专题12 圆的综合解答题专项训练（30道题）-2024-2025学年九年级数学上学期高频与压轴题型专项攻略（人教版）

专题12 圆的综合解答题专项训练（30道） 1．如图，是⊙的直径，切⊙于点，点是⊙上的一点，且，． (1)求证：是⊙的切线； (2)若⊙的半径为，求弦及，的长． 2．如图1，四边形内接于，是的直径，过点的切线与的延长线相交于点，且． (1)求证：； (2)过图1中的点作，垂足为（如图2），当，时，求． 3．已知内接于，于点． (1)如图，求证：； (2)如图，改变点的位置，延长依次交，于点，，若，求证：； (3)在（2）的条件下，连接并延长，交边于点，若，，求线段的长． 4．如图，为的弦，为的直径，与相交于点，连接，，，过点作于点． (1)求证：； (2)当时，求证：； (3)在（2）的条件下，若，，求图中阴影部分的面积． 5．定理证明： （1）如图1，，是的两条切线，切点分别为，，求证：； 定理应用： （2）如图2，是⊙的内接等腰三角形，，，是的切线，若，求四边形的面积． 6．如图，内接于，为的直径，点是弧的中点，交于，交于，． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)若，，求的长． 7．如图1，C，D是半圆上的两点，点P是直径上一点，且满足，则称是的“幸运角”，如图， (1)如图2，若弦，D是弧上的一点，连接交于点P，连接．求证：是的“幸运角”； (2)如图3，若直径，弦，的“幸运角”为，求的长． 8．如图，在中，为的直径，C为上一点，为的平分线交于点D，连接交BC于点E，过点A作的切线交延长线于点F，过点D作，交于点 G． (1)求证∶； (2)连接，若，请判断四边形的形状，并证明你的结论； (3)若，求的长． 9．如图，已知是的外接圆，是的直径，是的延长线上的点，弦交于点．，． (1)求证：； (2)求证：是的切线； (3)若，，求的半径． 10．如图，是的外接圆，以为边作等边三角形，且点和点在的两侧，连接． (1)如图1，若点在上，求证：； (2)在（1）的条件下，若，则____________； (3)如图2，交于点，交于点，若，直接写出的长度：____________． 11．如图1，点为轴正半轴上一点，交轴于两点，交轴于两点，点为劣弧上一个动点，且． (1)如图1，连结，取中点，连结，则的最大值为________； (2)如图2，连接．若平分交于点，求的长； (3)如图3，连接，当点运动时（不与两点重合），求证：为定值，并求出这个定值． 12．如图1，五边形是的内接五边形，，对角线于点． (1)①若，则_______； ②猜想和的数量关系，并证明； (2)如图2，当经过圆心时，若，，求； (3)作于点，求的值． 13．如图，四边形是的内接四边形，，点在弦上（不与端点重合），，过点作，垂足在延长线上，连接CE．    (1)求的半径长； (2)若，求证：直线是的切线； (3)过点作交于点，交于点，连接，猜想和有怎样的数量关系，请证明你的结论． 14．如图，已知为的直径，F为上一点，平分且交于点C，过点C作于点D，延长交于点E，连接． (1)若，求的半径； (2)求证：是的切线； (3)是否存在常数，使得，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 15．如图，是矩形的外接圆，的角平分线交的延长线于点E，交于点F．连结，，，已知． (1)证明：为等腰直角三角形． (2)若点C平分弧，求的面积． (3)当的某一边的长度是的2倍时，求的长． 16．如图1，点为等边的重心，点为边的中点，连接并延长至点，使得，连接，，，． (1)求证：四边形为菱形． (2)如图2，以点为圆心，为半径作 ①判断直线与的位置关系，并予以证明； ②点为劣弧上一动点（与点、点不重合），连接并延长交于点，连接并延长交于点，求证：为定值． 17．如图，是的内接三角形，是的直径，，，弦于，点是延长线上一点，且，连接． (1)填空： °； (2)判断与的位置关系，并说明理由； (3)取的中点，连接，求图中阴影部分的面积． 18．已知：如图1，内接于，是的直径，平分． (1)求证：； (2)如图2，分别在弧、弧上取点D和E，连接、交于点F、G，连接，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，若，，，，求的长． 19．如图，是的直径，弦交于点，，连结，． (1)如图，若，求的度数． (2)如图，点在弦上，作，分别交弦，于点，，，过作交于点． ①求证：． ②如图，连接，若，，求，的长． 20．如图，内接于，是的直径，，于点，交于点，交于点，，连接． (1)求证：是的切线； (2)判断的形状，并说明理由； (3)当时，求的长． 21．已知：点是正方形外一点，连接，． (1)如图，若，，求的长； (2)如图，过点作于点．求证：； (3)如图，连接并延长至点，使得，连接，当时，请直接写出的值． 22．如图，在半径为5的半圆中，是它的直径，点是半圆上异于点，过点作且，点是半径的中点，的延长线交于点，交的延长线于点． (1)求证：平分； (2)求证：是的切线； (3)若，半圆内（包含边界）存在点，使，求的取值范围． 23．如图，的直径为，弦为，的平分线交于点． (1)求的长； (2)试探究之间的等量关系，并证明你的结论； (3)连接，为半圆上任意一点，过点作于点，设的内心为，当点在半圆上从点运动到点时，求内心所经过的路径长． 24．如图，中，，点为边上一点，以为直径作，是的切线，过点作交的延长线于点，交于点，连接． (1)求证； (2)请你添加一个条件 ，使四边形为菱形． (3)在（2）的条件下，若，求的长． 25．已知：内接于，过点作的垂线交于点，垂足为点，连接． (1)如图1，求证：． (2)如图2，连接，，延长交于点，若，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，交于点，过点作的切线交的延长线于点，且，，求线段的长． 26．如图，直径，垂足为点，连接，为线段上一点，连接，． (1)如图，求证∶； (2)如图，为弧上一点，，垂足为点，连接交于点，为中点，求证∶． 27．如图，为直径，P为延长线上一点，过点P作切线，切点为C，，垂足为D，连接和．    (1)如图1，求证：平分； (2)在上取点E，使得； ①如图2，E为下方上一点，连接，若，求半径； ②如图3，E为上一点，且，若半径为2，则的长为______． 28．已知是圆的内接四边形的两条对角线，相交于点，且． (1)如图，求证：． (2)在图中找出一组全等的三角形，并给出证明． (3)如图，圆的半径为，弦于点，当的面积为时，求的长． 29．如图，为直径，为的弦，，延长至，且，的半径为6． (1)求证：直线与相切； (2)如图1，若，求阴影部分面积； (3)如图2，若，求的值． 30．如图，已知四边形内接于，连接交于点E，且平分． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若，求证，是等边三角形； (3)如图3，在（2）的条件下，将沿翻折得到的射线交线段于点M，交于点N，若，求线段的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12 圆的综合解答题专项训练（30道） 1．如图，是⊙的直径，切⊙于点，点是⊙上的一点，且，． (1)求证：是⊙的切线； (2)若⊙的半径为，求弦及，的长． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【分析】（1）连接，证明即可．由三角形的内角和定理可得，由切线的性质可得，根据四边形的内角和为，结合已知条件可得，于是得证； （2）连接，根据切线长定理可得，由全等三角形的判定与性质可得，于是可得，由勾股定理可求得的长，最终利用等边三角形的判定与性质可得答案． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ， ， 切⊙于点， ， ， 四边形的内角和为， ， ， 又点是⊙上的一点， 是⊙的切线； （2）解：如图，连接， 、是⊙的切线， ， 在和中，， ， ， 在中，，， ， ， ，， 是等边三角形， ． 【点睛】本题主要考查了圆的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，切线的性质，垂线的性质，多边形的内角和，切线的判定，切线长定理，全等三角形的判定与性质，含角的直角三角形，勾股定理，等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相关知识点并能灵活运用是解题的关键． 2．如图1，四边形内接于，是的直径，过点的切线与的延长线相交于点，且． (1)求证：； (2)过图1中的点作，垂足为（如图2），当，时，求． 【答案】(1)见解析(2) 【分析】（1）利用切线的性质可得，从而可得，再根据直径所对的圆周角是直角可得，从而可得，进而可得，然后利用等量代换可，从而可得，进而可得，即可解答； （2）过点作于，连接，根据垂直定义可得，再根据直径所对的圆周角是直角可得，从而可得，进而利用同角的余角相等可得，再根据同弧所对的圆周角定理可得，从而可得，进而可得，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得是的垂直平分线，从而可得经过点，根据利用等边对等角可得，再利用证明，从而可得，最后设的半径为，在中，利用勾股定理进行计算，即可解答． 【详解】（1）证明：∵是的切线， ， ， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：过点作于，连接， ， 是的直径， ， ， ∵是的切线， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的垂直平分线， 经过点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设的半径为， 在中，， ， ， 解得：， ， ∴的长为． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，线段垂直平分线的判定，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识点，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 3．已知内接于，于点． (1)如图，求证：； (2)如图，改变点的位置，延长依次交，于点，，若，求证：； (3)在（2）的条件下，连接并延长，交边于点，若，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查圆的综合题，圆周角定理，全等三角形的性质和判定，平行四边形的性质和判定，解题的关键是灵活运用所学知识，添加辅助线，借助特殊四边形解决问题； （1）如图1中，延长交 于，连接．首先证明，由即可证明． （2）由（1）可知，，由，推出，推出，推出； （3）如图中，连接、，首先证明四边形是平行四边形，得出四边形是菱形，则，由勾股定理求出半径，进而求解； 【详解】（1）证明：如图中，延长交于，连接． 是直径， ， ， ， ， ， ， ， ． （2）证明：由可知，， ， ， ， ， ． （3）解：如图中，连接、、． 由可知， ， ，，， ，， 在和中， ， ≌， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ，垂足为， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 设， ， ， ， ， ， ． 4．如图，为的弦，为的直径，与相交于点，连接，，，过点作于点． (1)求证：； (2)当时，求证：； (3)在（2）的条件下，若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据圆周角定理求出，，根据直角三角形的性质求出，则，再根据角的和差即可得证； （2）根据圆周角、弧的关系求出，再根据垂径定理推理即可得证； （3）结合（2）求出，，由勾股定理得到，再根据图中阴影部分的面积求解即可． 【详解】（1）证明：为的直径， ， ， ， ， ，即， ， ； （2）证明：， ， 为的直径， ； （3）解：连接，如图所示： 由（2）知，，， ， ，， ，， ， ， 图中阴影部分的面积． 【点睛】题考查了扇形面积的计算、垂径定理、圆周角定理、勾股定理等知识，熟练运用扇形面积的计算、垂径定理、圆周角定理是解题的关键． 