第四章 图形的相似章节压轴题模拟训练-【B卷常考题型】2024-2025学年四川成都九年级数学上学期题型全攻略（北师大版）

第四章 图形的相似章节压轴题模拟训练 一、填空题 1．如图，四边形是正方形，点在边上，是以为直角顶点的等腰直角三角形，，分别交于点，过点作的垂线交的延长线于点．连接，若，，则 ． 【答案】//2.6 【分析】延长交延长线于，由正方形的性质，平角的定义推出，即可证明，得到，得到是等腰直角三角形，求出，的长，由，，即可求出的长，从而求出的长． 【详解】解：延长交延长线于，如图， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、正方形的性质、等腰直角三角形等知识，综合应用相关知识点是解题的关键． 2．如图，的面积是48，，D为的中点，，则阴影部分的面积为 ． 【答案】6 【分析】根据D为的中点，得到，结合，得到，过点E作，交于点G，则 ，继而得到，结合得，，结合，得到，解答即可． 本题考查了三角形相似的判定和性质，中线的性质，熟练掌握三角形相似的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵D为的中点，的面积是48， ∴， ∵， ∴，， 过点E作，交于点G， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：6． 3．如图，矩形中，为边上一点，，为边上一点，连接，将四边形沿翻折，点恰好落在边上处，点的对应点为，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，设交于点，过作于点，设，由折叠的性质得，，，由勾股定理得到 ，求出，得到，，由，得到，求出，由，得到，求出 ，得到，由勾股定理求出 ，由，得到，求出，得到，由矩形的性质得到，，求出 ，由勾股定理求出，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】设交于点，过作于点， 设， ∵， ∴，， 由折叠的性质得：，，，，， 在中，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴ ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 4．如图，在正方形中，点是对角线上一点，且，点为边上一点，且，连接与相交于点，过点作于点．若的长为6，则的长为 ． 【答案】 【分析】过E作于M，连结，由，由四边形为正方形，可得，可证，可得，在中，，可求，在中， ，可求，由， 可求，由为正方形的对角线，，可得，可推，利用勾股定理可得，利用勾股定理求出即可． 【详解】解：过E作于M，连结， ∵， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， 在中， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为正方形的对角线，，， ∵， ∴， ∴， 在中，， 解得：， 在中，， 设， ∵， ∴， 即， 解得， 在中，． 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形性质，三角形相似判定与性质，线段的倍分与和差，勾股定理，等腰直角三角形判定与性质，本题难度较大，综合性较强，需要灵活掌握以上知识，特别是用辅助线画出准确图形是解题关键． 5．如图，在四边形中，，，为对角线，若，，，则的面积为 ． 【答案】4 【分析】延长、相交于点，过点作于点，由等腰三角形三线合一的性质求出的长，由勾股定理求出的长，由三角形外角的性质结合得出是等腰三角形，根据其性质求出的长，再证得，即可求出的长，最后根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：延长、相交于点，过点作于点，如图所示： ，， ， 由勾股定理得， ， 又， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的面积，熟练掌握相关几何知识点是解题的关键． 6．如图，在矩形中，，，先将沿翻折到处，再将沿翻折到处，延长交于点，则的长为 ． 【答案】 【分析】过点作的延长线于点，设与交于点，根据矩形性质和翻折性质，设，，利用勾股定理求出的值，证明，求出，然后证明，得，再由，得，求出，，证明，对应边成比例即可求出的长． 【详解】解：如图，过点作的延长线于点，设与交于点， 四边形是矩形， ，，， ， 由翻折可知：， ， ， 由翻折可知：，， ， ， 设， ， 在中，根据勾股定理得： ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ，， ，，， ， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题是相似形的综合题，难度大，考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，翻折变换，矩形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，解决本题的关键是作出辅助线构造相似三角形． 