第09讲 因式分解的意义（1个知识点+2种题型+分层练习）-2024-2025学年七年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版（2024））

第09讲 因式分解的意义（2024）（1个知识点+2种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．因式分解的意义 1、分解因式的定义： 把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式． 2、因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式．例如： 3、因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验． 题型强化 题型一．因式分解的意义 1．（2023秋•普陀区期末）下列从左到右的变形中，是因式分解的是　　 A． B． C． D． 2．（杨浦区校级期末）已知的一个因式为，则　　． 3．（闸北区校级期中）已知关于的二次三项式因式分解的结果是，求、的值． 题型二、公因式 4．（22-23七年级上·上海青浦·期中）单项式与单项式的公因式是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24七年级上·上海长宁·期中）和的最大公因式是 ． 分层练习 一、单选题 1．下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 2．下列各等式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　） A． B． C． D． 3．下列各式从左到右的变形属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 4．下列各式属于因式分解的是（　　） A． B． C． D． 5．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 6．多项式的公因式是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 7．与的公因式是 ． 8．多项式12b3﹣8b2+4b的公因式是 ． 9．多项式各项的公因式是 ． 10．多项式的公因式是 ． 11．单项式与的公因式是 ． 12．多项式中各项的公因式是 ． 13．多项式分解因式时所提取的公因式是 ． 14．和的最大公因式是 ． 15．若多项式有一个因式为，那么 ． 16．下列各式从左到右是因式分解的是 ． ①；      ②； ③；      ④； ⑤；            ⑥． 17．已知多项式 分解因式为 ，则bc的值为 ． 18．已知二次三项式有一个因式是，则m值为 ． 三、解答题 19．把多项式分解因式得，求a、b的值． 20．完成下面各题 (1)若二次三项式可分解为，则______； (2)若二次三项式可分解为，则______；______； (3)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值． 21．仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式分解因式后有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为，得，则， ，解得：，， 另一个因式为，的值为． 请仿照上述方法解答下面问题： (1)若，则______，______； (2)已知二次三项式分解因式后有一个因式是，求另一个因式以及的值； (3)已知二次三项式有一个因式是，是正整数，求另一个因式以及的值． 22．仔细阅读下面例题，并解答问题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得，则，解得：．另一个因式为． (1)若二次三项式可分解为，则 ； (2)若二次三项式可分解为，求b，k的值； (3)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值． 23．方法探究： 已知二次多项式，我们把代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式（x＋3）．设另一个因式为（x＋k），多项式可以表示成，则有，因为对应项的系数是对应相等的，即，解得，因此多项式分解因式得：．我们把以上分解因式的方法叫“试根法”． 问题解决： (1)对于二次多项式，我们把x＝ 代入该式，会发现成立； (2)对于三次多项式，我们把x＝1代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式（），设另一个因式为（），多项式可以表示成，试求出题目中a，b的值； (3)对于多项式，用“试根法”分解因式． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲 因式分解的意义（2024）（1个知识点+2种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．因式分解的意义 1、分解因式的定义： 把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式． 2、因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式．