专题2.6 圆与圆的位置关系（8类必考点）-2024-2025学年高二数学必考点分类集训系列（人教A版2019选择性必修第一册）

专题2.6 圆与圆的位置关系 【考点1：圆与圆的位置关系的判断】 1 【考点2：圆与圆的交点坐标】 2 【考点3：由圆与圆的位置关系确定参数或范围】 3 【考点4：相交圆的公共弦方程】 5 【考点5：相交圆的公共弦长】 5 【考点6：圆的公切线条数】 7 【考点7：圆的公切线方程】 8 【考点8：圆的公切线长】 10 【考点1：圆与圆的位置关系的判断】 【知识点：圆与圆的位置关系的判断】 设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1>0)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2>0). 方法 位置关系　　　 几何法：圆心距d与r1，r2的关系 代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况 外离 d>r1＋r2 无解 外切 d＝r1＋r2 一组实数解 相交 |r1－r2|<d<r1＋r2 两组不同的实数解 内切 d＝|r1－r2|(r1≠r2) 一组实数解 内含 0≤d<|r1－r2|(r1≠r2) 无解 1．（24-25高二上·北京丰台·开学考试）已知圆与圆，则圆与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相交 C．内切 D．外切 2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知圆，圆，则圆的位置关系为（    ） A．内含 B．外切 C．相交 D．外离 3．（24-25高二下·河北张家口·开学考试）已知：，：，则两圆的位置关系为（    ） A．相切 B．外离 C．相交 D．内含 4．（24-25高二上·江苏南通·开学考试）圆与圆的位置关系为 . 5．（24-25高二下·全国·课前预习）圆半径为3，圆半径为5，且，则两圆的位置关系为 ． 6．（24-25高二上·广西·开学考试）已知圆经过三点. (1)求圆的标准方程； (2)判断圆C：与圆的位置关系. 【考点2：圆与圆的交点坐标】 【知识点：圆与圆的交点坐标】 1．（24-25高二上·全国·课前预习）圆 与圆 的交点坐标为（    ） A． 和 B．和 C．和 D．和 2．（24-25高三上·广东佛山·阶段练习）已知圆的圆心为，且经过圆：与圆：的交点．则圆的面积为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·黑龙江齐齐哈尔·期中）圆心在直线上，且经过圆与圆的交点的圆的方程为 . 4．（23-24高二下·上海·期中）已知圆和圆，观察可得它们都经过坐标原点，除此之外，它们还相交于一点，这点的坐标是 ． 5．（24-25高三下·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知圆O：与圆相交于M，N两点，点P的坐标为．若圆经过M，N，P三点，则的方程为 ． 6．（24-25高二下·上海·阶段练习）判断圆与圆的位置关系并说明理由.若有公共点，则求出公共点坐标. 【考点3：由圆与圆的位置关系确定参数或范围】 【知识点：由圆与圆的位置关系确定参数或范围】 1．（24-25高二上·江苏南京·开学考试）圆与圆外切，则实数 . 2．（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）已知圆：与圆：，若圆与圆有且仅有一个公共点，则实数a等于 3．（24-25高二上·全国·课后作业）若圆C：上总存在两个点到原点的距离均为，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·上海·随堂练习）与直线和圆都相切的半径最小的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·江西鹰潭·三模）已知，直线与的交点在圆：上，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·全国·课堂例题）已知圆，圆．试求为何值时，圆、圆的位置关系为： (1)相切； (2)相交； (3)外离； (4)内含． 【考点4：相交圆的公共弦方程】 【知识点：相交圆的公共弦方程】 1．