1.3 正方形的性质与判定第1课时正方形的性质 课件-2023-2024学年北师大版九年级数学上册

1.3 正方形的性质与判定 第1课时 正方形的性质 第一章 特殊的平行四边形 创设情境，导入新课 生活中的正方形 好 好 学 习 天 天 向 上 像矩形 十 年 树 木 百 年 树 人 像菱形 矩形 前面我们已经学过了，平行四边形，矩形，菱形，想一想，矩形是由什么图形怎样变化而来？ 平行四边形 菱形 邻边相等 菱形是由什么图形怎样变化而来？ 问题1：矩形怎样变化后就成了正方形呢? 你有什么发现？ 正方形的性质 1 矩 形 〃 〃 正方形 一组邻边相等 问题2：菱形怎样变化后就成了正方形呢? 你有什么发现？ 正方形 一个角是90° 6 探究新知，经历过程 图中的四边形都是特殊的平行四边形. 观察这些特殊的平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征？ 你能总结出正方形的定义吗？ 正方形定义： 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形. （1）正方形是矩形吗？是菱形吗？ （2）你认为正方形具有哪些性质？与同伴交流. 正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，也是特殊的菱形.它具有矩形与菱形以及平行四边形的所有性质. 总结 议一议 你能利用下图理清下面四个特殊的四边形之间的关系吗？ 有一个角是直角 有一组邻边相等 有一组邻边相等 有一个角是直角 李永宾 (李永宾) - 相关图形性质的关系 平行四边形的性质 对边平行且相等 对角相等 对角线互相平分 菱形的性质 四条边相等 对角线互相垂直 四个角都是直角 对角线相等 矩形的性质 正方形的性质 正方形的性质 定理：正方形的四个角都是直角，四条边相等. 定理：正方形的对角线相等并且互相垂直平分. AB = BC = CD = DA ∠ABC =∠BCD =∠CDA =∠DAB = 90° AO = BO = CO = DO，AC⊥BD 证明：∵ 四边形 ABCD 是正方形. ∴∠A = 90°，AB = AD (正方形的定义). 又∵ 正方形是平行四边形， ∴ 正方形是矩形 (矩形的定义)， 正方形是菱形 (菱形的定义). ∴∠A =∠B =∠C =∠D = 90°， AB = BC = CD = AD. (1) 已知：如图，四边形 ABCD 是正方形. 求证：正方形 ABCD 四边相等，四个角都是直角. A B C D 证一证 (2) 已知：如图，四边形 ABCD 是正方形. 对角线 AC、BD 相交于点 O. 求证：AO = BO = CO = DO，AC⊥BD. A B C D O 证明：∵ 正方形 ABCD 是矩形， ∴ AO = BO = CO = DO. ∵ 正方形 ABCD 是菱形， ∴ AC⊥BD. 平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系： 四边形 平行四边形 菱形 矩形 正方形 韦恩图： 归纳总结 定理 正方形的四个角都是直角，四条边相等. 定理 正方形的对角线相等且互相垂直平分. 正方形的性质 根据图形所具有的性质，在下表相应的空格中打“√”. 判一判 性质\图形 平行四边形 矩形 菱形 正方形 边 对边平行且相等 四边相等 角 四个角都是直角 对角线 对角线相互平分 对角线相互垂直 对角线相等 每条对角线平分一组对角 √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ 想一想 正方形是不是轴对称图形？ 如果是，那么对称轴有几条？ 正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形. 对称性： ， 对称轴： . 轴对称图形 4 条 例1 如图，在正方形 ABCD 中，E 为 CD 上一点，F 为 BC 边延长线上一点，且 CE = CF. BE 与 DF 之间有怎样的关系？请说明理由. 解：BE = DF，且 BE⊥DF. 理由如下： ①∵ 四边形 ABCD 是正方形. ∴ BC = DC，∠BCE = 90°， ∴∠DCF = 180° -∠BCE =180° - 90° = 90°. ∴∠BCE =∠DCF. 又∵ CE = CF， A B D C F E ∴ △BCE≌△DCF (SAS). ∴ BE = DF. A B D F E ② 延长 BE 交 DF 于点 M. ∵△BCE≌△DCF， ∴∠CBE =∠CDF. ∵∠DCF = 90°， ∴∠CDF +∠F = 90°. ∴∠CBE +∠F = 90°. ∴∠BMF = 90°，∴ BE⊥DF. 综和①②可知，BE = DF，且 BE⊥DF. C M 例2 如图，在正方形 ABCD 中，△BEC 是等边三角形， 求证： ∠EAD =∠EDA = 15°. 证明：∵ △BEC 是等边三角形， ∴ BE = CE = BC，∠EBC =∠ECB = 60°. ∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴ AB = BC = CD，∠ABC =∠DCB = 90°. ∴ AB = BE = CE = CD， ∠ABE =∠DCE = 30°. ∴△ABE，△DCE 是等腰三角形. ∴∠BAE =∠BEA =∠CDE =∠CED = 75°. ∴∠EAD =∠EDA = 90°-75° = 15°. 四边形 ABCD 是正方形，以正方形 ABCD 的一边为边作等边△ADE，求∠BEC 的大小．（分类讨论） 解：当点 E 在正方形 ABCD 外部时，如图①，AB＝AE，∠BAE＝90°＋60°＝150°. ∴∠AEB＝15°. 