例如： 3、因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验． 题型强化 题型一．因式分解的意义 1．（2023秋•普陀区期末）下列从左到右的变形中，是因式分解的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案． 【解答】解：、不是多项式，故不符合题意； 、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故符合题意； 、是整式的乘法，故不符合题意； 、等式右边不是整式积的形式，故不是分解因式，故不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积． 2．（杨浦区校级期末）已知的一个因式为，则　9　． 【分析】直接利用多项式乘法将原式化简，进而得出关于的等式求出答案即可． 【解答】解：的一个因式为， ， ， ， 解得：， 即， 故答案为：9． 【点评】此题主要考查了因式分解的意义，十字相乘法的应用，正确利用多项式乘法是解题关键． 3．（闸北区校级期中）已知关于的二次三项式因式分解的结果是，求、的值． 【分析】首先利用多项式的乘法法则计算，然后根据两个多项式相等的条件：对应项的系数相同即可求得，的值． 【解答】解： ． 则，． 【点评】本题考查了因式分解与整式的乘法互为逆运算．是中考中的常见题型． 题型二、公因式 4．（22-23七年级上·上海青浦·期中）单项式与单项式的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】公因式 【分析】找到系数的最大公因数，再找到因式的公共部分即可． 【详解】解：由于3和9的公因数是3，和的公共部分为, 所以．和的公因式为. 故选A． 【点睛】本题主要考查公因式，熟练掌握如何去找公因式是解题的关键． 5．（23-24七年级上·上海长宁·期中）和的最大公因式是 ． 【答案】 【知识点】公因式 【分析】本题考查了公因式定义，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的找出公因式即可． 【详解】解：和的最大公因式是， 故答案为：． 分层练习 一、单选题 1．下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据因式分解的定义，逐项判断即可． 【详解】解：A、结果不是几个整式的积的形式，不是因式分解，该选项不符合题意； B、结果含有分式，不是因式分解，该选项不符合题意； C、是因式分解，该选项符合题意； D、结果不是几个整式的积的形式，不是因式分解，该选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查因式分解的定义（把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做这个多项式的因式分解），牢记因式分解的定义是解题的关键． 2．下列各等式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接根据因式分解的定义判断即可． 【详解】解：A．，不属于因式分解； B．，从左至右的变形属于整式乘法，故本选项不符合题意； C．，不属于因式分解； D．，从左至右的变形属于因式分解； 故选：D． 【点睛】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止． 3．下列各式从左到右的变形属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据因式分解就是把一个多项式分解成几个因式的积的形式，即可一一判定． 【详解】解：A.，是多项式乘以多项式，不是因式分解，故不符合题意； B.6xy不是多项式，不是因式分解，故不符合题意； C.，不是几个因式积的形式，不是因式分解，故不符合题意； D.，是因式分解，故符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了因式分解的定义，理解和掌握因式分解的定义是解决本题的关键． 4．下列各式属于因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式的定义，利用排除法求解． 【详解】解：A、是多项式的乘法，不是因式分解； B、，因式分解错误； C、，是因式分解； D、的右边不是积的形式，不是因式分解； 故选：C． 【点睛】本题考查了因式分解，解题的关键在于能否正确应用分解因式的定义来判断． 5．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可． 【详解】解：A、不是分解因式，故本选项不符合题意； B、是因式分解，故本选项符合题意； C、不是因式分解，故本选项不符合题意； D、因式分解不彻底，故本选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义是解此题的关键，把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解． 6．多项式的公因式是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：①定系数，即确定各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂．按照公因式的确定方法，公因式的系数应取，字母x取x，字母y取y, 字z取z． 【详解】∵多项式中， 各项系数绝对值的最大公约数是4， 各项相同字母x的最低次幂是x， 各项相同字母y的最低次幂是y， 各项相同字母z的最低次幂是z， ∴多项式的公因式是． 