第1章 全等三角形 同步学案 -2024-2025学年苏科版八年级数学上册

苏科版八年级上册 第1章 全等三角形 1.1全等图形 课程目标 1．认识全等图形，理解全等图形的概念与特征； 2．理解全等图形的基本特征，掌握全等图形的识别方法； 3．学习图形的平移、翻折、旋转三种运动，并能够描述一个图形经过怎样的运动能与另一个图形重合。 重难点 理解全等图形的基本特征，掌握全等图形的识别方法； 基础巩固 1．下列说法中正确的是（　　） A．两个面积相等的图形，一定是全等图形 B．两个等边三角形是全等图形 C．两个全等图形的面积一定相等 D．若两个图形周长相等，则它们一定是全等图形 【专题】常规题型． 【分析】依据全等图形的定义和性质进行判断即可． 【解答】解：全等的两个图形的面积、周长均相等，但是周长、面积相等的两个图形不一定全等． 故选：C． 【点评】本题主要考查的是全等图形的性质，掌握全等图形的性质是解题的关键． 2．下列各组的两个图形属于全等图形的是（　　） A． B． C． D． 【专题】图形的全等；几何直观． 【分析】根据全等形是能够完全重合的两个图形进行分析判断． 【解答】解：A、两只眼睛下面的嘴巴不能完全重合，故本选项不符合题意； B、两个图形能够完全重合，故本选项符合题意． C、两个正方形的边长不相等，不能完全重合，故本选项不符合题意； D、圆内两个正方形不能完全重合，故本选项不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查的是全等形的识别、全等图形的基本性质，属于较容易的基础题． 3．与如图所示的正方形图案全等的图案是（　　） A． B． C． D． 【专题】图形的全等；几何直观． 【分析】根据全等三角形的定义，结合三角形的形状和位置可得答案． 【解答】解：根据全等三角形的定义可得C和如图所示的正方形图案是全等的图案． 故选：C． 【点评】此题主要考查了全等图形，关键是掌握能够完全重合的两个图形叫做全等形． 4．下列图形中被虚线分成的两部分不是全等形的是（　　） A．等腰梯形 B．正方形 C．正六边形 D．正五角星 【专题】图形的全等；几何直观． 【分析】根据全等形的定义判断即可． 【解答】解：观察选项可知，选项B，C，D中的虚线把图形分成全等的两部分， 故选：A． 【点评】本题考查全等图形的定义，解题的关键是理解全等图形的定义，属于中考基础题． 5． 如图所示的图案是由全等的图形拼成的，其中AD＝0.5cm，BC＝1cm，则AF＝　6　cm． 【分析】由图形知，所示的图案是由梯形ABCD和七个与它全等的梯形拼接而成，根据全等则重合的性质有AF＝4AD+4BC＝4×0.5+4×1＝6cm． 【解答】解：由题可知，图中有8个全等的梯形，所以AF＝4AD+4BC＝4×0.5+4×1＝6cm． 【点评】考查了全等图形的性质，本题利用了全等形图形一定重合的性质求解，做题的关键是找清相互重合的对应边． 拓展提优 6．如图，长方形ABCD是由四块小长方形拼成（四块小长方形放置时既不重叠，也没有空隙）．其中②③两块长方形的形状、大小完全相同，如果要求出①④两块长方形的周长之和，则只要知道（　　） A．长方形ABCD的周长 B．长方形②的周长 C．AB的长 D．BC的长 【专题】计算题；整式． 【分析】根据题意可以分别设出长方形的长和宽，从而可以表示出①④两块长方形的周长之和，从而可以解答本题． 【解答】解：设BC的长为x，AB的长为y，长方形②的长为a，宽为b， 由题意可得，①④两块长方形的周长之和是：（x﹣b）×2+2a+2b+2（x﹣a）＝2x﹣2b+2a+2b+2x﹣2a＝4x． 故选：D． 【点评】本题考查整式的加减，长方形的性质及周长等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型． 7．如图是由八个全等的直角三角形拼接而成的，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3，若S1+S2+S3＝144，则S2的值是（　　） A．36 B．48 C．54 D．64 【专题】多边形与平行四边形；推理能力． 【分析】设八个全等的直角三角形的面积均为a，依据S1﹣S2＝4a，S2﹣S3＝4a，即可得到S1+S3＝2S2，再根据S1+S2+S3＝144，即可得到S2的值． 【解答】解：设八个全等的直角三角形的面积均为a，依题意得 S1﹣S2＝4a， S2﹣S3＝4a， ∴S1﹣S2＝S2﹣S3，即S1+S3＝2S2， 又∵S1+S2+S3＝144， ∴3S2＝144， 解得S2＝48， 故选：B． 【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质，解决本题的关键是抓住弦图内外四个直角三角形的面积与三个正方形的面积之间的和差关系． 8．如图所示的网格是由9个相同的小正方形拼成的，图形的各个顶点均为格点，则∠2+∠3的度数为 　45　度． 【专题】图形的全等；运算能力． 【分析】证明△ABE≌△CDE（SAS）可得，∠2+∠3＝∠DCE+∠3＝∠DCB，在正方形HCFB中，BC是对角线，由此即可求解． 【解答】解：如图所示， ∵AB＝CD＝2，BE＝DE＝1，∠ABE＝∠CDE＝90°， ∴△ABE≌△CDE（SAS）， ∴∠2＝∠DCE， ∴∠2+∠3＝∠DCE+∠3＝∠DCB， 在正方形HCFB中，BC是对角线， ∴∠DCB＝45°， ∴∠2+∠3＝45°， 故答案为：45． 【点评】本题主要考查格点三角形的知识，掌握格点三角形中顶点与边的关系，证明三角形全等，根据全等三角形的性质，角平分线的性质是解题的关键． 9．如图，在由边长为1cm的小正方形组成的网格中，画如图所示的燕尾形工件，现要求最大限度的裁剪出10个与它全等的燕尾形工件，则这个网格的长至少为（接缝不计）　21　． 【专题】压轴题；网格型． 【分析】观察图形，发现：以中间的点看，再画第二个图形的时候，需要再往右用1个格，画第三个图的时候，需要再往右用3个格，画第四个图的时候，需要再往右走1个格，以此类推，则画10个图，需要4+1+3+1+3+1+3+1+3+1＝21个． 【解答】解：∵后面画出的图形与第一个图形完全一样 ∴画第二个图形的时候，需往右用1个格，画第三个图的时候，需要再往右用三个格，画第四个图的时候，需要再往右走1个格… ∴画第10个图时，网格的长为4+（1+3+1+3+1+3+1+3+1）＝21个． 【点评】本题考查的是全等图形的作图，根据图形观察发现画下一个图的时候，共需要的格数，一定要找清规律． 10．如图，某校有一块长、宽分别为4m和3m的长方形花坛，现要将它分成4块全等的部分，分别种植四种不同品种的花卉，请你给出四种不同的设计方案． 【专题】图形的全等；矩形 菱形 正方形；几何直观． 【分析】根据正方形的性质，①两条对角线把正方形分成四个全等的三角形；②作一组对边的平行线也能把正方形分成四个全等的矩形；③连接一组对边的中点，把正方形分成两个全等的矩形，再作矩形的对角线就把每个矩形都分成两个全等的三角形，这样就分成了四个全等的三角形；④过正方形的中心做互相垂直的两条线也能把正方形分成四个全等的四边形． 【解答】解：设计方案如下： 【点评】本题主要考查作图﹣应用与设计作图，解题的关键是掌握全等图形的定义，利用正方形性质解答． 11．做如图所示的4个全等的小“L”型纸片，拼成一个大“L”型图案． 【专题】图形的相似；几何直观． 【分析】有1个图形和其它几个图形都有公共边时，可以拼成一个大“L”型图案． 【解答】解：如图所示． 【点评】本题考查了图形的拼接．答案不唯一，要利用相似三角形的性质求解． 1.1全等图形 课程目标 1. 说明三角形全等的意义，能正确找出全等三角形的对应顶点、对应角和对应边，会用符号表示两个三角形全等； 2. 能解释三角形的平移、翻折、旋转的变换过程，说明用图形变换识别全等三角形的办法； 重难点 正确找出全等三角形的对应顶点、对应角和对应边，并进行几何图形的分析。 基础巩固 1．下列说法正确的是（　　） A．周长相等的两个三角形全等 B．面积相等的两个三角形全等 C．完全重合的两个三角形全等 D．所有的等边三角形全等 【分析】根据全等三角形的判定方法，此题应采用排除法，对选项逐个进行分析从而确定正确答案． 【解答】解：A、全等三角形的周长相等，但周长相等的两个三角形不一定全等，故本选项错误； B、全等三角形的面积相等，但面积相等的两个三角形不一定全等，故本选项错误； C、正确，符合全等三角形的定义； D、边长不相等的等边三角形不全等，故本选项错误． 故选：C． 【点评】本题考查全等三角形的判定方法，常用的方法有SSS，SAS，AAS，ASA等，应该对每一种方法彻底理解真正掌握并能灵活运用．而满足SSA，AAA是不能判定两三角形是全等的． 2．如图，△ABE≌△ACD，BC＝20，DE＝10，则DC的长是（　　） A．18 B．17 C．16 D．15 【专题】图形的全等；推理能力． 【分析】由全等三角形的性质可得BE＝CD，即可求解． 【解答】解：∵△ABE≌△ACD， ∴BE＝CD， ∴BE﹣DE＝CD﹣DE， ∴BD＝CE， ∵BC＝20，DE＝10， ∴BD+CE＝10， ∴BD＝CE＝5， ∴DC＝DE+CE＝15， 故选：D． 【点评】本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质是本题的关键． 3．如图，△ABC≌△ADE，∠EAB＝125°，∠CAD＝25°，求∠BAC的度数． 【专题】图形的全等． 【分析】根据全等三角形的性质求出∠EAD＝∠CAB，∠B＝∠D，求出∠EAC＝∠DAB＝50°，即可得到∠BAC的度数． 【解答】解：∵△ABC≌△ADE， ∴∠EAD＝∠CAB，∠B＝∠D， ∴∠EAD﹣∠CAD＝∠CAB﹣∠CAD， ∴∠EAC＝∠DAB， ∵∠EAB＝125°，∠CAD＝25°， ∴∠DAB＝∠EAC＝（125°﹣25°）＝50°， ∴∠CAB＝50°+25°＝75°． 【点评】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理的应用，能根据全等三角形的性质求出∠EAD＝∠CAB，∠B＝∠D是解此题的关键，注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等． 4．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD，BE交于点F，△ADC≌△BDF，若BD＝4，DC＝2，则△ABC的面积为 　12　． 【专题】图形的全等；运算能力． 【分析】根据全等三角形的性质得出AD＝BD，求出BC＝6，再根据三角形的面积公式求出△ABC面积即可． 【解答】解：∵△ADC≌△BDF， ∴AD＝BD， ∵BD＝4， ∴AD＝4， ∵DC＝2， ∴BC＝BD+DC＝4+2＝6， ∴． 故答案为：12． 【点评】本题考查了全等三角形的性质和三角形的面积，能根据全等三角形的性质求出AD＝BD是解此题的关键． 5．在△ABC中，∠A＝∠B，若与△ABC全等的三角形中有一个角为90°，则△ABC中等于90°的角是（　　） A．∠A B．∠B C．∠C D．∠B或∠C 【分析】根据全等三角形对应角相等和三角形的内角和定理解答． 【解答】解：∵与△ABC全等的三角形中有一个角为90°，∠A＝∠B， ∴∠C＝90°． 故选：C． 【点评】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，难点在于利用三角形的内角和定理进行判断． 6．如图，在△ABC中，D、E分别是边AC、BC上的点，若△ADB≌△EDB≌△EDC，则∠C的度数为（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 【分析】根据全等三角形对应角相等，∠A＝∠BED＝∠CED，∠ABD＝∠EBD＝∠C，根据∠BED+∠CED＝180°，可以得到∠A＝∠BED＝∠CED＝90°，再利用三角形的内角和定理求解即可． 【解答】解：∵△ADB≌△EDB≌△EDC ∴∠A＝∠BED＝∠CED，∠ABD＝∠EBD＝∠C ∵∠BED+∠CED＝180° ∴∠A＝∠BED＝∠CED＝90° 在△ABC中，∠C+2∠C+90°＝180° ∴∠C＝30° 故选：D． 【点评】本题主要考查全等三角形对应角相等的性质，做题时求出∠A＝∠BED＝∠CED＝90°是正确解本题的突破口． 7．一个三角形的三边长为5、12、x，另一个三角形的三边长为5、y、13，若这两个三角形全等，则（x+y）（ x﹣y）＝　25　． 【分析】根据全等三角形对应边相等求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 【解答】解：∵两个三角形全等， ∴x＝13，y＝12， ∴（x+y）（ x﹣y）＝（13+12）×（13﹣12）＝25． 故答案为：25． 【点评】本题考查了全等三角形的性质，主要利用了全等三角形对应边相等的性质，熟记性质准确找出对应边得到x、y的值是解题的关键． 8．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，连接AE、DE，若△ADE≌△BDE，AC：AB：BC＝2：3：4，且△ABC的周长比△AEC的周长大6，则△AEC的周长为（　　） A．6 B．9 C．12 D．15 【专题】三角形；图形的全等；运算能力；推理能力． 【分析】由全等三角形的性质推出BE＝AE，由△ABC的周长比△AEC的周长大6，得到AB+BC+AC﹣（AC+CE+AE）＝AB＝6，由AC：AB：BC＝2：3：4，求出AC+BC＝（2+4）×（6÷3）＝12，即可得到△AEC的周长为AC+BC＝12． 【解答】解：∵△ADE≌△△BDE， ∴BE＝AE， ∵△ABC的周长比△AEC的周长大6， ∴AB+BC+AC﹣（AC+CE+AE）＝AB+BC+AC﹣（AC+CE+BE）＝AB+BC+AC—（AC+BC）＝AB＝6， ∵AC：AB：BC＝2：3：4， ∴AC+BC＝（2+4）×（6÷3）＝12， ∴△AEC的周长为＝AC+CE+AE＝AC+CE+BE＝AC+BC＝12． 故选：C． 【点评】本题考查全等三角形的性质，关键是由全等三角的性质得到AE＝BE，从而推出△ABC的周长与△AEC的周长差是AB． 9．如图，等边△ABC的边长为1cm，D、E分别是AB、AC上的点，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A′处，且点A′在△ABC外部，则阴影部分图形的周长为（　　） A．3cm B．4cm C．4.5cm D．5cm 【专题】数形结合． 【分析】由折叠可得阴影部分图形的周长正好等于原等边三角形的周长． 【解答】解：由折叠可得AD＝A′D；AE＝A′E， ∴阴影部分图形的周长为AB+BC+AC＝3cm． 故选：A． 【点评】考查折叠的问题；用到的知识点为：折叠前后的线段相等． 10．如图，点A、B、C在同一直线上，点E在BD上，且△ABD≌△EBC，AB＝2cm，BC＝3cm． （1）求DE的长； （2）判断AC与BD的位置关系，并说明理由． （3）判断直线AD与直线CE的位置关系，并说明理由． 【专题】图形的全等． 【分析】（1）根据全等三角形的对应边相等得到BD＝BC＝3cm，BE＝AB＝2cm，计算即可； （2）根据全等三角形的对应角相等和平角的定义解答； （3）根据全等三角形的对应角相等和三角形内角和定理进行解答． 【解答】解：（1）∵△ABD≌△EBC， ∴BD＝BC＝3cm，BE＝AB＝2cm， ∴DE＝BD﹣BE＝1cm； （2）DB与AC垂直， 理由：∵△ABD≌△EBC， ∴∠ABD＝∠EBC， 又A、B、C在一条直线上， ∴∠EBC＝90°， ∴DB与AC垂直． （3）直线AD与直线CE垂直． 理由：如图，延长CE交AD于F， ∵△ABD≌△EBC， ∴∠D＝∠C， ∵Rt△ABD中，∠A+∠D＝90°， ∴∠A+∠C＝90°， ∴∠AFC＝90°，即CE⊥AD． 【点评】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等是解题的关键． 11．如图，A，D，E三点在同一条直线上，且△BAD≌△ACE，AB与CA，AD与CE是对应边． （1）试说明：BD＝DE+CE． （2）当△ABD满足什么条件时，BD∥CE？请说明理由． 【专题】图形的全等；推理能力． 【分析】（1）根据全等三角形的性质求出BD＝AE，AD＝CE，代入求出即可； （2）根据全等三角形的性质求出∠E＝∠BDA＝90°，推出∠BDE＝90°，根据平行线的判定求出即可． 【解答】解：（1）∵△BAD≌△ACE， ∴BD＝AE，AD＝CE， ∴BD＝AE＝AD+DE＝CE+DE， 即BD＝DE+CE． （2）△ABD满足∠ADB＝90°时，BD∥CE， 理由是：∵△BAD≌△ACE， ∴∠E＝∠ADB＝90°（添加的条件是∠ADB＝90°）， ∴∠BDE＝180°﹣90°＝90°＝∠E， ∴BD∥CE． 【点评】本题考查了全等三角形的性质和平行线的判定等的应用，关键是通过三角形全等得出正确的结论，通过做此题培养了学生分析问题的能力，题型较好． 拓展提优 12．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A＝22°，则∠BDC等于（　　） A．44° B．60° C．67° D．77° 【分析】由△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝22°，可求得∠B的度数，由折叠的性质可得：∠CED＝∠B＝68°，∠BDC＝∠EDC，由三角形外角的性质，可求得∠ADE的度数，继而求得答案． 【解答】解：△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝22°， ∴∠B＝90°﹣∠A＝68°， 由折叠的性质可得：∠CED＝∠B＝68°，∠BDC＝∠EDC， ∴∠ADE＝∠CED﹣∠A＝46°， ∴∠BDC＝＝67°． 故选：C． 【点评】此题考查了折叠的性质、三角形内角和定理以及三角形外角的性质．此题难度不大，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用． 13．如图，△ABC≌△DEC，点A和点D是对应顶点，点B和点E是对应顶点，过点A作AF⊥CD，垂足为点F，若∠BCE＝65°，则∠CAF的度数为（　　） A．30° B．25° C．35° D．65° 【专题】图形的全等；推理能力． 【分析】由全等三角形的性质可求得∠ACD＝65°，由垂直可得∠CAF+∠ACD＝90°，进而可求解∠CAF的度数． 【解答】解：∵△ABC≌△DEC， ∴∠ACB＝∠DCE， ∵∠BCE＝65°， ∴∠ACD＝∠BCE＝65°， ∵AF⊥CD， ∴∠AFC＝90°， ∴∠CAF+∠ACD＝90°， ∴∠CAF＝90°﹣65°＝25°， 故选：B． 【点评】本题主要考查全等三角形的性质，由全等三角形的性质求解∠ACD的度数是解题的关键． 14．如图，点D，E，F分别在△ABC的边AB，BC，CA上（不与顶点重合），设∠BAC＝α，∠FED＝θ．若△BED≌△CFE，则α，θ满足的关系是（　　） A．α+θ＝90° B．α+2θ＝180° C．α﹣θ＝90° D．2α+θ＝180° 【专题】图形的全等；几何直观；应用意识． 【分析】由∠BAC＝α，得∠B+∠C＝180°﹣α，根据△BED≌△CFE，即有∠B＝∠C＝90°﹣α，∠BDE＝∠FEC，故∠FEC+∠BED＝90°+α，从而90°+α+θ＝180°，即可答案． 【解答】解：∵∠BAC＝α， ∴∠B+∠C＝180°﹣α， ∵△BED≌△CFE， ∴∠B＝∠C＝90°﹣α，∠BDE＝∠FEC， ∴∠BDE+∠BED＝180°﹣∠B＝180°﹣（90°﹣α）＝90°+α， ∴∠FEC+∠BED＝90°+α， ∵∠FED＝θ，∠FEC+∠BED+∠FED＝180°， ∴90°+α+θ＝180°， ∴α+2θ＝180°， 故选：B． 【点评】本题考查全等三角形的性质及应用，涉及三角形内角和定理的应用，解题的关键是掌握全等三角形的性质． 15．三个全等三角形按如图的形式摆放，则∠1+∠2+∠3的度数等于 　180°　． 【专题】图形的全等；应用意识． 【分析】直接利用平角的定义结合三角形内角和定理以及全等三角形的性质得出∠4+∠9+∠6＝180°，∠5+∠7+∠8＝180°，进而得出答案． 【解答】解：如图所示： 由图形可得：∠1+∠4+∠5+∠8+∠6+∠2+∠3+∠9+∠7＝540°， ∵三个三角形全等， ∴∠4+∠9+∠6＝180°， 又∵∠5+∠7+∠8＝180°， ∴∠1+∠2+∠3+180°+180°＝540°， ∴∠1+∠2+∠3的度数是180°． 故答案为：180°． 【点评】此题主要考查了全等三角形的性质以及三角形内角和定理，正确掌握全等三角形的性质是解题关键． 16．如图，已知△ABC≌△ADE，BC的延长线过点E且交AD点F，∠ACB＝∠AED＝105°，∠CAD＝5°，∠B＝50°，则∠DEF＝　30°　． 【专题】图形的全等；推理能力． 【分析】根据全等三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角性质求解即可． 