第1章 全等三角形 综合练习 2024-2025学年苏科版八年级数学上册

苏科版八年级上册 第1章 全等三角形 7- 全等综合练习 1．如图，在△ABC和△ADE中，∠CAB＝∠DAE＝36°，AB＝AC，AD＝AE．连接CD，连接BE并延长交AC，AD于点F，G．若BE恰好平分∠ABC，则下列结论错误的是（　　） A．∠ADC＝∠AEB B．CD∥AB C．DE＝GE D．CD＝BE 【分析】利用AAS证明△DAC≌△EAB可得∠ADC＝∠AEB，CD＝BE，可判断A，D选项正确；由全等三角形的性质，三角形的内角和定理及等腰三角形的性质可求解∠ACB的度数，利用角平分线的定义求得∠ACD＝∠ABE＝36°，即可得∠ACD＝∠CAB，进而可证明CD∥AB，即可判断B选项正确，进而可求解． 【解答】解：A．∵∠CAB＝∠DAE＝36°， ∴∠CAB﹣∠CAE＝∠DAE﹣∠CAE，即∠DAC＝∠EAB， 在△DAC和△EAB中， ， ∴△DAC≌△EAB（SAS）， ∴∠ADC＝∠AEB，故A选项不符合题意； CD＝BE，故D选项不符合题意； B．∵AC＝AB， ∴∠ACB＝∠ABC， ∵∠CAB＝∠DAE＝36°， ∴∠ACB＝∠ABC＝（180°﹣36°）÷2＝72°， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE＝36°， ∴∠ACD＝∠ABE＝36， ∵∠DCA＝∠CAB＝36°， ∴CD∥AB（内错角相等，两直线平行）， 故B选项不符合题意； C．根据已知条件无法证明DE＝GE，故C选项符合题意． 故选：C． 【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质，平行线的判定，角平分线的定义，三角形的内角和定理，证明△DAC≌△EAB是解题的关键． 2．如图，等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，∠ABC的平分线分别交AC、AD于E、F两点，M为EF的中点，延长AM交BC于点N，连接DM，NE．下列结论：①AE＝AF；②AM⊥EF；③△AEF是等边三角形；④DF＝DN，⑤AD∥NE． 其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据等腰直角三角形的性质及角平分线的定义求得∠ABE＝∠CBE＝∠ABC＝22.5°，继而可得∠BFD＝∠AEB＝90°﹣22.5°＝67.5°，即可判断①③；由M为EF的中点且AE＝AF可判断②；证△FBD≌△NAD可判断④，证明△EBA≌△EBN（SAS），推出∠BNE＝∠BAM＝90°，即可判断⑤． 【解答】解：∵∠BAC＝90°，AC＝AB，AD⊥BC， ∴∠ABC＝∠C＝45°，AD＝BD＝CD，∠ADN＝∠ADB＝90°， ∴∠BAD＝45°＝∠CAD， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE＝∠ABC＝22.5°， ∴∠BFD＝∠AEB＝90°﹣22.5°＝67.5° ∴∠AFE＝∠BFD＝∠AEB＝67.5°， ∴AF＝AE，故①正确；③错误， ∵M为EF的中点， ∴AM⊥EF，故②正确； ∵AM⊥EF， ∴∠AMF＝∠AME＝90°， ∴∠DAN＝90°﹣67.5°＝22.5°＝∠MBN， 在△FBD和△NAD中， ， ∴△FBD≌△NAD（ASA）， ∴DF＝DN，故④正确； ∵∠BAM＝∠BNM＝67.5°， ∴BA＝BN， ∵∠EBA＝∠EBN，BE＝BE， ∴△EBA≌△EBN（SAS）， ∴∠BNE＝∠BAE＝90°， ∴∠ENC＝∠ADC＝90°， ∴AD∥EN．故⑤正确， 故选：D． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角性质，三角形内角和定理，直角三角形斜边上中线性质的应用，能正确证明推出两个三角形全等是解此题的关键． 3．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AC为边，作△ACD，满足AD＝AC，E为BC上一点，连接AE，2∠BAE＝∠CAD，连接DE，下列结论中正确的有（　　） ①AC⊥DE；②∠ADE＝∠ACB；③若CD∥AB，则AE⊥AD；④DE＝CE+2BE． A．①②③ B．②③④ C．②③ D．①②④ 【分析】因为∠BAE＝∠DAC，且∠ABC＝90°，所以需要构造2倍的∠BAC，故延长EB至 G，使BE＝BG，从而得到∠GAE＝∠CAD，进一步证明∠GAC＝∠EDA，且AE＝AG，接着证明△GAC≌△EAD，则∠ADE＝∠ACG，DE＝CG，所以②是正确的，也可以通过线段的等量代换运算推导出④是正确的，设∠BAE＝x，则∠DAC＝2x，因为CD∥AB，所以∠BAC＝∠ACD＝90°﹣x，接着用x表示出∠EAC，再计算出∠DAE＝90°，故③是正确的，当∠CAE＝∠BAE时，可以推导出AC⊥DE，否则AC不垂直于DE，故①是错误的． 【解答】解：如图，延长EB至G，使BE＝BG，设AC与DE交于点M， ∵∠ABC＝90°， ∴AB⊥GE， ∴AB垂直平分GE， ∴AG＝AE，∠GAB＝∠BAE＝∠DAC， ∵∠BAE＝∠GAE， ∴∠GAE＝∠CAD， ∴∠GAE+∠EAC＝∠CAD+∠EAC， ∴∠GAC＝∠EAD， 在△GAC与△EAD中， ， ∴△GAC≌△EAD（SAS）， ∴∠G＝∠AED，∠ACB＝∠ADE， ∴②是正确的； ∵AG＝AE， ∴∠G＝∠AEG＝∠AED， ∴AE平分∠BED， 当∠BAE＝∠EAC时，∠AME＝∠ABE＝90°，则AC⊥DE， 当∠BAE≠∠EAC时，∠AME≠∠ABE，则无法说明AC⊥DE， ∴①是不正确的； 设∠BAE＝x，则∠CAD＝2x， ∴∠ACD＝∠ADC＝＝90°﹣x， ∵AB∥CD， ∴∠BAC＝∠ACD＝90°﹣x， ∴∠CAE＝∠BAC﹣∠EAB＝90°﹣x﹣x＝90°﹣2x， ∴∠DAE＝∠CAE+∠DAC＝90°﹣2x+2x＝90°， ∴AE⊥AD， ∴③是正确的； ∵△GAC≌△EAD， ∴CG＝DE， ∵CG＝CE+GE＝CE+2BE， ∴DE＝CE+2BE， ∴④是正确的， 故选：B． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，通过二倍角这一条件，构造两倍的∠BAE，是本题的突破口，也是常用方法，同时，要注意本题设参数导角，对学生分析数据的能力有一定要求． 4．已知AB＝10，AC＝6，BD＝8，其中∠CAB＝∠DBA＝α，点P以每秒2个单位长度的速度，沿着C→A→B路径运动．同时，点Q以每秒x个单位长度的速度，沿着D→B→A路径运动，一个点到达终点后另一个点随即停止运动．它们的运动时间为t秒． ①若x＝1．则点P运动路程始终是点Q运动路程的2倍； ②当P、Q两点同时到达A点时，x＝6； ③若α＝90°，t＝5，x＝1时，△ACP≌△BPQ； ④若△ACP与△BPQ全等，则x＝0.8或． 以上说法正确的选项为（　　） A．①③ B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【分析】①若x＝1，即点P的速度时点Q的2倍，即可求解； ②求出P、Q的运动时间即可求解； ③证明AP≠BQ，即可求解； ④若△ACP与△BPQ全等，则AC＝PB且AP＝BQ或AC＝BQ且AP＝BP，即可求解． 【解答】解：①若x＝1，即点P的速度时点Q的2倍，故点P运动路程始终是点Q运动路程的2倍，正确，符合题意； ②点P到达A的时间为：6÷2＝3，当x＝6时，点Q到达点A的时间为：（8+10）÷6＝3，故②正确，符合题意； ③若α＝90°，t＝5，x＝1时，如图， 假设AC：AP＝PB：BQ， ∵∠A＝∠B＝α， ∴△APC∽△BQP， ∴∠CPA＝∠PQB， 而∠PQB＝∠QPB＝90°， ∴∠CPA+∠QPB＝90°， 即CP⊥PQ， 而此时，AC＝6，则AP＝5×2﹣6＝4，则PB＝AB﹣AP＝6， 而DQ＝1×5＝5，则BQ＝8﹣5＝3， 则AP≠BQ， 故③错误，不符合题意； ④由题意得，AP＝2t﹣6，则PB＝10﹣（2t﹣6）＝16﹣2t，QD＝xt，则BQ＝8﹣xt， 若△ACP与△BPQ全等， 则AC＝PB且AP＝BQ或AC＝BQ且AP＝BP， 即6＝16﹣2t且2t﹣6＝8﹣xt或6＝8﹣xt且2t﹣6＝16﹣2t， 解得：x＝0.8或， 故④正确，符合题意， 故选：C． 【点评】本题为三角形综合题，涉及到三角形全等和相似、动点问题，分类求解是解题的关键． 5．如图，在△ABC中，点M，N分别是AC，BC上一点，AM＝BN，∠C＝60°，若AB＝9，BM＝7，则MN的长度可以是（　　） A．2 B．7 C．16 D．17 【分析】通过构造等边△ABQ和等边△MBP，得到△QBP≌△ABM （SAS），再证明△QMP≌△NMB （SAS），即可将线段AB、BM和MN集中到同一△QMB中，根据三角形三边关系即可判断MN的长度取值范围． 【解答】解：如图，作等边△ABQ和等边△MBP，连接QP，QM， 在等边△ABQ和等边△MBP中，∠QBA＝∠PBM＝60°， ∴∠QBP+∠QBM＝∠QBM+∠ABM＝60°， ∴∠QBP＝∠ABM， 又∵QB＝AB＝9，PB＝MB＝7， ∴△QBP≌△ABM（SAS）， ∴∠BQP＝∠BAM，PQ＝AM， ∵AM＝BN， 在△ABC中，∠ACB+∠CAB+∠CBA＝180°，∠ACB＝60°， ∴∠MBC＝180°﹣60°﹣∠MAB﹣∠ABM＝120°﹣∠MAB﹣∠ABM， 在△QBP中，∠QPB+∠BQP+∠QBP＝180°，∠MPB＝60°， ∴∠MPQ＝180°﹣60°﹣∠BQP﹣∠QBP＝120°﹣∠MAB﹣∠ABM， ∴∠MBN＝MPQ， 在△QMP和△NMB中， ， ∴△QMP≌△NMB（SAS）， ∴MQ＝MN， 在△QMB中，QB﹣MB＜QM＜QB+MB， ∴AB﹣MB＜MN＜AB+MB， ∴2＜MN＜16， ∴选项B，MN＝7符合题意， 故选：B． 【点评】本题主要考查了全等三角形性质和判定的综合应用，解题关键是线段AB、BM和MN通过全等转化在同一三角形中，再根据三角形三边关系即可判断MN的长度取值范围、 6．如图，在△ACD中，∠CAD＝90°，AC＝6，AD＝8，AB∥CD，E是CD上一点，BE交AD于点F，若EF＝BF，则图中阴影部分的面积为 　24　． 【分析】证明△BAF≌△EDF（AAS），则S△BAF＝S△DEF，利用割补法可得阴影部分的面积． 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠BAD＝∠D， 在△BAF和△EDF中， ， ∴△BAF≌△EDF（AAS）， ∴S△BAF＝S△DEF， ∴图中阴影部分的面积＝S四边形ACEF+S△AFB＝S△ACD＝＝＝24． 故答案为：24． 【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定是关键． 7．△ABC和△A′B′C′中，AB＝A′B′，AC＝A′C′，∠C＝60°，AD，A′D′分别为BC，B′C′边上的高，且AD＝A′D′，则∠C′的度数为　60°或120°　． 【分析】先根据题意画出图形，再利用全等三角形的性质解答，画图时要注意∠C'为锐角和钝角两种情况讨论． 【解答】解：分两种情况： ①当∠C′为锐角时，如图1所示： ∵AD，A′D′分别为BC，B′C′边上的高， ∴AD⊥BC，A′D′⊥B′C′， ∴∠ADC＝∠A'D'C'＝90°， 在Rt△ADC和Rt△A'D'C'中， ， ∴Rt△ADC≌Rt△A′D′C′（HL）， ∴∠C＝∠C′＝60°； ②当∠A'C'B'为钝角时，如图2所示， 同①得：Rt△ACD≌Rt△A′C′D′（HL）， ∴∠C＝∠A′C′D′＝60°， ∴∠A′C′B′＝120°； 故答案为：60°或120°． 【点评】本题考查的是全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，分两种情况讨论是解题的关键． 8．