精品解析：安徽省六安市金寨县青山中学2022-2023学年高三上学期第一次月考数学试题

2022-2023学年度高三数学月考考试卷 考试时间：120分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第一卷（选择题） 一、单选题 1. 设集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知A＝{－1，0，1，3，5}，B＝{x|2x－3＜0}，（ ） A. {0，1} B. {－1，1，3} C. {－1，0，1} D. {3，5} 3. 集合P＝{3，4，5}，Q＝{6，7}，定义＝{（a，b）|a∈P，b∈Q}，则的真子集个数为（　　） A. 31 B. 63 C. 32 D. 64 4. 命题“”的否定是（ ） A B. C. D. 5. 已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是（ ） A B. C. D. 6. 已知的定义域为[0，3]，则的定义域是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数 (a>0且a≠1)是R上的单调函数，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 若对任意的，都有为常数），则实数的取值范围是 A. B. C. D. 9. 设函数是定义在上的奇函数，满足，若，，则实数的取值范围是 A. B. C. D. 10. 已知，当时，有，则必有（ ） A. B. C. D. 11. 若，则（ ） A. B. C. D. 12. 设a＞0，b＞0，且2a+b＝1，则（ ） A. 有最小值为+1 B. 有最小值为+1 C. 有最小值为 D. 有最小值为4 第二卷（非选择题） 二、填空题 13. 设是定义域为R的奇函数，且当时，，则_______. 14. 已知，求的最大值_________. 15. 记函数定义域为A，的定义域为B．若，则实数a的取值范围为________. 16. 设集合，且M、N都是集合的子集，如果把叫做集合的“长度”，那么集合M∩N的“长度”的最小值是______． 三、解答题 17. 已知不等式的解集是，求不等式的解集． 18. 某化工企业在2019年底投入100万元购入一套污水处理设备．该设备每年的运转费用是0．5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元． （1）求该企业使用该设备x年年平均污水处理费用y（万元）； （2）问：为使该企业的年平均污水处理费用最低，该企业几年后需要更换新的污水处理设备？ 19. 已知函数. （1）若是偶函数，求的值； （2）若在上单调递减，求的取值范围. 20. 设函数y=mx2-mx-1. （1）若对任意x∈R，使得y<0成立，求实数m的取值范围； （2）若对于任意x∈[1，3]，y<-m+5恒成立，求实数m的取值范围. 21. 已知是定义在上的奇函数，当时，． （1）求在上的解析式； （2）当时，恒成立，求实数的取值范围； （3）关于的方程在上有两个不相等的实根，求实数的取值范围． 22 已知函数． （1）当时，判断函数的奇偶性； （2）当时，判断函数在上的单调性，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2022-2023学年度高三数学月考考试卷 考试时间：120分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第一卷（选择题） 一、单选题 1. 设集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求解绝对值不等式和函数定义域解得集合，再求交集即可. 【详解】根据题意，可得， 故. 故选：B. 2. 已知A＝{－1，0，1，3，5}，B＝{x|2x－3＜0}，（ ） A. {0，1} B. {－1，1，3} C. {－1，0，1} D. {3，5} 【答案】D 【解析】 【分析】求出集合B，然后求出即可 【详解】因为 所以 所以 故选：D. 3. 集合P＝{3，4，5}，Q＝{6，7}，定义＝{（a，b）|a∈P，b∈Q}，则的真子集个数为（　　） A. 31 B. 63 C. 32 D. 64 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件即可求出集合P*Q的元素个数，从而可得出集合P*Q的真子集个数． 【详解】解：根据题意得，，则中有6个元素， ∴的真子集个数为26﹣1＝63个． 故选：B． 4. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】全称命题的否定是特称命题，把任意改为存在，把结论否定. 