5．定理证明： （1）如图1，，是的两条切线，切点分别为，，求证：； 定理应用： （2）如图2，是⊙的内接等腰三角形，，，是的切线，若，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】（1）由切线的性质得到，再由等边对等角得到，则可证明，进而证明． （2）先证明，由切线的性质得到，则，由圆周角定理得到，则，由平行线的性质得到，则可证明，得到，进而可证明是等边三角形，是等边三角形，则四边形是菱形，作于点，则，，求出，则． 【详解】（1）证明：如图1，连接、、， ，是的两条切线，切点分别为，， ，， ， ， ， ， ， ． （2）解：如图2，连接、，则， ， ， ， 与相切于点， ， ， ， ， ， ∵， ， ，， ，， ， 是等边三角形， ， 是等边三角形， ， 四边形是菱形， 作于点，则，， ，， 四边形的面积是． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，等边对等角，等边三角形的性质与判定，菱形的性质与判定，勾股定理，圆周角定理等等，正确作出辅助线是解题的关键. 6．如图，内接于，为的直径，点是弧的中点，交于，交于，． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3) 【分析】此题重点考查等腰三角形的性质、圆周角定理、切线的判定、同角的余角相等、勾股定理、角平分线的性质、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． （1）由是的直径，得，由，得，由，，得，所以，即可证明是的切线； （2）由，，得，则； （3）作于点，则，由勾股定理得，则，可求得，所以，即可由，求得． 【详解】（1）证明：是的直径， ， 点是弧的中点， ， ， ，， ， ， 是的半径，且， 是的切线． （2）证明：， ， ， ， ． （3）解：作于点， ，平分， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 的长是． 7．如图1，C，D是半圆上的两点，点P是直径上一点，且满足，则称是的“幸运角”，如图， (1)如图2，若弦，D是弧上的一点，连接交于点P，连接．求证：是的“幸运角”； (2)如图3，若直径，弦，的“幸运角”为，求的长． 【答案】(1)见解析(2) 【分析】（1）根据定义，证明即可． （2）连接，，证明，利用勾股定理求的长即可． 【详解】（1） 解：∵是直径，， ∴平分， ∴， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是的“幸运角”． （2）如图，连接，， ∵的“幸运角”为， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的长为． 【点睛】本题考查了新定义，垂径定理，圆周角定理，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握定理是解题的关键． 8．如图，在中，为的直径，C为上一点，为的平分线交于点D，连接交BC于点E，过点A作的切线交延长线于点F，过点D作，交于点 G． (1)求证∶； (2)连接，若，请判断四边形的形状，并证明你的结论； (3)若，求的长． 【答案】(1)见详解 (2)四边形为菱形，理由见详解 (3) 【分析】（1）根据角平分线的定义及等腰三角形的性质即可得到结论； （2）先根据圆周角定理，得，再证明，得四边形是平行四边形，再根据即可； （3）连接，设，，则，在和中，，及在中，，求出线段的长，再利用等面积法求解即可． 【详解】（1）证明：为的平分线， ， ， ， ， ； （2）解：四边形为菱形，理由如下： ， ， ， 为的直径， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 是菱形； （3）解：连接，设，，则， ∵过点A作的切线交延长线于点F， ， ， ， 在中，为的直径， ， ， ， 在和中， ，， 在中，，， 联立， 解得：，，即 ，即， ． 【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理，切线的性质，解一元二次方程，熟练掌握圆周角定理和勾股定理是解题的关键． 9．如图，已知是的外接圆，是的直径，是的延长线上的点，弦交于点．，． (1)求证：； (2)求证：是的切线； (3)若，，求的半径． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)9 【分析】（1）连接，如图所示，由圆周角定理得到，在和中，由三角形全等即可得到，利用三角形全等的性质即可得到答案； （2）由（1）中全等三角形性质得到，结合三角形内角和定理得到即可得证； （3）由垂直平分线的判定与性质得到，再由等边三角形的判定与性质得到，再由等腰三角形的判定与性质即可得到答案． 【详解】（1）证明：连接，如图所示： 则， ∵， ， 在和中， ∴， ∴， ； （2）证明：由（1）得， ， 又， ∵， ∴， ， ∵，即， 是的切线； （3）解：，， 垂直平分， ∴． 又， ， 为等边三角形， ， ， ， ， ， ， ，即的半径为9． 【点睛】本题考查圆综合，涉及圆周角定理、全等三角形的判定与性质、切线的判定、三角形内角和定理、垂直平分线的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握圆的基本性质及综合题型解法是解决问题的关键． 10．如图，是的外接圆，以为边作等边三角形，且点和点在的两侧，连接． (1)如图1，若点在上，求证：； (2)在（1）的条件下，若，则____________； (3)如图2，交于点，交于点，若，直接写出的长度：____________． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）在上取点E，使得，连接．由等边与圆周角定理可证得是等边三角形，从而，进而证得，因此，即可得证； （2）过点B作，交的延长线于点F，则，根据圆周角定理得，再由三角形的内角和定理得到，，因此，设，由，得到，，，即可求解； （3）由等边和等腰是三角形，可求得，，，连接，则，．