专题10 旋转中的最值模型（二）（费马点模型）-2024-2025学年九年级数学上学期高频与压轴题型专项攻略（人教版）

专题10 旋转中的最值模型（二）（费马点模型） 【知识点归纳】 费马点模型：如图，在△ABC内部找到一点P，使得PA＋PB＋PC的值最小. 当点P满足∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120º，则PA＋PB＋PC的值最小，P点称为三角形的费马点. 特别地，△ABC中，最大的角要小于120º，若最大的角大于或等于120º，此时费马点就是最大角的顶点A （这种情况一般不考，通常三角形的最大顶角都小于120°） 费马点的性质： 1．费马点到三角形三个顶点距离之和最小。 2．费马点连接三顶点所成的三夹角皆为120°。 费马点最小值解法：以△ABC任意一边为边向外作等边三角形，这条边所对两顶点的距离即为最小值 证明过程： 将△APC边以A为顶点逆时针旋转60°，得到AQE，连接PQ，则△APQ为等边三角形，PA=PQ。 即PA+PB+PC=PQ+PB+PC，当B、P、Q、E四点共线时取得最小值BE 【例题精讲】 例1．（等边三角形费马点）如图，在中，，，，为内一点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】将△APB绕点A顺时针旋转60°，得到△，连接、，作CN⊥交的延长线于点N，则△≌△APB，由题意可证△ 是等边三角形，所以，所以当 共线时，最小，求出即可； 【详解】将△APB绕点A顺时针旋转60°，得到△，连接、，作CN⊥交的延长线于点N， 则△≌△APB， ∴∠BAP=∠ ， ∴ ， ， ， ∴△ 是等边三角形， ∴ ， ∴ ， ∴ 当 共线时，最小， ∴∠CAN=180°-∠ ，CN⊥AN， ∴∠ACN=30°， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ = ； 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形判定与性质，旋转的性质，以及等边三角形的性质和求线段最值的问题，掌握做辅助线是解题的关键． 例2．（直角三角形费马点）如图，已知Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，斜边AC＝4，点P是三角形内的一动点，则PA+PB+PC的最小值是 ． 【答案】 【分析】将△BCP绕点B顺时针旋转60°得到△BHG，连接PH，AG，过点G作AB的垂线，交AB的延长线于N．证明△是等边三角形，得，所以，推出当A，P，G，H′共线时，PA+PB+PC的值最小，最小值=AG的长，再运用勾股定理求出AG的长即可． 【详解】解：将△BCP绕点B顺时针旋转60°得到△BHG，连接PH，AG，过点G作AB的垂线，交AB的延长线于N，如图， ∵∠， 由勾股定理得： ∵将△BCP绕点B顺时针旋转60°得到△BHG， ∴△ ∴，，∠ ∴△是等边三角形， ∴ ∴ ∴当点A，点P，点G，点H共线时，有最小值，最小值为， ∵∠ ∴∠ ∴∠ ∵ ∴， 由勾股定理得， ∴ ∴ ∴最小值为 故答案为： 【点睛】本题考查了勾股定理，旋转变换，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是利用旋转变换添加辅助线，用转化的思想思考问题． 例3．（费马点进阶-平移与旋转综合）如图，点D，E是ABC内的两点，且DEAB，连结AD，BE，CE．若AB＝9，DE＝2，BC＝10，∠ABC＝75°，则AD+BE+CE的最小值为 ． 【答案】 【分析】过点作交于，将绕点逆时针旋转，得到△，过作交延长线于，则，都是等边三角形，可判断四边形是平行四边形，由已知分别可求，，则，，所以，则，当、、、共线时，有最小值为的长，再由，，可得，，在中，，在△中，，则的最小值为． 【详解】解：过点作交于，将绕点逆时针旋转，得到△，过作交延长线于， ，都是等边三角形， ，四边形是平行四边形， ，， ，， ，， ，， 当、、、共线时，有最小值为的长， ，， ，， 在中，， 在△中，，的最小值为， 故答案为． 【点睛】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称的性质，通过构造平行四边形、旋转三角形，确定AD+BE+CE有最小值为CF'的长是解题的关键． 例4．（加权费马点）如图，中，，，点P为内一点，连接，则的最小值为 . 【答案】 【分析】作辅助线如详解图，根据等腰三角形的性质和勾股定理可求得，于是所求的最小值转化为求的最小值，根据两点之间线段最短可得的最小值即为线段的长，然后求出的长即可解决问题. 【详解】解：将绕点A逆时针旋转，得到，连接，过点E作交的延长线于点F，过点A作于点M，如图， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即的最小值为的长（当点E、D、P、B四点共线时取最小值）， ∵中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 则在直角三角形中，， ∴， ∴； 故答案为：. 