴，（或使用根与系数关系） 再代入①得出：，故B不正确； ∵，∴，， ∵，∴， 根据图象可知：离对称轴更远，， ∴，故C正确； ∵方程，∴， ∴，∴，故D不正确；故选AC． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是 ． 答案 且 解析 ：∵关于的一元二次方程，∴，即， ∵方程有两个实数根，∴，解得， ∴的取值范围是且. 13．若集合，，且，则实数的值是_________. 答案 或0 解析：当时，可得，符合题意， 当时，，当时，，综上，的值为或. 14．已知非空集合，满足：若，则必有，若集合S是U的真子集，则集合S的数量为 . 答案 6 解析 因为非空集合，且若，则必有， 则有1必有6，有2必有5，有3必有4， 又集合S是U的真子集，那么满足上述条件的集合S可能为： ，，，，，，共6个. 所以满足条件的集合S共有6个.故答案为6. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）（1）计算： （2）求不等式组的解集． （3）先化简，再求值：，其中 解：（1）原式. .............4分 （2）， 由不等式①得：； 由不等式②得：； ∴原不等式组的解集为；   ............8分 （3）原式 ；   当时，原式．............ 13分 16．如图，某校劳动实践基地用总长为80m的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为42m．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为x(单位：m)，与墙平行的一边长为y(单位：m)，面积为S(单位：)． (1)直接写出y与x，S与x之间的函数解析式(不要求写x的取值范围)； (2)矩形实验田的面积S能达到吗？如果能，求x的值；如果不能，请说明理由． (3)当x的值是多少时，矩形实验田的面积S最大？最大面积是多少？ 解（1），， ，；............5分 （2），， ，，当时，， ，，， 当时，矩形实验田的面积能达到；............10分 （3）， 当时，有最大值．............15分 17．（1）设集合，，当时，求实数的取值范围. （2）已知，．若，求实数a的取值范围． 解：（1）. ............1分 当，即时，，； ............ 4分 当时，， 因此，要使，则需，解得. 综上所述，的取值范围是或。 ............ 7分 （2）． ............9分 因为，所以或或或． 当时，方程的判别式，即． 当时，有，所以． 当时，有不成立． 当时，有不成立．综上所述，实数a的取值范围为．............15分 18．已知函数（a，b为常数）．设自变量x取时，y取得最小值． (1)若，，求的值； (2)在平面直角坐标系中，点在双曲线上，且．求点P到y轴的距离； (3)当，且时，分析并确定整数a的个数． 解（1） ， 当时，y取得最小值8； ............ 5分 （2）∵点在双曲线上，∴， ∴ ，∵， ∴，化解得，解得或，则点或， ∴点P到y轴的距离为2或1； ............12分 （3） ， ∵， ∴， ∴，∵， ∴，化简得， ∴，则整数a有4个． ............17分 19．设数集由实数构成，且满足：若（且），则. (1)若，试证明中还有另外两个元素； (2)集合是否为双元素集合，并说明理由； (3)若中元素个数不超过8个，所有元素的和为，且中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合. 解析（1）由题意得若，则； 又因为，所以； 即集合中还有另外两个元素和. ............5分 （2）由题意，若（且），则，则，若则，所以集合中应包含，故集合不是双元素集合. ............ 10分 （3）由（2）得集合中的元素个数应为3或6， 因为且中有一个元素的平方等于所有元素的积， 所以中应有6个元素，且其中一个元素为， 由结合条件可得， 又因为，所以剩余三个元素和为， 即， 解得，故. ............17分 学科网（北京）股份有限公司 $$