第十三章 轴对称章节压轴题模拟训练-2024-2025学年八年级数学上学期高频与压轴题型专项攻略（人教版）

第十三章 轴对称章节压轴题模拟训练 一、单选题 1．如图，的和 的外角角平分线交于点，若，，则 的度数是（     ） A． B． C． D． 2．如图，已知，C是内部的一点，且，点D、E分别是上的动点，若周长的最小值等于3，则（   ） A． B． C． D． 3．如图，正纸片，为边上的一点，连结．将沿翻折得到，过点作的平行线交的延长线于点，若 则的比为（    ）    A． B． C． D． 4．如图，为等边的高，、分别为线段、上的动点，且，当取得最小值时，（   ） A． B． C． D． 5．如图，与中，，，，与交于点F，，的面积为32，则的长为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 6．如图，在中，，，沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，折痕为，若，则（　　） A．. B．. C． D． 7．如图，中，，点是外一点，是等边三角形，过点分别作的垂线，垂足分别为，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．如图，为线段上一动点（不与点，重合），在同侧分别作正三角形和正三角形，与交于点，与交于点，与交于点，连接．有以下结论：①；②PQAE；③；④；⑤为等边三角形；⑥平分．上述结论正确的有（  ）个      A．4 B．5 C．6 D．7 二、填空题 9．如图，在四边形中，C是的中点，，若，则线段的最大值为 10．如图，在中，，，，点E是边上一动点，沿把翻折到的位置，使与边交于点F，连结．当是直角三角形时，的长为 ． 11．如图，等边的边长是，、分别是边、上的动点，且，为的中点，连接，当时，的长为 ． 12．如图，点在直线上，于点，，点在直线上运动，以为边作等边，连接，则的最小值为 ． 13．在中，，把折叠，使点与点重合，折痕交于点，交于点．如果是等腰三角形，则的度数为 ． 14．如图，点A是线段的垂直平分线上任意一点，连接，，作的垂直平分线分别交、于点G、H，若，，则的长为 ． 15．在等腰直角三角形中，，于点D，点E是平面内任意一点，连接，如图1，当点E在边上时，过点D作D交于点F． （1）线段，，之间满足的数量关系是 ． （2）如图2，当点E在内部时，连接，，若，，，求线段的长为 ． 16．如图，，，延长至D，使，连接，则 ． 17．如图，，D为的垂直平分线上一点，且，，则 ．    18．如图，是边长为2的等边三角形，将沿直线翻折，得到，再将在直线上平移，得到．连接，则的周长的最小值是 ． 三、解答题 19．在中，，将线段绕点A逆时针旋转至，连接，的角平分线与的延长线交于点E，与交于点F． (1)如图1，若，，，求的长； (2)如图2，若，过点B作交于点G，交于点H，求证：； (3)如图3，若，连接，当时，直接写出的值． 20．如图，在平面直角坐标系中，点，，点是轴正半轴上一动点．    (1)求证：y轴是线段的垂直平分线； (2)以为边作等边，点在第一象限，作射线交轴于点，设； 若，求的度数(用含有的式子表示)； 探究线段与的数量关系，并证明． 21．已知，在等边三角形中，点O在上，点P在的延长线上，且． (1)如图1，当点O为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论； (2)如图2，当点O为边上任意一点，确定线段与的大小关系，请你写出结论，并说明理由； (3)在等边三角形中，点O在直线上，点P在直线上，且，若的边长为2，，求的长． 22．在中，和边上的高交于点F，． (1)如图1，求证：； (2)如图1，求的度数； (3)如图2，延长到点G，过点G作的垂线交的延长线于点H，已知，，，，求的长． 23．如图，在中，，，D为的中点，P为线段上一动点，E为延长线上一点，且．    (1)连接，求证：； (2)求证：； (3)求证：是正三角形； (4)当时，求四边形的面积． 24．在等腰中，，点D是上一动点，点E在的延长线上，且，平分交于点F，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当时，在上取点M，使，连接．求证：； (3)如图3，当，时，取的中点G，连结，若，请直接写出的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十三章 轴对称章节压轴题模拟训练 一、单选题 1．如图，的和 的外角角平分线交于点，若，，则 的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义，延长至，使，连接，， 由“” 可证. 可得，设，由等腰三角形的性质可得，根据角平分线定义求出，，根据平角定义求出，再根据三角形外角的性质可求解，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 【详解】如图， 延长至，使，连接，，交的延长线于点， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∵的和的外角角平分线交于点， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 故选：． 2．如图，已知，C是内部的一点，且，点D、E分别是上的动点，若周长的最小值等于3，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查轴对称最短路径问题，涉及垂直平分线的性质，轴对称的性质，等边三角形的判定和性质等，设点C关于的对称点为M，关于的对称点为N，当点D、E在上时，的周长为，此时周长最小，由可得为等边三角形，进而可得． 【详解】解：作点C关于的对称点为M，关于的对称点为N，连接， 由轴对称的性质可得，， ， 当点D、E在上时，等号成立，如图： 由轴对称的性质可得垂直平分线段，垂直平分线段， ，，，， ，， 为等边三角形， ， ． 