精品解析：四川省内江市威远县威远中学校2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题

威远中学2024-2025学年高三上学期开学考试 数学试题 出题人：刘洪波 做题人：邹代勇 审题人：黄 东 一、单选题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设为虚数单位，，则复数的虚部是（ ） A. B. C. D. 3. 已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点（-3，1），则sin2θ=（　　） A. B. C. D. 4. 已知，且，则（ ） A. B. C. 4 D. 5. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知Sn是递增的等比数列{an}的前n项和，其中S3＝，a32＝a4，则a5＝（ ） A. B. C. 8 D. 16 7. 记函数的最小正周期为T．若，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，，若，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分. 9. 已知函数,下列结论中正确的是（ ） A. 函数的周期是 B. 函数的图象关于直线对称 C. 函数的最小值是 D. 函数的图象关于点对称 10. 下列说法正确的有（ ） A. 已知一组数据的方差为3，则的方差也为3 B. 统计学中用线性相关系数r来衡量两个变量的线性相关性强弱，若r越小，则两个变量之间的线性相关性越弱. C. 已知随机变量X服从正态分布，若，则 D. 已知随机变量X服从二项分布，若，则 11. 已知函数，其中实数，则下列结论正确的是（　　） A. 必有两个极值点 B. 有且仅有3个零点时，的范围是 C. 当时，点是曲线的对称中心 D. 当时，过点可以作曲线的3条切线 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 若的展开式中二项式系数之和为32，则展开式中的系数为___________. 13. 中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁，戊5名航天员开展实验，其中天和核心舱安排3人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人．甲、乙两人要在同一个舱内，则不同的安排方案共有______________ . 14. 若定义在上的函数满足是奇函数，，，则__________． 四、解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 已知分别为的内角的对边，且. （1）求角A； （2）若，求出边并求出的面积 16. ChatGPT是AI技术驱动的自然语言处理工具，引领了人工智能的新一轮创新浪潮.某数学兴趣小组为了解使用ChatGPT人群中年龄与是否喜欢该程序的关系，从某社区使用过该程序的人群中随机抽取了60名居民进行调查.整理如下列联表： 年龄因素 对该程序的态度 合计 不喜欢该程序 喜欢该程序 青少年 7 中老年 16 30 合计 21 注:本研究定义年龄不小于45周岁为“中老年人”，其余的称为“青少年”. （1）请完成上面列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为年龄因素与是否喜欢该程序有关系; （2）在抽取的60名居民中有5人经常使用该程序辅助工作.以样本频率估计概率.若在全市范围内抽取20位居民，经常使用该程序辅助工作的人数为，求的数学期望和方差; （3）在抽取的60名居民中有10名高中生，其中有7名男生，3名女生.为进一步了解他们的对于AI的认知和看法，在10名高中生中，随机抽取3人进行访谈，设抽取的3人中男生人数为，求的分布列和数学期望. 附: 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 17. 已知函数． （1）若，，求曲线在处的切线的方程； （2）讨论函数的单调性； （3）若，对任意两个不同的，不等式恒成立，求的最小值． 18. 夏日天气炎热，学校为高三备考的同学准备了绿豆汤和银耳羹两种凉饮，某同学每天都会在两种凉饮中选择一种，已知该同学第1天选择绿豆汤的概率是，若在前一天选择绿豆汤的条件下，后一天继续选择绿豆汤的概率为，而在前一天选择银耳羹的条件下，后一天继续选择银耳羹的概率为，如此往复．（提示：设表示第天选择绿豆汤） （1）求该同学第一天和第二天都选择绿豆汤的概率 （2）求该同学第2天选择绿豆汤的概率； （3）记该同学第天选择绿豆汤的概率为，求出的通项公式. 19. 对于任意正整数n，进行如下操作：若n为偶数，则对n不断地除以2，直到得到一个奇数，记这个奇数为；若n为奇数，则对不断地除以2，直到得出一个奇数，记这个奇数为.若，则称正整数n为“理想数”. （1）求20以内的质数“理想数”； （2）已知.