专题03 三角形中的边角关系、命题与证明（优质类型）-2024-2025学年八年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（沪科版）

专题03三角形中的边角关系、命题与证明思维导图 【类型覆盖】 类型一、三角形的个数 【解惑】请同学们认真观察，图中共有（　　）三角形． A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【融会贯通】 1．如图，图中的三角形共有（     ） A．10个 B．12个 C．14个 D．16个 2．观察以下图形，回答问题： （1）图②有 个三角形；图③有 个三角形；图④有 个三角形；…猜测第七个图形中共有 个三角形． （2）按上面的方法继续下去，第n个图形中有 个三角形（用含n的代数式表示结论）． 3．【思路探究】 （1）上学期我们学习了线段，如图1，B，C，D是线段上异于点A，E的三个点，图中共有多少条线段？    （2）本学期我们又学习了角，如图2，从的顶点O引出3条射线，且在的内部，图中共有多少个大于且小于的角？    （3）图3是同学练习写字用的米字格，图3中含有多少个三角形？    【问题解决】 （4）若从的顶点O出发，在的内部引出条射线，则图中共有多少个大于而小于的角？ （5）图4是同学练习写字用的九宫格，图中含有多少个长方形（包括正方形）？                                                             类型二、三角形三边关系的应用 【解惑】已知的三边长a，b，c是都不相等的正整数，且满足，则的最大边c的值有（  ） A．4个 B．5个 C．7个 D．9个 【融会贯通】 1．已知a，b，c是的三边，且，则一定是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 2．已知，，是三角形的三边长，化简： ． 3．阅读材料： 若，求，的值． 解：， ， ， ，， ．3 根据上述材料，探究下列问题： (1)若的三边长，，均为正整数，且满足，求周长的最小值； (2)若的三边长为，，，且满足，试判断是什么形状的三角形，并说明理由． 类型三、三角形中线求面积 【解惑】如图，在中，已知点、、分别是、、的中点，且的面积是8，则的面积是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【融会贯通】 1．如图，在中，点是边上的一点，，分别是，的中点，连接，，若，则的面积为（    ） A．5 B．15 C．20 D．25 2．如图，是的中线，是的中点．若，则 ． 3．【问题情境】 如图1，是的中线，与的面积有怎样的数量关系？ 小旭同学在图1中作边上的高，根据中线的定义可知．因为高相同，所以，于是． 据此可得结论：三角形的一条中线平分该三角形的面积． (1)【深入探究】 如图2，点D在的边上，点P在上． 若是的中线，请判断与的大小关系，并说明理由． 若，则：______． (2)【拓展延伸】 如图3，分别延长四边形的各边，使得A，B，C，D分别为的中点，依次连接E，F，G，H得四边形．直接写出，与之间的等量关系；_______． 类型四、三角形的角平分线与高综合 【解惑】如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，给出以下结论：①；②；③；④；⑤；⑥，其中结论正确的有(    ) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【融会贯通】 1．如图，是的角平分线，点O在上，且于点E，，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 2．如图，是的高线，是的角平分线．，，则的度数为 ．    3．如图，在锐角中，，分别是的高和角平分线，是直线（不与重合）上任意一点，且于．    (1)如图①，当点与点重合时，请你写出图中与、之间的数量关系吗?并说明理由． (2)如图②，当点在线段上时，若，则的度数为 ． 类型五、三角形的三种角平分线 【解惑】如图①，在中，与的平分线相交于点． (1)若，则的度数是 ； (2)如图②，作外角，的角平分线交于点，试探索，之间的数量关系． (3)如图③，延长线段，交于点，在中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，求的度数． 【融会贯通】 1．直线与直线相交于点O，点A在射线上运动，点B在射线上运动．    (1)如图1，当直线与直线垂直时，、分别是和的角平分线，点A，B在运动的过程中，的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，请说明理由，并求出的大小．（提示：三角形三个内角的和等于） (2)如图2，点A，B在运动的过程中，、分别是和的角平分线，、的延长线交于点F，的角平分线和的角平分线相交于点E．求证：．（提示：可作结论用） (3)如图2，点A，B在运动的过程中，请探究与的数量关系，并说明理由． 2．综合与实践 在数学学习过程中，对有些具有特殊结构，且结论又具有一般性的数学问题我们常将其作为一个数学模型加以识记，以积累和丰富自己的问题解决经验． 【结论发现】三角形的一个内角平分线与另一内角的外角平分线的夹角的度数是三角形第三内角度数的一半． 【结论探究】 （1）如图1，在中，点E是内角平分线与外角的平分线的交点，则有，请给出证明过程． 请直接应用上面的“结论发现”解决下列问题： 【简单应用】 （2）如图2，在中，．延长至G，延长至H，已知、的角平分线与的角平分线及其反向延长线交于E、F，求的度数； 【变式拓展】 （3）如图3，四边形的内角与外角的平分线形成如图所示形状．已知，，求的度数和是多少？ 3．教材呈现：华师版义务教育教科书数学七下第82页部分内容． 如图，在中，，，平分，平分，求的度数．   解：∵平分（已知）， ∴． 同理可得________°． ∵（               ）， ∴（等式的性质） ________ ________． （1）对于上述问题，在解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）． 问题推广： （2）如图，在中，、的角平分线交于点P，将沿折叠使得点A与点P重合，若，则________度． （3）如图，在中，的角平分线与的外角的角平分线交于点P，过点B作于点H，若，则________度． 类型六、三角形的折叠 【解惑】如图所示，将三角形纸片沿折叠． (1)当点A落在四边形内部时，、、的度数之间有怎样的数量关系？请你把它找出来，并说明你的理由； (2)当点A落在四边形外部时，、、的度数之间又有怎样的数量关系？直接写出结论，不用说明理由． 【融会贯通】 1．（1）如图1，将纸片沿折叠，使点落在四边形内点的位置．则、、之间的数量关系为： ； （2）如图2，若将（1）中“点落在四边形内点的位置”变为“点落在四边形外点的位置”，则此时，、之间的数量关系为： ； （3）如图3，将四边形纸片，与不平行）沿折叠成图3的形状，若，，求的度数； （4）在图3中作出、的平分线、，试判断射线、的位置关系，当点在边上向点移动时（不与点重合），、的大小随之改变（其它条件不变），上述，的位置关系改变吗？为什么？ 2．如图所示，现有一张纸片，点D，E分别是边上两点，若沿直线折叠．    (1)如果折成图（1）的形状，使点A的对应点落在上，则与的数量关系是_______； (2)如果折成图（2）的形状，猜想与的数量关系，并说明理由； (3)如果折成图（3）的形状，猜想，和的数量关系，并说明理由． 3．如图①，在中，沿的平分线折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿的平分线折叠，剪掉重复部分……将余下部分沿的平分线折叠，点与点C重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，则称是的好玩角． 小马展示了确定是的好玩角的两种情形． 情形一：如图②，沿等腰三角形顶角的平分线折叠，点B与点C重合； 情形二：如图③，沿的平分线折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿的平分线折叠，此时点与点C重合．    探究发现： (1)在中，，，经过两次折叠，是的好玩角，求的度数． (2)小马经过三次折叠发现了是的好玩角，请探究与（不妨设）之间的等量关系为________．根据以上内容猜想：若经过n次折叠是的好玩角，则与（不妨设）之间的等量关系为________． 应用提升： (3)小马找到一个三角形，三个角分别为，，，发现和的两个角都是此三角形的好玩角．请你完成，如果一个三角形的最小角是，试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的好玩角． 类型七、三角形的八字形 【解惑】试解答下列问题： (1)在图1我们称之为“8字形”，请直接写出、、、之间的数量关系：______； (2)仔细观察，在图2中“8字形”的个数是______个； (3)在图2中，若，，和的平分线和相交于点P，并且与、分别相交于M、N．求的度数．        【融会贯通】 1．（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明； （2）如图2，，、分别平分、， ①图2中共有______个“8字形”； ②若，，求的度数；（提醒：解决此问题你可以利用图1的结论或用其他方法） ③猜想图2中与的数量关系，并说明理由． 2．（1）已知：如图①的图形我们把它称为“8字形”，试说明：． （2）如图②，分别平分，若，求的度数． （3）如图③，直线平分，平分的外角，猜想与的数量关系并证明．    3．[问题背景] （1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说理证明； [简单应用]（可直接使用问题（1）中的结论） （2）如图2，、分别平分、， ①若，，求的度数； ②和为任意角时，其他条件不变，试直接写出与、之间的数量关系为 ． [问题探究] （3）如图3，直线平分的邻补角，平分∠ADC的邻补角，若，，则的度数为 ． [拓展延伸] （4）在图4中，若设，，，，试问与、之间的数量关系为 ．（用x、y的代数式表示）    类型八、三角形的新定义 【解惑】我们定义：在一个三角形中，如果有一个角的度数是另一个角度数的3倍，那么这样的三角形我们称之为“完美三角形”．如：三个内角分别为的三角形是“完美三角形”． (1)如图1，，在射线上找一点A，过点A作交于点B．则______°，______“完美三角形”（填“是”或“不是”）； (2)如图2，为钝角，点D在的边上，连接，作的平分线交于点E，在上取一点F，使，，请问与是否平行？并说明理由． (3)若是“完美三角形”，求的度数． 【融会贯通】 1．【定义】如果两个角的差为，就称这两个角互为“创新角”，其中一个角叫做另一个角的“创新角”． 例如：，，，则和互为“创新角”，即是的“创新角”，也是的“创新角”． (1)已知和互为“创新角”，且，若和互补，则___________； (2)如图1所示，在中，，过点作的平行线，的平分线分别交、于、两点． ①若，且和互为“创新角”，则___________； ②如图2所示，过点作的垂线，垂足为，、相交于点．若与互为“创新角”，求的度数； ③如图3所示，的平分线交于点，当和互为“创新角”时，则__________． 2．新定义：在中，若存在一个内角是另外一个内角度数的n倍（n为大于1的正整数），则称为n倍角三角形．例如，，可知，所以为2倍角三角形． (1)在中，，则为 倍角三角形． (2)如图1，直线与直线相交于O，；已知、的角平分线交于点C，在中，在中，如果有一个角是另一个角的2倍，请求出的度数． (3)如图2，直线⊥直线于点O，点A、点B分别在射线上，已知、的角平分线分别与的角平分线所在的直线交于点、．若为3倍角三角形，试求的度数． 3．【定义】如果两个角的差为，就称这两个角互为“伙伴角”，其中一个角叫做另一个角的“伙伴角”． 例如：，即是的“伙伴角”，也是的“伙伴角”． (1)已知和互为“伙伴角”，且，则 ． (2)如图1所示，在中，，过点C作的平行线，的平分线分别交于D、E两点 ①若，且和互为“伙伴角”，求的度数； ②如图2所示，的平分线交于点F，当和互为“伙伴角”时，的度数为多少？ 【一览众山小】 1．如图，为的中线，为的中线，为的中线，…，按此规律，为的中线，若的面积为1，则的面积为（    ） A． B． C． D． 2．如图，的中线、相交于点O，，且，，则四边形的面积是（　　） A．3 B．6 C．9 D．12 3．如图，，且点E在与的上方，与的角平分线交于点F，交EF于点G，若，设，则用表示 ． 4．如果三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”．如图，在中，，，是射线上一点，且是“准直角三角形”，则的所有可能的度数为 ． 5．(三角形面积)如图，三角形中，D为边上任一点，，三角形的面积为1平方厘米，求三角形的面积． 6．已知：如图1，在中，和的平分线相交于点P． (1)若，求的度数； (2)设（n为已知数），则的度数______； (3)如图2，在中，的三等分线与的角平分线分别交于点D、E，若，，则______°； (4)如图3，在中，和的三等分线交于点E、D，若，，则_______°． 7．【基础探究1】（1）如图1，中，平分，平分，探求与之间的数量关系； 【基础探究2】（2）如图2，中，、是的三等分线，、是的三等分线，则与之间的数量关系是______； 【基础探究3】（3）如图3，中，、、是的四等分线，、、是的四等分线，则与之间的数量关系是______； 【拓展与探究】（4）如图4，中，、、……、、是的等分线，、、……、、是的等分线，请用一个等式表示、、三者之间的数量关系是______； 【探究与应用】（5）中，、、……、是的2024等分线，、、……、是的2024等分线，若与的和是的7倍，则______． 8．【数学经验】三角形的中线，角平分线，高是三角形的重要线段，我们知道，三角形的3 条高所在直线交于同一点． （1）①如图1， 中， 则的三条高所在的直线交于点 ；②如图2， 中， 已知两条高，请你仅用一把无刻度的直尺（仅用于过任意两点作直线、连接任意两点、延长任意线段）画出 的第三条高．(不写画法，保留作图痕迹)． 【综合应用】 （2）如图3，在 中，平分，过点B作边上的高线交于点E． ①若 则 ； ②请写出与之间的数量关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，如果两个三角形的高相同，则它们的面积比等于对应底边的比，如图4，点M是上一点，则有 ．