湖北省黄冈市浠水县第一中学2024-2025学年高二上学期9月月考数学试题

标签：

特供文字版答案

切换试卷

2024-09-13

| 4份

| 25页

| 349人阅读

| 3人下载

内容正文：

浠水一中2026届高二年级9月月考数学试卷命题教师：潘林辉审题教师：李细清林颖考试时间：2024年 9月 13日试卷满分：150分一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知，则（） A． B． C． D． 2．一水平放置的平面图形，用斜二测画法画出此直观图恰好是一个边长为1的正方形，则原平面图形的面积为（） A． B． C． D．2 3．已知点，则点A到直线的距离是（） A． B． C． D． 4．直线l1：y＝ax＋b与直线l2：y＝bx＋a(ab≠0，a≠b)在同一平面直角坐标系内的图象只可能是（） A． B． C． D． 5．已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（） A． B． C． D． 6. 已知直线，为使这条直线不经过第二象限，则实数的范围是（） A. B. 7．如图，平行六面体各棱长为1，且，动点P在该几何体内部，且满足，则的最小值为（） A． B． C． D． 8．过定点A的直线与过定点B的直线交于点与A、B不重合，则面积的最大值为（） A． B． C．2 D．4 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．下列命题正确的有（） A．一组数据分别是82，84，86，88，95，96，94，则该组数据的上四分位数是96 B．对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件 C．不可能事件与任意事件相互独立 D．若事件A，B独立，则 10．下列说法正确的是（） A．直线的倾斜角的取值范围是 B．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 C．两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线 D．已知向量，，则在上的投影向量为 11．如图，一个棱长为6的透明的正方体容器（记为正方体）放置在水平面的上方，点恰在平面内，点到平面的距离为2，若容器中装有水，静止时水面与表面的交线与的夹角为0，记水面到平面的距离为，则（） A．平面平面 B．点到平面的距离为8 C．当时，水面的形状是四边形 D．当时，所装的水的体积为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．过点，在轴上的截距和在轴上的截距相等的直线方程为． 13．某企业有甲、乙两个工厂共生产一精密仪器件，其中甲工厂生产了件，乙工厂生产了件，为了解这两个工厂各自的生产水平，质检人员决定采用分层抽样的方法从所生产的产品中随机抽取件样品，已知该精密仪器按照质量可分为四个等级．若从所抽取的样品中随机抽取一件进行检测，恰好抽到甲工厂生产的等级产品的概率为，则抽取的三个等级中甲工厂生产的产品共有件． 14．在中，，，，为边上一点，，，，则的最小值为．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知的两顶点坐标为，，是边的中点，是边上的高． (1)求所在直线的方程； (2)求高所在直线的方程. 16．（15分）在中，角的对边是，已知． (1)求角； (2)若点在边上，且，求面积的最大值． 17．（15分）为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，教育部启动了“强基计划”的招生改革工作.某校强基招生面试有两道题，两道题都答对者才能通过强基招生面试.假设两题作答相互独立，现有甲､乙､丙三名学生通过考核进入面试环节，他们答对第一题的概率分别是，答对第二题的概率分别是. (1)求甲考生通过某校强基招生面试的概率； (2)求甲､乙两位考生中有且只有一位考生通过强基招生面试的概率； (3)求甲､乙､丙三人中至少有一人通过强基招生面试的概率. 18．（17分）如图1，在中，，，分别为边，的中点，且，将沿折起到的位置，使，如图2，连接，. (1)求证：平面； (2)若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值； (3)线段上一动点满足，判断是否存在，使二面角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 19．