第10讲 反比例函数图象与性质（5个知识点+5种题型+分层练习）-2024-2025学年八年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版）

第10讲 反比例函数图象与性质（5个知识点+5种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．反比例函数的定义 （1）反比例函数的概念 形如y＝（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数．其中x是自变量，y是函数，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数． （2）反比例函数的判断 判断一个函数是否是反比例函数，首先看看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的意义去判断，其形式为y＝（k为常数，k≠0）或y＝kx﹣1（k为常数，k≠0）． 知识点2．反比例函数的图象 用描点法画反比例函数的图象，步骤：列表﹣﹣﹣描点﹣﹣﹣连线． （1）列表取值时，x≠0，因为x＝0函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以以“0”为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y值． （2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连线，使画出的图象更精确． （3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线． （4）由于x≠0，k≠0，所以y≠0，函数图象永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴． 知识点3．反比例函数图象的对称性 反比例函数图象的对称性： 反比例函数图象既是轴对称图形又是中心对称图形，对称轴分别是：①二、四象限的角平分线Y＝﹣X；②一、三象限的角平分线Y＝X；对称中心是：坐标原点． 知识点4．反比例函数的性质 反比例函数的性质 （1）反比例函数y＝（k≠0）的图象是双曲线； （2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小； （3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大． 注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点． 知识点5．反比例函数图象上点的坐标特征 反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线， ①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k； ②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称； ③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|． 题型强化 题型一．反比例函数的定义 1．（2022秋•青浦区期中）下列关系式中的两个量成反比例的是　　 A．圆的面积与它的半径 B．正方形的周长与它的边长 C．路程一定时，速度与时间 D．长方形一条边确定时，周长与另一边 2．（2022秋•普陀区校级期中）已知函数是反比例函数，则的取值范围是 　　． 3．（2020秋•静安区期末）已知，与成反比例，与成正比例，且当时，，． （1）求关于的函数解析式； （2）求当时的函数值． 题型二．反比例函数的图象 4．（2023秋•虹口区校级期末）设，那么函数和在同一平面直角坐标系中的大致图象是　　 A． B． C． D． 5．（2023秋•普陀区校级期中）函数和，且的图象大致是　　 A． B． C． D． 题型三．反比例函数图象的对称性 6．关于双曲线的图象，以下说法正确的是　　 A．双曲线的两支既关于轴对称又关于轴对称 B．双曲线的两支既不关于轴对称又不关于轴对称 C．双曲线的两支不关于轴对称但关于轴对称 D．双曲线的两支关于轴对称但不关于轴对称 7．如图，反比例函数的图象与经过原点的直线相交于、两点，已知点坐标为，那么点的坐标为 　　． 8．如图，点是反比例函数与的一个交点，图中阴影部分的面积为，则反比例函数的解析式为　　． 题型四．反比例函数的性质 9．（2023秋•长宁区校级期末）已知反比例函数的图象在每个象限内，随的值增大而减小，那么常数的取值范围是 　　． 10．（2023秋•崇明区期末）已知函数中，随的增大而减小，那么反比例函数图象在　　 A．第二、四象限内 B．第一、二象限内 C．第三、四象限内 D．第一、三象限内 11．（2023秋•静安区校级期末）函数的图象经过的象限是 　　． 题型五．反比例函数图象上点的坐标特征 12．（2023秋•松江区期末）若点、、都在反比例函数的图象上，则有　　 A． B． C． D． 13．（2023秋•长宁区校级期末）如果点、点，都在函数的图象上，且，那么的取值范围是 　　 14．（2022秋•青浦区校级期中）若和是关于的方程的两个不相等实数根，且是非负整数． （1）求的值； （2）反比例函数图象过点（其中，求的值． 分层练习 一、单选题 1．下列函数中，是反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 2．已知反比例函数，下列说法中错误的是（    ） A．图像经过点 B．图像位于第二、四象限 C．图像关于直线对称 D．随的增大而增大 3．若反比例函数的图象经过点，则反比例函数的图象在（    ） A．一、二象限 B．三、四象限 C．一、三象限 D．二、四象限 4．若点，，都在反比例函数的图象上，则（    ） A． B． C． D． 5．现有一水塔，水塔内装有水40m3，如果每小时从排水管中放水x(m3)，则要经过y(h)就可以把水放完该函数的图像大致应是下图中的（    ） A． B． C． D． 6．如图，点A、B在函数y＝（x＞0，k＞0且k是常数）的图象上，且点A在点B的左侧过点A作AM⊥x轴，垂足为M，过点B作BN⊥y轴，垂足为N，AM与BN的交点为C，连结AB、MN．