同理可得∠DEC＝15°. ∴∠BEC＝60°－15°－15°＝30°； 【变式题1】 当点 E 在正方形 ABCD 内部时，如图②， AB＝AE，∠BAE＝90°－60°＝30°， ∴∠AEB＝75°. 同理可得∠DEC＝75°. ∴∠BEC＝360°－75°－75°－60°＝150°. 综上所述，∠BEC 的大小为 30° 或 150°. 易错提醒：因为等边△ADE 与正方形 ABCD 有一条公共边，所以它们的边相等．本题分点 E 在正方形的外部和在正方形的内部两种情况． 【变式题2】 如图，在正方形 ABCD 内有一点 P 满足 AP = AB，PB = PC，连接 AC、PD． （1）求证：△APB≌△DPC； 证明：∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴∠ABC =∠DCB = 90°． ∵ PB = PC， ∴∠PBC =∠PCB． ∴∠ABC -∠PBC =∠DCB -∠PCB， 即∠ABP =∠DCP． 又∵ AB = DC，PB = PC， ∴△APB≌△DPC． 证明：∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴∠BAC =∠DAC = 45°． ∵△APB≌△DPC，∴ AP = DP． 又∵AP = AB = AD， ∴ DP = AP = AD， 即 △APD 是等边三角形． ∴∠DAP = 60°． ∴∠PAC =∠DAP -∠DAC = 15°， ∠BAP =∠DAB -∠DAP = 30°． ∴∠BAP = 2∠PAC． （2）求证：∠BAP = 2∠PAC． 2. 一个正方形的对角线长为 2 cm，则它的面积是（　） A. 2 cm2 B. 4 cm2 C. 6 cm2 D. 8 cm2 A 1. 平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是（　） A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．对角线互相垂直且相等 A 课堂练习 3. 在正方形 ABCD 中，∠ADB = °，∠DAC = °， ∠BOC = °. 4. 在正方形 ABCD 中，E 是对角线 AC 上一点，且 AE = AB，则∠EBC 的度数是 . A D B C O A D B C O E 45 90 22.5° 第3题图 第4题图 45 1. 四个角都是直角 2. 四条边都相等 3. 对角线相等且互相垂直平分 正方形的性质 性质 定义 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形 如图，在正方形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，图中有多少个等腰三角形？它们分别是？（列出来） 【选自教材P21 随堂练习】 巩固练习，深化提高 解：图中共有 8 个等腰三角形. △OAB、△OBC、△OCD、△ODA、△ABC、△BCD、△CDA、△DAB 2. 如图，在正方形 ABCD 中，点 F 为对角线 AC 上一点， 连接 BF, DF。你能找出图中的全等三角形吗？选择其 中一对进行证明. 解：图中的全等三角形共有 3 对， 分别是 △ADC 与 △ABC（SAS）, △FCD与 △FCB（SAS）, △FAD 与 △FAB（SAS）． 【选自教材P21 随堂练习】 2. 如图，在正方形 ABCD 中，点 F 为对角线 AC 上一点， 连接 BF, DF。你能找出图中的全等三角形吗？选择其 中一对进行证明. 选择△FAD≌△FAB 证明，过程如下： ∵正方形 ABCD, ∴AD = AB,∠DAF =∠BAF, 又∵AF = AF， ∴△FAD≌△FAB. 【选自教材P21 随堂练习】 【选自教材P22 习题1.7 第1题】 3. 对角线长为 2 cm 的正方形，边长是多少？ 解：∵ABCD 是正方形， ∴AB = BC，∠B = 90° △ABC是等腰直角三角形， AB2 + BC2 = AC2 = 4， ∴AB = 【选自教材P22 习题1.7 第2题】 4. 如图，四边形 ABCD 是正方形，△CBE 是等边三角形， 求∠AEB 的度数. 证明: ∵△BEC 是等边三角形， ∴BE = EC = BC = AB， ∴△ABE 是等腰三角形， ∴ ∠ABE = 90°-60° = 30 ° ∴∠AEB = = 75 ° 【选自教材P22 习题1.7 第3题】 5. 如图，A，B，C，D 四家工厂分别坐落在正方形城镇的四 个角上.仓库 P 和 Q 分别位于 AD 和 DC 上，且 PD = QC. 证明两条直路 BP = AQ 且 BP⊥AQ. 证明: 如图, AQ 与 BP 交于点 O． 在正方形 ABCD 中, ∵PD ＝ QC, ∴DQ ＝ AP ． 又∵AB ＝ AD ,∠D ＝∠PAB ＝ 90°, ∴△ABP ≌△DAQ（SAS）． ∴BP ＝AQ,∠DAQ＝∠ABP ． ∵∠ABP ＋∠APB＝ 90°＝∠DAQ＋∠APB． ∴∠AOP ＝90°．∴BP ＝AQ 且 BP ⊥ AQ． 6. 在一个正方形的花坛上，欲修建两条直的小路，使得两条 直的小路将花坛分成大小、形状完全相同的四部分（不考 虑道路的宽度）.你有几种方法？画出图 【选自教材P22 习题1.7 第4题】 课堂小结 这节课你们都学会了哪些知识？ 正方形的定义 正方形的性质 正方形的对角线相等并且互相垂直平分. 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形，叫做正方形. 正方形的四个角都是直角，四条边相等. $$