7．如图，将矩形纸折叠，折痕为，点M，N分别在边，上，点C，D的对应点分别为点E，F，且点F在矩形内部，的延长线交边于点G，交边于点H．当，，且时，的长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了翻折变换—折叠问题，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，根据勾股定理列方程求解是解题的关键. 由矩形的性质得出.由折叠的性质得出, 证出, 则可得出结论，证明, 由相似三角形的性质得出，由等腰直角三角形的性质可得出答案. 【详解】∵在矩形 ∴. ∵将矩形纸片折叠，∴, ∴,∴， ∵四边形折叠至四边形, ∴， ∴， ∴, ， ∴, ∵, ， ，， ， ， ∴， 故答案为：． 8．如图，在中，点为的中点，点在上，，连接，，若，，，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】延长交延长线于，过作于，由平行四边形的性质推出，判定，推出得到，由含30度角的直角三角形的性质求出，得到与重合，由直角三角形斜边中线的性质推出，求出，由勾股定理求出，得到，即可求出，得到． 【详解】解：延长交延长线于，过作于， ∵四边形是平行四边形， ∴， 即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴与重合， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形斜边的中线，直角三角形的性质，勾股定理等知识点．解题的关键是正确作出辅助线． 9．如图，在矩形中，，垂足为，点P、Q分别在上，则最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查等边三角形的性质和判定、相似三角形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理、轴对称的应用-最短距离问题，利用最小值的常规解法确定出的对称点，从而确定出的最小值的位置是解题的关键，利用条件证明是等边三角形，借助几何图形的性质可以减少复杂的计算． 已知，因此证明，表示出的长，在中，运用勾股定理求出的长，再运用勾股定理或求三角形的面积法求出的长．根据两点之间线段最短，添加辅助线将和转化到同一条线段上，因此作A点关于的对称点为，连接，可证得是等边三角形，由垂线段最短可知当时，最小，即可求出结果． 【详解】解：设，则， ∵四边形为矩形，且， ， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 在中，由勾股定理可得，即，解得， ∴，，， ∴， 如图，设A点关于的对称点为，连接， 则， ∴是等边三角形， ∴， ∴当三点在一条线上时，最小， 又垂线段最短可知当时，最小， ∴， 故答案是：． 10．如图所示，在矩形中，．连接对角线，将矩形折叠，使点B落在射线上，点B的对应点记为，折痕与边分别交于点E，F，当时，的长度为 ． 【答案】 【分析】设与相交于点O，由四边形为矩形可得，，，，由勾股定理可得， 再分两种情况讨论，当点在线段上及当点在线段延长线上，进行求解即可． 【详解】解：如图，设与相交于点O， 四边形为矩形，，，， ， ①    当点在线段上，， ，将矩形折叠，使点B落在射线上， ，， ， ， ，即， ， ， ， ，即， ， ； ②当点在线段延长线上，如图， 将矩形折叠，使点B落在射线上，， ，， ， ， ，即， ， ，， ，即，， ； 综上所述：的长度为． 故答案为：． 【点睛】此题是几何变换综合题，重点考查了矩形的性质、轴对称的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握以上知识的综合运用是解题的关键． 11．如图，在中，，，将绕边上点旋转，点、、所对应的点分别是点、、．如果恰好是与的比例中项，那么 ． 【答案】或 【分析】连接、过作于由旋转得，，，．故，，得，进而由恰好是与的比例中项得，，又证明得，从而证明，或，进而分两种情况讨论求解即可。 【详解】解∶连接、过作于 由旋转得，，，． ∴,, ∴，， ∴ 得∶即 ∵恰好是与的比例中项， ∴ ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴即， ∴， ∴， ∴，或， ∴当，、，重合， ∴， ∵， ∴设，， ∵， ∴， ∵面积， ∴， ∴ ∴， ∴． 当时， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为∶或． 【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，相似三角形的判定及性质，因式分解及有理数的乘法法则，掌握相似三角形的判定及性质是解题关键． 