【点睛】本题考查了直角三角形的性质、勾股定理、旋转的性质以及两点之间线段最短等知识，灵活运用旋转的方法将所求的最小值转化为求的最小值是解题的关键. 例5．（双旋转模型）如图，设是边长为1的正方形内的两个点，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】将绕点A顺时针旋转至，将绕点D逆时针旋转至，则和是正三角形，进而可证当六点共线时的值最小．连接，则和是等边三角形，然后分别求出的值即可． 【详解】解：将绕点A顺时针旋转至；将绕点D逆时针旋转至， ∴，，，， ∴和都是等边三角形， ∴，，， ∴ ， ∴当六点共线时的值最小． 连接， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴在的垂直平分线上， 同理可证， ∴在的垂直平分线上， ∵四边形是正方形， ∴， ∴垂直平分， ∴，四边形是矩形， ∴，， ∴， 同理可求，∴， 即的值最小为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，线段垂直平分线的判定，等边三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键． 例6．（培优综合）在中，，连接，已知，点E在线段上，将线段绕点D顺时针旋转 为线段． (1)如图1，线段与线段的交点和点E重合，连接，求线段的长度； (2)如图2，点G为延长线上一点，使得，连接交于点H，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，平面内一点P，当最小时，求的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）作，根据等腰直角三角形的性质与判定，得到，，在中，应用勾股定理，求出的长，根据平行四边形的性质得到的长，根据等腰直角三角形的性质与判定，即可求解， （2）连接，，根据全等三角形的性质与判定得到，，，结合旋转的性质得到，，根据平行四边形的判定得到，，根据平行四边形的性质得到的长度，即可求解， （3）将绕点顺时针旋转，得到，由旋转的性质可得，根据两点之间线段最短，得到，当在线段上时取得最小值，作， 根据等腰直角三角形的判定与性质，得到，在中，应用勾股定理得到，，，，由，得到， 在中，得到，在中，得到，，根据，即可求解， 本题考查了，平行四边形的性质，旋转的性质，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，解题的关键是：通过旋转得到． 【详解】（1）解：过点作，交延长线于点， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴，，， ∵， ∴， 在中，，， ∴， 由旋转的性质可得：，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 故答案为：， （2）解：连接，， ∵，， ∴，， 又∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， （3）解：将绕点顺时针旋转，得到，连接， 由旋转的性质可得，，，， ∴， ∴，当在线段上时取得最小值， 延长与延长线交于点，过点作于点，连接， 由旋转的性质可得，，， ∵， ∴，， ∴， 在中，，，， ∵，即：，解得：， 在中，， 在中，， ∴， ∴， 故答案为：． 【课后训练】 1．如图，在中，，点为内部一点，则点到三个顶点之和的最小值是 ． 【答案】 【分析】将绕着点A顺时针旋转，得到，连接，过点C作，交的延长线于N，由旋转的性质可得，，，，，易得是等边三角形，可得，进而得到，当点H、E、P、C共线时，有最小值，再求出和的长度，由勾股定理可求解． 【详解】解：将绕着点A顺时针旋转，得到，连接，过点C作，交的延长线于N， ∴，，，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴当点H、E、P、C共线时，有最小值． ∵，， ∴， ∴， ∴ ． 在中，， 即点P到三个顶点之和的最小值是． 故答案为：． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，构造旋转图形是本题的关键． 2．如图，在中，，，．如果在三角形内部有一条动线段，且，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】在BC上取一点，使得，连接B′N．首先证明，将绕点C逆时针旋转得到，连接，过点T作交的延长线于H．要使的值最小，需点、N、G、T四点共线．连接，则其就是所求最小值，求出B′T可得结论． 【详解】解：如图，在上取一点，使得，连接，将绕点C逆时针旋转得到，连接，过点T作交的延长线于H． ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴． 