第22章 一元二次方程（单元小结）（10大重点题型专训）-【上好课】2024-2025学年九年级数学上册同步精品课堂（华东师大版）

第22章 一元二次方程（单元小结）（10大重点题型专训） 题型一 一元二次方程相关的概念 题型二 一元二次方程的四大解法 题型三 配方法的应用 题型四 换元法解一元二次方程 题型五 根据一元二次方程根的情况求参数 题型六 一元二次方程根与系数的关系 题型七 营销问题 题型八 与图形有关的问题 题型九 动态几何问题 题型十 一元二次方程的新定义问题 题型一 一元二次方程相关的概念 1．下列方程：①，②，③，④，⑤中是一元二次方程的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．一元二次方程的二次项系数，一次项系数与常数项分别是（    ） A．1，5，1 B．0，5， C．1，5， D．0，5，1 3．若是一元二次方程，则m的值为（    ） A．2 B． C． D．1 4．若关于的二次方程的常数项等于，则的值为 ． 5．已知是一元二次方程的一个解，求代数式的值为 ． 6．关于x的方程的解是，（a，m，b均为常数，），则方程的解为 7．若a是方程的一个根，求的值． 8．已知关于x的方程． (1)当m为何值时，此方程为一元一次方程？ (2)当m为何值时，此方程为一元二次方程？ 9．阅读与思考： 下面是小华求一元二次方程的近似解的过程． 如图，这是一张长、宽的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样大小的正方形，可制成一个底面积是的无盖长方体纸盒．小华在做这道题时，设剪去的正方形边长为，列出关于x的方程，整理得．    他想知道剪去的边长到底是多少，下面是他的探索过程． 探索方程的解： 第一步： x 0 1 2 17 9 因此：____________． 第二步： x 1.5 1.6 1.7 1.8 0.75 0.36 因此：____________. （1）请你帮助小华完成表格中未完成的部分，并写出x的范围； （2）通过以上探索，请直接估计出x的值．（结果保留一位小数） 题型二 一元二次方程的四大解法 1．用适当的方法解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 2．选用适当方法解下列方程： (1) (2) (3) (4) 3．用适当方法解方程： (1) (2) (3) (4) 4．用适当的方法解下列一元二次方程． (1)（配方法）； (2)（公式法）； (3)（因式分解）； (4)（适当方法）； (5)（适当方法）． 5．用适当方法解下列方程 (1) (2) (3) (4) 6．用适当方法解方程： (1) (2) 7．用适当方法解下列方程． (1)； (2)； (3)． 8．按要求解下列方程： (1)；（配方法） (2)；（用适当方法） (3)；（公式法） (4)．（用适当方法） (5)；（用适当方法） (6)．（用适当方法） 9．请选择适当方法解下列方程： (1) (2) (3) 10．用适当方法解下列方程 (1)； (2) 11．计算：用适当方法解方程： (1)； (2) 12．用适当的方式解下列方程 (1) (2) (3) (4) 题型三 配方法的应用 1．若将方程进行配方，则该方程可变形为（    ） A． B． C． D． 2．用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（    ） A． B． C． D． 3．问题：聪明的你知道代数式的最小值为多少吗？解：因为，又因为，所以，所以的最小值为1．请用上述方法，解决代数式的最小值为（    ） A．3 B． C．6 D． 4．已知，则 ． 5．若关于x的一元二次方程：与，则称其为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程：与是“同族二次方程”，那么代数式能取得最大值是 ． 6．实数，满足是实数，则的最小值是 ． 7．用配方法求证：代数式的值恒为正数． 8．阅读材料：利用完全平方式，将多项式变形为的形式，然后由就可以求出多项式的最小值． 例题：求的最小值 解： 无论x取何值，总是非负数， 即所以 所以：当时，有最小值，最小值为5 根据上述材料，解答下列问题： (1)填空： (2)将多项式变形为的形式，并求出的最小值； (3)若一个长方形的长和宽分别为和，面积记为，另一个长方形的长和宽分别为和，面积记为，试比较和的大小，并说明理由． 9．我们知道，所以代数式的最小值为0．学习了多项式乘法中的完全平方公式，可以逆用公式，即用来求一些多项式的最小值． 例如，求的最小值问题． 解：∵， 又∵，∴，∴的最小值为． 请应用上述思想方法，解决下列问题： (1)探究：； (2)求的最小值． 题型四 换元法解一元二次方程 1．如果．那么 (　　) A． B． C．或 D．无法确定 2．若实数满足方程，那么的值为（    ） A． B．4 C．或4 D．2或 3．已知一元二次方程的两根分别为，3，则方程的两根分别为（    ） A．2， B．，4 C．3， D．，5 4．已知x为实数，且满足，那么的值为 ． 5．用换元法解分式方程时，如果设，那么可将原方程变形后表示为关于y的一元二次方程一般形式： ． 6．若关于x的一元二次方程的解为，则关于y的一元二次方程的解为 7．利用换元法解下列方程 (1)； (2)． 8．阅读材料，解答问题． 解方程：， 解：把视为一个整体，设， 则原方程可化为：， 解得：，， 或， ，， 以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照上例，请用换元法解答问题： 已知，求的值． 9．【注重阅读理解】阅读材料： 为了解方程，我们可以将看作一个整体 解：设，则原方程可化为①，解得：， 当时，，∴．∴； 当时，，∴，∴． 故原方程的解为，，，． 解答下列问题： (1)上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用______法达到了降次的目的，体现了转化的数学思想； (2)请利用以上知识解方程：； 题型五 根据一元二次方程根的情况求参数 1．若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围为（    ） A． B．且 C． D．且 2．使关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根的k的取值范围是（    ） A． B． C．≥ D．以上结果都不对 3．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 4．若关于x的方程有四个不相等的实数根，则b的取值范围是 ． 5．已知关于x的一元二次方程没有实数根，则m的取值范围是 ． 6．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是 ． 7．已知关于的方程，若方程有实数根，求m的取值范围． 8、已知关于x的一元二次方程，其中、、分别为三边的长． (1)如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由； (2)如果方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由； (3)如果是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 9．已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)求出方程的根； (3)若方程的两个根都是正整数，求整数的值． 题型六 一元二次方程根与系数的关系 1．已知实数满足，则以为根的一元二次方程是（    ） A． B． C． D． 2．已知m，n是方程的两根，则代数式的值是（    ） A． B．12 C．3 D．0 3．已知 是方程 的两个根，则 的值为（     ） A． B． C． D． 4．已知是关于x的方程的两个实数根，且，则m的值等于 ． 5．关于x的一元二次方程的两个根分别为和，则 ． 6．已知是方程的两个实数根，则的值是 ． 7．已知一元二次方程有两个实数根． (1)求k的取值范围； (2)若方程的两个实数根分别为，且满足，请求出k的值． 8．已知关于x的一元二次方程有实数根． (1)求m的取值范围； (2)若该方程的两个实数根为，且，求m的值． 9．如果方程的两个根是、，那么，．请根据以上结论，解决下列问题： (1)已知关于的方程，求出一个关于的一元二次方程，使它的两根分别是已知方程两根的倒数； (2)已知、满足，，求的值； (3)已知、、为实数，且，，若为中最大值，求的最小值． 题型七 营销问题 1．某商场将进货价为45元的某种服装以65元售出，平均每天可售30件，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现：每件降价1元，则每天可多售5件，如果每天要盈利800元，每件应降价x元，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 2．某水果批发商经销一种高档水果，如果将进货价为每千克6元的水果以每千克16元的价格售出，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价格不变的情况下，出售价每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．若该商场要想保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元?（    ） A．10元 B．8元 C．3元 D．5元 3．某商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．经调查发现，商品销售单价每降1元，平均每天可多售出2件．在每件盈利不少于25元的前提下，要获利1200元利润，每件商品应降价（    ） A．10元 B．20元 C．10元或20元 D．13元 4．