故选D． 3．如图，正纸片，为边上的一点，连结．将沿翻折得到，过点作的平行线交的延长线于点，若 则的比为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】延长交于点，设交于点，由是正三角形得，由翻折得，，因为，所以，可证明，得，则，，则，，所以，可求得，即可求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：延长交于点，设交于点，     是正三角形， ， 由翻折得，， ，， ， 在和中， ， ， ， ，， ，， ， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题重点考查等边三角形的性质、轴对称的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、直角三角形中解所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 4．如图，为等边的高，、分别为线段、上的动点，且，当取得最小值时，（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查全等三角形的性质和判定、等边三角形的性质、最短路径问题，关键是作出辅助线，当取得最小值时确定点的位置．如图，作辅助线，构建全等三角形，证明，得，将转化为，与在同一个三角形中，根据两点之间线段最短，确定点的位置，即为与的交点时，的值最小，求出此时． 【详解】解：如图1，作，且，连接，连接， 是等边三角形，， ，， ， ，， ， ， ， ， ，， 当为与的交点时，如图2，的值最小， 此时，， ， 故选：B． 5．如图，与中，，，，与交于点F，，的面积为32，则的长为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】连接，证明，得到，证明，可证明，再利用面积的转换，即可解答． 【详解】解：如图，连接， ，，， ， ， ， ， ， 即， ， ，， ， ， ， ， ， ， 故可得， ， ， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形面积等知识，熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 6．如图，在中，，，沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，折痕为，若，则（　　） A．. B．. C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的判定和性质，角平分线的性质，三角形的面积，由折叠可得，，，，，根据角平分线的性质可得，再根据，，，推导出，利用三角形面积得到，即可求解，由三角形面积得到是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于点，的延长线于点， 由折叠得到，，，，，， ∴平分， ∵， ∴，, ∵， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴， ∴ 故选：． 7．如图，中，，点是外一点，是等边三角形，过点分别作的垂线，垂足分别为，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点B，C，分别作的垂线，垂足为，利用多边形内角和定理及等边三角形的性质证明，，设，，则，利用在直角三角形中30度角所对的边是斜边的一半，得到，，即可求解． 【详解】解：如图，过点B，C，分别作的垂线，垂足为， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 同理得：， ， ， ， ， ， ， 设，，则，， 在中，， ， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，含30度角的直角三角的特征，多边形内角和，作出辅助线构造三角形全等时解得的关键． 8．如图，为线段上一动点（不与点，重合），在同侧分别作正三角形和正三角形，与交于点，与交于点，与交于点，连接．有以下结论：①；②PQAE；③；④；⑤为等边三角形；⑥平分．上述结论正确的有（  ）个      A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】①由于和是等边三角形，可知，，，从而证出，可推知；故①正确；③由得，加之，，得到，所以；故③正确；②根据③，再根据推出为等边三角形，又由，根据内错角相等，两直线平行，可知②正确；④利用等边三角形的性质，，再根据平行线的性质得到，于是，可知④正确；⑤由，可得，可证是等边三角形，可知⑤正确；⑥过点C作于H，于G，得，则平分，进一步解答可知⑥错误． 【详解】解：①等边和等边， ，，， ， 在和中， ， ， ； 故①正确； ③（已证）， ， （已证）， ， ， 在与中， ， ， ； 故③正确； ②， ， 是等边三角形， ， ， ∴； 故②正确； ④， ， 等边， ， ∴， ， ． 故④正确； ， ， 又， 是等边三角形，故⑤正确； ⑥如图，过点作于，于， ，， ，平分， ，， ∵，∴， ∴，∴， 当平分，∴， ∵，，∴， ∴，互相矛盾，⑥错误， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了全等三角形判定与性质，等边三角形的判定与性质，角平分线的判定定理等知识，证明三角形全等是解题的关键． 二、填空题 9．如图，在四边形中，C是的中点，，若，则线段的最大值为 【答案】10 【分析】 本题考查了全等三角形的判定及性质，轴对称的性质，等边三角形的判定及性质，证明等边三角形是解题的关键．作关于的对称点，关于的对称点，连接，，，，．根据两点之间线段最短解决问题即可． 【详解】 解：作关于的对称点，关于的对称点，连接，，，，，如图所示： 是边的中点， ， 点，点关于对称， ，， ， ， ，， ． 