由旋转的性质可知，和都是等边三角形， ∴，． ∴． 要使的值最小，需点、N、G、T四点共线．连接，则其就是所求最小值． ∵中，，． ∴，． 由旋转的性质可知：，， ∴， 在中，，， ∵． ∴， ∴． ∴的最小值是． 故答案为：．    【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，旋转变换，30度角所对的直角边等于斜边的一半，等边三角形的判定与性质，勾股定理，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题． 3．如图，点是矩形内一点，且，，为边上一点，连接，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】将绕点逆时针旋转得到△，连接、，根据旋转的性质得为等边三角形，同理为等边三角形，进而有，当线段、、三条线段在同一直线上，且该直线与垂直时， 的值最小，问题随之得解． 【详解】解：如图所示，将绕点逆时针旋转得到△，连接、，    根据旋转的性质有：，，， 为等边三角形， 同理为等边三角形， ，， ， 当线段、、三条线段在同一直线上，且该直线与垂直时，的值最小， 即的值最小， 如图，过点作于点，交于点，   即最小值为：， 在矩形中，于点， 即可知四边形是矩形，，即， 为等边三角形，， ， ，， 的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，矩形的性质，等边三角形的判定性质与性质，勾股定理，垂线段最短等知识，作出合理的辅助线是解答本题的关键． 4．如图，P为正方形ABCD内的动点，若AB＝2，则PA＋PB＋PC的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】先将△BPC绕点B顺时针旋转60°，得到△BP'C'，延长AB，过C′作C′E⊥AB交延长线于E，得出，当点A、P、P′、C′共线时，PA+PB+PC有最小值是AC'的长，利用30°直角三角形性质可求EC'=，根据勾股定理BE，AE＝，即可． 【详解】解：将△BPC绕点B顺时针旋转60°，得到△BP'C'，延长AB，过C′作C′E⊥AB交延长线于E， ∴△BPC≌△BP'C'，∠PBP'＝60°， ∴BP＝BP'，∠PBP'＝60°， ∴△BPP'是等边三角形， ∴PC＝P'C'，∠PBC＝∠P'BC'，BC＝BC'＝2， ∴BP＝PP'， ∴PA+PB+PC＝AP+PP'+P'C'， ∴当点A、点P、点P′、点C′在共线时，PA+PB+PC有最小值，最小值是AC'的长， ∵∠ABP+∠PBP'+∠P'BC'＝60°+∠ABP+∠PBC=60°+∠ABC=60°+90°＝150°， ∴∠EBC'＝30°， 在中 ∴EC'=， ∴BE=， ∴AE＝， 在中 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形性质，图形旋转，等边三角形判定与性质，四点共线，30°直角三角形性质，勾股定理，本题难度较大，涉及知识多，利用辅助线构造准确图形是解题关键． 5．已知，点O是等边内的任一点，连接． (1)如图1，已知，，将绕点按顺时针方向旋转得． ①的度数是　　　　； ②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明； (2)设，． ①当，满足什么关系时，有最小值？请在图2中画出符合条件的图形，并说明理由； ②若等边的边长为1，直接写出的最小值． 【答案】(1)①；②．证明见解析 (2)①当时，有最小值，见解析；② 【分析】（1）①根据旋转变换的性质、四边形内角和为计算即可； ②连接，根据勾股定理解答； （2）①将绕点按顺时针方向旋转得，连接，根据等边三角形的性质解答； ②根据等边三角形的性质计算． 【详解】（1）解：①，， ， 由旋转的性质可知，，， ， 故答案为：； ②线段，，之间的数量关系是． 如图1，连接． 绕点按顺时针方向旋转得， ，． ，，． 是等边三角形， ，， ，， ， ，． ． 在中，， ． ． （2）解：①如图2，当时，有最小值． 作图如图2， 如图2，将绕点按顺时针方向旋转得，连接． ，． ，，， ． 是等边三角形． ，． ， ． ． 四点，，，共线． 时值最小； ②当等边的边长为1时，的最小值． 6．如图， 四边形是平行四边形，对角线相交于点O， E在线段上．    (1)如图1， 连接， 若，求； (2)如图2， 若， 延长交于点N， 且， 求证： (3)如图3，若，P为内一点，请直接写出的最小值． 