2.2基本不等式说课课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

2.2 基本不等式 数学组 人教版 高中数学 必修第一册 CONTENTS 目 录 一 课标教材分析 二 学情分析 三 教学重难点 四 教法学法分析 五 教学过程 六 教学反思 一、课标教材分析 课标分析 掌握基本不等式（a，b≥0）。结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题。 一正二定三相等 教学目标：1.学生通过动手操作，亲身体验基本不等式的来源及证明过程。 2.学生能够利用基本不等式求简单的最值问题。 3.学生在使用基本不等式时注意三个限制条件。 教材分析 “基本不等式”是必修第一册的重点内容，也是高考的重点考查内容，在高考中占有重要地位，因此我们需要着重重视。基本不等式是在学习完“不等式的解法”、“不等式的性质”的基础上对不等式的进一步探究，有着承前启后的作用。基本不等式在高考热点求最值问题中有着广泛的应用。本节知识又渗透了数形结合、化归等重要数学思想，有利于培养学生的数学素养。 二、学情分析 学情分析 在之前的学习中，学生掌握了不等式的性质和比较法证明不等式，因此学生能够掌握基本不等式的几何证明和代数证明，具备了一定的逻辑推理与数学计算能力。 易让学生产生困惑的是在什么情况下可以使用基本不等式。另外，在使用基本不等式时，学生往往容易忽视基本不等式的使用条件和等号成立的条件。学生的数学应用能力需要进一步加强。 三、教学重难点 教学重难点 教学 重难点 教学重点 掌握基本不等式的定义及证明方法，会使用基本不等式求解简单的最值问题。 教学难点 学生清楚何时使用基本不等式，使用基本不等式求最值时，考虑“一正二定三相等”。 四、教法学法分析 教法学法分析 本节课采用“启发-探究-讨论”的教学模式。先让学生动手折纸，通过面积的直观比较抽象出基本不等式。从实际问题出发还原出数学本质，可调动学生学习热情。学生通过自主探究、讨论后得到定理的证明，“将课堂还给学生，让课堂焕发出生命力”，充分体现学生为主体，教师为主导。 以培养学生探究精神为出发点，着眼于知识的形成和发展，着眼于学生的学习体验，设置问题，由浅入深、循序渐进，给不同层次的学生提供思考、学有所获的机会。 多媒体辅助教学、实物投影等。 教法分析 学法分析 教学手段 五、教学过程 教学过程 环节一 课堂导入 创设情境 【思考】 【探究过程】 步骤一：将纸沿对角线方向对折，得到两个三角形的面积和为。 a b 步骤二：将两张三角形的斜边对在一起，此时两张纸下半部分可看做是矩形，矩形的面积为。 设计意图：1. 以灰太狼和喜羊羊的卖菜故事开始本节课，充分激发学生的学习兴趣，增加数学的趣味性； 2. 以折纸游戏开始本节课的实验探究，不仅操作简单，更可以引发学生对于基本不等式的探究欲望。 3min G2 G1 步骤三：观察两个三角形面积和与矩形面积之间的关系，得出矩形面积不大于三角形面积和，即可得到基本不等式。 教学过程 环节二 深化概念 探究推理 基本不等式： 若a>0，b>0，则有，当且仅当a=b时，等号成立。 设计意图：1.教师强调基本不等式注意事项，旨在让学生充分理解基本不等式，为后续应用打好基础。 2. 通过让学生证明基本不等式，不仅可以锻炼学生的自主思考意识，同时加强了小组内的交流，充分展现了学生 为主体的探究式课堂的教学理念。 3.多种证明方法使学生的思维得到充分拓展，独立思考证明出基本不等式大大提高学生在数学学习中的成就感。 （1）使用基本不等式的前提条件：a>0，b>0。 （2）等号成立条件：a=b。 （3）当且仅当的含义：a=b ➯ =；= ➯ a=b。 注意： 15min 了解并掌握基本不等式的代数和几何背景， 培养学生数学抽象素养。 你能用几种方法证明基本不等式： （1）比较法（作差）；（2）分析法 ； （3）几何法 学生合作证明，教师点拨 教学过程 环节三 初步运用 归纳提升 × × √ √ 解析：（1）前者恒成立，后者要求a>0，b<0。（2）、（3）基本不等式的变形。（4）x>0。 设计意图：例1反复考查基本不等式的使用前提条件和等号成立条件，突破了本节课的难点。 例 理解并掌握基本不等式的使用条件和等号成立条件， 培养学生逻辑推理素养。 