某商品的进价为每件40元，当售价为每件60元时，每星期可卖出200件，现需降价处理，且经市场调查发现：每降价1元，每星期可多卖出8件，店里每周利润要达到8450元，若设店主把该商品每件售价降低x元，则可列方程为 ． 5．某商店将进货价为元的玩具按每件元售出，每周可销售件现在采取提高售价，减少售货量的方法增加利润，已知这种玩具每涨价元，其销量减少件，要使每周获得元的利润，则售价为 元． 6．香云纱作为广东省佛山市特产，中国国家地理标志产品，是世界纺织品中唯一用纯植物染料染色的丝绸面料，被纺织界誉为“软黄金”，在某网网店，香云纱连衣裙平均每月可以销售120件，每件盈利200元.为了尽快减少库存，决定降价促销，通过市场调研发现，每件每降价20元，则每月可多售出30件.如果每月要盈利2.88万元，则每件应降价 元． 7．2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”意喻敦厚、健康、活泼、可爱，象征着冬奥会运动员强壮的身体、坚韧的意志和鼓舞人心的奥林匹克精神．为满足市场需求，某超市购进一批吉祥物“冰墩墩”，进价为每个15元，第一天以每个25元的价格售出30个，为了让更多的消费者拥有“冰墩墩”，从第二天起降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出3个． (1)当售价小于25元时，试求第二天起每天的销售量y（个）与每个售价x（元）之间的函数关系式； (2)如果前两天共获利525元，且第二天销售数量不低于30个，则第二天每个“冰墩墩”的销售价格为多少元？ 8．某商场经营一种成本为每千克40元的产品． (1)已知四月份该产品的销售量为，经过适当调价后，6月份该产品的销量为，求月份该产品销售的月平均增长率． (2)经市场调查发现，当该产品的售价为每千克50元时，月销售量为，每千克售价每涨价1元，月销售量将减少，该商场计划在月销售成本不超过10000元的情况下，要使月销售利润达到8000元，问销售该产品时每千克应涨多少元？ 9．直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在某上对一款成本价为元件的小商品进行直播销售，如果按每件元销售，每月可卖出件．通过市场调查发现，每件小商品的售价每上涨元，每月的销售件数就减少件，为了使每月的销售利润为元，且让顾客得到实惠，每件小商品的售价应定为多少元？这时电商每月能售出小商品多少件？ (1)解法1：设每件小商品涨价元，由题意得方程：______． 解法2：设每件小商品的售价应定为元，由题意得方程：______． (2)请你选择(1)中的一种解法完成解答． 题型八 与图形有关的问题 1．某校园有一块正方形的空地，按如图所示划分区域种花，已知中间互相垂直的两条小路的宽分别，，且四个种花区域的面积相同，均为，设原正方形空地的边长为，则下列方程正确的是（   ） A．B．C． D． 2．在数学实践课上，小华要给一幅长，宽的手抄报加一个边框，如图所示，上下左右边框的宽度相等，且整个图形面积为，则小华添加的边框的宽度是（   ） A． B． C． D． 3．阿进同学有一块长， 宽的长方形纸板，他想制作一个有盖的长方体盒子．为了合理使用材料，他设计了如图所示的裁剪方案，空白部分为裁剪下来的边角料，其中左侧两个空白部分为正方形．如果裁剪并折出底面积为的有盖盒子（盒盖与盒底的大小形状相同），那么裁去的左侧正方形的边长是（    ）      A． B． C． D． 4．张老汉打算在自家的责任田中圈出一块面积为的矩形土地种植玉米，为方便种植，圈出的矩形土地的长与宽应相差，设该矩形土地的长为，则可列方程为 ． 5．如图，将边长为的正方形沿两边剪去宽相同的矩形，剩下的部分是一个边长为的正方形，已知剪去部分的面积为，则＝ ． 6．如图，在宽为，长为的矩形地面上修建两条宽均为的小路（阴影），余下部分作为草地，草地面积为，根据图中数据，求得小路宽的值为 ． 7．如图，要使用长为27米的篱笆一面利用墙（墙的最大可用长度为12米，靠墙的一面不用篱笆），围成中间隔有一道篱笆的长方形花在圃（中间的篱笆将长方形分成两个小长方形）．如果要围成面积为54平方米的长方形花圃，那么的长为多少米？ 8．育光中学为美化校园，准备在东西长、南北宽的长方形土地上，修筑分别为东西与南北方向两条宽度相等的长方形水泥道路，余下部分作为花坛，并且使花坛的总面积为． (1)请为学校设计出尽可能多的方案，并对各方案的优劣进行说明（画出草图）； (2)如果设道路的宽为，列出各种方案中关于x的方程，并求出x的值． 9．有一块长，宽的矩形纸片． (1)如图1，如果在纸片的四个角裁去四个边长相等的小正方形（阴影部分）后，将其折成无盖长方体盒子．若折成的盒子的底面积为，求裁去的小正方形的边长； (2)若需要制作一个有盖的长方体盒子，为了合理利用材料，小颖设计了如图2的裁剪方案（阴影部分为裁剪下来的边角料），其中左侧的两个阴影部分为正方形，右侧的两个阴影部分为矩形，问能否折出底面积为的有盖盒子（接缝忽略不计）？如果能，请求出盒子的体积；如果不能，请说明理由． 题型九 动态几何问题 1．如图，在矩形中，，，点从点沿方向向点以运动，点从点沿方向向点以运动，若、从点同时出发，几秒钟时的面积是（　　） A． B． C．或 D． 2．如图，在中，，，，动点P，Q分别从点A，B同时开始运动（运动方向如图所示），点P的速度为，点Q的速度为，点Q运动到点C后停止，点P也随之停止运动，若使的面积为，则点P运动的时间是（    ）    A．2s B．3s C．5s或3s D．5s 3．如图，矩形中，，，动点E从A出发，以的速度沿向B运动，动点F从C出发，以的速度沿着CD向D运动，当点E到达点B时，两个点同时停止．则的长为时点E的运动时间是（    ） A． B． C．或 D． 4．如图，在中，，，，点从A点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，则、分别从A、同时出发，经过 秒钟，使的面积等于． 5．如图，在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度运动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度运动．若点P，Q同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，设运动时间为．当五边形的面积等于时，t的值为 ．    6．如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿以的速度向点B运动，同时点Q从点B出发沿以的速度向点C运动，点P到达终点后，P，Q两点同时停止运动，当 秒时，P，D两点之间的距离是P，Q两点之间距离的2倍． 7．如图，在中，，，点在上从运动到（不包括），速度为；点在上从运动到（不包括），速度为．若点，分别从，同时出发，当，两点中有一个点运动到终点时，两点均停止运动．设运动时间为秒，请解答下列问题，并写出探索的主要过程． (1)当为何值时，，两点的距离为？ (2)当为何值时，的面积为？ 8．如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以2cm/s的速度移动．如果点P，Q分别从点A，B出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．    (1)经过多长时间，的面积等于8cm2？ (2)的面积会等于面积的一半吗？若会，请求出此时的运动时间；若不会，请说明理由． 9．已知：如图所示，在中，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动．当两点中有一点到达终点，则同时停止运动． (1)如果分别从同时出发，那么几秒后，的面积等于？ (2)如果分别从同时出发，那么几秒后，的长度等于？ (3)如果分别从同时出发，在运动过程中，是否存在这样的时刻，使？若存在，求出运动时间，若不存在，请说明理由． 题型十 一元二次方程的新定义问题 1．在实数范围内定义一种新运算“※”，其运算规则为．根据这个规则，方程的解是（    ） A． B． C．或 D．或 2．定义新运算，如，则方程的解是（    ） A．， B．， C．， D．， 3．定义一种新运算“”，对于任意实数，，，如，若（为实数）是关于的一元二次方程，并且该方程有实数根，则的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 4．对于实数定义一种新运算：，若关于的方程（为整数）有两个相等的实数根，则的值为 ． 5．定义新运算“*”：对于实数x和y，有，例如：，若关于x的方程有两个实数根，则m的取值范围是 ． 6．新定义，若关于x的一元二次方程：与，称为“同类方程”．如与是“同类方程”． （1）与是“同类方程”，则 ； （2）现有关于x的一元二次方程：与是“同类方程”．那么代数式能取的最大值是 ． 7．定义新运算“”：当时，；当时，． (1)当时，求的值． (2)若，求x的值． 8．定义新运算：对于任意实数a、b，都有 等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如： ． (1)若 ，求x的值； (2)若m、n均为实数，且3⊕m的值小于10，判断关于x的方程 的根的情况． 9．新定义：已知关于x的一元二次方程的两根之和与两根之积，分别是另一个一元二次方程的两个根，则一元二次方程称为一元二次方程的“再生韦达方程”，一元二次方程称为“原生方程”． 比如：一元二次方程的两根分别为，则，所以它的“再生韦达方程”为． (1)已知一元二次方程，求它的“再生韦达方程”； (2)已知“再生韦达方程”，求它的“原生方程”． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第22章 一元二次方程（单元小结）（10大重点题型专训） 题型一 一元二次方程相关的概念 题型二 一元二次方程的四大解法 题型三 配方法的应用 题型四 换元法解一元二次方程 题型五 根据一元二次方程根的情况求参数 题型六 一元二次方程根与系数的关系 题型七 营销问题 题型八 与图形有关的问题 题型九 动态几何问题 题型十 一元二次方程的新定义问题 题型一 一元二次方程相关的概念 1．