若△CMN和△ABC的面积分别为1和4，则k的值为（    ）    A．4 B．4 C． D．6 二、填空题 7．已知反比例函数y＝﹣，当自变量x≤﹣1时，函数值y的取值范围是 ． 8．若函数是反比例函数，则的值为 ． 9．已知反比例函数经过点和点，则的值为 ． 10．点在反比例函数的图象上．若轴于点，则的面积为 ． 11．已知反比例函数（m为常数）的图象在一、三象限，则m的取值范围为 ． 12．如图，直线与双曲线交于点A，B，已知点A的坐标为，则点B的坐标为 . 13．如图，过原点的直线与反比例函数（）的图象交于，两点，点在第一象限．点在轴正半轴上，连结交反比例函数图象于点．为的平分线，过点作的垂线，垂足为，连结．若是线段中点，的面积为4，则的值为 ． 14．反比例函数的图像过点与点，若、同号，则此图像在第 象限，用含、的式子表示 ． 15．如图，一次函数y1＝﹣x+4的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，若y1＜y2，则自变量x的取值范围为 ． 16．如图，曲线是双曲线绕原点逆时针旋转得到的图形，是双曲线上任意一点，点在直线上，且，则的面积等于 17．如图，在平面直角坐标系中．点A、B在反比例函数y＝的图象上运动，且始终保持线段AB＝4的长度不变，M为线段AB的中点，连接OM，则线段OM的长度是 ．    18．如图，正方形的顶点A、C分别在x轴、y轴正半轴上，顶点B在双曲线（x＞0）上，顶点D在双曲线（x＜0）上，则正方形的面积为 ． 三、解答题 19．已知关于x的函数图象经过点． (1)用含m的代数式表示n； (2)当时，若反比例函数的图象也经过点A，求k的值． 20．云南某山区冬季经常缺水，政府在山顶修建了一大型蓄水池．据统计，按每天用水立方米计算，蓄水池剩余的水一个月（30天）刚好用完．如果每天的用水量为x立方米，那么这个蓄水池的水能维持y天． (1)写出y与x之间的函数表达式； (2)如果每天用水立方米，那么蓄水池剩余的水能维持多少天？ 21．某课外小组做气体实验时，对一定质量气体的压强（单位：）和体积（单位：）进行了测量，测量结果如图所示． (1)求函数解析式； (2)当气体体积为时，压强是多少？ 22．综合与实践：如何称量一个空矿泉水瓶的重量？ 器材：如图1所示的一架自制天平，支点固定不变，左侧托盘固定在点处，右侧托盘的点可以在横梁段滑动．已知，，一个的砝码． 链接：根据杠杆原理，平衡时：左盘物体重量右盘物体重量（不计托盘与横梁重量）． (1)左侧托盘放置砝码，右侧托盘放置物体，设右侧托盘放置物体的重量为，长．当天平平衡时，求关于的函数表达式，并求的取值范围； (2)由于一个空的矿泉水瓶太轻无法称量，小组进行如下操作：左侧托盘放置砝码，右侧托盘放置矿泉水瓶，如图2．滑动点至点，空瓶中加入适量的水使天平平衡，再向瓶中加入等量的水，发现点移动到长为时，天平平衡．求这个空矿泉水瓶的重量． 23．某水果生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种水果，如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度与时间之间的函数关系，其中线段，表示恒温系统开启后阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段． 请根据图中信息解答下列问题： (1)这个恒温系统设定的恒定温度为多少℃； (2)求全天的温度y与时间之间的函数关系式； (3)若大棚内的温度低于不利于新品种水果的生长，问这天内，相对有利于水果生长的时间共多少小时？ 24．如图，在左边托盘（固定）中放置一个重物，在右边托盘（可左右移动）中放置一定质量的砝码，可使得仪器左右平衡．改变托盘与点的距离，记录相应的托盘中的砝码质量，得到如表： 托盘与点的距离 10 15 20 25 30 托盘中的砝码质量 30 20 15 12 10 (1)把表中、的各组对应值作为点的坐标，在如图所示的平面直角坐标系中描出这些点，并用一条光滑曲线连接起来； (2)观察所画的图象，猜测与之间的函数关系，求出该函数表达式； (3)当砝码质量为时，求托盘与点的距离； (4)当托盘向左移动（不能移动到点）时，应往托盘中添加砝码还是减少砝码？为什么？ 25．小明发现用吸管吹气，能发出不同的音调．通过查阅资料，他得知：用吸管吹气时，吸管内部的空气振动导致声音产生，而吸管的长度影响了空气振动的频率，并最终决定了音调的不同，所以发出不同的音调． 小明和同学动手试验，并按以下步骤操作：①将若干根同规格的吸管剪成不同的长度；②用同样的力气通过吸管吹气，借助仪器记录下吸管中空气振动的频率；③将吸管的长度和相应吸管中空气振动的频率分别记为和，对收集到的数据检查、整理；④将整理所得的数据对应的点在平面直角坐标系中描出，绘制成如图所示的与对应关系的散点图． (1)表1记录了收集到的四组数据，同学们在仔细检查、整理数据时，发现这四组数据中的一组有错，请直接写出有出错的这组数据______（填写组别代号），不必说明理由； （表1） 数据组别 吸管的长度 60 80 100 100 空气振动的频率 1.43 1.08 0.86 0.42 (2)根据散点图，同学们猜想与的对应关系符合初中阶段已学过的一种函数关系，并将由每组数据计算所得的系数（精确到个位）作为与的对应关系中的系数．小明根据表2的数据剪出合适长度的吸管，成功地吹奏出的音． （表2） 音调      频率 0.26 0.29 0.33 0.35 0.39 0.44 0.49 你知道小明剪出的吸管长度是多少（精确到个位）？并说明你的理由． 26．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点A，B，点B的横坐标是4．点P是第一象限内反比例函数图象上的动点，且在直线AB的上方． （1）求k的值； （2）设直线PA，PB与x轴分别交于点M，N，求证：△PMN是等腰三角形； （3）设点Q是反比例函数图象上位于P，B之间的动点（与点P，B不重合），连接AQ，BQ，比较∠PAQ与∠PBQ的大小，并说明理由． 27．