【解答】解：∵∠ACB＝105°，∠B＝50°， ∴∠CAB＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝180°﹣50°﹣105°＝25°． 又∵△ABC≌△ADE， ∴∠EAD＝∠CAB＝25°， 又∵∠EAB＝∠EAD+∠CAD+∠CAB，∠CAD＝5°， ∴∠EAB＝25°+5°+25°＝55°， 即∠EAB＝55°， ∴∠AEB＝180°﹣∠EAB﹣∠B＝180°﹣55°﹣50°＝75°， ∴∠DEF＝∠AED﹣∠AEB＝105°﹣75°＝30°， 故答案为：30°． 【点评】此题考查了全等三角形的性质，熟记全等三角形的性质定理是解题的关键． 17．如图，锐角△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的点，△ADC≌△ADC′，△AEB≌△AEB′，且C′D∥EB′∥BC，BE、CD交于点F，若∠BAC＝α，∠BFC＝β，则（　　） A．2α+β＝180° B．2β﹣α＝180° C．α+β＝150° D．β﹣α＝60° 【专题】图形的全等；推理能力． 【分析】延长C′D交AC于M，如图，根据全等的性质得∠C′＝∠ACD，∠C′AD＝∠CAD＝∠B′AE＝α，再利用三角形外角性质得∠C′MC＝∠C′+∠C′AM＝∠C′+2α，接着利用C′D∥B′E得到∠AEB＝∠C′MC，而根据三角形内角和得到∠AEB′＝180°﹣∠B′﹣α，则∠C′+2α＝180°﹣∠B′﹣α，所以∠C′+∠B′＝180°﹣3α，利用三角形外角性质和等角代换得到∠BFC＝α+∠C′+∠B′，所以∠BFC＝β＝180°﹣2α，进一步变形后即可得到答案． 【解答】解：延长C′D交AC于M，如图， ∴△ADC≌△ADC′，△AEB≌△AEB′， ∴∠C′＝∠ACD，∠C′AD＝∠CAD＝∠B′AE＝α， ∴∠C′MC＝∠C′+∠C′AM＝∠C′+2α， ∵C′D∥B′E， ∴∠AEB′＝∠C′MC， ∵∠AEB′＝180°﹣∠B′﹣∠B′AE＝180°﹣∠B′﹣α， ∴∠C′+2α＝180°﹣∠B′﹣α， ∴∠C′+∠B′＝180°﹣3α， ∵β＝∠BFC＝∠BDF+∠DBF＝∠DAC+∠ACD+∠B'＝α+∠ACD+∠B′＝α+∠C′+∠B′＝α+180°﹣3α＝180°﹣2α， 即：2α+β＝180°． 故选：A． 【点评】本题考查了全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等．也考查了平行线的性质． 18．边长都为整数的△ABC和△DEF全等，AB与DE是对应边，AB＝2，BC＝4，若△DEF的周长为奇数，则DF的值为（　　） A．3 B．4 C．3或5 D．3或4或5 【分析】根据三角形的三边关系求得AC的范围，然后根据全等三角形的对应边相等即可求解． 【解答】解：AC的范围是2＜AC＜6，则AC的奇数值是3或5． △ABC和△DEF全等，AB与DE是对应边，则DE＝AB＝2， 当DF＝AC时，DF＝3或5． 当DF＝BC时，DF＝4． 故选：D． 【点评】本题考查了三角形的三边关系以及全等三角形的性质，正确对三角形进行讨论是关键． 19．已知△ABC的三边长分别为3，5，7，△DEF的三边长分别为3，3x﹣2，2x﹣1，若这两个三角形全等，则x等于（　　） A． B．3 C．4 D．5 【专题】三角形；推理能力． 【分析】根据全等三角形的性质可得：3x﹣2与5是对应边，或3x﹣2与7是对应边；然后再计算发现，3x﹣2＝5时，2x﹣1≠7，故3x﹣2与5不是对应边，由此即可得出正确选项． 【解答】解：∵△ABC与△DEF全等， 当3x﹣2＝5， x＝， 把x＝代入2x﹣1中， 2x﹣1≠7， ∴3x﹣2与5不是对应边． 当3x﹣2＝7时， x＝3， 把x＝3代入2x﹣1中， 2x﹣1＝5． 故选：B． 【点评】本题主要考查了全等三角形的知识，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 20．一根长为1的绳子恰好围成一个三角形，则这个三角形的最长边x的取值范围是 　≤x＜　． 【专题】三角形． 【分析】由围成两个三角形是全等三角形，可得两个三角形的周长相等，根据三角形三条边的关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可列出两个不等式，解不等式可出结论． 【解答】解：设三角形的其他两边为：y，z， ∵x+y+z＝1，y+z＞x ∴可得x＜， 又因为x为最长边大于等于， ∴≤x＜； 故答案为：≤x＜． 【点评】本题考查三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，且最长边不能小于周长． 21．如图，△ABC≌△DEF，点E在AC上，B，F，C，D四点在同一条直线上．若∠A＝40°，∠CED＝35°，则下列结论正确的是（　　） A．EF＝EC，AB＝FC B．EF≠EC，AE＝FC C．EF＝EC，AE≠FC D．EF≠EC，AE≠FC 【专题】图形的全等；推理能力． 【分析】根据全等三角形的性质得出对应边相等好对应角相等解答即可． 【解答】解：∵△ABC≌△DEF， ∴AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF，∠A＝∠D，∠B＝∠DEF，∠ACB＝∠DFE， ∵∠A＝40°，∠CED＝35°， ∴∠D＝40°， ∴∠ACB＝40°+35°＝75°， ∴∠B＝180°﹣40°﹣75°＝65°， ∴∠EFD＝∠BCA＝75°， ∴EF＝EC，故B，D错误，不符合题意； ∴BC＝EF＝EC， ∴得不出AE＝FC，故C正确，符合题意； 得不出AB＝FC，故A错误，不符合题意． 故选：C． 【点评】此题考查全等三角形的性质，关键是根据全等三角形的性质得出对应边相等好对应角相等得出边角关系解答． 22．如图，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P，则不符合的点是（　　） A．P1 B．P2 C．P3 D．P4 【专题】图形的全等；推理能力． 【分析】由全等三角形的判定，即可判断． 【解答】解：要使△ABP与△ABC全等，点P到AB的距离应该等于点C到AB的距离，故符合条件的点P的位置可以是P1，P3，P4，不符合条件的点是P2． 故选：B． 【点评】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法． 23．在如图所示的3×3网格中，△ABC是格点三角形（即顶点恰好是网格线的交点），则与△ABC有一条公共边且全等（不含△ABC）的所有格点三角形的个数是（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【专题】图形的全等；几何直观． 【分析】根据全等三角形的定义画出图形，即可判断． 【解答】解：如图，观察图象可知满足条件的三角形有4个． 故选：B． 【点评】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 24．我们把顶点在小正方形顶点上的三角形叫做格点三角形，在如图所示的方格纸中，除了格点三角形ABC外，可画出与△ABC全等的格点三角形共有　15　个． 【专题】图形的全等；几何直观． 【分析】用SSS判定两三角形全等．认真观察图形可得答案． 【解答】解：用SSS判定两三角形全等，所以共有16个全等三角形， 除去△ABC外有15个与△ABC全等的三角形． 故答案为：15． 【点评】此题主要考查了全等三角形的判定以及格点三角形的定义，利用数形结合与分类讨论是解决问题的关键． 25．如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上，DE与AC相交于点F， （1）当DE＝8，BC＝5时，线段AE的长为 　3　； （2）已知∠D＝35°，∠C＝60°， ①求∠DBC的度数； ②求∠AFD的度数． 【分析】（1）根据全等三角形的性质得出AB＝DE＝8，BE＝BC＝5，即可求出答案； （2）①根据全等三角形的性质得出∠A＝∠D＝35°，∠DBE＝∠C＝60°，根据三角形内角和定理求出∠ABC，即可得出答案； ②根据三角形外角性质求出∠AEF，根据三角形外角性质求出∠AFD即可． 【解答】解：（1）∵△ABC≌△DEB，DE＝8，BC＝5， ∴AB＝DE＝8，BE＝BC＝5， ∴AE＝AB﹣BE＝8﹣5＝3， 故答案为：3； （2）①∵△ABC≌△DEB ∴∠A＝∠D＝35°，∠DBE＝∠C＝60°， ∵∠A+∠ABC+∠C＝180°， ∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝85°， ∴∠DBC＝∠ABC﹣∠DBE＝85°﹣60°＝25°； ②∵∠AEF是△DBE的外角， ∴∠AEF＝∠D+∠DBE＝35°+60°＝95°， ∵∠AFD是△AEF的外角， ∴∠AFD＝∠A+∠AEF＝35°+95°＝130°． 【点评】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角性质的应用，能熟记全等三角形的性质是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等． 26．如图，CA⊥AB，垂足为点A，AB＝8cm，AC＝4cm，射线BM⊥AB，垂足为点B，一动点E从点A出发以2cm/s的速度沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着点E运动而运动，且始终保持ED＝CB，当点E离开点A后，运动几秒时，△DEB与△BCA全等？ 【专题】图形的全等；推理能力． 【分析】此题要分两种情况：①当E在线段AB上时，②当E在BN上，再分别分成两种情况AC＝BE，AC＝BE进行计算即可． 【解答】解：①当E在线段AB上，AC＝BE时，△ACB≌△BED， ∵AC＝4， ∴BE＝4， ∴AE＝8﹣4＝4（cm）， ∴点E的运动时间为4÷2＝2（秒）； ②当E在BN上，AC＝BE时， ∵AC＝4， ∴BE＝4， ∴AE＝8+4＝12（cm）， ∴点E的运动时间为12÷2＝6（秒）； ③当E在线段AB上，AB＝EB时，△ACB≌△BDE， 这时E在A点未动，因此时间为0秒； ④当E在BN上，AB＝EB时，△ACB≌△BDE， AE＝8+8＝16（cm）， 点E的运动时间为16÷2＝8（秒）， 故当点E离开点A后，运动2或6或8秒时，△DEB与△BCA全等． 【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 27．如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝9cm，AC＝12cm，AB＝15cm，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边AC→CB→BA运动，回到点A停止，速度为3cm/s，设运动时间为t s． （1）如图①，当t＝　或　时，△APC的面积等于△ABC面积的一半； （2）如图②，在△DEF中，∠E＝90°，DE＝4cm，DF＝5cm，∠D＝∠A．在△ABC的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边AB→BC→CA运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好△APQ≌△DEF，求点Q的运动速度． 【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；几何直观；模型思想；应用意识． 【分析】（1）分两种情况进行解答，①当点P在BC上时，②当点P在BA上时，分别画出图形，利用三角形的面积之间的关系，求出点P移动的距离，从而求出时间即可； （2）由△APQ≌△DEF，可得对应顶点为A与D，P与E，Q与F；于是分两种情况进行解答，①当点P在AC上，AP＝4，AQ＝5，②当点P在AB上，AP＝4，AQ＝5，分别求出P移动的距离和时间，进而求出Q的移动速度． 【解答】解：（1）①当点P在BC上时，如图①﹣1， 若△APC的面积等于△ABC面积的一半；则CP＝BC＝cm， 此时，点P移动的距离为AC+CP＝12+＝， 移动的时间为：÷3＝秒， ②当点P在BA上时，如图①﹣2 若△APC的面积等于△ABC面积的一半；则PD＝AB，即点P为BA中点， 此时，点P移动的距离为AC+CB+BP＝12+9+＝cm， 移动的时间为：÷3＝秒， 故答案为：或； （2）△APQ≌△DEF，即，对应顶点为A与D，P与E，Q与F； ①当点P在AC上，如图②﹣1所示： 此时，AP＝4，AQ＝5， ∴点Q移动的速度为5÷（4÷3）＝cm/s， ②当点P在AB上，如图②﹣2所示： 此时，AP＝4，AQ＝5， 即，点P移动的距离为9+12+15﹣4＝32cm，点Q移动的距离为9+12+15﹣5＝31cm， ∴点Q移动的速度为31÷（32÷3）＝cm/s， 综上所述，两点运动过程中的某一时刻，恰好△APQ≌△DEF， 点Q的运动速度为cm/s或cm/s． 【点评】考查直角三角形的性质，全等三角形的判定，画出相应图形，求出各点移动的距离是正确解答的关键． 1.3.1探索三角形全等的条件SAS 课程目标 1.理解并会运用边角边（SAS）来判定两个三角形全等； 2.规范书写证明过程； 重难点 理解并会运用边角边（SAS）来判定两个三角形全等； 基础巩固 1．如图，已知AC＝DB，要使△ABC≌△DCB，只需增加的一个条件是（　　） A．∠A＝∠D B．∠ABD＝∠DCA C．∠ACB＝∠DBC D．∠ABC＝∠DCB 【分析】由已知AC＝DB，且BC＝CB，故可增加一组边相等，即AB＝DC，可增加∠ACB＝∠DBC，可得出答案． 【解答】解：由已知AC＝DB，且AC＝CA，故可增加一组边相等，即AB＝DC， 也可增加一组角相等，但这组角必须是AC和BC、DB和CB的夹角， 即∠ACB＝∠DBC， 故选：C． 【点评】本题主要考查全等三角形的判定，掌握SSS、SAS、ASA、AAS和HL这几种全等三角形的判定方法是解题的关键． 2．下列选项可使△ABC≌△A′B′C′的是（　　） A．AB＝A′B′，∠B＝∠B′，AC＝A′C′ B．AB＝A′B′，BC＝B′C′，∠A＝∠A′ C．AC＝A′C′，BC＝B′C′，∠C＝∠C′ D．AC＝A′C′，BC＝B′C′，∠B＝∠B′ 【分析】根据题意，结合选项，四个选项均是两条边和一个角，根据全等三角形的判定方法，只能两条边和夹角对应相等才能判定两三角形的全等，选出正确答案即可． 【解答】解：A、当AB＝A′B′，∠B＝∠B′，AC＝A′C′时，符合SSA，不能判断△ABC≌△A′B′C′，故本选项错误； B、当AB＝A′B′，BC＝B′C′，∠A＝∠A′时，符合SSA，不能判断△ABC≌△A′B′C′，故本选项错误； C、当AC＝A′C′，BC＝B′C′，∠C＝∠C′时，符合SAS，可以判断△ABC≌△A′B′C′，故本选项正确； D、当AC＝A′C′，BC＝B′C′，∠B＝∠B′时，符合SSA，不能判断△ABC≌△A′B′C′，故本选项错误． 故选：C． 【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL． 注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 3．如图，AD是△ABC的高，AD＝BD，DE＝DC，∠BAC＝65°，则∠ABE的度数是（　　） A．20° B．25° C．30° D．35° 【分析】首先利用SAS证明△BDE≌△ADC，得∠DAC＝∠DBE，即可得出答案． 【解答】解：∵AD是△ABC的高， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°， 在△BDE和△ADC中， ， ∴△BDE≌△ADC（SAS）， ∴∠DAC＝∠DBE， ∵∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝65°﹣45°＝20°， ∴∠DBE＝20°， ∴∠ABE＝∠ABD﹣∠DBE＝25°， 故选：B． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，证明△BDE≌△ADC是解题的关键． 4. 如图，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，点B，D，E在同一直线上，若∠1＝25°，∠2＝35°，则∠3的度数是（　　） A．50° B．55° C．60° D．70° 【考点】全等三角形的判定与性质．版权所有 【分析】先证明△BAD≌△CAE（SAS），根据全等三角形的性质可得∠1＝∠ABD，再根据外角的性质，即可求出∠3． 【解答】解：∵∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAD＝∠CAE， 在△BAD和△CAE中， ， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴∠1＝∠ABD， ∵∠1＝25°，∠2＝35°， ∴∠3＝∠2+∠ABD＝60°， 故选：C． 【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，涉及外角的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键． 5. 如图所示，下列各选项中与△ABC一定全等的三角形是（　　） A． B． C． D． 【考点】全等三角形的判定．版权所有 【分析】根据全等三角形的判定方法进行逐个验证，做题时要找准对应边，对应角． 【解答】解：A、与三角形ABC有两边相等，而夹角不一定相等，二者不一定全等，故本选项不符合题意； B、与三角形ABC有两边及其夹边相等，二者全等，故本选项符合题意 C、与三角形ABC有一边和一角对应相等，二者不一定全等，故本选项不符合题意； D、与三角形ABC有两角对应相等，但边不一定对应相等，二者不一定全等，故本选项不符合题意． 故选：B． 【点评】本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，无法证明三角形全等，本题是一道较为简单的题目． 6. 下列三角形中，不一定全等的是（　　） A．一腰和顶角分别相等的两个等腰三角形 B．一条直角边相等的两个等腰直角三角形 C．有两条边分别相等的两个直角三角形 D．两条直角边分别相等的两个直角三角形 【考点】全等三角形的判定；等腰直角三角形．版权所有 【分析】由全等三角形的判定方法，即可判断． 【解答】解：A、由SAS判定两个等腰三角形全等，故A不符合题意； B、由SAS判定两个等腰直角三角形全等，故B不符合题意； C、有可能一个直角三角形的斜边与另一个直角三角形的直角边相等，有两条边分别相等的两个直角三角形不一定全等，故C符合题意； D、由SAS判定两个直角三角形全等，故D不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法：SAS、ASA、AAS、SSS、HL． 7．如图，在△ABC中，点D在AC上，BD平分∠ABC，延长BA到点E，使得BE＝BC，连接DE．若∠ADE＝30°，则∠ADB的度数是（　　） A．60° B．71° C．75° D．76° 【分析】根据已知条件可得三角形全等，得∠BDE＝∠BDC，∠BDE＝∠ADB+30°，∠BDE+∠ADB＝180°，可得解． 【解答】解：∵BD平分∠ABC， ∴∠EBD＝∠CBD， ∵BE＝BC， ∴△BDE≌△BDC（SAS）， ∴∠BDE＝∠BDC， ∵∠ADB+∠ADE＝∠BDC，∠ADB+∠BDC＝180°，∠ADE＝30°， ∴∠ADB＝75°， 故选：C． 【点评】本题考查的是三角形全等的性质与判定，解题的关键是证明△BDE≌△BDC． 8．如图，AD是△ABC的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且DE＝DF，连接BF，CE．下列说法：①△ABD和△ACD面积相等；②∠BAD＝∠CAD；③△BDF≌△CDE；④BF∥CE；⑤CE＝AE．其中正确的个数是（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 【分析】①△ABD和△ACD是等底同高的两个三角形，其面积相等； ②注意区分中线与角平分线的性质； ③由全等三角形的判定定理SAS证得结论正确； ④、⑤由③中的全等三角形的性质得到． 【解答】解：①∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝CD， ∴△ABD和△ACD面积相等； 故①正确； ②若在△ABC中，当AB≠AC时，AD不是∠BAC的平分线，即∠BAD≠∠CAD．即②不一定正确； ③∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝CD， 在△BDF和△CDE中， ， ∴△BDF≌△CDE（SAS）． 