下列方程：①，②，③，④，⑤中是一元二次方程的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程，据此逐个分析，即可作答． 【详解】解：①是分式方程，故①不是一元二次方程； ②中含有两个未知数，故②不是一元二次方程； ③符合一元二次方程的定义，故③是一元二次方程； ④，当时，方程化为，不含二次项，故④不是一元二次方程； ⑤将整理得：，不含二次项，故⑤不是一元二次方程． 综上，只有③是一元二次方程． 故选：A． 2．一元二次方程的二次项系数，一次项系数与常数项分别是（    ） A．1，5，1 B．0，5， C．1，5， D．0，5，1 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式为（其中，，，是常数），其中，，分别叫做二次项系数，一次项系数，常数项，由此即可得出答案，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解此题的关键． 【详解】解：一元二次方程的二次项系数，一次项系数与常数项分别是1，5，， 故选：C． 3．若是一元二次方程，则m的值为（    ） A．2 B． C． D．1 【答案】A 【分析】此题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是正确理解只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方次方程．根据一元二次方程的定义即可判断． 【详解】解：∵是一元二次方程， ∴且． 解得． 故选：A． 4．若关于的二次方程的常数项等于，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义和常数为0，得，且，进而得出答案． 【详解】解：根据一元二次方程的常数等于0， 得，且， 解得，且， ∴． 故答案为：2． 5．已知是一元二次方程的一个解，求代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程解的定义、代数式求值等知识，由题意得到，将其代入即可得到答案，熟练掌握一元二次方程的定义及整体代入法求代数式的值是解决问题的关键． 【详解】解：是一元二次方程的一个解， ，则， ， 故答案为：． 6．关于x的方程的解是，（a，m，b均为常数，），则方程的解为 【答案】， 【分析】本题考查了一元二次方程的解．可把方程看作关于的一元二次方程，从而得到，，解之即可得出结论． 【详解】解：可把方程看作关于的一元二次方程， 关于的方程的解是，， 关于的方程的解是，， ，． 故答案为：，． 7．若a是方程的一个根，求的值． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的解，根据题意，得到，进而得到，，整体代入代数式进行计算即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴，， ∴． 8．已知关于x的方程． (1)当m为何值时，此方程为一元一次方程？ (2)当m为何值时，此方程为一元二次方程？ 【答案】(1) (2) 【详解】解：（1）由题意，得解得． （2）由题意，得，∴． 9．阅读与思考： 下面是小华求一元二次方程的近似解的过程． 如图，这是一张长、宽的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样大小的正方形，可制成一个底面积是的无盖长方体纸盒．小华在做这道题时，设剪去的正方形边长为，列出关于x的方程，整理得．    他想知道剪去的边长到底是多少，下面是他的探索过程． 探索方程的解： 第一步： x 0 1 2 17 9 因此：____________． 第二步： x 1.5 1.6 1.7 1.8 0.75 0.36 因此：____________. （1）请你帮助小华完成表格中未完成的部分，并写出x的范围； （2）通过以上探索，请直接估计出x的值．（结果保留一位小数） 【答案】（1），，，，（2） 【分析】 （1）第一步: 代入及, 可求出的的值, 进而可得出;第二步: 根据及时, 的值，进而可得出； （2）由的结论, 可得出的值约为. 【详解】 解：（1）第一步: 当时, ， 当时, , ∴； 第二步: 当时,， 当时,， ∴ . 故答案为：，，，； （2）通过以上探索,的值约为. 【点睛】 本题考查了估算一元二次方程的近似解，熟练掌握用列举法估算一元二次方程的近似解的方法是解题的关键. 题型二 一元二次方程的四大解法 1．用适当的方法解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)，； (2)，； (3)，； (4)，． 【分析】（）利用因式分解法解答即可求解； （）利用直接开平方法解答即可求解； （）移项，利用配方法解答即可求解； （）把方程整理成一般式，再利用公式法解答即可求解； 本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∴，； （3）解：∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴，； （4）解：方程整理得，， ∴，，， ∴， ∴， ∴，． 2．选用适当方法解下列方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键． （1）用直接开平方法求解即可； （2）用配方法求解即可； （3）用公式法求解即可； （4）移项后用因式分解法求解即可. 【详解】（1）∵ ∴ ∴ ∴ ∴ （2）∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ （3）∵ ∴ ∴ ∴ （4）∵ ∴ ∴ ∴或 ∴ 3．用适当方法解方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用公式法解一元二次方程，即可作答． （2）令每个因式等于0，进行计算，即可作答． （3）等号右边提取3，得，再移项，然后提取公因式，令每个因式等于0，进行计算，即可作答． （4）移项合并同类项，得，再运用因式分解，令每个因式等于0，进行计算，即可作答． 【详解】（1）解： 则 ∴ （2）解： ∴ （3）解： ∴ （4）解： ∴ ∴ 4．用适当的方法解下列一元二次方程． (1)（配方法）； (2)（公式法）； (3)（因式分解）； (4)（适当方法）； (5)（适当方法）． 【答案】(1)，； (2)，； (3)，； (4)，； (5)，． 【分析】此题考查了解一元二次方程因式分解法，配方法，公式法，熟练掌握各自的解法是解本题的关键． 方程利用配方法求解即可； 方程利用公式法求解即可； 方程利用因式分解法求解即可； 方程整理后，利用公式法求解即可； 方程利用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：方程整理得：， 配方得：，即， 开方得：， 解得：，； （2）解：，，， ， ， 解得：，； （3）解：方程整理得：， 分解因式得：， 所以或， 解得：，； （4）解：方程整理得：， ，，， ， ， 解得：，； （5）解：方程分解得：， 所以或， 解得：，． 5．用适当方法解下列方程 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)， (2) (3) (4) 【分析】本题考查了直接开平方法，因式分解法和公式法解一元二次方程，选择适当解方程的方法是解题的关键． （1）利用公式法求解即可． （2）利用直接开平方法计算即可． （3）利用因式分解法法求解即可． （4）利用因式分解法法求解即可． 【详解】（1）∵, 在这里， ∴， 解得，． （2）， ∴， ∴． （3）∵， ∴ ∴， 解得． （4）∵, ∴ ∴， 解得． 6．用适当方法解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程的方法−因式分解法， （1）先利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可； （2）先把方程变形为，再利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可； 熟练掌握其方法是解决此题的关键． 【详解】（1） ， 或， ∴； （2）， ， ， 或， ∴． 7．用适当方法解下列方程． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键． （1）整理后用直接开平方法求解即可； （2）用因式分解法i求解即可； （3）用公式法求解即可． 【详解】（1）原方程可化为：， ， ∴， ∴； （2）原方程可化为：， 或， ∴，； （3）， ， ∴． 8．按要求解下列方程： (1)；（配方法） (2)；（用适当方法） (3)；（公式法） (4)．（用适当方法） (5)；（用适当方法） (6)．（用适当方法） 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程： （1）先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，最后解方程即可； （2）先移项，然后利用提公因式法分解因式，再解方程即可； （3）利用公式法解方程即可； （4）先把方程化为一般式，再利用因式分解法解方程即可； （5）利用直接开平方的方法解方程即可； （6）利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得； （4）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得； （5）解：∵， ∴， 解得； （6）解：∵， ∴， ∴或， 解得． 9．请选择适当方法解下列方程： (1) (2) (3) 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）将方程两边都除以5，再利用直接开平方法解方程即可； （2）将原方程变形为利，再用因式分解法解方程即可； （3）将方程化为一般形式，再利用公式法解方程即可． 