故选：C． 二、填空题 7．与的公因式是 ． 【答案】/ 【分析】根据公因式的定义求解即可． 【详解】与的公因式是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了公因式，一个多项式中每一项都含有的相同的因式，叫做这个多项式各项的公因式．公因式的确定方法：公因式是各项系数的最大公约数与各项都含有的相同字母的最低次数幂的积． 8．多项式12b3﹣8b2+4b的公因式是 ． 【答案】4b 【分析】找出系数的最大公约数，相同字母的最低指数次幂，然后即可确定公因式． 【详解】解：∵系数的最大公约数是4，相同字母的最低指数次幂是b， ∴公因式是4b． 故答案为：4b． 【点睛】本题主要考查了公因式，掌握寻找公因式的方法是解题的关键． 9．多项式各项的公因式是 ． 【答案】 【分析】根据公因式的定义即可得出答案． 【详解】解：3x3y2-9y3z2+6x2yz =3y•x3y-3y•3y2z2+3y•2x2z， 故答案为：3y． 【点睛】本题考查了公因式，掌握多项式ma+mb+mc中，各项都含有一个公共的因式m，因式m叫做这个多项式各项的公因式是解题的关键． 10．多项式的公因式是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查公因式的定义：一个多项式的公因式是这个多项式各项系数的最大公约数与各项都含有的字母的最低次幂的积，注意不要忘记数字的最大公约数，掌握公因式的定义是解题的关键． 【详解】解：由题可得：多项式各项的公因式是：； 故答案为：． 11．单项式与的公因式是 ． 【答案】 【分析】根据找公因式的规律：系数找最大公因数，字母找指数最低次幂，找出即可． 【详解】单项式与的公因式是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了公因式的概念，找公因式的规律：系数找最大公因数，字母找指数最低次幂，理解找公因式的规律是解题的关键． 12．多项式中各项的公因式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了寻找多项式中的各项的公因式. 先找出公因式的系数，即各项系数的最大公约数，然后再提取出相同字母，最后找相同字母的最低次幂. 【详解】解：由题意可知：各项系数的最大公约数为2，相同的字母为x，x的最小指数为2， ，的公因式是， 故答案为：. 13．多项式分解因式时所提取的公因式是 ． 【答案】 【分析】根据确定多项式中各项的公因式的方法确定公因式即可． 【详解】解：由题意可知： 多项式分解因式时所提取的公因式是． 故答案为： 【点睛】本题考查多项式中各项的公因式的方法解题的关键是掌握确定公因式的方法：①定系数，即确定各项系数的最大公因数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂． 14．和的最大公因式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了公因式定义，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的找出公因式即可． 【详解】解：和的最大公因式是， 故答案为：． 15．若多项式有一个因式为，那么 ． 【答案】3 【分析】设另一个因式为2x+a，利用因式分解是乘法运算的逆运算求解即可． 【详解】解：设另一个因式为2x+a， ∵(2x+a)(x-1) = =， ∴=， ∴a-2=-5，m=-a， ∴a=-3，m=3． 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查因式分解与乘法运算的关系，熟练掌握因式分解是乘法运算的逆运算是解答本题的关键． 16．下列各式从左到右是因式分解的是 ． ①；      ②； ③；      ④； ⑤；            ⑥． 【答案】③④⑥ 【分析】根据因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，判断求解． 【详解】解：①是整式的乘法，不是因式分解，故不符合题意； ②右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故不符合题意； ③是因式分解，故符合题意； ④是因式分解，故符合题意； ⑤等号不成立，不是因式分解，故不符合题意； ⑥是因式分解，故符合题意； 故答案为：③④⑥． 【点睛】此题考查了因式分解．解题的关键是掌握因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解． 17．已知多项式 分解因式为 ，则bc的值为 ． 【答案】24 【分析】利用整式的乘法去括号合并同类项后，对比各项系数相等即可． 【详解】∵ 分解因式为 ∴ ∴ ， ∴ 故答案是24 【点睛】本题考查多项式乘以多项式，以及多项式相等时对应各项系数相等，正确利用公式计算是关键． 18．已知二次三项式有一个因式是，则m值为 ． 【答案】3 【分析】根据二次三项式有一个因式是，且 ，即可得到m的值． 【详解】解：∵二次三项式有一个因式是， ， ∴， ， 故答案为3． 【点睛】本题考查分组分解法因式分解，解题的关键是凑因式． 三、解答题 19．把多项式分解因式得，求a、b的值． 【答案】 【分析】根据整式的乘法运算将化为，根据可知，，求出a、b的值即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查分解因式的知识及整式的乘法，正确计算出整式乘法的式子得出，是解答本题的关键． 