如图Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB交BC于D，点E在AB的延长线上，满足∠ADE+∠CAB＝180°，若AC＝6，BE＝2，则线段AB的长为 　10　． 【分析】延长AD到M，作DH⊥AB于H．首先证明△ADC≌△ADH，推出AC＝AH＝6，再证明AH＝HE＝6，由BE＝2，可得BH＝4，推出AB＝10． 【解答】解：延长AD到M，作DH⊥AB于H． ∵AD平分∠CAB， ∴∠DAC＝∠DAH， ∵∠C＝∠AHD，AD＝AD， ∴△ADC≌△ADH（AAS）， ∴AC＝AH＝6， ∵∠ADE+∠CAB＝180°，∠ADE+∠EDM＝180°， ∴∠EDM＝∠CAB， ∵∠EDM＝∠DAE+∠DEA＝∠DAE+∠CAD，∠CAD＝∠DAB， ∴∠DAB＝∠E， ∴DA＝DE， ∵DH⊥AE， ∴AH＝HE＝6， ∵BE＝2， ∴BH＝4， ∴AB＝10， 故答案为：10． 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、角平分线的定义，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 9．如图，∠ACH是△ABC的外角，CD平分∠ACH，且CD与BA的延长线交于点D，E点是线段CD上一动点（E点不与C，D重合），若EA＝2，EB＝6，令CA+CB＝n，则n的取值范围是　4＜n＜8．　． 【分析】可以在CH上截取CF＝CA，连接EF，证明△ACE≌△FCE，可得AE＝FE，进而根据三角形三边的关系即可求得n的取值范围． 【解答】解：如图， 在CH上截取CF＝CA，连接EF， ∵CD平分∠ACH， ∴∠ACE＝∠ECF， 在△ACE和△ECF中， ∴△ACE≌△FCE（SAS）， ∴AE＝FE， ∵EA＝2，EB＝6， ∴EF＝2， ∵BE﹣EF＜BF＜BE+EF 即6﹣2＜BC+CF＜6+2 ∴4＜BC+AC＜8， 令CA+CB＝n， 则n的取值范围是4＜n＜8． 故答案为：4＜n＜8． 【点评】本题考查了三角形的三边关系、全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是构造适当的辅助线． 10．如图，在△ABC中，AD为BC边的中线，E为AD上一点，连接BE并延长交AC于点F，若∠AEF＝∠FAE，BE＝4，EF＝1.6，则CF的长为 　2.4　． 【分析】延长AD至G，使DG＝AD，连接BG，可证明△BDG≌△CDA（SAS），则BG＝AC，∠CAD＝∠G，根据AF＝EF，得∠CAD＝∠AEF，可证出∠G＝∠BEG，即得出AC＝BE＝4，然后利用线段的和差即可解决问题． 【解答】解：如图，延长AD至G，使DG＝AD，连接BG， 在△BDG和△CDA中， ， ∴△BDG≌△CDA（SAS）， ∴BG＝AC，∠CAD＝∠G， ∵∠AEF＝∠FAE， ∴∠CAD＝∠AEF， ∵∠BEG＝∠AEF， ∴∠CAD＝∠BEG， ∴∠G＝∠BEG， ∴BG＝BE＝4， ∴AC＝BE＝4， ∵∠AEF＝∠FAE， ∴AF＝EF＝1.6， ∴CF＝AC﹣AF＝4﹣1.6＝2.4． 故答案为：2.4． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 11．添加辅助线是很多同学感觉比较困难的事情．如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD是高，E是△ABC外一点，BE＝BA，∠E＝∠C，若DE＝BD，AD＝16，BD＝20，求△BDE的面积．同学们可以先思考一下…，小颖思考后认为可以这样添加辅助线：在BD上截取BF＝DE，（如图2）．同学们，根据小颖的提示，聪明的你可以求得△BDE的面积为 　64　． 【分析】由△ABF≌△BDE，求出BF，DF的长，再由面积公式求得即可． 【解答】解：如图所示，连接AF， ∠ABD＝180°﹣∠BDA﹣∠BAD＝90°﹣∠BAD， ∠C＝180°﹣∠ABC﹣∠BAD＝90°﹣∠BAD， ∵∠ABD＝∠C， ∵∠E＝∠C， ∵∠ABD＝∠E， 在△ABF与△BED中， ， ∴△ABF≌△BED（SAS）， ∴S△ABF＝S△BDE， ∵， ∵BF＝×20＝8， ∴DF＝BD﹣BF＝20﹣8＝12， ∴S△AFD＝×AD•DF＝×12×16＝96， ∵S△ABF＝S△ABD﹣S△AFD， ∴S△BDE＝S△ABF＝160﹣96＝64． 故答案为：64． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 12．如图，在△ABC中，AH是高，AE∥BC，AB＝AE，在AB边上取点D，连接DE，DE＝AC，若S△ABC＝5S△ADE，BH＝1，则BC＝　　． 【分析】过点E作EP⊥BA，交BA的延长线于P，首先证明△AEP≌△BAH（AAS），再利用HL证明Rt△DEP≌Rt△CAH，得CH＝DP，S△ACH＝S△APE，再根据高相等的两个三角形面积比等于底之比解决问题． 【解答】解：过点E作EP⊥BA，交BA的延长线于P， ∴∠P＝∠AHB＝90°， ∵AE∥BC， ∴∠EAP＝∠CBA， 在△AEP和△BAH中， ， ∴△AEP≌△BAH（AAS）， ∴PE＝AH， 在Rt△DEP和Rt△CAH中， ， ∴Rt△DEP≌Rt△CAH（HL）， ∴CH＝DP，S△ACH＝S△DPE， ∵S△ABC＝S△ABH+S△AHC＝2S△ABH+S△ADE＝5S△ADE， ∴S△ABH：S△ADE＝2：1， ∴BH：AD＝2：1， ∵BH＝1， ∴AD＝， ∴DP＝CH＝1+＝， ∴BC＝BH+CH＝1+＝， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形面积等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键，有一定的难度． 13．如图，正方形ABCD的四个顶点分别在四条互相平行的直线l1，l2，l3，l4上，这四条直线中，相邻两条之间的距离依次为h1，h2，h3，若h1＝4，h2＝2，则正方形ABCD的面积S等于 　52　. 【分析】过A点作AF⊥l3分别交l2、l3于点E、F，过C点作CH⊥l2分别交l2、l3于点H、G，根据正方形的性质和平行线的性质，证△ABE≌△CDG即可；易证△ABE≌△BCH≌△CDG≌△DAF，且两直角边长分别为h1、h1+h2，四边形EFGH是边长为h2的正方形，所以S＝（h1+h2）2+，将h1＝4，h2＝2代入，即可解决问题． 【解答】证明：如图，过A点作AF⊥l3分别交l2、l3于点E、F，过C点作CH⊥l2分别交l2、l3于点H、G， ∵四边形ABCD是正方形，l1∥l2∥l3∥l4， ∴AB＝CD，∠ABE+∠HBC＝90°， ∵CH⊥l2， ∴∠BCH+∠HBC＝90°， ∴∠BCH＝∠ABE， 同理可得，∠BCH＝∠CDG， ∴∠ABE＝∠CDG， ∵∠AEB＝∠CGD＝90°， 在△ABE和△CDG中， ， ∴△ABE≌△CDG（AAS）， ∴AE＝CG， 即h1＝h3， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝CD＝DA， ∵∠AEB＝∠DFA＝∠BHC＝∠CGD＝90°，∠ABE＝∠FAD＝∠BCH＝∠CDG， ∴△AEB≌△DAF≌△BCH≌△CGD，且两直角边长分别为h1、h1+h2， ∴四边形EFGH是边长为h2的正方形， ∴正方形ABCD的面积S＝4××h1（h1+h2）+＝2+2h1h2+＝（h1+h2）2+， ∵h1＝4，h2＝2， ∴S＝（h1+h2）2+＝36+16＝52． 故答案为：52． 【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质、平行线的性质、直角三角形的性质，本题的关键在于作好辅助线，根据已知找到全等三角形即可． 14．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，直线l经过点C且与边AB相交．动点P从点A出发沿A→C→B路径向终点B运动；动点Q从点B出发沿B→C→A路径向终点A运动．点P和点Q的速度分别为1cm/s和2cm/s，两点同时出发并开始计时，当点P到达终点B时计时结束．在某时刻分别过点P和点Q作PE⊥l于点E，QF⊥l于点F，设运动时间为t秒，则当t＝　2或或12　秒时，△PEC与△QFC全等． 【分析】点Q在BC上，点P在AC上；点P与点Q重合；Q与A重合三种情况；根据全等三角形的性质列式计算． 【解答】解：由题意得，AP＝t，BQ＝2t， ∵AC＝6cm，BC＝8cm， ∴CP＝6﹣t，CQ＝8﹣2t， ①如图1，Q在BC上，点P在AC上时，作PE⊥l，QF⊥l， ∵∠PEC＝∠CFQ＝∠ACB＝90°， ∴∠CPE+∠PCE＝∠PCE+∠FCQ＝90°， ∴∠CPE＝∠FCQ， 当△PEC≌△CFQ时， 则PC＝CQ， 即6﹣t＝8﹣2t， 解得：t＝2； ②如图2，当点P与点Q重合时， 当△PEC≌△QFC， 则PC＝CQ， ∴6﹣t＝2t﹣8． 解得：t＝； ③如图3，当点Q与A重合时，∠QCF+∠CQF＝∠QCF+∠PCE＝90°， ∴∠CQF＝∠PCE， 当△PEC≌△CFQ， 则PC＝CQ， 即t﹣6＝6， 解得：t＝12； 当综上所述：当t＝2秒或秒或12秒时，△PEC与△QFC全等， 故答案为：2或或12． 【点评】本题考查的是全等三角形的判定、掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键． 15．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm．点P从A点出发沿A→C→B路径向终点运动，终点为B点；点Q从B点出发沿B→C→A路径向终点运动，终点为A点．点P和Q分别以每秒1cm和3cm的运动速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过P和Q作PE⊥l于E，QF⊥l于F．设运动时间为t秒，则当t＝　1或或12　秒时，△PEC与△QFC全等． 【分析】根据题意分为五种情况，根据全等三角形的性质得出CP＝CQ，代入得出关于t的方程，求出即可． 【解答】解：分为五种情况：①如图1，P在AC上，Q在BC上， ∵PE⊥l，QF⊥l， ∴∠PEC＝∠QFC＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠EPC+∠PCE＝90°，∠PCE+∠QCF＝90°， ∴∠EPC＝∠QCF， 当△PCE≌△CQF，可得PC＝CQ， 即6﹣t＝8﹣3t， t＝1； ②如图2，P在BC上，Q在AC上， ∵由①知：PC＝CQ， ∴t﹣6＝3t﹣8， t＝1； t﹣6＜0，即此种情况不符合题意； ③当P、Q都在AC上时，如图3， CP＝6﹣t＝3t﹣8， t＝； ④当Q到A点停止，P在BC上时，AC＝PC，t﹣6＝6时，解得t＝12． ⑤P和Q都在BC上的情况不存在，因为P的速度是每秒1cm，Q的速度是每秒3cm； 故答案为：1或或12． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应边相等． 16．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，E为AC边上一点，连接BE与AD交于点F，G为△ABC外一点，满足∠ACG＝∠ABE，∠FAG＝∠BAC，连接EG．求证：△ABF≌△ACG． 【分析】根据∠FAG＝∠BAC求出∠BAF＝∠CAG，再根据全等三角形的判定定理ASA推出即可． 【解答】证明：∵∠FAG＝∠BAC， ∴∠FAG﹣∠EAF＝∠BAC﹣∠EAF， 即∠BAF＝∠CAG， 在△ABF和△ACG中， ， ∴△ABF≌△ACG（ASA）． 【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL等． 17．如图，在△ABC中，∠ABC＝3∠C，AD平分∠BAC，BE⊥AD于E，试探究∠ABE与∠CBE之间的数量关系． 