【详解】根据全称命题的否定是特称命题，所以“”的否定是“”. 故选：C 5. 已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依题意有恒成立，则，解不等式即可. 【详解】已知命题“，使”是假命题， 则，都有， 得，解得. 故选：D 6. 已知的定义域为[0，3]，则的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由的定义域为得，进而，求得即可. 【详解】∵定义域为，∴，∴， 在中，解得， 所以函数的定义域为． 故选：B 7. 已知函数 (a>0且a≠1)是R上的单调函数，则a的取值范围是（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数和对数函数的单调性，结合分段函数的性质进行求解即可. 【详解】二次函数的对称轴为：， 因为二次函数开口向上，所以当时，该二次函数不可能单调递增， 所以函数是实数集上的减函数， 则有， 故选：C 8. 若对任意的，都有为常数），则实数的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】若对任意的x∈[−1,2],都有x2−2x+a⩽0(a为常数) ⇔对任意的x∈[−1,2],a⩽−x2+2x(a为常数)， 令f(x)=−x2+2xx∈[−1,2]， 由f(x)的对称轴x=1,得：f(x)在[−1,1)递增,在(1,2]递减， ∴f(x)min=f(−1)=−3， ∴a⩽−3， 本题选择A选项. 9. 设函数是定义在上的奇函数，满足，若，，则实数的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由，可以得到，即函数周期为4，由是奇函数，可知，解不等式即可得到答案． 【详解】由，可得，则，故函数的周期为4，则， 又因为是定义在上的奇函数，，所以, 所以，解得， 故答案为A. 【点睛】本题考查了函数的奇偶性，函数的周期性，及一元二次不等式的解法，属于中档题． 10. 已知，当时，有，则必有（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可画出函数图象，根据图象和，且，分析各个选项即可. 【详解】画出的图象： 对于A，不能同时成立，因为时，函数单调递减，得不到，故A错误； 对于B，如图，当时，有，则可能小于零，也可能大于零，故B错误； 对于C，如图，当时，，故C错误； 对于D，由图象可知，，所以， 又，所以， 所以，故D正确. 故选：D. 11. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将不等式变为，根据的单调性知，以此去判断各个选项中真数与的大小关系，进而得到结果. 【详解】由得：， 令， 为上的增函数，为上的减函数，为上的增函数， ， ，，，则A正确，B错误； 与的大小不确定，故CD无法确定. 故选：A. 【点睛】本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调性得到的大小关系，考查了转化与化归的数学思想. 12. 设a＞0，b＞0，且2a+b＝1，则（ ） A. 有最小值为+1 B. 有最小值为+1 C. 有最小值为 D. 有最小值为4 【答案】A 【解析】 【分析】由2a+b＝1，转化为，再利用“1”的代换，结合基本不等式求解. 【详解】解：因为 a＞0，b＞0，且2a+b＝1， 所以， 所以， ， ， ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以有最小值为+1， 故选：A 第二卷（非选择题） 二、填空题 13. 设是定义域为R的奇函数，且当时，，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】结合函数的奇偶性和函数的解析式，利用，即可求解. 【详解】由题意，当时，， 因为为奇函数，可得. 故答案为：. 14. 已知，求的最大值_________. 【答案】## 【解析】 【分析】化简得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】由， 因为，可得， 当且仅当时，即等号成立， 所以，即最大值为. 故答案为：. 15. 记函数的定义域为A，的定义域为B．若，则实数a的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】由，得或，据真数大于零，求出函数的定义域，再由列出不等式，结合求出的范围即可. 【详解】由题意得，解得或， 即或， 根据题意， 因为，所以， 则， 即， 因为， 所以或， 解得或， 又， 所以或， 即实数的取值范围是. 故答案为： 16. 