专题2.7 圆与圆的位置关系判断与求参（特色专题卷）-2024-2025学年高二数学特色专题卷（人教A版2019选择性必修第一册）

专题2.7 圆与圆的位置关系判断与求参 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（23-24高二上·四川南充·期中）已知圆：，圆：，则圆与圆的位置关系为（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【答案】C 【分析】分别求出圆心和，求出圆心距与半径之和半径之差比较大小即可得正确选项. 【详解】由圆：可得， 所以圆心，半径， 由圆：可得， 所以圆心，半径， ， 因为， 所以圆与圆的位置关系为相交， 故选：C. 2．（23-24高一上·江西九江·期末）点在圆上，点Q在圆上，则的最小值是（  ） A．5 B．0 C． D． 【答案】C 【分析】分别求得两圆的圆心坐标和半径，结合圆的性质，即可求解. 【详解】由题意，圆的圆心坐标为，半径为； 圆的圆心坐标为，半径为且， 则的最小值为. 故选：C． 3．（23-24高二上·江西抚州·期中）已知圆：与圆：交于，两点，则直线与圆：的位置关系是（    ） A．相交 B．相离 C．相切 D．不能确定 【答案】C 【分析】圆，的方程相减得直线的方程，利用点到直线的距离公式得到点到直线的距离再与其半径比较即可判断. 【详解】将圆，的方程相减可得直线的方程为， 又圆的圆心为,半径, 则点到直线的距离, 故直线与圆：相切, 故选：C. 4．（2024·全国·模拟预测）过点作直线与圆相切于、两点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出，求出以点为圆心、以为半径的圆的方程，然后与圆的方程作差可得出直线的方程. 【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为， 由圆的切线的性质可得，则， 所以，以点为圆心、以为半径的圆的方程为， 将圆的方程与圆的方程作差并化简可得. 因此，直线的方程为. 故选：B. 5．（23-24高二上·广西河池·期末）已知点是圆上的一点，过点作圆的切线，则切线长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两点间距离公式可得两圆心之间的距离，根据三点共线可知当 共线且点在之间时，最小，由勾股定理即可求解. 【详解】切线长，所以当取得最小值时，切线长取得最小值.当 共线且点在之间时， 最小，由于,所以min， 所以. 故选：.    6．（23-24高二上·四川绵阳·期中）若圆平分圆的周长，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．16 D．20 【答案】A 【解析】由两圆的相交弦是圆的直径得出的关系，然后由基本不等式求得最小值． 【详解】两圆方程相减得，，此为相交弦所在直线方程， 圆的标准方程是，圆心为， ∴，， ∵， ∴，当且仅当即时等号成立． 故选：A． 【点睛】本题考查圆的方程，考查基本不等式求最值．圆的性质：（1）圆的直径平分圆；（2）相交两圆方程相减所得一次方程是两圆公共弦所在直线方程． 7．（24-25高三上·四川成都·阶段练习）已知点，，若圆：上存在点M，使得，则实数t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求得以为直径的圆的方程为，把圆：上存在点M，使得，转化为两圆存在公共点，结合圆与圆的位置关系，列出不等式组，即可求解 【详解】由题意，点，， 可得以为直径的圆的方程为，则圆心，半径， 又由圆：，可得圆心，半径， 两圆的圆心距为， 要使得圆：上存在点M，使得， 即两圆存在公共点，则满足，即，解得, 所以实数t的取值范围是. 故选：A. 8．（24-25高二上·山东·阶段练习）已知，直线．P为上的动点．过点P作的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，要使得最小，此时直线与垂直，求得点的坐标，求得以线段为直径的圆的方程，进而求得公共弦的方程，即可求解. 【详解】由圆，可得圆心坐标为，半径为， 如图所示，因为， 要使得最小，则只需最小，此时直线与垂直， 此时直线的方程为， 联立方程组，解得， 则以线段为直径的圆的方程为， 联立方程组，两式相减得， 即直线的方程为. 故选：D. 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（23-24高二上·广东深圳·期中）已知，圆，，则（    ） A．两圆可能外离 B．两圆可能相交 C．两圆可能内切 D．两圆可能内含 【答案】ABC 【分析】根据圆心距与半径之和，半径之差之间的关系，结合已知条件，即可分析判断. 【详解】圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径； 则，， 当时，，两圆外离； 当时，，两圆相交； 当时，，两圆内切； 当时，，两圆外切； 综上所述，两圆可以外离，可以内切，可以相交，不能内含. 故选：ABC. 10．（23-24高二上·全国·期中）已知，，若圆上存在点，使得，则的值可能为（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】BCD 【分析】设点由，即可得到，再将圆配成标准式，求出圆心坐标，再根据两圆的位置关系得到不等式，解得即可； 【详解】解：设点，由，所以， 则，即点是以为圆心，为半径的圆上一点． 