熟练掌握各种解一元二次方程的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：， 方程两边都除以5，得， 直接开平方，得， 所以或， 即，； （2）， 原方程可变形为， 即， 方程左边因式分解，得， 所以或， 得，； （3）， 将方程化为一般形式，得， 因为， 所以， 即，． 10．用适当方法解下列方程 (1)； (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查解一元二次方程，根据方程特点选择合适的方法解方程是关键． （1）利用因式分解法求解即可； （2）利用配方法求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ∴或， 解得：，； （2）解：， ， ， ， ∴， ∴，． 11．计算：用适当方法解方程： (1)； (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）把方程的左边分解因式，再把方程化为两个一次方程，再解一次方程即可； （2）利用配方法解方程即可． 【详解】（1）解： 解得：，； （2）解： 或 解得：，． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握“利用配方法与因式分解法解一元二次方程”是解本题的关键． 12．用适当的方式解下列方程 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法，直接开平方法，公式法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用解一元二次方程-直接开平方法进行计算，即可解答； （2）利用解一元二次方程-因式分解法进行计算，即可解答； （3）利用解一元二次方程-公式法进行计算，即可解答； （4）利用解一元二次方程-因式分解法进行计算，即可解答． 【详解】（1）解： 解得：； （2）解： 或 解得：； （3）解： 解得：； （4）解： 或 解得：． 题型三 配方法的应用 1．若将方程进行配方，则该方程可变形为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元二次方程：配方法的应用，根据移项，再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，然后化为完全平方公式，即可作答． 【详解】解： ∴ 故选：A 2．用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了配方法，熟练掌握配方法的基本步骤是解题的关键． 方程两边同时加上一次项系数一半的平方即计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴， 即， ∴． 故选：B 3．问题：聪明的你知道代数式的最小值为多少吗？解：因为，又因为，所以，所以的最小值为1．请用上述方法，解决代数式的最小值为（    ） A．3 B． C．6 D． 【答案】B 【分析】本题考查了配方法的应用，模仿题意的解题过程，进行变形作答即可． 【详解】解：依题意，， ∵， ∴， ∴所以的最小值为， 故选：B． 4．已知，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查了配方法，正确配方是解题的关键，先将配方，再对应相等即可得到答案． 【详解】， 解得， 故答案为：4． 5．若关于x的一元二次方程：与，则称其为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程：与是“同族二次方程”，那么代数式能取得最大值是 ． 【答案】 【分析】利用“同族二次方程”定义列出关系式，再利用多项式相等的条件列出关于a与b的方程组，求出方程组的解得到a与b的值，进而利用非负数的性质确定出代数式的最大值即可． 【详解】解： 与是“同族二次方程”， ， ∴， ， ∴， ∴， ， ， ， 最大值为， 即最大值为． 故答案为：． 【点睛】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及一元二次方程的定义，弄清题中的新定义是解本题的关键． 6．实数，满足是实数，则的最小值是 ． 【答案】20 【分析】此题考查了完全平方公式的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．把变形为，求出m的最小值，将代入所求式子，根据完全平方公式进行变形，利用偶次方的非负性解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵ ∴， ∴， 即m的最小值为1． ∴ ， 当时， 原式 ∵， 则代数式的最小值是20， 故答案为：20． 7．用配方法求证：代数式的值恒为正数． 【答案】见解析 【分析】本题考查了配方法，将代数式配方，根据非负数的性质即可求解． 【详解】证明：， 原代数式的值恒为正数． 8．阅读材料：利用完全平方式，将多项式变形为的形式，然后由就可以求出多项式的最小值． 例题：求的最小值 解： 无论x取何值，总是非负数， 即所以 所以：当时，有最小值，最小值为5 根据上述材料，解答下列问题： (1)填空： (2)将多项式变形为的形式，并求出的最小值； (3)若一个长方形的长和宽分别为和，面积记为，另一个长方形的长和宽分别为和，面积记为，试比较和的大小，并说明理由． 【答案】(1)；6 (2)变形见解析， (3)，理由见解析 【分析】（1）利用配方法即可得； （2）利用配方法得，根据非负数的性质即可得； （3）根据题意得，，利用作差法和配方法得，即可得． 【详解】（1）解：， 故答案为：，6； （2）解： = =， 无论x取何值时，总是非负数， 即， ∴， ∴的最小值为； （3）解： =， =， ∴ = =， ∵无论x取何值时，总是非负数， 即， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了配方法，完全平方公式，非负数的性质，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点． 9．我们知道，所以代数式的最小值为0．学习了多项式乘法中的完全平方公式，可以逆用公式，即用来求一些多项式的最小值． 例如，求的最小值问题． 解：∵， 又∵，∴，∴的最小值为． 请应用上述思想方法，解决下列问题： (1)探究：； (2)求的最小值． 【答案】(1)；1 (2) 【分析】（1）根据完全平方式的特征求解即可； （2）先配方，再求最值． 【详解】（1）解：． 故答案为：；1． （2）解：， ∵， ∴当即时， 原式有最小值． 【点睛】本题主要考查的是配方法的应用，“熟练的利用配方法求解代数式的最值”是解本题的关键． 题型四 换元法解一元二次方程 1．如果．那么 (　　) A． B． C．或 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，设，得出，解一元二次方程，进而即可求解． 【详解】解：设，，则， 整理，得， 解得或(舍去)． 即， 故选：B． 2．若实数满足方程，那么的值为（    ） A． B．4 C．或4 D．2或 【答案】B 【分析】此题考查了换元法解一元二次方程．设，则原方程转化为关于y的新方程，通过解新方程来求y的值，即的值． 【详解】解：设， 原方程变形为， 整理得：， 解得：， 当时，， 即， 此时； 当时，， 即， 此时； 此时方程无解； ∴． 故选：B 3．已知一元二次方程的两根分别为，3，则方程的两根分别为（    ） A．2， B．，4 C．3， D．，5 【答案】B 【分析】本题考查了解一元二次方程——换元法．设，则方程变形为，可得方程的两根分别为，3，即可求解． 【详解】解：设，则方程变形为， ∵一元二次方程的两根分别为，3， ∴方程的两根分别为，3， ∴或3， ∴， ∴． 故选：B 4．已知x为实数，且满足，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元二次方程及二次三项式的最值，根据多项式配方得到取值范围，解一元二次方程即可得到答案 【详解】解：设， ∵， ∴， 原方程变形得：， 解得：，（不符合题意舍去）， 故答案为：． 5．用换元法解分式方程时，如果设，那么可将原方程变形后表示为关于y的一元二次方程一般形式： ． 【答案】 【分析】此题考查了换元法解方程，根据题意将直接换掉即可得到答案 【详解】解：设，则可将原方程变形为, 化为一般形式为 故答案为 6．若关于x的一元二次方程的解为，则关于y的一元二次方程的解为 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程．把原方程变形为，根据题意可得或，即可求解． 【详解】解：， ∴， ∵关于x的一元二次方程的解为， ∴或， 解得：． 故答案为： 7．利用换元法解下列方程 (1)； (2)． 【答案】(1)，． (2)，． 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键，解一元二次方程的方法有直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等． （1）利用换元法求解即可； （2）利用换元法求解即可． 【详解】（1）设，原方程可变为： 解得：或，即或． 当时，，没实数根， 当时，解得． 故原方程的根是，． （2）设，原方程可变为：， 解得：或， 当时，可得，解得：， 当时，可得，解得：， 故原方程的根是，． 8．阅读材料，解答问题． 解方程：， 解：把视为一个整体，设， 则原方程可化为：， 解得：，， 或， ，， 以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照上例，请用换元法解答问题： 已知，求的值． 【答案】4 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，把视为一个整体，设，则原方程转化为关于的一元二次方程，通过解该方程求得即的值． 【详解】解：设，则原方程可化为：， 解得：，， ∵， 则． 9．【注重阅读理解】阅读材料： 为了解方程，我们可以将看作一个整体 解：设，则原方程可化为①，解得：， 当时，，∴．∴； 当时，，∴，∴． 故原方程的解为，，，． 解答下列问题： (1)上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用______法达到了降次的目的，体现了转化的数学思想； (2)请利用以上知识解方程：； 【答案】(1)换元 (2) 【分析】(1)利用换元思想解方程； (2) 设，则原方程化为，再解方程即可． 【详解】（1）述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了转化的数学思想； 故答案为：换元； （2）设，则原方程化为 ∴ ∴，， 当时，，∴．∴； 当时，，∴，∴． 故原方程的解为． 【点睛】此题考查了换元法解一元二次方程，利用公式法解一元二次方程，正确理解题意利用换元法解方程是解题的关键． 题型五 根据一元二次方程根的情况求参数 1．若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围为（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义以及根的情况，熟练掌握一元二次方程根的情况是解题的关键．根据题意得到且即可得到答案． 【详解】解：根据题意得且， 解得且． 故选：D． 2．使关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根的k的取值范围是（    ） A． B． C．≥ D．以上结果都不对 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根，根据即可解答． 【详解】解：方程有两个不相等的实数根， ∴，且， ∴且， 故选：D． 3．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．利用判别式的意义和一元二次方程的定义列解不等式组求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：且， 故选：C． 4．若关于x的方程有四个不相等的实数根，则b的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义，首先得到或，然后根据题意得到，据此求解即可． 【详解】∵ ∴或 ∴或 ∵关于x的方程有四个不相等的实数根， ∴且 解得． 故答案为：． 5．已知关于x的一元二次方程没有实数根，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了根的判别式，用一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求出两个不等式的公共部分即可． 【详解】根据题意得且， 解得． 故答案为：． 6．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查一元二次方程的定义及根的判别式，由一元二次方程的二次项系数不能为0得，由方程有两个不相等的实数根可得，由此可解． 【详解】解：关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ，， 解得且， 故答案为：且． 7．已知关于的方程，若方程有实数根，求m的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．也考查了不等式的解法．根据的意义得到，即，然后解不等式即可． 【详解】解：方程有实数根， ，即， 解得， 的取值范围是． 8、已知关于x的一元二次方程，其中、、分别为三边的长． (1)如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由； (2)如果方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由； (3)如果是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 【答案】(1)是等腰三角形，理由见解析 (2)是直角三角形，理由见解析 (3)， 【分析】此题主要考查了等腰三角形的判定，直角三角形的判定，等边三角形的性质，解一元二次方程，解本题的关键是建立方程． （1）将代入方程中，化简即可得出，即可得出结论； （2）利用一元二次方程有两个相等的实数根，用建立方程，即可得出，进而得出结论； （3）先判断出，再代入化简即可得出方程，解方程即可得出结论． 【详解】（1）解：是等腰三角形， 理由：当时，， 化简得：， 是等腰三角形； （2）解：是直角三角形， 理由：方程有两个相等的实数根， ， ， 是直角三角形； （3）解：是等边三角形， ， 原方程可化为：， 即：， ， ，， 即：这个一元二次方程的根为，． 9．已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)求出方程的根； (3)若方程的两个根都是正整数，求整数的值． 【答案】(1)见详解 (2)， (3)或． 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，根的判别式以及根据一元二次次方程根的情况求出参数等知识． （1）先求出，再根据根的判别式得出答案即可； （2）用因式分解法解一元二次方程即可． （3）利用一元二次次方程根的情况求出参数即可． 【详解】（1）证明：，，， ∴ ， ∴ 方程总有两个实数根 （2） ， ∴或， ∴， （3）由（2）知，， ∵m为整数，方程的两个根都是正整数， ∴必为正整数， ∴或2， ∴或． 题型六 一元二次方程根与系数的关系 1．已知实数满足，则以为根的一元二次方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此求解即可． 【详解】解：∵实数满足， ∴当以为根的一元二次方程的二次项系数为1时，此时一次项系数为，常数项是，即符合题意的方程为， 故选：A． 2．已知m，n是方程的两根，则代数式的值是（    ） A． B．12 C．3 D．0 【答案】B 【分析】利用一元二次方程的解及根与系数的关系，即可得出，，再将其代入，计算即可．本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程的解的定义是解决本题的关键． 【详解】解：，是关于的方程的两根， ，，． ． 故选：B 3．已知 是方程 的两个根，则 的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了根与系数的关系等知识点，根据一元二次方程根与系数的关系得出和，再利用整体思想即可解决问题，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 【详解】∵，是方程的两个根， ∴，， ∴ ， 故选：B． 4．已知是关于x的方程的两个实数根，且，则m的值等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系；根据题意可知，即，然后根据根与系数的关系代入求值即可；熟知一元二次方程根与系数的关系是关键． 【详解】解∶∵是关于x的方程的两个实数根， ∴，， ∵，即， ∴， ∴， 故答案为∶． 5．关于x的一元二次方程的两个根分别为和，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，将一元二次方程转化为一般式，由根与系数的关系得到，再将变形为代入数据计算即可． 【详解】解：关于x的一元二次方程即的两个根分别为和， ， ， ， 故答案为：． 6．已知是方程的两个实数根，则的值是 ． 【答案】2023 【分析】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的解，正确理解一元二次方程的解的定义是解题的关键．由一元二次方程根与系数关系得，，再代入求值即可． 【详解】解：∵是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为：2023． 7．已知一元二次方程有两个实数根． (1)求k的取值范围； (2)若方程的两个实数根分别为，且满足，请求出k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程： （1）根据判别式求解即可； （2）由根与系数的关系得到，再根据已知条件建立关于k的方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得， 解得： （2）解；由根与系数的关系可得， ∵， ∴= 解得． 8．已知关于x的一元二次方程有实数根． (1)求m的取值范围； (2)若该方程的两个实数根为，且，求m的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系以及根的判别式： （1）由方程有实数根，可得，可解得m的取值范围； （2）根据根与系数的关系得，根据，即可得关于m的方程，解出m的值即可． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴，即， 解得：， ∴m的取值范围是； （2）解：∵该方程的两个实数根为， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：． 9．如果方程的两个根是、，那么，．请根据以上结论，解决下列问题： (1)已知关于的方程，求出一个关于的一元二次方程，使它的两根分别是已知方程两根的倒数； (2)已知、满足，，求的值； (3)已知、、为实数，且，，若为中最大值，求的最小值． 【答案】(1) (2)的值为2或 (3)最小值为4 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式： （1）根据题意可得，，进而得到，，据此可得答案； （2）当时，；当时，、可看作方程的两实数根，则，，据此求出答案即可； （3）先求出，，，进而得到是关于x的一元二次方程的两实根，再利用判别式求出c的取值范围即可得到答案． 