设集合，且M、N都是集合的子集，如果把叫做集合的“长度”，那么集合M∩N的“长度”的最小值是______． 【答案】 【解析】 【详解】∵集合M={x|m x m+},N={x|n- x n}，且M、N都是集合{x|0x1}的子集 ∴根据新定义可知：M的长度为，N的长度为， 当集合M∩N的长度的最小值时， M与N应分别在区间[0，1]的左右两端， 故M∩N的长度的最小值是． 故答案为：． 三、解答题 17. 已知不等式的解集是，求不等式的解集． 【答案】或 【解析】 【分析】由不等式的解集可求出的值，代入不等式求解即可. 【详解】依题意有和是方程的两根，且， 则有，解得， 即，解得或， 即不等式的解集为或. 18. 某化工企业在2019年底投入100万元购入一套污水处理设备．该设备每年的运转费用是0．5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元． （1）求该企业使用该设备x年的年平均污水处理费用y（万元）； （2）问：为使该企业的年平均污水处理费用最低，该企业几年后需要更换新的污水处理设备？ 【答案】（1）y；（2）该企业10年后需要更换新的污水处理设备． 【解析】 【分析】 （1）根据题意可得该企业使用该设备x年的年平均污水处理费用y； （2）根据基本不等式可解得结果. 【详解】（1）依题意得，该企业使用该设备x年的维护费为万元， 则总费用为万元， 因此 ． （2）由（1）及可得，， 当且仅当，即时等号成立．即当时，y取得最小值． ∴该企业10年后需要更换新的污水处理设备． 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 19. 已知函数. （1）若是偶函数，求的值； （2）若在上单调递减，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用偶函数的性质即可求得的值； （2）利用导数的单调性得到恒成立问题，再利用最值解决之，从而求得的取值范围. 【小问1详解】 因为函数为偶函数， 所以，即恒成立， 所以恒成立，故. 【小问2详解】 依题意得，， 因为在上单调递减，所以在上恒成立，即在上恒成立， 因为函数在上单调递增，所以， 所以，即的取值范围为. 20. 设函数y=mx2-mx-1. （1）若对任意x∈R，使得y<0成立，求实数m的取值范围； （2）若对于任意x∈[1，3]，y<-m+5恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】（1）（-4，0] （2） 【解析】 【分析】（1）由mx2-mx-1<0，对任意x∈R恒成立，利用判别式法求解； （2）由当x∈[1，3]时，y<-m+5恒成立，转化为，对x∈[1，3]时恒成立求解. 【小问1详解】 解：要使mx2-mx-1<0，对任意x∈R恒成立， 若m=0，显然一1<0，满足题意； 若m≠0，则， 解得-4<m<0 综上，-4<m≤0，即m的取值范围是（-4，0]. 【小问2详解】 当x∈[1，3]时，y<-m+5恒成立， 即当x∈[1，3]时，m（x2-x+1）-6<0成立. 因为，且， 所以， 因为函数在上的最小值为， 所以只需即可， 即实数的取值范围为. 21. 已知是定义在上的奇函数，当时，． （1）求在上的解析式； （2）当时，恒成立，求实数的取值范围； （3）关于的方程在上有两个不相等的实根，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】(1)根据函数的奇偶性求出m的值，进而求出函数的解析式即可； (2)利用分离参数法将原不等式转化为在上恒成立，结合函数的单调性求出即可； (3)令，将原方程转化为直线与函数的图象有两个交点．利用数形结合的思想即可求解. 【小问1详解】 依题意得，解得， 经检验，符合题意. 当时，，则， 因为是定义在R上的奇函数，所以， 即当时，； 【小问2详解】 当时，恒成立，即恒成立． 设，易知在上是减函数，， 所以，即实数a的取值范围为； 【小问3详解】 方程在上有两个不相等的实根， 即函数在上有两个零点， 令， 则关于t的方程在上有两个不相等的实根， 由于， 则直线与的图象有两个交点．如图， 因为在上单调递减，在上单调递增， 且，，，所以， 解得，即实数n的取值范围为． 22. 已知函数． （1）当时，判断函数的奇偶性； （2）当时，判断函数在上的单调性，并证明． 【答案】（1）奇函数 （2）在上是单调递减函数；证明见解析 【解析】 【分析】(1)利用奇函数的定义判断即可； （2）利用函数的单调性的定义即可判断与证明. 【小问1详解】 当时，，定义域为，关于原点对称， ，所以是奇函数． 【小问2详解】 当时，，证明：取，， 所以，，则，即， 所以在上是单调递减函数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$