如图5，中，点M是上一点且 点N是的中点，若的面积是m，请直接写出四边形的面积 ．（用含m的代数式表示） 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03三角形中的边角关系、命题与证明思维导图 【类型覆盖】 类型一、三角形的个数 【解惑】请同学们认真观察，图中共有（　　）三角形． A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】A 【分析】本题考查三角形，关键是掌握三角形的概念．由三角形的概念，数的时候要注意按照一定的规律，不重不漏． 【详解】解：图形中有三角形：，，，，， 图中共有5个三角形． 故选：A． 【融会贯通】 1．如图，图中的三角形共有（     ） A．10个 B．12个 C．14个 D．16个 【答案】B 【分析】根据三角形的概念求解即可． 【详解】解：如图所示， 图中的三角形有：，，，，，，，，，，，，共12个， 故选：B． 【点睛】此题考查了三角形的概念，解题的关键是熟练掌握三角形的概念． 2．观察以下图形，回答问题： （1）图②有 个三角形；图③有 个三角形；图④有 个三角形；…猜测第七个图形中共有 个三角形． （2）按上面的方法继续下去，第n个图形中有 个三角形（用含n的代数式表示结论）． 【答案】 3 5 7 13 / 【分析】本题主要考查了图形的变化类规律型、三角形个数问题等知识点，通过分析找到各部分的变化规律后用一个统一的式子表示出变化规律是解题的关键． （1）根据观察可得：图②有3个三角形；图③有5个三角形；图④有7个三角形；由此可以猜测第七个图形中共有13个三角形即可； （2）按照（1）中规律如此画下去，三角形的个数等于图形序号的2倍减去1，据此求得第n个图形中的三角形的个数即可． 【详解】解：（1）∵图②有3个三角形，； 图③有5个三角形，； 图④有7个三角形，； ∴图②有3个三角形；图③有5个三角形；图④有7个三角形；…猜测第七个图形中共有13个三角形． （2）由（1）可知，第n个图形中有个三角形． 故答案为：3，5，7，13，． 3．【思路探究】 （1）上学期我们学习了线段，如图1，B，C，D是线段上异于点A，E的三个点，图中共有多少条线段？    （2）本学期我们又学习了角，如图2，从的顶点O引出3条射线，且在的内部，图中共有多少个大于且小于的角？    （3）图3是同学练习写字用的米字格，图3中含有多少个三角形？    【问题解决】 （4）若从的顶点O出发，在的内部引出条射线，则图中共有多少个大于而小于的角？ （5）图4是同学练习写字用的九宫格，图中含有多少个长方形（包括正方形）？                                                             【答案】（1）条；（2）个；（3）个；（4）个；（5）个 【分析】（1）数出线段的条数即可； （2）数出角的个数即可； （3）数出三角形的个数即可； （4）根据角的定义，得到每相邻两条射线组成的角有个，每相隔1条射线的两条射线组成的角有个，，每相隔条射线的两条射线组成的角有2个，每相隔条射线的两条射线组成的角有1个，再进行相加即可； （5）由一个格子组成的长方形有9个；由两个格子组成的长方形的个数有（个）；由3个格子组成的长方形的个数有6个；由4个格子组成的长方形的个数有4个；由6个格子组成的长方形的个数有4个；由9个格子组成的长方形的个数有1个；再进行相加即可． 【详解】解：（1）图中的线段有条：． 答：图中共有条线段． （2）图中共有个大于且小于的角： 答：图中共有个大于且小于的角． （3）由一个三角形组成的三角形个数有8个，由两个三角形组成的三角形个数有4个，由四个三角形组成的三角形个数有4个，所以共有：（个）． 答：图3中含有个三角形． （4）若从一个角的顶点出发，在角的内部引出条射线，则大于且小于的角中，每相邻两条射线组成的角有个，每相隔1条射线的两条射线组成的角有个，，每相隔98条射线的两条射线组成的角有2个，每相隔条射线的两条射线组成的角有1个， ∴大于且小于的角共有：（个）； （5）由一个格子组成的长方形有9个；由两个格子组成的长方形的个数有（个）；由3个格子组成的长方形的个数有6个；由4个格子组成的长方形的个数有4个；由6个格子组成的长方形的个数有4个；由9个格子组成的长方形的个数有1个； ∴共有（个）． 【点睛】本题考查了线段、角、三角形、长方形的个数，注意在数个数时要不重不漏． 类型二、三角形三边关系的应用 【解惑】已知的三边长a，b，c是都不相等的正整数，且满足，则的最大边c的值有（  ） A．4个 B．5个 C．7个 D．9个 【答案】A 【分析】此题主要考查了因式分解方法的应用和三角形三边关系，首先根据，应用因式分解的方法，判断出，求出、的值各是多少；然后根据三角形的三条边的长度的关系，求出的最大边的值是取值范围即可． 【详解】解：， ， ， ，， ，， ，， ， 的最大边的值可能是7、8、9、10．共4个． 故选A． 【融会贯通】 1．已知a，b，c是的三边，且，则一定是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】本题考查的是因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 根据，可得是的三边，，因此0，即，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵是的三边，， ∴，即， ∴一定是等腰三角形， 故选：C． 2．已知，，是三角形的三边长，化简： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了三角形三边关系定理，去绝对值，整式的加减的应用，先根据三角形的三边关系定理得出，，再去掉绝对值符号合并即可，解题的关键是熟练掌握知识点的应用． 【详解】解：∵，，是三角形的三边长， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为：． 3．阅读材料： 若，求，的值． 解：， ， ， ，， ．3 根据上述材料，探究下列问题： (1)若的三边长，，均为正整数，且满足，求周长的最小值； (2)若的三边长为，，，且满足，试判断是什么形状的三角形，并说明理由． 【答案】(1)11 (2)等边三角形，见解析 【分析】本题考查的是配方法的应用、三角形的三边关系、等边三角形的判定，灵活运用配方法是解题的关键． （1）利用配方法把原式变形，根据非负数的性质分别求出、，根据三角形的三边关系确定的范围，根据三角形的周长公式计算，得到答案； （2）利用配方法把原式变形，根据非负数的性质得到，根据等边三角形的概念判断即可． 【详解】（1）解：， 则， ， ，， ，， 则，即， 为正整数， 的最小值为， 周长的最小值为：； （2）为等边三角形． 理由如下：， 则， ， ， ，， ， 为等边三角形． 类型三、三角形中线求面积 【解惑】如图，在中，已知点、、分别是、、的中点，且的面积是8，则的面积是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】此题考查了利用三角形中线求面积，依据三角形的面积公式及点、、分别是、、的中点，推出，从而求得的面积． 【详解】解：∵点、、分别是、、的中点， ∴,，、， ∴； ∵的面积是8， ∴． 故选：B 【融会贯通】 1．如图，在中，点是边上的一点，，分别是，的中点，连接，，若，则的面积为（    ） A．