专题11 圆的最值问题之隐圆模型-2024-2025学年九年级数学上学期高频与压轴题型专项攻略（人教版）

专题11 圆的最值问题之隐圆模型 【知识点归纳】 （1）动点定长模型 若P为动点，但AB=AC=AP 原理：圆A中，AB=AC=AP 则B、C、P三点共圆，A圆心，AB半径 备注：常转全等或相似证明出定长 （2）直角圆周角模型 固定线段AB所对动角∠C恒为90° 原理：圆O中，圆周角为90°所对弦是直径 则A、B、C三点共圆，AB为直径 备注：常通过互余转换等证明出动角恒为直角 （3）定弦定角模型 固定线段AB所对动角∠P为定值 原理：弦AB所对同侧圆周角恒相等 则点P运动轨迹为过A、B、C三点的圆 备注：点P在优弧、劣弧上运动皆可 （4）四点共圆模型① 若动角∠A+动角∠C=180° 原理：圆内接四边形对角互补 则A、B、C、D四点共圆 备注：点A与点C在线段AB异侧 （5）四点共圆模型② 固定线段AB所对同侧动角∠P=∠C 原理：弦AB所对同侧圆周角恒相等 则A、B、C、P四点共圆 备注：点P与点C需在线段AB同侧 【例题精讲】 例1．（动点定长模型）如图，点A的坐标为，轴于点B，点C为坐标平面内一点，，点D为线段的中点，连接，则的最小值为 ． 变式1．如图，等边三角形和等边三角形，点N，点M分别为，的中点，，绕点A旋转过程中，的最大值为 ． 变式2．在矩形中，，点M是平面内一动点，且满足，N为的中点，点M运动过程中线段长度的取值范围是 ．    变式3．如图，正方形中，，是的中点，点是正方形内一个动点，且，连接，将线段绕点D逆时针旋转转得到线段，连接，则线段长的最小值为 ． 例2．（直角圆周角模型）如图，正方形的边长为4，点E是正方形内的动点，点P是边上的动点，且．连接，则的最小值为 ． 变式1．如图， 在中，，点P 是射线上一动点，，且，连接，则的最小值是 ． 变式2．如图，已知中，，点是边上的动点，以为直径作，连接交于点，则的最小值为 ． 变式3．如图，在正方形中，点M，N分别为上的动点，且，交于点E，点F为的中点，点P为上一个动点，连接，若，则的最小值为 ．    例3．（定弦定角模型）如图，等边三角形边长为2，点D在边上，且，点E在边上且，连接，交于点F，在线段上截取，连接，则线段的最小值是 ． 变式1．如图，在等边中，，D，E 分别是边上的动点（不与的顶点重合），连接相交于点F，连接，若，则的最小值为 ．    变式2．如图，在凸四边形中，已知，，，，且四边形对角线，相交于，则的度数是 ． 变式3．在正方形中，，点P是边上一动点（不与点D、C重合），连接，过点C作，垂足为E，点F在线段上，且满足，连接，则的最小值为 ． 【课后训练】 1．如图，等边三角形的边长为，点、分别是边、的动点，且，连接、交于点，为的中点，连接，则线段长的最小值为 ． 2．如图，已知四边形中，，，对角线，则的最大值为 ． 3．如图，点的坐标为轴于点，点为坐标平面内一点，，点为线段的中点，连接，则的最小值为 ．    4．如图，在四边形中，，，，为上一点，且，则 ． 5．如图，在矩形中，，，现有长为3的小木棒紧贴、边滑动（即的两个端点始终落在、边上），为的中点，为边上一动点，则的最小值为 ． 6．如图，正方形的边长为4，E，F分别是边，上的点，连接，交于点G，且，连接并延长交于点H，则的最小值是 ． 7．如图，在矩形中，，，M是边上一动点（不含端点），将沿直线对折，得到；当射线交线段于点P时，连接，则的最大值为 ． 8．如图，在中，，于点，且，则面积的最小值为 ．    9．如图，在菱形中，，，，分别是边，上的两个动点，满足，与交于点．的度数为 ；当最大时，线段的长是 ． 10．如图，在平面内有四点，，，，其中，，若，则的最大值是 ．    11．如图，已知在中，，，将绕点A逆时针旋转．得到．点D是边的中点，点E为边上的动点，在绕点A逆时针旋转的过程中，点E的对应点是点，则线段长度的最大值与最小值的差是 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11 圆的最值问题之隐圆模型 【知识点归纳】 （1）动点定长模型 若P为动点，但AB=AC=AP 原理：圆A中，AB=AC=AP 则B、C、P三点共圆，A圆心，AB半径 备注：常转全等或相似证明出定长 （2）直角圆周角模型 固定线段AB所对动角∠C恒为90° 原理：圆O中，圆周角为90°所对弦是直径 则A、B、C三点共圆，AB为直径 备注：常通过互余转换等证明出动角恒为直角 （3）定弦定角模型 固定线段AB所对动角∠P为定值 原理：弦AB所对同侧圆周角恒相等 则点P运动轨迹为过A、B、C三点的圆 备注：点P在优弧、劣弧上运动皆可 （4）四点共圆模型① 若动角∠A+动角∠C=180° 原理：圆内接四边形对角互补 则A、B、C、D四点共圆 备注：点A与点C在线段AB异侧 （5）四点共圆模型② 固定线段AB所对同侧动角∠P=∠C 原理：弦AB所对同侧圆周角恒相等 则A、B、C、P四点共圆 备注：点P与点C需在线段AB同侧 【例题精讲】 例1．（动点定长模型）如图，点A的坐标为，轴于点B，点C为坐标平面内一点，，点D为线段的中点，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标和图形的性质，点与圆的位置关系，三角形的中位线定理等知识，确定为最小值时点C的位置是解题的关键．