已知函数，请根据已学知识探究该函数的图象和性质过程如下： （1）该函数自变量的取值范围为； （2）下表列出y与x的几组对应值，请在平面直角坐标系中描出下列各点，并画出函数图象； x … -1 2 … y … 3 2 1 … （3）结合所画函数图象，解决下列问题： ①写出该函数图象的一条性质：； ②横、纵坐标均为整数的点称为整点，若直线y= -x+b的图象与该图象相交形成的封闭图形（包含边界）内刚好有6个整点，则b的取值范围为． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲 反比例函数图象与性质（5个知识点+5种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．反比例函数的定义 （1）反比例函数的概念 形如y＝（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数．其中x是自变量，y是函数，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数． （2）反比例函数的判断 判断一个函数是否是反比例函数，首先看看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的意义去判断，其形式为y＝（k为常数，k≠0）或y＝kx﹣1（k为常数，k≠0）． 知识点2．反比例函数的图象 用描点法画反比例函数的图象，步骤：列表﹣﹣﹣描点﹣﹣﹣连线． （1）列表取值时，x≠0，因为x＝0函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以以“0”为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y值． （2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连线，使画出的图象更精确． （3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线． （4）由于x≠0，k≠0，所以y≠0，函数图象永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴． 知识点3．反比例函数图象的对称性 反比例函数图象的对称性： 反比例函数图象既是轴对称图形又是中心对称图形，对称轴分别是：①二、四象限的角平分线Y＝﹣X；②一、三象限的角平分线Y＝X；对称中心是：坐标原点． 知识点4．反比例函数的性质 反比例函数的性质 （1）反比例函数y＝（k≠0）的图象是双曲线； （2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小； （3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大． 注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点． 知识点5．反比例函数图象上点的坐标特征 反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线， ①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k； ②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称； ③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|． 题型强化 题型一．反比例函数的定义 1．（2022秋•青浦区期中）下列关系式中的两个量成反比例的是　　 A．圆的面积与它的半径 B．正方形的周长与它的边长 C．路程一定时，速度与时间 D．长方形一条边确定时，周长与另一边 【分析】根据反比例函数的定义解答即可． 【解答】解：、圆的面积半径，不是反比例函数，故本选项不符合题意； 、正方形的周长边长，不是反比例函数，故本选项不符合题意； 、路程一定时，速度和时间的关系，是反比例函数，故本选项符合题意； 、长方形一条边确定时，周长与另一边的关系，不是反比例关系，故本选项不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了反比例函数，熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键．要注意：反比例函数的判断：判断一个函数是否是反比例函数，首先看看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的意义去判断，其形式为为常数，或为常数，． 2．（2022秋•普陀区校级期中）已知函数是反比例函数，则的取值范围是 　且　． 【分析】直接根据反比函数的定义和二次根式有意义的条件计算即可． 【解答】解：函数是反比例函数， 且， 解得且， 故答案为：且． 【点评】本题考查了反比函数的定义和二次根式有意义的条件，熟练掌握各知识点是解题的关键． 3．（2020秋•静安区期末）已知，与成反比例，与成正比例，且当时，，． （1）求关于的函数解析式； （2）求当时的函数值． 【分析】（1）设，，把，和，分别代入求解即可得到答案； （2）把代入解析式计算可得答案． 【解答】解：（1）设，， ， 把，和，分别代入得， 解得， 关于的函数解析式为； （2）当时，． 【点评】此题考查的是反比例函数的定义、正比例函数的定义，掌握其概念是解决此题关键． 题型二．反比例函数的图象 4．（2023秋•虹口区校级期末）设，那么函数和在同一平面直角坐标系中的大致图象是　　 A． B． C． D． 【分析】根据正比例函数的性质：，图象经过原点，在第一、三象限；反比例函数的性质：，图象在第二、四象限的双曲线可得答案． 【解答】解：， ， 函数的图象经过原点，在第一、三象限， ， 的图象在第二、四象限， 故选：． 【点评】此题主要考查了正比例函数和反比例函数的性质，关键是掌握两个函数的性质． 5．（2023秋•普陀区校级期中）函数和，且的图象大致是　　 A． B． C． D． 【分析】首先根据且，可得，再根据正比例函数的性质可得的图象在第一三象限，根据反比例函数的性质可得的图象在第二四象限，进而可选出答案． 【解答】解：且， ， 的图象在第一三象限， 的图象在第二四象限， 故选：． 【点评】此题主要考查了正比例函数与反比例函数的性质，关键是熟练掌握两个函数的性质． 题型三．反比例函数图象的对称性 6．