（17分）类比思想在数学中极为重要，例如类比于二维平面内的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理：如图1，由射线，，构成的三面角，记，，，二面角的大小为，则．如图2，四棱柱中，为菱形，，，，且点在底面内的射影为的中点． (1)求的值； (2)直线与平面内任意一条直线夹角为，证明：； (3)过点作平面，使平面平面，且与直线相交于点，若，求值．浠水一中2026届高二年级9月月考数学试卷（共4页）第页浠水一中2026届高二年级9月月考数学试卷（共4页）第 1页学科网（北京）股份有限公司 $$浠水一中 2026 届高二年级 9月月考数学试卷（共 4页）第 1页浠水一中 2026 届高二年级 9 月月考数学试卷命题教师：潘林辉审题教师：李细清林颖考试时间：2024 年 9 月 13 日试卷满分：150 分一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知 � = 2 + i，则 � �+i =（） A．3−i 4 B．1−i 4 C．3+i 4 D．1+i 4 2．一水平放置的平面图形，用斜二测画法画出此直观图恰好是一个边长为 1的正方形，则原平面图形的面积为（） A．2 3 B．4 3 C．2 2 D．2 3．已知点�(1,0,0), �(1,0,2), �(1,1,1)，则点 A到直线��的距离是（） A．1 B． 2 C．2 2 D．4 4．直线 l1：y＝ax＋b与直线 l2：y＝bx＋a(ab≠0，a≠b)在同一平面直角坐标系内的图象只可能是（） A． B． C． D． 5．已知直三棱柱�� − �1�1�1中，∠�� = 120°，�� = ��1 = 2，�� = 1，则异面直线��1与��1 所成角的余弦值为（） A． 3 2 B． 15 5 C． 10 4 D． 3 3 6. 已知直线 � − 2 � = 3� − 1 � − 1，为使这条直线不经过第二象限，则实数�的范围是（） A. ( − ∞,2) B.( − ∞,2] C. (2, + ∞) D. [2, + ∞) 7．如图，平行六面体各棱长为 1，且∠�1�� = ∠�1�� = ∠�� = 60°，动点 P在该几何体内部，且满足�� = �� + �� + (1 − � − �)��1 (�, � ∈ R)，则|�� |的最小值为（） A． 6 4 B． 6 3 C． 6 2 D．1 2 浠水一中 2026 届高二年级 9月月考数学试卷（共 4页）第 1页 8．过定点 A的直线�� + � − 2 = 0 与过定点 B的直线� − �� + 4� − 2 = 0 交于点�(�与 A、B不重合)，则△ ��面积的最大值为（） A． 2 B．2 2 C．2 D．4 二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分. 9．下列命题正确的有（） A．一组数据分别是 82，84，86，88，95，96，94，则该组数据的上四分位数是 96 B．对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件 C．不可能事件与任意事件相互独立 D．若事件 A，B独立，则�(� + �) = �(�) + �(�) 10．下列说法正确的是（） A．直线�sin� + � + 2 = 0 的倾斜角�的取值范围是 0, π 4 ∪ 3π 4 ,π B．“� =− 1”是“直线�2� − � + 1 = 0 与直线� − �� − 2 = 0 互相垂直”的充要条件 C．两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线 D．已知向量� = 9,4, − 4 ，� = 1,2,2 ，则� 在� 上的投影向量为 1,2,2 11．如图，一个棱长为 6的透明的正方体容器（记为正方体�� − �1�1�1�1）放置在水平面�的上方，点�恰在平面�内，点�到平面�的距离为 2，若容器中装有水，静止时水面与表面��1�1�的交线与�1�的夹角为 0，记水面到平面�的距离为 �，则（） A．平面��1�1 ⊥平面� B．点�1到平面�的距离为 8 C．当� ∈ 2,8 时，水面的形状是四边形 D．当� = 7 时，所装的水的体积为747 4 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12．过点�(1,3)，在�轴上的截距和在�轴上的截距相等的直线方程为． 13．某企业有甲、乙两个工厂共生产一精密仪器 1200件，其中甲工厂生产了 690件，乙工厂生产了 510件，为了解这两个工厂各自的生产水平，质检人员决定采用分层抽样的方法从所生产的产品中随机抽取 80件样品，已知该精密仪器按照质量可分为�, �, �, �四个等级．