作点A关于x轴的对称点E，根据中位线的性质得到，求出的最小值即可． 【详解】解：如图，作点A关于x轴的对称点， 则点B是的中点， 又∵点D是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴当最小时，最小， ∵点C为坐标平面内一点，且， ∴点C在以O为圆心，5为半径的上运动， ∴当减去半径时，最小． ∵， ∴， ∴的最小值为， ∴的最小值． 故答案为：． 变式1．如图，等边三角形和等边三角形，点N，点M分别为，的中点，，绕点A旋转过程中，的最大值为 ． 【答案】 【分析】由题可知：点在以点为圆心，为半径的圆上，连接，，则：，当三点共线时，的值最大，进行求解即可． 【详解】解：连接， ∵等边三角形和等边三角形，点N，点M分别为，的中点，， ∴ ∴，， ∵绕点A旋转， ∴点在以点为圆心，为半径的圆上， ∵， ∴当三点共线时，的值最大， 即：； 故答案为：． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，以及借助圆，求线段的最值．解题的关键是确定点在以点为圆心，为半径的圆上． 变式2．在矩形中，，点M是平面内一动点，且满足，N为的中点，点M运动过程中线段长度的取值范围是 ．    【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理，圆外一点到圆上点的距离的最值，把求的最值转化为求的最值是关键；确定点M的运动路径；延长到E，使，连接，交于点F、G；利用三角形中位线定理及圆的基本性质即可求得线段长度的取值范围． 【详解】解：∵， ∴在以B为圆心4为半径的圆上运动； ∵四边形为矩形，∴； 延长到E，使，连接，交于点F、G； ∵N为的中点，∴； 当M与F重合时，最小，且最小值为长；当M与G重合时，最大，且最大值为长； ∵，，∴； ∴，， ∴的最小值为，的最大值为， 则线段长度的取值范围是．    故答案为：． 变式3．如图，正方形中，，是的中点，点是正方形内一个动点，且，连接，将线段绕点D逆时针旋转转得到线段，连接，则线段长的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】先证明，可得，由，可得点在以G为圆心，半径为1的圆上运动，则当三点共线时，最小，则最小，再利用勾股定理求出的长，即可得答案． 【详解】解：如图所示， ∵四边形是正方形， ∴， 由旋转的性质可得， ∴，∴，∴，∴， ∵ ∴点在以G为圆心，半径为1的圆上运动， ∴当三点共线时，最小，即此时最小， ∵是BC 中点，， ∴， 在中，由勾股定理得 ∴ ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，圆的基本性质，勾股定理的应用，旋转的性质和全等三角形的性质与判定，熟练利用圆的基本性质求解线段的最小值是解本题的关键． 例2．（直角圆周角模型）如图，正方形的边长为4，点E是正方形内的动点，点P是边上的动点，且．连接，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查最短路径问题，涉及到知识点有圆周角定理，正方形的性质，勾股定理．先证明得到点E在以为直径的半圆上移动，再作点D关于直线的对应点是F，即可得，求出的长度即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴点E在以为直径的半圆上移动， 如图，设的中点为O， 作正方形关于直线对称的正方形， 则点D的对应点是F， 连接交于，交半圆O于E'，连接， 则， 根据对称性有：， 则有， ∴的最小值为， ∵， ∴， ∴， ∴， 故的长度最小值为． 故答案为：． 变式1．如图， 在中，，点P 是射线上一动点，，且，连接，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】取中点H，连接交于点G，连接，当时，有最小值，此时易得是等腰三角形，推出，即有最小值，则有最小值，此时根据，推出，设中点为O，根据，易得点在以点O为圆心为直径的圆上，易得，由，易得此时点B在圆O上，进而推出，则，得到四边形是矩形，即，利用勾股定理即可计算出的最小值，进而得出结果． 【详解】解：取中点H，连接交于点G，连接， 当时，有最小值， 点H是中点，， 是等腰三角形， ， 是定值，有最小值时， 即有最小值，则有最小值， ， ， 设中点为O， ， 点在以点O为圆心为直径的圆上， ， ， 此时点B在圆O上， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， 在中， ， 的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查勾股定理求最短距离，圆周角定理，四点共圆，等腰三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，正确作出辅助线，证明四点共圆是解题的关键． 变式2．