在上取点H，使，连接，设，则，，由圆周角定理和三角形外角的性质得到，，，求解即可解答． 【详解】（1）在上取点E，使得，连接． ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 即， 在和中 ， ∴， ∴， ∴． （2）过点B作，交的延长线于点F． ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， ∵， ， ∴， ， ∴， ， ∴． 故答案为： （3）∵是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ， ∴ 连接， ∵， ∴， ∴． 在上取点H，使，连接， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 故答案为： 【点睛】本题考查圆周角定理，等边三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，三角形的内角与外角，勾股定理，含角的直角三角形的性质等．解题的关键是在含内角的三角形中，正确作出辅助线，根据与，角的关系求解． 11．如图1，点为轴正半轴上一点，交轴于两点，交轴于两点，点为劣弧上一个动点，且． (1)如图1，连结，取中点，连结，则的最大值为________； (2)如图2，连接．若平分交于点，求的长； (3)如图3，连接，当点运动时（不与两点重合），求证：为定值，并求出这个定值． 【答案】(1)2 (2) (3)见解析， 【分析】（1）由于直径，根据垂径定理可以得到是的中点，要求最大值即求最大值，当为直径时，有最大值，即可得到答案； （2）根据垂径定理得到，证明，由（1）得，即可得到答案； （3）将绕A点顺时针旋转至，得到，证明，过A作于G，则，根据勾股定理证明． 【详解】（1）解：由题可知，为直径，且， 由垂径定理可得，， 连接， 是的中点， ， 当三点共线时，此时取得最大值， 且， 的最大值为； 故答案为：2． （2）解：连接， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ；     （3）证明：由题可得，直径， 垂直平分， 如图4，连接，，则， 由（1）得， 将绕A点顺时针旋转至， ， ，， 四边形为圆内接四边形， ， ， 、D、P三点共线， ， 过A作于G，则， ， 在中，， 设，则， ， ， ， ， 为定值． 【点睛】本题考查坐标与图形，垂径定理，三角形的中位线定理，圆内接四边形，含30度的直角三角形的性质，旋转的性质，勾股定理等知识点，综合性强，难度较大，属于压轴题，掌握相关性质，添加辅助线构造特殊三角形，是解题的关键． 12．如图1，五边形是的内接五边形，，对角线于点． (1)①若，则_______； ②猜想和的数量关系，并证明； (2)如图2，当经过圆心时，若，，求； (3)作于点，求的值． 【答案】(1)①；② (2) (3) 【分析】（1）①连接，由题意可得，根据圆周角定理可得，以此即可求解； ②连接，根据三角形内角和定理可得，由圆周角定理可得，再根据三角形内角和定理得，将代入化简即可； （2）如图，连接、，连接交于点，根据勾股定理求得，设，则，在中，利用勾股定理建立方程解得，于是，，，易得垂直平分，设，则，利用双勾股定理建立方程求得，进而求出，，在中，利用勾股定理即可求解； （3）连接、、、，过点作于点，由圆周角定理可得，易得，由平行线的性质得，由等边对等角得，进而可得，根据等角减等角相等可得，于是可通过证明，得到，根据等腰三角形三线合一性质得，以此即可求解． 【详解】（1）①解：如图，连接， ， ， ， ， ， ； 故答案为：； ②， 证明：如图，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， 即； （2）解：如图，连接、，连接交于点， 在中，， 设，则， 在中，， ， 解得：， ，，， ，， 垂直平分， ，， 设，则， 在中，， 在中，， 解得：， ， ， 为的直径， ， 在中，； （3）解：如图，连接、、、，过点作于点， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ，即， 在和中， ， ， ， ，， ， ， ． 【点睛】本题主要考查正多边形与圆综合，圆周角定理、三角形内角和定理、勾股定理、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题关键． 13．如图，四边形是的内接四边形，，点在弦上（不与端点重合），，过点作，垂足在延长线上，连接CE．    (1)求的半径长； (2)若，求证：直线是的切线； (3)过点作交于点，交于点，连接，猜想和有怎样的数量关系，请证明你的结论． 【答案】(1) (2)见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）连接，利用所对的弦是直径判断，利用勾股定理求出即可； （2）连接，先证明，利用等边对等角得出，利用直径所对的圆周角是直角得出，即可得出，利用切线的判断即可得证； （3）连接．延长至点，使得，连接，证明四边形是正方形，得出，利用证明，可得出，利用证明证明，得出，即可得出结论． 【详解】（1）解∶如图，连接．   ， 是的直径， 在中，， 由勾股定理得∶， 的半径； （2）解：如图，连接，    ， ， 即， ， ， 又， ， ， 是的直径， ， ， ，即， ， 是的半径，且， 直线是的切线； （3）解：．理由如下∶ 连接,延长至点，使得，连接，    则， ， ， 四边形是的内接四边形， 四边形是矩形， 又， 四边形是正方形， 在和中， ，即， ， 在和中， ， ， 即． 【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，切线的判定，全等三角形的判断与性质等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 14．如图，已知为的直径，F为上一点，平分且交于点C，过点C作于点D，延长交于点E，连接． (1)若，求的半径； (2)求证：是的切线； (3)是否存在常数，使得，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)存在，且k的值为2 【分析】（1）由圆周角定理可知，然后根据勾股定理求解即可； （2）连接，证明得，再证明，进而可证是的切线； （3）过点C作于点G，则，根据证明得，再根据证明得，进而可求出． 