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知圆，圆，两圆的公共弦所在直线方程是（  ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·天津南开·期中）已知圆与圆，则两圆的公共弦所在直线方程为（    ）． A． B． C． D． 3．（23-24高一上·陕西宝鸡·期末）已知两圆和相交于，两点，则直线的方程是 . 4．（23-24高二上·吉林延边·期中）已知圆与圆相交于A，B两点，则直线AB的方程为 ． 5．（24-25高二上·上海·课后作业）已知圆：和圆：的公共弦所在直线经过原点，则实数a的值为 ． 6．（24-25高三下·安徽黄山·阶段练习）已知圆和圆，若点在两圆的公共弦上，则的最小值为 . 【考点5：相交圆的公共弦长】 【知识点：相交圆的公共弦长】 ①设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，① 圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，② 若两圆相交，则有一条公共弦，由①－②，得 (D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.③ 方程③表示圆C1与C2的公共弦所在直线的方程． 如果不确定两圆是否相交，两圆方程相减得到的方程不一定是两圆的公共弦所在的直线方程． ②两圆公共弦的垂直平分线过两圆的圆心． ③求公共弦长时，几何法比代数法简单易求． 1．（24-25高二上·陕西宝鸡·阶段练习）已知圆与圆相交，则相交的公共弦长为（    ） A． B． C．5 D．2 2．（24-25高二下·贵州·阶段练习）已知圆与圆交于A，B两点，则（    ） A． B．5 C． D． 3．（24-25高二·上海·课堂例题）圆与圆相交所得公共弦长为 ． 4．（24-25高二下·河北张家口·开学考试）已知圆是以点和点为直径端点的圆，圆是以点和点为直径端点的圆． (1)求圆，的方程； (2)已知两圆相交于，两点，求直线的方程及公共弦的长. 5．（23-24高二上·吉林延边·期末）已知圆与圆交于，两点，圆经过，两点，且圆心在直线上． (1)求； (2)求圆的方程． 【考点6：圆的公切线条数】 【知识点：圆的公切线条数】 1．（23-24高二上·四川成都·期中）圆和圆的公切线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 2．（23-24高二上·四川内江·期中）已知圆与圆的公切线条数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（23-24高二上·青海西宁·期中）已知圆与圆有4条公切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·全国·课后作业）若圆：与圆：有且仅有三条公切线，则a的值为 ． 5．（24-25高二上·甘肃庆阳·阶段练习）已知圆与圆有且仅有一条公共切线，则实数的值是 ． 【考点7：圆的公切线方程】 【知识点：圆的公切线方程】 1．（2024·河北张家口·三模）圆与圆的公切线的方程为 ． 2．（24-25高三下·四川巴中·阶段练习）曲线关于对称后的曲线为，则公切线为（   ） A． B． C． D． 3．（多选）（24-25高二下·江苏盐城·阶段练习）已知直线与圆：和圆：都相切，则直线的方程可能为（    ） A． B． C． D． 4．（2024高三·全国·专题练习）平面上有两个圆，它们的方程分别是和，求这两个圆的内公切线方程． 5．（24-25高二下·四川成都·开学考试）已知圆M经过，两点，且与x轴相切，圆O：. (1)求圆M的一般方程； (2)求圆M与圆O的公切线方程. 6．（24-25高二上·上海·课后作业）已知两圆：和：．求： (1)取何值时两圆外切； (2)取何值时两圆内切，此时公切线方程是什么． 【考点8：圆的公切线长】 【知识点：圆的公切线长】 1．（2024·全国·模拟预测）圆与圆的公切线长为 . 2．（2024·河南·模拟预测）已知圆，圆，直线分别与圆和圆切于两点，则线段的长度为 ． 3．（多选）（23-24高二上·山东青岛·期中）已知圆，圆，则下列说法正确的是（    ） A．点在圆内 B．圆上的点到直线的最小距离为1 C．圆和圆的公切线长为2 D．圆和圆的公共弦所在的直线方程为 4．