若从所抽取的样品中随机抽取一件进行检测，恰好抽到甲工厂生产的�等级产品的概率为 3 20 ，则抽取的�, �, �三个等级中甲工厂生产的产品共有件．浠水一中 2026 届高二年级 9月月考数学试卷（共 4页）第 1页 14．在△ ��中，�� = �，�� = �，�� = �，�为��边上一点，�� = 2，�� ⊥ ��，∠�� = π 4 ，则 2� + � 的最小值为．四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知△ ��的两顶点坐标为� 1, − 1 ，� 3,0 ，�1(0,1)是边��的中点，��是��边上的高． (1)求��所在直线的方程； (2)求高��所在直线的方程. 16．（15分）在△ ��中，角�, �, �的对边是�, �, �，已知2�−� � = cos� cos� , � = 3． (1)求角�； (2)若点�在边��上，且�� = 1 3 �� + 2 3 ��，求△��面积的最大值． 17．（15分）为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，教育部启动了“强基计划”的招生改革工作.某校强基招生面试有两道题，两道题都答对者才能通过强基招生面试.假设两题作答相互独立，现有甲､乙､丙三名学生通过考核进入面试环节，他们答对第一题的概率分别是 1 3 , 1 2 , 1 4 ，答对第二题的概率分别是 1 2 , 1 3 , 2 3 . (1)求甲考生通过某校强基招生面试的概率； (2)求甲､乙两位考生中有且只有一位考生通过强基招生面试的概率； (3)求甲､乙､丙三人中至少有一人通过强基招生面试的概率. 浠水一中 2026 届高二年级 9月月考数学试卷（共 4页）第 1页 18．（17分）如图 1，在△��中，�� ⊥ ��，�，�分别为边��，��的中点，且�� = �� = 2，将△�� 沿��折起到△ ��的位置，使�� ⊥ ��，如图 2，连接��，��. (1)求证：�� ⊥平面��； (2)若�为��的中点，求直线��与平面��所成角的正弦值； (3)线段��上一动点�满足�� = �(0 ≤ � ≤ 1)，判断是否存在�，使二面角� − �� − �的正弦值为 10 10 ，若存在，求出�的值；若不存在，请说明理由. 19．（17分）类比思想在数学中极为重要，例如类比于二维平面内的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理：如图 1，由射线��，��，��构成的三面角� − ��，记∠�� = �，∠�� = �，∠�� = �，二面角� − �� − �的大小为�，则 cos� = cos�cos� + sin�sin�cos�．如图 2，四棱柱�� − �1�1�1�1 中，▱��为菱形，∠�� = 60°，��1 = 2 3，�� = 2，且�1点在底面��内的射影为��的中点�． (1)求 cos∠�1��的值； (2)直线��1与平面��内任意一条直线夹角为�，证明： π 3 ≤ � ≤ π 2 ； (3)过点�作平面�，使平面�//平面�1�1�，且与直线��1相交于点�，若�1� = ��1� ，求�值．浠水一中2026届高二年级9月月考数学参考答案 1．A【详解】.故选：A. 2．C【详解】在斜二测画法中，设原图面积为，直观图面积为，则．依题意，所以原平面图形的面积．故选：C 3．B【详解】由题意，,则与同方向的单位向量为，又,于是，点A到直线的距离是：.故选：B. 4．D【详解】对B，斜率为正，在轴上的截距也为正，故不可能有斜率为负的情况.故B错.当时，和斜率均为正，且截距均为正.仅D选项满足.故选：D 5．C【详解】以为原点，在平面内过作的垂线交于，以为轴，以为轴，以为轴，建立空间直角坐标系，因为直三棱柱中，，，，所以，所以，设异面直线与所成角为，所以.故选：C. 6. D【详解】若，即时，直线方程可化为，此时直线不经过第二象限，满足条件；若，直线方程可化为，此时若直线不经过第二象限，则且，解得.综上满足条件的实数的范围是.故答案为：D 7．B【详解】因为，则，即，由平面向量共面定理可知：点在平面内，则的最小值即为点到平面的距离，连接因为平行六面体各棱长为1，且，所以，所以三棱锥为正四面体，过点作平面，因为平面，所以，如图，所以，所以，所以的最小值为. 故选：B. 8．C【详解】由题意可知，动直线经过定点，动直线即，经过点定点，过定点A的直线与过定点B的直线始终垂直，P又是两条直线的交点，有，故,当且仅当时取等号，所以面积的最大值为故选: 9．