求m的值； （3）将所有“理想数”从小至大依次排列，逐一取倒数后得到数列，记的前n项和为，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 威远中学2024-2025学年高三上学期开学考试 数学试题 出题人：刘洪波 做题人：邹代勇 审题人：黄 东 一、单选题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】计算，，得到，再计算交集得到答案. 【详解】，，， . 故选：B. 2. 设为虚数单位，，则复数的虚部是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由复数的除法运算可求得，根据虚部定义可得结果. 【详解】由得：， 的虚部为. 故选：C. 3. 已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点（-3，1），则sin2θ=（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用任意角的三角函数的定义求得sinθ和cosθ 的值，再利用二倍角的正弦公式求得sin2θ的值． 【详解】∵角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点（-3，1）， ∴sinθ=，cosθ=， 则sin2θ=2sinθcosθ=2••（）=， 故选A． 【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，二倍角的正弦公式的应用，属于基础题 4. 已知，且，则（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的数量积可求. 【详解】因为，，则，， 则，故， 故选：C. 5. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】分别化简和,再根据充分、必要条件判断即可. 【详解】因为在单调递增，且, 所以，即 因为，所以,即, 所以存在两种情况：且，且， 因此推不出, 同样推不出, 因此“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 6. 已知Sn是递增的等比数列{an}的前n项和，其中S3＝，a32＝a4，则a5＝（ ） A. B. C. 8 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】设等比数列的公比为q，根据题意列方程，解出和q即可. 【详解】解：设递增的等比数列{an}的公比为，且q1， ∵S3＝，， ∴（1+q+q2）＝，q4＝q3， 解得＝，q＝2；＝2，q＝（舍去）． 则＝＝8． 故选：C． 7. 记函数的最小正周期为T．若，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由最小正周期可得，再由即可得，即可求得. 【详解】根据最小正周期，可得，解得； 又，即是函数的一条对称轴， 所以，解得. 又，当时，. 故选：C 8. 已知函数，，若，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知可得出，分析函数的单调性，可得出，即可得出，结合二次函数的基本性质可求得的最大值. 【详解】因为函数、均为上的增函数，所以，函数为上的增函数， ，因为，其中， 所以，，故， 当且仅当时等号成立，故的最大值为. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于利用指对同构思想结合函数单调性得出，将所求代数式转化为以为自变量的函数，将问题转化为函数的最值来处理. 二、多选题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分. 9. 已知函数,下列结论中正确的是（ ） A. 函数的周期是 B. 函数的图象关于直线对称 C. 函数的最小值是 D. 函数的图象关于点对称 【答案】AC 【解析】 【分析】根据的解析式,由可求其周期,令即可求对称轴,根据,即可求最值,根据对称中心是令,即可判断选项D正误. 【详解】解:由题知, , 故选项A正确; 令, 解得: , 令, 令, 故选项B错误; 因为, 所以, 故选项C正确; 因为对称中心纵坐标为1, 故选项D错误. 故选:AC 10. 下列说法正确的有（ ） A. 已知一组数据的方差为3，则的方差也为3 B. 统计学中用线性相关系数r来衡量两个变量的线性相关性强弱，若r越小，则两个变量之间的线性相关性越弱. C. 已知随机变量X服从正态分布，若，则 D. 已知随机变量X服从二项分布，若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】根据方差的性质，可判定A正确；根据相关系数的含义，可判定B错误；由正态分布曲线的性质，可得判定C正确；根据二项分布的期望及期望的性质，可判定D错误. 【详解】对于A中，由一组数据的方差为， 根据方差的性质，可得数据的方差也为，所以A正确； 对于B中，统计学中用线性相关系数r来衡量两个变量的线性相关性强弱，当越趋向于，此时相关性越强，所以B不正确； 对于C中，由随机变量X服从正态分布，若， 则，所以C正确； 对于D中，由随机变量服从二项分布，可得， 若，则，所以D错误. 故选：AC. 11. 已知函数，其中实数，则下列结论正确的是（　　） A. 必有两个极值点 B. 有且仅有3个零点时，的范围是 C. 