如图，已知中，，点是边上的动点，以为直径作，连接交于点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】连接，如图所示，由圆周角定理的推论得到，从而确定动点在以中点为圆心、为半径的圆弧上运动，如图所示，由点到圆周上动点距离最值的求法转化为，利用勾股定理求解即可得到答案． 【详解】解：连接，如图所示： 以为直径作， ，则， ， 动点在以中点为圆心、为半径的圆弧上运动，如图所示： 连接，在中，由三角形三边关系可得，从而当三点共线时，可取到最小值，为， 已知中，，， 在中，，则的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查动点最值问题，涉及圆的性质、圆周角定理的推论、动点最值问题-圆弧型、三角形三边关系、勾股定理等知识，熟练掌握动点最值问题-圆弧型的解法步骤是解决问题的关键． 变式3．如图，在正方形中，点M，N分别为上的动点，且，交于点E，点F为的中点，点P为上一个动点，连接，若，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】证明，则，，如图，取的中点，则在以为圆心，为直径的圆上运动，作关于对称的点，连接，连接交于，则，由，可知当四点共线时，最小为，由勾股定理得，，根据，求解作答即可． 【详解】解：∵正方形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图，取的中点，则在以为圆心，为直径的圆上运动，作关于对称的点，连接，连接交于，    ∴， ∴， ∴当四点共线时，最小为， 由勾股定理得，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，圆周角所对的弦为直径，轴对称的性质，勾股定理等知识．熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质，圆周角所对的弦为直径，轴对称的性质，勾股定理是解题的关键． 例3．（定弦定角模型）如图，等边三角形边长为2，点D在边上，且，点E在边上且，连接，交于点F，在线段上截取，连接，则线段的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】先根据等边三角形的性质证明，得出，进而得到，从而得到点G在以AC为弦、所对圆周角为的一段弧上运动，然后作辅助线图如图，得到（当且仅当三点共线时取=），得出的最小值即为，再求出即得答案． 【详解】解：∵等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 连接，如图， ∵， ∴， ∴， ∴点G在以为弦、所对圆周角为的一段弧上运动， 设这段弧所在的圆心为O，连接，如图， 则（当且仅当三点共线时取）， ∴的最小值即为， 设交于点H，∵， ∴， ∵，∴是等边三角形， ∴，∴四边形是菱形， ∴， ∴，∴，∴的最小值为； 故答案为；． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质、菱形的判定和性质、勾股定理以及圆的相关知识，得出点G取最小值的位置是解题的关键． 变式1．如图，在等边中，，D，E 分别是边上的动点（不与的顶点重合），连接相交于点F，连接，若，则的最小值为 ．    【答案】/ 【分析】根据等边三角形的性质，结合，得到，对顶角相等，得到，进而得到点在以为圆心，的长为半径，且的圆弧上运动，连接，则：，证明，得到为含30度角的直角三角形，进行求解即可． 【详解】解：∵等边， ∴，， ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∴点在以为圆心，的长为半径，且的圆弧上运动，如图，连接，则：，    ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴，， ∴，即：的最小值为：； 故答案为：． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，含30度角的直角三角形，勾股定理，全等三角形的判定和性质，求圆外一点到圆上一点的最值，解题的关键是确定点的运动轨迹． 变式2．如图，在凸四边形中，已知，，，，且四边形对角线，相交于，则的度数是 ． 【答案】/95度 【分析】本题主要考查了三角形与圆的综合问题，作的外接圆．设的延长线交外接圆于K，如图所示．连接，，由同弧所对的圆周角相等可得出，由三角形外角的定义和性质可得出，证明，由等角对等边可得出，同理可得出，即，再证明是等腰直角三角形，由等腰三角形的性质可得出，再由三角形外角的定义和性质可得出答案． 【详解】解∶作的外接圆．设的延长线交外接圆于K，如图所示．连接，， 则有． 又， ∴． 即， ∴． ∵，又， ∴， ∴， ∴． ∴． ∴D点是外接圆的圆心． ∵是圆心角，，也是圆心角，． ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． ∴． 故答案为： 变式3．在正方形中，，点P是边上一动点（不与点D、C重合），连接，过点C作，垂足为E，点F在线段上，且满足，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】不论P怎么运动，保持不变，则的外接圆中所对的圆心角为，从而的圆心与半径确定，于是可得当点F在与的交点位置时，就取最小值，求出此时的值便可． 