故③正确； ④∵△BDF≌△CDE， ∴∠CED＝∠BFD， ∴BF∥CE； 故④正确； ⑤∵△BDF≌△CDE， ∴CE＝BF， ∴只有当AE＝BF时，CE＝AE． 故⑤不一定正确． 综上所述，正确的结论是：①③④，共有3个． 故选：C． 【点评】本题考查了全等三角形判定和性质，解题的关键是证明△BDF≌△CDE． 9．如图，点E，F在BC上，AB＝DC，AF＝DE，∠A＝∠D． （1）证明：BF＝CE； （2）若BC＝10，EF＝6，求BE的长． 【分析】（1）证△ABF≌△DCE（SAS），即可得出结论； （2）由全等三角形的性质得BF＝CE，则BF﹣EF＝CE﹣EF．即BE＝CF，即可求解． 【解答】（1）证明：在△ABF与△DCE中， ， ∴△ABF≌△DCE（SAS）， ∴BF＝CE； （2）解：由（1）知BF＝CE， ∴BF﹣EF＝CE﹣EF． ∴BE＝CF， ∴BE＝（BC﹣EF）＝×（10﹣6）＝2， 即BE的长为2． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明△ABF≌△DCE是解题的关键． 10．如图，△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，∠ACD＝∠BCE＝90°，AE交CD于点F，BD分别交CE、AE于点G、H．试猜测线段AE和BD的数量和位置关系，并说明理由． 【分析】由于条件可知CD＝AC，BC＝CE，且可求得∠ACE＝∠DCB，所以△ACE≌△DCB，即AE＝BD，∠CAE＝∠CDB；又因为对顶角相等即∠AFC＝∠DFH，所以∠DHF＝∠ACD＝90°，即AE⊥BD． 【解答】解：猜测AE＝BD，AE⊥BD； 理由如下： ∵∠ACD＝∠BCE＝90°， ∴∠ACD+∠DCE＝∠BCE+∠DCE， 即∠ACE＝∠DCB， 又∵△ACD和△BCE都是等腰直角三角形， ∴AC＝CD，CE＝CB， 在△ACE与△DCB中， ∴△ACE≌△DCB（SAS）， ∴AE＝BD，∠CAE＝∠CDB； ∵∠AFC＝∠DFH，∠FAC+∠AFC＝90°， ∴∠DHF＝∠ACD＝90°， ∴AE⊥BD． 故线段AE和BD的数量相等，位置是垂直关系． 【点评】此题主要考查全等三角形的判定，涉及到等腰直角三角形的性质及对顶角的性质等知识点． 拓展提优 11. 如图，在四边形BCFD中，DF＝BC＝8，CE与BD的延长线交于点A，且DF与AC互相平分，若AB＝10，则四边形BCFD的周长为 　26　． 【考点】平行四边形的判定与性质．版权所有 【分析】连接AF、CD，证明四边形ADCF是平行四边形，得AD＝CF，即可解决问题． 【解答】解：如图，连接AF、CD， ∵DF与AC互相平分， ∴四边形ADCF是平行四边形， ∴AD＝CF， ∴BD+CF＝BD+AD＝AB＝10， ∴四边形BCFD的周长＝DF+BC+BD+CF＝8+8+10＝26， 故答案为：26． 【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质以及四边形周长等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 12. 如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点A，B、C，D，E均在小正方形方格的顶点上，线段AB，CD交于点F，若∠CFB＝a，则∠ABE的度数为 　90°+α　． 【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理．版权所有 【分析】如图，证明△CGD≌△BHE（SAS），得到∠GCD＝∠HBE，根据三角形外角的性质及平行线的性质可进行求解， 【解答】解：如图， 由图可知：GD＝EH＝1，CG＝BH＝4，∠CGD＝∠BHE＝90°， ∴△CGD≌△BHE（SAS）， ∴∠GCD＝∠HBE， ∵CG∥BD， ∴∠CAB＝∠ABD， ∵∠CFB＝∠CAB+∠GCD＝α， ∴∠ABD+∠HBE＝α， ∴∠ABE＝∠ABD+∠DBH+∠HBE＝90°+α； 故答案为：90°+α． 【点评】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 13. 如图，P为AB上任意一点，分别以AP、PB为边在AB同侧作正方形APCD、正方形PBEF，设∠CBE＝α，则∠AFP为（　　） A．2α B．90°﹣α C．45°+α D．90°﹣α 【考点】正方形的性质．版权所有 【分析】根据正方形的性质先表示出∠PBC的度数，然后利用“SAS”证明△APF≌△CPB，证得∠AFP＝∠PBC即可求得答案． 【解答】解：∵四边形PBEF为正方形， ∴∠PBE＝90°， ∵∠CBE＝α， ∴∠PBC＝90°﹣α， ∵四边形APCD、PBEF是正方形， ∴AP＝CP，∠APF＝∠CPB＝90°，PF＝PB， 在△APF和△CPB中， ， ∴△APF≌△CPB（SAS）， ∴∠AFP＝∠PBC＝90°﹣α． 故选：B． 【点评】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质，对于解决四边形的问题往往是通过解决三角形的问题而实现的． 14. 如图，点D、F分别为△ABC的边AB、AC的中点，DE⊥AB，FG⊥AC，△AGE的周长为15，BC＝10，则EG＝　2.5　． 【考点】线段垂直平分线的性质．版权所有 【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EA＝EB，GA＝GC，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【解答】解：∵△AGE的周长为15， ∴AG+AE+GE＝15， ∵点D、F分别为△ABC的边AB、AC的中点，DE⊥AB，FG⊥AC， ∴EA＝EB，GA＝GC， ∴GC+EB+GE＝15，即BC+2GE＝15， ∵BC＝10， ∴2GE＝5， ∴GE＝2.5， 故答案为：2.5． 【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 15．如图，点P是∠BAC平分线AD上的一点，AC＝9，AB＝4，PB＝2，则PC的长不可能是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】在AC上取AE＝AB＝4，然后证明△AEP≌△ABP，根据全等三角形对应边相等得到PE＝PB＝2，再根据三角形的任意两边之差小于第三边即可求解． 【解答】解：在AC上截取AE＝AB＝4，连接PE， ∵AC＝9， ∴CE＝AC﹣AE＝9﹣4＝5， ∵点P是∠BAC平分线AD上的一点， ∴∠CAD＝∠BAD， 在△APE和△APB中， ， ∴△APE≌△APB（SAS）， ∴PE＝PB＝2， ∵5﹣2＜PC＜5+2， 解得3＜PC＜7， ∴PC不可能为3， 故选：A． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系；通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 16．如图，AD是△ABC的外角平分线，下列一定结论正确的是（　　） A．AD+BC＝AB+CD B．AB+AC＝DB+DC C．AD+BC＜AB+CD D．AB+AC＜DB+DC 【分析】在AP上截取AF＝AC．首先证明△DAF≌△DAC（SAS），再根据三角形的三边关系即可解决问题； 【解答】解：在AP上截取AF＝AC． ∵AF＝AC，∠DAF＝∠DAC，AD＝AD， ∴△DAF≌△DAC（SAS）， ∴DF＝DC， ∴BD+DF＞BF， ∴BD+DC＞AB+AC． 故选：D． 【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 17．已知：如图，在△ABC，△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE．以下六个结论： ①BD＝CE； ②∠ACE+∠DBC＝45°； ③BD⊥CE； ④∠BAE+∠DAC＝180°； ⑤S△ABD＝S△ACE； ⑥AD平分∠EDB． 其中结论正确的个数是（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【分析】根据题意推出△ABD≌△ACE，根据全等三角形的性质、等腰直角三角形的性质、垂直的定义、角平分线的定义求解即可． 【解答】解：①∵∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD， 即∠BAD＝∠CAE， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴BD＝CE，S△ABD＝S△ACE， 故①⑤正确； ∵△ABD≌△ACE， ∴∠ABD＝∠ACE， ∵∠ABD+∠DBC＝45°， ∴∠ACE+∠DBC＝45°， ∴∠DBC+∠DCB＝∠DBC+∠ACE+∠ACB＝90°， ∴BD⊥CE， 故②③正确； ∵∠BAC＝∠EAD＝90°， ∴∠BAE+∠CAD＝360°﹣90°﹣90°＝180°， 故④正确； ∵BD⊥CE，∠ADE＝45°， ∴∠ADB＝90°﹣45°＝45°， ∴∠ADE＝∠ADB， ∴AD平分∠EDB， 故⑥正确； 综上所述，正确的结论有6个． 故选：D． 【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，利用SAS证明△ABD≌△ACE是解题的关键． 18．如图，AB＝12cm，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，且AC＝4cm，P点从B向A运动，速度为1cm/s，Q点从B向D运动，速度为2cm/s，P、Q两点同时出发，运动 　4　秒后△CAP与△PQB全等． 【分析】分当△CPA≌△PQB时和当△CPA≌△PQB时，两种情况进行讨论，求得BQ和BP的长，分别求得P和Q运动的时间，若时间相同即可，满足全等，若不等，则不能成立． 【解答】解：当△CPA≌△PQB时，BP＝AC＝4（cm）， 则BQ＝AP＝AB﹣BP＝12﹣4＝8（cm）， A的运动时间是：4÷1＝4（秒）， Q的运动时间是：8÷2＝4（秒）， 则当t＝4秒时，两个三角形全等； 当△CPA≌△PQB时，BQ＝AC＝4（cm）， AP＝BP＝AB＝6（cm）， 则P运动的时间是：6÷1＝6（秒）， Q运动的时间是：4÷2＝2（秒）， 故不能成立． 综上所述，运动4秒后，△CPA与△PQB全等． 故答案为：4． 【点评】本题考查了全等三角形的判定，解答本题的关键利用全等三角形的对应边相等． 19．如图，已知在△ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，F是线段BD上一点，BF＝AC，G是线段CE延长线上一点，CG＝AB，连接AG、AF． （1）试说明：∠ABD＝∠ACE； （2）试猜想线段AF与AG之间的关系，并说明理由． 【分析】（1）根据等角的余角相等，即可证明∠ACG＝∠ABF； （2）根据SAS推出△ABF≌△GCA即可解决问题； 【解答】（1）证明：∵BD、CE是△ABC的高， ∴∠ADB＝∠AEC＝90°， ∴∠ABF+∠BAD＝90°，∠GCA+∠BAD＝90°， ∴∠ABD＝∠ACE． （2）结论：AF＝AG，AF⊥AG．理由如下： 在△ABF和△GCA中，AB＝CG，∠ABF＝∠GCA，BF＝AC， ∴△ABF≌△GCA（SAS）， ∴AF＝AG，∠GAC＝∠AFB． ∵∠AFB＝∠ADB+∠FAD，∠GAC＝∠GAF+∠FAD， ∴∠GAF＝∠ADF． ∵∠ADF＝90°， ∴∠GAF＝90°， ∴AG⊥AF，AG＝AF． 【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用、同角的余角相等等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 20．阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 在△ABC中，AB＝9，AC＝5，BC边上的中线AD的取值范围． （1）小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）： ①延长AD到Q使得DQ＝AD； ②再连接BQ，把AB、AC、2AD集中在△ABQ中； ③利用三角形的三边关系可得4＜AQ＜14，则AD的取值范围是　2＜AD＜7　． 感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． （2）请写出图1中AC与BQ的位置关系并证明； （3）思考：已知，如图2，AD是△ABC的中线，AB＝AE，AC＝AF，∠BAE＝∠FAC＝90°，试探究线段AD与EF的数量和位置关系，并加以证明． 【分析】（1）先判断出BD＝CD，进而得出△QDB≌△ADC（SAS），得出BQ＝AC＝5，最后用三角形三边关系即可得出结论； （2）由（1）知，△QDB≌△ADC（SAS），得出∠BQD＝∠CAD，即可得出结论； （3）同（1）的方法得出△BDQ≌△CDA（SAS），∴∠DBQ＝∠ACD，BQ＝AC，进而判断出∠ABQ＝∠EAF，进而判断出△ABQ≌△EAF，得出AQ＝EF，∠BAQ＝∠AEF，即可得出结论． 【解答】解：（1）延长AD到Q使得DQ＝AD，连接BQ， ∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝CD， 在△QDB和△ADC中，， ∴△QDB≌△ADC（SAS）， ∴BQ＝AC＝5， 在△ABQ中，AB﹣BQ＜AQ＜AB+BQ， ∴4＜AQ＜14， ∴2＜AD＜7， 故答案为：2＜AD＜7； （2）AC∥BQ，理由：由（1）知，△QDB≌△ADC， ∴∠BQD＝∠CAD， ∴AC∥BQ； （3）EF＝2AD，AD⊥EF， 理由：如图2，延长AD到Q使得DQ＝AD，连接BQ， 由（1）知，△BDQ≌△CDA（SAS）， ∴∠DBQ＝∠ACD，BQ＝AC， ∵AC＝AF， ∴BQ＝AF， 在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°， ∴∠BAC+∠ABC+∠DBQ＝180°， ∴∠BAC+ABQ＝180°， ∵∠BAE＝∠FAC＝90°， ∴∠BAC+∠EAF＝180°， ∴∠ABQ＝∠EAF， 在△ABQ和△EAF中，， ∴△ABQ≌△EAF， ∴AQ＝EF，∠BAQ＝∠AEF， 延长DA交EF于P， ∵∠BAE＝90°， ∴∠BAQ+∠EAP＝90°， ∴∠AEF+∠EAP＝90°， ∴∠APE＝90°， ∴AD⊥EF， ∵AD＝DQ， ∴AQ＝2AD， ∵AQ＝EF， ∴EF＝2AD， 即：EF＝2AD，AD⊥EF． 【点评】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，倍长中线法，构造全等三角形是解本题的关键． 21．如图（1），AB＝12cm，AC⊥AB，BD⊥AB垂足分别为A、B，AC＝10cm．点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在射线BD上运动．它们运动的时间为t（s）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）． （1）PB＝　（12﹣2t）　cm（用含t的代数式表示）； （2）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由； （3）如图（2），若“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA＝α”，点Q的运动速度为v cm/s，其他条件不变，当点P、Q运动到某处时，有△ACP与△BPQ全等，求出相应的v、t的值． 【分析】（1）根据点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，可得AP＝2t cm，PB＝（12﹣2t）cm； （2）利用SAS证得△ACP≌△BPQ，得出∠ACP＝∠BPQ，进一步得出∠APC+∠BPQ＝∠APC+∠ACP＝90°得出结论即可； （3）分类讨论：①△ACP≌△BPQ，则有 AP＝BQ，AC＝PB，即2t＝vt，12﹣2t＝10； ②△APC≌△BPQ，则有 AP＝BP，AC＝BQ，即 2t＝12﹣2t，10＝vt，然后分别求出v和t即可． 【解答】解：（1）由题意得：AC⊥AB，BD⊥AB， AB＝12cm，AP＝2t cm，PB＝（12﹣2t）cm， 故答案为：（12﹣2t）； （2）当t＝1时，△ACP≌△BPQ，PC⊥PQ． 理由如下：当t＝1时，AP＝BQ＝2cm，如图（1）， ∵AC＝10cm，AB＝12cm， ∴BP＝12﹣2＝10（cm）＝AC， ∵AC⊥AB，BD⊥AB， ∴∠A＝∠B＝90°， 在△ACP和△BPQ中， ， ∴△ACP≌△BPQ（SAS）， ∴∠C＝∠BPQ， ∵∠C+∠APC＝90°， ∴∠APC+∠BPQ＝90°， ∴∠CPQ＝90°， ∴PC⊥PQ； （3）如图（2），由题意得 AB＝12cm，AP＝2t cm，PB＝（12﹣2t）cm， BQ＝vt cm，∠CAB＝∠DBA＝α， ∴△ACP和△BPQ全等有以下两种情况： ①△ACP≌△BPQ， 则有 AP＝BQ，AC＝PB， 即2t＝vt，12﹣2t＝10， 所以v＝2，t＝1， ②△APC≌△BPQ， 则有 AP＝BP，AC＝BQ， 即 2t＝12﹣2t，10＝vt， 所以 t＝3，v＝， 综上所述：速度V为2cm/s，时间t为1s或速度v为cm/s，时间t为3s时，△ACP和△BPQ全等． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法，灵活运用方程思想和分类讨论思想是解题的关键． 22. 综合与实践：数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地． （1）发现问题：如图1，在△ABC和△AEF中，AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠EAF＝30°，连接BE，CF，延长BE交CF于点D．则BE与CF的数量关系：　BE＝CF　，∠BDC＝　30　°； （2）类比探究：如图2，在△ABC和△AEF中，AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠EAF＝120°，连接BE，CF，延长BE，FC交于点D．请猜想BE与CF的数量关系及∠BDC的度数，并说明理由． 【考点】全等三角形的判定与性质；规律型：图形的变化类．版权所有 【分析】（1）根据等腰三角形的性质，利用SAS证明△ABE≌△ACF即可得出结论； （2）根据等腰三角形的性质，利用SAS证明△BAE≌△CAF即可得出结论． 【解答】解：（1）BE＝CF，∠BDC＝30°， 理由如下：如图1所示，设AC与BD交于点O， ∵∠BAC＝∠EAF＝30°， ∴∠BAC+∠CAE＝∠EAF+∠CAE， 即∠BAE＝∠CAF， 在△ABE和△ACF中， ， ∴△ABE≌△ACF（SAS）， ∴BE＝CF，∠ABE＝∠ACF， ∵∠AOE＝∠ABE+∠BAC， ∠AOE＝∠ACF+∠BDC， ∴∠BDC＝∠BAC＝30°． 故答案为：BE＝CF，30； （2）BE＝CF，∠BDC＝60°， 理由如下：∵∠BAC＝∠EAF＝120°， ∴∠BAC﹣∠EAC＝∠EAF﹣∠EAC， 即∠BAE＝∠CAF， 在△ABE和△ACF中， ， ∴△ABE≌△ACF（SAS）， ∴BE＝CF，∠AEB＝∠AFC， ∵∠EAF＝120°，AE＝AF， ∴∠AEF＝∠AFE＝30°， ∴∠BDC＝∠BEF﹣∠EFD＝∠AEB+30°﹣（∠AFC﹣30°）＝60°． 【点评】本题考查全等三角形的判定，等腰三角形和等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． 1.3.2探索三角形全等的条件ASA 课程目标 1.理解并会运用角边角（ASA）来判定两个三角形全等； 2.规范书写证明过程； 重难点 理解并会运用角边角（ASA）来判定两个三角形全等； 基础巩固 1. 根据下列已知条件，能够画出唯一△ABC的是（　　） A．AB＝5，BC＝6，∠A＝70° B．AB＝5，BC＝6，AC＝13 C．∠A＝50°，∠B＝80°，AB＝8 D．∠A＝40°，∠B＝50°，∠C＝90° 【考点】全等三角形的判定．版权所有 【分析】根据全等三角形的判定方法判断即可． 【解答】解：A、已知两边和一角，不能画出唯一△ABC，故本选项不符合题意； B、因为5+6＜13，不能构成三角形，故本选项不符合题意； C、根据两角和一边，能画出唯一三角形，故本选项符合题意； D、根据∠A＝40°，∠B＝50°，∠C＝90°不能画出唯一三角形，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了全等三角形的判定方法；一般三角形全等的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 2. 