（多选）（23-24高二上·河南·期末）已知圆和圆，则（    ） A．圆与轴相切 B．两圆公共弦所在直线的方程为 C．有且仅有一个点，使得过点能作两条与两圆都相切的直线 D．两圆的公切线段长为 5．（多选）（24-25高三上·江西宜春·阶段练习）已知与，以下结论正确的有（    ） A．与有且仅有2条公切线 B．若直线与分别切于相异的两点，则 C．若分别是与上的动点，则的最大值为16 D．与的一条公切线斜率为 6．（24-25高二上·福建福州·阶段练习）已知：圆与圆． (1)当时，判断两圆是否相交，并说明理由．如果相交，求公共弦所在直线的方程． (2)若两圆外切，求的值及外公切线的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.6 圆与圆的位置关系 【考点1：圆与圆的位置关系的判断】 1 【考点2：圆与圆的交点坐标】 4 【考点3：由圆与圆的位置关系确定参数或范围】 7 【考点4：相交圆的公共弦方程】 11 【考点5：相交圆的公共弦长】 13 【考点6：圆的公切线条数】 17 【考点7：圆的公切线方程】 19 【考点8：圆的公切线长】 24 【考点1：圆与圆的位置关系的判断】 【知识点：圆与圆的位置关系的判断】 设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1>0)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2>0). 方法 位置关系　　　 几何法：圆心距d与r1，r2的关系 代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况 外离 d>r1＋r2 无解 外切 d＝r1＋r2 一组实数解 相交 |r1－r2|<d<r1＋r2 两组不同的实数解 内切 d＝|r1－r2|(r1≠r2) 一组实数解 内含 0≤d<|r1－r2|(r1≠r2) 无解 1．（24-25高二上·北京丰台·开学考试）已知圆与圆，则圆与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相交 C．内切 D．外切 【答案】D 【分析】求出两圆的圆心和半径，得到，得到两圆外切. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆，故圆心，半径为， 则， 所以圆与圆的位置关系是外切. 故选：D 2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知圆，圆，则圆的位置关系为（    ） A．内含 B．外切 C．相交 D．外离 【答案】C 【分析】将两个圆化为圆的一般方程，得其圆心与半径，再根据圆心距与半径和差的关系判断两圆的位置关系即可. 【详解】圆，化为，圆心为，半径为； 圆，化为，圆心为，半径为． 则两圆心距离为， 因为，所以圆与圆相交． 故选：C． 3．（24-25高二下·河北张家口·开学考试）已知：，：，则两圆的位置关系为（    ） A．相切 B．外离 C．相交 D．内含 【答案】C 【分析】先将圆化为标准方程，从而求出圆心距，再根据圆心距与两圆半径的关系，即可得解. 【详解】因为可化为,则，半径， 因为可化为， 则，半径， 则，因为，所以两圆相交. 故选：C. 4．（24-25高二上·江苏南通·开学考试）圆与圆的位置关系为 . 【答案】外离 【分析】由圆和圆的方程求两圆的圆心坐标及半径，再求圆心距，比较与半径和，半径差的绝对值的大小，可得结论. 【详解】设圆的半径为，圆的半径为，则 圆的圆心的坐标为，半径为， 圆的圆心的坐标为，半径为， 因为，，， 所以， 所以圆和圆外离. 故答案为：外离. 5．（24-25高二下·全国·课前预习）圆半径为3，圆半径为5，且，则两圆的位置关系为 ． 【答案】相交 【分析】由，可得两圆相交. 【详解】设圆半径为，则，设圆半径为，则， 由圆心距，知， 所以两圆的位置关系为相交. 故答案为：相交. 6．（24-25高二上·广西·开学考试）已知圆经过三点. (1)求圆的标准方程； (2)判断圆C：与圆的位置关系. 【答案】(1). (2)圆与圆相交. 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）由圆的方程可确定两圆圆心和半径，根据圆心距与半径和差关系可得两圆位置关系； 【详解】（1）设圆的方程为， 则解得 故圆的方程为，标准方程为. （2）圆的圆心为，半径为4. 