BC【详解】对于A，数据82，84，86，88，94，95，96，由，得该组数据的上四分位数是95，A错误；对于B，由互斥事件、对立事件的关系知，对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件，B正确；对于C，事件是不可能事件，是任意事件，则，，则事件与相互独立，C正确；对于D，事件A，B独立，则，而，在时，不成立，D错误. 故选：BC 10．ACD【详解】对于A选项，直线的倾斜角为，则，因为，所以，所以，故A正确；对于B选项，因为直线与直线互相垂直，所以，即，解得或，所以“”是“或”的充分不必要条件，所以“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件，故B错误；对于C选项，若两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，不妨设这两个非零向量不共线，设这两个非零向量为，由空间向量的基本定理可知，在空间中必存在非零向量，使得为空间的一个基底，假设不成立，故这两个非零向量共线，故C正确; 对于D选项，因为向量，所以在上的投影向量为，故D正确. 故选：ACD. 11．ABD【详解】如图所示建立空间直角坐标系，则, 因为静止时水面与表面的交线与的夹角为0，所以平面，设平面的法向量为，，点到平面的距离为，，，而，令，所以平面的法向量为，对A，，，，，故平面，所以平面的法向量为，又，所以平面平面，故A正确；对B，，所以到平面的距离为，故B正确；对C，因为，所以，当时，截面为六边形，故C错误；对D，当时，设水面与的交点分别为，设，则，则，，故，设水面与交点为，所以，，此时过作交于点，连接，设的面积为,的面积为，则，，所以，所以，故D正确. 故选：ABD 12．或【详解】当直线过原点时，直线在轴上的截距和在轴上的截距相等，则直线方程为；当直线不过原点时，设直线方程为，则，解得，直线方程为，所以所求直线方程为或.故答案为：或 13．【详解】由分层抽样原则知：从甲工厂抽取了件样品，设抽取甲工厂生产的等级产品有件，则，解得：，抽取的三个等级中，甲工厂生产的产品共有件.故答案为：. 14．【详解】因为为边上一点，过作交于，则，当在之间时，无法构成，此时如图所示，所以在的延长线上，可得，所以，，因为，所以，，而在中，，，可得，在中，由正弦定理得，即，可得，所以，当且仅当时取等，此时解得，所以的最小值为.故答案为：. 15．【详解】（1）因为是边的中点，所以，所以直线的斜率，所以所在直线的方程为：，即，（2）因为是边AB的中点，所以，因为是边上的高，所以，所以，所以，因此高所在直线的方程为：，即. 16．【详解】（1）因为，由正弦定理得，整理得到，即，又，所以，得到，又，所以. （2））因为，所以，又，又由余弦定理，得到，所以，所以，当且仅当取等号，所以面积的最大值为. 17．【详解】（1）甲通过考核进入面试环节，答对第一题的概率分别是，答对第二题的概率分别是，甲考生通过某校强基招生面试的概率为. （2）乙考生通过某校强基招生面试的概率为，甲､乙两位考生中有且只有一位考生通过强基招生面试的概率为：. （3）丙考生通过某校强基招生面试的概率为，甲､乙､丙三人中至少有一人通过强基招生面试的概率为：. 18．【详解】（1）因为，分别为，的中点，所以.因为，所以，所以.又，，平面，所以平面. （2）因为，，，所以，，两两垂直. 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，依题意有，，，，，，则，，，. 设平面的法向量，则有令，得，，所以是平面的一个法向量. 因为，所以直线与平面所成角的正弦值为. （3）假设存在，使二面角的正弦值为，即使二面角的余弦值为.由（2）得，，所以，，.易得平面的一个法向量为.设平面的法向量，，解得，令，得，则是平面的一个法向量.由图形可以看出二面角的夹角为锐角，且正弦值为，故二面角的余弦值为，则有，即，解得，.又因为，所以. 故存在，使二面角的正弦值为 19．【详解】（1）连接，由已知得平面，，又平面，所以平面平面，所以二面角的大小为，因为为菱形，，所以，又，所以，在中，，由三面角余弦定理可得. （2）依题意可得，设平面内任一条直线为，若过点时，记与的夹角为（），则，因为，所以，又，所以；若不过点时，过点作使得，记与的夹角为（），则，因为，所以，又，所以；综上可得. （3）连接，，因为，平面，平面，所以平面，同理可证平面，又，平面，所以平面平面，因为平面平面，所以平面平面，又平面平面，又平面平面，所以，又即，所以四边形为平行四边形，所以，显然在的延长线上，因为，所以，所以，即. 答案第1页，共2页答案第1页，共2页学科网（北京）股份有限公司 $$答案第 1页，共 8页浠水一中 2026 届高二年级 9 月月考数学参考答案 1．