关于双曲线的图象，以下说法正确的是　　 A．双曲线的两支既关于轴对称又关于轴对称 B．双曲线的两支既不关于轴对称又不关于轴对称 C．双曲线的两支不关于轴对称但关于轴对称 D．双曲线的两支关于轴对称但不关于轴对称 【分析】根据反比例函数图象的中心对称性进行判断． 【解答】解：双曲线的图象既关于原点成中心对称，又关于成轴对称，则双曲线的两支既不关于轴对称又不关于轴对称． 故选：． 【点评】本题考查了反比例函数图象的对称性．反比例函数图象既是轴对称图形又是中心对称图形，对称轴分别是：①第二、四象限的角平分线；②第一、三象限的角平分线；对称中心是坐标原点． 7．如图，反比例函数的图象与经过原点的直线相交于、两点，已知点坐标为，那么点的坐标为 　　． 【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称． 【解答】解：点与关于原点对称，点的坐标为， 点的坐标为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性，要求同学们要熟练掌握． 8．如图，点是反比例函数与的一个交点，图中阴影部分的面积为，则反比例函数的解析式为　　． 【分析】根据圆的对称性以及反比例函数的对称性可得，阴影部分的面积等于圆的面积的，即可求得圆的半径，再根据在反比例函数的图象上，以及在圆上，即可求得的值． 【解答】解：设圆的半径是，根据圆的对称性以及反比例函数的对称性可得： 解得：． 点是反比例函数与的一个交点． ． ． ， 则反比例函数的解析式是：． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了反比例函数图象的对称性，正确根据对称性求得圆的半径是解题的关键． 题型四．反比例函数的性质 9．（2023秋•长宁区校级期末）已知反比例函数的图象在每个象限内，随的值增大而减小，那么常数的取值范围是 　　． 【分析】根据反比例函数的性质，可知，然后求解即可． 【解答】解：反比例函数的图象在每个象限内，随的值增大而减小， ， 解得， 故答案为：． 【点评】本题考查反比例函数的性质、反比例函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答． 10．（2023秋•崇明区期末）已知函数中，随的增大而减小，那么反比例函数图象在　　 A．第二、四象限内 B．第一、二象限内 C．第三、四象限内 D．第一、三象限内 【分析】据“正比例函数中，随的增大而减小”可以确定的符号，然后由的符号确定反比例函数所在的象限． 【解答】解：在正比例函数中，随的增大而减小， ， 反比例函数图象在第二、四象限； 故选：． 【点评】本题考查了反比例函数的性质、正比例函数的性质，熟知自变量函数、反比例函数的性质是解题的关键． 11．（2023秋•静安区校级期末）函数的图象经过的象限是 　一、三　． 【分析】利用反比例函数的性质结合比例系数的符号直接回答即可． 【解答】解：函数中，， 函数图象经过一、三象限， 故答案为：一、三 【点评】本题考查了反比例函数的性质，熟知反比例函数的图象是双曲线；当，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内随的增大而减小是解题的关键． 题型五．反比例函数图象上点的坐标特征 12．（2023秋•松江区期末）若点、、都在反比例函数的图象上，则有　　 A． B． C． D． 【分析】先根据反比例函数中判断出函数图象所在的象限，再得出在每一象限内函数的增减性，再根据三点横坐标的值即可判断出，，的大小． 【解答】解：反比例函数中， 函数图象的两个分支位于二四象限，且在每一象限内随的增大而增大， ， ， ， ， ． 故选：． 【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 13．（2023秋•长宁区校级期末）如果点、点，都在函数的图象上，且，那么的取值范围是 　　 【分析】利用反比例函数的性质解决问题即可． 【解答】解：点、点，都在函数的图象上，且， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查反比例函数的图象上的点的坐标特征，熟知反比例函数的性质是解题的关键． 14．（2022秋•青浦区校级期中）若和是关于的方程的两个不相等实数根，且是非负整数． （1）求的值； （2）反比例函数图象过点（其中，求的值． 【分析】（1）根据和是关于的方程的两个不相等实数根，可得△，求出的取值范围，再根据，是非负整数即可确定的值； （2）根据根与系数的关系可得，进一步可得的值． 【解答】解：（1）和是关于的方程的两个不相等实数根， △， 解得， ， ， 是非负整数， ； （2）原方程化为， ， 反比例函数图象过点（其中， ． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握这些知识是解题的关键． 分层练习 一、单选题 1．下列函数中，是反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据反比例函数的定义，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、不是反比例函数，故本选项不符合题意； B、不是反比例函数，故本选项不符合题意； C、是反比例函数，故选项符合题意； D、不是反比例函数，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的一般式是是解题的关键． 2．已知反比例函数，下列说法中错误的是（    ） A．图像经过点 B．图像位于第二、四象限 C．图像关于直线对称 D．随的增大而增大 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的图像与性质，解题的关键是熟知反比例函数的性质（当时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内随的增大而减小；当时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内随的增大而增大）．根据反比例函数的图像及性质对各选项逐一判断即可． 