圆的圆心为，半径为3. 设两圆圆心的距离为，则. 因为，所以圆与圆相交. 【考点2：圆与圆的交点坐标】 【知识点：圆与圆的交点坐标】 1．（24-25高二上·全国·课前预习）圆 与圆 的交点坐标为（    ） A． 和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】联立两圆的方程，解方程组，即可求得答案. 【详解】由,可得，即， 代入，解得或， 故得或, 所以两圆的交点坐标为和, 故选:C 2．（24-25高三上·广东佛山·阶段练习）已知圆的圆心为，且经过圆：与圆：的交点．则圆的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】联立圆与圆的方程，解得两交点坐标，即可求得圆的半径，从而可得答案. 【详解】解：联立，解得：或， 所以圆的半径为：， 所以的面积为. 故选：B． 3．（23-24高二上·黑龙江齐齐哈尔·期中）圆心在直线上，且经过圆与圆的交点的圆的方程为 . 【答案】（或） 【分析】先求出两圆的交点，利用直接法或者待定系数法可求圆的方程，或者利用圆系方程求解. 【详解】法一：由， 解得或者， 所以圆与圆的交点分别为， 则线段AB的垂直平分线的方程为. 由，解得， 所以所求圆的圆心坐标为，半径为， 所以所求圆的方程为. 法二：同法一求得， 设所求圆的方程为， 由，解得， 所以所求圆的方程为. 法三：设所求圆的方程为，其中， 化简可得，圆心坐标为. 又圆心在直线上， 所以，解得， 所以所求圆的方程为. 故答案为：（或） 4．（23-24高二下·上海·期中）已知圆和圆，观察可得它们都经过坐标原点，除此之外，它们还相交于一点，这点的坐标是 ． 【答案】 【分析】将两圆方程联立解方程组即可求得该点坐标. 【详解】联立两圆方程，解得或， 即可得这点的坐标为. 故答案为： 5．（24-25高三下·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知圆O：与圆相交于M，N两点，点P的坐标为．若圆经过M，N，P三点，则的方程为 ． 【答案】 【分析】联立方程求M，N两点的坐标，法一：根据几何性质可得圆心C2在x轴上，设结合圆的定义运算求解；法二：设圆，代入点，列方程求解. 【详解】联立方程，解得或， 故M，N两点的坐标为． 法一：可得关于轴对称，即线段的中垂线为轴，故所求的圆的圆心C2在x轴上， 设，点P的坐标为， ∵，即，求得m＝5， 故要求的圆的圆心，半径为， 故要求的圆的方程为． 法二：设圆，且点P的坐标为， 代入点，可得，解得， 故要求的圆的方程为，即． 故答案为：. 6．（24-25高二下·上海·阶段练习）判断圆与圆的位置关系并说明理由.若有公共点，则求出公共点坐标. 【答案】内切，公共点为 【分析】首先根据圆的方程求圆心，半径，并计算圆心距，结合圆与圆的位置关系，即可判断，求解. 【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为， 圆的标准方程为，圆心为，半径为， 圆心距为， 则两圆内切， 联立，则， 则公共点坐标为. 【考点3：由圆与圆的位置关系确定参数或范围】 【知识点：由圆与圆的位置关系确定参数或范围】 1．（24-25高二上·江苏南京·开学考试）圆与圆外切，则实数 . 【答案】±4 【分析】根据圆心距与半径之和的关系即可求解. 【详解】两圆的圆心为，，半径为1和4， 因为两圆外切，则，解得. 故答案为：±4 2．（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）已知圆：与圆：，若圆与圆有且仅有一个公共点，则实数a等于 【答案】或 【分析】由两圆的方程得到圆心和半径，再由“有且仅有一个公共点”得到“两圆相切”，进而得到圆心之间的距离与半径的关系，解得的值. 【详解】圆：圆心为，半径为1， 圆：，圆心为，半径为； 又因为圆与圆有且仅有一个公共点，所以两圆相切， 又由两圆的圆心距，则有或， 解得或． 故答案为：或. 3．（24-25高二上·全国·课后作业）若圆C：上总存在两个点到原点的距离均为，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将问题转化为圆与圆的位置关系问题，再求解参数即可. 