5 B．15 C．20 D．25 【答案】C 【分析】本题考查了与中线有关的面积计算，根据中线平分面积，根据等底同高的三角形面积相等，可得答案． 【详解】是的中点， 是的中点 ， ． 故选：C． 2．如图，是的中线，是的中点．若，则 ． 【答案】 【分析】此题考查三角形中线的性质和三角形面积，先求出，再求出，，则，根据是的中线即可得到答案． 【详解】解：∵F是的中点．， ∴， ∵是的中线， ∴是的中点， ∴ ∵ ∴ ∴， ∴， ∵是的中线， ∴ 故答案为： 3．【问题情境】 如图1，是的中线，与的面积有怎样的数量关系？ 小旭同学在图1中作边上的高，根据中线的定义可知．因为高相同，所以，于是． 据此可得结论：三角形的一条中线平分该三角形的面积． (1)【深入探究】 如图2，点D在的边上，点P在上． 若是的中线，请判断与的大小关系，并说明理由． 若，则：______． (2)【拓展延伸】 如图3，分别延长四边形的各边，使得A，B，C，D分别为的中点，依次连接E，F，G，H得四边形．直接写出，与之间的等量关系；_______． 【答案】(1)①，理由见解析；② (2) 【分析】本题考查了三角形的中线，掌握三角形的一条中线把原三角形分成两个等底同高的三角形是题的关键． （1）①根据中线的性质可得，点为的中点，推得是的中线，，得到，即可得出结果；②设边上的高为，根据三角形的面积公式可得，，即可推得，同理推得，即可求得，即可证明； （2）连接，，，根据中线的判定和性质可得，，，，推得，，即可求得，即可证明． 【详解】（1）解：①证明：∵是的中线， ∴点为的中点，， ∴是的中线， ∴， ∴， 即， ∴ ②设边上的高为， 则，， ∵， ∴， 同理， 则， 即， ∴． （2）①证明：连接，，，如图： ∵点、、、分别为、、、的中点， ∴，，，分别为，，，的中线， ∴，，，， ∴， ∵， 即． 类型四、三角形的角平分线与高综合 【解惑】如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，给出以下结论：①；②；③；④；⑤；⑥，其中结论正确的有(    ) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，掌握它们的定义是解题的关键．根据三角形的中线的性质判断①和④；根据直角三角形的两锐角互余以及对顶角相等判断②；根据角平分线的定义判断③，根据题意判断⑤，根据三角形的面积公式判断⑥． 【详解】解：是的中线， ， 故④正确，符合题意； 是角平分线， ， ， ， ， ， ， ， ， 故②正确，符合题意； ，， ， 故③正确，符合题意； 由已知条件不能确定， 与的关系不能确定，故⑤错误，不符合题意； ∵不一定是的中点，无法证明，故①错误，不符合题意； ∵，是高， ∴ ∴，故⑥正确 综上，符合题意的有4个， 故选：C 【融会贯通】 1．如图，是的角平分线，点O在上，且于点E，，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据可知，再由可求得的度数，再由角平分线的定义可得，再利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的角平分线，， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查三角形内角和定理、角平分线的定义、垂线的定义、直角三角形的性质，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键． 2．如图，是的高线，是的角平分线．，，则的度数为 ．    【答案】/70度 【分析】由高线可得，再由三角形的内角和可求得，从而可求得，由角平分线的定义可求得，即可求． 【详解】解：是的高线， ， ， ， ， ， 是的角平分线， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理，角平分线的定义，解答的关键是结合图形分析清楚各角之间的关系． 3．如图，在锐角中，，分别是的高和角平分线，是直线（不与重合）上任意一点，且于．    (1)如图①，当点与点重合时，请你写出图中与、之间的数量关系吗?并说明理由． (2)如图②，当点在线段上时，若，则的度数为 ． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】（1）由垂线的定义可得，推出，，由角平分线的定义可得，从而得到，推出，代入进行计算即可得到答案； （2）作于，由（1）同理可得：，再由平行线的判定与性质即可得到答案． 【详解】（1）解：， 理由如下： ， ， ，， ，， 平分， ， ，， ， ； （2）解：如图，作于，   ， 由（1）同理可得：， ， ， ，， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂线的定义、角平分线的定义、平行线的判定与性质，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键． 类型五、三角形的三种角平分线 【解惑】如图①，在中，与的平分线相交于点． (1)若，则的度数是 ； (2)如图②，作外角，的角平分线交于点，试探索，之间的数量关系． (3)如图③，延长线段，交于点，在中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，求的度数． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 或 或 或． 【分析】此题主要考查了三角形的内角和定理，三角形的外角定理，角平分线定义，熟练掌握三角形的内角和定理，三角形的外角定理，理解角平分线定义是解决问题的关键． （1）根据角平分线定义及三角形内角和定理得，则，再根据可得的度数； （2）由三角形的外角定理及三角形三角形内角和定理得，再由角平分线定义得，由此得，之间的数量关系； （3）先求出，根据得，然后分四种情况讨论如下：①当时，则，此时，②当时，则，此时，③当时，则，此时，④当时，则此时，综上所述即可得出答案． 【详解】（1）在中，， 与的平分线相交于点， ，， ， ， ， ， 故答案为：． （2），之间的数量关系是：，理由如下： ，，， ， 点是和的角平分线的交点 ， ， ， 故，之间的数量关系是：； （3）平分，平分，， ，， ， 即， ， 由（2）可知：， ， ， 如果在中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，那么有以下四种情况： ①当时，则， ， 此时， ②当时，则， ，则， 此时， ③当时，则， ， 此时， ④当时，则， ， 此时， 综上所述，的度数是 或 或 或． 【融会贯通】 1．直线与直线相交于点O，点A在射线上运动，点B在射线上运动．    (1)如图1，当直线与直线垂直时，、分别是和的角平分线，点A，B在运动的过程中，的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，请说明理由，并求出的大小．（提示：三角形三个内角的和等于） (2)如图2，点A，B在运动的过程中，、分别是和的角平分线，、的延长线交于点F，的角平分线和的角平分线相交于点E．求证：．