12．如图，在正方形中，，点E和F分别为上的动点，且，以为边在右侧构造等边三角形，连接，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】连接交于点O，连接，连接并延长交于点H，连接，作，垂足为，可证明，再求出，由，得到，继而，则点G的运动轨迹为一条线段，故，因此当点G与点N重合时，取得最小值即为，可求，则，故的最小值为． 【详解】解：连接交于点O，连接，连接并延长交于点H，连接，作，垂足为， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， 在中，由勾股定理得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，∴， ∵为定值，∴为定值， ∴点G的运动轨迹为一条线段， ∴， ∴当点G与点N重合时，取得最小值即为， 设， 在中，由勾股定理得，，解得：， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理解三角形，相似三角形的判定与性质等，难度较大，熟练掌握知识点，正确添加辅助线，确定点G的轨迹是解决本题的关键． 13．如图，在矩形中，，，E，F分别为边的中点．动点P从点E出发沿向点A运动，同时，动点Q从点F出发沿向点C运动，连接，过点B作于点H，连接．若点P的速度是点Q的速度的2倍，在点P从点E运动至点A的过程中，线段长度的最大值为 ，线段长度的最小值为 ．    【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，解直角三角形，梯形的中位线的性质，勾股定理的应用，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．连接交于M，连接，取的中点O，连接，，过点O作于N．首先利用相似三角形的性质证明，推出，，当点P与A重合时，的值最大，解直角三角形求出即可解决问题． 【详解】连接交于M，连接，取的中点O，连接，，过点O作于N．    ∵四边形是矩形， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ， ∵ ∴ ∴ 当点P与A重合时，的值最大， 此时 ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∵ 由于M和B点都是定点，所以其中点O也是定点，当垂直于时，共线，此时最小， ∴的最小值为 故答案为： 14．如图，在正方形中，点E，点F分别在边和上，连接交于点H，过点B作，交边于点G，连接，，若，，则的长为 ．    【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的性质，先根据勾股定理得到，然后延长交得延长线于点M，设交于点N，设，，证明，，得到，，然后求出，然后再根据计算出b的值，在计算解题即可． 【详解】解：延长交得延长线于点M，设交于点N，    ∵是正方形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，， ∵， ∴， ∴，， ∴，， 即，， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即，解得或（舍去）， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴，即， 即， 故答案为：． 15．在菱形中，，点E在边上，，关于对称的直线交于F，则的值为 ． 【答案】 【分析】连接，延长于的延长线交于，过点作于，设，，则，，根据菱形的性质得和均为等边三角形，则，，进而得，，，证明得，则，根据关于对称的直线交于得，则，进而得，然后在中求出，则，，据此可得的值． 【详解】解：连接，延长于的延长线交于，过点作于，如图所示： 设，，则， ， 四边形为菱形，且， ，，， 和均为等边三角形， ， ，， ，， 在中，由勾股定理得：， ， ，， ， 即， ， ， 关于对称的直线交于， ， 又， ， ， 在中，，，， 由勾股定理得：， 即， 解得：， 即， ， ． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了菱形的性质，轴对称的性质，等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，理解菱形的性质，轴对称的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键． 二、解答题 16．【教材呈现】下图是华师版九年级上册数学教材第页的部分内容． 如图，在中，分别是边的中点，相交于点．      求证：． 证明：连结．    （）请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程； 【结论应用】 （）如图②，在中，点分别是边的中点，相交于点，交于点，则______； （）如图③，在中，分别是边的中点，过点的直线分别交于点，若，，四边形的面积为，则______． 