【详解】解：∵反比例函数， 当时，， ∴图像必经过，故A选项说法正确，不符合题意； ∵反比例函数的比例系数， ∴图像的两支分别位于第二、第四象限，且在每一象限内随的增大而增大， 故选项B说法正确，不符合题意；选项D说法不正确，符合题意， ∴图像关于直线对称，故选项C说法正确，不符合题意． 故选：D． 3．若反比例函数的图象经过点，则反比例函数的图象在（    ） A．一、二象限 B．三、四象限 C．一、三象限 D．二、四象限 【答案】C 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，先求出的值，再判断出的符号，根据反比例函数的图象与系数的关系即可得出结论． 【详解】反比例函数的图象经过点， ， ， 反比例函数的图象在一三象限． 故选：C． 4．若点，，都在反比例函数的图象上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查反比例函数的图像和性质，熟练掌握反比例函数的图像和性质是解题的关键．根据解析式求出函数值比较大小即可． 【详解】解：，，都在反比例函数的图象上， ， ， ， 故， 故选B． 5．现有一水塔，水塔内装有水40m3，如果每小时从排水管中放水x(m3)，则要经过y(h)就可以把水放完该函数的图像大致应是下图中的（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意列出关于x、y的函数解析式，根据此函数解析式的特点作出选择即可． 【详解】解：∵水塔内装有水40m3，如果每小时从排水管中放水x（m3），则要经过y（h）就可以把水放完， ∴y=， ∴x与y成反比例，四个选项中只有C是反比例函数的图象． 故选：C． 【点睛】此题比较简单，考查的是反比例函数的解析式及反比例函数图象的特点，即反比例函数y=（k≠0）的图象是双曲线，当k＞0时，函数图象在一、三象限；当k＜0时，函数图象在二、四象限． 6．如图，点A、B在函数y＝（x＞0，k＞0且k是常数）的图象上，且点A在点B的左侧过点A作AM⊥x轴，垂足为M，过点B作BN⊥y轴，垂足为N，AM与BN的交点为C，连结AB、MN．若△CMN和△ABC的面积分别为1和4，则k的值为（    ）    A．4 B．4 C． D．6 【答案】D 【分析】依题意可分别设M(a，0)，N(0，b)，由△CMN的面积可得ab的值，利用反比例函数图象上点的坐标特征可得A (a，)，B(，b)，再由△ABC的面积可列出方程，结合ab的值可求出k． 【详解】解：设点M(a，0)，N(0，b) ∵AM⊥x轴，且点A在反比例函数y=（x＞0，k＞0且k是常数）的图象上， ∴点A的坐标为(a，)， BN⊥y轴，同理可得：B(，b) 则点C(a，b) S△CMN==ab=1 ∴ab=2 ∵AC=，BC= ==4 即，且ab=2 (k﹣2)2=16 解得：k=6，k=﹣2(舍去) 故选：D． 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、三角形的面积性质，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答． 二、填空题 7．已知反比例函数y＝﹣，当自变量x≤﹣1时，函数值y的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用反比例函数的性质，由x的取值范围并结合反比例函数的图象解答，即可． 【详解】解：∵ ， ∴反比例函数y＝﹣，在每一个象限内， 随 的增大而增大， ∵当x=﹣1时， ， ∴当自变量x≤﹣1时，函数值y的取值范围是 ． 故答案为： 【点睛】本题主要考查反比例函数的性质，熟练掌握对于反比例函数 ，当k>0时，在每一个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，在每一个象限，y随x的增大而增大是解题的关键． 8．若函数是反比例函数，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查反比例函数的定义：形如(为常数，)的函数就叫做反比例函数，解题的关键是掌握反比例函数的定义． 根据反比例函数的定义列出关于方程或不等式，求解即可． 【详解】解：∵函数是反比例函数， 且， 解得：， ∴的值为2． 故答案为：2． 9．已知反比例函数经过点和点，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的性质，根据点在函数图像上的性质，直接将点的坐标代入表达式先求得的值，然后再将的坐标代入反比例函数解析式即可求得的值．掌握图像经过点就是点的坐标满足表达式是解决问题的关键． 【详解】解：∵反比例函数经过点和点， ∴，解得， 故答案为：． 10．点在反比例函数的图象上．若轴于点，则的面积为 ． 【答案】6 【分析】根据反比例函数系数的几何意义进行计算即可． 【详解】解：由反比例函数系数的几何意义可知， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数系数的几何意义，掌握反比例函数系数的几何意义是正确解答的前提． 11．已知反比例函数（m为常数）的图象在一、三象限，则m的取值范围为 ． 【答案】m＜． 【详解】解：∵（k为常数）的图象在第一、三象限， ∴1-3m＞0， 解得m＜． 故答案为：m＜． 【点睛】本题考查反比例函数的性质． 12．如图，直线与双曲线交于点A，B，已知点A的坐标为，则点B的坐标为 . 【答案】（3，-1） 【分析】根据直线y=kx（k≠0）与双曲线y=（m≠0）交于点A，B，可得点A与点B关于原点对称，再根据点A的坐标为（-3，1），即可得出点B的坐标． 【详解】解：∵直线y=kx（k≠0）与双曲线y=（m≠0）交于点A，B， ∴点A与点B关于原点对称， 又∵点A的坐标为（-3，1）， ∴点B的坐标为（3，-1）， 故答案为：（3，-1）． 【点睛】本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性，反比例函数的图象是中心对称图形，则它与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称． 13．如图，过原点的直线与反比例函数（）的图象交于，两点，点在第一象限．点在轴正半轴上，连结交反比例函数图象于点．为的平分线，过点作的垂线，垂足为，连结．