学生依次判断正误， 并说明原因。 教学过程 环节三 初步运用 归纳提升 例2. （1）若x>0，求函数 的最小值，并求此时x的值； （2）已知x>2，求 的最小值，并求此时x的值； （3）已知x>0，求（x>0）的最小值，并求此时x的值； 解析（1） 解析（2） ∵x>0, ∴ = 4 当且仅当x= =2时，等号成立。 ∵x>2, ∴ +2 +2 = 4 当且仅当x-2= =2， 即x=4时，等号成立。 解析（3） ∵x>0, ∴ =3x++2 +2= 14 当且仅当3x= =6, 即x=2时，等号成立。 设计意图：通过例2学生学会利用基本不等式求解简单的最值问题，掌握本课学习重点。 会用基本不等式解决简单的最小（大）值问题， 培养学生数学运算素养。 独立思考+小组合作探究+教师总结 教学过程 环节三 初步运用 归纳提升 例3. 已知x，y都是正数，求证： （1）如果积xy等于定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值; （2）如果和x+y等于定值S，那么当x=y时，积xy有最大值。 ∵ x，y都是正数， ∴ ， 又∵ 积xy等于定值P， ∴ ， ∴ ， 当且仅当x=y时，等号成立。 因此，当x=y时，和x+y有最小值。 （1）证： ∵ x，y都是正数， ∴ ， 又∵ 和x+y等于定值S， ∴ ， ∴ ， 当且仅当x=y时，等号成立。 因此，当x=y时，积xy有最大值。 （2）证： 设计意图：通过例3学生利用基本不等式求解简单的最值问题，发现并总结做题规律，积定和最小，和定积最大。 掌握基本不等式求解最值问题的一般思路， 培养学生逻辑思维能力。 学生上台展示， 教师规范步骤 教学过程 环节三 初步运用 归纳提升 例4. 灰太狼在与羊村斗智斗勇过程中屡屡受挫后，发誓不再抓羊，转行卖菜。于是，灰太狼用不等臂天平为喜羊羊称重，第一次用左边称重为G1，第二次用右边再次称重为G2，灰太狼说菜的重量为，喜羊羊陷入沉思中，难道灰太狼真的不再骗羊了吗？ a b 设不等臂天平左臂长为a，右臂长为b，菜的重量为G。 根据杠杆定理得： 当且仅当a=b时，等号成立。 解: 设计意图：例4是对本节课知识的升华，充分体现了数学在生活中的应用价值，重返了数学的趣味性。 20min 会用基本不等式解决简单的实际应用问题， 培养学生数学抽象、数学运算素养及学科融合能力。 教学过程 环节四 总结回顾 课后作业 （1）你能说出本节课学习的公式及主要作用吗？ （2）基本不等式的使用范围和等号成立的条件分别是什么呢？ （3）基本不等式的代数意义和几何意义分别是什么？ （4）不等式的探究过程中用到了那些数学思想？ 5min 课后作业 必做题：课后习题。 思考题：1. 求函数 的值域，并作出函数图像。 2. 设a,b为正实数，比较各式大小：，， ， 设计意图：1. 总结回顾是让学生回顾本节所学知识与方法，以逐步提高学生自我获取知识的能力； 2. 课后作业是对本节课的研究方法做以适当的迁移，帮助学生巩固所学知识，也为学生留有进一步探索、发展的空间。 总结回顾 六、教学反思 教学反思 设计思路 本节课采用以引导探究为主的教学方法，整节课设计了四个环节，1个思考问题，1个探究过程，3个推理证明，4个判断，5个求解最值问题和1个实际应用问题。整节课“以教师为主导，以学生为主体”,学生通过动手探究发现问题、得出结论，通过逻辑推理验证结论，学生通过本节课学习到了知识的产生、发展、形成和验证过程，真正做到“授之以渔”。 创设情境 启发引导 探究推理 形成概念 初步运用 归纳提升 反思总结 课后作业 教学反思 板书设计 2.2 基本不等式 一、基本不等式的定义 “一正二定三相等” 二、基本不等式的证明 ① 比较法（作差）② 分析法 ③ 几何法 三、基本不等式的应用 四、课堂总结 敬请各位评委批评指正 ！ 1．判断正误(对的打“√”，错的打“×”) (1)两个不等式a2＋b2≥2ab与eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)成立的条件是相同的．(　　) (2)当a>0，b>0时，a＋b≥2eq \r(ab).(　　) (3)当a>0，b>0时，ab≤(eq \f(a＋b,2))2.(　　) (4)函数y＝x＋eq \f(1,x)的最小值是2.(　　) $$