A【详解】 � �+i = 2+i 2+i+i = (2+i)(2−2i) (2+2i)(2−2i) = (2+i)(2−2i) 8 = 6−2i 8 = 3−i 4 .故选：A. 2．C【详解】在斜二测画法中，设原图面积为�，直观图面积为�′，则� = 2 2�′．依题意�′ = 12 = 1，所以原平面图形的面积� = 2 2�′ = 2 2．故选：C 3．B【详解】由题意，�� = �� − �� = (1,1,1) − (1,0,2) = (0,1, − 1),则与��同方向的单位向量为� = (0, 2 2 , − 2 2 )，又�� = (0,0, − 2),于是，点 A 到直线��的距离是：� = |�� |2 − (�� ⋅ � )2 = 4 − [( − 2) × ( − 2 2 )]2 = 2.故选：B. 4．D【详解】对 B，�2斜率为正，在�轴上的截距也为正，故不可能有�1斜率为负的情况.故 B错.当�, � > 0时， �1和�2斜率均为正，且截距均为正.仅 D选项满足.故选：D 5．C【详解】以�为原点，在平面��内过�作��的垂线交��于�，以��为�轴，以��为� 轴，以��1为�轴，建立空间直角坐标系，因为直三棱柱�� − �1�1�1中，∠�� = 120°，�� = ��1 = 2，�� = 1，所以�( 3, − 1,0), �1(0,0,2), �(0,0,0), �1(0,1,2)，所以��1 = ( − 3, 1,2), ��1 = (0,1,2)，设异面直线��1 与��1所成角为�，所以 cos� = |��1 ⋅�� | |��1 |⋅|��1 | = 5 8⋅ 5 = 10 4 .故选：C. 6. D【详解】若� − 2 = 0，即� = 2时，直线方程可化为� = 1 5 ，此时直线不经过第二象限，满足条件；若� − 2 ≠ 0，直线方程可化为� = 3�−1 �−2 � − 1 �−2 ，此时若直线不经过第二象限，则 3�−1 �−2 > 0且 1 �−2 ≥ 0，解得� > 2.综上满足条件的实数�的范围是[2, + ∞).故答案为：D 7．B【详解】因为�� = �� + �� + (1 − � − �)��1 (�, � ∈ R)，则�� − ��1 = � �� − ��1 + � �� − ��1 ，即�1� = ��1� + ��1� ，由平面向量共面定理可知：点�在平面��1内，则|�� |的最小值即为点�到平面��1的距离，连接��, ��1, �1�,因为平行六面体各棱长为 1，答案第 2页，共 8页且∠�1�� = ∠�1�� = ∠�� = 60°，所以�� = ��1 = �1� = 1，所以三棱锥� − �1��为正四面体，过点�作�� ⊥平面��1，因为�1� ⊂平面��1，所以�� ⊥ �1�，如图，所以 �1� = 2 3 × 1 − 1 2 2 = 2 3 × 3 2 = 3 3 ，所以 �� = �1�2 − �1�2 = 1 − 3 3 2 = 6 3 ，所以|�� |的最小值为 �� = 6 3 . 故选：B. 8．C【详解】由题意可知，动直线�� + � − 2 = 0经过定点� 0,2 ，动直线� − �� + 4� − 2 = 0 即� − 2 + ( − � + 4)� = 0，经过点定点� 2,4 ，∵过定点 A 的直线�� + � − 2 = 0与过定点 B 的直线� − �� + 4� − 2 = 0始终垂直，P 又是两条直线的交点，∴有�� ⊥ ��， ∴ |��|2 + |��|2 = |��|2 = 8.故|��| ⋅ |��| ≤ |��| 2+|��|2 2 = 4,当且仅当|��| = |��| = 2时取等号，所以△ ��面积的最大值为1 2 × 2 × 2 = 2.故选:C. 9．BC【详解】对于 A，数据 82，84，86，88，94，95，96，由 7 × 75% = 5.25，得该组数据的上四分位数是 95，A错误；对于 B，由互斥事件、对立事件的关系知，对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件，B正确；对于 C，事件�是不可能事件，�是任意事件，则�(�) = 0，�(��) = 0 = �(�)�(�)，则事件�与�相互独立，C正确；对于 D，事件 A，B 独立，则�(��) = �(�)�(�)，而�(� + �) = �(�) + �(�) − �(��)，在�(�)�(�) ≠ 0时，�(� + �) = �(�) + �(�)不成立，D错误. 故选：BC 10．