【答案】（）证明见解析；（）；（）． 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，相似三角形的判定和性质，三角形的面积，正确作出辅助线是解题的关键． （）由三角形中位线的性质可得，，进而得到，即得，据此可得； （）由可得，由（）可知，即得，即可由得到； （）如图③，作交的延长线于点，交于点， 则，，，可得，由得到，即得，再证明可得，进而由得到，即得，即可得，又由得，即得，由此可得，进而可得，，即得到，据此即可求解． 【详解】（）证明：如图①，连接， ∵点分别是边的中点， ∴为的中位线， ∴，， ∴， ∴， ∴；    （）解：如图②， ∵， ∴， ∴， 由（）可知，， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， 故答案为：； （）如图③，作交的延长线于点，交于点，    则，，， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 17．【基础巩固】 （1）如图①，为的平分线，过作直线，分别交，于，． 求证：． 【尝试应用】 （2）如图②，是的角平分线，，垂足为，已知，，且．求的长． 【拓展提高】 （3）如图③，已知的面积为，，平分，．求的面积． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】（1）如图①，根据角平分线定义得出，证明，即可证明． （2）如图②，延长交于，由勾股定理可得，结合①可得，，设度，度，则度，，．得出，即，即可得出． （3）如图③，延长交于，交的延长线于，连结，根据四边形为平行四边形，得出，，结合角平分线的定义可得，即可得，设，则，，，由（1）可得，即可得，证明，即可得，即可求解； 【详解】解：（1）证明：如图①， 为的平分线， ， ， ， ， ， ． （2）如图②，延长交于， 是的角平分线，，垂足为， ∴同（1）可得， ， ，， 设度，度， 则度， ，． ，得，即， ， ． （3）如图③，延长交于，交的延长线于，连结， 四边形为平行四边形， ，， ，， 平分， ， ， ， ， 设，则，，， ， ， ． ， 由（1）可得， ， ， ， ，， 的面积的面积的面积． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的外角的性质和角平分线的概念等知识，解题的关键是正确作辅助线构造相似三角形是解题的关键． 18．如图，已知四边形是正方形，G是上一点，连接，过点D作于点E，过点B作于点F． (1)【问题发现】如图1，根据给出的条件，你发现之间的数量关系是___________； (2)【问题探究】如图2，当点G在的延长线上时，其他条件不变，探究之间的数量关系，并写出证明过程； (3)【迁移应用】如图3，P是矩形内一点，，，，，求矩形的面积． 【答案】(1) (2)，见解析 (3) 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、正方形和矩形的性质等知识． （1）证明，则，利用等量代换即可得到结论； （2）证明，则，由和等量代换即可得到结论； （3），过点B作于点E，过点D作交的延长线于点F，则，，求出，证明，得到，求出，在中，，在中，，即可求出矩形的面积． 【详解】（1），证明如下： ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵过点D作于点E，过点B作于点F． ∴ ∴ ∴， ∴， ∴， ∴ 即； （2）， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵过点D作于点E，过点B作于点F． ∴ ∴ ∴ ∴， ∴， ∵， ∴ （3）如图，过点B作于点E，过点D作交的延长线于点F， ∴，， ∵，，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∴ 19．如图①，已知正方形和等腰直角，，连接，． (1)【问题发现】 如图①，线段与的数量关系为______，位置关系为______； (2)【问题探究】 如图②，将绕点A旋转，再将绕点F顺时针方向旋转至，连接，探究线段与线段的数量及位置关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】 将绕点A旋转至，延长交直线于、交于，若，，求出的长． 【答案】(1)，； (2)，，理由见解析； (3)3或15． 【分析】（1）延长交于点，证明，，，，进而即可作答； （2）延长交于，交于，推出是等腰直角三角形，，，，，，则，推出四边形为平行四边形，即可作答； （3）分两种情况讨论，分别作答即可． 