【详解】（1）∵为的直径， ∴， ∵， 在中，由勾股定理可得： ∴， ， 故的半径长为； （2）如图，连接 为的直径， ， ， ， 平分， ， ， ， 是⊙O的半径， 是⊙O的切线； （3）存在，且k的值为2； 过点C作于点G， ， 在与中， ， ， ， 平分， ． ∴， ． 在与中， ， ， ， 即． 【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理，切线的判定，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握圆的性质是解答本题的关键． 15．如图，是矩形的外接圆，的角平分线交的延长线于点E，交于点F．连结，，，已知． (1)证明：为等腰直角三角形． (2)若点C平分弧，求的面积． (3)当的某一边的长度是的2倍时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或或 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握相关性质定理是解题关键． （1）先得出是直径，进而根据角平分线的定义可得，根据得出，即可得证； （2）连接，过点作于点，证明是等腰直角三角形，则，进而根据三角形的面积公式，即可求解； （3）连接，得出是等腰直角三角形，进而分三种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：∵是矩形的外接圆， ∴， ∴是直径， ∴， 又∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形； （2）解：如图所示，连接，过点作于点， 同（1）可得是直径， ∵点C平分弧， ∴， ∴,垂直平分， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； （3）解：如图所示，连接，， 由（1）可得，， ∴是等腰直角三角形，则， ∵， ∴， 又∵是直径， ∴是等腰直角三角形， ①当时， 则， ∴； ②当时， ∴， 又∵， ∴， ∴， 解得：； ③当时， ∵，， ∴，则， 设，则，， ∴， 在中，， ∴， 解得：（舍去）或， 即， 综上所述，或或． 16．如图1，点为等边的重心，点为边的中点，连接并延长至点，使得，连接，，，． (1)求证：四边形为菱形． (2)如图2，以点为圆心，为半径作 ①判断直线与的位置关系，并予以证明； ②点为劣弧上一动点（与点、点不重合），连接并延长交于点，连接并延长交于点，求证：为定值． 【答案】(1)见解析；(2)①直线与的位置关系是相切，理由见解析；②见解析 【分析】（1）如图1，延长交于点，连接，由是等边三角形，是重心，点为边的中点，得，，进而证明四边形是平行四边形，即可得四边形为菱形； （2）①延长交于点，连接，先证为的角平分线，进而求得，又由菱形的性质得，从而有，于是根据切线的判定即可得出结论； ②在优弧上取一点，连接、，由①得，进而求得，再由圆内接四边形的性质求得，从而根据角的和差关系求得，于是证明得，即可证明结论成立． 【详解】（1）证明：如图，延长交于点，连接，    ∵是等边三角形，是重心，点为边的中点， ∴中线过点，即、、三点共线，，， ∴，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形； （2）①解：直线是的切线，理由如下：延长交于点，连接，      ∵是等边三角形，是重心，点为边的中点， ∴中线过点，即、、三点共线，，，， ∴为的角平分线， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴，又是的半径， ∴直线是的切线； ②证明：在优弧上取一点，连接、，    由①得， ∵， ∴， ∴，∴， ∵四边形内接于，∴， ∴， ∵， ∴，∴， ∵，，∴， ∴， ∵， ∴，即为定值． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，等边三角形的性质，重心的性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质，切线的判定以及菱形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定与性质，全等三角形的判定及性质，等边三角形的性质，重心的性质以及切线的判定定理是解题的关键． 17．如图，是的内接三角形，是的直径，，，弦于，点是延长线上一点，且，连接． (1)填空： °； (2)判断与的位置关系，并说明理由； (3)取的中点，连接，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)30 (2)与相切，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据垂径定理得到，根据圆周角定理得到结论； （2）连接，根据垂径定理得到，，根据全等三角形的性质得到，根据切线的判定定理得到结论； （3）根据圆周角定理得到，根据勾股定理得到，连接，根据三角形中位线定理得到，，求得，得到，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）解：弦于，是的直径， ， ， 故答案为：30； （2）解：与相切， 理由如下： 连接，如图所示： 弦于，是的直径， ，， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 与相切； （3）解：是的直径， ， ，， ， ， 连接，如图所示： 点是的中点， ， ， 是的中位线， ，， ， ， ， 图中阴影部分的面积的面积扇形的面积的面积． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，切线的判定，垂径定理，扇形的面积的计算，三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 18．