【分析】由AD平分∠BAC，可得出∠BAD＝∠CAD，由∠ADB是△ACD的外角，利用三角形的外角性质，可得出∠BDE＝∠CAD+∠C，在Rt△ABE及Rt△BDE中，利用三角形内角和定理，可得出∠ABE＝90°﹣∠BAD及∠CBE＝90°﹣（∠CAD+∠C），二者作差后可得出∠ABE﹣∠CBE＝∠C，结合∠ABE+∠CBE＝3∠C，可得出∠ABE＝2∠C，∠CBE＝∠C，进而可得出∠ABE＝2∠CBE． 【解答】解：∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD． ∵∠ADB是△ACD的外角， ∴∠BDE＝∠CAD+∠C． 在Rt△ABE中，∠BEA＝90°， ∴∠ABE＝90°﹣∠BAD； 在Rt△BDE中，∠BED＝90°， ∴∠CBE＝90°﹣∠BDE＝90°﹣（∠CAD+∠C）， ∴∠ABE﹣∠CBE＝90°﹣∠BAD﹣[90°﹣（∠CAD+∠C）]＝∠C． 又∵∠ABC＝∠ABE+∠CBE＝3∠C， ∴∠ABE＝2∠C，∠CBE＝∠C， ∴∠ABE＝2∠CBE． 【点评】本题考查了三角形内角和定理、三角形的外角性质以及角平分线的定义，根据各角之间的关系，找出∠ABE＝2∠C及∠CBE＝∠C是解题的关键． 18．在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE． （1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC＝90°，则∠BCE＝　90　度； （2）设∠BAC＝α，∠BCE＝β． ①如图2，当点D在线段BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由； ②当点D在直线BC上移动，画图并探究α，β之间有怎样的数量关系？ 【分析】（1）问要求∠BCE的度数，可将它转化成与已知角有关的联系，根据已知条件和全等三角形的判定定理，得出△ABD≌△ACE，再根据全等三角形中对应角相等，最后根据直角三角形的性质可得出结论； （2）问在第（1）问的基础上，将α+β转化成三角形的内角和； （3）问是第（1）问和第（2）问的拓展和延伸，要注意分析两种情况． 【解答】解：（1）∵∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC． 即∠BAD＝∠CAE． 在△ABD与△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠B＝∠ACE． ∴∠B+∠ACB＝∠ACE+∠ACB， ∴∠BCE＝∠B+∠ACB， 又∵∠BAC＝90° ∴∠BCE＝90°； 故答案为：90； （2）①α+β＝180°， 理由：∵∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAD+∠DAC＝∠EAC+∠DAC． 即∠BAD＝∠CAE． 在△ABD与△ACE中， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠B＝∠ACE． ∴∠B+∠ACB＝∠ACE+∠ACB． ∴∠B+∠ACB＝β， ∵α+∠B+∠ACB＝180°， ∴α+β＝180°； ②当点D在射线BC上时，α+β＝180°； 理由：∵∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAD＝∠CAE， ∵在△ABD和△ACE中 ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠ABD＝∠ACE， ∵∠BAC+∠ABD+∠BCA＝180°， ∴∠BAC+∠BCE＝∠BAC+∠BCA+∠ACE＝∠BAC+∠BCA+∠B＝180°， ∴α+β＝180°； 当点D在射线BC的反向延长线上时，α＝β． 理由：∵∠DAE＝∠BAC， ∴∠DAB＝∠EAC， ∵在△ADB和△AEC中， ∴△ADB≌△AEC（SAS）， ∴∠ABD＝∠ACE， ∵∠ABD＝∠BAC+∠ACB，∠ACE＝∠BCE+∠ACB， ∴∠BAC＝∠BCE， 即α＝β． 【点评】本题考查三角形全等的判定，以及全等三角形的性质；两者综合运用，促进角与角相互转换，将未知角转化为已知角是关键．本题的亮点是由特例引出一般情况． 19．如图，已知AP∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于点E，CE的连线交AP于点D，求证：AD+BC＝AB． 【分析】先在AB上截取AF＝AD，连接EF，由AE平分∠PAB，利用SAS即可证得△DAE≌△FAE，继而可证得∠EFB＝∠C，然后利用AAS证得△BEF≌△BEC，即可得BC＝BF，继而证得AD+BC＝AB． 证法二：延长AE交BC的延长线于M；由AP∥BC，及AE平分∠PAB，可求得∠BAE＝∠M，即AB＝BM，因此直线证得AD＝MC即可；在等腰△ABM中，BE是顶角的平分线，根据等腰三角形三线合一的性质知：E是AM的中点，即AE＝EM，而PA∥BM，即可证得△ADE≌△MCE，从而得到所求的结论． 【解答】证明：如图，在AB上截取AF＝AD，连接EF， ∵AE平分∠PAB， ∴∠DAE＝∠FAE， 在△DAE和△FAE中， ∵， ∴△DAE≌△FAE（SAS）， ∴∠AFE＝∠ADE， ∵AD∥BC， ∴∠ADE+∠C＝180°， ∵∠AFE+∠EFB＝180°， ∴∠EFB＝∠C， ∵BE平分∠ABC， ∴∠EBF＝∠EBC， 在△BEF和△BEC中， ∵， ∴△BEF≌△BEC（AAS）， ∴BC＝BF， ∴AD+BC＝AF+BF＝AB． 证法二：如图，延长AE交BC的延长线于M， ∵AE平分∠PAB，BE平分∠CBA， ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∵AD∥BC ∴∠1＝∠M＝∠2，∠1+∠2+∠3+∠4＝180° ∴BM＝BA，∠3+∠2＝90°， ∴BE⊥AM， 在△ABE和△MBE中， ， ∴△ABE≌△MBE（ASA）， ∴AE＝ME， 在△ADE和△MCE中， ， ∴△ADE≌△MCE（ASA）， ∴AD＝CM， ∴AB＝BM＝BC+AD． 【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质以及平行线的性质．注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用． 20．将两个全等的直角三角形ABC和DBE按图①方式摆放，其中∠ACB＝∠DEB＝90°，∠A＝∠D＝30°，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F． （1）连接BF，求证：CF＝EF． （2）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角α，且0°＜α＜60°，其他条件不变，如图②，求证：AF+EF＝DE． （3）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角β，且60°＜β＜180°，其他条件不变，如图③，你认为（2）中的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请直接写出AF、EF与DE之间的数量关系． 【分析】（1）如图，连接BF，由△ABC≌△DBE，可得BC＝BE，根据直角三角形的“HL”判定定理，易证△BCF≌△BEF，即可得出结论； （2）同（1）得CF＝EF，由△ABC≌△DBE，可得AC＝DE，AC＝AF+CF＝AF+EF，即AF+EF＝DE； （3）同（1）得CF＝EF，由△ABC≌△DBE，可得AC＝DE，AF＝AC+FC＝DE+EF． 【解答】（1）证明：如图1，连接BF， ∵△ABC≌△DBE， ∴BC＝BE， ∵∠ACB＝∠DEB＝90°， 在Rt△BCF和Rt△BEF中， ， ∴Rt△BCF≌Rt△BEF（HL）， ∴CF＝EF； （2）如图2，连接BF， ∵△ABC≌△DBE， ∴BC＝BE， ∵∠ACB＝∠DEB＝90°， 在Rt△BCF和Rt△BEF中， ， ∴Rt△BCF≌Rt△BEF（HL）， ∴EF＝CF， ∴AF+EF＝AF+CF＝AC＝DE； （3）如图3，连接BF， ∵△ABC≌△DBE， ∴BC＝BE， ∵∠ACB＝∠DEB＝90°， ∴△BCF和△BEF是直角三角形， 在Rt△BCF和Rt△BEF中， ， ∴Rt△BCF≌Rt△BEF（HL）， ∴CF＝EF， ∵AC＝DE， ∴AF＝AC+FC＝DE+EF． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，学生应熟练掌握证明三角形全等的几个判定定理及其性质．解题时注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等． 21．观察与类比： （1）如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°．点D在△ABC外，连接AD，作DE⊥AB于点E，交BC于点F，AD＝AB，AE＝AC，连接AF．求证：DF＝BC+CF； （2）如图②，AB＝AD，AC＝AE，∠ACB＝∠AED＝90°，延长BC交DE于点F，写出DF、BC、CF之间的数量关系，并证明你的结论． 【分析】（1）利用HL证出Rt△ACF≌Rt△AEF，得CF＝EF，再利用HL证出Rt△ADE≌Rt△ABC，得DE＝BC，即可得出结论； （2）连接AF，利用HL证出Rt△ABC≌Rt△ADE，得出BC＝DE，再利用HL证出Rt△ACF≌△AEF，得CF＝EF即可推出结论． 【解答】证明：（1）∵DE⊥AB，∠ACB＝90°， ∴∠AED＝∠AEF＝∠ACB＝90°， 在Rt△ACF与Rt△AEF中， ， ∴Rt△ACF≌Rt△AEF（HL）， ∴CF＝EF， 在Rt△ADE与Rt△ABC中， ， ∴Rt△ADE≌Rt△ABC（HL）， ∴DE＝BC， ∵DF＝DE+EF， ∴DF＝BC+CF， （2）BC＝CF+DF，证明如下： 如图，连接AF， 在Rt△ABC与Rt△ADE中， ， ∴Rt△ABC≌Rt△ADE（HL）， ∴BC＝DE， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACF＝90°＝∠AED， 在Rt△ACF与Rt△AEF中， ， ∴Rt△ACF≌△AEF（HL）， ∴CF＝EF， ∵DE＝EF+DF， ∴BC＝CF+DF． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 22．已知：如图①，纸片Rt△ABC，∠ACB＝90°． （1）将△ABC沿着MN折叠，使得△AMN与△CMN重合，MN为折痕，展开后如图②所示．试判断MN与BC的位置关系，并说明理由； （2）在（1）的条件下，连接MC，过点M作ME⊥BC，点E为垂足，如图③所示． ①将△BME沿ME折叠，点B能与点C重合吗？请说明理由； ②图中与△AMN全等的三角形有 　3　个； （3）将图②中纸片沿MC剪开得△MBC，如图④所示，将另一张纸片△OPQ与△MBC拼接，边OP与边MC恰好重合（点O与点C重合），若OP＝OQ，且△MBC的面积与△OPQ的面积相等，试探索∠BMC与∠POQ的数量关系，并说明理由． 【分析】（1）根据折叠的性质可得MN⊥AC，再根据∠A+∠B＝90°，∠A+∠AMN＝90°得出∠B＝∠AMN，即可得出结论； （2）①通过证明△CMN≌△MCE（AAS），得出EM＝CN，MN＝CE，进而推出△BME≌△CMN（AAS），即可得出结论；②根据折叠的性质和①的证明过程，即可得出结论； （3）根据题意进行分类讨论：①当△OPQ为锐角三角形时，②当△OPQ为钝角三角形时． 