（提示：可作结论用） (3)如图2，点A，B在运动的过程中，请探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)不变，理由见解析， (2)见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义、三角形内角和定理；熟练掌握角平分线的定义和三角形内角和定理，弄清角之间的数量关系是解决问题的关键． （1）由角平分线的定义和三角形内角和定理即可得出结果； （2）由角平分线的定义、三角形内角和定理和角的关系即可得出结果； （3）由角平分线的定义和角的关系即可得出结果． 【详解】（1）解：当直线与直线垂直时，， ． 、分别是和的角平分线， ，． ． ． （2）解：由已知得：． ，， ． ． （3）解：在中，， ． ． （2）知 ． ． 2．综合与实践 在数学学习过程中，对有些具有特殊结构，且结论又具有一般性的数学问题我们常将其作为一个数学模型加以识记，以积累和丰富自己的问题解决经验． 【结论发现】三角形的一个内角平分线与另一内角的外角平分线的夹角的度数是三角形第三内角度数的一半． 【结论探究】 （1）如图1，在中，点E是内角平分线与外角的平分线的交点，则有，请给出证明过程． 请直接应用上面的“结论发现”解决下列问题： 【简单应用】 （2）如图2，在中，．延长至G，延长至H，已知、的角平分线与的角平分线及其反向延长线交于E、F，求的度数； 【变式拓展】 （3）如图3，四边形的内角与外角的平分线形成如图所示形状．已知，，求的度数和是多少？ 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3） 【分析】（1）根据三角形外角的性质及角平分线的定义，即可得到答案 （2）先推导出，再推导出，进而可以求解 （3）延长，交于点M，延长、交于点N，可得，进而即可求解 【详解】解：（1）如图， ∵点E是内角平分线与外角的平分线的交点 ∴，， ∵，，， ∴， ∴； （2）如图， ∵，、的角平分线与的角平分线及其反向延长线交于E、F， ∴， ∴； ∴； （3）延长，交于点M，延长、交于点N， 如图所示， ∵、平分 ， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴ 【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，三角形的外角的性质，角平分线的定义，掌握三角形外角的性质，是解题关键． 3．教材呈现：华师版义务教育教科书数学七下第82页部分内容． 如图，在中，，，平分，平分，求的度数．   解：∵平分（已知）， ∴． 同理可得________°． ∵（               ）， ∴（等式的性质） ________ ________． （1）对于上述问题，在解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）． 问题推广： （2）如图，在中，、的角平分线交于点P，将沿折叠使得点A与点P重合，若，则________度． （3）如图，在中，的角平分线与的外角的角平分线交于点P，过点B作于点H，若，则________度． 【答案】（1）25；三角形的内角和等于；；；（2）114；（3）49 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，平行线的性质，垂线的定义，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据三角形内角和定理和角平分线的定义求解即可； （2）先由折叠的性质和平角的定义得到，进而求出，同（1）即可得到答案； （3）先由角平分线的定义得到，，再由三角形外角的性质得到，继而得到，再由垂线的定义得到，则； 【详解】解：（1）∵平分（已知）， ∴． 同理可得． ∵（三角形内角和定理）， ∴（等式的性质） ． 故答案为：，三角形内角和定理，，； （2）由折叠的性质可得，， ，，， ， ， ， ， 平分，平分， ，， ， 即， ， 故答案为：； （3）平分，平分， ，， ，即，， ， ， ， 即， ； 故答案为：49； 类型六、三角形的折叠 【解惑】如图所示，将三角形纸片沿折叠． (1)当点A落在四边形内部时，、、的度数之间有怎样的数量关系？请你把它找出来，并说明你的理由； (2)当点A落在四边形外部时，、、的度数之间又有怎样的数量关系？直接写出结论，不用说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理翻折的性质，整体思想的利用是解题的关键． （1）根据翻折的性质表示出，再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解； （2）先根据翻折的性质以及平角的定义表示出，再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图， 根据翻折的性质，，， ， ， 整理得，； （2），理由如下： 如图： 根据翻折的性质，，， ， ， 整理得，． 【融会贯通】 1．（1）如图1，将纸片沿折叠，使点落在四边形内点的位置．则、、之间的数量关系为： ； （2）如图2，若将（1）中“点落在四边形内点的位置”变为“点落在四边形外点的位置”，则此时，、之间的数量关系为： ； （3）如图3，将四边形纸片，与不平行）沿折叠成图3的形状，若，，求的度数； （4）在图3中作出、的平分线、，试判断射线、的位置关系，当点在边上向点移动时（不与点重合），、的大小随之改变（其它条件不变），上述，的位置关系改变吗？为什么？ 【答案】（1）；（2）；（3）；（4），的位置关系不变，即． 【分析】（1）连接，证明，结合，，再利用角的和差关系可得答案； （2）连接，证明，结合，，再利用角的和差关系可得答案； （3）如图，延长，交于点，延长，交于点，则对折后与重合，由（2）的结论可得：，可得，再利用三角形的内角和定理可得答案； （4）如图，平分，平分，可得，，由对折可得：，， 由（2）的结论可得：，即，证明，可得． 【详解】解：（1）结论：， 理由：连接， 沿折叠和重合， ， ，， ． （2）， 理由：连接， 沿折叠和重合， ， ，， ； （3）如图，延长，交于点，延长，交于点， 则对折后与重合， 由（2）的结论可得：，而，， ， ， ， ； （4），理由见解析 如图，平分，平分， ，， 由对折可得：，， 由（2）的结论可得：，即 ， ， ， ， ∴． 【点睛】本题考查三角形综合，三角形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质，轴对称的性质，熟记轴对称的性质并进行解题是关键． 2．如图所示，现有一张纸片，点D，E分别是边上两点，若沿直线折叠．    (1)如果折成图（1）的形状，使点A的对应点落在上，则与的数量关系是_______； (2)如果折成图（2）的形状，猜想与的数量关系，并说明理由； (3)如果折成图（3）的形状，猜想，和的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查折叠变换，三角形外角，多边形内角和问题： （1）根据折叠性质和三角形的外角定理得出结论； （2）先根据折叠得：，，由两个平角和得：等于与四个折叠角的差，化简得结果； （3）利用两次外角定理得出结论． 【详解】（1）如图1，，理由是：    由折叠得：， ∵， ∴； 故答案为：； （2）如图2，猜想：，理由是：    由折叠得：，， ∵， ∴， ∴； ∴； （3）如图3，，理由是：    ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．