【详解】（1）解：延长交于点， 为等腰直角三角形，四边形为正方形， ，，， ， ，， ， ， ， ， 即， 故答案为：，； （2）解：，，理由如下： 如图，延长交于，交于， 四边形是正方形， ，， 是等腰直角三角形，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ，， ， 四边形为平行四边形， ，； （3）解：分两种情况，情况一：如图， ，， ， 由（1）得， 四边形为正方形， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ； 情况二：如图， 同理得，， ， 综上所述：的长为3或15． 【点睛】本题是正方形综合题，考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定与性质，三角形相似的判定与性质，解题的关键是分类讨论画出相应的图形解决问题． 20．如图1，在菱形中，，是对角线延长线上的一点，线段绕点顺时针旋转至，连接． (1)求证：； (2)如图2，连接交于点，并延长交延长线于点． ①求证：； ②若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】（1）由旋转的性质可得：，，由菱形的性质可得，证明，再利用证明，即可得证； （2）①由全等三角形的性质得出，证明为等边三角形，得出，证明出，结合三角形外角的定义及性质得出，即可得证；②作于，则，设，则，，，设，则，，，由勾股定理结合旋转的性质得出，证明，得出，即，解得，结合计算即可得解． 【详解】（1）证明：由旋转的性质可得：，， ∵四边形为菱形， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴； （2）证明：由（1）可得：， ∴， 由旋转的性质可得：，， ∴为等边三角形， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； ②解：如图，作于，则， ， 由①可得：， ∴， 设，则，， ∵，∴，∴， 设，则，，， ∴， 由（1）可得：，∵，∴， ∴，即，∴， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形外角的定义及性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 21．【问题背景】（1）如图1，在菱形中，于点，于点．求证： 【类比迁移】（2）如图2，在菱形中，为上一点，为上一点，．延长交的延长线于点．求证：； 【拓展应用】（3）如图3，在菱形中，，为上一点，延长交的延长线于点，连接，延长交于点，已知，求的度数，并直接写出的值．（用含的式子表示） 【答案】（1）见详解（2）见详解（3） 【分析】（1）欲证明，只需要证得即可； （2）连接，根据菱形的性质得到，，根据等边三角形的性质得到，，由全等三角形的性质得到，根据平行线的性质得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论； （3）在上取点，使，连接，，根据全等三角形的性质得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】证明：（1）四边形是菱形， ，． 又于点，于点， ， 在与中， ， ， ； （2）证明：连接， 四边形为菱形， ，， 和均为等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：在上取点，使，连接，， 由（2）知为等边三角形，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． ， 设，则，， ， ． 【点睛】本题是相似形的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 22．在矩形中，点E，F分别在边，上，将矩形沿折叠，使点A的对应点P落在边上，点B的对应点为点G，交于点H． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当P为的中点，，时，求的长； (3)如图3，连接，当P，H分别为，的中点时，探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)，见解析 【分析】（1）证明对应角相等，即可得到； （2）根据，求得的长度，从而得出长度； （3）延长，交于一点，连接，先证明，得到相等的边，再根据，得出大小关系． 【详解】（1）证明：如图， 四边形是矩形， ， ， ，分别在，上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上， ， ， ， ； （2）解：四边形是矩形， ，，， 为中点， ， 设， ， 在中，， 即， 解得， ， ， ， ，即， ， ， ． （3）解：如图，延长，交于一点，连接， ，分别在，上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上， ，直线， ， ， ， ， 是等腰三角形， ， 为中点， 设， ， 为中点， ， ，，， ，，，， 在中，，，， 在中，， ，， ，，， ，即． 