圆，可化为，因为是圆上一点， 所以，解得． 故选：BCD 11．（2024·江苏连云港·模拟预测）设a，b为实数，已知圆O：，点在圆O外，以线段为直径作圆M，与圆O相交于A，B两点．下列说法中正确的是（    ） A．当时，点Q的轨迹方程为 B．当，时，直线的方程为 C．当，时， D．若圆O上总存在两个点到点Q的距离为1，则 【答案】BCD 【分析】根据为的直径，所以，可求，得点轨迹，判断A的真假；根据两圆公共弦的直线方程的求法 ，判断B的真假；利用二倍角公式，求，判断C的真假；利用点与圆的位置关系，判断D的真假. 【详解】对A：如图 时，，所以点Q的轨迹方程为，故A错误； 对B：如图： 当，时，的方程为：即， 所以直线的方程为. 故B正确； 对C：如图： 当，时，在中，， 所以. 故C正确； 对D：因为点在外，所以，又圆O上总存在两个点到点Q的距离为1， 所以，所以，即. 故D正确. 故选：BCD 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）圆与圆的公切线条数为 ． 【答案】4 【详解】试题分析：两圆的圆心和半径分别为，所以圆心距为，两圆相离，有4条公切线 考点：两圆位置关系 13．（24-25高二上·安徽合肥·阶段练习）已知圆，过点作的切线，切点分别为，，则直线的方程为 ． 【答案】 【分析】利用平面几何知识知四点共圆，求出该圆的方程后和已知方程相减，可得两圆的公共弦的方程． 【详解】因为与圆相切，所以，四边形对角互补， 所以四点共圆，且为该圆的直径， 所以直线可看作圆和以为直径的圆的交线， 设的中点为，则，且， 所以为直径的圆的圆心为，半径为， 所以过点的圆的方程为，即① 又圆的方程为，② 所以圆的圆心为，半径为2 因为， 所以圆和圆相交， 由①－②，得， 所以直线的方程为． 故答案为：． 14．（23-24高二上·广东深圳·期中）月球背面指月球的背面，从地球上始终不能完全看见．某学习小组通过单光源实验来演示月球背面．由光源点射出的两条光线与圆分别相切于点，称两射线的切点上方部分与优弧上方所夹的平面区域（含边界）为圆的“背面”．若以点为圆心，为半径的圆处于的“背面”，当取得最大值时的值为 ． 【答案】/ 【分析】根据相切得到切线方程为，当圆与直线相切且与圆外切时半径最大，据此得到方程组，解得答案. 【详解】如图所示：切线斜率存在，设切线为，即， 则圆心到直线的距离，解得， 切线方程为， 当圆与直线相切且与圆外切时半径最大，则， 圆心在切线的左上方，故，即， ，解得，（舍去负值）. 故答案为：. 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（24-25高二·全国·课后作业）分别指出下列两圆的位置关系（外离、外切、相交、内切、内含）： (1)和； (2)和． 【答案】(1)两圆外切 (2)两圆相交 【分析】（1）分别将两圆的一般方程化为标准方程，写出圆心坐标和半径，再通过比较圆心距与半径和与差的关系进行判定； （2）分别将两圆的一般方程化为标准方程，写出圆心坐标和半径，再通过比较圆心距与半径和与差的关系进行判定. 【详解】（1）解：可化为， 即该圆的圆心为、半径为； 可化为， 即该圆的圆心为、半径为； 因为，且， 所以，即两圆外切. （2）解：可化为， 即该圆的圆心为、半径为； 可化为， 即该圆的圆心为、半径为； 因为，且， 所以，即两圆相交. 16．（24-25高二·江苏·课后作业）已知两圆， (a＞0)，试求当为何值时，两圆： (1)有唯一公共点？ (2)有两个公共点？ (3)无公共点？ 【答案】(1)a＝2 (2)a＞2 (3)0＜a＜2 【分析】由两圆的半径之和或差与两圆的圆心距比较即可求解. 【详解】（1）根据题意得两圆的半径分别为和，两圆的圆心距 d＝＝5. 从而. 有唯一公共点时，由，得5＝2a＋1，解得a＝2. （2）有两个公共点时，由，得5＜2a＋1，解得a＞2. （3）无公共点时，由，得5＞2a＋1，解得0＜a＜2. 17．（23-24高二上·广东广州·期末）已知圆的方程为. (1)求的取值范围； (2)当时，求圆与圆的公共弦的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把圆的方程化为标准式，建立不等式，解出即可； （2）先判断两圆相交，两圆方程相减，得到公共弦所在直线方程，利用勾股定理计算即可. 【详解】（1）因为圆的方程为 化为标准方程为 所以，解得 所以的取值范围为. （2）当时，圆的方程为， 所以圆的圆心坐标，半径, 已知圆， 所以圆的圆心坐标，半径, 根据两点公式可得， 又因为，所以两圆相交， 联立， 两式相减并化简可得其公共弦方程为， 由点到直线的距离为： ， 设弦长为，则 ， 所以 所以圆与圆的公共弦的长为. 18．（23-24高二上·江苏常州·期中）已知圆，，为坐标原点. (1)若为圆上的动点，当最大时，求直线的斜率； (2)若圆过点及点，且与圆外切，求圆的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出点的位置，即可得出直线的斜率； （2）设出点坐标，利用圆与圆外切和圆到原点的距离即可得出圆的方程. 【详解】（1）在圆中， ，圆心，半径， 当最大时，与圆相切，, 此时点为的中点， 点恰好是以为圆心，为直径的圆与的交点， 此时, ∴, （2）由题意及（1）得， 在圆中， 圆心，半径， 圆过点及点， ∴圆的圆心在直线上， 设，半径为， 因为圆与圆外切， 所以，即， 又，即， ∴联立解得：或(舍)， 所以， 故所求圆的标准方程为：. 