【详解】到原点的距离为的点的轨迹为圆：， 因此圆C：上总存在两个点到原点的距离均为， 转化为圆：与圆C：有两个交点， 因为两圆的圆心和半径分别为，，，， 所以，故，解得或， 故实数a的取值范围是，故A正确. 故选：A 4．（24-25高二下·上海·随堂练习）与直线和圆都相切的半径最小的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出图形，由圆心作直线的垂线段，则以为直径的圆即为所求圆，另作一圆进行说明理由，再根据图形特征求出圆的圆心和半径即得方程. 【详解】    如图，过圆的圆心作直线的垂线，垂足为， 则以为直径的圆(设其半径为)即为所求圆.理由如下： 另作一个圆，与圆相切，与直线切于点，设其半径为， 由图知，即，即，即圆是符合要求的最小圆. 由点到直线的距离为，则， 设点，由可得，，即①， 由点到直线的距离等于可得②， 联立①②可解得，或，由图知仅符合题意， 即得，故所求圆的方程为. 故选：C. 5．（2024·江西鹰潭·三模）已知，直线与的交点在圆：上，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两直线方程可知两直线分别过定点且垂直，可求得点轨迹方程，再由圆与圆的位置关系找出圆心距与两圆半径之间的关系可得结果. 【详解】易知直线恒过定点， 直线恒过定点， 且，易知直线与互相垂直，即可得， 所以点轨迹是以为直径的圆，圆心为的中点，半径为； 可得点轨迹方程为； 又因为点在圆上，所以可得圆与圆有公共点， 当两圆内切（圆在外）时，取得最大值； 此时满足，解得. 故选：D 6．（24-25高二上·全国·课堂例题）已知圆，圆．试求为何值时，圆、圆的位置关系为： (1)相切； (2)相交； (3)外离； (4)内含． 【答案】(1)时，两圆外切；时，两圆内切． (2) (3) (4) 【分析】（1）将两圆化成标准方程，算出圆心坐标和它们的半径，根据两圆相切的性质，可解出满足条件的实数a的值； （2）根据两圆相交的性质，建立关于a的不等式，解之即可； （3）根据两圆外离的性质，建立关于a的不等式，解之即可； （4）根据两圆内含的性质，建立关于a的不等式，解之即可. 【详解】（1）将圆、圆的方程配方后可得 ，， 圆心，，半径，． ． 当，即时，两圆外切； 当，即时，两圆内切． （2）当，即时，两圆相交，的取值范围为． （3）当，即时，两圆外离，的取值范围为． （4）当，即时，两圆内含，的取值范围为． 【考点4：相交圆的公共弦方程】 【知识点：相交圆的公共弦方程】 1．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知圆，圆，两圆的公共弦所在直线方程是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】两圆方程作差即可. 【详解】由圆，圆， 两式作差得，，即， 所以两圆的公共弦所在直线方程是. 故选：B. 2．（23-24高二上·天津南开·期中）已知圆与圆，则两圆的公共弦所在直线方程为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】两圆相减得到公共弦所在直线方程. 【详解】圆与圆相减得 ，化简为， 两圆的公共弦所在直线方程为. 故选：B 3．（23-24高一上·陕西宝鸡·期末）已知两圆和相交于，两点，则直线的方程是 . 【答案】 【分析】将两个圆的方程变形为一般方程，两个圆的方程相减计算可得答案. 【详解】可得， 联立两个圆的方程相减可得：， 即直线的方程为， 故答案为：. 4．（23-24高二上·吉林延边·期中）已知圆与圆相交于A，B两点，则直线AB的方程为 ． 【答案】 【分析】两圆方程相减可得公共弦所在的直线方程. 【详解】由，得， 化简得， 所以直线AB的方程为. 故答案为： 5．（24-25高二上·上海·课后作业）已知圆：和圆：的公共弦所在直线经过原点，则实数a的值为 ． 【答案】6 【分析】将两圆方程作差，得两圆的公共弦所在的方程，即可求解． 【详解】解：将两圆方程联立，得：， 得， 两式相减，得：， 则两圆的公共弦所在的方程为：， 因为公共弦所在的直线经过原点， 所以：， 得， 故答案为：6 6．（24-25高三下·安徽黄山·阶段练习）已知圆和圆，若点在两圆的公共弦上，则的最小值为 . 【答案】1 【分析】两圆方程相减即可得到公共弦所在直线方程，根据P在公共弦上可得，再利用基本不等式即可求最小值． 