20．完成下面各题 (1)若二次三项式可分解为，则______； (2)若二次三项式可分解为，则______；______； (3)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值． 【答案】(1) (2)9，5 (3)另一个因式为，的值为12． 【分析】本题考查因式分解的意义，解题关键是对题中所给解题思路的理解，同时要掌握因式分解与整式乘法是相反方向的变形，二者是一个式子的不同表现形式． （1）将展开，根据所给出的二次三项式即可求出的值； （2）展开，可得出一次项的系数，继而即可求出的值； （3）设另一个因式为，得，可知，，继而求出和的值及另一个因式． 【详解】（1）解：， ， 解得：； 故答案为：； （2）解：， ， ； 故答案为：9，5； （3）解：设另一个因式为，得， 则，， 解得：，， 故另一个因式为，的值为12． 21．仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式分解因式后有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为，得，则， ，解得：，， 另一个因式为，的值为． 请仿照上述方法解答下面问题： (1)若，则______，______； (2)已知二次三项式分解因式后有一个因式是，求另一个因式以及的值； (3)已知二次三项式有一个因式是，是正整数，求另一个因式以及的值． 【答案】(1)， (2)， (3)另一个因式是，的值是2 【分析】（1）将，等式右边展开，根据对应项系数相等，即可求解， （2）设另一个因式为：，根据多项式的乘法运算法则展开，根据对应项系数相等，即可求解， （3）设另一个因式是，根据多项式的乘法运算法则展开，根据对应项系数相等，即可求解， 本题考查了，根据因式分解的结果求参数，多项式乘多项式，解题的关键是：理解因式分解与多项式乘法互为逆运算． 【详解】（1）解：， ，， 故答案为：，， （2）解：设另一个因式为：， 则， ，解得：，， 另一个因式是， 故答案为：，， （3）解：设另一个因式是，则 则，解得：或， 是正整数， ，另一个因式是；（不符合题意舍去）， 另一个因式是，a的值是2． 22．仔细阅读下面例题，并解答问题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得，则，解得：．另一个因式为． (1)若二次三项式可分解为，则 ； (2)若二次三项式可分解为，求b，k的值； (3)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值． 【答案】(1)4 (2)， (3)另一个因式是，的值为 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式、因式分解，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解题关键． （1）根据多项式乘多项式法则计算，由此可得一个关于的一元一次方程，解方程即可得； （2）根据多项式乘多项式法则计算，再与进行比较即可得； （3）设另一个因式为，根据多项式乘多项式法则计算，由此即可得． 【详解】（1）解：由题意得：， 所以， 所以， 解得， 故答案为：4． （2）解：由题意得：， 所以， 所以， 所以，； （3）解：设另一个因式为， 则， 所以， 所以，， 解得，， 所以另一个因式是，的值为． 23．方法探究： 已知二次多项式，我们把代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式（x＋3）．设另一个因式为（x＋k），多项式可以表示成，则有，因为对应项的系数是对应相等的，即，解得，因此多项式分解因式得：．我们把以上分解因式的方法叫“试根法”． 问题解决： (1)对于二次多项式，我们把x＝ 代入该式，会发现成立； (2)对于三次多项式，我们把x＝1代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式（），设另一个因式为（），多项式可以表示成，试求出题目中a，b的值； (3)对于多项式，用“试根法”分解因式． 【答案】(1)±2 (2)a=0，b=-3； (3) 【分析】（1）将x=±2代入即可； （2）由题意得x3-x2-3x+3=x3-（1-a）x2-（a-b）x-b，再由系数关系求a、b即可； （3）多项式有因式（x-2），设另一个因式为（x2+ax+b），则x3+4x2-3x-18=x3+（a-2）x2-（2a-b）x-2b，再由系数关系求a、b即可． 【详解】（1）解：当x=±2时，x2-4=0， 故答案为：±2； （2）解：由题意可知x3-x2-3x+3=（x-1）（x2+ax+b）， ∴x3-x2-3x+3=x3-（1-a）x2-（a-b）x-b， ∴1-a=1，b=-3， ∴a=0，b=-3； （3）解：当x=2时，x3+4x2-3x-18=8+16-6-18=0， ∴多项式有因式（x-2）， 设另一个因式为（x2+ax+b）， ∴x3+4x2-3x-18=（x-2）（x2+ax+b）， ∴x3+4x2-3x-18=x3+（a-2）x2-（2a-b）x-2b， ∴a-2=4，2b=18， ∴a=6，b=9， ∴x3+4x2-3x-18=（x-2）（x2+6x+9）=（x-2）（x+3）2． 【点睛】本题考查因式分解的意义，理解“试根法”的本质，多项式乘多项式的正确展开是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$