【详解】解：作的外接，连接、、、，在优弧上取点M，连接、，过O作，与的延长线交于点N， ∵，， ∴， ∴， ∴点F在的外接上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， 当A、F、O三点依次在同一直线上时， 的值最小， 故AF的最小值为：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，三角形的外接圆，圆内接四边形的性质，勾股定理，两点之间线段最短，解题的关键是构造圆与直角三角形，找出点F的运动轨迹． 【课后训练】 1．如图，等边三角形的边长为，点、分别是边、的动点，且，连接、交于点，为的中点，连接，则线段长的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】证明，可得，根据，，，即可推出，推出点F的运动轨迹是弧，推出，作的外接圆O，分析得出当O，F，G三点共线时，最小，连接，过点O作，垂足为H，利用垂径定理求出半径，根据角度说明是直角三角形，利用勾股定理求出，即可得到． 【详解】解：在等边三角形中，，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴点F的运动轨迹是弧， ∴， 作的外接圆O， 当O，F，G三点共线时，最小，连接， 过点O作，垂足为H， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点G是中点， ∴， ∴， ∴， 即的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系、圆等知识，解题的关键是发现点F的运动轨迹，学会利用三角形的三边关系解决最值问题，属于中考填空题中的压轴题． 2．如图，已知四边形中，，，对角线，则的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】如图所示，作的外接圆，连接并延长至圆上于点F，连接，由题意易得当经过圆心O时取得最大值，然后可得点D、A、F在同一直线上，则有是等边三角形，进而可得，最后问题可求解． 【详解】解：如图所示，作的外接圆，连接并延长至圆上于点F，连接， ∴点B恒在优弧上， 当经过圆心O时取得最大值， ∵，经过圆心O，即为的直径，有， ∴点D、A、F在同一直线上， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵O为的中点， ∴且为的角平分线， 故为直角三角形，且， ∴， ∴； 故答案为． 【点睛】本题主要考查圆的基本性质、含30度直角三角形的性质及等边三角形的性质与判定，熟练掌握圆的基本性质、含30度直角三角形的性质及等边三角形的性质与判定是解题的关键． 3．如图，点的坐标为轴于点，点为坐标平面内一点，，点为线段的中点，连接，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】作点关于轴的对称点，根据三角形中位线的性质得到，求出的最小值即可． 【详解】解：如图，作点关于轴的对称点，    则点是的中点， 点为线段的中点， , 当最小时，最小， 由题意可得点在以为圆心，5为半径的圆上运动， 当在同一条直线上，且点在中间时，最小， ， ， 最小为， 最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，三角形的中位线，画出图形，确定最小时，的位置是解题的关键． 4．如图，在四边形中，，，，为上一点，且，则 ． 【答案】 【分析】勾股定理求得，将绕点顺时针旋转得到，则，证明点在上，则，过点作于点，勾股定理求得，进而在中，勾股定理，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，, 如图所示，将绕点顺时针旋转得到，则， ∴是等腰三角形， ∴， ∴， 以为圆心，为半径，在圆上取一点，则， ∵， ∴ ∴点在上， ∴ 又∵，则四边形共圆， ∴， 过点作于点， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴ ∴ 在中， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，圆周角定理，圆内接四边形对角互补，勾股定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 5．如图，在矩形中，，，现有长为3的小木棒紧贴、边滑动（即的两个端点始终落在、边上），为的中点，为边上一动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了轴对称-最短路线问题、最短距离问题、勾股定理、矩形的性质等知识点，判断出G点的轨迹是解题的关键． 如图：连接，由直角三角形的性质可得，则点G是以D为圆心，以为半径的圆弧上的点，作A关于的对称点，连接交于P，交以D为圆心，以为半径的圆于G，此时的值最小，最小值为的长；根据勾股定理求得，然后根据线段的和差即可解答． 