ACD【详解】对于 A选项，直线�sin� + � + 2 = 0的倾斜角为�，则 tan� =− sin�，因为−1 ≤ sin� ≤ 1，所以−1 ≤ tan� ≤ 1，所以� ∈ 0, π 4 ∪ 3π 4 ,π ，故 A正确；对于 B选项，因为直线�2� − � + 1 = 0 与直线� − �� − 2 = 0互相垂直，所以�2 × 1 + −1 × −� = 0，即�2 + � = 0，解得� = 0或� =− 1，所以“� =− 1”是“� = 0或� =− 1” 的充分不必要条件，所以“� =− 1”是“直线�2� − � + 1 = 0与直线� − �� − 2 = 0互相垂直” 答案第 3页，共 8页的充分不必要条件，故 B错误；对于 C选项，若两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，不妨设这两个非零向量不共线，设这两个非零向量为� , � ，由空间向量的基本定理可知，在空间中必存在非零向量�，使得 � , � , � 为空间的一个基底，假设不成立，故这两个非零向量共线，故 C正确; 对于D选项，因为向量� = 9,4, − 4 , � = 1,2,2 ，所以� 在� 上的投影向量为|� |cos � , � ⋅ � |�| = |� | ⋅ � ⋅� |� |⋅|� |⋅ � |�| = � ⋅� |� |2 ⋅ � = 9 9 1,2,2 = 1,2,2 ，故 D正确. 故选：ACD. 11．ABD【详解】如图所示建立空间直角坐标系，则� 6,0,0 , �1 0,6,0 , � 0,0,6 , 因为静止时水面与表面��1�1�的交线与�1�的夹角为 0，所以�1�//平面�，设平面�的法向量为� = �, �, � ，�� = 6,0,0 ，点�到平面�的距离为�′ = 6� �2+�2+�2 = 2，�1� = 0, − 6,6 ， �1� ⋅ � =− 6� + 6� = 0 ⇒ � = �，而� = 2�，令� = 1，所以平面�的法向量为� = 1,2,2 ，对 A，��1 = 6,6,6 ，�� = 6,0,0 ，�1� = 0, − 6,6 ，�1� ⋅ ��1 = 0, �1� ⋅ �� = 0，故�1� ⊥ ��1, �1� ⊥ ��, ��1 ∩ �� = �, ��1, �� ⊂平面��1�1，所以平面��1�1的法向量为�1� = 0, − 6,6 ，又�1� ⋅ � = 0，所以平面��1�1 ⊥平面�，故 A正确；对 B，��1 = 0,6,6 ，所以�1到平面�的距离为 ��1 ⋅� � = 24 3 = 8，故 B正确；对 C，因为�� = 0,0,6 , �� = 6,0,6 ，所以 �� ⋅� � = 12 3 = 4, �� ⋅� � = 18 3 = 6，当� ∈ 4,6 时，截面为六边形，故 C错误；对 D，当� = 7时，设水面与��1, �1�1的交点分别为�,�，设� 0,6, � ，则�� = 0,6, � ，则 �� ⋅� � = 12+2� 3 = 7，� = 9 2 ，故� 0,6, 9 2 ，设水面与�1�1交点为� 6,6, � ，所以�� = 6,0,� − 9 2 ，�� ⋅ � = 6 + 2� − 9 = 0,� = 3 2 ，此时过�作��//��交��1于点�，连接��，设△�1�� 的面积为�1,△ �1��的面积为�2，则�1 = 1 2 �1� �1� = 1 2 × 3 2 2 = 9 8 ，�2 = 1 2 �1� �1� = 1 2 × 9 2 2 = 81 8 ，所以�台体�1��−�1�� = 1 3 �1 + �2 + �1�2 × 6 = 1 3 × 9 8 + 81 8 + 27 8 × 6 = 117 4 ，答案第 4页，共 8页所以�水 = 216 − 117 4 = 747 4 ，故 D正确. 故选：ABD 12．� = 3�或� + � − 4 = 0【详解】当直线过原点时，直线� = 3�在�轴上的截距和在�轴上的截距相等，则直线方程为� = 3�；当直线不过原点时，设直线方程为� � + � � = 1，则1 � + 3 � = 1，解得� = 4，直线方程为� + � − 4 = 0，所以所求直线方程为� = 3�或� + � − 4 = 0.故答案为：� = 3�或� + � − 4 = 0 13．34【详解】由分层抽样原则知：从甲工厂抽取了 80 × 690 1200 = 46件样品，设抽取甲工厂生产的�等级产品有�件，则 � 80 = 3 20 ，解得：� = 12，∴抽取的�, �, �三个等级中，甲工厂生产的产品共有 46 − 12 = 34件.故答案为：34. 14．