如图①，在中，沿的平分线折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿的平分线折叠，剪掉重复部分……将余下部分沿的平分线折叠，点与点C重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，则称是的好玩角． 小马展示了确定是的好玩角的两种情形． 情形一：如图②，沿等腰三角形顶角的平分线折叠，点B与点C重合； 情形二：如图③，沿的平分线折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿的平分线折叠，此时点与点C重合．    探究发现： (1)在中，，，经过两次折叠，是的好玩角，求的度数． (2)小马经过三次折叠发现了是的好玩角，请探究与（不妨设）之间的等量关系为________．根据以上内容猜想：若经过n次折叠是的好玩角，则与（不妨设）之间的等量关系为________． 应用提升： (3)小马找到一个三角形，三个角分别为，，，发现和的两个角都是此三角形的好玩角．请你完成，如果一个三角形的最小角是，试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的好玩角． 【答案】(1) (2)； (3)和或和 【分析】（1）设，根据好玩角的定义可得，再由三角形外角的性质，可得，即可求解； （2）根据好玩角的定义以及三角形外角的性质，即可求解； （3）由题意可设另外两个的度数分别为和，其中m，n为正整数，根据三角形内角和定理可得，即可求解． 【详解】（1）解：如图③，设， ∵经过两次折叠，是的好玩角， ∴， 又∵是的外角， ∴， 由题意， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，    ∵经过三次折叠是的好玩角， ∴第三次折叠的， ∵，， ∴， 由此可猜想经过n次折叠是的好玩角，则； 故答案为：；； （3）解：由题意可设另外两个的度数分别为和，其中m，n为正整数，根据题意： ， ∴， ∴m，n均为正整数， ∴有两种情况： ①，， 此时三角形的另外两个角的度数分别为：和； ②，， 此时三角形的另外两个角的度数分别为：和； 综上所述：三角形另外两个角的度数和或和． 【点睛】本题主要考查了折叠问题的综合题，涉及了折叠的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，图形类规律题，根据题意得到规律是解题的关键． 类型七、三角形的八字形 【解惑】试解答下列问题： (1)在图1我们称之为“8字形”，请直接写出、、、之间的数量关系：______； (2)仔细观察，在图2中“8字形”的个数是______个； (3)在图2中，若，，和的平分线和相交于点P，并且与、分别相交于M、N．求的度数．        【答案】(1) (2)6 (3) 【分析】（1）根据对顶角相等以及三角形内角和定理即可得出； （2）根据“8字形”的定义，仔细观察图形即可得出“8字形”共有6个； （3）先根据“8字形”中的角的规律，可得①，②，再根据角平分线的定义，得出，，将，可得，进而求出的度数； 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：如图： ①线段、相交于点O，形成“8字形”； ②线段、相交于点O，形成“8字形”； ③线段、相交于点N，形成“8字形”； ④线段、相交于点O，形成“8字形”； ⑤线段、相交于点M，形成“8字形”； ⑥线段、相交于点O，形成“8字形”； 故“8字形”共有6个； （3）解：因为， 所以，① 同理得，② ∵和的平分线和相交于点P， ∴，， 得：， 即， 又∵，， ∴， ∴； 【点睛】本题主要考查了新定义内容，对顶角相等、三角形内角和定理，角平分线的定义及阅读理解与知识的迁移能力．（1）中根据三角形内角和定理得出“8字形”中的角的规律；（2）是考查学生的观察理解能力，需从复杂的图形中辨认出“8字形”；（3）直接运用“8字形”中的角的规律解题． 【融会贯通】 1．（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明； （2）如图2，，、分别平分、， ①图2中共有______个“8字形”； ②若，，求的度数；（提醒：解决此问题你可以利用图1的结论或用其他方法） ③猜想图2中与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）说明见解析；（2）①6；②；③，理由见解析 【分析】（1）利用三角形的内角和定理表示出与，再根据对顶角相等可得，然后整理即可得解； （2）①根据“8字形”的结构特点，根据交点写出“8字形”的三角形，然后确定即可； ②根据（1）的关系式求出，再根据角平分线的定义求出，然后利用“8字形”的关系式列式整理即可得解； ③根据“8字形”用、表示出，再用、表示出，然后根据角平分线的定义可得，然后整理即可得证． 【详解】解：（1）在中，， 在中，， （对顶角相等）， ， ； （2）如图， ①交点有点、各有1个，交点有4个， 所以，“8字形”图形共有6个； 故答案为：6； ②，， ， ， 、分别是和的角平分线， ，， 又， ； ③根据“8字形”数量关系，，， 所以，，， 、分别是和的角平分线， ，， ， 整理得，． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，对顶角相等的性质，整体思想的利用是解题的关键． 2．（1）已知：如图①的图形我们把它称为“8字形”，试说明：． （2）如图②，分别平分，若，求的度数． （3）如图③，直线平分，平分的外角，猜想与的数量关系并证明．    【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】（1）根据三角形的内角和，得出，结合对顶角相等，即可求证； （2）设，，根据（1）中的结论，列出方程组，可得，即可求解； （3）根据题意可得，，推出，根据（1）中的结论得出，推出，则，即可得出结论． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∵， ∴；    （2）∵分别平分，设，， 则有， ∴， ∴    （3）∵直线平分平分的外角， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即．    【点睛】本题主要考查了是三角形的内角和，对顶角相等，解二元一次方程组，解题的关键是掌握三角形的内角和为，对顶角相等，以及加减消元法． 3．[问题背景] （1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说理证明； [简单应用]（可直接使用问题（1）中的结论） （2）如图2，、分别平分、， ①若，，求的度数； ②和为任意角时，其他条件不变，试直接写出与、之间的数量关系为 ． [问题探究] （3）如图3，直线平分的邻补角，平分∠ADC的邻补角，若，，则的度数为 ． [拓展延伸] （4）在图4中，若设，，，，试问与、之间的数量关系为 ．（用x、y的代数式表示）    【答案】（1）见解析；（2）①；②；（3）；（4） 【分析】（1）利用三角形内角和定理解决问题即可； （2）①设，利用（1）中结论，构建方程组即可解决问题； ②由①的结论即可得到数量关系； （3）如图3中，设．