如图，已知AB＝AD，∠BAE＝∠DAC，如果直接用“SAS”判定△ABC≌△ADE，则可补充的条件是 　AC＝AE　；若用“ASA”判定△ABC≌△ADE，则可补充的条件是 　∠B＝∠D　． 【考点】全等三角形的判定．版权所有 【分析】先根据∠BAE＝∠DAC，等号两边都加上∠EAC，得到∠BAC＝∠DAE，由已知AB＝AD，要使△ABC≌△ADE，根据全等三角形的判定定理ASA：添上AC＝AE，∠B＝∠D． 【解答】解：AC＝AE． 理由：∵∠BAE＝∠DAC， ∴∠BAE+∠EAC＝∠DAC+∠EAC， 即∠BAC＝∠DAE． ∵AB＝AD，∠BAC＝∠DAE，AC＝AE， ∴△ABC≌△ADE（SAS）； ∠B＝∠D． 理由：∵∠BAE＝∠DAC， ∴∠BAE+∠EAC＝∠DAC+∠EAC， 即∠BAC＝∠DAE． ∵∠B＝∠D，AB＝AD，∠BAC＝∠DAE． ∴△ABC≌△ADE（ASA）． 故答案为：AC＝AE；∠B＝∠D． 【点评】本题考查了全等三角形的判定；题目是开放型题目，根据已知条件结合判定方法，找出所需条件，一般答案不唯一，只要符合要求即可． 3. 打碎的一块三角形玻璃如图所示，现在要去玻璃店配一块完全一样的玻璃，最省事的方法是（　　） A．带①②去 B．带②③去 C．带③④去 D．带④去 【分析】可以采用排除法进行分析从而确定最后的答案． 【解答】解：A、带①②去，符合ASA判定，选项符合题意； B、带②③去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不符合任何判定方法，选项不符合题意； C、带③④去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不符合任何判定方法，选项不符合题意； D、带②④去，仅保留了原三角形的两个角和部分边，不符合任何判定方法，选项不符合题意； 故选：A． 【点评】此题主要考查学生对全等三角形的判定方法的灵活运用，要求对常用的几种方法熟练掌握． 4. 如图，在△ABC中，E为AB中点，D为边AC上的动点，连接DE，BF∥AC交DE的延长线于点F，若AC＝5，则BF+CD的值是 　5　． 【考点】全等三角形的判定与性质．版权所有 【分析】由平行线的性质可得∠EBF＝∠A，由ASA证明△BEF≌△AED，得到AD＝BF，最后由BF+CD＝AD+CD＝AC即可得到答案． 【解答】解：∵BF∥AC， ∴∠EBF＝∠A， ∵E为AB中点， ∴BE＝AE， 在△BEF和△AED中， ， ∴△BEF≌△AED（ASA）， ∴AD＝BF， ∴BF+CD＝AD+CD＝AC＝5， 故答案为：5． 【点评】本题主要考查了平行线的性质、三角形全等的判定与性质，熟练掌握平行线的性质、三角形全等的判定与性质是解题的关键． 5. 如图，CB⊥AD，AE⊥CD，垂足分别为B，E，AE、BC相交于点F，若AB＝BC＝16，CF＝8，连接DF，则图中阴影部分面积为 　32　． 【考点】全等三角形的判定与性质．版权所有 【分析】先利用等角的余角相等得到∠A＝∠C，则可根据“ASA”判断△ABF≌△CBD，所以BF＝BD＝8，然后根据三角形面积公式计算图中阴影部分面积． 【解答】解：∵CB⊥AD，AE⊥CD， ∴∠ABF＝∠CBD＝90°，∠FEC＝90°， ∵∠AFB＝∠EFC， ∴∠A＝∠C， 在△ABF和△CBD中， ， ∴△ABF≌△CBD（ASA）， ∴BF＝BD， ∵BF＝BC﹣CF＝16﹣8＝8， ∴BD＝8， ∴图中阴影部分面积＝•FC•BD＝×8×8＝32． 故答案为：32． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． 6. 如图，AB与CD交于E，AF＝AC，∠AFC＝∠D，CF﹣DF＝2EF．求证：AE＝BE． 【考点】全等三角形的判定与性质．版权所有 【分析】由AF＝AC，得出∠C＝∠AFC，由∠AFC＝∠D，推出∠C＝∠D，由CF﹣DF＝2EF，即CF﹣EF＝EF+DF，得出CE＝DE，由ASA证得△ACE≌△BDE，即可得出结论． 【解答】证明：∵AF＝AC， ∴∠C＝∠AFC， ∵∠AFC＝∠D， ∴∠C＝∠D， ∵CF﹣DF＝2EF，即CF﹣EF＝EF+DF， ∴CE＝DE， 在△ACE和△BDE中，， ∴△ACE≌△BDE（ASA）， ∴AE＝BE． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 拓展提优 7．如图，△ABC的面积为16，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于点D，则△ADC的面积是（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【分析】延长BD交AC于点E，则可知△ABE为等腰三角形，则S△ABD＝S△ADE，S△BDC＝S△CDE，可得出S△ADC＝S△ABC． 【解答】解：如图，延长BD交AC于点E， ∵AD平分∠BAE，AD⊥BD， ∴∠BAD＝∠EAD，∠ADB＝∠ADE， 在△ABD和△AED中， ， ∴△ABD≌△AED（ASA）， ∴BD＝DE， ∴S△ABD＝S△ADE，S△BDC＝S△CDE， ∴S△ABD+S△BDC＝S△ADE+S△CDE＝S△ADC， ∴S△ADC＝S△ABC＝×16＝8， 故选：B． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质和判定的应用，由BD＝DE得到S△ABD＝S△ADE，S△BDC＝S△CDE是解题的关键． 8．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，连接AC．若AC＝8，则四边形ABCD的面积为 　32　． 【分析】过A作AE⊥AC，交CD的延长线于E，证明△ABC≌△ADE，得到AC＝AE，△ABC与△ADE的面积相等，求出△AEC的面积即可解决问题． 【解答】解：过A作AE⊥AC，交CD的延长线于E，如图所示： ∵AE⊥AC， ∴∠EAC＝90°， ∵∠DAB＝90°， ∴∠DAE＝∠BAC， ∵∠BAD＝∠BCD＝90°， ∴∠ADC+∠B＝180°， ∵∠EDA+∠ADC＝180°， ∴∠EDA＝∠B， ∵AD＝AB， 在△ADE和△ABC中， ， ∴△ABC≌△ADE（ASA）， ∴AC＝AE＝8，△ABC的面积＝△ADE的面积， ∴四边形ABCD的面积＝△AEC的面积＝AC×AE＝×8×8＝32， 故答案为：32． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定及其性质、等腰直角三角形的性质等知识；解题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 9．如图，AD∥BC，AB∥CD，AE⊥AD，AF⊥AB，且AE＝AB，AF＝AD．求证：AC＝EF． 【分析】由“SAS”可证△EAF≌△ABC，可得AC＝EF． 【解答】证明：∵AD∥BC，AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，∠DAB+∠B＝180°， ∴AF＝AD＝BC， ∵AE⊥AD，AF⊥AB， ∴∠DAE＝∠FAB＝90°， ∴∠DAB+∠EAF＝180°， ∴∠EAF＝∠B， 在△EAF和△ABC中， ， ∴△EAF≌△ABC（SAS）， ∴AC＝EF． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，掌握全等三角形的判定是本题的关键． 10．如图，AE，BD相交于点C，AC＝EC，BC＝DC，AB＝4cm，点P从点A出发，沿A→B→A方向以3cm/s的速度匀速运动，点Q从点D出发，沿D→E方向以1cm/s的速度匀速运动．P，Q两点同时出发，当点P回到点A时，P，Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t（s）． （1）当t＝1s时，AP＝　3　cm，当t＝2s时，AP＝　2　cm； （2）求证：AB∥DE； （3）连接PQ，当线段PQ经过点C时，DQ的长为 　1或2　cm． 【分析】（1）根据路程，速度，时间之间的关系求解即可； （2）证明△ABC≌△EDC（SAS），推出∠A＝∠E，可得结论； （3）证明△ACP≌△ECQ（ASA），推出AP＝EQ，分两种情形，分别构建方程求解． 【解答】（1）解：当t＝1时，AP＝3cm，t＝2时，AP＝4﹣（6﹣4）＝2cm， 故答案为：3，2； （2）证明：在△ABC和△EDC中， ， ∴△ABC≌△EDC（SAS）， ∴∠A＝∠E， ∴AB∥DE； （3）解：根据题意得DQ＝t cm， 则EQ＝（4﹣t）cm， 由（1）得：∠A＝∠E，ED＝AB＝4cm， 在△ACP和△ECQ中， ， ∴△ACP≌△ECQ（ASA）， ∴AP＝EQ， 当0≤t≤4时，3t＝4﹣t， 解得：t＝1； 当4＜t≤8时，8﹣3t＝4﹣t， 解得：t＝2； 综上所述，当线段PQ经过点C时，t的值为1或2． 故答案为：1或2． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，列代数式，一元一次方程的应用，解决本题的关键是得到△ACP≌△ECQ． 1.3.3探索三角形全等的条件（AAS） 课程目标 1.理解并会运用角角边（AAS）来判定两个三角形全等； 2.规范书写证明过程. 重难点 1.理解并会运用角角边（AAS）来判定两个三角形全等； 基础巩固 1．下列条件中，不能判定△ABC≌△DEF的是（　　） A．AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EF B．∠A＝∠D，AB＝DE，∠B＝∠E C．∠B＝∠E，∠C＝∠F，AC＝DF D．BC＝EF，AC＝DF，∠A＝∠D 【分析】根据全等三角形的判定定理逐个判断即可． 【解答】解： A．AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EF，符合全等三角形的判定定理SAS，能证明△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意； B．∠A＝∠D，AB＝DE，∠B＝∠E，符合全等三角形的判定定理ASA，能证明△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意； C．∠C＝∠F，∠B＝∠E，BC＝EF，符合全等三角形的判定定理AAS，能证明△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意； D．BC＝EF，AC＝DF，∠A＝∠D，不符合全等三角形的判定定理，能证明△ABC≌△DEF，故本选项符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了全等三角形的判定，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL． 2．下列命题：①有两个角和一个角的对边对应相等的两个三角形全等；②有一边和一个角对应相等的两个等腰三角形全等；③有一边对应相等的两个等边三角形全等；④一个锐角和其所对的直角边对应相等的两个直角三角形全等．其中是真命题的是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【分析】根据全等三角形的判定定理（SAS，ASA，AAS，SSS）判断即可． 【解答】解：∵有两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等符合AAS定理，∴①正确； ∵有一边和一个角对应相等的两个等腰三角形不一定全等，∴②错误； ∵根据等边三角形的三边都相等，推出有一边相等的两个等边三角形的三边都相等，即符合SSS定理，∴③正确； ∵一个锐角和其所对的直角边对应相等的两个直角三角形符合AAS定理，∴④正确； 故选：C． 【点评】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS． 3. 如图，OB平分∠AOC，D、E、F分别是射线OA、射线OB、射线OC上的点，D、E、F与O点都不重合，连接ED、EF，要使得△DOE≌△FOE． （1）若以“SAS”为依据，则可添加的条件是 　 　； （2）若以“ASA”为依据，则可添加的条件是 　 　； （3）若以“AAS”为依据，则可添加的条件是 　 　． 【考点】全等三角形的判定．版权所有 【分析】根据OB平分∠AOC，可得∠AOB＝∠COB，再结合OE＝OE，根据全等三角形的判定解答即可． 【解答】解：∵OB平分∠AOC， ∴∠AOB＝∠COB， ∵OE＝OE， （1）添加OD＝OF，利用SAS证得△DOE≌△FOE； （2）添加∠OED＝∠OEF，利用ASA证得△DOE≌△FOE； （3）添加∠ODE＝∠OFE，可利用AAS证得△DOE≌△FOE； 故答案为：OD＝OF；∠OED＝∠OEF；∠ODE＝∠OFE 【点评】本题考查三角形全等的判断，理解全等图形中边和角的对应关系是解题的关键． 4．如图，在∠AOB中，OM平分∠AOB，MA⊥OA，垂足为A，MB⊥OB，垂足为B．若∠MAB＝20°，则∠AOB的度数为（　　） A．20° B．25° C．30° D．40° 【分析】由“AAS”可证△AOM≌△BOM，可得OB＝OA，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求解． 【解答】解：∵OM平分∠AOB， ∴∠AOM＝∠BOM， ∵MA⊥OA，MB⊥OB， ∴∠MAO＝∠MBO＝90°， ∵∠MAB＝20°， ∴∠OAB＝70°， 在△AOM和△BOM中， ， ∴△AOM≌△BOM（AAS）， ∴OB＝OA， ∴∠OAB＝∠OBA＝70°， ∴∠AOB＝40°， 故选：D． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 5．如图，AB＝AC，∠BAC＝90°，BM⊥AD于点M，CN⊥AD于点N，CN＝6，MB＝2，则NM的长　　． 【分析】由直角三角形的性质得出∠ACN＝∠BAM，证明△ABM≌△CAN（AAS）,由全等三角形的性质得出MB＝AN＝2,CN＝AM＝6,则可得出答案． 【解答】解:∵BM⊥AM,AN⊥CN, ∴∠AMB＝∠ANC＝90°, ∴∠CAN+∠ACN＝90°，∠CAN+∠BAM＝90°， ∴∠ACN＝∠BAM， 在△ABM和△CAN中， ， ∴△ABM≌△CAN（AAS）, ∴MB＝AN＝2,CN＝AM＝6, ∴MN＝AM﹣AN＝6﹣2＝4． 故答案为:4． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质,直角三角形的性质,熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 6．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线DE经过点A，CE⊥ED，BD⊥ED，CE＝5，BD＝3，则ED＝　 　． 【分析】先根据条件可以得出△AEC≌△BDA，就有CE＝DA，AE＝BD而得出ED的值． 【解答】解：∵CE⊥ED，BD⊥ED， ∴∠E＝∠D＝90°， ∴∠ACE+∠EAC＝90°． ∵∠BAC＝90°， ∴∠EAC+∠BAD＝90°， ∴∠ACE＝∠BAD． 在△AEC和△BDA中， ， ∴△AEC≌△BDA（ASA）． ∴CE＝DA，AE＝BD． ∵ED＝EA+AD， ∴ED＝CE+BD． ∵CE＝5，BD＝3， ∴ED＝5+3＝8． 故答案为：8． 【点评】本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键． 7. 如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是点D，E，若AD＝3，BE＝1，则DE的长是（　　） A． B．2 C．3 D．4 【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．版权所有 【分析】根据已知条件可以得出∠E＝∠ADC＝90°，进而得出△CEB≌△ADC，就可以得出BE＝DC，就可以求出DE的值． 【解答】解：∵BE⊥CE，AD⊥CE， ∴∠E＝∠ADC＝90°， ∴∠EBC+∠BCE＝90°． ∵∠BCE+∠ACD＝90°， ∴∠EBC＝∠DCA． 在△CEB和△ADC中， ， ∴△CEB≌△ADC（AAS）， ∴BE＝DC＝1，CE＝AD＝3． ∴DE＝EC﹣CD＝3﹣1＝2． 故选：B． 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键，学会正确寻找全等三角形，属于中考常考题型． 8. 如图，AB⊥CD，且AB＝CD；E、F是AD上的两点，连接CE，BF，CE⊥AD，BF⊥AD，若CE＝a，BF＝b，EF＝c，则AD的长为（　　） A．a﹣b+c B．a+b﹣c C．a+c D．b+c 【考点】全等三角形的判定与性质．版权所有 【分析】由余角的性质可得∠A＝∠C，由“AAS”可证△ABF≌△CDE，可得AF＝CE＝a，BF＝DE＝b，可得AD的长． 【解答】解：∵AB⊥CD，CE⊥AD，BF⊥AD， ∴∠AFB＝∠CED＝90°，∠A+∠D＝90°，∠C+∠D＝90°， ∴∠A＝∠C， 在△ABF和△CDE中， ， ∴△ABF≌△CDE（AAS）， ∴AF＝CE＝a，BF＝DE＝b， ∵EF＝c， ∴AD＝AF+DF＝a+（b﹣c）＝a+b﹣c． 故选：B． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明△ABF≌△CDE是解本题的关键． 9．如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D，E，AD与CE交于点F．已知EF＝EB＝3，AE＝4，则CF的长是（　　） A． B．1 C． D．2 【分析】先利用等角的余角相等得到∠BAD＝∠BCE，则可根据“AAS”证明△BCE≌△FAE，则CE＝AE＝4，然后计算CE﹣HE即可． 【解答】解：∵AD⊥BC，CE⊥AB， ∴∠BEC＝∠ADB＝90°， ∵∠BAD+∠B＝90°，∠BCE+∠B＝90°， ∴∠BAD＝∠BCE， 在△BCE和△FAE中， ， ∴△BCE≌△FAE（AAS）， ∴CE＝AE＝4， ∴CF＝CE﹣FE＝4﹣3＝1． 故选：B． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到△BCE≌△FAE． 10．如图，已知CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为点D，E，且AB＝AC，BE交CD于点O． （1）求证：DB＝EC． （2）求证：AO平分∠BAC． 【分析】（1）根据垂直的定义得到∠ADC＝∠AEB＝90°，根据全等三角形的性质即可得到结论； （2）根据垂直的定义得到∠BDO＝∠CEO＝90°，根据全等三角形的性质得到OD＝OE，根据角平分线的性质即可得到结论． 【解答】（1）证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC， ∴∠ADC＝∠AEB＝90°， 在△ADC和△AEB中， ， ∴△ADC≌△AEB（AAS）， ∴AD＝AE， ∴AB﹣AD＝AC﹣AE， 即DB＝EC； （2）证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC， ∴∠BDO＝∠CEO＝90°， 在△BDO和△CEO中， ， ∴△BDO≌△CEO（AAS）， ∴OD＝OE， ∵CD⊥AB，BE⊥AC， ∴AO平分∠BAC． 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会理由两次全等解决问题，属于中考常考题型． 拓展提优 11．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为AB边上一点，点F在BC边上，且BF＝1，将点E绕着点F顺时针旋转90°得到点G，连接DG，则DG的长的最小值为 　 　． 【分析】过点G作GH⊥BC，垂足为H，可得∠GHF＝90°，根据正方形的性质可得AB＝CD＝4，∠B＝90°，根据旋转的性质可得，EF＝FG，∠EFG＝90°，然后利用同角的余角相等可得∠BEF＝∠GFH，从而可证△EBF≌△FHG，进而可得BF＝GH＝1，最后可得点G在与BC平行且与BC的距离为1的直线上，从而可得当点G在边CD上时，DG的值最小，进行计算即可解答． 【解答】解：过点G作GH⊥BC，垂足为H， ∴∠GHF＝90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝CD＝4，∠B＝90° ∴∠B＝∠GHF＝90°， 由旋转得：EF＝FG，∠EFG＝90°， ∴∠EFB+∠GFH＝90°， ∵∠BEF+∠BFE＝90°， ∴∠BEF＝∠GFH， ∴△EBF≌△FHG（AAS）， ∴BF＝GH＝1， ∴点G在与BC平行且与BC的距离为1的直线上， ∴当点G在CD边上时，DG最小且DG＝4﹣1＝3， ∴DG的最小值为3， 故答案为：3． 