6 + 4 2【详解】因为�为��边上一点，过�作�� ⊥ ��交��于�，则��//��，当�在�� 之间时，无法构成△ ��，此时如图所示，所以�在��的延长线上，可得� ∈ (0, π 4 )，所以 tan� ∈ (0,1)，1 − tan� > 0，因为∠�� = π 4 ，所以∠�� = 3π 4 − �，� = π 4 − �，而在△ ��中，�� = 2，�� ⊥ ��，可得� = �� = �� × 1 tan(π4−�) = 2cos(π4−�) sin(π4−�) = 2(cos�+sin�) sin�−cos� = 2(1+tan�) 1−tan� =− 2+ 4 1−tan� ，在△��中，由正弦定理得 �� sin� = �� sin∠�� ，即 2 sin� = �� sin(3π4 −�) ，可得� = �� = 2×sin(3π4 −�) sin� = 2(cos�+sin�) sin� = 2 + 2 tan� ，所以 2� + � = 2 + 2 tan� − 2 + 4 1−tan� = 2 tan� + 4 1−tan� = ( 2 tan� + 4 1−tan� )(tan� + 1 − tan�) = 6 + 2(1−tan�) tan� + 4tan� 1−tan� ≥ 6+ 2 2(1−tan�) tan� × 4tan� 1−tan� = 6 + 4 2，当且仅当2(1−tan�) tan� = 4tan� 1−tan� 时取等，此时解得 tan� = 1 3 ，所以 2� + �的最小值为 6 + 4 2.故答案为：6 + 4 2. 15．【详解】（1）因为�1(0,1)是边��的中点，所以� −1,3 ，所以直线��的斜率�� =− 3 4 ，所以��所在直线的方程为：� =− 3 4 � − 3 ，即 3� + 4� − 9 = 0，（2）因为�1(0,1)是边 AB 的中点，所以� −1,3 ，因为��是��边上的高，所以�� ⋅ �� =− 1，所以 3−0 −1−3 ⋅ �� =− 1，所以�� = 4 3 ，因此高��所在直线的方程为：� + 1 = 4 3 (� − 1)，即 4� − 3� − 7 = 0. 答案第 5页，共 8页 16．【详解】（1）因为2�−� � = cos� cos� ，由正弦定理得 2sin�−sin� sin� = cos� cos� ，整理得到 2sin�cos� − sin�cos� = cos�sin�，即 2sin�cos� = sin�cos� + cos�sin� = sin(� + �) = sin�，又� ∈ 0,π ，所以 sin� ≠ 0，得到 cos� = 1 2 ，又� ∈ 0,π ，所以� = π 3 . （2））因为�� = 1 3 �� + 2 3 ��，所以�� = �� + �� = �� + 1 3 �� + 2 3 �� = 1 3 �� + 1 3 �� = 1 3 �� ，又�△�� = 1 3 �△�� = 1 3 × 1 2 ��sin� = 1 6 ��sin π 3 = 3 12 ��，又由余弦定理�2 = �2 + �2 − 2��cos�，得到32 = �2 + �2 − 2��cos π 3 ≥ 2�� − �� = ��，所以�� ≤ 9，所以�△�� = 3 12 �� ≤ 3 12 × 9 = 3 3 4 ，当且仅当� = � = 3取等号，所以△��面积的最大值为3 3 4 . 17．【详解】（1）甲通过考核进入面试环节，答对第一题的概率分别是1 3 ，答对第二题的概率分别是 1 2 ，甲考生通过某校强基招生面试的概率为�1 = 1 3 × 1 2 = 1 6 . （2）乙考生通过某校强基招生面试的概率为�2 = 1 2 × 1 3 = 1 6 ，∴甲､乙两位考生中有且只有一位考生通过强基招生面试的概率为：� = 1 6 × (1 − 1 6 ) + (1 − 1 6 ) × 1 6 = 5 18 . （3）丙考生通过某校强基招生面试的概率为�3 = 1 4 × 2 3 = 1 6 ，∴甲､乙､丙三人中至少有一人通过强基招生面试的概率为：�' = 1 − (1 − 1 6 ) × (1 − 1 6 ) × (1 − 1 6 ) = 91 216 . 18．【详解】（1）因为�，�分别为��，��的中点，所以��∥��.因为�� ⊥ ��，所以�� ⊥ ��，所以�� ⊥ ��.又�� ⊥ ��，�� ∩ �� = �，��, �� ⊂平面��，所以�� ⊥平面��. （2）因为�� ⊥ ��，�� ⊥ ��，∠�� = 90°，所以��，��，��两两垂直. 答案第 6页，共 8页以�为坐标原点，��, ��, ��所在直线分别为�, �, �轴，建立如图所示的空间直角坐标系� − ��，依题意有� 0,0,0 ，� 2,0,0 ，� 2,2,0 ，� 0,1,0 ，� 0,0,2 ，� 1,1,1 ，则�� = (2,2, − 2)，�� = (1,0,1)，�� = ( − 2,1,0)，�� = ( − 2,0,2). 