19．（23-24高一下·江苏扬州·期中）已知圆与圆相交于A，B两点. （1）求直线的方程； （2）求经过A，B两点且面积最小的圆的方程； （3）求圆心在直线上，且经过A，B两点的圆的方程. 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】（1）直接把两圆的方程作差消去二次项即可得到公共弦所在的直线方程； （2）求出中点坐标及的长度，则以为直径的圆的方程即为所求； （3）求出两圆的交点坐标，设出圆心坐标，由半径相等求得圆心坐标，则圆心在直线上，且经过、两点的圆的方程可求． 【详解】（1）由． 圆与圆的公共弦所在的直线方程为； （2）以为直径的圆即为面积最小的圆 由，， 则中点为， ． 经过、两点且面积最小的圆的方程为． （3）由（1）得，代入中得，， 或，即，， 又圆心在直线上， 设圆心为，则，， 即，解得． 圆心，半径． 圆心在直线上，且经过、两点的圆的方程为． 【点睛】本题考查了两圆公共弦方程的求解，考查了圆的几何性质、圆的方程的求法，训练了圆系方程的用法，是中档题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.7 圆与圆的位置关系判断与求参 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（23-24高二上·四川南充·期中）已知圆：，圆：，则圆与圆的位置关系为（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 2．（23-24高一上·江西九江·期末）点在圆上，点Q在圆上，则的最小值是（  ） A．5 B．0 C． D． 3．（23-24高二上·江西抚州·期中）已知圆：与圆：交于，两点，则直线与圆：的位置关系是（    ） A．相交 B．相离 C．相切 D．不能确定 4．（2024·全国·模拟预测）过点作直线与圆相切于、两点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·广西河池·期末）已知点是圆上的一点，过点作圆的切线，则切线长的最小值为（    ） A． B． C． D．   6．（23-24高二上·四川绵阳·期中）若圆平分圆的周长，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．16 D．20 7．（24-25高三上·四川成都·阶段练习）已知点，，若圆：上存在点M，使得，则实数t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·山东·阶段练习）已知，直线．P为上的动点．过点P作的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（    ） A． B． C． D． 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（23-24高二上·广东深圳·期中）已知，圆，，则（    ） A．两圆可能外离 B．两圆可能相交 C．两圆可能内切 D．两圆可能内含 10．（23-24高二上·全国·期中）已知，，若圆上存在点，使得，则的值可能为（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 11．（2024·江苏连云港·模拟预测）设a，b为实数，已知圆O：，点在圆O外，以线段为直径作圆M，与圆O相交于A，B两点．下列说法中正确的是（    ） A．当时，点Q的轨迹方程为 B．当，时，直线的方程为 C．当，时， D．若圆O上总存在两个点到点Q的距离为1，则 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）圆与圆的公切线条数为 ． 13．（24-25高二上·安徽合肥·阶段练习）已知圆，过点作的切线，切点分别为，，则直线的方程为 ． 14．（23-24高二上·广东深圳·期中）月球背面指月球的背面，从地球上始终不能完全看见．某学习小组通过单光源实验来演示月球背面．由光源点射出的两条光线与圆分别相切于点，称两射线的切点上方部分与优弧上方所夹的平面区域（含边界）为圆的“背面”．若以点为圆心，为半径的圆处于的“背面”，当取得最大值时的值为 ． 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（24-25高二·全国·课后作业）分别指出下列两圆的位置关系（外离、外切、相交、内切、内含）： (1)和； (2)和． 16．（24-25高二·江苏·课后作业）已知两圆， (a＞0)，试求当为何值时，两圆： (1)有唯一公共点？ (2)有两个公共点？ (3)无公共点？ 17．（23-24高二上·广东广州·期末）已知圆的方程为. (1)求的取值范围； (2)当时，求圆与圆的公共弦的长. 18．（23-24高二上·江苏常州·期中）已知圆，，为坐标原点. (1)若为圆上的动点，当最大时，求直线的斜率； (2)若圆过点及点，且与圆外切，求圆的方程. 19．（23-24高一下·江苏扬州·期中）已知圆与圆相交于A，B两点. （1）求直线的方程； （2）求经过A，B两点且面积最小的圆的方程； （3）求圆心在直线上，且经过A，B两点的圆的方程. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$