【详解】（1）解：设方程的两根分别为、， 由题意得，，， ∴，， ∴所求新方程为， 整理得； （2）解：当时，； 当时，、可看作方程的两实数根，则，， ∴ ， 综上所述，的值为2或； （3）解：∵，，是，，中的最大者， ∴，，． ∴是关于x的一元二次方程的两实根， ∴ ∴， 整理得， ∴， ∴最小值为4． 题型七 营销问题 1．某商场将进货价为45元的某种服装以65元售出，平均每天可售30件，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现：每件降价1元，则每天可多售5件，如果每天要盈利800元，每件应降价x元，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设每件降价元则每件的盈利为元，每天可出售件，由总利润每件的盈利日销量，进而列出方程，即可得解． 【详解】解：设每件降价 元，则每件的销售利润为元，每天可售出件， 根据题意得：， 故选：A 2．某水果批发商经销一种高档水果，如果将进货价为每千克6元的水果以每千克16元的价格售出，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价格不变的情况下，出售价每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．若该商场要想保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元?（    ） A．10元 B．8元 C．3元 D．5元 【答案】D 【分析】设每千克水果应涨价x元，得出日销售量将减少千克，再由盈利额每千克盈利日销售量，依题意得方程求解即可． 【详解】解：设每千克应涨价x元， 依题意得方程：， 整理，得， 解这个方程，得，． 要使顾客得到实惠，应取． 故选：D． 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 3．某商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．经调查发现，商品销售单价每降1元，平均每天可多售出2件．在每件盈利不少于25元的前提下，要获利1200元利润，每件商品应降价（    ） A．10元 B．20元 C．10元或20元 D．13元 【答案】A 【分析】根据题意设每件商品降价元，则平均每天可售出件，根据每日的总利润每件商品的利润每日的销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合即可确定的值． 【详解】解：设每件商品降价元，则平均每天可售出件， 依题意得：， 整理得：， 解得：，， 又， ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 4．某商品的进价为每件40元，当售价为每件60元时，每星期可卖出200件，现需降价处理，且经市场调查发现：每降价1元，每星期可多卖出8件，店里每周利润要达到8450元，若设店主把该商品每件售价降低x元，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．当店主把该商品每件售价降低x元时，每件的销售利润为元，每星期可卖出件，利用每星期的销售总利润＝每件的销售利润×每星期的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：当店主把该商品每件售价降低x元时，每件的销售利润为元， 根据题意得：． 故答案为：． 5．某商店将进货价为元的玩具按每件元售出，每周可销售件现在采取提高售价，减少售货量的方法增加利润，已知这种玩具每涨价元，其销量减少件，要使每周获得元的利润，则售价为 元． 【答案】13或15 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设每件涨价x元，每件的销售利润为：元，每月的销售量件，根据每月的利润等于每件的销售利润乘以销售量列出关于x的一元二次方程求解即可． 【详解】解：设每件涨价x元，每件的销售利润为：元， 每月的销售量为：件， 根据题意有：， 整理得：， 解得：，， 当时，， 当时，， ∴售价为：13元或15元， 故答案为：13或15． 6．香云纱作为广东省佛山市特产，中国国家地理标志产品，是世界纺织品中唯一用纯植物染料染色的丝绸面料，被纺织界誉为“软黄金”，在某网网店，香云纱连衣裙平均每月可以销售120件，每件盈利200元.为了尽快减少库存，决定降价促销，通过市场调研发现，每件每降价20元，则每月可多售出30件.如果每月要盈利2.88万元，则每件应降价 元． 【答案】80 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设每件应降价x元，则每件的销售利润为元，每月可售出件，利用总利润=每件的销售利润×月销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再结合要尽快减少库存，即可确定结论． 【详解】解：设每件应降价x元，则每件的销售利润为元，每月可售出件， 根据题意得：， 整理得： 解得： 又∵要尽快减少库存， ∴， ∴每件应降价80元． 故答案为：80． 7．2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”意喻敦厚、健康、活泼、可爱，象征着冬奥会运动员强壮的身体、坚韧的意志和鼓舞人心的奥林匹克精神．为满足市场需求，某超市购进一批吉祥物“冰墩墩”，进价为每个15元，第一天以每个25元的价格售出30个，为了让更多的消费者拥有“冰墩墩”，从第二天起降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出3个． (1)当售价小于25元时，试求第二天起每天的销售量y（个）与每个售价x（元）之间的函数关系式； (2)如果前两天共获利525元，且第二天销售数量不低于30个，则第二天每个“冰墩墩”的销售价格为多少元？ 【答案】(1) (2)第二天每个“冰墩墩”的销售价格为20元 【分析】（1）利用销售量每个降低的钱数，即可找出与之间的函数关系式，再结合每个“冰墩墩”的进价及从第二天起降价销售，即可得出自变量的取值范围； （2）利用总利润每个的销售利润销售数量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，结合（1）中的取值范围及第二天销售数量不低于30个，即可得出结论． 本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，找出与之间的函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 【详解】（1）解：依题意得：． （2）解：依题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 当时，，符合题意． 答：第二天每个“冰墩墩”的销售价格为20元． 8．某商场经营一种成本为每千克40元的产品． (1)已知四月份该产品的销售量为，经过适当调价后，6月份该产品的销量为，求月份该产品销售的月平均增长率． (2)经市场调查发现，当该产品的售价为每千克50元时，月销售量为，每千克售价每涨价1元，月销售量将减少，该商场计划在月销售成本不超过10000元的情况下，要使月销售利润达到8000元，问销售该产品时每千克应涨多少元？ 【答案】(1)月份该产品销售的月平均增长率为 (2)销售该产品时每千克应涨30元 【分析】此题考查的是一元二次方程的应用，读懂题意，找到合适的等量关系，然后设出未知数正确列出方程是解题的关键． （1）设月份该产品销售的月平均增长率为x，列方程并解方程即可解决； （2）根据销售单价每涨价1元，月销售量就减少10千克，结合月销售利润=每件利润×数量即可列出方程，解方程即可； 【详解】（1）解：设月份该产品销售的月平均增长率为x，由题意得： ， 解得：（不合题意舍去）， 答：月份该产品销售的月平均增长率为； （2）解：设销售该产品时每千克应涨y元, , 解得：， 当时，月销售成本为，不合题意舍去， 当时，月销售成本为，符合题意， ∴， 答：销售该产品时每千克应涨30元． 9．直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在某上对一款成本价为元件的小商品进行直播销售，如果按每件元销售，每月可卖出件．通过市场调查发现，每件小商品的售价每上涨元，每月的销售件数就减少件，为了使每月的销售利润为元，且让顾客得到实惠，每件小商品的售价应定为多少元？这时电商每月能售出小商品多少件？ (1)解法1：设每件小商品涨价元，由题意得方程：______． 解法2：设每件小商品的售价应定为元，由题意得方程：______． (2)请你选择(1)中的一种解法完成解答． 【答案】(1)； (2)每件小商品的售价元，每月能售出小商品件 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用； （1）①设每件小商品涨价元，根据售价乘以数量等于利润列出一元二次方程，即可求解； ②设每件小商品的售价应定为元，根据售价乘以数量等于利润列出一元二次方程，即可求解； （2）根据（1）的方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：解法1：设每件小商品涨价元，由题意得方程：， 解法2：设每件小商品的售价应定为元，由题意得方程：， 故答案为：；． （2）解法1：． 整理，得，解得． 为了让顾客得到实惠  舍去  即 当时，每件小商品的售价(元)，每月售出小商品(件)； 答：每件小商品的售价50元，每月能售出小商品500件； 解法2：． 整理，得，解得． 为了让顾客得到实惠  舍去  即 当时，每件小商品的售价为50元，每月能售出小商品(件)； 答：每件小商品的售价50元，每月能售出小商品500件； 题型八 与图形有关的问题 1．某校园有一块正方形的空地，按如图所示划分区域种花，已知中间互相垂直的两条小路的宽分别，，且四个种花区域的面积相同，均为，设原正方形空地的边长为，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 设原正方形空地的边长为，则剩余的空地长为，宽为，根据长方形的面积公式可列出方程． 