利用（1）中结论，构建方程组即可解决问题； （4）如图4中，设，则，利用（1）中结论，构建方程组即可解决问题． 【详解】解：（1）如图1中，    ∵，，， ∴； （2）①如图2中，    设，， 则有， ∴， ∴， ∴； ②由①得：； （3）如图3中，设，，    则有，， ∴， ∴； 故答案为：； （4）如图4中，设，，则，，    则有， ∴ ， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，“8字型”四个角之间的关系等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题． 类型八、三角形的新定义 【解惑】我们定义：在一个三角形中，如果有一个角的度数是另一个角度数的3倍，那么这样的三角形我们称之为“完美三角形”．如：三个内角分别为的三角形是“完美三角形”． (1)如图1，，在射线上找一点A，过点A作交于点B．则______°，______“完美三角形”（填“是”或“不是”）； (2)如图2，为钝角，点D在的边上，连接，作的平分线交于点E，在上取一点F，使，，请问与是否平行？并说明理由． (3)若是“完美三角形”，求的度数． 【答案】(1)；是 (2)平行，理由见解析 (3)的度数是 【分析】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质与判定，“完美三角形”的概念，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键． （1）根据垂直的定义、三角形内角和定理求出的度数，根据“完美三角形”的概念判断； （2）根据同角的补角相等得到，根据平行线的性质得到，推出； （3）根据得到，根据角平分线的定义得到，求得，根据“完美三角形”的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴为“完美三角形”， 故答案为：；是； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， 又， ∴， ∵是“完美三角形”，且为钝角， ∴， ∵， ∴， 因此的度数是． 【融会贯通】 1．【定义】如果两个角的差为，就称这两个角互为“创新角”，其中一个角叫做另一个角的“创新角”． 例如：，，，则和互为“创新角”，即是的“创新角”，也是的“创新角”． (1)已知和互为“创新角”，且，若和互补，则___________； (2)如图1所示，在中，，过点作的平行线，的平分线分别交、于、两点． ①若，且和互为“创新角”，则___________； ②如图2所示，过点作的垂线，垂足为，、相交于点．若与互为“创新角”，求的度数； ③如图3所示，的平分线交于点，当和互为“创新角”时，则__________． 【答案】(1) (2)①；②或；③，或． 【分析】本题是关于新定义的问题，考查了角平分线定义，平行线的性质，三角形内角和定理以及直角三角形的两锐角互余等，注意分情况讨论，是解题的关键． （1）根据创新角的定义，再结合补角的定义即可解答； （2）①设的度数为，则，根据角平分线的定义可得，再利用平行线的性质得到，利用“创新角”的概念，列方程即可解答； ②考虑两种情况，即和，两种情况，设的度数为，利用角平分线的性质和直角三角形两锐角互余，用表示和，列方程，即可解答． ③考虑两种情况，即和，两种情况，设的度数为，利用角平分线的性质和三角形内角和定理，求得，即可解答． 【详解】（1）解：∵和互为“创新角”，且，若和互补， ， ； 故答案为：； （2）解：①设的度数为， ∵，则， 的平分线分别交于D， E两点， ， ， ， ，和互为“创新角”， ， 可得， 解得， ； ②设的度数为， ∵，则， 的平分线分别交于D， E两点， ， ， ， ， ∵与互为“创新角”， ∴或， ∴或， 解得或； ③设， ∵，则， 的平分线分别交于D， E两点， ， ， ，， ∵的平分线交于点， ∴， ∴ ∴， ∵和互为“创新角” ∴或， ∴或， ∴，或； 综上所述，的度数为或． 2．新定义：在中，若存在一个内角是另外一个内角度数的n倍（n为大于1的正整数），则称为n倍角三角形．例如，，可知，所以为2倍角三角形． (1)在中，，则为 倍角三角形． (2)如图1，直线与直线相交于O，；已知、的角平分线交于点C，在中，在中，如果有一个角是另一个角的2倍，请求出的度数． (3)如图2，直线⊥直线于点O，点A、点B分别在射线上，已知、的角平分线分别与的角平分线所在的直线交于点、．若为3倍角三角形，试求的度数． 【答案】(1)3 (2)或或或 (3)或 【分析】本题考查三角形的内角和定理，余角的意义等知识，读懂新定义倍角三角形的意义和分类讨论是解决问题的基础和关键． （1）由，可知，再根据倍角三角形的定义可得结论． （2）先求出，，然后分四种情形分别求解即可． （3）先证明，，然后分四种情形分别求解即可． 【详解】（1），， ， ， 为3倍角三角形， 故答案为：3； （2）解：∵， ∴． 又∵平分，平分， ∴， ∴． ①当时， ∵， ∴； ②当时， ∵， ∴； ③当时， ∵， ∴； ④当时， ∵， ∴， ∴． 综上，在中当一个角是另一个角的2倍时，等于或或或； （3）平分，平分， ，， ， ； 又平分， ①， ②； 得：． 若为3倍角三角形： 若， ， ， ； 若， ， （不符合题意，舍去）； 若， ， ； 若， ，， （不符合题意，舍去）； 综上所述，等于或时，为3倍角三角形． 3．【定义】如果两个角的差为，就称这两个角互为“伙伴角”，其中一个角叫做另一个角的“伙伴角”． 例如：，即是的“伙伴角”，也是的“伙伴角”． (1)已知和互为“伙伴角”，且，则 ． (2)如图1所示，在中，，过点C作的平行线，的平分线分别交于D、E两点 ①若，且和互为“伙伴角”，求的度数； ②如图2所示，的平分线交于点F，当和互为“伙伴角”时，的度数为多少？ 【答案】(1)或 (2)①；②或 【分析】本题是关于新定义的问题，考查了角平分线定义，平行线的性质，三角形内角和定理等，注意分情况讨论，是解题的关键． （1）考虑两种情况，即，根据“伙伴角”的定义，再结合补角的定义即可解答； （2）①设的度数为，则，根据角平分线的定义可得，再利用平行线的性质得到，利用“伙伴角”的概念，列方程即可解答； ②考虑两种情况，即和，两种情况，设的度数为，利用角平分线的性质和三角形内角和定理，用表示，列方程，即可解答． 【详解】（1）解：当时，， ， ； 当时，， ， ， 故答案为：或； （2）①设的度数为， ，则， ∵的平分线分别交于两点， ， ， ， ， ， 可得， 解得， ； ②设的度数为， ， ， 平分， ， 根据①可得， ， 当时，可得； 当时，可得； 综上所述，的度数为或． 【一览众山小】 1．如图，为的中线，为的中线，为的中线，…，按此规律，为的中线，若的面积为1，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的面积公式，三角形的中线，找规律，根据三角形的中线把三角形的面积分成了相等的两部分进行解答即可得；理解题意，根据三角形的中线找出规律是解题的关键． 【详解】解：∵为的中线，的面积为1， ∴， ∵为的中线，， ∴， ∵为的中线，， ∴， … 按此规律，为的中线，则的面积为：， 故选：D． 2．