若是线段中点，的面积为4，则的值为 ． 【答案】 【分析】连接OE，CE，过点A作AF⊥x轴，过点D作DH⊥x轴，过点D作DG⊥AF；由AB经过原点，则A与B关于原点对称，再由BE⊥AE，AE为∠BAC的平分线， 可得AD∥OE，进而可得S△ACE=S△AOC；设点A（m， ），由已知条件D是线段AC中点，DH∥AF，可得2DH=AF，则点D（2m，），证明△DHC≌△AGD，得到S△HDC=S△ADG，所以S△AOC=S△AOF+S梯形AFHD+S△HDC=k+k+=8；即可求解； 【详解】解：连接OE，CE，过点A作AF⊥x轴，过点D作DH⊥x轴，过点D作DG⊥AF， ∵过原点的直线与反比例函数y=（k＞0）的图象交于A，B两点， ∴A与B关于原点对称， ∴O是AB的中点， ∵BE⊥AE， ∴OE=OA， ∴∠OAE=∠AEO， ∵AE为∠BAC的平分线， ∴∠DAE=∠AEO， ∴AD∥OE， ∴S△ACE=S△AOC， ∵D是线段AC中点，的面积为4， ∴AD=DC,S△ACE=S△AOC=8， 设点A（m， ）， ∵D是线段AC中点，DH∥AF， ∴2DH=AF， ∴点D（2m，）， ∵CH∥GD，AG∥DH， ∴∠ADG=∠DCH，∠DAG=∠CDH， 在△AGD和△DHC中， ∴S△HDC=S△ADG， ∵S△AOC=S△AOF+S梯形AFHD+S△HDC=k+×（DH+AF）×FH+S△HDC =k+k+=8； ∴k=8， ∴k= . 故答案为. 【点睛】本题考查反比例函数k的意义；借助直角三角形和角平分线，将△ACE的面积转化为△AOC的面积是解题的关键． 14．反比例函数的图像过点与点，若、同号，则此图像在第 象限，用含、的式子表示 ． 【答案】 一、三 【分析】设反比例函数解析式为，可得>0，故反比例函数的图像在第一、三象限；由反比例函数的图像过点与点可得，于是. 【详解】解：设反比例函数解析式为， ∵反比例函数的图像过点， ∴， ∵、同号， ∴， ∴反比例函数的图像在第一、三象限； ∵反比例函数的图像过点与点 ∴， ∴. 故答案是：一、三；. 【点睛】本题考查了反比例函数的图像和性质，熟悉性质是解题关键. 15．如图，一次函数y1＝﹣x+4的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，若y1＜y2，则自变量x的取值范围为 ． 【答案】0＜x＜1或x＞3． 【分析】先联立方程组，求出图像的交点坐标，再利用y1＜y2时表示的一次函数在反比例函数的下方即可解题. 【详解】解：联立方程组， 解得，或， ∴A（1，3），B（3，1）， 根据图形，当0＜x＜1或x＞3时，一次函数图像在反比例函数图像下方，即y1＜y2． 故答案为0＜x＜1或x＞3． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数图像的应用，中等难度，求出交点坐标，利用图像找到取值区间是解题关键. 16．如图，曲线是双曲线绕原点逆时针旋转得到的图形，是双曲线上任意一点，点在直线上，且，则的面积等于 【答案】 【分析】将C2及直线l逆时针旋转30°使得l与y轴重合，等腰三角形△PAO的底边在y轴上，应用反比例函数比例系数k的性质解答问题． 【详解】解：由直线l的解析式易知直线l与x轴的夹角为60°， 如图，将C2及直线绕点O逆时针旋转30°，得到双曲线C3，此时直线l与y轴重合，则双曲线C3的解析式为， 过点P作PB⊥y轴于点B， ∵PA＝PO， ∴B为OA中点， ∴S△PAB＝S△POB， 由反比例函数系数k的性质可知：S△POB＝， ∴△POA的面积是， 故答案为：． 【点睛】本题为反比例函数综合题，考查了一次函数的性质、旋转的性质、反比例函数的性质以及反比例函数比例系数k的几何意义． 17．如图，在平面直角坐标系中．点A、B在反比例函数y＝的图象上运动，且始终保持线段AB＝4的长度不变，M为线段AB的中点，连接OM，则线段OM的长度是 ．    【答案】． 【分析】如图，当OM⊥AB时，线段OM长度的最小．首先证明点A与点B关于直线y＝x对称，因为点A，B在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，AB＝，所以可以假设A（m，），则B（m+4，﹣4），则（m+4）（﹣4）＝5，整理得5＝m2+4m，推出A（1，5），B（5，1），可得M（3，3），求出OM即可解决问题． 【详解】如图，因为反比例函数关于直线y＝x对称，观察图象可知：当线段AB与直线y＝x垂直时，垂足为M，此时AM＝BM，OM的值最小， ∵M为线段AB的中点， ∴OA＝OB， ∵点A，B在反比例函数y＝的图象上， ∴点A与点B关于直线y＝x对称， ∵AB＝， ∴可以假设A（m，），则B（m+4，﹣4）， ∴（m+4）（﹣4）＝5， 整理得5＝m2+4m， 解得：m＝1（负值舍去）， ∴A（1，5），B（5，1）， ∴M（3，3）， ∴OM＝， ∴线段OM的长度为． 故答案为．    【点睛】判断OM取得最小值时A，B两点的位置，熟练掌握对称两点坐标的设法，函数解析式代入求值，由坐标计算线段长度的方法是解题的关键． 18．如图，正方形的顶点A、C分别在x轴、y轴正半轴上，顶点B在双曲线（x＞0）上，顶点D在双曲线（x＜0）上，则正方形的面积为 ． 【答案】6 【分析】过点作轴，作轴于，过点作轴于，作轴于，则四边形是矩形，证明，同理可证，所以正方形的面积=，再根据反比例函数系数k的几何意义解答即可． 【详解】如图，过点作轴，作轴于，过点作轴于，作轴于，则四边形是矩形， ， 在正方形中，， 在和中， ， 同理可得 ∴正方形的面积=， ∵点在双曲线上，点在双曲线上， ∴正方形的面积 故答案为． 【点睛】本题考查了正方形的性质，反比例函数系数k的几何意义，作辅助线构造出全等三角形并把正方形的面积转化为两个矩形的面积的和是解题的关键． 三、解答题 19．已知关于x的函数图象经过点． (1)用含m的代数式表示n； (2)当时，若反比例函数的图象也经过点A，求k的值． 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）把点的坐标代入解析式，化简计算即可； （2）当时，点，代入解析式，计算即可． 本题本题考查了反比例函数与点的关系，熟练掌握这些知识是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得． （2）解：当时，此时点， 故． 