【答案】(1)2 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，从而得到，即可求解； （2）延长至点F，使，连接，证明是等腰直角三角形，可得，，进而得到，证明，可得，然后证明，可得，即可求证； （3）取的中点K，则，证明是等边三角形，可得，从而得到，把绕点C逆时针旋转得到，连接，则，可得到是等边三角形，从而得到，进而得到当点D，P，G，H四点共线时，的值最小，最小值为的长，在中，由勾股定理，即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴， 是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴； （2）证明：如图，延长至点F，使，连接，    ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，，垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴； （3）解：如图，取的中点K，则， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 如图，把绕点C逆时针旋转得到，连接，则，    ∴，，，是等边三角形， ∴， ∴， 即当点D，P，G，H四点共线时，的值最小，最小值为的长， 在中，， 即的最小值为． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理，图形的旋转问题，直角三角形的性质等知识，第（2）问得到，第（3）问利用旋转的性质解答是解题的关键． 6．如图，在中，，以为边向上作正方形，以为边作正方形，点恰好在线段上． (1)若的长度比少4，，求的面积； (2)求证：； (3)已知点是内一动点，且不与的顶点和边重合，在（1）的条件下，请直接写出的最小值． 【答案】(1)24 (2)见解析 (3) 【分析】（1）设，则，根据勾股定理得出，求出x的值即可； （2）过点E作交于H，证明，得出，根据，即可求出结论； （3）过点A作于点G，将绕点C顺时针旋转到，连接，延长，过点E作于点F，连接，根据旋转得出，，，，根据勾股定理得出，说明，根据两点之间线段最短，得出当B、P、D、E四点共线时，最小，则最小，根据勾股定理求出最小值即可． 【详解】（1）解：设，则， ∵中，， ∴， 即 解得（负值舍去） ∴， ∴； （2）证明：过点E作交于H，如图所示： ∵， ∴， 即， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：在（1）的条件下，，， 过点A作于点G，将绕点C顺时针旋转到，连接，延长，过点E作于点F，连接，如图所示： ∵， ∴， ∴， 根据勾股定理得：， 根据旋转可知：，，，， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴当B、P、D、E四点共线时，最小，则最小， ∴最小值为的长， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴ 即的最小值为． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，三角形全等的判定和性质，三角形外角的性质，旋转的性质，解题的关键是根据题意作出辅助线，熟练掌握三角形全等的判定方法． 7.（1）已知点E是正方形边上的一点，连接．如图1，把射线绕点B顺时针旋转交的延长线于点F，求证：； （2）边长把边沿翻折． ①如图2，若点P落在对角线上，则 ； ②如图3，点G在边上，，连接、，当点P落在内部时（不含边上），线段长度的取值范围为 ； （3）如图4，点M是正方形内一点，连接、，若，求最小值； （4）如图5，点M是矩形内一点，连接，若，，则最小值为 ． 【答案】（1）见解析；（2）①；②；（3）（4） 【分析】（1）由旋转的性质可得，，再根据正方形的性质可得，，利用等量代换可得，进而证明，即可证明； （2）由折叠的性质可得，，，，，再利用勾股定理求得，再根据等腰直角三角形的判定可得，再利用，即可求解； ②当点P落到上，由折叠的性质可得，垂直平分，即，，可得，当点P落到上，连接，证得，可得，即可求解； （3）①当A、M、C不共线时，，②当点A、M、C三点共线时，的值最小为，根据等腰三角形的判定与性质可得是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质和勾股定理可得，即可求解； （4）将绕点B逆时针旋转得到，由旋转的性质和等边三角形的判定与性质可得，进而可得当点、、M、C共线时，的值最小，最小值是，过点作的延长线于点N，由旋转的性质可得，，根据直角三角形的性质和勾股定理求得，，可得，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）由旋转的性质可得，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）①由折叠的性质可得，，，， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴，， ∴， 故答案为：； ②如图，当点P落到上， 由折叠的性质可得，垂直平分， ∴， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 当点P落到上，连接， 由折叠的性质可得，，，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵点P在的内部，不含边， ∴， 