【详解】圆和圆的两个方程相减即可得到两圆的公共弦所在直线方程为， 所以点在两圆的公共弦上，∴，当且仅当时取等号， 所以 所以，当且仅当时取等号. 故答案为：1 【考点5：相交圆的公共弦长】 【知识点：相交圆的公共弦长】 ①设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，① 圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，② 若两圆相交，则有一条公共弦，由①－②，得 (D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.③ 方程③表示圆C1与C2的公共弦所在直线的方程． 如果不确定两圆是否相交，两圆方程相减得到的方程不一定是两圆的公共弦所在的直线方程． ②两圆公共弦的垂直平分线过两圆的圆心． ③求公共弦长时，几何法比代数法简单易求． 1．（24-25高二上·陕西宝鸡·阶段练习）已知圆与圆相交，则相交的公共弦长为（    ） A． B． C．5 D．2 【答案】D 【分析】求出两圆的公共弦所在的直线方程，再利用圆的弦长公式计算即得. 【详解】圆的圆心为，半径， 圆圆心，半径， 而，则两圆相交， 于是得两圆的公共弦所在的直线方程为，圆心到此直线距离， 所以公共弦长为. 故选：D 2．（24-25高二下·贵州·阶段练习）已知圆与圆交于A，B两点，则（    ） A． B．5 C． D． 【答案】C 【分析】求出两圆的公共弦所在直线方程，再求出弦长即可. 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， ，圆与圆相交，两圆方程相减得直线：， 显然点在直线上，因此线段是圆的直径， 所以. 故选：C 3．（24-25高二·上海·课堂例题）圆与圆相交所得公共弦长为 ． 【答案】 【分析】两圆方程作差得公共弦所在直线方程，利用点到直线的距离公式可得到直线的距离，最后由即可得解. 【详解】记圆，圆， 两个方程作差可得，， 所以两圆公共弦所在直线方程为， 圆心到直线的距离为， 所以公共弦长为. 故答案为：. 4．（24-25高二下·河北张家口·开学考试）已知圆是以点和点为直径端点的圆，圆是以点和点为直径端点的圆． (1)求圆，的方程； (2)已知两圆相交于，两点，求直线的方程及公共弦的长. 【答案】(1)：，： (2)， 【分析】（1）求出圆心及半径即可得圆的方程； （2）联立两圆方程，即可求出两圆交点坐标，即可得直线的方程及公共弦的长. 【详解】（1）的圆心为，半径，故：， 的圆心为，半径，故：； （2）联立，解得或， 则，则，.    5．（23-24高二上·吉林延边·期末）已知圆与圆交于，两点，圆经过，两点，且圆心在直线上． (1)求； (2)求圆的方程． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）首先作差得两圆相交弦所在直线方程，然后根据弦长公式计算即可； （2）求出直线的方程，再联立直线的方程得到圆的圆心坐标，再求出半径即可. 【详解】（1）因为圆与交于，两点， 所以两圆方程作差得直线的方程为． 又圆，所以点到直线的距离， 所以； （2），圆， 则，，则， 则直线的方程为，即， 由，解得，所以， 所以点到直线的距离， 设圆的半径为，所以， 所以圆的方程为． 【考点6：圆的公切线条数】 【知识点：圆的公切线条数】 1．（23-24高二上·四川成都·期中）圆和圆的公切线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【分析】先判断两个圆的位置关系，再求解公切线条数即可. 【详解】圆的圆心为，半径为3， 圆的圆心为，半径为2． 两圆的圆心距为，所以两圆外切， 故两圆的公切线的条数为3，故C正确. 故选：C 2．（23-24高二上·四川内江·期中）已知圆与圆的公切线条数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】求出圆心和半径，判断两圆位置关系即可得解. 【详解】圆的标准方程为，圆心，半径， 圆的圆心为，半径， 因为，所以两圆外切， 所以圆与圆的公切线有3条. 故选：C 3．（23-24高二上·青海西宁·期中）已知圆与圆有4条公切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据公切线的条数可知两圆外离得：。 【详解】根据题意可知，圆外离，，又． 故选：D 4．