20．云南某山区冬季经常缺水，政府在山顶修建了一大型蓄水池．据统计，按每天用水立方米计算，蓄水池剩余的水一个月（30天）刚好用完．如果每天的用水量为x立方米，那么这个蓄水池的水能维持y天． (1)写出y与x之间的函数表达式； (2)如果每天用水立方米，那么蓄水池剩余的水能维持多少天？ 【答案】(1) (2)36天 【分析】（1）求出蓄水池总储水量，然后得出关系式即可； （2）根据（1）中的关系式求出当时的y值即可． 【详解】（1）解：（立方米）， ∴y与x之间的函数关系式为：； （2）解：当时，（天）， ∴蓄水池剩余的水能维持36天． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的实际应用，熟练掌握反比例函数的性质和意义是解题的关键． 21．某课外小组做气体实验时，对一定质量气体的压强（单位：）和体积（单位：）进行了测量，测量结果如图所示． (1)求函数解析式； (2)当气体体积为时，压强是多少？ 【答案】(1)； (2)当气体体积为时，压强是． 【分析】（）用待定系数法可得反比例函数的解析式； （）结合（），令求出的值即可； 本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是读懂题意，求出反比例函数的解析式． 【详解】（1）设函数的解析式为， 将点的坐标代入上式得：， 解得， ∴； （2）当时，， ∴当气体体积为时，压强是． 22．综合与实践：如何称量一个空矿泉水瓶的重量？ 器材：如图1所示的一架自制天平，支点固定不变，左侧托盘固定在点处，右侧托盘的点可以在横梁段滑动．已知，，一个的砝码． 链接：根据杠杆原理，平衡时：左盘物体重量右盘物体重量（不计托盘与横梁重量）． (1)左侧托盘放置砝码，右侧托盘放置物体，设右侧托盘放置物体的重量为，长．当天平平衡时，求关于的函数表达式，并求的取值范围； (2)由于一个空的矿泉水瓶太轻无法称量，小组进行如下操作：左侧托盘放置砝码，右侧托盘放置矿泉水瓶，如图2．滑动点至点，空瓶中加入适量的水使天平平衡，再向瓶中加入等量的水，发现点移动到长为时，天平平衡．求这个空矿泉水瓶的重量． 【答案】(1)，． (2)空矿泉水瓶的重量为． 【分析】本题考查反比例函数的实际应用． （1）根据天平的杠杆原理，可以列出可以列出与之间的关系式：．即可得到反比例函数的解析式，再根据的取值范围求出的取值范围； （2）根据题意列出方程组，求解即可． 【详解】（1）解：根据链接中给的杠杆原理，可以列出与之间的关系式：． 将其化为关于的函数表达式：， 由于． ，即为． 的取值范围为． （2）解：根据素材2，设第一次加入水的质量为，空矿泉水瓶的质量为． 第一次称量时，，， 根据杠杆原理列出方程：． 第二次称量时，，， 根据杠杆原理列出方程： ． 可得方程组， 解得， 因此可得，空矿泉水瓶的重量为． 23．某水果生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种水果，如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度与时间之间的函数关系，其中线段，表示恒温系统开启后阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段． 请根据图中信息解答下列问题： (1)这个恒温系统设定的恒定温度为多少℃； (2)求全天的温度y与时间之间的函数关系式； (3)若大棚内的温度低于不利于新品种水果的生长，问这天内，相对有利于水果生长的时间共多少小时？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数、反比例函数和常函数解析式，解答时应注意临界点的应用． （1）根据图象设正比例函数解析式为，根据图象可知函数解析式．再利用待定系数法即可求出恒定温度； （2）根据图象可知整个图象由三部分组成：正比例函数、反比例函数、恒温，根据题意设函数解析式，利用待定系数法即可求出函数解析式； （3）根据各时间段的函数解析式算出时的值，用24小时减去这些时间即可． 【详解】（1）设直线的函数解析式为：，根据题意， 可得方程， ， 直线， 当时， 恒定温度为：． （2）由（1）可知：正比例函数解析式为， 根据图象可知：， 设小时内函数解析式为：， 根据题意，可得方程：， ， 函数解析式为：， 小时函数解析式为：， （3）当时，， ， 当时，， ， 在20时时4小时之间是气温是低于的， 气温低于的总时间为：， 气温高于的适宜温度是：． 24．如图，在左边托盘（固定）中放置一个重物，在右边托盘（可左右移动）中放置一定质量的砝码，可使得仪器左右平衡．改变托盘与点的距离，记录相应的托盘中的砝码质量，得到如表： 托盘与点的距离 10 15 20 25 30 托盘中的砝码质量 30 20 15 12 10 (1)把表中、的各组对应值作为点的坐标，在如图所示的平面直角坐标系中描出这些点，并用一条光滑曲线连接起来； (2)观察所画的图象，猜测与之间的函数关系，求出该函数表达式； (3)当砝码质量为时，求托盘与点的距离； (4)当托盘向左移动（不能移动到点）时，应往托盘中添加砝码还是减少砝码？为什么？ 【答案】(1)见解析 (2)猜测是关于的反比例函数， (3)当砝码质量为时，托盘与点的距离为 (4)应往托盘中添加砝码，理由见解析 【分析】本题考查了反比例函数的应用、描点法画函数图象，正确得出反比例函数解析式是解此题的关键． （1）根据表格中的数据，描点，连线即可； （2）根据图象可得是关于的反比例函数，利用待定系数法求解即可； （3）当时，，求解即可； （4）利用反比例函数的性质即可得出答案． 【详解】（1）解：画出图象如图所示： （2）解：根据图象，猜测是关于的反比例函数， 设， 将代入函数解析式得：， 解得：， ∴； 验证：当时； 当时，，故猜想成立； （3）解：当时，， 解得， ∴当砝码质量为时，托盘与点的距离为； （4）解：应往托盘中添加砝码， 理由如下：∵是关于的反比例函数， ∴当托盘向左移动（不能移动到点）时，相当于与点的距离在逐渐变小， ∴应往托盘中添加砝码． 25．小明发现用吸管吹气，能发出不同的音调．通过查阅资料，他得知：用吸管吹气时，吸管内部的空气振动导致声音产生，而吸管的长度影响了空气振动的频率，并最终决定了音调的不同，所以发出不同的音调． 