已知：如图1，内接于，是的直径，平分． (1)求证：； (2)如图2，分别在弧、弧上取点D和E，连接、交于点F、G，连接，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，若，，，，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3) 【分析】（1）连接，，由于是直径，平分，证明，得到，即得证； （2）连接，由，得到，由得到，，由三角形外角的性质得到，结合，即可得证； （3）在上取点，使得，连接，过点作于，在上取一点，使得，连接．根据第（2）问得到的结论，又四边形内角和为，可得，而，所以．设，则，，结合已知条件，得到，再证明可得，，，然后证明，设，结合已知，得到，最后在和中，利用勾股定理建立方程，求出，即可求得． 【详解】（1）证明：连接，，如图所示， 是直径， ， 平分， ，又， ， ， 是的垂直平分线，即． （2）连接，如图所示， ， ， ， ， ， 是的外角， ， ， （3）在上取点，使得，连接，过点作于，在上取一点，使得，连接，如图所示， 由（2）得，四边形内角和为， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ，， ， ， 为的外角， ，即， ，即， 设，由于，则， ， ， ， 在中，， 取作辅助线， 在中，，， ，解得， ． 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，圆的性质，圆周角定理，三角形全等，等腰三角形性质，三角形外角的性质，勾股定理，熟练掌握相关性质和判定，作出合适的辅助线是解题的关键． 19．如图，是的直径，弦交于点，，连结，． (1)如图，若，求的度数． (2)如图，点在弦上，作，分别交弦，于点，，，过作交于点． ①求证：． ②如图，连接，若，，求，的长． 【答案】(1)；(2)①证明见解析；②， 【分析】（1）根据弧与圆周角的关系得到的度数为，进而得到的度数为，再由，得到的度数为，则； （2）①连接，则，根据同弧所对的圆周角相等得到，令，则，的度数为，进而可得的度数为，则，推出，得到，由平行线的性质得到，则，即可证明，进而证明；②解：连接，证明四边形是平行四边形，得到，，则，，取的中点，连接，则，进而得到，即可证明，得到，则，过作交于点，过作交于点，则，可证明，设，可得，则，由勾股定理得到，解得：或（负值不符合题意，舍去），则，故，． 【详解】（1）解：∵， ∴的度数为， ∵是的直径， ∴的度数为：， ∵， ∴的度数为， ∴， ∴的度数为； （2）①证明：连接， ∵是的直径， ∴， ∵和是所对的圆周角， ∴， 令， ∴，的度数为， ∵， ∴的度数为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ②解：连接， 由①知：， 又∵，，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， 取的中点，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 过作交于点，过作交于点， ∴，∴，∴， 设， 由①知：， ∴，， ∴，∴， 在与中，， ∴， 解得：或（负值不符合题意，舍去）， ∴， ∴，． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，同弧或等弧所对的圆周角相等，等腰三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理等知识点．掌握圆的基本性质是解题的关键． 20．如图，内接于，是的直径，，于点，交于点，交于点，，连接． (1)求证：是的切线； (2)判断的形状，并说明理由； (3)当时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)等腰三角形，理由见解析 (3) 【分析】（1）连接，由圆周角定理得出，由等腰三角形的性质证出，由切线的判定可得出结论； （2）连接，由垂径定理得出，，证出，由直角三角形的性质得出，则可得出结论； （3）由（2）可知，，，则可得出答案． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为半径， ∴是的切线； （2）解：为等腰三角形，理由：连接， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； （3）解：由（）可知，，， ∴， ∴， ∴ 【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，切线的判定与性质，垂径定理，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，熟练掌握切线的判定是解题的关键． 21．已知：点是正方形外一点，连接，． (1)如图，若，，求的长； (2)如图，过点作于点．求证：； (3)如图，连接并延长至点，使得，连接，当时，请直接写出的值． 【答案】(1)；(2)证明见解析；(3)． 【分析】（）利用勾股定理求出，进而利用正方形的性质和勾股定理可求出； （）在上截取，连接，过点作于，证明可得，，进而由正方形的性质得，再根据三线合一得，，即可得，由此得到，故可得为等腰直角三角形，即得，据此即可求证； （）连接，过点作于，可得，，即可得四点共圆，得到，设，则，由等腰三角形三线合一可得，，进而可得，为等腰直角三角形，得到，即可求解； 本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，四点共圆，圆周角定理，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴； （2）解：在上截取，连接，过点作于， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， 即， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴； （3）解：连接，过点作于， ∵四边形是正方形，， ∴，， ∴四点共圆， ∴， 设，则， ∵，， ∴，， ∴，为等腰直角三角形， ∴， ∴． 22．