（24-25高二上·全国·课后作业）若圆：与圆：有且仅有三条公切线，则a的值为 ． 【答案】 【分析】将两圆方程化为标准方程，求出圆心和半径，再由题意可知两圆外切，然后列方程可求出a的值. 【详解】由，可得，所以圆的圆心为，半径为a， 由，可得，所以圆的圆心为，半径为1， 因为两圆有且仅有三条公切线， 所以两圆外切，所以，解得． 故答案为： 5．（24-25高二上·甘肃庆阳·阶段练习）已知圆与圆有且仅有一条公共切线，则实数的值是 ． 【答案】3或 【分析】由题意可得两圆内切，然后求出两圆的圆心和半径，再求出圆心距，由圆心距等于两半径的差列方程求解即可. 【详解】因为两圆有一条公切线，所以两圆内切． 圆的圆心，半径，圆的圆心，半径， 而两圆圆心距，即， 解得的值为3或． 故答案为：3或 【考点7：圆的公切线方程】 【知识点：圆的公切线方程】 1．（2024·河北张家口·三模）圆与圆的公切线的方程为 ． 【答案】 【分析】先判断两圆位置关系，然后将圆化为一般式，两式相减可得. 【详解】圆的圆心为，半径为1，圆的圆心为，半径为6， 因为，所以两圆内切，只有一条公切线， 将圆化为一般式得： ，， 两式相减得，即， 所以圆的公切线的方程为. 故答案为： 2．（24-25高三下·四川巴中·阶段练习）曲线关于对称后的曲线为，则公切线为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】易知，设上一点，利用点关于直线对称的问题求出方程，结合圆与圆的位置关系，利用点到直线的距离公式计算即可求解. 【详解】， 所以曲线是圆心为原点，半径为1的圆在x轴上方的部分， 又与的图形关于直线对称， 设上一点，该点关于直线对称的对称点为， 则的中点在直线上，且直线的斜率与直线的斜率之积为， 所以，解得，即， 代入方程，得，即（只是该圆的一部分），如图， 易知与的公切线，所以，结合图，设， 所以点到直线的距离为，解得， 所以与的公切线为. 故选：B 3．（多选）（24-25高二下·江苏盐城·阶段练习）已知直线与圆：和圆：都相切，则直线的方程可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】先明确两圆位置关系，从而根据两圆位置关系明确公切线的情况，再根据公切线特征情况分情况直接计算求解即可. 【详解】由题知，两圆半径， 所以， 故圆、外切，则两圆有三条公切线，如图，的中点为两圆外切切点， 当直线过的中点，且与垂直时， 因为，所以直线的方程为，即； 当直线与平行，且到的距离为时，设直线的方程为， 所以，解得或， 所以直线的方程为或． 故选：ABC． 4．（2024高三·全国·专题练习）平面上有两个圆，它们的方程分别是和，求这两个圆的内公切线方程． 【答案】 【分析】判断出两圆外切，两圆的方程相减可得答案. 【详解】圆，圆心，半径， 圆， 其圆心，半径， ，∴这两圆外切， ∴， 可得， ∴所求的两圆内公切线的方程为：． 5．（24-25高二下·四川成都·开学考试）已知圆M经过，两点，且与x轴相切，圆O：. (1)求圆M的一般方程； (2)求圆M与圆O的公切线方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）通过求圆心和半径来求得圆的标准方程，再转化为一般方程. （2）利用公共切线斜率与圆心连线斜率相等，再利用圆心到直线距离等于半径求解即可. 【详解】（1）由题意设圆心为， ，得， 故圆心为，， 圆M的标准方程为：， 圆M的一般方程为：. （2） 由于圆M和圆O的半径均为2， 公切线与OM平行，则，设公切线方程为， 则，得或， 故公切线方程为或. 6．（24-25高二上·上海·课后作业）已知两圆：和：．求： (1)取何值时两圆外切； (2)取何值时两圆内切，此时公切线方程是什么． 【答案】(1) (2)，． 【分析】（1）由两圆外切，得两圆圆心之间的距离等于两圆半径的和，从而求出的值； （2）由两圆内切，得到两圆圆心之间的距离等于两圆半径之差，求解得出的值；由两圆心连线与两圆公切线垂直，根据已知两圆心连线的斜率求出两圆公切线的斜率，设出切线方程，再根据切线的性质求解未知量的值. 【详解】（1）由题意，圆：，可化为： 圆：，可化为：， 可得圆心坐标分别为，，半径分别为，， 当两圆相外切时，可得， 即， 解得， 所以时，两圆外切； （2）由（1）知，圆心坐标分别为，，半径分别为，， 当两圆内切时，可得， 即， 解得， 因为， 可得两圆公切线的斜率是， 设切线方程为，即 则圆心到切线的距离等于圆的半径， 即，解得， 当时，直线与圆：相交，舍去， 故所求公切线方程为，即． 