小明和同学动手试验，并按以下步骤操作：①将若干根同规格的吸管剪成不同的长度；②用同样的力气通过吸管吹气，借助仪器记录下吸管中空气振动的频率；③将吸管的长度和相应吸管中空气振动的频率分别记为和，对收集到的数据检查、整理；④将整理所得的数据对应的点在平面直角坐标系中描出，绘制成如图所示的与对应关系的散点图． (1)表1记录了收集到的四组数据，同学们在仔细检查、整理数据时，发现这四组数据中的一组有错，请直接写出有出错的这组数据______（填写组别代号），不必说明理由； （表1） 数据组别 吸管的长度 60 80 100 100 空气振动的频率 1.43 1.08 0.86 0.42 (2)根据散点图，同学们猜想与的对应关系符合初中阶段已学过的一种函数关系，并将由每组数据计算所得的系数（精确到个位）作为与的对应关系中的系数．小明根据表2的数据剪出合适长度的吸管，成功地吹奏出的音． （表2） 音调      频率 0.26 0.29 0.33 0.35 0.39 0.44 0.49 你知道小明剪出的吸管长度是多少（精确到个位）？并说明你的理由． 【答案】(1)D (2)，理由见解析 【分析】本题考查了反比例函数的应用，解答本题的关键是仔细观察表格，得出与的积为定值，从而得出函数关系式． （1）根据表中数据，可发现与的乘积为定值，从而可得答案； （2）根据与都是正数，可得这条曲线是反比例函数的一支，根据，可得与的函数解析式，即可得到结论． 【详解】（1）解：根据表中数据，可发现与的乘积为定值， 所以D组数据是错误的， 故答案为：D． （2）根据散点图判断，可以用反比例函数来确定与的对应关系， 因此可设． 依据表1中三组数据求得： ， ， ． ， ， 当时，． 答：小明剪出的吸管长度是． 26．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点A，B，点B的横坐标是4．点P是第一象限内反比例函数图象上的动点，且在直线AB的上方． （1）求k的值； （2）设直线PA，PB与x轴分别交于点M，N，求证：△PMN是等腰三角形； （3）设点Q是反比例函数图象上位于P，B之间的动点（与点P，B不重合），连接AQ，BQ，比较∠PAQ与∠PBQ的大小，并说明理由． 【答案】（1）k=4；（2）△PMN是等腰三角形；（3）∠PAQ=∠PBQ，理由见解析. 【详解】分析： （1）由题意将点B的横坐标代入一次函数中解得对应的y的值可得点B的坐标，把所得点B的坐标代入中即可解得k的值； （2）如图2，过点P作PH⊥x轴于H，由k的值得到反比例函数的解析式，由所得反比例函数的解析式和一次函数的解析式可求得点A、B的坐标，这样设点P的坐标为，由此解得直线PA、PB的解析式，即可求得用含m的代数式表达的点M和N的坐标，从而可求得用m的代数式表达的MH和NH的长度，得到MH=NH，即可得到PH是线段MN的垂直平分线，从而可得PM=PN，由此即可得到△PMN是等腰三角形； （3）如图3，设QA和x轴相交于点C，QB和x轴相交于点D，则和（2）同理可得QC=QD，由此可得∠QCD=∠QDC，由（2）中所得的PM=PN可得∠PMN=∠PNM，这样结合对顶角相等和三角形外角的性质即可证得∠PAQ=∠PBQ. 详解： （1）把x=4代入，可得y=1， ∴到点B的坐标为（4，1）， 把点B（4，1）代入，得k=4； （2）过点P作PH⊥x轴于H，如图2． 由（1）可知反比例函数解析式为：， 由 解得： ， ， ∴点A的坐标为（-4，-1），点B的坐标为（4，1）， ∵点P在的图象上， 设P的坐标为：，直线PA的方程为y=ax+b，直线PB的方程为y=px+q， 把点A、B、P的坐标代入所设解析式可得： 和 ， 由此解得：直线PA的解析式为，直线PB的解析式为， 由此可得：M的坐标为（m-4，0），N的坐标为（m+4，0）， ∴H（m，0）， ∴MH=m-（m-4）=4，NH=m+4-m=4， ∴MH=NH， ∴PH垂直平分MN， ∴PM=PN， ∴△PMN是等腰三角形； （3）∠PAQ=∠PBQ．理由如下： 如图3，设QA和x轴相交于点C，QB和x轴相交于点D，则和（2）同理可得QC=QD， ∴∠QCD=∠QDC， 又∵∠QCD=∠MCA， ∴∠MCA=∠QDC， ∵由（2）可知PM=PN， ∴∠PMN=∠PNM， 又∵∠PMN=∠PAQ+∠MCA，∠PNM=∠QDC+∠DBN， ∴∠PAQ+∠MCA=∠QDC+∠DBN， 又∵∠DBN=∠PBQ， ∴∠PAQ+∠MCA=∠QDC+∠PBQ， ∴∠PAQ=∠PBQ. 点睛：这是一道一次函数和反比例函数与几何图形综合的题目，第2、3小题有一定的难度，能作出如图2的辅助线和图3，设出点P、Q的坐标，并由此求得对应的直线PA、PB、QA、QB的解析式，进而求得点M、N、C、D的坐标是解答本题的关键. 27．已知函数，请根据已学知识探究该函数的图象和性质过程如下： （1）该函数自变量的取值范围为； （2）下表列出y与x的几组对应值，请在平面直角坐标系中描出下列各点，并画出函数图象； x … -1 2 … y … 3 2 1 … （3）结合所画函数图象，解决下列问题： ①写出该函数图象的一条性质：； ②横、纵坐标均为整数的点称为整点，若直线y= -x+b的图象与该图象相交形成的封闭图形（包含边界）内刚好有6个整点，则b的取值范围为． 【答案】（1）：x＞-2；（2）见详解；（3）①当x＞-2时，y随x的增加而减小；②2≤b＜3． 【分析】（1）x+2＞0，即可求解； （2）描点画出函数图象即可； （3）①任意写出一条性质即可，故答案不唯一； ②如图2，当b=2时，直线y=-x+b的图象与该图象相交形成的封闭图形（包含边界）内刚好有6个整点（图中空心点），即可求解 【详解】解：（1）x+2＞0，解得：x＞-2， 故答案为：x＞-2； （2）描点画出函数图象如下： （3）①当x＞-2时，y随x的增加而减小（答案不唯一）， 故答案为：当x＞-2时，y随x的增加而减小（答案不唯一）， ②如图2，当b=2时， 直线y=-x+b的图象与该图象相交形成的封闭图形（包含边界）内刚好有6个整点（图中空心点）， 故2≤b＜3， 故答案为：2≤b＜3． 【点睛】本题考查的是一次函数图象与系数的关系，这种探究性题目，通常按照题设的顺序逐次求解，通常比较容易． 学科网（北京）股份有限公司 $$