如图，在半径为5的半圆中，是它的直径，点是半圆上异于点，过点作且，点是半径的中点，的延长线交于点，交的延长线于点． (1)求证：平分； (2)求证：是的切线； (3)若，半圆内（包含边界）存在点，使，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据可得，由得出，通过等量代换可证得； （2）连接，首先证，得出，再证明四边形是平行四边形，根据勾股定理得判定定理可证明，证明，进而证明是的切线； （3）首先证明是等边三角形，再确定点的运动轨迹，进而确定，，利用菱形的性质和勾股定理求线段的长度即可求解． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， 平分； （2）证明：连接，如图所示： ．， ， 点是的中点， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ， ，， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （3）解：由（1）可知， 设，则， ， ， ， 在中，，即，解得， ， 是等边三角形， 由（2）可知， ， ， 的运动轨迹是以的长为直径，以的中点为圆心的圆， 在半圆内（包含边界）， ，， 四边形是菱形， ， ， 连接，，如图所示： ．是等边三角形， ， 在中，，则， ，则由勾股定理可得， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查圆综合，涉及平行线的性质、角平分线的定义、三角形全等的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、勾股定理、圆的切线的判定、等边三角形的判定与性质、含的直角三角形性质等知识，综合性比较强，解题的关键是理解题意，整合条件，灵活运用所学相关几何知识求解． 23．如图，的直径为，弦为，的平分线交于点． (1)求的长； (2)试探究之间的等量关系，并证明你的结论； (3)连接，为半圆上任意一点，过点作于点，设的内心为，当点在半圆上从点运动到点时，求内心所经过的路径长． 【答案】(1)；(2)；(3)． 【分析】（）由圆周角定理得出，由勾股定理可求出答案； （）延长到，使，连接，证明，由全等三角形的性质得出，，得出，则为等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质得出结论； （）连接，，证明，由全等三角形的性质得出 ，则点在以为弦，并且所对的圆周角为的两段劣弧上 (分左右两种情况)，求出的长，由弧长公式可得出答案． 【详解】（1）∵是的直径， ∴， ∵的平分线交于， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴； （2）， 证明如下：延长到，使，连接， ∵，， ∴， 在△ADF和△BDC中， ， ∴， ∴，， ∴，为等腰直角三角形， ∴； （3）连接，， ∵， ∴， ∵点为的内心， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点在以为弦，并且所对的圆周角为的两段劣弧上（分左右两种情况）： 设弧所在圆的圆心为， ∵， ∴， ∴， ∴的长为， ∴点的路径长为． 【点睛】此题考查了圆周角定理，三角形内心的定义，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，弧长公式以及勾股定理等知识，熟练掌握圆周角定理和等腰直角三角形的判定与性质是解题的关键． 24．如图，中，，点为边上一点，以为直径作，是的切线，过点作交的延长线于点，交于点，连接． (1)求证； (2)请你添加一个条件 ，使四边形为菱形． (3)在（2）的条件下，若，求的长． 【答案】(1)证明见解答过程 (2)（答案不唯一） (3)的长为3 【分析】（1）连接，由是的切线，得，故，有，而，有，又，知，故，根据四边形是的内接四边形，可得，即可证明； （2）可添加的条件是（答案不唯一），根据菱形的性质求解即可； （3）连接，由，得，而四边形为菱形，知，即可得是等边三角形，，可求出，，从而，从而可得的长为3． 【详解】（1）证明：如图，连接， 是的切线， ， ， ∴， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是的内接四边形， ， 在和中， ， ； （2）解：添加的条件可以是：或或或（添加不唯一）， 添加的条件是：， 由（1）可知，， 四边形为平行四边形， 又， 四边形为菱形； 故答案为：( 或或或)； （3）解：如图，连接， 由（1）知，， ， 四边形为菱形， ， ， ， 为等边三角形， ， ∵ ∴， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查切线的性质、平行线的性质、四点共圆、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，灵活运用所学知识解决问题是解题关键． 25．已知：内接于，过点作的垂线交于点，垂足为点，连接． (1)如图1，求证：． (2)如图2，连接，，延长交于点，若，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，交于点，过点作的切线交的延长线于点，且，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）连接，设，则，根据垂直的定义及三角形内角和定理即可得证； （2）连接，，利用圆周角定理，证明，即可得证； （3）作直径，连接，，交于点，证明，，令，则，，，得到，设，则，，，利用勾股定理求出，即可解答． 【详解】（1）证明：如图，连接， 设，则， ， ， ， ， ， 又， ， ； （2）证明：如图，连接，， ， ， 即， ， ， ， 又， ， 又，， ， ，； （3）解：如图，作直径，连接，，交于点， 为的切线，为切点， ， ， ， ， ， ， 是的直径， ， ，， ， ， ，， 又， ， ， ，， ，， 又，， ， ， ， ， 又，， ， ， ， 即， ， 令，则，，， ， ， 设，则，，， 在中，， ， 解得， （舍， ， ， ， ． 