故答案为：； （3）①当A、M、C不共线时， ， ②当点A、M、C三点共线时，的值最小为， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴ 即最小值为； （4）如图，将绕点B逆时针旋转得到， ∴，， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴当点、、M、C共线时，的值最小，最小值是， 过点作的延长线于点N， 由旋转的性质得，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴, 即的最小值是， 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质、折叠的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质与判定、勾股定理、等边三角形的判定与性质、切线的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 旋转中的最值模型（二）（费马点模型） 【知识点归纳】 费马点模型：如图，在△ABC内部找到一点P，使得PA＋PB＋PC的值最小. 当点P满足∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120º，则PA＋PB＋PC的值最小，P点称为三角形的费马点. 特别地，△ABC中，最大的角要小于120º，若最大的角大于或等于120º，此时费马点就是最大角的顶点A （这种情况一般不考，通常三角形的最大顶角都小于120°） 费马点的性质： 1．费马点到三角形三个顶点距离之和最小。 2．费马点连接三顶点所成的三夹角皆为120°。 费马点最小值解法：以△ABC任意一边为边向外作等边三角形，这条边所对两顶点的距离即为最小值 证明过程： 将△APC边以A为顶点逆时针旋转60°，得到AQE，连接PQ，则△APQ为等边三角形，PA=PQ。 即PA+PB+PC=PQ+PB+PC，当B、P、Q、E四点共线时取得最小值BE 【例题精讲】 例1．（等边三角形费马点）如图，在中，，，，为内一点，则的最小值为 ． 例2．（直角三角形费马点）如图，已知Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，斜边AC＝4，点P是三角形内的一动点，则PA+PB+PC的最小值是 ． 例3．（费马点进阶-平移与旋转综合）如图，点D，E是ABC内的两点，且DEAB，连结AD，BE，CE．若AB＝9，DE＝2，BC＝10，∠ABC＝75°，则AD+BE+CE的最小值为 ． 例4．（加权费马点）如图，中，，，点P为内一点，连接，则的最小值为 . 例5．（双旋转模型）如图，设是边长为1的正方形内的两个点，则的最小值为 ． 例6．（培优综合）在中，，连接，已知，点E在线段上，将线段绕点D顺时针旋转 为线段． (1)如图1，线段与线段的交点和点E重合，连接，求线段的长度； (2)如图2，点G为延长线上一点，使得，连接交于点H，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，平面内一点P，当最小时，求的面积． 【课后训练】 1．如图，在中，，点为内部一点，则点到三个顶点之和的最小值是 ． 2．如图，在中，，，．如果在三角形内部有一条动线段，且，则的最小值为 ．    3．如图，点是矩形内一点，且，，为边上一点，连接，则的最小值为 ．    4．如图，P为正方形ABCD内的动点，若AB＝2，则PA＋PB＋PC的最小值为 ． 5．已知，点O是等边内的任一点，连接． (1)如图1，已知，，将绕点按顺时针方向旋转得． ①的度数是　　　　； ②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明； (2)设，． ①当，满足什么关系时，有最小值？请在图2中画出符合条件的图形，并说明理由； ②若等边的边长为1，直接写出的最小值． 6．如图， 四边形是平行四边形，对角线相交于点O， E在线段上．    (1)如图1， 连接， 若，求； (2)如图2， 若， 延长交于点N， 且， 求证： (3)如图3，若，P为内一点，请直接写出的最小值． 6．如图，在中，，以为边向上作正方形，以为边作正方形，点恰好在线段上． (1)若的长度比少4，，求的面积； (2)求证：； (3)已知点是内一动点，且不与的顶点和边重合，在（1）的条件下，请直接写出的最小值． 7.（1）已知点E是正方形边上的一点，连接．如图1，把射线绕点B顺时针旋转交的延长线于点F，求证：； （2）边长把边沿翻折． ①如图2，若点P落在对角线上，则 ； ②如图3，点G在边上，，连接、，当点P落在内部时（不含边上），线段长度的取值范围为 ； （3）如图4，点M是正方形内一点，连接、，若，求最小值； （4）如图5，点M是矩形内一点，连接，若，，则最小值为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$