同理可证：，，， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 当、、、共线时的值最大，最大值为10． 故答案为：10． 10．如图，在中，，，，点E是边上一动点，沿把翻折到的位置，使与边交于点F，连结．当是直角三角形时，的长为 ． 【答案】6或5.6 【分析】本题考查翻折变换、勾股定理、平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．分当时及当时两种情形分别求解即可． 【详解】解：①如图，当时，过点A作交的延长线于点H，过点E作交的延长线于点N， ， ， ， 。 设则， 由折叠的性质可得：，， ， ， ， 中，， ， 解得：， ； ②如图，当时， ， ,, 由折叠的性质可得：, , , 时， , 设则， 中，， ， 解得：， ， ． 故答案为：6或5.6 11．如图，等边的边长是，、分别是边、上的动点，且，为的中点，连接，当时，的长为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用这些知识并正确作出辅助线．分两种情况讨论：当、分别在线段、上时，如图，过点作交于点，连接，过点作于点；当、分别在线段、的延长线上时，如图，过点作交的延长线于点，连接，过点作于点；根据全等三角形的判定与性质，平行线的性质，等边三角形的性质即可求解． 【详解】解：当、分别在线段、上时，如图，过点作交于点，连接，过点作于点， 是等边三角形，且边长是， ，， ， ，， ， 是等边三角形， ， ， ， 为的中点， ， 在和中， ， ， ，， 点、、在同一条直线上， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ， ； 当、分别在线段、的延长线上时，如图，过点作交的延长线于点，连接，过点作于点， 同理可证明是等边三角形， ， ， ， 为的中点， ， 同理可证明， ，， 点、、在同一条直线上， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得： ， ； 综上所述，的长为或． 12．如图，点在直线上，于点，，点在直线上运动，以为边作等边，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，垂线段最短，以为边作等边，连接，证明，由全等三角形的性质得出，过点作于点，则的最小值为，再直角三角形的性质求出即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，以为边作等边，连接， ∴，， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴最小时，有最小值， ∵为直线上的动点，过点作于点， ∴的最小值为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 的最小值为， 故答案为：． 13．在中，，把折叠，使点与点重合，折痕交于点，交于点．如果是等腰三角形，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查等腰三角形的性质，设，根据等边对等角得，根据折叠的性质得，继而得到，，，然后分三种情况：①若；②若；③若，分别建立关于的一元一次方程，求解即可．解题的关键是掌握等边对等角，方程思想和分类讨论思想的应用． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∵把折叠，使点与点重合， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵是等腰三角形， ①若，则， 即， 解得：，不符合题意； ②若，则， 即， 解得：， ∴； ③若，则， 即， 解得：， ∴， 综上所述，的度数为或． 故答案为：或． 14．如图，点A是线段的垂直平分线上任意一点，连接，，作的垂直平分线分别交、于点G、H，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】如图，连接，证明，而，可得，取关于的对称点，连接，则，证明是等边三角形，可得，而，可得. 【详解】解：如图，连接， ∵是的垂直平分线， ∴，，而， ∴， ∴， ∴，而，∴， 取关于的对称点，连接，则， ∵，是的垂直平分线， ∴由轴对称的性质可得：， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形，∴， ∵， ∴，而，∴，故答案为： 【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，三角形的外角的性质，含30度角的直角三角形的性质等知识，作出合适的辅助线是解本题的关键. 15．在等腰直角三角形中，，于点D，点E是平面内任意一点，连接，如图1，当点E在边上时，过点D作D交于点F． （1）线段，，之间满足的数量关系是 ． （2）如图2，当点E在内部时，连接，，若，，，求线段的长为 ． 【答案】 1 【分析】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据全等三角形的判定和性质以及勾股定理解答． （1）根据证明连接EF，根据全等三角形的性质和勾股定理解答即可； （2）根据证明，进而利用全等三角形的性质和勾股定理解答． 【详解】⑴解：结论： ，如图， 连接． ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ， ∵， ∴， 在中， ， ， 故答案为：； ⑵解：如图， 过点作于， 过点作交于， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中 ， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∵， ∴， 在中， ， ， ∴， 故答案为：1. 