【点睛】本题考查圆的综合应用，主要考查切线的性质，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，全等三角形的性质与判定，掌握这些性质定理是解题的关键． 26．如图，直径，垂足为点，连接，为线段上一点，连接，． (1)如图，求证∶； (2)如图，为弧上一点，，垂足为点，连接交于点，为中点，求证∶． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析． 【分析】（）连接，由垂径定理得，即得，由圆周角定理得，进而得，即可得到，得到，即可求证； （）过点作于，则，可得四边形为矩形，得到，再证明，得到，即得，进而即可求证； 本题考查了垂径定理，圆周角定理，平行线的判定，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）证明：连接， ∵直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：过点作于，则，， ∵，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵点为中点， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即． 27．如图，为直径，P为延长线上一点，过点P作切线，切点为C，，垂足为D，连接和．    (1)如图1，求证：平分； (2)在上取点E，使得； ①如图2，E为下方上一点，连接，若，求半径； ②如图3，E为上一点，且，若半径为2，则的长为______． 【答案】(1)见解析 (2)①3；② 【分析】（1）连接，一方面由为直径，得；另一方面由切线性质得，从而；由及，得，从而，结论成立； （2）①延长交于点G，由已知可得，由角平分线性质定理得，从而可证明，得；再证明，得，则由求得直径，进而求得半径； ②连接，由得；由①知；由，可得，则；设，则；由平角可求得，从而求得，进而得，由勾股定理即可求得． 【详解】（1）证明：如图，连接， 为直径， ； 与相切， ， ； ，， ，， ， ， 平分；    （2）解：①如图，延长交于点G， 由（1）知，平分， ； ， ， ， 即； ， ， ， 即； 平分，， ， ， ； ； ， ， ； ， ， ， 故半径为3；    ②如图，连接， ， ； 由①知； ，， ， ； 设， 则； ， 即， ； 在中，，则， ； 在中，由勾股定理得．    故答案为：． 【点睛】本题是圆的综合，考查了直径对的圆周角是直角，切线的性质，同弧对的圆周角相等，圆周角定理，勾股定理，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质定理，含30度直角三角形的性质等知识，涉及的知识点多，灵活运用它们是解题的关键． 28．已知是圆的内接四边形的两条对角线，相交于点，且． (1)如图，求证：． (2)在图中找出一组全等的三角形，并给出证明． (3)如图，圆的半径为，弦于点，当的面积为时，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)，证明见解析； (3)． 【分析】（）由得，即得，得到，进而即可求证； （）．由（）得，，再利用即可求证； （）如图，连接，由垂直得，同理（）可得，得到为等腰直角三角形，即得，进而得，利用勾股定理得，设，，可得，，利用完全平方公式可得，得到，据此即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 即， ∴， 即， ∴； （2）解：． 证明：由（）得，， 在和中， ， ∴； （3）解：如图，连接， ∵，∴， 同理（）可得，∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 设，， 在中，由勾股定理得，∴， 又∵的面积为，∴，∴， ∴，∴， ∴． 【点睛】本题考查了弧、弦、圆心角之间的关系，等角对等边，全等三角形的判定，等腰直角三角形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，完全平方公式，正确作出辅助线是解题的关键． 29．如图，为直径，为的弦，，延长至，且，的半径为6． (1)求证：直线与相切； (2)如图1，若，求阴影部分面积； (3)如图2，若，求的值． 【答案】(1)见详解 (2) (3) 【分析】本题考查圆的综合题型，切线的判定，平行线的判定与性质，勾股定理，垂径定理，矩形的判定与性质． （1）根据切线的判定可得结论； （2）过点作于，连接，先证明四边形为矩形，得出，再求出，最后由即可得出； （3）过点作于，过点作于，则四边形为矩形，设,则，根据勾股定理用含的式子表达出，再根据求出即可． 【详解】（1）证明：, 为的半径 直线与相切； （2）如图，过点作于，连接， 四边形为矩形 是等边三角形 ，， ； （3）如图，过点作于，过点作于，则四边形为矩形， 设，则 解得（舍去）或 ． 30．如图，已知四边形内接于，连接交于点E，且平分． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若，求证，是等边三角形； (3)如图3，在（2）的条件下，将沿翻折得到的射线交线段于点M，交于点N，若，求线段的长． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)10． 【分析】题目主要考查圆与三角形综合问题，包括圆周角定理，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据题意得，再由圆周角定理及等量代换得出，利用等角对等边即可证明； （2）根据圆周角定理得出，再由等量代换确定，根据等边三角形的判定即可证明； （3）设，根据等边三角形的性质及圆周角定理，利用全等三角形的判定得出，结合图形，根据其性质求解即可． 【详解】（1）证明：平分，， 弧弧，， 弧弧，， ，； （2）证明：如图：弧弧， ，且， ， ， 且， 为等边三角形； （3）解：如图：设， 为等边三角形， ， ， 弧弧， ， ， 弧弧， ， 弧弧， ， ， ， ， ， ， 在上截取，且，是等边二角形， ， ，且， ， ， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$