【点睛】本题考查了矩形与折叠、相似三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握以上基础知识是解题关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章 图形的相似章节压轴题模拟训练 一、填空题 1．如图，四边形是正方形，点在边上，是以为直角顶点的等腰直角三角形，，分别交于点，过点作的垂线交的延长线于点．连接，若，，则 ． 2．如图，的面积是48，，D为的中点，，则阴影部分的面积为 ． 3．如图，矩形中，为边上一点，，为边上一点，连接，将四边形沿翻折，点恰好落在边上处，点的对应点为，，则的长为 ． 4．如图，在正方形中，点是对角线上一点，且，点为边上一点，且，连接与相交于点，过点作于点．若的长为6，则的长为 ． 5．如图，在四边形中，，，为对角线，若，，，则的面积为 ． 6．如图，在矩形中，，，先将沿翻折到处，再将沿翻折到处，延长交于点，则的长为 ． 7．如图，将矩形纸折叠，折痕为，点M，N分别在边，上，点C，D的对应点分别为点E，F，且点F在矩形内部，的延长线交边于点G，交边于点H．当，，且时，的长为 ． 8．如图，在中，点为的中点，点在上，，连接，，若，，，则线段的长为 ． 9．如图，在矩形中，，垂足为，点P、Q分别在上，则最小值为 ． 10．如图所示，在矩形中，．连接对角线，将矩形折叠，使点B落在射线上，点B的对应点记为，折痕与边分别交于点E，F，当时，的长度为 ． 11．如图，在中，，，将绕边上点旋转，点、、所对应的点分别是点、、．如果恰好是与的比例中项，那么 ． 12．如图，在正方形中，，点E和F分别为上的动点，且，以为边在右侧构造等边三角形，连接，则的最小值为 ． 13．如图，在矩形中，，，E，F分别为边的中点．动点P从点E出发沿向点A运动，同时，动点Q从点F出发沿向点C运动，连接，过点B作于点H，连接．若点P的速度是点Q的速度的2倍，在点P从点E运动至点A的过程中，线段长度的最大值为 ，线段长度的最小值为 ．    14．如图，在正方形中，点E，点F分别在边和上，连接交于点H，过点B作，交边于点G，连接，，若，，则的长为 ．    15．在菱形中，，点E在边上，，关于对称的直线交于F，则的值为 ． 二、解答题 16．【教材呈现】下图是华师版九年级上册数学教材第页的部分内容． 如图，在中，分别是边的中点，相交于点．      求证：． 证明：连结．    （）请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程； 【结论应用】 （）如图②，在中，点分别是边的中点，相交于点，交于点，则______； （）如图③，在中，分别是边的中点，过点的直线分别交于点，若，，四边形的面积为，则______． 17．【基础巩固】 （1）如图①，为的平分线，过作直线，分别交，于，． 求证：． 【尝试应用】 （2）如图②，是的角平分线，，垂足为，已知，，且．求的长． 【拓展提高】 （3）如图③，已知的面积为，，平分，．求的面积． 18．如图，已知四边形是正方形，G是上一点，连接，过点D作于点E，过点B作于点F． (1)【问题发现】如图1，根据给出的条件，你发现之间的数量关系是___________； (2)【问题探究】如图2，当点G在的延长线上时，其他条件不变，探究之间的数量关系，并写出证明过程； (3)【迁移应用】如图3，P是矩形内一点，，，，，求矩形的面积． 19．如图①，已知正方形和等腰直角，，连接，． (1)【问题发现】 如图①，线段与的数量关系为______，位置关系为______； (2)【问题探究】 如图②，将绕点A旋转，再将绕点F顺时针方向旋转至，连接，探究线段与线段的数量及位置关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】 将绕点A旋转至，延长交直线于、交于，若，，求出的长． 20．如图1，在菱形中，，是对角线延长线上的一点，线段绕点顺时针旋转至，连接． (1)求证：； (2)如图2，连接交于点，并延长交延长线于点． ①求证：； ②若，求的值． 21．【问题背景】（1）如图1，在菱形中，于点，于点．求证： 【类比迁移】（2）如图2，在菱形中，为上一点，为上一点，．延长交的延长线于点．求证：； 【拓展应用】（3）如图3，在菱形中，，为上一点，延长交的延长线于点，连接，延长交于点，已知，求的度数，并直接写出的值．（用含的式子表示） 22．在矩形中，点E，F分别在边，上，将矩形沿折叠，使点A的对应点P落在边上，点B的对应点为点G，交于点H． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当P为的中点，，时，求的长； (3)如图3，连接，当P，H分别为，的中点时，探究与的数量关系，并说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$