【解答】解：（1）∵△AMN与△CMN重合，MN为折痕， ∴MN⊥AC， ∵∠A+∠B＝90°，∠A+∠AMN＝90°， ∴∠B＝∠AMN， ∴MN∥BC； （2）①点B能与点C重合；理由如下： ∵ME⊥BC，MN⊥AC， ∴∠CNM＝∠MEC＝90°，∠CNM＝∠MEB＝90°， 由（1）可得MN∥BC， ∴∠NMC＝∠MCE， 在△CMN和△MCE中， ， ∴△CMN≌△MCE（AAS）， ∴EM＝CN，MN＝CE， ∵△AMN与△CMN重合，MN为折痕， ∴∠B＝∠AMN＝∠CMN， 在△BME和△CMN中， ， ∴△BME≌△CMN（AAS）， ∴BM＝CM， ∴将△BME沿ME折叠，点B能与点C重合； ②∵△AMN与△CMN重合，MN为折痕， ∴△AMN≌△CMN， 由①可得△CMN≌△MCE（AAS），△BME≌△CMN（AAS）， ∴△AMN≌△MCE，△BME≌△AMN， 综上：图中与△AMN全等的三角形有3个， 故答案为：3． （3）∠BMC＝∠POQ或∠POQ+∠BMC＝180°，理由如下： ①当△OPQ为锐角三角形时， 过点B作BG⊥MC于点G，过点Q作QH⊥MC于点H， ∵S△BMC＝S△OPQ， ∴， ∵OP与边MC恰好重合，即OP＝MC， ∴BG＝QH， ∵MC＝MB＝OP＝OQ， ∴MB＝OQ， ∵BG⊥MC，QH⊥MC， ∴∠BGM＝∠QHO＝90°， 在Rt△BGM和Rt△QHO中， ， ∴Rt△BGM≌Rt△QHO（HL）， ∴∠BMG＝∠QOH，即∠BMC＝∠POQ； ②当△OPQ为钝角三角形时， 过点B作BS⊥CM于点S，过点Q作QT⊥OP于点T， ∵S△BMC＝S△OPQ， ∴， ∵OP与边MC恰好重合，即OP＝MC， ∴BS＝QT， ∵MC＝MB＝OP＝OQ， ∴MB＝OQ， ∵BS⊥CM，QT⊥OP， ∴∠T＝∠BSM＝90°， 在Rt△BSM和Rt△QTO中， ， ∴Rt△BSM≌Rt△QTO（HL）， ∴∠BMS＝∠QOT， ∵∠POQ+∠QOT＝180°， ∴∠POQ+∠BMS＝180°，即∠POQ+∠BMC＝180°． 【点评】本题主要考查了平行线的判定和性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握轴对称的性质以及全等三角形的判定和性质．全等三角形的判定方法有：SSS，SAS，ASA，AAS，HL． 23．如图1，在五边形ABCDE中，∠E＝90°，BC＝DE．连接AC，AD，且AB＝AD，AC⊥BC． （1）求证：AC＝AE； （2）如图2，若∠ABC＝∠CAD，AF为BE边上的中线，求证：AF⊥CD； （3）如图3，在（2）的条件下，AE＝6，DE＝4，则五边形ABCDE的面积为　42　． 【分析】（1）利用HL定理证明Rt△ABC≌Rt△ADE，根据全等三角形的性质证明； （2）延长AF，BC交于点G，证明△AEF≌△GBF，根据全等三角形的性质得到AE＝BG，证明△ABG≌△DAC，得到∠G＝∠ACD，根据垂直的定义证明； （3）根据全等三角形的性质得到BG＝AC＝AE＝6，求出△ABG的面积，结合图形计算． 【解答】（1）证明：∵AC⊥BC， ∴∠ACB＝90°＝∠E， 在Rt△ABC和Rt△ADE中， ， ∴Rt△ABC≌Rt△ADE（HL）， ∴AC＝AE； （2）证明：延长AF，BC交于点G， ∵△ABC≌△ADE， ∴∠BAC＝∠DAE，又∠ABC＝∠CAD， ∴∠CAD+∠DAE＝∠ABC+∠BAC＝90°＝∠ACB， ∴BG∥AE， ∴∠G＝∠EAG， 在△AEF和△GBF中， ， ∴△AEF≌△GBF（AAS）， ∴AE＝BG， ∵AC＝AE， ∴BG＝AC， 在△ABG和△DAC中， ， ∴△ABG≌△DAC（SAS） ∴∠G＝∠ACD， ∵∠ACG＝∠ACB＝90°，即∠ACD+∠GCD＝90° ∴∠G+∠GCD＝90°， ∴AF⊥CD； （3）解：由（2）可知，BG＝AC＝AE＝6， ∴△ABG的面积＝×BG×AC＝×6×6＝18， ∵△ABG≌△DAC， ∴△ACD的面积＝18， ∴五边形ABCDE的面积＝△ABC的面积+△ACD的面积+△ADE的面积＝12+18+12＝42， 故答案为：42． 【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质，三角形的面积计算，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 24．如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，D为△ABC边AC上一点，BC＝CD，点M在BC的延长线上，CE平分∠ACM，且AC＝CE．连接BE交AC于点F，G为边CE上一点，满足CG＝CF，连接DG交BE于点H． （1）求∠DHF的度数； （2）若EB平分∠DEC，则BE平分∠ABC吗？请说明理由． 【分析】（1）由“SAS”可证△CDG≌△CBF，可得∠CBF＝∠CDG，再利用三角形的内角和定理，得∠CBF+∠BCF＝∠CDG+∠DHF，又∠ACB＝60°，即可出∠DHF＝∠ACB＝60°，从而问题得以解决； （2）由“SAS”可证△ABC≌△EDC；由三角形的内角和可得∠DEB+∠EBC＝60°，因为∠DEB＝∠BEC，只要证出∠DEB+∠ABE＝60°，用三角形的外角以及等量代换可以证出，进而得到BE平分∠ABC． 【解答】解：（1）在△CDG和△CBF中， ， ∴△CDG≌△CBF（SAS）， ∴∠CBF＝∠CDG， ∵∠DFH＝∠BFC， ∴∠DHF＝∠BCF＝60°； （2）BE平分∠ABC． 理由：∵∠ACB＝60°， ∴∠ACM＝120°， ∵CE平分∠ACM， ∴∠ACE＝∠MCE＝60°， ∴∠ACB＝∠ACE， 在△ABC和△EDC中， ， ∴△ABC≌△EDC（SAS）； ∴∠ABC＝∠EDC， ∵∠ACB＝∠DCE＝60°， ∴∠BEC+∠CBE＝60°， ∵∠DFH＝∠A+∠ABE＝∠BEC+∠FCG， ∵∠A＝∠DEC＝2∠DEB＝2∠BEC， ∴2∠DEB+∠ABE＝∠BEC+60°， ∴∠DEB+∠ABE＝60°， ∴∠ABE＝∠CBE， ∴BE平分∠ABC． 【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定、三角形内角和定理、以及角平分线的定义等知识，证明△ABC≌△EDC是解决问题的关键． 25．如图1，△ABE是等腰三角形，AB＝AE，∠BAE＝45°，过点B作BC⊥AE于点C，在BC上截取CD＝CE，连接AD、DE并延长AD交BE于点P； （1）求证：AD＝BE； （2）试说明AD平分∠BAE； （3）如图2，将△CDE绕着点C旋转一定的角度，那么AD与BE的位置关系是否发生变化，说明理由． 【分析】（1）利用SAS证明△BCE≌△ACD，根据全等三角形的对应边相等得到AD＝BE． （2）根据△BCE≌△ACD，得到∠EBC＝∠DAC，由∠BDP＝∠ADC，得到∠BPD＝∠DCA＝90°，利用等腰三角形的三线合一，即可得到AD平分∠BAE； （3）AD⊥BE不发生变化．由△BCE≌△ACD，得到∠EBC＝∠DAC，由对顶角相等得到∠BFP＝∠AFC，根据三角形内角和为180°，所以∠BPF＝∠ACF＝90°，即AD⊥BE． 【解答】解：（1）∵BC⊥AE，∠BAE＝45°， ∴∠CBA＝∠CAB， ∴BC＝CA， 在△BCE和△ACD中， ， ∴△BCE≌△ACD（SAS）， ∴AD＝BE． （2）∵△BCE≌△ACD， ∴∠EBC＝∠DAC， ∵∠BDP＝∠ADC， ∴∠BPD＝∠DCA＝90°， ∵AB＝AE， ∴AD平分∠BAE． （3）AD⊥BE不发生变化． 如图2， ∵△BCE≌△ACD， ∴∠EBC＝∠DAC， ∵∠BFP＝∠AFC， ∴∠BPF＝∠ACF＝90°， ∴AD⊥BE． 【点评】本题考查了全等三角形的性质定理与判定定理，解决本题的关键是证明△BCE≌△ACD． 26．（1）如图①，已知：△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥m于D，CE⊥m于E，求证：DE＝BD+CE； （2）拓展：如图②，将（1）中的条件改为：△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，α为任意锐角或钝角，请问结论DE＝BD+CE是否成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由； （3）应用：如图③，在△ABC中，∠BAC是钝角，AB＝AC，∠BAD＞∠CAE，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，直线m与BC的延长线交于点F，若BC＝2CF，△ABC的面积是12，求△ABD与△CEF的面积之和． 【分析】（1）根据BD⊥直线m，CE⊥直线m得∠BDA＝∠CEA＝90°，而∠BAC＝90°，根据等角的余角相等得∠CAE＝∠ABD，由AAS证得△ADB≌△CEA，则AE＝BD，AD＝CE，即可得出结论； （2）由∠BDA＝∠BAC＝α，则∠DBA+∠BAD＝∠BAD+∠CAE＝180°﹣α，得出∠CAE＝∠ABD，由AAS证得△ADB≌△CEA即可得出答案； （3）由∠BAD＞∠CAE，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，∴∠CAE＝∠ABD，得出∠CAE＝∠ABD，由AAS证得△ADB≌△CEA，得出S△ABD＝S△CEA，再由不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比，得出S△ACF即可得出结果． 【解答】（1）证明：∵BD⊥直线m，CE⊥直线m， ∴∠BDA＝∠CEA＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠BAD+∠CAE＝90°， ∵∠BAD+∠ABD＝90°， ∴∠CAE＝∠ABD， 在△ADB和△CEA中，， ∴△ADB≌△CEA（AAS）， ∴AE＝BD，AD＝CE， ∴DE＝AE+AD＝BD+CE； （2）解：结论DE＝BD+CE成立；理由如下： ∵∠BDA＝∠BAC＝α， ∴∠DBA+∠BAD＝∠BAD+∠CAE＝180°﹣α， ∴∠CAE＝∠ABD， 在△ADB和△CEA中，， ∴△ADB≌△CEA（AAS）， ∴AE＝BD，AD＝CE， ∴DE＝AE+AD＝BD+CE； （3）解：∵∠BAD＞∠CAE，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC， ∴∠CAE＝∠ABD， 在△ABD和△CEA中，， ∴△ABD≌△CEA（AAS）， ∴S△ABD＝S△CEA， 设△ABC的底边BC上的高为h，则△ACF的底边CF上的高为h， ∴S△ABC＝BC•h＝12，S△ACF＝CF•h， ∵BC＝2CF， ∴S△ACF＝6， ∵S△ACF＝S△CEF+S△CEA＝S△CEF+S△ABD＝6， ∴△ABD与△CEF的面积之和为6． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质及不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比，结合题目所给条件，得出∠CAE＝∠ABD是解决问题的关键． 27．如图，AB＝AE，AC＝AD，且∠BAE＝∠ACB＝90°，∠1＝∠2． （1）求证：AD∥CB； （2）连接CE、DB，求证：CE＝DB； （3）设DE与AC交于点F，连接BF．若BC＝x，S△AFB＝y，求y与x的数量关系式． 【分析】（1）证明∠CAD+∠ACB＝180°，根据平行线的判定即可解决问题； （2）证明△CAE≌△DAB（SAS），即可解决问题； （3）作EG⊥AC交AC的延长线于点G，证明△AEG≌△BAC（AAS），得EG＝AC，AG＝BC，再证明△EGF≌△DAF（AAS），得GF＝AF，得BC＝2AF，然后利用三角形的面积公式即可解决问题． 【解答】（1）证明：∵∠BAE＝∠ACB＝90°， ∴∠2+∠BAC＝90°， ∵∠1＝∠2， ∴∠1+∠BAC＝90°，即∠CAD＝90°， ∴∠CAD+∠ACB＝180°， ∴AD∥CB； （2）证明：如图1，连接CE、DB， 在△CAE和△DAB中， ∴△CAE≌△DAB（SAS）， ∴CE＝DB； （3）如图2，作EG⊥AC交AC的延长线于点G，设AC与DE交于点F，连接BF， ∵AD∥CB， ∴∠ABC＝∠1． ∴∠ABC＝∠2， 在△AEG和△BAC中， ， ∴△AEG≌△BAC（AAS）， ∴EG＝AC，AG＝BC， ∵AC＝AD， ∴EG＝DA， 在△EGF和△DAF中， ∴△EGF≌△DAF（AAS）， ∴GF＝AF， ∴BC＝AG＝AF+GF＝2AF， ∵，BC＝x，S△AFB＝y， ∴y与x的数量关系式为 ． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积，解决本题的关键是得到△EGF≌△DAF． 28．如图，四边形ABCD中，∠A＝∠BCD＝90°，AB＝BC，∠EBF＝∠ADC，若E、F分别在AD、DC的延长线上． （1）找出∠EBF与∠ABC间的数量关系，并说明理由； （2）若∠EBF＝60°，找出线段AE，EF，CF之间的数量关系并证明． 【分析】（1）根据已知条件和四边形的内角和可找出∠EBF与∠ABC间的数量关系； （2）在AE上截取AM＝CF，首先证明△ABM≌△CBF，进而得出∠ABM＝∠CBF，BM＝BF，再利用四边形内角和得出∠EBM＝60°，即可证出△BME≌△BFE，即可得出答案． 【解答】解：（1）∠EBF+∠ABC＝180°． 证明：∵∠A＝∠BCD＝90°，四边形ABCD的内角和为360°， ∴∠ADC+∠ABC＝180°， ∵∠EBF＝∠ADC， ∴∠EBF+∠ABC＝180°； （2）AE＝EF+CF． 证明：在AE上截取AM＝CF，连接BM，如图， 在△ABM和△CBF中， ， ∴△ABM≌△CBF（SAS）， ∴∠ABM＝∠CBF，BM＝BF ∵∠EBF＝60°，由（1）知∠EBF+∠ABC＝180°， ∴∠ABC＝120°， ∴∠FBM＝∠FBC+∠CBM＝∠ABM+∠CBM＝∠ABC＝120°， ∵∠FBE＝60°， ∴∠MBE＝60°， ∴∠MBE＝∠FBE， 在△BME和△BFE中， ， ∴△BME≌△BFE（SAS）， ∴EF＝EM， ∵AE＝EM+AM， ∴AE＝EF+CF． 【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质，此题截长的目的是构造两对全等三角形，本题不宜用补短法，因无法构造两对全等三角形． 29．如图①点A、B、C、D在同一直线上，AB＝CD，作CE⊥AD，BF⊥AD，且AE＝DF． （1）证明：EF平分线段BC； （2）若△BFD沿AD方向平移得到图②时，其他条件不变，（1）中的结论是否仍成立？请说明理由． 【分析】（1）由AB＝CD，利用等式的性质得到AC＝BD，再由AE＝DF，利用HL得到直角三角形ACE与直角三角形DBF全等，利用全等三角形对应边相等得到EC＝BF，再利用AAS得到三角形ECG与三角形FBG全等，利用全等三角形对应边相等得到BG＝CG，即可得证； （2）（1）中的结论成立，理由为：由AC＝DB，利用等式的性质得到AC＝BD，再由AE＝DF，利用HL得到直角三角形ACE与直角三角形DBF全等，利用全等三角形对应边相等得到EC＝BF，再利用AAS得到三角形ECG与三角形FBG全等，利用全等三角形对应边相等得到BG＝CG，即可得证． 【解答】（1）证明：∵CE⊥AD，BF⊥AD， ∴∠ACE＝∠DBF＝90°， ∵AB＝CD， ∴AB+BC＝BC+CD，即AC＝DB， 在Rt△ACE和Rt△DBF中， ， ∴Rt△ACE≌Rt△DBF（HL）， ∴CE＝FB， 在△CEG和△BFG中， ， ∴△CEG≌△BFG（AAS）， ∴CG＝BG，即EF平分线段BC； （2）（1）中结论成立，理由为： 证明：∵CE⊥AD，BF⊥AD， ∴∠ACE＝∠DBF＝90°， ∵AB＝CD， ∴AB﹣BC＝CD﹣BC，即AC＝DB， 在Rt△ACE和Rt△DBF中， ， ∴Rt△ACE≌Rt△DBF（HL）， ∴CE＝FB， 在△CEG和△BFG中， ， ∴△CEG≌△BFG（AAS）， ∴CG＝BG，即EF平分线段BC． 【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，以及平移的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． 30．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E． （1）如图1，连接CE，求证：△BCE是等边三角形； （2）如图2，点M为CE上一点，连接BM，作等边△BMN，连接EN，求证：EN∥BC； （3）如图3，点P为线段AD上一点，连接BP，作∠BPQ＝60°，PQ交DE延长线于Q，探究线段PD，DQ与AD之间的数量关系，并证明． 【分析】（1）由直角三角形的性质得出∠ABC＝60°，由角平分线的定义得出∠A＝∠DBA，证出AD＝BD，由线段垂直平分线的性质得出AE＝BE，由直角三角形斜边上的中线性质得出CE＝AB＝BE，即可得出结论； （2）由等边三角形的性质得出BC＝BE，BM＝BN，∠EBC＝∠MBN＝60°，证出∠CBM＝∠EBN，由SAS证明△CBM≌△EBN，得出∠BEN＝∠BCM＝60°，得出∠BEN＝∠EBC，即可得出结论； （3）延长BD至F，使DF＝PD，连接PF，证出△PDF为等边三角形，得出PF＝PD＝DF，∠F＝∠PDQ＝60°，得到∠F＝∠PDQ＝60°，证出∠Q＝∠PBF，由AAS证明△PFB≌△PDQ，得出DQ＝BF＝BD+DF＝BD+DP，证出AD＝BD，即可得出结论． 【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°， ∴∠ABC＝60°， ∵BD是△ABC的角平分线， ∴∠DBA＝∠ABC＝30°， ∴∠A＝∠DBA， ∴AD＝BD， ∵DE⊥AB， ∴AE＝BE， ∴CE＝AB＝BE， ∴△BCE是等边三角形； （2）证明：∵△BCE与△MNB都是等边三角形， ∴BC＝BE，BM＝BN，∠EBC＝∠MBN＝60°， ∴∠CBM＝∠EBN， 在△CBM和△EBN中， ， ∴△CBM≌△EBN（SAS）， ∴∠BEN＝∠BCM＝60°， ∴∠BEN＝∠EBC， ∴EN∥BC； （3）解：DQ＝AD+DP；理由如下： 延长BD至F，使DF＝PD，连接PF，如图所示： ∵∠PDF＝∠BDC＝∠A+∠DBA＝30°+30°＝60°， ∴△PDF为等边三角形， ∴PF＝PD＝DF，∠F＝60°， ∵∠PDQ＝90°﹣∠A＝60°， ∴∠F＝∠PDQ＝60°， ∴∠BDQ＝180°﹣∠BDC﹣∠PDQ＝60°， ∴∠BPQ＝∠BDQ＝60°， ∴∠Q＝∠PBF， 在△PFB和△PDQ中， ， ∴△PFB≌△PDQ（AAS）， ∴DQ＝BF＝BD+DF＝BD+DP， ∵∠A＝∠ABD， ∴AD＝BD， ∴DQ＝AD+DP． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、平行线的判定、直角三角形斜边上的中线性质等知识；本题综合性强，有一定难度，特别是（3）中，需要通过作辅助线证明等边三角形和三角形全等才能得出结论． 31．如图，△ABC的两条高AD与BE交于点O，AD＝BD，AC＝6． （1）求BO的长； （2）F是射线BC上一点，且CF＝AO，动点P从点O出发，沿线段OB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点A出发，沿射线AC以每秒4个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当△AOP与△FCQ全等时，求t的值． 【分析】（1）由AAS证明Rt△BDO≌Rt△ADC，根据对应边相等求得BO的长； （2）分情况讨论点F分别在BC延长线上或在BC之间时△AOP≌△FCQ，根据对应边相等求得t值． 【解答】解：（1）∵∠BOD＝∠AOE，∠CAD+∠ACD＝∠CAD+∠AOE＝90°， ∴∠ACD＝∠AOE， ∴∠BOD＝∠ACD． 又∵∠BDO＝∠ADC＝90，AD＝BD， ∴Rt△BDO≌Rt△ADC（AAS）， ∴BO＝AC＝6． （2）①当点F在BC延长线上时：设t时刻，P、Q分别运动到如图位置，△AOP≌△FCQ． ∵CF＝AO，∠AOP＝∠EOD＝180°﹣∠DCE＝∠FCQ， ∴当△AOP≌△FCQ时，OP＝CQ． ∵OP＝t，CQ＝6﹣4t， ∴t＝6﹣4t，解得t＝1.2． ②当点F在BC之间时：设t时刻，P、Q分别运动到如图位置，△AOP≌△FCQ． ∵CF＝AO，∠AOP＝∠EOD＝180°﹣∠DCE＝∠FCQ， ∴当△AOP≌△FCQ时，OP＝CQ． ∵OP＝t，CQ＝4t﹣6， ∴t＝4t﹣6，解得t＝2． 综上，t＝1.2或2． 【点评】本题考查全等三角形的判定．这部分内容是初中几何中非常重要的内容，一定要深刻理解，做到活学活用． 32．如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝9cm，AC＝12cm，AB＝15cm，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边AC→CB→BA运动，回到点A停止，速度为3cm/s，设运动时间为t s． （1）如图①，当t＝　或　时，△APC的面积等于△ABC面积的一半； （2）如图②，在△DEF中，∠E＝90°，DE＝4cm，DF＝5cm，∠D＝∠A．在△ABC的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边AB→BC→CA运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好△APQ≌△DEF，求点Q的运动速度． 【分析】（1）分两种情况进行解答，①当点P在BC上时，②当点P在BA上时，分别画出图形，利用三角形的面积之间的关系，求出点P移动的距离，从而求出时间即可； （2）由△APQ≌△DEF，可得对应顶点为A与D，P与E，Q与F；于是分两种情况进行解答，①当点P在AC上，AP＝4，AQ＝5，②当点P在AB上，AP＝4，AQ＝5，分别求出P移动的距离和时间，进而求出Q的移动速度． 【解答】解：（1）①当点P在BC上时，如图①﹣1， 若△APC的面积等于△ABC面积的一半；则CP＝BC＝cm， 此时，点P移动的距离为AC+CP＝12+＝， 移动的时间为：÷3＝秒， ②当点P在BA上时，如图①﹣2 若△APC的面积等于△ABC面积的一半；则PD＝AB，即点P为BA中点， 此时，点P移动的距离为AC+CB+BP＝12+9+＝cm， 移动的时间为：÷3＝秒， 故答案为：或； （2）△APQ≌△DEF，即，对应顶点为A与D，P与E，Q与F； ①当点P在AC上，如图②﹣1所示： 此时，AP＝4，AQ＝5， ∴点Q移动的速度为5÷（4÷3）＝cm/s， ②当点P在AB上，如图②﹣2所示： 此时，AP＝4，AQ＝5， 即，点P移动的距离为9+12+15﹣4＝32cm，点Q移动的距离为9+12+15﹣5＝31cm， ∴点Q移动的速度为31÷（32÷3）＝cm/s， 综上所述，两点运动过程中的某一时刻，恰好△APQ≌△DEF， 点Q的运动速度为cm/s或cm/s． 【点评】考查直角三角形的性质，全等三角形的判定，画出相应图形，求出各点移动的距离是正确解答的关键． 33．如图，已知△ABC中AB＝AC＝12厘米，BC＝9厘米，点D为AB的中点． （1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．①若点P点Q的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；②若点P点Q的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？ （2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间，点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？此时相遇点距到达点B的路程是多少？ 【分析】（1）①先求得BP＝CQ＝3，PC＝BD＝6，然后根据等边对等角求得∠B＝∠C，最后根据SAS即可证明； ②因为VP≠VQ，所以BP≠CQ，又∠B＝∠C，要使△BPD与△CQP全等，只能BP＝CP＝4.5，根据全等得出CQ＝BD＝6，然后根据运动速度求得运动时间，根据时间和CQ的长即可求得Q的运动速度； （2）因为VQ＞VP，只能是点Q追上点P，即点Q比点P多走AB+AC的路程，据此列出方程，解这个方程即可求得． 【解答】解：（1）①△BPD与△CQP全等，理由如下： ∵t＝1（秒）， ∴BP＝CQ＝3（厘米）， ∵AB＝12，D为AB中点， ∴BD＝6（厘米）， 又∵PC＝BC﹣BP＝9﹣3＝6（厘米）， ∴PC＝BD， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， 在△BPD与△CQP中， ， ∴△BPD≌△CQP（SAS）； ②∵VP≠VQ， ∴BP≠CQ， 又∵∠B＝∠C， 要使△BPD≌△CPQ，只能BP＝CP＝4.5， ∵△BPD≌△CPQ， ∴CQ＝BD＝6． ∴点P的运动时间t＝＝＝1.5（秒）， 此时VQ＝＝＝4（厘米/秒）． ∴当点Q的运动速度为4厘米/秒时，能够使△BPD与△CQP全等． （2）因为VQ＞VP，只能是点Q追上点P，即点Q比点P多走AB+AC的路程， 设经过x秒后P与Q第一次相遇，依题意得4x＝3x+2×12， 解得x＝24（秒）， 此时P运动了24×3＝72（厘米）， 又∵△ABC的周长为33厘米，72＝33×2+6， ∴点P、Q在BC边上相遇，即经过了24秒，点P与点Q第一次在BC边上相遇，此时相遇点距到达点B的路程是6厘米． 【点评】本题考查了三角形全等的判定和性质和一元一次方程的应用，解题的根据是熟练掌握三角形全等的判定和性质． 34．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C，AB＝20cm．BC＝15cm，点E为AB的中点，如果点P在线段BC上以5cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CD上由点C向点D运动． （1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPE与△CQP是否全等，请说明理由； （2）在（1）的条件下，若∠A+∠D＝220°，求∠EPQ的度数； （3）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPE与△CQP全等？ 【分析】（1）根据点E是中点求出BE的长度，再求出BP、PC、CQ的长度，然后利用“边角边”证明△BPE与△CQP全等； （2）根据四边形内角和以及全等三角形的对应角相等，即可得到∠EPQ的度数； （3）根据点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，要使△BPE与△CQP全等，则只有BE＝CQ，BP＝CP时成立，最后根据全等三角形对应边相等求解即可． 【解答】解：△BPE与△CQP全等． 理由如下：∵点E为AB的中点，AB＝20cm， ∴BE＝， ∵点P、Q的速度都是5cm/秒， ∴经过1秒后，BP＝5cm，PC＝BC﹣BP＝15﹣5＝10cm，CQ＝5cm， ∴BE＝PC，BP＝CQ， 在△BPE与△CQP中， ， ∴△BPE≌△CQP（SAS）； （2）若∠A+∠D＝220°，则∠B+∠C＝360°﹣（∠A+∠D）＝140°， ∴∠B＝∠C＝70°， ∵△BPE≌△CQP， ∴∠BEP＝∠CPQ，∠BPE＝∠CQP， ∵∠B+∠BEP+∠BPE＝180°，∠BPE+∠CPQ+∠EPQ＝180°， ∴∠EPQ＝∠B＝70°； （3）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，要使△BPE与△CQP全等，则只有BE＝CQ，BP＝CP时成立． 此时，BP＝CP＝， ∴P、Q运动的时间为：， ∵CQ＝BE＝10， ∴点Q的运动速度为：10÷＝（cm/s）． 【点评】本题以动点问题为背景，主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形对应边相等是解题的关键，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形． 35．如图，在四边形ABCD中，AD＝BC＝4，AB＝CD，BD＝6，点E从D点出发，以每秒1个单位的速度沿DA向点A匀速移动，点F从点C出发，以每秒3个单位的速度沿C→B→C做匀速移动，点G从点B出发沿BD向点D匀速移动，三个点同时出发，当有一个点到达终点时，其余两点也随之停止运动． （1）试证明：AD∥BC． （2）在移动过程中，小明发现当点G的运动速度取某个值时，有△DEG与△BFG全等的情况出现，请你探究当点G的运动速度取哪些值时，△DEG与△BFG全等． 【分析】（1）由AD＝BC＝4，AB＝CD，BD为公共边，所以可证得△ABD≌△CDB，所以可知∠ADB＝∠CBD，所以AD∥BC； （2）设运动时间为t，点G的运动速度为v，根据全等三角形的性质进行解答即可． 【解答】（1）证明：在△ABD和△CDB中 ， ∴△ABD≌△CDB， ∴∠ADB＝∠CBD， ∴AD∥BC； （2）解：设运动时间为t，点G的运动速度为v， 当0＜t≤时，若△DEG≌△BFG，则， ∴， ∴， ∴v＝3； 若△DEG≌△BGF，则， ∴， ∴ （舍去）； 当＜t≤时，若△DEG≌△BFG，则， ∴， ∴， ∴v＝1.5； 若△DEG≌△BGF，则， ∴， ∴， ∴v＝1． 综上，点G的速度为3或1或1.5． 【点评】本题主要考查三角形全等的判定和性质，第（2）题解题的关键是利用好三角形全等解得． 36．如图，在△ABC中，AB＝AC，过点B作射线BE，过点C作射线CF，使∠ABE＝∠ACF，且射线BE、CF交于点D，过点A作AM⊥BD于点M．求证：BM＝DM+DC． 【分析】过点A作AN⊥CF，垂足为点N，连接MN，证明△AMB≌△ANC（AAS），得BM＝CN，AM＝AN，然后根据线段的和差即可解决问题． 【解答】证明：如图，过点A作AN⊥CF，垂足为点N，连接MN， ∴∠ANC＝90°， ∵AM⊥BD， ∴∠AMB＝∠AMD＝90°， ∴∠AMB＝∠AMD＝∠ANC， 在△AMB与△ANC中， ， ∴△AMB≌△ANC（AAS）， ∴BM＝CN，AM＝AN， ∴∠AMN＝∠ANM， ∴∠AMD﹣∠AMN＝∠AND﹣∠ANM， ∴∠DMN＝∠DNM， ∴DN＝DM， ∵CN＝DN+DC， ∴BM＝DM+DC． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到△AMB≌△ANC． 37．综合与实践：数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地． （1）发现问题：如图1，在△ABC和△AEF中，AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠EAF＝30°，连接BE，CF，延长BE交CF于点D．则BE与CF的数量关系：　BE＝CF　，∠BDC＝　30　°； （2）类比探究：如图2，在△ABC和△AEF中，AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠EAF＝120°，连接BE，CF，延长BE，FC交于点D．请猜想BE与CF的数量关系及∠BDC的度数，并说明理由． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质，利用SAS证明△ABE≌△ACF即可得出结论； （2）根据等腰三角形的性质，利用SAS证明△BAE≌△CAF即可得出结论． 【解答】解：（1）BE＝CF，∠BDC＝30°， 理由如下：如图1所示，设AC与BD交于点O， ∵∠BAC＝∠EAF＝30°， ∴∠BAC+∠CAE＝∠EAF+∠CAE， 即∠BAE＝∠CAF， 在△ABE和△ACF中， ， ∴△ABE≌△ACF（SAS）， ∴BE＝CF，∠ABE＝∠ACF， ∵∠AOE＝∠ABE+∠BAC， ∠AOE＝∠ACF+∠BDC， ∴∠BDC＝∠BAC＝30°． 故答案为：BE＝CF，30； （2）BE＝CF，∠BDC＝60°， 理由如下：∵∠BAC＝∠EAF＝120°， ∴∠BAC﹣∠EAC＝∠EAF﹣∠EAC， 即∠BAE＝∠CAF， 在△ABE和△ACF中， ， ∴△ABE≌△ACF（SAS）， ∴BE＝CF，∠AEB＝∠AFC， ∵∠EAF＝120°，AE＝AF， ∴∠AEF＝∠AFE＝30°， ∴∠BDC＝∠BEF﹣∠EFD＝∠AEB+30°﹣（∠AFC﹣30°）＝60°． 【点评】本题考查全等三角形的判定，等腰三角形和等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． 38．如图①：△ABC中，AC＝BC，延长AC到E，过点E作EF⊥AB交AB的延长线于点F，延长CB到G，过点G作GH⊥AB交AB的延长线于H，且EF＝GH． （1）求证：△AEF≌△BGH； （2）如图②，连接EG与FH相交于点D，若AB＝4，求DH的长． 【分析】（1）利用AAS即可证明△AEF≌△BGH； （2）结合（1）证明△EFD≌△GHD，即可解决问题． 【解答】（1）证明：∵AC＝BC， ∴∠A＝∠ABC． ∵∠ABC＝∠GBH， ∴∠A＝∠GBH． ∵EF⊥AB，GH⊥AB， ∴∠AFE＝∠BHG． 在△ADG和△CDF中， ， ∴△AEF≌△BGH（AAS）． （2）解：∵△AEF≌△BGH， ∴AF＝BH， ∴AB＝FH＝4． ∵EF⊥AB，GH⊥AB， ∴∠EFD＝∠GHD． 在△EFD和△GHD中， ∴△EFD≌△GHD（AAS）， ∴． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到△EFD≌△GHD． 39．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是CB延长线上一点，点E是线段AB上一点，连接DE．AC＝DE，BC＝BE． （1）求证：AB＝BD； （2）BF平分∠ABC交AC于点F，点G是线段FB延长线上一点，连接DG，点H是线段DG上一点，连接AH交BD于点K，连接KG．当KB平分∠AKG时，求证：AK＝DG+KG． 【分析】（1）证明Rt△ACB≌Rt△DEB即可解决问题； （2）作BM平分∠ABD交AK于点M，证明△BMK≌△BGK，△ABM≌△DBG，即可解决问题． 【解答】证明：（1）在Rt△ACB和Rt△DEB中， ， ∴Rt△ACB≌Rt△DEB（HL）， ∴AB＝BD， （2）如图：作BM平分∠ABD交AK于点M， ∵BM平分∠ABD，KB平分∠AKG， ∴∠ABM＝∠MBD＝45°，∠AKB＝∠BKG， ∵∠ABF＝∠DBG＝45° ∴∠MBD＝∠GBD， 在△BMK和△BGK中， ， ∴△BMK≌△BGK（ASA）， ∴BM＝BG，MK＝KG， 在△ABM和△DBG中， ， ∴△ABM≌△DBG（SAS）， ∴AM＝DG， ∵AK＝AM+MK， ∴AK＝DG+KG． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到△BMK≌△BGK． 40．【情境再现】 甲、乙两个含45°角的直角三角尺如图①放置，甲的直角顶点放在乙斜边上的高的垂足O处．将甲绕点O顺时针旋转一个锐角到图②位置．小莹用作图软件按图②作出示意图，并连接AG，BH，如图③所示，AB交HO于E，AC交OG于F，通过证明△OBE≌△OAF，可得OE＝OF，请你证明：AG＝BH． 【迁移应用】 延长GA分别交HO，HB所在直线于点P，D，如图④，猜想并证明DG与BH的位置关系． 【分析】【情境再现】可证得∠AOB＝∠GOH＝90°，从而得出∠BOH＝∠AOG，进而证得△OBH≌△OAG，从而得出AG＝BH； 【迁移应用】根据△OBH≌△OAG得出∠OHE＝∠OGE，进而证得∠HDP＝∠GOH＝90°，从而DG⊥BH． 【解答】【情境再现】证明：∵AB＝AC，AO⊥BC， ∴OB＝OC，∠AOB＝90°， ∵∠GOH＝90°， ∴∠AOB＝∠GOH， ∴∠AOB﹣∠AOH＝∠GOH﹣∠AOH， ∴∠BOH＝∠AOG， ∵OG＝OH， ∴△OBH≌△OAG（SAS）， ∴AG＝BH； 【迁移应用】 DG⊥BH，理由如下： 由【情境再现】得：△OBH≌△OAG， ∴∠OHE＝∠OGE， ∵∠DPH＝∠OPG， ∴∠HDP＝∠GOH＝90°， ∴DG⊥BH． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． 41．已知：AD＝AC，AB＝AE，AD交BC于点F． （1）如图1，若∠BAD＝∠CAE，设DE交BC于点N，交AC于点M，求证：∠AMD＝∠AFC． （2）如图2，若∠BAC+∠DAE＝180°，且点F为BC的中点时，线段DE与线段AF之间存在某种数量关系，写出你的结论，并加以证明． 【分析】（1）证明△BAC≌△EAD（SAS），由全等三角形的性质得出∠C＝∠D，得出∠DFN＝∠CMN，则可得出结论； （2）延长AD至G，使AF＝GF，连接CG，证明△AFB≌△GFC（SAS），由全等三角形的性质得出AB＝GC，∠BAF＝∠CGF，证明△DAE≌△ACG（SAS），由全等三角形的性质得出DE＝AG＝2AF，则可得出结论． 【解答】（1）证明：∵∠BAD＝∠CAE， ∴∠BAD+∠DAC＝∠CAE+∠DAC， ∴∠BAC＝∠EAD， 在△BAC和△EAD中， ， ∴△BAC≌△EAD（SAS）， ∴∠C＝∠D， ∵∠DNF＝∠CNM， ∴∠DFN＝∠CMN， ∴∠AFC＝∠AMD； （2）解：DE＝2AF． 证明：延长AD至G，使AF＝GF，连接CG， ∵F为BC的中点， ∴BF＝CF， 在△AFB和△GFC中， ， ∴△AFB≌△GFC（SAS）， ∴AB＝GC，∠BAF＝∠CGF， ∴AB∥CG， ∴∠BAC+∠ACG＝180°， ∵∠BAC+∠DAE＝180°， ∴∠ACG＝∠DAE， ∵AB＝AE， ∴AE＝CG， 在△DAE和△ACG中， ， ∴△DAE≌△ACG（SAS）， ∴DE＝AG＝2AF， ∴DE＝2AF． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 42．如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，且AD＝AE，连接DE，现将△ADE绕点A逆时针旋转一定角度（如图2），连接BD，CE． （1）求证：△ABD≌△ACE； （2）延长BD交CE于点F，若AD⊥BD，BD＝6，CF＝4，求线段DF的长． 【分析】（1）由“SAS”可证△ABD≌△ACE； （2）由全等三角形的性质可得BD＝CE＝6，∠AEC＝∠ADB＝90°，由“HL”可证Rt△AEF≌Rt△ADF，可得DF＝EF＝2． 【解答】证明：（1）由图1可知：∠DAE＝∠BAC， ∴∠DAE+∠CAD＝∠BAC+∠CAD， ∴∠BAD＝∠CAE， 又∵AB＝AC，AD＝AE， ∴△ABD≌△ACE（SAS）； （2）如图2，连接AF， ∵AD⊥BD， ∴∠ADB＝∠ADF＝90°， ∵△ABD≌△ACE， ∴BD＝CE＝6，∠AEC＝∠ADB＝90°， ∴EF＝CE﹣CF＝2， ∵AF＝AF，AD＝AE， ∴Rt△AEF≌Rt△ADF（HL）， ∴DF＝EF＝2． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 43．在△ABC中，BC和AC边上的高AD、BE交于点F，DF＝CD． （1）如图1，求证：∠DAC＝∠CBE； （2）如图1，求∠ABC的度数； （3）如图2，延长BA到点G，过点G作BE的垂线交BE的延长线于点H，已知GH＝BE，BF＝5，AE＝2，CG＝10，求BH的长． 【分析】（1）根据直角三角形的两个锐角互余及等角的余角相等即可得出结论； （2）证△DAC和△DBE全等得BD＝AD，从而得△ABD为等腰直角三角形，进而可得∠ABC的度数； （3）在HB上截取HM＝CE，连接CM，先证△BEC和△GHM全等得，GM＝BC，再证∠BGM＝∠ABC＝45°，进而可依据“SAS”判定△BGM和△GBC全等，从而得CG＝MB，由此可得线段CE、CG、BH的数量关系． 【解答】（1）证明：∵△ABC的高AD、BE交于点F，如图1所示： ∴∠ADC＝∠ADB＝90°，∠AEB＝90°， ∴∠DAC+∠1＝90°，∠CBE+∠2＝90°， ∵∠1＝∠2， ∴∠DAC＝∠CBE （2）解：在△DAC和△DBE中， ， ∴△DAC≌△DBE（AAS）， ∴BD＝AD， ∴△ABD为等腰直角三角形， ∴∠ABC＝45°； （3）解：CE、CG、BH的数量关系是：CE+CG＝BH，证明如下： 在HB上截取HM＝CE，连接CM，如图2所示： ∵BE是△ABC的高，GH⊥BH， ∴∠H＝∠BEC＝90°，∠BGH＝90°﹣∠3， 在△BEC和△GHM中， ， ∴△BEC≌△GHM（SAS）， ∴GM＝BC，∠1＝∠2， 由（2）可知：∠ABC＝45°，即∠2+∠3＝45°， ∴∠BGM＝∠BGH﹣∠1＝90°﹣∠3﹣∠1＝90°﹣（∠3+∠2）＝45°， ∴∠BGM＝∠ABC＝45°， 即∠BGM＝∠GBC， 在△BGM和△GBC中， ， ∴△BGM≌△GBC（SAS）， ∴CG＝MB， ∴CE+CG＝MH+MB＝BH． ∵AC＝BF＝5，AE＝2， ∴CE＝3， ∵CG＝10， ∴BH＝CE+CG＝13． 【点评】此题主要考查了三角形的高，全等三角形的判定，等腰直角三角形的判定和性质，理解三角形的高，熟练掌握全等三角形的判定，等腰直角三角形的判定和性质是解决问题的关键，难点是正确地作出辅助线，构造全等三角形． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$苏科版八年级上册 第1章 全等三角形 7- 全等综合练习 1．如图，在△ABC和△ADE中，∠CAB＝∠DAE＝36°，AB＝AC，AD＝AE．连接CD，连接BE并延长交AC，AD于点F，G．若BE恰好平分∠ABC，则下列结论错误的是（　　） A．∠ADC＝∠AEB B．CD∥AB C．DE＝GE D．CD＝BE 2．如图，等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，∠ABC的平分线分别交AC、AD于E、F两点，M为EF的中点，延长AM交BC于点N，连接DM，NE．下列结论：①AE＝AF；②AM⊥EF；③△AEF是等边三角形；④DF＝DN，⑤AD∥NE． 其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AC为边，作△ACD，满足AD＝AC，E为BC上一点，连接AE，2∠BAE＝∠CAD，连接DE，下列结论中正确的有（　　） ①AC⊥DE；②∠ADE＝∠ACB；③若CD∥AB，则AE⊥AD；④DE＝CE+2BE． A．①②③ B．②③④ C．②③ D．①②④ 4．已知AB＝10，AC＝6，BD＝8，其中∠CAB＝∠DBA＝α，点P以每秒2个单位长度的速度，沿着C→A→B路径运动．同时，点Q以每秒x个单位长度的速度，沿着D→B→A路径运动，一个点到达终点后另一个点随即停止运动．它们的运动时间为t秒． ①若x＝1．则点P运动路程始终是点Q运动路程的2倍； ②当P、Q两点同时到达A点时，x＝6； ③若α＝90°，t＝5，x＝1时，△ACP≌△BPQ； ④若△ACP与△BPQ全等，则x＝0.8或． 以上说法正确的选项为（　　） A．①③ B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 5．如图，在△ABC中，点M，N分别是AC，BC上一点，AM＝BN，∠C＝60°，若AB＝9，BM＝7，则MN的长度可以是（　　） A．2 B．7 C．16 D．17 6．如图，在△ACD中，∠CAD＝90°，AC＝6，AD＝8，AB∥CD，E是CD上一点，BE交AD于点F，若EF＝BF，则图中阴影部分的面积为 　 　． 7．△ABC和△A′B′C′中，AB＝A′B′，AC＝A′C′，∠C＝60°，AD，A′D′分别为BC，B′C′边上的高，且AD＝A′D′，则∠C′的度数为　 　． 8．如图Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB交BC于D，点E在AB的延长线上，满足∠ADE+∠CAB＝180°，若AC＝6，BE＝2，则线段AB的长为 　 ． 9．如图，∠ACH是△ABC的外角，CD平分∠ACH，且CD与BA的延长线交于点D，E点是线段CD上一动点（E点不与C，D重合），若EA＝2，EB＝6，令CA+CB＝n，则n的取值范围是　 　． 10．如图，在△ABC中，AD为BC边的中线，E为AD上一点，连接BE并延长交AC于点F，若∠AEF＝∠FAE，BE＝4，EF＝1.6，则CF的长为 　 　． 11．添加辅助线是很多同学感觉比较困难的事情．如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD是高，E是△ABC外一点，BE＝BA，∠E＝∠C，若DE＝BD，AD＝16，BD＝20，求△BDE的面积．同学们可以先思考一下…，小颖思考后认为可以这样添加辅助线：在BD上截取BF＝DE，（如图2）．同学们，根据小颖的提示，聪明的你可以求得△BDE的面积为 　 　． 12．如图，在△ABC中，AH是高，AE∥BC，AB＝AE，在AB边上取点D，连接DE，DE＝AC，若S△ABC＝5S△ADE，BH＝1，则BC＝　　． 13．如图，正方形ABCD的四个顶点分别在四条互相平行的直线l1，l2，l3，l4上，这四条直线中，相邻两条之间的距离依次为h1，h2，h3，若h1＝4，h2＝2，则正方形ABCD的面积S等于 　 　. 14．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，直线l经过点C且与边AB相交．动点P从点A出发沿A→C→B路径向终点B运动；动点Q从点B出发沿B→C→A路径向终点A运动．点P和点Q的速度分别为1cm/s和2cm/s，两点同时出发并开始计时，当点P到达终点B时计时结束．在某时刻分别过点P和点Q作PE⊥l于点E，QF⊥l于点F，设运动时间为t秒，则当t＝　 　秒时，△PEC与△QFC全等． 15．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm．点P从A点出发沿A→C→B路径向终点运动，终点为B点；点Q从B点出发沿B→C→A路径向终点运动，终点为A点．点P和Q分别以每秒1cm和3cm的运动速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过P和Q作PE⊥l于E，QF⊥l于F．设运动时间为t秒，则当t＝　　秒时，△PEC与△QFC全等． 16．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，E为AC边上一点，连接BE与AD交于点F，G为△ABC外一点，满足∠ACG＝∠ABE，∠FAG＝∠BAC，连接EG．求证：△ABF≌△ACG． 17．如图，在△ABC中，∠ABC＝3∠C，AD平分∠BAC，BE⊥AD于E，试探究∠ABE与∠CBE之间的数量关系． 18．在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE． （1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC＝90°，则∠BCE＝　 　度； （2）设∠BAC＝α，∠BCE＝β． ①如图2，当点D在线段BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由； ②当点D在直线BC上移动，画图并探究α，β之间有怎样的数量关系？ 19．如图，已知AP∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于点E，CE的连线交AP于点D，求证：AD+BC＝AB． 20．将两个全等的直角三角形ABC和DBE按图①方式摆放，其中∠ACB＝∠DEB＝90°，∠A＝∠D＝30°，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F． （1）连接BF，求证：CF＝EF． （2）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角α，且0°＜α＜60°，其他条件不变，如图②，求证：AF+EF＝DE． （3）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角β，且60°＜β＜180°，其他条件不变，如图③，你认为（2）中的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请直接写出AF、EF与DE之间的数量关系． 21．观察与类比： （1）如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°．点D在△ABC外，连接AD，作DE⊥AB于点E，交BC于点F，AD＝AB，AE＝AC，连接AF．求证：DF＝BC+CF； （2）如图②，AB＝AD，AC＝AE，∠ACB＝∠AED＝90°，延长BC交DE于点F，写出DF、BC、CF之间的数量关系，并证明你的结论． 22．已知：如图①，纸片Rt△ABC，∠ACB＝90°． （1）将△ABC沿着MN折叠，使得△AMN与△CMN重合，MN为折痕，展开后如图②所示．试判断MN与BC的位置关系，并说明理由； （2）在（1）的条件下，连接MC，过点M作ME⊥BC，点E为垂足，如图③所示． ①将△BME沿ME折叠，点B能与点C重合吗？请说明理由； ②图中与△AMN全等的三角形有 　　个； （3）将图②中纸片沿MC剪开得△MBC，如图④所示，将另一张纸片△OPQ与△MBC拼接，边OP与边MC恰好重合（点O与点C重合），若OP＝OQ，且△MBC的面积与△OPQ的面积相等，试探索∠BMC与∠POQ的数量关系，并说明理由． 23．如图1，在五边形ABCDE中，∠E＝90°，BC＝DE．连接AC，AD，且AB＝AD，AC⊥BC． （1）求证：AC＝AE； （2）如图2，若∠ABC＝∠CAD，AF为BE边上的中线，求证：AF⊥CD； （3）如图3，在（2）的条件下，AE＝6，DE＝4，则五边形ABCDE的面积为　 　． 24．如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，D为△ABC边AC上一点，BC＝CD，点M在BC的延长线上，CE平分∠ACM，且AC＝CE．连接BE交AC于点F，G为边CE上一点，满足CG＝CF，连接DG交BE于点H． （1）求∠DHF的度数； （2）若EB平分∠DEC，则BE平分∠ABC吗？请说明理由． 25．如图1，△ABE是等腰三角形，AB＝AE，∠BAE＝45°，过点B作BC⊥AE于点C，在BC上截取CD＝CE，连接AD、DE并延长AD交BE于点P； （1）求证：AD＝BE； （2）试说明AD平分∠BAE； （3）如图2，将△CDE绕着点C旋转一定的角度，那么AD与BE的位置关系是否发生变化，说明理由． 26．（1）如图①，已知：△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥m于D，CE⊥m于E，求证：DE＝BD+CE； （2）拓展：如图②，将（1）中的条件改为：△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，α为任意锐角或钝角，请问结论DE＝BD+CE是否成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由； （3）应用：如图③，在△ABC中，∠BAC是钝角，AB＝AC，∠BAD＞∠CAE，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，直线m与BC的延长线交于点F，若BC＝2CF，△ABC的面积是12，求△ABD与△CEF的面积之和． 27．如图，AB＝AE，AC＝AD，且∠BAE＝∠ACB＝90°，∠1＝∠2． （1）求证：AD∥CB； （2）连接CE、DB，求证：CE＝DB； （3）设DE与AC交于点F，连接BF．若BC＝x，S△AFB＝y，求y与x的数量关系式． 28．如图，四边形ABCD中，∠A＝∠BCD＝90°，AB＝BC，∠EBF＝∠ADC，若E、F分别在AD、DC的延长线上． （1）找出∠EBF与∠ABC间的数量关系，并说明理由； （2）若∠EBF＝60°，找出线段AE，EF，CF之间的数量关系并证明． 29．如图①点A、B、C、D在同一直线上，AB＝CD，作CE⊥AD，BF⊥AD，且AE＝DF． （1）证明：EF平分线段BC； （2）若△BFD沿AD方向平移得到图②时，其他条件不变，（1）中的结论是否仍成立？请说明理由． 30．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E． （1）如图1，连接CE，求证：△BCE是等边三角形； （2）如图2，点M为CE上一点，连接BM，作等边△BMN，连接EN，求证：EN∥BC； （3）如图3，点P为线段AD上一点，连接BP，作∠BPQ＝60°，PQ交DE延长线于Q，探究线段PD，DQ与AD之间的数量关系，并证明． 31．如图，△ABC的两条高AD与BE交于点O，AD＝BD，AC＝6． （1）求BO的长； （2）F是射线BC上一点，且CF＝AO，动点P从点O出发，沿线段OB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点A出发，沿射线AC以每秒4个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当△AOP与△FCQ全等时，求t的值． 32．如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝9cm，AC＝12cm，AB＝15cm，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边AC→CB→BA运动，回到点A停止，速度为3cm/s，设运动时间为t s． （1）如图①，当t＝　 　时，△APC的面积等于△ABC面积的一半； （2）如图②，在△DEF中，∠E＝90°，DE＝4cm，DF＝5cm，∠D＝∠A．在△ABC的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边AB→BC→CA运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好△APQ≌△DEF，求点Q的运动速度． 33．如图，已知△ABC中AB＝AC＝12厘米，BC＝9厘米，点D为AB的中点． （1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．①若点P点Q的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；②若点P点Q的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？ （2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间，点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？此时相遇点距到达点B的路程是多少？ 34．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C，AB＝20cm．BC＝15cm，点E为AB的中点，如果点P在线段BC上以5cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CD上由点C向点D运动． （1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPE与△CQP是否全等，请说明理由； （2）在（1）的条件下，若∠A+∠D＝220°，求∠EPQ的度数； （3）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPE与△CQP全等？ 35．如图，在四边形ABCD中，AD＝BC＝4，AB＝CD，BD＝6，点E从D点出发，以每秒1个单位的速度沿DA向点A匀速移动，点F从点C出发，以每秒3个单位的速度沿C→B→C做匀速移动，点G从点B出发沿BD向点D匀速移动，三个点同时出发，当有一个点到达终点时，其余两点也随之停止运动． （1）试证明：AD∥BC． （2）在移动过程中，小明发现当点G的运动速度取某个值时，有△DEG与△BFG全等的情况出现，请你探究当点G的运动速度取哪些值时，△DEG与△BFG全等． 36．如图，在△ABC中，AB＝AC，过点B作射线BE，过点C作射线CF，使∠ABE＝∠ACF，且射线BE、CF交于点D，过点A作AM⊥BD于点M．求证：BM＝DM+DC． 37．综合与实践：数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地． （1）发现问题：如图1，在△ABC和△AEF中，AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠EAF＝30°，连接BE，CF，延长BE交CF于点D．则BE与CF的数量关系：　 　，∠BDC＝　 　°； （2）类比探究：如图2，在△ABC和△AEF中，AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠EAF＝120°，连接BE，CF，延长BE，FC交于点D．请猜想BE与CF的数量关系及∠BDC的度数，并说明理由． 38．如图①：△ABC中，AC＝BC，延长AC到E，过点E作EF⊥AB交AB的延长线于点F，延长CB到G，过点G作GH⊥AB交AB的延长线于H，且EF＝GH． （1）求证：△AEF≌△BGH； （2）如图②，连接EG与FH相交于点D，若AB＝4，求DH的长． 39．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是CB延长线上一点，点E是线段AB上一点，连接DE．AC＝DE，BC＝BE． （1）求证：AB＝BD； （2）BF平分∠ABC交AC于点F，点G是线段FB延长线上一点，连接DG，点H是线段DG上一点，连接AH交BD于点K，连接KG．当KB平分∠AKG时，求证：AK＝DG+KG． 40．【情境再现】 甲、乙两个含45°角的直角三角尺如图①放置，甲的直角顶点放在乙斜边上的高的垂足O处．将甲绕点O顺时针旋转一个锐角到图②位置．小莹用作图软件按图②作出示意图，并连接AG，BH，如图③所示，AB交HO于E，AC交OG于F，通过证明△OBE≌△OAF，可得OE＝OF，请你证明：AG＝BH． 【迁移应用】 延长GA分别交HO，HB所在直线于点P，D，如图④，猜想并证明DG与BH的位置关系． 41．已知：AD＝AC，AB＝AE，AD交BC于点F． （1）如图1，若∠BAD＝∠CAE，设DE交BC于点N，交AC于点M，求证：∠AMD＝∠AFC． （2）如图2，若∠BAC+∠DAE＝180°，且点F为BC的中点时，线段DE与线段AF之间存在某种数量关系，写出你的结论，并加以证明． 42．如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，且AD＝AE，连接DE，现将△ADE绕点A逆时针旋转一定角度（如图2），连接BD，CE． （1）求证：△ABD≌△ACE； （2）延长BD交CE于点F，若AD⊥BD，BD＝6，CF＝4，求线段DF的长． 43．在△ABC中，BC和AC边上的高AD、BE交于点F，DF＝CD． （1）如图1，求证：∠DAC＝∠CBE； （2）如图1，求∠ABC的度数； （3）如图2，延长BA到点G，过点G作BE的垂线交BE的延长线于点H，已知GH＝BE，BF＝5，AE＝2，CG＝10，求BH的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$