16．如图，，，延长至D，使，连接，则 ． 【答案】105 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，三角形内角和定理和三角形外角的性质，过点D作于E，连接，则，根据等边对等角得到，再证明是等边三角形，得到，接着证明，推出是等腰直角三角形， 得到，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点D作于E，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 故答案为：105． 17．如图，，D为的垂直平分线上一点，且，，则 ．    【答案】/36度 【分析】连接，过点D作交于点，与交于点，根据垂直平分线的性质得出，根据等边对等角得出，等量代换得出，根据三条边对应相等的两个三角形是全等三角形，全等三角形的对应角相等得出，根据等角对等边得出，推得，根据等边对等角得出，结合对顶角相等得出，即，据此设，则，根据三角形内角和定理列出方程，求得，即． 【详解】解：连接，过点D作交于点，与交于点，如图：    ∵D为的垂直平分线上一点， ∴， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，且， ∴， ∴， 设，则， 故， 解得：， 即． 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，对顶角的性质等．熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键． 18．如图，是边长为2的等边三角形，将沿直线翻折，得到，再将在直线上平移，得到．连接，则的周长的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了翻折，平移的性质，等边三角形的性质以及菱形的判定与性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．作关于点的对称点，交于点，连接，利用勾股定理求出即可得到答案． 【详解】解：作关于点的对称点，交于点，连接， 由题意可知，将沿直线翻折，得到，再将在直线上平移，得到， 的周长的最小值转化为周长的最小值， 当三点共线时，最小为的长， 均为等边三角形， ， 四边形是菱形， ， ， ， 在中，， 周长的最小值为， 故的周长的最小值为． 故答案为：． 三、解答题 19．在中，，将线段绕点A逆时针旋转至，连接，的角平分线与的延长线交于点E，与交于点F． (1)如图1，若，，，求的长； (2)如图2，若，过点B作交于点G，交于点H，求证：； (3)如图3，若，连接，当时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了角平分线的定义，旋转的性质，含的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三线合一等． （1）过点A作，垂足为点G，求出的度数，的度数，得到的度数，求出的长度，证明是等腰直角三角形，通过勾股定理即可求出的长度； （2）设，表示和，在表示出，证明，证明，得到，延长，使得，连接，证明是等边三角形，证明，得到，从而有，即可证明结论； （3）设，过点A作，垂足为点M，表示出和的度数，从而，得到，证明，从而有，得到，列出方程求出，延长，过点B作，垂足为点P，过点A作垂直，垂足为点Q，求出，根据勾股定理的，则，再由勾股定理得，从而有，即可求出结果． 【详解】（1）解：过点A作，垂足为点G， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； （2）解：设， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 延长，使得，连接， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （3）解：设， 过点A作于M， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 延长，过点B作，垂足为点P，过点A作，垂足为点Q， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， ∴． 20．如图，在平面直角坐标系中，点，，点是轴正半轴上一动点．    (1)求证：y轴是线段的垂直平分线； (2)以为边作等边，点在第一象限，作射线交轴于点，设； 若，求的度数(用含有的式子表示)； 探究线段与的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)①；②，证明见解析 【分析】（1）由点，得出，结合轴，即可得出答案； （2）①由（1）可得：轴是线段的垂直平分线，，，由等边三角形的性质可得，，从而得出，，最后由等边对等角以及三角形内角和定理计算即可得出答案；②延长至，使，连接、，证明即可得出答案． 【详解】（1）证明：点，， ， 轴， 轴是线段的垂直平分线； （2）解：①如图，      由（1）可得：轴是线段的垂直平分线， ，， 是等边三角形， ，， ，， ， ， ； ②， 证明：如图，延长至，使，连接、，      则垂直平分， ， 由（1）可得：轴是线段的垂直平分线， ，， 是等边三角形， ，， ， 由①可得：， ，， ，， 是等边三角形， ， 轴是线段的垂直平分线， ，， ， ， ，， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，线段垂直平分线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 21．已知，在等边三角形中，点O在上，点P在的延长线上，且． (1)如图1，当点O为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论； (2)如图2，当点O为边上任意一点，确定线段与的大小关系，请你写出结论，并说明理由； (3)在等边三角形中，点O在直线上，点P在直线上，且，若的边长为2，，求的长． 