【考点8：圆的公切线长】 【知识点：圆的公切线长】 1．（2024·全国·模拟预测）圆与圆的公切线长为 . 【答案】4 【分析】先由圆心距与两圆半径和差关系判断两圆位置关系，再由几何性质利用勾股定理求解公切线长. 【详解】由题可得，由圆， 则圆心为，半径为， 由圆， 则圆的圆心为，半径为. 则两圆心的距离， 因为，所以圆与圆相交. 如图，设切点为，作于点， 所以圆与圆的公切线长为. 故答案为：.    2．（2024·河南·模拟预测）已知圆，圆，直线分别与圆和圆切于两点，则线段的长度为 ． 【答案】 【分析】利用圆与圆的位置关系，结合图形和几何关系，即可求解. 【详解】圆，圆心，半径， 圆，圆心，半径， 圆心距，由，    所以两圆相交，则. 故答案为： 3．（多选）（23-24高二上·山东青岛·期中）已知圆，圆，则下列说法正确的是（    ） A．点在圆内 B．圆上的点到直线的最小距离为1 C．圆和圆的公切线长为2 D．圆和圆的公共弦所在的直线方程为 【答案】BCD 【分析】 根据点与圆的关系即可求解A,根据圆心到直线的距离即可求解B，根据相交弦的定义即可求解D，根据相交时两圆的外公切线的求解即可判定C. 【详解】圆的圆心和半径分别为,圆的圆心和半径为， 对于A，由于，故点在圆外，故A错误， 对于B，到的距离为，所以圆上的点到直线的最小距离为，B正确， 对于D,由于,故两圆相交， 两圆方程相减可得公共弦所在直线方程为：，故D正确， 对于C，由于两圆相交，所以外公切线的长度为，C正确， 故选：BCD 4．（多选）（23-24高二上·河南·期末）已知圆和圆，则（    ） A．圆与轴相切 B．两圆公共弦所在直线的方程为 C．有且仅有一个点，使得过点能作两条与两圆都相切的直线 D．两圆的公切线段长为 【答案】ACD 【分析】利用圆与圆的位置关系，圆与圆的公切线条数，逐个选项分析即可. 【详解】      圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径. 对于A，显然圆与轴相切，故A正确； 对于B，易知两圆相交，将方程与相减，得公共弦所在直线的方程为，故B错误； 对于C，两圆相交，所以两圆的公切线只有两条，又因为两圆半径不相等，所以公切线交于一点，即过点可以作出两条与两圆都相切的直线，故C正确； 对于，因为，所以公切线段长为，故D正确. 故选：ACD 5．（多选）（24-25高三上·江西宜春·阶段练习）已知与，以下结论正确的有（    ） A．与有且仅有2条公切线 B．若直线与分别切于相异的两点，则 C．若分别是与上的动点，则的最大值为16 D．与的一条公切线斜率为 【答案】BD 【分析】A选项，得到两圆外切，得到公切线条数；C选项，数形结合得到当四点共线时，最大，求出最大值；BD选项，先得到直线的斜率存在，设其与轴交点为，斜率为，作出辅助线，求出且斜率为. 【详解】选项A，由题意可知：的圆心，半径， 的圆心，半径， 因为，所以与外切， 所以与有且仅有3条公切线，故错误； 选项C：因为， 当且仅当四点共线时，等号成立，所以的最大值为10，故错误； 选项BD：当直线的斜率不存在时，直线与分别切于相同的点，不合要求， 显然直线的斜率存在且不为0，根据对称性， 不妨设直线的与轴交点为，斜率为，如图所示， 连接，过作，垂足为， 可知四边形为矩形，且， 在Rt中，可得， 所以， 故直线的斜率，故BD正确. 故选：. 6．（24-25高二上·福建福州·阶段练习）已知：圆与圆． (1)当时，判断两圆是否相交，并说明理由．如果相交，求公共弦所在直线的方程． (2)若两圆外切，求的值及外公切线的长． 【答案】(1)两圆相交，理由见解析； (2)，4. 【分析】（1）根据两圆方程得出圆心和半径，计算出圆心距，利用两圆相交的必要条件即可判断，相交时，将两圆的一般式方程左右分别相减，整理即得公共弦方程； （2）利用两圆外切的必要条件得出关于参数的方程，求出值，继而运用外公切线的计算公式即得.(外公切线计算公式初中已知) 【详解】（1）由圆与圆，可知两圆圆心分别为，半径为， 因,时，，因为，故两圆相交． 用圆的两边减去圆的两边即得两圆公共弦所在直线的方程为：． （2）若两圆外切，则，即，解得． 此时，，所以外公切线长为： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$