如图，的中线、相交于点O，，且，，则四边形的面积是（　　） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的中心、与中线有关的三角形的面积的计算、三角形面积公式，由三角形面积公式得出，再根据三角形重心性质得出，，，求出，，从而得出，最后再由四边形的面积计算即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵的中线、相交于点O， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形的面积， 故选：B． 3．如图，，且点E在与的上方，与的角平分线交于点F，交EF于点G，若，设，则用表示 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解答本题的关键．由三角形外角的性质得，由三角形内角和得，由平行线的性质得，求出，进而可求出． 【详解】解：设交与点H， ∵，， ∴， ∴． ∵与的角平分线交于点F， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 4．如果三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”．如图，在中，，，是射线上一点，且是“准直角三角形”，则的所有可能的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了“准直角三角形”的定义、直角三角形的性质等知识，理解新定义“准直角三角形”是解题关键．根据“准直角三角形”的定义，分类讨论即可解决问题． 【详解】解：∵在中，，， ∴， 分两种情况讨论， 如下图，当时，则， 此时，即， ∴①， ∵②， 由②①，可得， ∴； 如下图，当时，则， 此时，即， ∴③， ∵④， 由，可得， ∴． 综上所述，的所有可能的度数为或． 故答案为：或． 5．(三角形面积)如图，三角形中，D为边上任一点，，三角形的面积为1平方厘米，求三角形的面积． 【答案】9平方厘米 【分析】本题考查三角形的中线，连接，根据三角形的中线平分面积，同高三角形的面积比等于底边比，进行求解即可． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴三角形的面积（平方厘米） 6．已知：如图1，在中，和的平分线相交于点P． (1)若，求的度数； (2)设（n为已知数），则的度数______； (3)如图2，在中，的三等分线与的角平分线分别交于点D、E，若，，则______°； (4)如图3，在中，和的三等分线交于点E、D，若，，则_______°． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查的是与角平分线，三等分线有关的内角和定理； （1）根据角平分线的定义得到，，再利用三角形内角和定理得，，则，整理得到，然后把代入计算即可； （2）把代入（1）中的结论即可； （3）由条件可得，，可得，再代入数据进一步可得答案； （4）由条件可得，，可得，再代入数据进一步可得答案； 【详解】（1）解：如图， ∵和的平分线相交于点P． ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴ 当时，； （2）解：由（1）得：当时，； （3）解：∵的三等分线与的角平分线分别交于点D、E， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴； （4）解：∵和的三等分线交于点E、D， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴； 7．【基础探究1】（1）如图1，中，平分，平分，探求与之间的数量关系； 【基础探究2】（2）如图2，中，、是的三等分线，、是的三等分线，则与之间的数量关系是______； 【基础探究3】（3）如图3，中，、、是的四等分线，、、是的四等分线，则与之间的数量关系是______； 【拓展与探究】（4）如图4，中，、、……、、是的等分线，、、……、、是的等分线，请用一个等式表示、、三者之间的数量关系是______； 【探究与应用】（5）中，、、……、是的2024等分线，、、……、是的2024等分线，若与的和是的7倍，则______． 【答案】（1）（2）（3）（4）（5）105 【分析】本题考查三角形的内角和定理，n等分线的定义． （1）由三角形的内角和定理可得，由角平分线得到，，从而； （2）由三等分线可得，，从而； （3）同（2）思路即可求解； （4）同（2）（3）思路即可，，两式相加即可解答； （5）同（4）思路可得，又，即可求得，同理有，即可解答． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴ ． （2）∵、是的三等分线，、是的三等分线， ∴，， ∴ ． 故答案为： （3）∵、、是的四等分线，、、是的四等分线， ∴，， ∴ ． 故答案为： （4）∵、、……、、是的等分线，、、……、、是的等分线， ∴，， ，， ∴ ， ， ∴． 故答案为： （5）∵、、……、是的2024等分线，、、……、是的2024等分线， ∴，， ，， ∴ ， ， ∴， ∵ ∴， ∴， 同理可得． 故答案为：105 8．【数学经验】三角形的中线，角平分线，高是三角形的重要线段，我们知道，三角形的3 条高所在直线交于同一点． （1）①如图1， 中， 则的三条高所在的直线交于点 ；②如图2， 中， 已知两条高，请你仅用一把无刻度的直尺（仅用于过任意两点作直线、连接任意两点、延长任意线段）画出 的第三条高．(不写画法，保留作图痕迹)． 【综合应用】 （2）如图3，在 中，平分，过点B作边上的高线交于点E． ①若 则 ； ②请写出与之间的数量关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，如果两个三角形的高相同，则它们的面积比等于对应底边的比，如图4，点M是上一点，则有 ．如图5，中，点M是上一点且 点N是的中点，若的面积是m，请直接写出四边形的面积 ．（用含m的代数式表示） 【答案】（1）①；②作图见解析部分；（2）①；②；（3）． 【分析】本题是四边形综合题目，考查了四边形面积的计算、三角形的高、三角形的中线、三角形内角和定理、三角形的面积等知识；本题综合性强，熟练掌握三角形的三条高交于一点和三角形面积关系是解题的关键． （1）①由直角三角形三条高的定义即可得出结论； ②延长、交于点，连接，延长交于点，则为的第三条高； （2）①由三角形内角和定理和角平分线定义得，再由直角三角形的性质得，即可求解； ②由三角形内角和定理和角平分线定义求解即可； （3）连接，由中线的性质得，同理，设，则，再求出，，然后由面积关系求出，即可解决问题． 【详解】解：（1）①直角三角形三条高的交点为直角顶点，， 的三条高所在直线交于点， 故答案为：； ②如图2，延长、交于点，连接，延长交于点，则线段为的第三条高； （2）①，， ， 平分， ， ， ， ， ， 故答案为：； ②与，之间的数量关系为：，理由如下： ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 即； （3）连接，如图5所示： 是的中点， ， ， 同理：， 设， 的面积是， ， ， ， ， ，， ，， ，， ， 即：， 解得：， ． 故答案为： 6 学科网（北京）股份有限公司 $$