【答案】(1) (2)相等，见解析 (3)7或3 【分析】（1）利用等腰三角形的性质，三线合一性质，等边三角形的性质，计算说明即可． （2）过作交于，证明是等边三角形，以及即可证明． （3）分为点在射线上或点在射线上两种情况，利用全等、等腰三角形的性质即可证明． 【详解】（1）解：，理由如下： 为等边三角形，点为的中点， ，平分，， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：相等，即，理由如下： 如图，过作交于， 是等边三角形， ，， ，， 即， 是等边三角形， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． （3）解：如图③，当点在射线上时，过作交的延长线于， 则为等边三角形，， ，， ， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ； 如图，当点O在射线上时，∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， 过点O作，则， ∴， ∴， 又∵， ∴； 综上所述，长为或． ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，三角形外角的性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质是解题的关键． 22．在中，和边上的高交于点F，． (1)如图1，求证：； (2)如图1，求的度数； (3)如图2，延长到点G，过点G作的垂线交的延长线于点H，已知，，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)45° (3)13 【分析】本题主要考查了全等三角形综合．做出辅助线，熟练掌握直角三角形性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判断和性质，是解题的关键． （1）根据直角三角形的两个锐角互余，等角的余角相等即可得出结论； （2）证和全等，得到，根据等腰直角三角形性质可得； （3）在上截取，连接，证明和全等，得到，，再证，得到，得到，根据，即得． 【详解】（1）证明：∵△ABC的高AD、BE交于点F，如图1所示： ∴， ∴， ∵， ∴ （2）解：在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3）在上截取，连接，如图2所示： ∵是的高，， ∴， ∵， ∴， ∴，， 由（1）知，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（2）知，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 23．如图，在中，，，D为的中点，P为线段上一动点，E为延长线上一点，且．    (1)连接，求证：； (2)求证：； (3)求证：是正三角形； (4)当时，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 (4) 【分析】（1）根据等腰三角形的三线合一性质可得是的垂直平分线，从而可得，然后根据等量代换可得，即可解答； （2）利用等腰三角形的性质可得，，，从而可得，然后利用等量代换可得，即可解答； （3）根据垂直定义可得，从而可得，，然后根据三角形的外角性质可得，从而利用平角定义可得，最后根据等边三角形的判定即可解答； （4）过点作，交的延长线于点，根据垂直定义可得，从而可得，再利用三角形的外角性质可得，从而利用三角形内角和定理可得，进而可得是等边三角形，然后利用等边三角形的性质可得，从而利用证明，进而可得四边形的面积的面积，再根据已知可得，从而可得的面积的面积四边形的面积，最后在中，利用含30度角的直角三角形的性质可得，从而利用三角形的面积公式求出的面积，即可解答． 【详解】（1）证明：如图：   ，为的中点， 是的垂直平分线， ， ， ； （2）证明：， ， ， ， ， ， ， ； （3）证明：， ， ， ， ， 是的一个外角， ， ， ， 是正三角形； （4）解：过点作，交的延长线于点，   ， ， 是的一个外角， ， ， ， 是等边三角形， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， 四边形的面积的面积， ， ， 的面积的面积， 四边形的面积的面积， 在中，，， ， 的面积， 四边形的面积为． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形，等腰三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 24．在等腰中，，点D是上一动点，点E在的延长线上，且，平分交于点F，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当时，在上取点M，使，连接．求证：； (3)如图3，当，时，取的中点G，连结，若，请直接写出的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由等腰三角形的性质得，再证，得，即可得出结论； （2）证，得，，再证为等边三角形，即可得出结论； （3）延长、交于，证，得，再证，得，即可解决问题． 【详解】（1）证明：平分， ， ，， ，， 在和中， ， ， ， ； （2）证明：如图2， 由（1）可知，， ，， 在和中， ， ， ，， ，， 是等边三角形， ， ， ， 为等边三角形， ； （3）解：如图3，延长、交于， ， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的性质和等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$