【详解】解：设原正方形空地的边长为， 依题意有， 即； 故选：C． 2．在数学实践课上，小华要给一幅长，宽的手抄报加一个边框，如图所示，上下左右边框的宽度相等，且整个图形面积为，则小华添加的边框的宽度是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，设小华添加的边框的宽度是，根据整个图形面积为，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设小华添加的边框的宽度是，由题意，得： ， 解得：（舍去）； 故小华添加的边框的宽度是； 故选A． 3．阿进同学有一块长， 宽的长方形纸板，他想制作一个有盖的长方体盒子．为了合理使用材料，他设计了如图所示的裁剪方案，空白部分为裁剪下来的边角料，其中左侧两个空白部分为正方形．如果裁剪并折出底面积为的有盖盒子（盒盖与盒底的大小形状相同），那么裁去的左侧正方形的边长是（    ）      A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设裁去左侧正方形的边长为，则折成的长方体盒子的底面长为，再根据矩形面积计算公式列出方程求解即可． 【详解】解：设裁去左侧正方形的边长为，则折成的长方体盒子的底面长为， 由题意得，        整理得：， 解得： (不合题意，舍去)          ∴折成的有盖盒子，裁去左侧的正方形边长是， 故选：D． 4．张老汉打算在自家的责任田中圈出一块面积为的矩形土地种植玉米，为方便种植，圈出的矩形土地的长与宽应相差，设该矩形土地的长为，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设该矩形土地的长为，则宽为，根据“面积为”列出一元二次方程即可． 【详解】解：设该矩形土地的长为，则宽为， 由题意得：， 故答案为：． 5．如图，将边长为的正方形沿两边剪去宽相同的矩形，剩下的部分是一个边长为的正方形，已知剪去部分的面积为，则＝ ． 【答案】2 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正方形的面积公式，正确的识别图形是解题的关键．根据正方形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：根据题意得，， 解得：（负值舍去）， 故答案为：2． 6．如图，在宽为，长为的矩形地面上修建两条宽均为的小路（阴影），余下部分作为草地，草地面积为，根据图中数据，求得小路宽的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．剩余部分可合成长为，宽为的矩形，利用矩形的面积公式结合草地面积为，即可得出关于的一元二次方程，求解并注意检验． 【详解】解：根据题意得：， 化简得：， 解得：，， ∵当时，， ∴舍去， 故答案为：． 7．如图，要使用长为27米的篱笆一面利用墙（墙的最大可用长度为12米，靠墙的一面不用篱笆），围成中间隔有一道篱笆的长方形花在圃（中间的篱笆将长方形分成两个小长方形）．如果要围成面积为54平方米的长方形花圃，那么的长为多少米？ 【答案】的长应为6米 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，表示出、的长，再找出题目中的等量关系，列出方程．设花圃的宽为米，用总长减去三个宽即为的长，则米，再利用矩形的面积公式列出方程求解即可． 【详解】解：设花圃的宽为米，则米， ， 解得：，， 当时，，不符合题意， 当时，，符合题意， 答：的长应为6米． 8．育光中学为美化校园，准备在东西长、南北宽的长方形土地上，修筑分别为东西与南北方向两条宽度相等的长方形水泥道路，余下部分作为花坛，并且使花坛的总面积为． (1)请为学校设计出尽可能多的方案，并对各方案的优劣进行说明（画出草图）； (2)如果设道路的宽为，列出各种方案中关于x的方程，并求出x的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据长方形土地的长和宽以及花坛的面积结合水泥道路的要求设计方案，并从对称性及美观的角度对设计出的方案作出评价； （2）根据“道路的宽为”结合设计出的方案中花坛面积与长方形的长、宽以及道路的宽之间的数量关系列出方案对应的方程；最后，利用公式法求解各个方程，即可得出的值，进而完成解答． 此题主要考查了二元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程． 【详解】（1）解：方案如图： 方案①具有一般性，其他四种方案具有特殊性，从美学的角度方案③最出色，方案③④都具有对称性． （2）解：方案①可列出方程， 解得，(舍去）； 方案②可列出方程， 解得(舍去）； 方案③可列出方程， 解得，(舍去）； 方案④可列出方程， 解得，(舍去）； 方案⑤可列出方程， 解得，(舍去）； 的值都等于． 9．有一块长，宽的矩形纸片． (1)如图1，如果在纸片的四个角裁去四个边长相等的小正方形（阴影部分）后，将其折成无盖长方体盒子．若折成的盒子的底面积为，求裁去的小正方形的边长； (2)若需要制作一个有盖的长方体盒子，为了合理利用材料，小颖设计了如图2的裁剪方案（阴影部分为裁剪下来的边角料），其中左侧的两个阴影部分为正方形，右侧的两个阴影部分为矩形，问能否折出底面积为的有盖盒子（接缝忽略不计）？如果能，请求出盒子的体积；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)； (2)能，． 【分析】本题考查了利用矩形的面积公式建立一元二次方程求解的运用．在解答中注意要检验方程的根是否使实际问题有意义．这是在解答时学生容易忽略的问题． （1）设小正方形的边长为，根据题意列出方程就可以求出其解． （2）设小正方形的边长为，根据其底面积为列出方程求解即可． 【详解】（1）设小正方形的边长为，由题意得 ． 解得，，（不符合题意，舍去） ∴裁去的小正方形的边长为； （2）设小正方形的边长为，由题意得 解得，，（不符合题意，舍去） ∴盒子的体积为． 题型九 动态几何问题 1．如图，在矩形中，，，点从点沿方向向点以运动，点从点沿方向向点以运动，若、从点同时出发，几秒钟时的面积是（　　） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是根据图形，得出数量关系，列出方程求解．设当运动时间为时，，，，根据，解方程即可求解； 【详解】，． 当运动时间为时，，，，， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，不符合题意，舍去， 秒时的面积是． 故选：B． 2．如图，在中，，，，动点P，Q分别从点A，B同时开始运动（运动方向如图所示），点P的速度为，点Q的速度为，点Q运动到点C后停止，点P也随之停止运动，若使的面积为，则点P运动的时间是（    ）    A．2s B．3s C．5s或3s D．5s 【答案】B 【分析】先求解，设运动时间为，可得，，再利用面积建立方程求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 设运动时间为， ∴，， ∵的面积为，即 ，解得：，． 当时，，不成立，舍去， ∴， 故选B． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，勾股定理的应用，理解题意，熟练的建立方程求解是解本题的关键． 3．如图，矩形中，，，动点E从A出发，以的速度沿向B运动，动点F从C出发，以的速度沿着CD向D运动，当点E到达点B时，两个点同时停止．则的长为时点E的运动时间是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】过E作于点M，当运动时间为秒时，，利用勾股定理解，可得关于t的一元二次方程，解方程即可得出结论． 【详解】解：如图所示，过E作于点M， 由题意知，当运动时间为秒时，，，， ， 根据勾股定理得：， 即， 整理得：， 解得：，， 的长为时点E的运动时间是或， 故选C． 【点睛】本题考查勾股定理以及解一元二次方程，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程．本题作答方法不唯一，也可以通过分类讨论求解． 4．如图，在中，，，，点从A点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，则、分别从A、同时出发，经过 秒钟，使的面积等于． 【答案】2或4 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解本题的关键在利用数形结合思想，找准等量关系，正确列出方程． 设经过秒，的面积等于，得出，，根据三角形的面积公式，得出关于的一元二次方程，解出即可得出结论． 【详解】解：设经过秒，的面积等于，则，， 根据题意，可得：， 即， 解得：，， ∴经过或，的面积等于， 故答案为：2或4． 5．如图，在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度运动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度运动．若点P，Q同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，设运动时间为．当五边形的面积等于时，t的值为 ．    【答案】3或5/5或3 【分析】根据题意，知，则可求出，再由面积为，列出方程，解方程即可． 【详解】解：根据题意，知， ， ∵五边形的面积等于， ∴ ， 矩形， ， ， ， ∴3秒或5秒后五边形的面积等于． 故答案为：3或5． 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用．利用长方形的性质与三角形面积，找出等量关系并正确列出一元二次方程是解题的关键． 6．如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿以的速度向点B运动，同时点Q从点B出发沿以的速度向点C运动，点P到达终点后，P，Q两点同时停止运动，当 秒时，P，D两点之间的距离是P，Q两点之间距离的2倍． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，一元二次方程的应用，设时，P，D两点之间的距离是P，Q两点之间距离的2倍，根据矩形的性质和勾股定理得到，进而列出一元二次方程求解，即可解题． 【详解】解：设时，P，D两点之间的距离是P，Q两点之间距离的2倍，即， 又四边形是矩形， 故， 故， ， ， ， 解得，， 当时，，故舍去， ． 故为3s时，P，D两点之间的距离是P，Q两点之间的距离的2倍． 故答案为：3． 7．如图，在中，，，点在上从运动到（不包括），速度为；点在上从运动到（不包括），速度为．若点，分别从，同时出发，当，两点中有一个点运动到终点时，两点均停止运动．设运动时间为秒，请解答下列问题，并写出探索的主要过程． (1)当为何值时，，两点的距离为？ (2)当为何值时，的面积为？ 【答案】(1)经过1秒，P，Q两点的距离为 (2)经过秒或秒，的面积为 【分析】本题考查一元二次方程的应用，勾股定理．熟练掌握勾股定理，列出一元二次方程，是解题的关键． （1）设经过秒，P，Q两点的距离为，勾股定理列式求解即可； （2）利用，列式计算即可． 【详解】（1）解：设经过秒，P，Q两点的距离为， 由题意，得：， ∵在中，，， ∴， 由勾股定理，得：，即：， 解得：，（舍去）； ∴经过1秒，P，Q两点的距离为； （2）解：设经过秒，的面积为， 此时：，则：， ∴， 解得：， ∴经过秒或秒，的面积为． 8．如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以2cm/s的速度移动．如果点P，Q分别从点A，B出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．    (1)经过多长时间，的面积等于8cm2？ (2)的面积会等于面积的一半吗？若会，请求出此时的运动时间；若不会，请说明理由． 【答案】(1)2s或4s (2)不会，理由见解析 【分析】本题主要考查了三角形的动点与一元二次方程的综合，掌握动点的运动规律，三角形的面积与一元二次方程的运用， （1）的面积等于，设运动时间为t，则可用含t的式子表示，，根据数量关系，列方程即可求解； （2）计算出面积的一半，在根据（1）中的方法即可求解． 【详解】（1）点P的速度是1cm/s，点Q的速度是2cm/s，Q分别从点A，当点Q运动到点C时，，， ∴点P从点A到点B的时间为秒，点Q从点B到点C的时间为秒，Q运动的时间为t（）， ∴，， ∴， 即， 解方程得，，， ∴经过2s或4s时，的面积等于8cm2． （2）在中，，，， ∴， 设运动时间为a秒，根据题意得， ， ∴. ∵， ∴关于a的一元二次方程无解， ∴不存在的面积会等于面积的一半． 9．已知：如图所示，在中，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动．当两点中有一点到达终点，则同时停止运动． (1)如果分别从同时出发，那么几秒后，的面积等于？ (2)如果分别从同时出发，那么几秒后，的长度等于？ (3)如果分别从同时出发，在运动过程中，是否存在这样的时刻，使？若存在，求出运动时间，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)当时，的面积等于 (2)当时，的长度等于 (3)不存在，理由如下 【分析】（1）根据可得点从的时间为，点从的时间为，设运动时间为，用含的式子表示的值，根据题意方程求解即可； （2）在中，根据勾股定理定理运用含的式子表示的值，根据题意方程求解即可； （3）根据题意，假设，列式得，用根的判定即可确定方程无解，即假设错误，由此即可求解． 【详解】（1）解：在中，， ∴， ∵点的速度为，点的速度为， ∴点从的时间为，点从的时间为， 设运动时间为， ∴，，则， 假设的面积等于， ∴，整理得，， ∴或， ∵当两点中有一点到达终点，则同时停止运动，且， ∴舍去， ∴当时，的面积等于． （2）解：不存在，理由如下， 已知，，则， ∴在中，， 假设的长度等于， ∴，整理得，， ∴（不符合题意，舍去）或， ∴当时，的长度等于． （3）解：已知，，则，， 假设， ∴，整理得，， ∵， ∴方程无实根， ∴，即点运动过程中，不存在． 【点睛】本题主要考查直角三角形与动点问题，理解动点的运动，分别表示出相关线段的长度，掌握勾股定理，解一元二次方程的方法是解题的关键． 题型十 一元二次方程的新定义问题 1．在实数范围内定义一种新运算“※”，其运算规则为．根据这个规则，方程的解是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据新定义，列出常规式的方程，解答即可． 本题考查了新定义的应用、解一元二次方程，正确理解定义，建立方程是解题的关键． 【详解】∵ ，， ∴， 整理，得， 解得或， 故选C． 2．定义新运算，如，则方程的解是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法和步骤． 根据题意，将原方程化为，再将方程化为一般式，最后用因式分解法求解即可． 【详解】解：根据题意可得：， ， ∵， ∴， 整理得：， 解得：，， 故选：B． 3．定义一种新运算“”，对于任意实数，，，如，若（为实数）是关于的一元二次方程，并且该方程有实数根，则的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】利用新定义得到，然后利用且可判断方程根的情况． 【详解】解：由新定义得， 该方程是关于的一元二次方程， ， 方程有实数根． ， 解得：， 该方程有实数根时，且 故选：D． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 4．对于实数定义一种新运算：，若关于的方程（为整数）有两个相等的实数根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数的新定义运算，一元二次方程根的判别式，先由新定义运算得，即得，再根据即可求解，理解新定义运算是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 整理得，， ∵关于的方程有两个相等的实数根， ∴， 解得， 故答案为：． 5．定义新运算“*”：对于实数x和y，有，例如：，若关于x的方程有两个实数根，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据新定义，列出常规式的方程，解答即可． 本题考查了新定义的应用，正确理解定义，建立方程是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴变形为， 整理，得， ∵方程有两个实数根， ∴， 解得， 故答案为：． 6．新定义，若关于x的一元二次方程：与，称为“同类方程”．如与是“同类方程”． （1）与是“同类方程”，则 ； （2）现有关于x的一元二次方程：与是“同类方程”．那么代数式能取的最大值是 ． 【答案】 6 【分析】此题主要考查了配方法的应用，解二元一次方程组，理解“同类方程”的定义是解答本题的关键． （1）根据“同类方程”的定义，可得出b的值． （2）根据“同类方程”的定义，可得出a，b的值，从而解得代数式的最大值． 【详解】解：（1）与是“同类方程”， 即与是“同类方程”， ∴， 解得， 故答案为： （2）∵与是“同类方程”， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴ ∴当时，取得最大值为6． 故答案为：6． 7．定义新运算“”：当时，；当时，． (1)当时，求的值． (2)若，求x的值． 【答案】(1)6 (2)或 【分析】此题考查了解一元二次方程，实数的新定义运算、解一元一次不等式，解题的关键是正确分析新定义的运算法则． （1）首先根据新定义进行化简，再代入数值计算即可； （2）根据题意分和两种情况讨论，然后据新定义的运算规则列出一元二次方程求解并判断即可． 【详解】（1）解：当时， ； （2）当时，即：时，， 解得： ； 当时，即：时， 即， 解得：， ∵， ∴． 所以x的值是或 8．定义新运算：对于任意实数a、b，都有 等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如： ． (1)若 ，求x的值； (2)若m、n均为实数，且3⊕m的值小于10，判断关于x的方程 的根的情况． 【答案】(1)， (2)有两个不相等的实数根 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解法，实数的运算，解一元一次不等式，正确理解新运算是解决问题的关键． （1）根据新运算得出，解之可得到答案； （2）的值小于10知，解之求得．再在方程中由可得答案． 【详解】（1）根据运算定义，可得， 化简得   ， 解得∶ ； （2）根据运算定义，可得， ∴， ∴， ∴在方程 中， ， ∴关于x的方程 有两个不相等的实数根． 9．新定义：已知关于x的一元二次方程的两根之和与两根之积，分别是另一个一元二次方程的两个根，则一元二次方程称为一元二次方程的“再生韦达方程”，一元二次方程称为“原生方程”． 比如：一元二次方程的两根分别为，则，所以它的“再生韦达方程”为． (1)已知一元二次方程，求它的“再生韦达方程”； (2)已知“再生韦达方程”，求它的“原生方程”． 【答案】(1) (2)或 【分析】题目主要考查一元二次方程根与系数的关系及因式分解法解一元二次方程，熟练掌握根与系数的关系是解题关键． （1）根据一元二次方程根与系数的关系得出，然后根据新定义求解即可； （2）令它的“原生方程”两根分别为，根据题意得出，或，然后求解即可． 【详解】（1）解：解 得， 则，       所以一元二次方程的“再生韦达方程”为， 即； （2）解得， 令它的“原生方程”两根分别为， 则，或． 当，则所求“原生方程”为；           当，则所求“原生方程”为． 综上所述，它的“原生方程”为或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$