【详解】解：如图：连接， ∵，点为的中点， ∴， ∴点G是以D为圆心，以为半径的圆弧上的点，， 如图：作A关于的对称点，连接交于P，交以D为圆心，以为半径的圆于G，此时的值最小，最小值为的长； ∵， ∴， ∴， ∴． ∴的最小值为． 故答案为：． 6．如图，正方形的边长为4，E，F分别是边，上的点，连接，交于点G，且，连接并延长交于点H，则的最小值是 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查正方形的性质，圆的性质以及切线长定理，根据题意画出辅助圆是解题的关键． 证明得到，即可得到点G在以为直径的圆上，与相切时，最大，由勾股定理求出的最大值为1，设，则，，根据勾股定理得出x，即可得到答案． 【详解】解：∵ 四边形为正方形， ∴ ，， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ 点G在以为直径的圆上， ∴ 与相切时，最大，如图所示， 此时，， 设，则，， 在中，， ∴ ， 解得， 的最大值为1，故的最小值为． 故答案为：3． 7．如图，在矩形中，，，M是边上一动点（不含端点），将沿直线对折，得到；当射线交线段于点P时，连接，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】的运动轨迹为为圆心为半径的圆，由勾股定理得，当取得最大值时，取得最大值，当与相切时，取得最大值，此时与重合，设，由勾股定理得，即可求解． 【详解】解：如图，的运动轨迹为为圆心为半径的圆， 四边形是矩形， ， ， ， ， 与相切， 当取得最大值时，取得最大值， 如上图，当与相切时，取得最大值， 此时与重合， 设， ， 由翻折得：， ， ， ， 在中 ， 解得：， 的最大值为； 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，掌握性质，能找出取得最值的条件是解题的关键． 8．如图，在中，，于点，且，则面积的最小值为 ．    【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，三角形的外接圆的半径，垂径定理，作的外接圆，连接，，，过点作于点，根据圆周角定理可得，则，设的半径为，则，，根据得出，求得半径的范围，进而根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】作的外接圆，连接，，，过点作于点，   ， ， ， ， 设的半径为，则，， ， ， ， 解得：， ， ， 的面积的最小值为， 故答案为：. 9．如图，在菱形中，，，，分别是边，上的两个动点，满足，与交于点．的度数为 ；当最大时，线段的长是 ． 【答案】 /60度 【分析】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，轨迹，切线等知识．证明，推出，推出．由，推出点的运动轨迹是，设圆心为，连接，，．求出是切线时的长即可． 【详解】解：如图， 四边形是菱形， ， ， 是等边三角形， ，， 在和中， ， ， ， ， ， 点的运动轨迹是， 设圆心为，连接，，． ，， 垂直平分线段， ，，，， ， ， 当与相切时，的值最大，此时． 故答案为：，． 10．如图，在平面内有四点，，，，其中，，若，则的最大值是 ．    【答案】/ 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，圆周角定理，证明是等边三角形，得，由，可得点在以为直径的圆上运动，连接并延长交于点，当点与点重合时，有最大值，最大值为的长，由等边三角形的性质及勾股定理可求解．确定点的运动轨迹是解题的关键． 【详解】如图，连接，取的中点， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴点在以为直径的圆上运动， 连接并延长交于点， ∴ ∴当点与点重合时，有最大值，最大值为的长， ∵是等边三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴的最大值是． 故答案为：．    11．如图，已知在中，，，将绕点A逆时针旋转．得到．点D是边的中点，点E为边上的动点，在绕点A逆时针旋转的过程中，点E的对应点是点，则线段长度的最大值与最小值的差是 ． 【答案】 【分析】如图，连接，作于H，于．求出的最小值以及最大值即可解决问题． 【详解】解：如图，连接，作于H，于． 以A为圆心，以为半径作圆，与直线的右侧交点为， 以A为圆心，以为半径作圆，与直线的左侧交点为， ∵，，点D是边的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在旋转过程中，当点与重合时，的值最小，且最小值为：， 当点与重合时，的值最大，且最大值， ∴线段长度的最大值与最小值的差为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，等腰三角形的三线合一性质，垂线段最短，圆的基本性质，熟练掌握勾股定理，等腰三角形的三线合一性质，垂线段最短，圆的基本性质是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$