当时，点是曲线的对称中心 D. 当时，过点可以作曲线的3条切线 【答案】ABD 【解析】 【分析】对求导得到的单调性，判断的极值点个数判断A，要使有且仅有3个零点，由单调性可得只需，判断B，当时计算判断C，设切点为，求过点的切线方程，令，，所以过点可以作曲线切线条数可转化为与图像的交点个数判断D. 【详解】选项A：由题意可得， 令解得或， 因为，所以令解得或，令解得， 所以在，上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，在处取得极小值，故A正确； 选项B：要使有且仅有3个零点，只需，即， 解得，故B正确； 选项C：当时，， ， ，所以点不是曲线的对称中心，C错误； 选项D：，设切点为， 所以在点处的切线方程为：， 又因为切线过点，所以， 解得，令，， 所以过点可以作曲线切线条数可转化为与图像的交点个数， ， 令解得或， 因为，所以令解得或， 令解得， 则在，上单调递增，在上单调递减，且，， 图像如图所示， 所以当时，与图像有3个交点，即过点可以作曲线的3条切线，故D正确； 故选：ABD 【点睛】对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略： 1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题. 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 若的展开式中二项式系数之和为32，则展开式中的系数为___________. 【答案】80 【解析】 【分析】根据二项式系数和求出，再由展开式通项公式求出含x的项即可得解. 【详解】二项式系数之和为32，即，解得， 所以展开式的通项为， 令，得， 所以展开式中的系数为. 故答案为：80 13. 中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁，戊5名航天员开展实验，其中天和核心舱安排3人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人．甲、乙两人要在同一个舱内，则不同的安排方案共有______________ . 【答案】种 【解析】 【分析】由题意知：甲、乙两人一定在天和核心舱内，则丙，丁，戊会被安排在不同的三个舱内，按排列公式求得即可. 【详解】由题意知：甲、乙两人一定在天和核心舱内，则丙，丁，戊会被安排在不同的三个舱内，得种. 故答案为：种. 14. 若定义在上的函数满足是奇函数，，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】由是奇函数，可得，由可得，进而得到，从而得出函数的周期为，根据条件赋值可求得，从而得解. 【详解】因为是奇函数，所以， 用替换上式中的，可得， 在中，用替换，可得， 所以，用替换该式中的，可得， 所以，所以函数的周期为， 在中，令，得， 在中，令，得， 在中，令，得， 所以， 所以. 故答案为：. 【点睛】结论点睛：解决抽象函数的求值、性质判断等问题，常见结论： （1）关于对称：若函数关于直线轴对称，则，若函数关于点中心对称，则，反之也成立； （2）关于周期：若，或，或，可知函数的周期为. 四、解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 已知分别为的内角的对边，且. （1）求角A； （2）若，求出边并求出的面积 【答案】（1）； （2），面积为5 【解析】 【分析】（1）由正弦定理可得答案； （2）由余弦定理求出，再利用面积公式求出面积即可. 【小问1详解】 因为， 所以由正弦定理得， 因为，所以， 所以，所以， 因为，所以； 【小问2详解】 在中，， 所以由余弦定理得， 整理得， 解得（舍去），或， 可得面积为. 16. ChatGPT是AI技术驱动的自然语言处理工具，引领了人工智能的新一轮创新浪潮.某数学兴趣小组为了解使用ChatGPT人群中年龄与是否喜欢该程序的关系，从某社区使用过该程序的人群中随机抽取了60名居民进行调查.整理如下列联表： 年龄因素 对该程序的态度 合计 不喜欢该程序 喜欢该程序 青少年 7 中老年 16 30 合计 21 注:本研究定义年龄不小于45周岁为“中老年人”，其余的称为“青少年”. （1）请完成上面列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为年龄因素与是否喜欢该程序有关系; （2）在抽取的60名居民中有5人经常使用该程序辅助工作.以样本频率估计概率.若在全市范围内抽取20位居民，经常使用该程序辅助工作的人数为，求的数学期望和方差; （3）在抽取的60名居民中有10名高中生，其中有7名男生，3名女生.为进一步了解他们的对于AI的认知和看法，在10名高中生中，随机抽取3人进行访谈，设抽取的3人中男生人数为，求的分布列和数学期望. 附: 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 【答案】（1）年龄因素与喜欢该程序有关系 （2）， （3）分布列见详解， 【解析】 【分析】（1）先根据题意完成列联表，代入公式可得，即可得到结论； （2）依题意可得，即可求得和； （3）依题意可得Y的所有可能取值为0，1，2，3，利用超几何分布公式求得概率，进而即可得到Y的分布列和期望值． 