设平面��的法向量� = �1, �1, �1 ，则有 �� ⋅ � = −2,1,0 ⋅ �1, �1, �1 =− 2�1 + �1 = 0 �� ⋅ � = −2,0,2 ⋅ �1, �1, �1 =− 2�1 + 2�1 = 0 令�1 = 2，得�1 = 1，�1 = 1，所以� = 1,2,1 是平面��的一个法向量. 因为 cos〈�� , � 〉 = �� ⋅� �� ⋅ � = (1,0,1)⋅ 1,2,1 1+1× 1+4+1 = 2 2× 6 = 3 3 ，所以直线��与平面��所成角的正弦值为 3 3 . （3）假设存在�，使二面角� − �� − �的正弦值为 10 10 ，即使二面角� − �� − �的余弦值为3 10 10 .由（2）得，�� = �� = (2�, 2�, − 2�)(0 ≤ � ≤ 1)，所以�(2�, 2�, 2 − 2�)，�� = (0,1,0)，�� = (2�, 2�, 2 − 2�).易得平面��的一个法向量为 �1 = 1,0,0 .设平面��的法向量�2 = �2, �2, �2 ， �� ⋅ �2 = 0,1,0 ⋅ �2, �2, �2 = �2 = 0 �� ⋅ �2 = 2�, 2�, 2 − 2� ⋅ �2, �2, �2 = 2��2 + 2��2 + 2 − 2� �2 = 0 ，解得�2 = 0，令�2 = �，得�2 = � − 1，则�2 = � − 1,0, � 是平面��的一个法向量.由图形可以看出二面角� − �� − �的夹角为锐角，且正弦值为 10 10 ，故二面角� − �� − �的余弦值为 3 10 10 ，则有 cos �1 , �2 = �1 ⋅�2 �1 ⋅ �2 = 1,0,0 ⋅ �−1,0,� �−1 2+�2 = 3 10 10 ，即 �−1 (�−1)2+�2 = 3 10 10 ，解得�1 =− 1 2 ， �2 = 1 4 .又因为 0 ≤ � ≤ 1，所以� = 1 4 . 故存在� = 1 4 ，使二面角� − �� − �的正弦值为 10 10 19．【详解】（1）连接��，由已知得�1� ⊥平面��，�� ⊥ ��，答案第 7页，共 8页又�1� ⊂平面�1��1，所以平面�1��1 ⊥平面��，所以二面角�1 − �� − �的大小为 90°，因为▱��为菱形，∠�� = 60°，所以∠�� = 30°，又�� = 2，所以�� = 3，在 Rt △ �1��中，cos∠�1�� = �� 1� = 3 2 3 = 1 2 ，由三面角余弦定理可得 cos∠�1�� = cos∠�1��cos∠�� + sin∠�1��sin∠��cos90° = cos∠�1��cos∠�� = 1 2 × 3 2 = 3 4 . （2）依题意可得 0 < � ≤ π 2 ，设平面��内任一条直线为�，若�过�点时，记��与�的夹角为�1（0 ≤ �1 ≤ π 2 ），则 cos� = cos∠�1��cos�1，因为 cos�1 ∈ 0,1 ，所以 cos� = cos∠�1��cos�1 ≤ cos∠�1�� = cos π 3 ，又 0 < � ≤ π 2 ，所以 π 3 ≤ � ≤ π 2 ；若�不过�点时，过�点作�′使得�′//�，记��与�′的夹角为�2（0 ≤ �2 ≤ π 2 ），则 cos� = cos∠�1��cos�2，因为 cos�2 ∈ 0,1 ，所以 cos� = cos∠�1��cos�2 ≤ cos∠�1�� = cos π 3 ，又 0 < � ≤ π 2 ，所以 π 3 ≤ � ≤ π 2 ；综上可得 π 3 ≤ � ≤ π 2 . （3）连接��1，�1�，答案第 8页，共 8页因为�1�1//��，�1�1 ⊂平面�1�1�，�� ⊄平面�1�1�，所以��//平面�1�1�，同理可证�1�//平面�1�1�，又�� ∩ �1� = �，��, �1� ⊂平面��1�，所以平面��1�//平面�1�1�，因为平面�//平面�1�1�，所以平面�//平面��1�，又平面��1� ∩平面��1�1� = �1�，又平面� ∩平面��1�1� = ��，所以�1�//��，又��1//��1即��1//��，所以四边形��1��为平行四边形，所以�� = ��1，显然�在�1�的延长线上，因为��1 = ��1，所以�� = ��1，所以�1� = 2�1�，即� = 2.

湖北省黄冈市浠水县第一中学2024-2025学年高二上学期9月月考数学试题

内容正文：

资源预览图