【点评】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 12. 如图，AE⊥AB，且AE＝AB，BC⊥CD，且BC＝CD，EF⊥AC，BG⊥AC，DH⊥AC垂足分别是F、G、H，请按照图中所标注的数据：EF＝6，BG＝3，DH＝4．计算图中实线所围成的图形的面积S是　 　． 【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．版权所有 【分析】易证△AEF≌△BAG，△BCG≌△CDH即可求得AF＝BG，AG＝EF，GC＝DH，BG＝CH，即可求得梯形DEFH的面积和△AEF，△ABG，△CGB，△CDH的面积，即可解题． 【解答】解：∵∠EAF+∠BAG＝90°，∠EAF+∠AEF＝90°， ∴∠BAG＝∠AEF， ∵在△AEF和△BAG中， ， ∴△AEF≌△BAG（AAS） 同理△BCG≌△CDH， ∴AF＝BG，AG＝EF，GC＝DH，BG＝CH， ∵梯形DEFH的面积＝（EF+DH）•FH＝80， S△AEF＝S△ABG＝AF•AE＝9， S△BCG＝S△CDH＝CH•DH＝6， ∴图中实线所围成的图形的面积S＝80﹣2×9﹣2×6＝50， 故答案为：50 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，本题中求证△AEF≌△BAG，△BCG≌△CDH是解题的关键． 13．如图，有一张三角形纸片ABC，已知∠B＝∠C＝x°，按下列方案用剪刀沿着箭头方向剪开，可能得不到全等三角形纸片的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据全等三角形的判定定理进行判断． 【解答】解：A、由全等三角形的判定定理SAS证得图中两个小三角形全等， 故本选项不符合题意； B、由全等三角形的判定定理SAS证得图中两个小三角形全等， 故本选项不符合题意； C、如图1，∵∠DEC＝∠B+∠BDE， ∴x°+∠FEC＝x°+∠BDE， ∴∠FEC＝∠BDE， 所以其对应边应该是BE和CF，而已知给的是BD＝FC＝3， 所以不能判定两个小三角形全等，故本选项符合题意； D、如图2，∵∠DEC＝∠B+∠BDE， ∴x°+∠FEC＝x°+∠BDE， ∴∠FEC＝∠BDE， ∵BD＝EC＝2，∠B＝∠C， ∴△BDE≌△CEF， 所以能判定两个小三角形全等，故本选项不符合题意； 由于本题选择可能得不到全等三角形纸片的图形， 故选：C． 【点评】本题考查了全等三角形的判定，注意三角形边和角的对应关系是关键． 14．如图，在△ABC中，点D是BC上一点，且AD＝AB，AE∥BC，∠BAD＝∠CAE，连接DE交AC于点F． （1）若∠B＝80°，求∠C的度数； （2）若AE＝AC，DA平分∠BDE是否成立？请说明理由． 【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．版权所有 【分析】根据已知条件可以得出∠E＝∠ADC＝90°，进而得出△CEB≌△ADC，就可以得出BE＝DC，就可以求出DE的值． 【解答】解：∵BE⊥CE，AD⊥CE， ∴∠E＝∠ADC＝90°， ∴∠EBC+∠BCE＝90°． ∵∠BCE+∠ACD＝90°， ∴∠EBC＝∠DCA． 在△CEB和△ADC中， ， ∴△CEB≌△ADC（AAS）， ∴BE＝DC＝1，CE＝AD＝3． ∴DE＝EC﹣CD＝3﹣1＝2． 故选：B． 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键，学会正确寻找全等三角形，属于中考常考题型． 1.3.4探索三角形全等的条件SSS 课程目标 1.理解并会运用边边边（SSS）来判定两个三角形全等； 2.规范书写证明过程. 重难点 理解并会运用边边边（SSS）来判定两个三角形全等； 基础巩固 1. 如图，已知AB＝AC，BD＝CD，E是AD上的一点，则下列结论中不成立的是（　　） A．BE＝CE B．AE＝DE C．∠BAD＝∠CAD D．∠BED＝∠CED 【考点】全等三角形的判定与性质．版权所有 【分析】由△ADB≌△ADC，推出∠BAD＝∠CAD，∠BDE＝∠CDE，由△EDC≌△EDB，推出BE＝EC，∠BED＝∠CED，即可判断． 【解答】解：在△ADB和△ADC中， ， ∴△ADB≌△ADC， ∴∠BAD＝∠CAD，∠BDE＝∠CDE， 在△EDC和△EDB中， ， ∴△EDC≌△EDB， ∴BE＝EC，∠BED＝∠CED， 故A、C、D正确， 故选：B． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 2. 我国传统工艺中，油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着数学知识．如图是油纸伞的张开示意图，AE＝AF，GE＝GF，则△AEG≌△AFG的依据是（　　） A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS 3. 如图，小明家仿古家具的一块三角形形状的玻璃坏了，需要重新配一块，小明通过电话给玻璃店老板提供相关数据，为了方便表述，将该三角形记为△ABC，提供了下列各组元素的数据，配出来的玻璃不一定符合要求的是（　　） A．AB，BC，AC B．AB，BC，∠B C．AB，AC，∠B D．∠A，∠B，BC 【考点】全等三角形的应用．版权所有 【分析】直接利用全等三角形的判定方法分析得出答案． 【解答】解：A．利用三角形三边对应相等，两三角形全等，三角形形状确定，故此选项不合题意； B．利用三角形两边、且夹角对应相等，两三角形全等，三角形形状确定，故此选项不合题意； C．AB，AC，∠B，无法确定三角形的形状，故此选项符合题意； D．根据∠A，∠B，BC，三角形形状确定，故此选项不合题意； 故选：C． 【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键． 4．工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M、N重合，过角尺顶点C的射线OC便是∠AOB的平分线．工人师傅这么做的原理是一种三角形全等的判定方法，这种判定方法是（　　） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 【分析】由作图过程可得OM＝ON，NC＝MC，再加上公共边CO＝CO可利用SSS定理判定△MOC≌△NOC． 【解答】解：在△OMC和△ONC中， ， ∴△MOC≌△NOC（SSS）， ∴∠AOC＝∠BOC， 故选：A． 【点评】本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，无法证明三角形全等，本题是一道较为简单的题目． 5．三角形具有稳定性，就是当三角形的三边长确定时，三角形的形状和大小就确定了，其理论依据是（　　） A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS 【分析】根据全等三角形的判定逐一判断即可得． 【解答】解：当三角形的三边长确定时，三角形的形状和大小就确定了，其理论依据是SSS， 故选：D． 【点评】本题主要考查全等三角形的判定，解题的关键是掌握三条边分别对应相等的两个三角形全等． 6. 如图，在△ABC与△ADE中，E在BC边上，AD＝AB，AE＝AC，DE＝BC，若∠1＝25°，则∠DAB＝　25　°，∠2＝　25　°． 【考点】全等三角形的判定与性质．版权所有 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据SSS证明△ABC≌△ADE，进而根据三角形内角和即可求出结果． 【解答】解：如图， 在△ABC与△ADE中， ， ∴△ABC≌△ADE（SSS）， ∴∠B＝∠D，∠BAC＝∠DAE， ∵∠BAC﹣∠BAE＝∠DAE﹣∠BAE， ∴∠DAB＝∠1＝25°， ∵∠B＝∠D，∠BOE＝∠AOD， ∴∠2＝∠DAB＝25°． 故答案为：25，25． 【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质，理解等腰三角形的性质是解答此题的关键． 7. 如图，在△ABC和△BDE中，点C在边BD上，边AC交边BE于点F．若AC＝BD，AB＝ED，BC＝BE，则∠ACB等于（　　） A．∠EDB B．∠BED C．2∠ABF D．∠AFB 【考点】全等三角形的判定与性质．版权所有 【分析】根据全等三角形的判定与性质，可得∠ACB与∠DBE的关系，根据三角形外角的性质，可得答案． 【解答】解：在△ABC和△DEB中，， ∴△ABC≌△DEB （SSS）， ∴∠ACB＝∠DBE． ∵∠AFB是△BFC的外角， ∴∠ACB+∠DBE＝∠AFB， ∠ACB＝∠AFB， 故选：D． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质． 8.如图，在正方形方格纸中，∠α与∠β的度数和为 　90°　． 【考点】全等三角形的判定与性质．版权所有 【分析】首先判定△ABC≌△DEF，进而可得∠1＝α，再根据余角的性质可得答案． 【解答】解：在△ABC和DEF中， ， ∴△DAE≌△CAB（SSS）， ∴∠1＝∠α， ∵∠2+∠α＝90°， ∴∠1+∠2＝90°， 故答案为：90°． 【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． 9.如图，点E、F在线段AB上，AE＝BF，∠A＝∠B，AC＝BD，求证：∠C＝∠D． 【分析】利用SAS证明△AFC≌△BED，即可． 【解答】证明：∵AE＝BF， ∴AE+EF＝BF+EF， ∴AF＝BE， 在△AFC和△BED中 ， ∴△AFC≌△BED（SAS）， ∴∠C＝∠D． 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键． 10. 已知：如图，AC、DB相交于点O，AB＝DC，∠ABO＝∠DCO． （1）求证：△ABO≌△DCO； （2）若∠OBC＝34°，求∠OCB的度数． 【考点】全等三角形的判定与性质．版权所有 【分析】（1）根据AAS即可得出结论； （2）由△ABO≌△DCO，得出OB＝OC，即可推出结果． 【解答】（1）证明：在△ABO和△DCO中， ， ∴△ABO≌△DCO（AAS）； （2）解：由（1）知，△ABO≌△DCO， ∴OB＝OC， ∴∠OBC＝∠OCB＝34°． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 11. 已知：如图所示，AB＝AD，BC＝DC，E、F分别是DC、BC的中点，求证：AE＝AF． 【分析】连接AC，证△ACD≌△ACB可得∠ACE＝∠ACF，根据中点的性质知CE＝CF，利用“SAS”即可证明△ACE≌△ACF，可得AE＝AF． 【解答】证明：连接AC， 在△ACD和△ACB中， ∵， ∴△ACD≌△ACB（SSS）， ∴∠ACE＝∠ACF， ∵BC＝DC，E，F分别是DC、BC的中点， ∴CE＝CF， 在△ACE和△ACF中， ∵， ∴△ACE≌△ACF（SAS）， ∴AE＝AF． 【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△ACD≌△ACB和△ACE≌△ACF是解题的关键． 12. 如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，AC与BD相交于O点，OC＝OA，E是CD上任意一点，连接BE交AC于点F，连接DF． 求证：△CBF≌△CDF． 【分析】分析题意，此题中给出的相等线段较多，可以采用SSS证明三角形全等，再进一步利用全等的性质解决问题；要证明△CBF≌△CDF，根据CB＝CD以及公共边CF可得需要证明∠BCF＝∠DCF；而∠BCF和∠DCF还可以看作△ABC和△ADC的内角，观察图形需要证明△ABC和△ADC全等，由已知AB＝AD，CB＝CD以及公共边利用SSS可得△ABC≌△ADC，从而解决问题． 【解答】证明：在△ABC与△ADC中，AB＝AD，CB＝CD，AC＝AC， ∴△ABC≌△ADC（SSS）， ∴∠BCA＝∠DCA． 在△CBF与△CDF中，CB＝CD，∠BCA＝∠DCA，CF＝CF， ∴△CBF≌△CDF（SAS）． 【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）． 拓展提优 13. 如图，CA＝CB，AD＝BD，M、N分别是CA、CB的中点，若△ADM的面积为，则图中阴影部分的面积为 　3　． 【考点】全等三角形的判定与性质；三角形的面积．版权所有 【分析】连接CD，利用SSS证明△ACD≌△BCD，根据全等三角形的性质及三角形面积公式求解即可． 【解答】解：如图，连接CD， 在△ACD和△BCD中， ， ∴△ACD≌△BCD（SSS）， ∴S△ACD＝S△BCD， ∵M、N分别是CA、CB的中点， ∴S△ADM＝S△CDM＝S△ACD，S△BDN＝S△CDN＝S△BCD， ∴阴影部分的面积＝2S△ADM， ∵△ADM的面积为， ∴阴影部分的面积＝2×＝3， 故答案为：3． 【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键． 14. 如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，点E，F分别是BC，CD上的点，且EF＝BE+FD，连接AE，AF．延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG．若∠EAF＝55°，则∠FAG的度数为 　 　． 15. 在正方形方格纸中，每个小方格的顶点叫做格点，以格点的连线为边的三角形叫做格点三角形．如图是5×5的正方形方格纸，以点D，E为两个顶点作格点三角形，使所作的格点三角形与△ABC全等，这样的格点三角形最多可以画出（　　） A．2个 B．4个 C．6个 D．8个 16. 已知△ABC中，AB＝BC≠AC，作与△ABC只有一条公共边，且与△ABC全等的三角形，这样的三角形一共能作出（　　）个． A． 四个 B．五个 C．六个 D．七个 17．已知：如图，AB＝AC，DB＝DC，点E在AD上．下列结论：①∠BAD＝∠CAD；②△ABE≌△ACE；③△DBE≌△DCE．其中正确的是　①②③　（填序号） 【分析】判定△ABD≌△ACD（SSS），即可得到∠BAD＝∠CAD，故①正确；判定△ABE≌△ACE，即可得到②正确；判定△DBE≌△DCE（SSS），即可得到③正确． 【解答】解：∵AB＝AC，DB＝DC，AD＝AD， ∴△ABD≌△ACD（SSS）， ∴∠BAD＝∠CAD，故①正确； 又∵AB＝AC，AE＝AE， ∴△ABE≌△ACE，故②正确； ∴BE＝CE， 又∵BD＝CD，DE＝DE， ∴△DBE≌△DCE（SSS），故③正确． 故答案为：①②③． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边． 18．如图，已知五边形ABCDE中，∠ABC＝∠AED＝90°，AB＝CD＝AE＝BC+DE＝2，则五边形ABCDE的面积为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】可延长DE至F，使EF＝BC，可得△ABC≌△AEF，连AC，AD，AF，可将五边形ABCDE的面积转化为两个△ADF的面积，进而求出结论． 【解答】解：延长DE至F，使EF＝BC，连AC，AD，AF， ∵AB＝CD＝AE＝BC+DE，∠ABC＝∠AED＝90°， 由题中条件可得Rt△ABC≌Rt△AEF，△ACD≌△AFD， ∴SABCDE＝2S△ADF＝2וDF•AE＝2××2×2＝4． 故选：C． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及三角形面积的计算，注意对基础知识的熟练掌握及综合运用． 19．如图，D是四边形AEBC内一点，连接AD、BD，已知CA＝CB，DA＝DB，EA＝EB． （1）C、D、E三点在一条直线上吗？为什么？ （2）如果AB＝24，AD＝13，CA＝20，那么CD的长是多少？ 【分析】（1）连接CD．ED，通过证明△ADC≌△BDC，△ADE≌△BDE就可以得出结论； （2）连接AB，就可以得出AE＝BE，CE⊥AB，由勾股定理就可以求出CD的值． 【解答】解：（1）C、D、E三点在一条直线上． 理由：连接CD．ED， 在△ADC和△BDC中 ， ∴△ADC≌△BDC（SSS）， ∴∠ADC＝∠BDC．∠ACD＝∠BCD． 在△ADE和△BDE中 ， ∴△ADE≌△BDE（SSS）， ∴∠ADE＝∠BDE． ∵∠ADC+∠BDC+∠ADE+∠BDE＝360°， ∴2∠ADC+2∠ADE＝360°， ∴∠ADC+∠ADE＝180°， ∴C、D、E三点在一条直线上； （2）连接AB， ∵AC＝BC，∠ACD＝∠BCD， ∴AF＝BF＝AB，CF⊥AB． ∵AB＝24， ∴AF＝12． ∵AD＝13，CA＝20， ∴在Rt△ADF和△AFC中，由勾股定理，得 FD＝5，FC＝16， ∴CD＝16﹣5＝11． 答：CD的长是11． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质的运用，勾股定理的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键． 20. 如图，在四边形ABCD中，CB⊥AB于点B，CD⊥AD于点D，点E，F分别在AB，AD上，AE＝AF，CE＝CF． （1）求证：CB＝CD； （2）若AE＝8，CD＝6，求四边形AECF的面积； （3）猜想∠DAB，∠ECF，∠DFC三者之间的数量关系，并证明你的猜想． 【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．版权所有 【分析】（1）连接AC，利用SSS证明△ACE≌△ACF即可得出结论， （2）先证明△ACE≌△ACF，再根据面积相等即可解决问题； （3）结合（2）可得∠FCA＝∠ECA，∠FAC＝∠EAC，∠AFC＝∠AEC．进而可以解决问题． 【解答】解：（1）如图，连接AC， 在△ACE 和△ACF中， ∵， ∴△ACE≌△ACF（SSS）， 则∠FAC＝∠EAC， ∵CB⊥AB，CD⊥AD， ∴∠B＝∠D＝90°， ∵AC＝AC， ∴△ACB≌△ACD（AAS）， ∴CB＝CD， （2）由（1）得△ACE≌△ACF，CB＝CD， ∵AE＝8，CD＝6， ， ∴S四边形AECF＝S△ACF+S△ACE＝24+24＝48； （3）猜想∠DAB+∠ECF＝2∠DFC， 证明：∵△ACE≌△ACF， ∴∠EAC＝∠FAC，∠ACE＝∠ACF， ∵∠DAB＝∠FAC+∠EAC，∠ECF＝∠ACF+∠ACE， ∴∠DAB+∠ECF＝∠FAC+∠EAC+∠ACF+∠ACE， ＝2∠FAC+2∠ACF ＝2（∠FAC+∠ACF） ∵∠DFC＝∠FAC+∠ACF， ∴∠DAB+∠ECF＝2∠DFC． 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、三角形的面积，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，学会转化的思想，求高想到求面积，属于中考常考题型． 1.3.5 探索三角形全等的条件 课程目标 1.理解并会运用直角边、斜边（HL）来判定两个三角形全等； 2.规范书写证明过程. 重难点 理解并会运用直角边、斜边（HL）来判定两个三角形全等 基础巩固 1.下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（　　） A．一个锐角和斜边对应相等 B．两条直角边对应相等 C．两个锐角对应相等 D．斜边和一条直角边对应相等 【分析】根据已知及全等三角形的判定方法进行分析，从而得到答案． 【解答】解：A、一个锐角和斜边对应相等，正确，符合AAS， B、两条直角边对应相等，正确，符合判定SAS； C、不正确，全等三角形的判定必须有边的参与； D、斜边和一条直角边对应相等，正确，符合判定HL． 故选：C． 【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL． 注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 2.如图，已知AC⊥BD于点P，AP＝CP，请增加一个条件，使△ABP≌△CDP（不能添加辅助线）． （1）若以“SAS”为依据，则可添加条件 　PB＝PD　； （2）若以“HL”为依据，则可添加条件 　AB＝CD　； （3）若以“ASA”为依据，则可添加条件 　∠A＝∠C　； （4）若以“AAS”为依据，则可添加条件 　∠B＝∠D　． 【考点】全等三角形的判定．版权所有 【分析】由全等三角形的判定方法即可判断． 【解答】解：∵AC⊥BD， ∴∠APB＝∠CPB＝90°， 由AP＝CP，∠APB＝CPB，增加一个条件，使△ABP≌△CDP， （1）“SAS”为依据，则可添加条件PB＝PD； （2）若以“HL”为依据，则可添加条件AB＝CD； （3）若以“ASA”为依据，则可添加条件∠A＝∠C； （4）若以“AAS”为依据，则可添加条件∠B＝∠D． 【点评】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法：SAS、ASA、AAS、SSS、HL． 3.如图，在△ABC中AD⊥BC于点D，E为AC上一点连结BE交AD于点F，若BF＝AC，DF＝DC，则∠1与∠2的和为（　　） A．35° B．40° C．45° D．50° 【分析】由AD⊥BC于点D，得∠BDF＝∠ADC＝90°，即可根据直角三角形全等的判定定理“HL”证明Rt△BDF≌Rt△ADC，得∠DBF＝∠2，BD＝AD，则∠1+∠2＝∠1+∠DBF＝∠DBA＝45°，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵AD⊥BC于点D， ∴∠BDF＝∠ADC＝90°， 在Rt△BDF和Rt△ADC中， ， ∴Rt△BDF≌Rt△ADC（HL）， ∴∠DBF＝∠2，BD＝AD， ∴∠DBA＝∠DAB＝45°， ∴∠1+∠2＝∠1+∠DBF＝∠DBA＝45°， ∴∠1与∠2的和为45°， 故选：C． 【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质、“等边对等角”、直角三角形的两个锐角互余等知识，证明Rt△BDF≌Rt△ADC是解题的关键． 4.如图，幼儿园的滑梯中有两个长度相等的梯子（BC＝EF），且AC＝DF，已知AC⊥BF，ED⊥BF，则∠B+∠F＝　90　°． 【考点】全等三角形的应用．版权所有 【分析】利用HL证明Rt△ABC≌Rt△DEF得到∠F＝∠ACB，则∠B+∠F＝∠B+∠ACB＝90°． 【解答】解：∵AC⊥BF，ED⊥BF， ∴∠BAC＝∠EDF＝90°， ∴∠B+∠ACB＝90°， ∵BC＝EF，AC＝DF， ∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）， ∴∠F＝∠ACB， ∴∠B+∠F＝∠B+∠ACB＝90°， 故答案为：90． 【点评】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，掌握其性质定理是解决此题的关键． 5.如图，在△ABC中，∠A＝90°，D为BC上点且CD＝CA，DE⊥BC．若AB＝5cm，DE＝2cm，则BE＝　3　cm． 【考点】全等三角形的判定与性质．版权所有 【分析】连接CE，由HL证得Rt△CDE≌Rt△CAE，得出DE＝AE＝2cm，即可得出结果． 【解答】解：如图，连接CE， ∵DE⊥BC， ∴∠CDE＝90°， 在Rt△CDE和Rt△CAE中， ， ∴Rt△CDE≌Rt△CAE（HL）， ∴DE＝AE＝2（cm）， ∴BE＝AB﹣AE＝5﹣2＝3（cm）， 故答案为：3． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，由“HL”证明Rt△CDE≌Rt△CAE是解题的关键． 6.如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE＝3cm，则BF的长为（　　） A．6cm B．7cm C．8cm D．以上答案都不对 【分析】先利用HL证明Rt△ADB≌Rt△ADC，得出S△ABC＝2S△ABD＝2×AB•DE＝AB•DE＝3AB，又S△ABC＝AC•BF，将AC＝AB代入即可求出BF． 【解答】解：在Rt△ADB与Rt△ADC中， ， ∴Rt△ADB≌Rt△ADC（HL）， ∴S△ABC＝2S△ABD＝2×AB•DE＝AB•DE＝3AB， ∵S△ABC＝AC•BF， ∴AC•BF＝3AB， ∵AC＝AB， ∴BF＝3（cm）， ∴BF＝6（cm）． 故选：A． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的面积，利用面积公式得出等式是解题的关键． 是解题的关键． 7.如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF； （1）求证：Rt△ABE≌Rt△CBF； （2）求证：AB＝CE+BF； （3）若∠CAE＝30°，求∠ACF度数． 【考点】全等三角形的判定与性质．版权所有 【分析】（1）根据在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF，可以得到Rt△ABE和Rt△CBF全等的条件，从而可以证明Rt△ABE≌Rt△CBF； （2）根据Rt△ABE≌Rt△CBF，可以得到AB＝BC，BE＝BF，然后即可转化为AB、CE、BF的关系，从而可以证明所要证明的结论； （3）根据Rt△ABE≌Rt△CBF，AB＝CB，∠CAE＝30°，可以得到∠ACF的度数． 【解答】（1）证明：∵∠ABC＝90°， ∴∠ABE＝∠CBF＝90°， 在Rt△ABE和Rt△CBF中， ， ∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL）； （2）证明：∵Rt△ABE≌Rt△CBF， ∴AB＝BC，BE＝BF， ∵BC＝BE+CE， ∴AB＝CE+BF． （3）∵AB＝CB，∠ABC＝90°，∠CAE＝30°，∠CAB＝∠CAE+∠EAB， ∴∠BCA＝∠BAC＝45°， ∴∠EAB＝15°， ∵Rt△ABE≌Rt△CBF， ∴∠EAB＝∠FCB， ∴∠FCB＝15°， ∴∠ACF＝∠FCB+∠BCA＝15°+45°＝60°， 即∠ACF＝60°． 【点评】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是明确题意，找出所要证明结论需要的条件． 8.四边形ABCD中，AD＝BC，BE＝DF，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F． （1）求证：△ADE≌△CBF； （2）若AC与BD相交于点O，求证：AO＝CO． 【考点】全等三角形的判定与性质．版权所有 【分析】（1）根据已知条件得到BF＝DE，由垂直的定义得到∠AED＝∠CFB＝90°，根据全等三角形的判定定理即可得到结论； （2）如图，连接AC交BD于O，根据全等三角形的性质得到∠ADE＝∠CBF，由平行线的判定得到AD∥BC，根据平行四边形的性质即可得到结论． 【解答】证明：（1）∵BE＝DF， ∴BE﹣EF＝DF﹣EF， 即BF＝DE， ∵AE⊥BD，CF⊥BD， ∴∠AED＝∠CFB＝90°， 在Rt△ADE与Rt△CBF中，， ∴Rt△ADE≌Rt△CBF； （2）如图，连接AC交BD于O， ∵Rt△ADE≌Rt△CBF， ∴∠ADE＝∠CBF， ∴AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴AO＝CO． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 9.如图，已知AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，如果AD＝AF，AC＝AE． 求证：BC＝BE． 【考点】直角三角形全等的判定；全等三角形的性质．版权所有 【分析】根据“HL”证Rt△ADC≌Rt△AFE，∴CD＝EF，再根据“HL”证Rt△ABD≌Rt△ABF，∴BD＝BF，∴BD﹣CD＝BF﹣EF，即BC＝BE． 【解答】证明：在Rt△ADC和Rt△AFE中， ， ∴Rt△ADC≌Rt△AFE（HL）． ∴CD＝EF． 在Rt△ABD和Rt△ABF中， ， ∴Rt△ABD≌Rt△ABF（HL）． ∴BD＝BF． ∴BD﹣CD＝BF﹣EF． 即BC＝BE． 【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．利用三角形全等提供的条件证明三角形全等是常见的方法，注意掌握． 拓展提优 10.如（1）图，由已知AB⊥BD，ED⊥BD，AB＝CD，BC＝DE可证得AC⊥CE，若将CD沿CB方向平移到图（2）（3）（4）（5）的情形，其余条件不变，则这四种情况下，结论AC1⊥C2E仍然成立的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】由题中条件可得出Rt△ABC≌Rt△CDE，所以∠ECD+∠ACB＝90°，而在后面的几种情况中，只要满足两个角之和为90°即可． 【解答】解：由题意可得，△ABC≌△CDE，∠ECD+∠ACB＝90°， 而（2），（3），（4），（5）均满足∠EC2D+∠AC1B＝90° ∴（2），（3），（4），（5）均成立 故选：D． 【点评】熟练掌握直角三角形的判定． 11.△ABC和△DEF中，AB＝DE，AC＝DF，∠C＝50°，AM、DN分别为BC、EF边的高，且AM＝DN，则∠F的度数为 　50°或130°　． 【考点】全等三角形的判定与性质；三角形的角平分线、中线和高．版权所有 【分析】分别画出两个三角形，①AM、DN都在三角形内部，根据直角三角形全等的判定定理（HL）可得出Rt△ACM≌Rt△DFN，从而可得出∠ABC＝∠DEF；②AM、DN有一个在三角形的外部，可证明Rt△ACM≌Rt△DFN，可求得∠DFN＝∠ACM＝60°，然后可求得∠DFE的度数． 【解答】解：如图1所示： ∵AM、DN分别为BC、EF边上的高， ∴△ACM和△DFN均为直角三角形． ∵在Rt△ACM和Rt△DFN中， ， ∴Rt△ACM≌Rt△DFN（HL）． ∴∠DFE＝∠ACB＝50°． 如图2所示： ∵AM、DN分别为BC、EF边上的高， ∴△ACM和△DFN均为直角三角形． ∵在Rt△ACM和Rt△DFN中， ， ∴Rt△ACM≌Rt△DFN（HL）． ∴∠DFN＝∠ACB＝50°． ∴∠DFE＝130°． 故答案为：50°或130°． 【点评】本题考查全等三角形的判定及性质，需要掌握三角形的判定定理包括：SAS，AAS，ASA，SSS，HL（直角三角形的判定），注意AAA，SSA不能判定全等，分类画出图形是解题的关键． 12.如图，正方形ABCD的顶点B在直线l上，将直线l向上平移线段AB的长得到直线m，直线m分别交AD，CD于点E，F．若求△DEF的周长，则只需知道（　　） A．AB的长 B．FE的长 C．DE的长 D．DF的长 【考点】正方形的性质；平移的性质；勾股定理．版权所有 【分析】过B作BH⊥m于H，连接BE，BF，然后利用已知条件可以证明Rt△AEB≌Rt△HEB（HL），Rt△FCB≌Rt△FHB（HL），接着利用全等三角形的性质即可解决问题． 【解答】解：过B作BH⊥m于H，连接BE，BF， ∵直线l向上平移线段AB的长得到直线m， ∴AH＝AB， 而∠A＝∠BHE＝90°，EB＝EB， ∴Rt△AEB≌Rt△HEB（HL）， ∴AE＝EH， 同理Rt△FCB≌Rt△FHB（HL）， ∴HF＝CF， ∴△DEF的周长为：DE+EF+DF＝DE+EH+HF+DF＝DE+AE+DF+CF＝AD+CD＝2AB． ∴求△DEF的周长，则只需知道AB的长． 故选：A． 【点评】本题主要考查了平移的性质和全等三角形的性质和判定，同时也利用了三角形周长的定义，综合性比较强． 13.如图，在△ADE和△ABC中，∠E＝∠C，DE＝BC，EA＝CA，过A作AF⊥DE，垂足为F，DE交CB的延长线于点G，连接AG．四边形DGBA的面积为12，AF＝4，则FG的长是 　3　． 【考点】全等三角形的判定与性质．版权所有 【分析】过点A作AH⊥BC于H，判定△ABC≌△AED，得出AF＝AH，再判定Rt△AFG≌Rt△AHG，判定Rt△ADF≌Rt△ABH，得出S四边形DGBA＝S四边形AFGH＝12，再根据Rt△AFG≌Rt△AHG，求得Rt△AFG的面积＝6，进而得到FG的长． 【解答】解：过点A作AH⊥BC于H，如图所示： 在△ABC与△AED中， ， ∴△ABC≌△ADE（SAS）， ∴AD＝AB，S△ABC＝S△AED， 又∵AF⊥DE， 即×DE×AF＝×BC×AH， ∴AF＝AH， 又∵AF⊥DE，AH⊥BC， ∴在Rt△AFG和Rt△AHG中， ∴Rt△AFG≌Rt△AHG（HL）， 同理：Rt△ADF≌Rt△ABH（HL）， ∴S四边形DGBA＝S四边形AFGH＝12， ∵Rt△AFG≌Rt△AHG， ∴Rt△AFG的面积＝6， ∵AF＝4， ∴×FG×4＝6， 解得：FG＝3； 故答案为：3． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，解题时注意：全等三角形的面积相等． 14.如图，AD是△ABC的中线，BE⊥AD，垂足为E，CF⊥AD，交AD的延长线于点F，G是DA延长线上的一点，连接BG． （1）求证：BE＝CF； （2）若GA＝2DE，求证：△BEG≌△CFA． 【分析】（1）利用AAS证明△BED≌△CFD，得BE＝CF； （2）利用HL证明Rt△BGE≌Rt△CAF，从而解决问题． 【解答】证明：（1）∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝CD， ∵BE⊥AD，CF⊥AD， ∴∠BED＝∠F， 在△BED和△CFD中， ， ∴△BED≌△CFD（AAS）， ∴BE＝CF； （2）∵△BED≌△CFD， ∴DE＝DF， ∵AG＝2DE， ∴AG＝EF， ∴EG＝AF， 在Rt△BGE和Rt△CAF中， ， ∴Rt△BGE≌Rt△CAF（HL）． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，利用HL证明Rt△BGE≌Rt△CAF是解题的关键． 15.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝7cm，BC＝3cm，CD为AB边上的高，点E从点B出发，在直线BC上以2cm的速度移动，过点E作BC的垂线交直线CD于点F，当点E运动 　2或5　s时，CF＝AB． 【分析】先证明△CEF≌△ACB（AAS），得出CE＝AC＝7cm，①当点E在射线BC上移动时，BE＝CE+BC＝10cm，即可求出E移动了5s；②当点E在射线CB上移动时，CE′＝AC﹣BC＝4cm，即可求出E移动了2s． 【解答】解：∵∠ACB＝90°， ∴∠A+∠CBD＝90°， ∵CD为AB边上的高， ∴∠CDB＝90°， ∴∠BCD+∠CBD＝90°， ∴∠A＝∠BCD， ∵∠BCD＝∠ECF， ∴∠ECF＝∠A， ∵过点E作BC的垂线交直线CD于点F， ∴∠CEF＝90°＝∠ACB， 在△CEF和△ACB中， ， ∴△CEF≌△ACB（AAS）， ∴CE＝AC＝7cm， ①如图，当点E在射线BC上移动时，BE＝CE+BC＝7+3＝10（cm）， ∵点E从点B出发，在直线BC上以2cm的速度移动， ∴E移动了：＝5（s）； ②当点E在射线CB上移动时，CE′＝AC﹣BC＝7﹣3＝4（cm）， ∵点E从点B出发，在直线BC上以2cm的速度移动， ∴E移动了：＝2（s）； 综上所述，当点E在射线CB上移动5s或2s时，CF＝AB； 故答案为：2或5． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练正确全等三角形的判定和性质是解题的关键． 16.如图，在△ABC中，AC＝BC，过点B作射线BF，在射线BF上取一点E，连接AE，使得∠CBF＝∠CAE，过点C作射线BF的垂线，垂足为D，若DE＝2，AE＝4，则BD的长度为（　　） A．7 B．6 C．4 D．2 【分析】连接CE，过点C作CM⊥AE交AE于M，利用全等三角形的性质证明BD＝AM，DE＝EM即可解决问题． 【解答】解：如图，连接CE，过点C作CM⊥AE交AE于M． ∵CD⊥BF，CM⊥AM， ∴∠CDB＝∠M＝90°， 在△CDB与△CMA中， ， ∴△CDB≌△CMA（AAS）， ∴CM＝CD，BD＝AM， ∵∠M＝∠CDE＝90°， 在Rt△CED与Rt△CEM中， ， ∴Rt△CED≌Rt△CEM（HL）， ∴DE＝EM＝2， ∴BD＝AM＝AE+EM＝AE+DE＝2+4＝6， 故选：B． 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 17.如图，四边形ABCD中，∠BAD＝∠C＝90°，AB＝AD，AE⊥BC，垂足为E．若线段AE＝5，则S四边形ABCD＝（　　） A．20 B．25 C．18 D．24 【分析】过A点作AF⊥CD交CD的延长线于F点，由AE⊥BC，AF⊥CF，∠C＝90°可得四边形AECF为矩形，则∠2+∠3＝90°，而∠BAD＝90°，根据等角的余角相等得∠1＝∠3，加上∠AEB＝∠AFD＝90°和AB＝AD，根据全等三角形的判定可得△ABE≌△ADF，由全等三角形的性质有AE＝AF＝5，S△ABE＝S△ADF，则S四边形ABCD＝S正方形AECF，然后根据正方形的面积公式计算即可． 【解答】解：过A点作AF⊥CD交CD的延长线于F点，如图， ∵AE⊥BC，AF⊥CF， ∴∠AEC＝∠CFA＝90°， 而∠C＝90°， ∴四边形AECF为矩形， ∴∠2+∠3＝90°， 又∵∠BAD＝90°， ∴∠1＝∠3， 在△ABE和△ADF中， ， ∴△ABE≌△ADF（AAS）， ∴AE＝AF＝5，S△ABE＝S△ADF， ∴四边形AECF是边长为5的正方形， ∴S四边形ABCD＝S正方形AECF＝52＝25． 故选：B． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：有两组对应角相等，并且有一条边对应相等的两个三角形全等；全等三角形的对应边相等；全等三角形的面积相等．也考查了矩形的性质． 18.如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＞CD，AC平分∠BCD，过点A作AE⊥BC，垂足为点E． （1）求证：CE＝CD+BE； （2）如果CE＝3BE，求S△ABC：S△ACD的值． 【分析】（1）过点A作AF⊥CD交CD的延长线于F，利用HL证明Rt△ABE≌Rt△ADF，得BE＝DF，即可证明结论； （2）由题意知，BC＝4BE，CD＝CF﹣DF＝2BE，根据S△ABC＝×4BE×AE，S＝，从而得出答案． 【解答】（1）证明：如图，过点A作AF⊥CD交CD的延长线于F， ∵AC平分∠BCD，AE⊥BC，AF⊥CD， ∴AE＝AF，CE＝CF，∠AEB＝∠AFD＝90°， 在Rt△ABE与Rt△ADF中， ， ∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL）， ∴BE＝DF， 又∵CE＝CF＝CD+DF， ∴CE＝CD+BE； （2）解：∵CE＝3BE，CF＝CE，DF＝BE， ∴BC＝4BE，CD＝CF﹣DF＝2BE， 由（1）知AE＝AF， ∵S△ABC＝×4BE×AE，S＝， ∴S△ABC：S△ACD＝2：1 【点评】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握角平分线的性质 1.3.6尺规作图 课程目标 1. 理解尺规作图的含义； 2. 会用尺规做以下图形：①做一个角等于已知角；②做一个角的角平分线；③过直线外一点做已知直线的垂线； 重难点 会用尺规做以下图形：①做一个角等于已知角；②做一个角的角平分线；③过直线外一点做已知直线的垂线； 基础巩固 1.用直尺和圆规作一个角等于已知角的作图痕迹如图所示，则作图的依据是（　　） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 【考点】全等三角形的判定．版权所有 【分析】由作法可知，两三角形的三条边对应相等，所以利用SSS可证得△OCD≌△O′C′D′，那么∠A′O′B′＝∠AOB． 【解答】解：由作法易得OD＝O′D'，OC＝0′C'，CD＝C′D'，那么△OCD≌△O′C′D′，可得∠A′O′B′＝∠AOB，所以利用的条件为SSS． 故选：A． 【点评】本题考查了全等三角形“边边边”的判定以及全等三角形的对应角相等这个知识点；由作法找准已知条件是正确解答本题的关键． 2.如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠CAB＝50°，按以下步骤作图： ①以点A为圆心，小于AC长为半径画弧，分别交AB、AC于点E、F； ②分别以点E、F为圆心，大于EF长为半径画弧，两弧相交于点G； ③作射线AG，交BC边于点D． 则∠ADC的度数为（　　） A．40° B．55° C．65° D．75° 【考点】直角三角形的性质；作图—基本作图；角平分线的性质．版权所有 【分析】根据角平分线的作法可得AG是∠CAB的角平分线，然后再根据角平分线的性质可得∠CAD＝∠CAB＝25°，然后再根据直角三角形的性质可得∠CDA＝90°﹣25°＝65°． 【解答】解：根据作图方法可得AG是∠CAB的角平分线， ∵∠CAB＝50°， ∴∠CAD＝∠CAB＝25°， ∵∠C＝90°， ∴∠CDA＝90°﹣25°＝65°， 故选：C． 【点评】此题主要考查了基本作图，关键是掌握角平分线的作法，以及直角三角形的性质．关键是掌握直角三角形两锐角互余． 3.如图，在△ABC中，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点D，E．分别以点D，E为圆心，大于长为半径画弧，交于∠BAC内一点F．连结AF并延长，交BC于点G．连结DG，EG．添加下列条件，不能使BG＝CG成立的是（　　） A．AB＝AC B．AG⊥BC C．∠DGB＝∠EGC D．AG＝AC 【考点】作图—基本作图；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．版权所有 【分析】根据题意可知AG是三角形的角平分线，再结合选项所给的条件逐次判断能否得出BG＝CG即可． 【解答】解：根据题中所给的作图步骤可知， AB是△ABC的角平分线，即∠BAG＝∠CAG． 当AB＝AC时，又∠BAG＝∠CAG，且AG＝AG， 所以△ABG≌△ACG（SAS）， 所以BG＝CG， 故A选项不符合题意． 当AG⊥BC时， ∠AGB＝∠AGC＝90°， 又∠BAG＝∠CAG，且AG＝AG， 所以△ABG≌△ACG（ASA）， 所以BG＝CG， 故B选项不符合题意． 当∠DGB＝∠EGC时， 因为∠BAG＝∠CAG，AD＝AE，AG＝AG， 所以△ADG≌△AEG（SAS）， 所以∠AGD＝∠AGE， 又∠DGB＝∠EGC， 所以∠AGD+∠DGB＝∠AGE+∠EGC， 即∠AGB＝∠AGC． 又∠AGB+∠AGC＝90°， 所以∠AGB＝∠AGC＝90°， 则方法同（2）可得出BG＝CG， 故C选项不符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键． 4.如图，已知△ABC中，∠A＝70°，根据作图痕迹推断∠BOC的度数为　125　°． 【考点】作图—基本作图．版权所有 【分析】利用基本作图得到OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，根据三角形内角和得到∠BOC＝90°+∠A，然后把∠A＝70°代入计算即可． 【解答】解：由作法得OB平分∠ABC，OC平分∠ACB， ∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB， ∵∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB ＝180°﹣（∠ABC+∠ACB） ＝180°﹣（180°﹣∠A） ＝90°+∠A， 而∠A＝70°， ∴∠BOC＝90°+×70°＝125°． 故答案为125． 【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）． 拓展提优 5.如图，已知A、B是l上的两点，P是l外的一点． （1）按照下面画法作图（保留作图痕迹）； ①以A为圆心，AP为半径画弧； ②以B为圆心，BP为半径画弧； ③设两弧交于点Q（Q与P分别在l的两旁）； ④作直线PQ． （2）求证：PQ⊥l． 【分析】（1）根据要求作图即可得； （2）由AP＝AQ，BP＝BQ知直线l是线段PQ的垂直平分线，据此即可得证． 【解答】解：（1）如图所示： （2）证明：连接AP，BP，AQ，BQ， 由作图知AP＝AQ，BP＝BQ， ∴直线l是线段PQ的垂直平分线， ∴PQ⊥l． 【点评】本题主要考查作图﹣基本作图，解题的关键是掌握线段垂直平分线的性质：线段中垂线上的点到线段两端点的距离相等． 6.如图，已知线段AB和射线AC，用不带刻度的直尺和圆规完成下列作图．（不写作法，保留作图痕迹） （1）在图①中，在射线AC上求作一点D，使得DA＝DB； （2）在图②中，在射线AC上求作一点E，使得∠BAC＝2∠EBA． 【分析】（1）作AB的垂直平分线交AC于D点； （2）在（1）所作图形的基础上作∠ABD的平分线交AD于E点． 【解答】解：（1）如图①，点D为所作； （2）如图②，点E为所作． 【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质． 7.操作题，根据下列要求画图，并在图中相应位置标明数据．已知一个三角形的两边长分别是1cm和2cm，一个内角为40°． （1）请你借助图画出一个满足题设条件的三角形． （2）你是否还能画出既满足题设条件，又与（1）中所画的三角形不全等的三角形？若能，请你在如图画这样的三角形；若不能，请说明理由． （3）如果将题设条件改为“三角形的两条边长分别是3cm和4cm，一个内角为40°，”那么满足这一条件，且彼此不全等的三角形共有几个？画出满足条件的图形．（图上把符合条件的图形用黑色笔画出来） 【考点】命题与定理；全等三角形的判定；作图—复杂作图．版权所有 【分析】（1）根据题意设∠MON＝40°，在OM，ON上分别截取OA＝1cm，OB＝2cm，则△OAB即为一个符合题设条件的三角形； （2）根据题意设∠MON＝40°，在OM截取OA＝1cm，以点A为圆心，以2cm为半径画弧交ON于B，则△OAB即为符合题设条件的三角形且不与△OAB全等； （3）根据题意仿照（1）（2）即可画出符合题设条件的三角形． 【解答】解：（1）设∠MON＝40°， ①以点O为圆心，以1cm为半径画弧交OM于A， ②以点O为圆心，以2cm为半径画弧交ON于B， 则△OAB即为一个符合题设条件的三角形，如图1所示： （2）能． ①以点O为圆心，以1cm为半径画弧交OM于A， ②以点A为圆心，以2cm为半径画弧交ON于B， 则△OAB即为符合题设条件的三角形且不与△OAB全等，如图2所示： （3）设∠MON＝40°，彼此不全等的三角形，且满足条件的三角形共有4个． （ⅰ）①以点O为圆心，以3cm为半径画弧交OM于A， ②以点O为圆心，以4cm为半径画弧交ON于B， 则△OAB即为一个符合题设条件的三角形，如图3所示： （ⅱ）①以点O为圆心，以3cm为半径画弧交OM于A， ②以点A为圆心，以4cm为半径画弧交ON于B， 则△OAB即为一个符合题设条件的三角形，如图4所示： （ⅲ）①以点O为圆心，以4cm为半径画弧交OM于A， ②以点A为圆心，以3cm为半径画弧交ON于B， 则△OAB即为一个符合题设条件的三角形，如图5所示： （ⅳ）①以点O为圆心，以4cm为半径画弧交OM于A， ②以点O为圆心，以3cm为半径画弧交ON于B， 则△OAB即为一个符合题设条件的三角形，如图6所示： 【点评】此题主要考查了尺规作图，全等三角形的判定，理解两边对应相等且夹角相等的两个三角形全等是解决问题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$苏科版八年级上册 第1章 全等三角形 1.1全等图形 课程目标 1．认识全等图形，理解全等图形的概念与特征； 2．理解全等图形的基本特征，掌握全等图形的识别方法； 3．学习图形的平移、翻折、旋转三种运动，并能够描述一个图形经过怎样的运动能与另一个图形重合。 重难点 理解全等图形的基本特征，掌握全等图形的识别方法； 基础巩固 1．下列说法中正确的是（　　） A．两个面积相等的图形，一定是全等图形 B．两个等边三角形是全等图形 C．两个全等图形的面积一定相等 D．若两个图形周长相等，则它们一定是全等图形 2．下列各组的两个图形属于全等图形的是（　　） A． B． C． D． 3．与如图所示的正方形图案全等的图案是（　　） A． B． C． D． 4．下列图形中被虚线分成的两部分不是全等形的是（　　） A．等腰梯形 B．正方形 C．正六边形 D．正五角星 5． 如图所示的图案是由全等的图形拼成的，其中AD＝0.5cm，BC＝1cm，则 AF＝　 　cm． 拓展提优 6．如图，长方形ABCD是由四块小长方形拼成（四块小长方形放置时既不重叠，也没有空隙）．其中②③两块长方形的形状、大小完全相同，如果要求出①④两块长方形的周长之和，则只要知道（　　） A．长方形ABCD的周长 B．长方形②的周长 C．AB的长 D．BC的长 7．如图是由八个全等的直角三角形拼接而成的，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3，若S1+S2+S3＝144，则S2的值是（　　） A．36 B．48 C．54 D．64 8．如图所示的网格是由9个相同的小正方形拼成的，图形的各个顶点均为格点，则∠2+∠3的度数为 　 　度． 9．如图，在由边长为1cm的小正方形组成的网格中，画如图所示的燕尾形工件，现要求最大限度的裁剪出10个与它全等的燕尾形工件，则这个网格的长至少为（接缝不计）　 　． 10．如图，某校有一块长、宽分别为4m和3m的长方形花坛，现要将它分成4块全等的部分，分别种植四种不同品种的花卉，请你给出四种不同的设计方案． 11．做如图所示的4个全等的小“L”型纸片，拼成一个大“L”型图案． 1.1全等图形 课程目标 1. 说明三角形全等的意义，能正确找出全等三角形的对应顶点、对应角和对应边，会用符号表示两个三角形全等； 2. 能解释三角形的平移、翻折、旋转的变换过程，说明用图形变换识别全等三角形的办法； 重难点 正确找出全等三角形的对应顶点、对应角和对应边，并进行几何图形的分析。 基础巩固 1．下列说法正确的是（　　） A．周长相等的两个三角形全等 B．面积相等的两个三角形全等 C．完全重合的两个三角形全等 D．所有的等边三角形全等 2．如图，△ABE≌△ACD，BC＝20，DE＝10，则DC的长是（　　） A．18 B．17 C．16 D．15 3．如图，△ABC≌△ADE，∠EAB＝125°，∠CAD＝25°，求∠BAC的度数． 4．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD，BE交于点F，△ADC≌△BDF，若BD＝4，DC＝2，则△ABC的面积为 　　． 5．在△ABC中，∠A＝∠B，若与△ABC全等的三角形中有一个角为90°，则△ABC中等于90°的角是（　　） A．∠A B．∠B C．∠C D．∠B或∠C 6．如图，在△ABC中，D、E分别是边AC、BC上的点，若△ADB≌△EDB≌△EDC，则∠C的度数为（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 7．一个三角形的三边长为5、12、x，另一个三角形的三边长为5、y、13，若这两个三角形全等，则（x+y）（ x﹣y）＝　 　． 8．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，连接AE、DE，若△ADE≌△BDE，AC：AB：BC＝2：3：4，且△ABC的周长比△AEC的周长大6，则△AEC的周长为（　　） A．6 B．9 C．12 D．15 9．如图，等边△ABC的边长为1cm，D、E分别是AB、AC上的点，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A′处，且点A′在△ABC外部，则阴影部分图形的周长为（　　） A．3cm B．4cm C．4.5cm D．5cm 10．如图，点A、B、C在同一直线上，点E在BD上，且△ABD≌△EBC，AB＝2cm，BC＝3cm． （1）求DE的长； （2）判断AC与BD的位置关系，并说明理由． （3）判断直线AD与直线CE的位置关系，并说明理由． 11．如图，A，D，E三点在同一条直线上，且△BAD≌△ACE，AB与CA，AD与CE是对应边． （1）试说明：BD＝DE+CE． （2）当△ABD满足什么条件时，BD∥CE？请说明理由． 拓展提优 12．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A＝22°，则∠BDC等于（　　） A．44° B．60° C．67° D．77° 13．如图，△ABC≌△DEC，点A和点D是对应顶点，点B和点E是对应顶点，过点A作AF⊥CD，垂足为点F，若∠BCE＝65°，则∠CAF的度数为（　　） A．30° B．25° C．35° D．65° 14．如图，点D，E，F分别在△ABC的边AB，BC，CA上（不与顶点重合），设∠BAC＝α，∠FED＝θ．若△BED≌△CFE，则α，θ满足的关系是（　　） A．α+θ＝90° B．α+2θ＝180° C．α﹣θ＝90° D．2α+θ＝180° 15．三个全等三角形按如图的形式摆放，则∠1+∠2+∠3的度数等于 　 　． 16．如图，已知△ABC≌△ADE，BC的延长线过点E且交AD点F，∠ACB＝∠AED＝105°，∠CAD＝5°，∠B＝50°，则∠DEF＝ 　 ． 17．如图，锐角△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的点，△ADC≌△ADC′，△AEB≌△AEB′，且C′D∥EB′∥BC，BE、CD交于点F，若∠BAC＝α，∠BFC＝β，则（　　） A．2α+β＝180° B．2β﹣α＝180° C．α+β＝150° D．β﹣α＝60° 18．边长都为整数的△ABC和△DEF全等，AB与DE是对应边，AB＝2，BC＝4，若△DEF的周长为奇数，则DF的值为（　　） A．3 B．4 C．3或5 D．3或4或5 19．已知△ABC的三边长分别为3，5，7，△DEF的三边长分别为3，3x﹣2，2x﹣1，若这两个三角形全等，则x等于（　　） A． B．3 C．4 D．5 20．一根长为1的绳子恰好围成一个三角形，则这个三角形的最长边x的取值范围是 　 　． 21．如图，△ABC≌△DEF，点E在AC上，B，F，C，D四点在同一条直线上．若∠A＝40°，∠CED＝35°，则下列结论正确的是（　　） A．EF＝EC，AB＝FC B．EF≠EC，AE＝FC C．EF＝EC，AE≠FC D．EF≠EC，AE≠FC 22．如图，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P，则不符合的点是（　　） 23．在如图所示的3×3网格中，△ABC是格点三角形（即顶点恰好是网格线的交点），则与△ABC有一条公共边且全等（不含△ABC）的所有格点三角形的个数是（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 24．我们把顶点在小正方形顶点上的三角形叫做格点三角形，在如图所示的方格纸中，除了格点三角形ABC外，可画出与△ABC全等的格点三角形共有　 　个． 25．如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上，DE与AC相交于点F， （1）当DE＝8，BC＝5时，线段AE的长为 　 　； （2）已知∠D＝35°，∠C＝60°， ①求∠DBC的度数； ②求∠AFD的度数． 26．如图，CA⊥AB，垂足为点A，AB＝8cm，AC＝4cm，射线BM⊥AB，垂足为点B，一动点E从点A出发以2cm/s的速度沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着点E运动而运动，且始终保持ED＝CB，当点E离开点A后，运动几秒时，△DEB与△BCA全等？ 27．如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝9cm，AC＝12cm，AB＝15cm，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边AC→CB→BA运动，回到点A停止，速度为3cm/s，设运动时间为t s． （1）如图①，当t＝　 　时，△APC的面积等于△ABC面积的一半； （2）如图②，在△DEF中，∠E＝90°，DE＝4cm，DF＝5cm，∠D＝∠A．在△ABC的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边AB→BC→CA运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好△APQ≌△DEF，求点Q的运动速度． 1.3.1探索三角形全等的条件SAS 课程目标 1.理解并会运用边角边（SAS）来判定两个三角形全等； 2.规范书写证明过程； 重难点 理解并会运用边角边（SAS）来判定两个三角形全等； 基础巩固 1．如图，已知AC＝DB，要使△ABC≌△DCB，只需增加的一个条件是（　　） A．∠A＝∠D B．∠ABD＝∠DCA C．∠ACB＝∠DBC D．∠ABC＝∠DCB 2．下列选项可使△ABC≌△A′B′C′的是（　　） A．AB＝A′B′，∠B＝∠B′，AC＝A′C′ B．AB＝A′B′，BC＝B′C′，∠A＝∠A′ C．AC＝A′C′，BC＝B′C′，∠C＝∠C′ D．AC＝A′C′，BC＝B′C′，∠B＝∠B′ 3．如图，AD是△ABC的高，AD＝BD，DE＝DC，∠BAC＝65°，则∠ABE的度数是（　　） A．20° B．25° C．30° D．35° 4. 如图，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，点B，D，E在同一直线上，若∠1＝25°，∠2＝35°，则∠3的度数是（　　） A．50° B．55° C．60° D．70° 5. 如图所示，下列各选项中与△ABC一定全等的三角形是（　　） A． B． C． D． 6. 下列三角形中，不一定全等的是（　　） A．一腰和顶角分别相等的两个等腰三角形 B．一条直角边相等的两个等腰直角三角形 C．有两条边分别相等的两个直角三角形 D．两条直角边分别相等的两个直角三角形 7．如图，在△ABC中，点D在AC上，BD平分∠ABC，延长BA到点E，使得BE＝BC，连接DE．若∠ADE＝30°，则∠ADB的度数是（　　） A．60° B．71° C．75° D．76° 8．如图，AD是△ABC的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且DE＝DF，连接BF，CE．下列说法：①△ABD和△ACD面积相等；②∠BAD＝∠CAD；③△BDF≌△CDE；④BF∥CE；⑤CE＝AE．其中正确的个数是（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 9．如图，点E，F在BC上，AB＝DC，AF＝DE，∠A＝∠D． （1）证明：BF＝CE； （2）若BC＝10，EF＝6，求BE的长． 10．如图，△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，∠ACD＝∠BCE＝90°，AE交CD于点F，BD分别交CE、AE于点G、H．试猜测线段AE和BD的数量和位置关系，并说明理由． 拓展提优 11. 如图，在四边形BCFD中，DF＝BC＝8，CE与BD的延长线交于点A，且DF与AC互相平分，若AB＝10，则四边形BCFD的周长为 　 　． 12. 如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点A，B、C，D，E均在小正方形方格的顶点上，线段AB，CD交于点F，若∠CFB＝a，则∠ABE的度数为 　 　． 13. 如图，P为AB上任意一点，分别以AP、PB为边在AB同侧作正方形APCD、正方形PBEF，设∠CBE＝α，则∠AFP为（　　） A．2α B．90°﹣α C．45°+α D．90°﹣α 14. 如图，点D、F分别为△ABC的边AB、AC的中点，DE⊥AB，FG⊥AC，△AGE的周长为15，BC＝10，则EG＝　 　． 15．如图，点P是∠BAC平分线AD上的一点，AC＝9，AB＝4，PB＝2，则PC的长不可能是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 16．如图，AD是△ABC的外角平分线，下列一定结论正确的是（　　） A．AD+BC＝AB+CD B．AB+AC＝DB+DC C．AD+BC＜AB+CD D．AB+AC＜DB+DC 17．已知：如图，在△ABC，△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE．以下六个结论： ①BD＝CE； ②∠ACE+∠DBC＝45°； ③BD⊥CE； ④∠BAE+∠DAC＝180°； ⑤S△ABD＝S△ACE； ⑥AD平分∠EDB． 其中结论正确的个数是（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 18．如图，AB＝12cm，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，且AC＝4cm，P点从B向A运动，速度为1cm/s，Q点从B向D运动，速度为2cm/s，P、Q两点同时出发，运动 　 　秒后△CAP与△PQB全等． 19．如图，已知在△ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，F是线段BD上一点，BF＝AC，G是线段CE延长线上一点，CG＝AB，连接AG、AF． （1）试说明：∠ABD＝∠ACE； （2）试猜想线段AF与AG之间的关系，并说明理由． 20．阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 在△ABC中，AB＝9，AC＝5，BC边上的中线AD的取值范围． （1）小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）： ①延长AD到Q使得DQ＝AD； ②再连接BQ，把AB、AC、2AD集中在△ABQ中； ③利用三角形的三边关系可得4＜AQ＜14，则AD的取值范围是　 　． 感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． （2）请写出图1中AC与BQ的位置关系并证明； （3）思考：已知，如图2，AD是△ABC的中线，AB＝AE，AC＝AF，∠BAE＝∠FAC＝90°，试探究线段AD与EF的数量和位置关系，并加以证明． 21．如图（1），AB＝12cm，AC⊥AB，BD⊥AB垂足分别为A、B，AC＝10cm．点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在射线BD上运动．它们运动的时间为t（s）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）． （1）PB＝　 　cm（用含t的代数式表示）； （2）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由； （3）如图（2），若“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA＝α”，点Q的运动速度为v cm/s，其他条件不变，当点P、Q运动到某处时，有△ACP与△BPQ全等，求出相应的v、t的值． 22. 综合与实践：数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地． （1）发现问题：如图1，在△ABC和△AEF中，AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠EAF＝30°，连接BE，CF，延长BE交CF于点D．则BE与CF的数量关系：　 　，∠BDC＝　 　°； （2）类比探究：如图2，在△ABC和△AEF中，AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠EAF＝120°，连接BE，CF，延长BE，FC交于点D．请猜想BE与CF的数量关系及∠BDC的度数，并说明理由． 1.3.2探索三角形全等的条件ASA 课程目标 1.理解并会运用角边角（ASA）来判定两个三角形全等； 2.规范书写证明过程； 重难点 理解并会运用角边角（ASA）来判定两个三角形全等； 基础巩固 1. 根据下列已知条件，能够画出唯一△ABC的是（　　） A．AB＝5，BC＝6，∠A＝70° B．AB＝5，BC＝6，AC＝13 C．∠A＝50°，∠B＝80°，AB＝8 D．∠A＝40°，∠B＝50°，∠C＝90° 2. 如图，已知AB＝AD，∠BAE＝∠DAC，如果直接用“SAS”判定△ABC≌△ADE，则可补充的条件是 　 　；若用“ASA”判定△ABC≌△ADE，则可补充的条件是 　 　． 3. 打碎的一块三角形玻璃如图所示，现在要去玻璃店配一块完全一样的玻璃，最省事的方法是（　　） A． 带①②去 B．带②③去 C．带③④去 D．带④去 4. 如图，在△ABC中，E为AB中点，D为边AC上的动点，连接DE，BF∥AC交DE的延长线于点F，若AC＝5，则BF+CD的值是 　　． 5. 如图，CB⊥AD，AE⊥CD，垂足分别为B，E，AE、BC相交于点F，若AB＝BC＝16，CF＝8，连接DF，则图中阴影部分面积为 　 　． 6. 如图，AB与CD交于E，AF＝AC，∠AFC＝∠D，CF﹣DF＝2EF．求证：AE＝BE． 拓展提优 7．如图，△ABC的面积为16，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于点D，则△ADC的面积是（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 8．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，连接AC．若AC＝8，则四边形ABCD的面积为 　 　． 9．如图，AD∥BC，AB∥CD，AE⊥AD，AF⊥AB，且AE＝AB，AF＝AD．求证：AC＝EF． 10．如图，AE，BD相交于点C，AC＝EC，BC＝DC，AB＝4cm，点P从点A出发，沿A→B→A方向以3cm/s的速度匀速运动，点Q从点D出发，沿D→E方向以1cm/s的速度匀速运动．P，Q两点同时出发，当点P回到点A时，P，Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t（s）． （1）当t＝1s时，AP＝　 　cm，当t＝2s时，AP＝　 　cm； （2）求证：AB∥DE； （3）连接PQ，当线段PQ经过点C时，DQ的长为 　 　cm． 1.3.3探索三角形全等的条件（AAS） 课程目标 1.理解并会运用角角边（AAS）来判定两个三角形全等； 2.规范书写证明过程. 重难点 1.理解并会运用角角边（AAS）来判定两个三角形全等； 基础巩固 1．下列条件中，不能判定△ABC≌△DEF的是（　　） A．AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EF B．∠A＝∠D，AB＝DE，∠B＝∠E C．∠B＝∠E，∠C＝∠F，AC＝DF D．BC＝EF，AC＝DF，∠A＝∠D 2．下列命题：①有两个角和一个角的对边对应相等的两个三角形全等；②有一边和一个角对应相等的两个等腰三角形全等；③有一边对应相等的两个等边三角形全等；④一个锐角和其所对的直角边对应相等的两个直角三角形全等．其中是真命题的是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 3. 如图，OB平分∠AOC，D、E、F分别是射线OA、射线OB、射线OC上的点，D、E、F与O点都不重合，连接ED、EF，要使得△DOE≌△FOE． （1）若以“SAS”为依据，则可添加的条件是 　 　； （2）若以“ASA”为依据，则可添加的条件是 　 　； （3）若以“AAS”为依据，则可添加的条件是 　 　． 4．如图，在∠AOB中，OM平分∠AOB，MA⊥OA，垂足为A，MB⊥OB，垂足为B．若∠MAB＝20°，则∠AOB的度数为（　　） A．20° B．25° C．30° D．40° 5．如图，AB＝AC，∠BAC＝90°，BM⊥AD于点M，CN⊥AD于点N，CN＝6，MB＝2，则NM的长　　． 6．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线DE经过点A，CE⊥ED，BD⊥ED，CE＝5，BD＝3，则ED＝　 　． 7. 如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是点D，E，若AD＝3，BE＝1，则DE的长是（　　） A． B．2 C．3 D．4 8. 如图，AB⊥CD，且AB＝CD；E、F是AD上的两点，连接CE，BF，CE⊥AD，BF⊥AD，若CE＝a，BF＝b，EF＝c，则AD的长为（　　） A．a﹣b+c B．a+b﹣c C．a+c D．b+c 9．如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D，E，AD与CE交于点F．已知EF＝EB＝3，AE＝4，则CF的长是（　　） A． B．1 C． D．2 10．如图，已知CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为点D，E，且AB＝AC，BE交CD于点O． （1）求证：DB＝EC． （2）求证：AO平分∠BAC． 拓展提优 11．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为AB边上一点，点F在BC边上，且BF＝1，将点E绕着点F顺时针旋转90°得到点G，连接DG，则DG的长的最小值为 　 　． 12. 如图，AE⊥AB，且AE＝AB，BC⊥CD，且BC＝CD，EF⊥AC，BG⊥AC，DH⊥AC垂足分别是F、G、H，请按照图中所标注的数据：EF＝6，BG＝3，DH＝4．计算图中实线所围成的图形的面积S是　 　． 13．如图，有一张三角形纸片ABC，已知∠B＝∠C＝x°，按下列方案用剪刀沿着箭头方向剪开，可能得不到全等三角形纸片的是（　　） A． B． C． D． 14．如图，在△ABC中，点D是BC上一点，且AD＝AB，AE∥BC，∠BAD＝∠CAE，连接DE交AC于点F． （1）若∠B＝80°，求∠C的度数； （2）若AE＝AC，DA平分∠BDE是否成立？请说明理由． 1.3.4探索三角形全等的条件SSS 课程目标 1.理解并会运用边边边（SSS）来判定两个三角形全等； 2.规范书写证明过程. 重难点 理解并会运用边边边（SSS）来判定两个三角形全等； 基础巩固 1. 如图，已知AB＝AC，BD＝CD，E是AD上的一点，则下列结论中不成立的是（　　） A．BE＝CE B．AE＝DE C．∠BAD＝∠CAD D．∠BED＝∠CED 2. 我国传统工艺中，油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着数学知识．如图是油纸伞的张开示意图，AE＝AF，GE＝GF，则△AEG≌△AFG的依据是（　　） A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS 3. 如图，小明家仿古家具的一块三角形形状的玻璃坏了，需要重新配一块，小明通过电话给玻璃店老板提供相关数据，为了方便表述，将该三角形记为△ABC，提供了下列各组元素的数据，配出来的玻璃不一定符合要求的是（　　） A．AB，BC，AC B．AB，BC，∠B C．AB，AC，∠B D．∠A，∠B，BC 4．工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M、N重合，过角尺顶点C的射线OC便是∠AOB的平分线．工人师傅这么做的原理是一种三角形全等的判定方法，这种判定方法是（　　） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 5．三角形具有稳定性，就是当三角形的三边长确定时，三角形的形状和大小就确定了，其理论依据是（　　） A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS 6. 如图，在△ABC与△ADE中，E在BC边上，AD＝AB，AE＝AC，DE＝BC，若∠1＝25°，则∠DAB＝　 　°，∠2＝　 　°． 7. 如图，在△ABC和△BDE中，点C在边BD上，边AC交边BE于点F．若AC＝BD，AB＝ED，BC＝BE，则∠ACB等于（　　） A．∠EDB B．∠BED C．2∠ABF D．∠AFB 8. 如图，在正方形方格纸中，∠α与∠β的度数和为 　 　． 9.如图，点E、F在线段AB上，AE＝BF，∠A＝∠B，AC＝BD，求证：∠C＝∠D． 10. 已知：如图，AC、DB相交于点O，AB＝DC，∠ABO＝∠DCO． （1）求证：△ABO≌△DCO； （2）若∠OBC＝34°，求∠OCB的度数． 11. 已知：如图所示，AB＝AD，BC＝DC，E、F分别是DC、BC的中点，求证：AE＝AF． 12. 如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，AC与BD相交于O点，OC＝OA，E是CD上任意一点，连接BE交AC于点F，连接DF． 求证：△CBF≌△CDF． 拓展提优 13. 如图，CA＝CB，AD＝BD，M、N分别是CA、CB的中点，若△ADM的面积为，则图中阴影部分的面积为 　　． 14. 如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，点E，F分别是BC，CD上的点，且EF＝BE+FD，连接AE，AF．延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG．若∠EAF＝55°，则∠FAG的度数为 　 　． 15. 在正方形方格纸中，每个小方格的顶点叫做格点，以格点的连线为边的三角形叫做格点三角形．如图是5×5的正方形方格纸，以点D，E为两个顶点作格点三角形，使所作的格点三角形与△ABC全等，这样的格点三角形最多可以画出（　　） A．2个 B．4个 C．6个 D．8个 16. 已知△ABC中，AB＝BC≠AC，作与△ABC只有一条公共边，且与△ABC全等的三角形，这样的三角形一共能作出（　　）个． A． 四个 B．五个 C．六个 D．七个 17．已知：如图，AB＝AC，DB＝DC，点E在AD上．下列结论：①∠BAD＝∠CAD；②△ABE≌△ACE；③△DBE≌△DCE．其中正确的是　 　（填序号） 18．如图，已知五边形ABCDE中，∠ABC＝∠AED＝90°，AB＝CD＝AE＝BC+DE＝2，则五边形ABCDE的面积为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 19．如图，D是四边形AEBC内一点，连接AD、BD，已知CA＝CB，DA＝DB，EA＝EB． （1）C、D、E三点在一条直线上吗？为什么？ （2）如果AB＝24，AD＝13，CA＝20，那么CD的长是多少？ 20. 如图，在四边形ABCD中，CB⊥AB于点B，CD⊥AD于点D，点E，F分别在AB，AD上，AE＝AF，CE＝CF． （1）求证：CB＝CD； （2）若AE＝8，CD＝6，求四边形AECF的面积； （3）猜想∠DAB，∠ECF，∠DFC三者之间的数量关系，并证明你的猜想． 1.3.5 探索三角形全等的条件 课程目标 1.理解并会运用直角边、斜边（HL）来判定两个三角形全等； 2.规范书写证明过程. 重难点 理解并会运用直角边、斜边（HL）来判定两个三角形全等 基础巩固 1.下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（　　） A．一个锐角和斜边对应相等 B．两条直角边对应相等 C．两个锐角对应相等 D．斜边和一条直角边对应相等 2.如图，已知AC⊥BD于点P，AP＝CP，请增加一个条件，使△ABP≌△CDP（不能添加辅助线）． （1）若以“SAS”为依据，则可添加条件 　 　； （2）若以“HL”为依据，则可添加条件 　 　； （3）若以“ASA”为依据，则可添加条件 　 　； （4）若以“AAS”为依据，则可添加条件 　　 ． 3.如图，在△ABC中AD⊥BC于点D，E为AC上一点连结BE交AD于点F，若BF＝AC，DF＝DC，则∠1与∠2的和为（　　） A．35° B．40° C．45° D．50° 4.如图，幼儿园的滑梯中有两个长度相等的梯子（BC＝EF），且AC＝DF，已知AC⊥BF，ED⊥BF，则∠B+∠F＝　 　°． 5. 如图，在△ABC中，∠A＝90°，D为BC上点且CD＝CA，DE⊥BC．若AB＝5cm，DE＝2cm，则 BE＝　 　cm． 6.如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE＝3cm，则BF的长为（　　） A．6cm B．7cm C．8cm D．以上答案都不对 7.如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF； （1）求证：Rt△ABE≌Rt△CBF； （2）求证：AB＝CE+BF； （3）若∠CAE＝30°，求∠ACF度数． 8.四边形ABCD中，AD＝BC，BE＝DF，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F． （1）求证：△ADE≌△CBF； （2）若AC与BD相交于点O，求证：AO＝CO． 9.如图，已知AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，如果AD＝AF，AC＝AE． 求证：BC＝BE． 拓展提优 10.如（1）图，由已知AB⊥BD，ED⊥BD，AB＝CD，BC＝DE可证得AC⊥CE，若将CD沿CB方向平移到图（2）（3）（4）（5）的情形，其余条件不变，则这四种情况下，结论AC1⊥C2E仍然成立的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11.△ABC和△DEF中，AB＝DE，AC＝DF，∠C＝50°，AM、DN分别为BC、EF边的高，且AM＝DN，则∠F的度数为 　 　． 12.如图，正方形ABCD的顶点B在直线l上，将直线l向上平移线段AB的长得到直线m，直线m分别交AD，CD于点E，F．若求△DEF的周长，则只需知道（　　） A．AB的长 B．FE的长 C．DE的长 D．DF的长 13.如图，在△ADE和△ABC中，∠E＝∠C，DE＝BC，EA＝CA，过A作AF⊥DE，垂足为F，DE交CB的延长线于点G，连接AG．四边形DGBA的面积为12，AF＝4，则FG的长是 　 　． 14.如图，AD是△ABC的中线，BE⊥AD，垂足为E，CF⊥AD，交AD的延长线于点F，G是DA延长线上的一点，连接BG． （1）求证：BE＝CF； （2）若GA＝2DE，求证：△BEG≌△CFA． 15.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝7cm，BC＝3cm，CD为AB边上的高，点E从点B出发，在直线BC上以2cm的速度移动，过点E作BC的垂线交直线CD于点F，当点E运动 　 　s时，CF＝AB． 16.如图，在△ABC中，AC＝BC，过点B作射线BF，在射线BF上取一点E，连接AE，使得∠CBF＝∠CAE，过点C作射线BF的垂线，垂足为D，若DE＝2，AE＝4，则BD的长度为（　　） A．7 B．6 C．4 D．2 17.如图，四边形ABCD中，∠BAD＝∠C＝90°，AB＝AD，AE⊥BC，垂足为E．若线段AE＝5，则S四边形ABCD＝（　　） A．20 B．25 C．18 D．24 18.如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＞CD，AC平分∠BCD，过点A作AE⊥BC，垂足为点E． （1）求证：CE＝CD+BE； （2）如果CE＝3BE，求S△ABC：S△ACD的值． 1.3.6尺规作图 课程目标 1. 理解尺规作图的含义； 2. 会用尺规做以下图形：①做一个角等于已知角；②做一个角的角平分线；③过直线外一点做已知直线的垂线； 重难点 会用尺规做以下图形：①做一个角等于已知角；②做一个角的角平分线；③过直线外一点做已知直线的垂线； 基础巩固 1.用直尺和圆规作一个角等于已知角的作图痕迹如图所示，则作图的依据是（　　） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 2.如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠CAB＝50°，按以下步骤作图： ①以点A为圆心，小于AC长为半径画弧，分别交AB、AC于点E、F； ②分别以点E、F为圆心，大于EF长为半径画弧，两弧相交于点G； ③作射线AG，交BC边于点D． 则∠ADC的度数为（　　） A．40° B．55° C．65° D．75° 3.如图，在△ABC中，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点D，E．分别以点D，E为圆心，大于长为半径画弧，交于∠BAC内一点F．连结AF并延长，交BC于点G．连结DG，EG．添加下列条件，不能使BG＝CG成立的是（　　） A．AB＝AC B．AG⊥BC C．∠DGB＝∠EGC D．AG＝AC 4.如图，已知△ABC中，∠A＝70°，根据作图痕迹推断∠BOC的度数为　 　°． 拓展提优 5.如图，已知A、B是l上的两点，P是l外的一点． （1）按照下面画法作图（保留作图痕迹）； ①以A为圆心，AP为半径画弧； ②以B为圆心，BP为半径画弧； ③设两弧交于点Q（Q与P分别在l的两旁）； ④作直线PQ． （2）求证：PQ⊥l． 6.如图，已知线段AB和射线AC，用不带刻度的直尺和圆规完成下列作图．（不写作法，保留作图痕迹） （1）在图①中，在射线AC上求作一点D，使得DA＝DB； （2）在图②中，在射线AC上求作一点E，使得∠BAC＝2∠EBA． 7.操作题，根据下列要求画图，并在图中相应位置标明数据．已知一个三角形的两边长分别是1cm和2cm，一个内角为40°． （1）请你借助图画出一个满足题设条件的三角形． （2）你是否还能画出既满足题设条件，又与（1）中所画的三角形不全等的三角形？若能，请你在如图画这样的三角形；若不能，请说明理由． （3）如果将题设条件改为“三角形的两条边长分别是3cm和4cm，一个内角为40°，”那么满足这一条件，且彼此不全等的三角形共有几个？画出满足条件的图形．（图上把符合条件的图形用黑色笔画出来） 1 学科网（北京）股份有限公司 $$