【小问1详解】 根据题意可得列联表如下； 性别 不喜欢该程序 喜欢该程序 合计 青少年 7 23 30 中老年 14 16 30 合计 21 39 60 零假设为：年龄因素与是否喜欢该程序无关； 根据列联表的数据计算可得， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即年龄因素与喜欢该程序有关系，此推断犯错误的概率不超过0.1． 【小问2详解】 由题意可知：随机抽取一人为“经常使用该程序辅助工作”的概率， 可知， 所以，． 【小问3详解】 易知10名高中生有7名男生，3名女生， 则Y的所有可能取值为0，1，2，3，且Y服从超几何分布： ，， ， 故所求分布列为 Y 0 1 2 3 P 可得 17. 已知函数． （1）若，，求曲线在处的切线的方程； （2）讨论函数的单调性； （3）若，对任意两个不同的，不等式恒成立，求的最小值． 【答案】（1） （2） 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增 （3） 【解析】 【分析】（1）通过曲线在某一点的切线的相关知识直接求解； （2）利用导数，对参数分类讨论，即可求解单调性； （3）设，将原表达式化为，构造函数，根据为上的减函数，参变分离求解函数的最值即可. 【小问1详解】 若，，则， 可得，所以，且， 所以曲线在处的切线的方程为， 即为. 【小问2详解】 ， 当时，，在上单调递增； 当时，令，解得， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增. 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问3详解】 因为， ，所以， 故函数在上单调递增， 不妨设，则由 可化为， 设，则， 所以为上的减函数，即在上恒成立， 等价于在上恒成立，即在上恒成立， 又，所以，所以， 而函数在上是增函数， 所以（当且仅当，时等号成立）． 所以．即的最小值为. 【点睛】思路点睛：利用导数解决函数单调性是常见方法，本题第（3）问通过为上的减函数，转化为在上恒成立，进而求解答案. 18. 夏日天气炎热，学校为高三备考的同学准备了绿豆汤和银耳羹两种凉饮，某同学每天都会在两种凉饮中选择一种，已知该同学第1天选择绿豆汤的概率是，若在前一天选择绿豆汤的条件下，后一天继续选择绿豆汤的概率为，而在前一天选择银耳羹的条件下，后一天继续选择银耳羹的概率为，如此往复．（提示：设表示第天选择绿豆汤） （1）求该同学第一天和第二天都选择绿豆汤的概率 （2）求该同学第2天选择绿豆汤的概率； （3）记该同学第天选择绿豆汤的概率为，求出的通项公式. 【答案】（1） （2） （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）利用独立事件同时发生的概率公式计算即可； （2）利用条件概率公式计算即得； （3）利用全概率公式列式，再利用构造法证明即得. 【小问1详解】 该同学第一天和第二天都选择绿豆汤的概率为； 【小问2详解】 设表示第1天选择绿豆汤，表示第2天选择绿豆汤，则表示第1天选择银耳羹， 根据题意得，， 所以． 【小问3详解】 设表示第天选择绿豆汤，则， 根据题意得，， 由全概率公式得，， 即，整理得，，又， 所以是以为首项，为公比的等比数列． 所以，所以.. 【点睛】关键点点睛：利用全概率公式求随机事件的概率问题，把事件分拆成两个互斥事件与的和，再利用条件概率公式计算是解决问题的关键. 19. 对于任意正整数n，进行如下操作：若n为偶数，则对n不断地除以2，直到得到一个奇数，记这个奇数为；若n为奇数，则对不断地除以2，直到得出一个奇数，记这个奇数为.若，则称正整数n为“理想数”. （1）求20以内的质数“理想数”； （2）已知.求m的值； （3）将所有“理想数”从小至大依次排列，逐一取倒数后得到数列，记的前n项和为，证明：. 【答案】（1）2和5为两个质数“理想数” （2）的值为12或18 （3） 显然偶数"理想数"必为形如的整数， 下面探究奇数"理想数"，不妨设置如下区间：， 若奇数，不妨设， 若为"理想数"，则，且，即，且， ①当，且时，； ②当时，； ，且， 又，即， 易知为上述不等式的唯一整数解， 区间]存在唯一的奇数"理想数"，且， 显然1为奇数"理想数"，所有的奇数"理想数"为， 所有的奇数"理想数"的倒数为， ，即． 【解析】 【分析】（1）根据“理想数”概念，结合列举法可解； （2）分析题意知道必为奇数，则必为偶数，结合整除知识得解； （3）将数列适当放缩，后分组，结合等比数列求和公式计算即可. 【小问1详解】 以内的质数为， ，故，所以为“理想数”； ，而，故不是“理想数”； ，而，故是“理想数”； ，而，故不是“理想数”； ，而，故不是“理想数”； ，而，故不是“理想数”； ，而，故不是“理想数”； ，而，故不是“理想数”； 和5为两个质数“理想数”； 【小问2详解】 由题设可知必为奇数，必为偶数， 存在正整数，使得，即： ，且， ，或，或，解得，或， ，或，即的值为12或18． 【小问3详解】 略 【点睛】知识点点睛：本题属于新定义的题目，综合了整除，数列的放缩，分组求和和等比数列公式.属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $