2.3.1 乘方【七大题型过关练】同步重难点题型分类专练 2024-2025学年人教版（2024)数学七年级上册

2.3.1 乘方(七大题型过关练) 【知识考点 乘方】 【解题必备知识】 1.乘方的定义及运算法则 1)定义:求n个相同乘数的积的运算,叫做乘方,乘方的结果叫做幂。 在中,叫做底数, n叫做指数,可读作“的次方”或“的次幂”。 2)有理数乘方的运算法则 因为就是个相同的乘数相乘,所以有理数的乘方运算可以利用有理数的乘法运算法则来进行。 3)几个要点 (1)乘方与幂不同,乘方是几个相同因数的乘法运算,幂是乘方运算的结果; (2)底数一定是相同的因数,当底数不是单纯的一个数时,要用括号括起来; (3)一个数可以看作这个数本身的1次方.例如,5就是51,指数1通常省略不写. 2.有理数乘方运算的符号法则 (1)负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数;即“奇负偶正”; (2)正数的任何次幂都是正数; (3)0的任何正整数次幂都是0; (4)任何一个数的偶次幂都是非负数,即 . 3.有理数加、减、乘、除、乘方混合运算的运算顺序 1)先乘方,再乘除,最后加减; 2)同级运算,从左到右进行; 3)如有括号,先做括号内的运算,按小括号、中括号、大括号依次进行。 【重难点题型过关练】 【题型梳理】 【题型1】 有理数幂的概念理解 【题型2】 有理数乘方运算的符号规律 【题型3】 有理数的乘方运算 【题型4】 含乘方的有理数混合运算 【题型5】 有理数乘方的实际应用 【题型6】 有理数乘方中有关规律和新定义问题 【题型7】 程序流程图与有理数混合运算 【题型1】 有理数幂的概念理解 【例1】(2023-2024七年级上 江苏 专题练习)把下列各式写成乘方的形式,并指出底数和指数各是什么. (1); (2); (3)(个m). 【变式1-1】(2023-2024七年级上 河北承德 期末)表示( ) A.与4的积 B.4个的积 C.4个的和 D.3个的积 【变式1-2】(2023-2024 福建龙岩 阶段练习)可表示为( ) A. B. C. D. 【变式1-3】(2024 上海 专题练习)底数是,指数是2的幂写成 . 【变式1-4】(2023-2024七年级上 福建泉州 期末)代数式可表示为( ) A. B. C. D. 【变式1-5】(2023-2024七年级 全国 假期作业)把下列各式写成乘方的形式,并指出底数、指数各是什么. (1) (2) (3) 【题型2】 有理数乘方运算的符号规律 【例2】(2023-2024七年级上 河南漯河 阶段练习)当整数为 时,;若是正整数,则 . 【变式2-1】(2023-2024七年级上 河南焦作 期中) . 【变式2-2】(2023-2024七年级 福建厦门 期末)观察下列三组数的运算:,;,;,.联系这些具体数的乘方,可以发现规律.下列用字母表示的式子: ①当时,; ②当时,. 其中表示的规律正确的是( ) A.① B.② C.①、②都正确 D.①、②都不正确 【变式2-3】(2023-2024七年级上 广东揭阳 期末)计算: 【变式2-4】(2023-2024七年级 山东枣庄 期中)下列各式:①;②;③;④.一定成立的有( ) A.个 B.个 C.个 D.个 【变式2-5】(2023-2024七年级上 黑龙江齐齐哈尔 期中)如果n是正整数,那么的值( ) A.一定是零 B.一定是正偶数 C.一定是正奇数 D.是零或正偶数 【题型3】 有理数的乘方运算 【例3】(2023-2024八年级下 福建福州 期末)下列各组数中,相等的一组是( ) A.与 B.与 C.与 D.与 【变式3-1】(2024 浙江 模拟预测)( ) A. B.6 C. D.8 【变式3-2】(2023-2024 全国 假期作业)的底数、指数、结果分别是( ) A.-2,4,-16 B.-2,4,16 C.2,4,16 D.2,4,-16 【变式3-3】(2024 河南驻马店 一模)下列四组数中,互为相反数的是( ) A.和 B.和 C.和 D.和 【变式3-4】(2023-2024七年级上 河南周口 阶段练习)下列各对数中,相等的是( ) A.与 B.与 C.与 D.与 【变式3-5】(2023-2024七年级上 全国 课后作业)计算: (1); (2); (3); (4). 【题型4】 含乘方的有理数混合运算 【例4】(2023-2024七年级上 安徽合肥 期末)计算: (1) (2) 【变式4-1】(2023-2024七年级上 湖南常德 期末)计算:( ) A. B. C. D. 【变式4-2】(2023-2024七年级上 安徽淮北 阶段练习)某同学设计了一个算式:,若要使得该算式值最大,你应在“ ”里填入( ) A. B. C. D. 【变式4-3】(2023-2024七年级上 广东云浮 期末)若a、b互为相反数,c、d互为倒数,数轴上表示m的点与表示的点距离5个单位长度,则 . 【变式4-4】(2023-2024七年级下 四川成都 期中)已知a,b满足,那么 . 【变式4-5】(2024-2025七年级上 全国 单元测试)计算: (1) (2) (3) (4) 【题型5】 有理数乘方的实际应用 【例5】(2023-2024七年级 全国 随堂练习)拉面是把一根较粗的面条先对折成2根再拉开,然后将两端捏紧,再对折成4根再拉开,…,一直重复这个流程,面条的数量会不断增多,也会不断变细. (1)将这个流程重复7次后,面条的数量会变成多少根? (2)若刚开始时的面条的横截面积为,则将这个流程重复8次后,平均每一根面条横截面积是多少?(每一次拉开的长度都与第一根面条的长度相同且粗细均匀) 【变式5-1】(2023-2024七年级上 河南安阳 期末)在古代,人们通过在绳子上打结来计数,即“结绳计数”.当时有位父亲为了准确记录孩子的出生天数,在粗细不同的绳子上打结(如图),由细到粗(右细左粗),满七进一,那么孩子已经出生了( ) A.132天 B.72天 C.60天 D.42天 【变式5-2】(2023-2024七年级上 四川成都 期末)《庄子》中记载:“一尺之捶,日取其半,万世不竭.”这句话的意思是一尺长的木棍,每天截取它的一半,永远也截不完.若按此方式截一根长为1的木棍,第6天截取后木棍剩余的长度是 . 【变式5-3】(2023-2024七年级 吉林长春 期中)细菌是靠分裂进行生殖的,也就是1个细菌分裂成2个细菌,分裂完的细菌长大以后又能进行分裂.例如,图中所示为某种细菌分裂的电镜照片,显示这种细菌每20分钟就能分裂一次.1个这种细菌经过3个小时可以分裂成 个细菌. 【变式5-4】(2023-2024七年级 全国 随堂练习)如图,当你把一张纸对折1次时可以得到2层,对折2次时可以得到4层,对折3次时可以得到8层,继续对折下去(最多折7次). (1)你能发现层数与折纸次数之间的关系吗? (2)如果每层纸的厚度是0.05毫米,求对折7次时纸的总厚度. 【变式5-5】(2023-2024七年级 江苏镇江 期末)已知第一个正方体纸盒的棱长为,第二个正方体纸盒的体积比第一个正方体纸盒的体积大. (1)求第二个正方体纸盒的棱长; (2)第二个正方体纸盒的表面积比第一个正方体纸盒的表面积多多少? 【题型6】 有理数乘方中有关数字规律和新定义问题 【例6】(2023-2024七年级 河北石家庄 期中)定义一种新运算“ ”,规则为:,例如:.据此解答下列问题: (1)求的值; (2)求的值. 【变式6-1】(2023-2024七年级 黑龙江哈尔滨 期末)观察数列:﹣2,4,﹣8,16,……;第7个数为 . 【变式6-2】(2023-2024七年级 浙江温州 期中)观察下列算式:……通过观察,用所发现的规律确定的个位数字是 . 【变式6-3】(2023-2024七年级 陕西西安 阶段练习)若任意数、有这样运算规律:,. (1)则_;_; (2)根据上述题,试用字母、表示其规律; (3)若表示不大于的最大整数,如:,,则求:. 【变式6-4】(2023-2024七年级上 湖南益阳 期中)定义新运算:,(右边的运算为平常的加、减、乘、除). 例如:,. 若,则称有理数,为“隔一数对”. 例如:,,,所以2,3就是一对“隔一数对”. (1)下列各组数是“隔一数对”的是 (请填序号) ①,; ②,; ③,. (2)计算:. (3)已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”. 计算:. 【变式6-5】(2023-2024七年级上 江苏南京 阶段练习)概念学习 规定:求若干个相同的有理数(均不等于0)的除法运算叫做除方,如2 2 2,(﹣3) (﹣3) (﹣3) (﹣3)等.类比有理数的乘方,我们把2 2 2记作,读作“2的圈3次方”,(﹣3) (﹣3) (﹣3) (﹣3)记作,读作“﹣3的圈4次方”,一般地,把(a≠0)记作,读作“a的圈n次方”. 初步探究 (1)直接写出计算结果: = ,= ; (2)关于除方,下列说法错误的是 A.任何非零数的圈2次方都等于1; B.对于任何正整数n,1的圈n次方都等于1; C. D.负数的圈奇数次方结果是负数,负数的圈偶数次方结果是正数. 深入思考: 我们知道,有理数的减法运算可以转化为加法运算,除法运算可以转化为乘法运算,有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢? (1)试一试:仿照上面的算式,将下列运算结果直接写成幂的形式. 的圈4次方= ;5的圈5次方= ;的圈6次方= . (2)想一想:将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式等于_; (3)算一算:. 【题型7】 程序流程图与有理数混合运算 【例7】(2023-2024七年级 北京 期末)按如图所示的程序进行计算,如果把第一次输入的数是20,而结果不大于100时,就把结果作为输入的数再进行第二次运算,直到符合要求为止,请求出最后输出的结果. 【变式7-1】(2024-2025七年级上 全国 随堂练习)根据如图所示的程序计算,若输入x的值为6和,则输出的值分别为 . 【变式7-2】(2023-2024七年级上 浙江温州 期末)按如图所示的流程图操作,若输入的值是,则输出的结果是( ) A.0 B.7 C.14 D.49 【变式7-3】(2023-2024七年级 北京东城 期末)小明设计了一个如图所示的数值转换程序. (1)当输入吋,求输出的值为多少? (2)若的值大于4,直接写出一个符合条件的的值. 【变式7-4】(2023-2024七年级 河南驻马店 期中)小可同学设计了几张如图写有不同运算的卡片A,B,C,D,小可选择一个有理数,让她的同桌小佳选择A,B,C,D的顺序,进行一次列式计算. (1)当小可选择了4,小佳选择了的顺序,列出算式并计算结果; (2)当小可选择了,小佳选择了(_)(_)的顺序,若列式计算的结果刚好为,请通过计算判断小佳选择的顺序. 【变式7-5】(2023-2024七年级下 贵州毕节 阶段练习)请你按下列程序进行计算,把答案填写在表格内,然后看看有什么规律,想想为什么会有这样的规律? (1)填写表内的空格: 输入 …… 输出答案 …… (2)你发现的规律是: . (3)请用简要的过程说明你发现的规律. 【中考真题提前练】 1.(2023 浙江杭州 中考真题)( ) A.0 B.2 C.4 D.8 2.(2024 山东 中考真题)下列实数中,平方最大的数是( ) A.3 B. C. D. 3.(2022 湖北宜昌 中考真题)中国是世界上首先使用负数的国家.两千多年前战国时期李悝所著的《法经》中已出现使用负数的实例.《九章算术》的“方程”一章,在世界数学史上首次正式引入负数及其加减法运算法则,并给出名为“正负术”的算法.请计算以下涉及“负数”的式子的值: . 4.(2022•湖南长沙•中考真题)当今大数据时代,“二维码”具有存储量大、保密性强、追 踪性高等特点,它已被广泛应用于我们的日常生活中,尤其在全球“新冠”疫情防控期间,区 区“二维码”已经展现出无穷威力.看似“码码相同”,实则“码码不同”.通常,一个“二 维码”由1000个大大小小的黑白小方格组成,其中大约80%的小方格专门用做纠错码和其他 用途的编码,这相当于1000个方格只有200个方格作为数据码.根据相关数学知识,这200 个方格可以生成2200个不同的数据二维码,现有四名网友对2200的理解如下: YYDS(永远的神):2200就是200个2相乘,它是一个非常非常大的数; DDDD(懂的都懂):2200等于2002; JXND(觉醒年代):2200的个位数字是6; QGYW(强国有我):我知道210=1024,103=1000,所以我估计2200比1060大. 其中对2200的理解错误的网友是 (填写网名字母代号). 5.(2023 湖北随州 中考真题)计算: . 6.(2024 江西 中考真题)计算: . 7.(2024 甘肃 中考真题)定义一种新运算*,规定运算法则为:(m,n均为整数,且).例:,则 . 8.(2024 广西 中考真题)计算: 学科网(北京)股份有限公司 $$ 2.3.1 乘方（七大题型过关练） 【知识考点 乘方】 【解题必备知识】 1.乘方的定义及运算法则 1）定义：求n个相同乘数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。 在中，叫做底数， n叫做指数，可读作“的次方”或“的次幂”。 2）有理数乘方的运算法则 因为就是个相同的乘数相乘，所以有理数的乘方运算可以利用有理数的乘法运算法则来进行。 3）几个要点 （1）乘方与幂不同，乘方是几个相同因数的乘法运算，幂是乘方运算的结果； （2）底数一定是相同的因数，当底数不是单纯的一个数时，要用括号括起来； （3）一个数可以看作这个数本身的1次方．例如，5就是51，指数1通常省略不写． 2.有理数乘方运算的符号法则 （1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；即“奇负偶正”； （2）正数的任何次幂都是正数； （3）0的任何正整数次幂都是0； （4）任何一个数的偶次幂都是非负数，即 ． 3.有理数加、减、乘、除、乘方混合运算的运算顺序 1）先乘方，再乘除，最后加减； 2）同级运算，从左到右进行； 3）如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。 【重难点题型过关练】 【题型梳理】 【题型1】 有理数幂的概念理解 【题型2】 有理数乘方运算的符号规律 【题型3】 有理数的乘方运算 【题型4】 含乘方的有理数混合运算 【题型5】 有理数乘方的实际应用 【题型6】 有理数乘方中有关规律和新定义问题 【题型7】 程序流程图与有理数混合运算 【题型1】 有理数幂的概念理解 【例1】（2023-2024七年级上·江苏·专题练习）把下列各式写成乘方的形式，并指出底数和指数各是什么． （1）； （2）； （3）（个m）． 【答案】(1)底数是，指数是5 (2)底数是，指数是6；(3)底数是m，指数是 【分析】（1）首先化成幂的形式，再指出底数和指数各是什么即可； （2）首先化成幂的形式，再指出底数和指数各是什么即可； （3）首先化成幂的形式，再指出底数和指数各是什么即可． 【解答】（1）解：， 其中底数是，指数是5； （2）解： 其中底数是，指数是6； （3）解：（个m）， 其中底数是m，指数是． 【点评】本题主要考查了乘方的意义，解题的关键是掌握乘方是一种特殊的乘法运算，幂是乘方的结果，当底数是负数或分数时，要先用括号将底数括起来再写指数．表示n个a相乘． 【变式1-1】（2023-2024七年级上·河北承德·期末）表示（   ） A．与4的积 B．4个的积 C．4个的和 D．3个的积 【答案】B 【分析】根据有理数幂的概念理解逐项判断即可． 【解答】解：根据有理数幂的概念可得， 表示4个的积． 故选：B． 【点评】本题考查了有理数幂的概念理解，解决此题的关键是熟悉有理数幂的概念． 【变式1-2】（2023-2024·福建龙岩·阶段练习）可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了有理数的乘方，正确理解乘方的意义是解题的关键．根据乘方的意义求解即可． 【解答】解：． 故选：B． 【变式1-3】（2024·上海·专题练习）底数是，指数是2的幂写成 ． 【答案】 【分析】本题考查了幂的概念，根据幂的书写规则即可求解．注意分数为底时，需要把底数加括号． 【解答】解：底数为，指数为2，写成， 故答案为：． 【变式1-4】（2023-2024七年级上·福建泉州·期末）代数式可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了乘方的意义：表示几个相同因数的积的运算；由乘方的意义即可求解． 【解答】解：， 故选：C． 【变式1-5】（2023-2024七年级·全国·假期作业）把下列各式写成乘方的形式，并指出底数、指数各是什么． (1) (2) (3) 【答案】(1)底数是，指数是3 (2)底数是，指数是4 (3)底数是m，指数是 【分析】本题主要考查了乘方的意义，解题的关键是掌握乘方是一种特殊的乘法运算，幂是乘方的结果，当底数是负数或分数时，要先用括号将底数括起来再写指数．表示n个a相乘． （1）首先化成幂的形式，再指出底数和指数各是什么即可； （2）首先化成幂的形式，再指出底数和指数各是什么即可； （3）首先化成幂的形式，再指出底数和指数各是什么即可． 【解答】（1）解：，底数是，指数是3． （2）解：，底数是，指数是4． （3）解：，底数是m，指数是． 【题型2】 有理数乘方运算的符号规律 【例2】（2023-2024七年级上·河南漯河·阶段练习）当整数为 时，；若是正整数，则 ． 【答案】 奇数 0 【分析】的奇次方为，的偶次方为；再分类讨论即可得到答案． 【解答】解：当整数为奇数时，； 当整数为奇数时，则为偶数， ∴， 当整数为偶数时，则为奇数， ； 故答案为：奇数，0 【点评】本题考查的是负1的奇次方与偶次方，熟记乘方的含义与乘方的符号确定方法是解本题的关键． 【变式2-1】（2023-2024七年级上·河南焦作·期中） ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的乘方运算．根据有理数的乘方运算法则计算，即可． 【解答】解：． 故答案为： 【变式2-2】（2023-2024七年级·福建厦门·期末）观察下列三组数的运算：，；，；，．联系这些具体数的乘方，可以发现规律．下列用字母表示的式子： ①当时，； ②当时，． 其中表示的规律正确的是（   ） A．① B．② C．①、②都正确 D．①、②都不正确 【答案】B 【分析】根据三组数的运算的规律逐个判断即可得． 【解答】解：由三组数的运算得：， ， ， 归纳类推得：当时，，式子①错误； 由三组数的运算得：， ， ， 归纳类推得：当时，，式子②正确； 故选：B． 【点评】本题考查了有理数乘方的应用，正确归纳类推出一般规律是解题关键． 【变式2-3】（2023-2024七年级上·广东揭阳·期末）计算： 【答案】0 【分析】本题考查了有理数的加法运算，有理数的乘方，根据有理数的乘方找到规律，计算即可． 【解答】解：原式 ， 故答案为：0． 【变式2-4】（2023-2024七年级·山东枣庄·期中）下列各式：①；②；③；④．一定成立的有(   ) A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】根据乘方和绝对值的定义，逐个分情况讨论，即可解决问题. 【解答】①，一定成立； ②，当a为正数时，该等式不成立； ③，a为正数或负数时，该等式不成立； ④，当a为负数时，该等式不成立； 一定成立的有①，共1个 故选A 【点评】本题考查有理数的乘方和绝对值，熟练掌握乘方和绝对值的定义以及偶次方和绝对值的非负性是解题关键. 【变式2-5】（2023-2024七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如果n是正整数，那么的值（   ） A．一定是零 B．一定是正偶数 C．一定是正奇数 D．是零或正偶数 【答案】D 【分析】分为两种情况当n是偶数时，当n是奇数时，求出即可． 【解答】解：当n是偶数时，原式， 当n是奇数时，原式，是正偶数． 故选：D． 【点评】本题考查了有理数的乘方的应用，注意要进行分类讨论是解决本题的关键． 【题型3】 有理数的乘方运算 【例3】（2023-2024八年级下·福建福州·期末）下列各组数中，相等的一组是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的乘方计算，根据有理数的乘方计算法则，化简绝对值的方法计算出每个选项中的两个数即可得到答案． 【解答】解：A、与不相等，不符合题意； B、与相等，符合题意； C、与不相等，不符合题意； D、与不相等，不符合题意．     故选：B． 【变式3-1】（2024·浙江·模拟预测）（   ） A． B．6 C． D．8 【答案】C 【分析】本题考查有理数的乘方，一个负数的立方等于它的绝对值的立方的相反数． 【解答】解：， 故选C． 【变式3-2】（2023-2024·全国·假期作业）的底数、指数、结果分别是（   ） A．-2,4，-16 B．-2,4,16 C．2，4，16 D．2,4，-16 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数幂的概念，有理数的乘方计算，对于式子，其中a叫做底数，m叫做指数，据此结合有理数乘方计算法则求解即可． 【解答】解：的底数是2，指数是4，其结果为， 故选：D． 【变式3-3】（2024·河南驻马店·一模）下列四组数中，互为相反数的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】A 【分析】本题主要考查了乘方的运算，绝对值化简，以及相反数的定义，解题的关键是熟练掌握相反数的定义． 先根据乘方运算的法则、绝对值的法则进行计算，再根据相反数的定义逐一判定即可． 【解答】解：A、，，是相反数，故A符合题意； B、，，不是相反数，故B不符合题意； C、，，不是相反数，故C不符合题意； D、，，不是相反数，故D不符合题意． 故选：A． 【变式3-4】（2023-2024七年级上·河南周口·阶段练习）下列各对数中，相等的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的计算，大小比较，根据乘方的意义，计算，比较大小即可． 【解答】A. ，，不相等，不符合题意；     B. ，，不相等，不符合题意；     C. ，，不相等，不符合题意；     D. ，，相等，符合题意； 故选D． 【变式3-5】（2023-2024七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据有理数乘方计算即可． 【解答】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 【点评】本题主要考查有理数乘方运算，掌握有理数乘方运算的意义是解题的关键． 【题型4】 含乘方的有理数混合运算 【例4】（2023-2024七年级上·安徽合肥·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1)0 (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先算乘方和括号，再算乘除，后算加减； （2）先算乘方、绝对值，再算乘除，后算加减． 【解答】（1） （2） 【变式4-1】（2023-2024七年级上·湖南常德·期末）计算：（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是含乘方的有理数的混合运算，先计算乘方，再计算乘法，最后计算加减即可，掌握运算顺序是解本题的关键． 【解答】解：， 故选C 【变式4-2】（2023-2024七年级上·安徽淮北·阶段练习）某同学设计了一个算式：，若要使得该算式值最大，你应在“□”里填入（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合运算，掌握相关运算法则成为解题的关键． 分别将代入计算，然后比较即可解答． 【解答】解：当填入“”时，； 当填入“”时，； 当填入“”时，； 当填入“”时，； 显然A选项结果最大． 故选：A． 【变式4-3】（2023-2024七年级上·广东云浮·期末）若a、b互为相反数，c、d互为倒数，数轴上表示m的点与表示的点距离5个单位长度，则 ． 【答案】2或 【分析】本题主要考查了相反数的定义，倒数的定义，数轴上两点之间的距离，解题的关键是掌握相反数相加得0，乘积为1的两个数互为倒数，以及数轴上两点之间距离的表示方法．根据题意得出，，或，将其代入求解即可． 【解答】解：∵a、b互为相反数， ∴， ∵c、d互为倒数， ∴， ∵数轴上表示m的点与表示的点距离5个单位长度， ∴或， ∴， 或， 故答案为：2或． 【变式4-4】（2023-2024七年级下·四川成都·期中）已知a，b满足，那么 ． 【答案】10 【分析】本题考查有理数的乘方等知识．利用有理数的乘方求出，的值，再代入计算即可求解． 【解答】解：， ，， ． 故答案为：10． 【变式4-5】（2024-2025七年级上·全国·单元测试）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3)74 (4) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化． （1）先算乘方，绝对值，再算除法，最后算加减可以解答本题； （2）先算括号里面的，再算除法，最后算加减可以解答本题； （3）先算乘方，括号里面的，再算除法，最后算加减可以解答本题； （4）先算乘方，括号里面的，再算除法，最后算加减可以解答本题． 【解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解：原式 ． 【题型5】 有理数乘方的实际应用 【例5】（2023-2024七年级·全国·随堂练习）拉面是把一根较粗的面条先对折成2根再拉开，然后将两端捏紧，再对折成4根再拉开，…，一直重复这个流程，面条的数量会不断增多，也会不断变细． (1)将这个流程重复7次后，面条的数量会变成多少根？ (2)若刚开始时的面条的横截面积为，则将这个流程重复8次后，平均每一根面条横截面积是多少？（每一次拉开的长度都与第一根面条的长度相同且粗细均匀） 【答案】(1)128 (2) 【分析】本题考查有理数的乘方，能够从题中归纳发现规律是解题的关键． （1）根据题意列式计算即可得出答案； （2）根据题意列式计算即可得出答案． 【解答】（1）解：由题意得：（根） ∴这个流程重复7次后，面条的数量会变成128根． （2）解：将这个流程重复8次后，面条的数量是． ∵每一次拉开的长度都与第一根面条的长度相同且粗细均匀， ∴8次后，平均每一根面条横截面积． 【变式5-1】（2023-2024七年级上·河南安阳·期末）在古代，人们通过在绳子上打结来计数，即“结绳计数”．当时有位父亲为了准确记录孩子的出生天数，在粗细不同的绳子上打结（如图），由细到粗（右细左粗），满七进一，那么孩子已经出生了（   ） A．132天 B．72天 C．60天 D．42天 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据“满七进一”可知最左边的每个结表示，中间的每个结表示7，最右边每个结表示1，由此可解． 【解答】解：孩子已经出生天数为：（天）， 故选B． 【变式5-2】（2023-2024七年级上·四川成都·期末）《庄子》中记载：“一尺之捶，日取其半，万世不竭．”这句话的意思是一尺长的木棍，每天截取它的一半，永远也截不完．若按此方式截一根长为1的木棍，第6天截取后木棍剩余的长度是 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘方，理解题意，正确找出数式规律，是解答本题的关键． 根据题意，先分别求出第一、二、三天截取后木棍剩余的长度，从而找出规律，由此得到答案． 【解答】解：根据题意得： 第一天截取后木棍剩余长度为：， 第二天截取后木棍剩余长度为：， 第三天截取后木棍剩余长度为：， 第天截取后木棍剩余长度为：， 第6天截取后木棍剩余长度为：． 故答案为：． 【变式5-3】（2023-2024七年级·吉林长春·期中）细菌是靠分裂进行生殖的，也就是1个细菌分裂成2个细菌，分裂完的细菌长大以后又能进行分裂．例如，图中所示为某种细菌分裂的电镜照片，显示这种细菌每20分钟就能分裂一次．1个这种细菌经过3个小时可以分裂成 个细菌．    【答案】512 【分析】先根据题意求出分裂的次数，再根据有理数的乘方进行计算即可． 【解答】解：3小时=180分钟，（次）． 即1个这种细菌经过3个小时可以分裂成的细为：（个）． 故答案为：512． 【点评】本题考查有理数的乘方，掌握有理数的乘方法则是解题的关键． 【变式5-4】（2023-2024七年级·全国·随堂练习）如图，当你把一张纸对折1次时可以得到2层，对折2次时可以得到4层，对折3次时可以得到8层，继续对折下去（最多折7次）． (1)你能发现层数与折纸次数之间的关系吗？ (2)如果每层纸的厚度是0.05毫米，求对折7次时纸的总厚度． 【答案】(1)层数 (2)6.4毫米 【分析】本题考查了有理数的乘方，通过例举寻找规律是解题的关键． （1）由于把纸对折1次时，可以得到2层；当对折2次时，可以得到4-2层；当对折3次时，可以得到8-23层，由此即可得到层数5和折纸的次数之间的关系； （2）利用（1）的结论代入其中计算即可求解． 【解答】（1）解：∵对折1次，层数， 对折2次，层数， 对折3次，层数， ∴对折n次，层数； （2）解： （毫米）， 答：对折7次时纸的总厚度的总厚度为6.4毫米． 【变式5-5】（2023-2024七年级·江苏镇江·期末）已知第一个正方体纸盒的棱长为，第二个正方体纸盒的体积比第一个正方体纸盒的体积大． (1)求第二个正方体纸盒的棱长； (2)第二个正方体纸盒的表面积比第一个正方体纸盒的表面积多多少？ 【答案】(1)第二个正方体纸盒的棱长为 (2)第二个正方体纸盒的表面积比第一个正方体纸盒的表面积多 【分析】本题主要考查了有理数乘方运算的应用，解题的关键熟练掌握正方体的体积公式和表面积公式． （1）先求出第一个正方体的体积，再求出第二个正方体的体积，得出其棱长即可； （2）根据正方体的表面积公式列出算式进行计算即可． 【解答】（1）解：第一个正方体纸盒的体积为：， 第二个正方体纸盒的体积为：， ∵， ∴第二个正方体纸盒的棱长为； （2）解：， 答：第二个正方体纸盒的表面积比第一个正方体纸盒的表面积多． 【题型6】 有理数乘方中有关数字规律和新定义问题 【例6】（2023-2024七年级·河北石家庄·期中）定义一种新运算“☆”，规则为：，例如：．据此解答下列问题： (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)4 (2) 【分析】本题考查新运算，有理数的混合运算，理解规定的运算是关键． （1）按照规定的新运算进行计算即可； （2）按照规定的新运算先算括号里的新运算，再算括号外的新运算即可． 【解答】（1）解：； （2）解： 【变式6-1】（2023-2024七年级·黑龙江哈尔滨·期末）观察数列：﹣2，4，﹣8，16，……；第7个数为 ． 【答案】-128 【分析】第一个数﹣2＝（﹣2）1，第二个数4＝（﹣2）2，第三个数﹣8＝（﹣2）3，•••， ∴第7个数为：（﹣2）7＝﹣128． 【解答】解：∵观察数列中的各数可以发现： 第一个数为﹣2＝（﹣2）1， 第二个数为4＝（﹣2）2， 第三个数﹣8＝（﹣2）3， •••， ∴第7个数为：（﹣2）7＝﹣128． 故答案为：﹣128． 【点评】本题考查了数列，解决问题的关键是探究数列的排列规律，运用排列规律解答． 【变式6-2】（2023-2024七年级·浙江温州·期中）观察下列算式：……通过观察，用所发现的规律确定的个位数字是 ． 【答案】4 【分析】此题主要考查数字的规律探索，根据已知幂的结果找出个位数的周期性规律，进而分析判断即可．根据已知确定数字的周期规律是解题的关键． 【解答】观察可得规律：的个位数字每4次一循环， ∵余2，， ∴的个位数字是4． 故答案为：4． 【变式6-3】（2023-2024七年级·陕西西安·阶段练习）若任意数、有这样运算规律：，． (1)则__________；_________； (2)根据上述题，试用字母、表示其规律； (3)若表示不大于的最大整数，如：，，则求：． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）本题主要考查有理数的混合运算，结合新的运算规律，根据有理数的混合运算法则计算即可． （2）本题主要考查有理数的混合运算，结合新的运算规律，根据有理数的混合运算法则即可求得答案． （3）本题主要考查有理数的混合运算，结合新的运算规律，根据有理数的混合运算法则计算即可． 【解答】（1）根据定义的运算规律可知 ， ． 故答案为：； （2）根据定义的运算规律可知 ． （3）根据题意可知 ，． 则 ． 【变式6-4】（2023-2024七年级上·湖南益阳·期中）定义新运算：，（右边的运算为平常的加、减、乘、除）． 例如:，． 若，则称有理数，为“隔一数对”． 例如：，，，所以2，3就是一对“隔一数对”． (1)下列各组数是“隔一数对”的是 （请填序号） ①，； ②，； ③，． (2)计算：． (3)已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”． 计算：． 【答案】(1)①② (2) (3) 【分析】本题考查有理数的定义新运算，仔细审题，理解题干中的新定义，熟练掌握有理数的混合运算法则是解题关键． （1）按照题干定义进行计算，判断是否满足条件即可； （2）直接根据题目定义分别计算各项，然后再合并求解即可； （3）根据定义进行变形和拆项，然后根据规律求解即可． 【解答】（1）解：①； ∵，， ∴，则①是“隔一数对”； ②； ∵，， ∴，则②是“隔一数对”； ③； ∵，， ∴，则③不是“隔一数对”； 故答案为：①②； （2）解：根据定义， ； （3）解：根据定义， ． 【变式6-5】（2023-2024七年级上·江苏南京·阶段练习）概念学习 规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作，读作“﹣3的圈4次方”，一般地，把（a≠0）记作，读作“a的圈n次方”． 初步探究 （1）直接写出计算结果： = ，= ； （2）关于除方，下列说法错误的是 A．任何非零数的圈2次方都等于1； B．对于任何正整数n，1的圈n次方都等于1； C． D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． 深入思考： 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ （1）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式． 的圈4次方＝ ；5的圈5次方＝ ；的圈6次方＝ ． （2）想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式等于________； （3）算一算：． 【答案】初步探究（1）；；（2）C；深入思考（1），，；（2）；（3）． 【分析】理解除方运算，利用除方运算的法则和意义解决初步探究，通过除方的法则，把深入思考的除方写成幂的形式解决（1），总结（1）得到通项（2）．根据法则计算出（3）的结果． 【解答】初步探究 解：初步探究 （1）， 故答案为：，； （2）A、任何非零数的圈2次方就是两个相同数相除，所以都等于1； 所以选项A正确； B、因为多少个1相除都是1，所以对于任何正整数，都等于1； 所以选项B正确； C、，，则； 所以选项C错误； D、负数的圈奇数次方，相当于奇数个负数相除，则结果是负数，负数的圈偶数次方，相当于偶数个负数相除，则结果是正数．所以选项D正确； 本题选择说法错误的，故选C； 深入思考 （1）； ； ； 故答案为：，，． （2）． 故答案为：． （3） ． 【点评】本题考查了新运算，幂的运算．解决问题的关键是掌握新运算的法则，理解新运算的意义． 【题型7】 程序流程图与有理数混合运算 【例7】（2023-2024七年级·北京·期末）按如图所示的程序进行计算，如果把第一次输入的数是20，而结果不大于100时，就把结果作为输入的数再进行第二次运算，直到符合要求为止，请求出最后输出的结果． 【答案】320 【分析】本题考查程序流程图与有理数的计算．根据流程图列出算式，进行计算即可．掌握的列出算式，是解题的关键． 【解答】解：把20代入程序中得：， 把代入程序中得：， 把80代入程序中得：， 把代入程序中得：， 则最后输出的结果为320． 【变式7-1】（2024-2025七年级上·全国·随堂练习）根据如图所示的程序计算，若输入x的值为6和，则输出的值分别为 ． 【答案】4和5 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，绝对值的求解，根据程序顺序代入求值即可，解题的关键是读懂程序框图，并掌握有理数的混合运算顺序和运算法则． 【解答】解：输入x的值为6时，， 输出的值为； 输入x的值为时，， 输出的值为； 所以输出的值分别为4和5， 故答案为：4和5． 【变式7-2】（2023-2024七年级上·浙江温州·期末）按如图所示的流程图操作，若输入的值是，则输出的结果是（   ） A．0 B．7 C．14 D．49 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的运算，解题的关键是根据流程图的意思列出算式． 【解答】解：输入的的值是， 则，返回继续运算， ，输出结果， 故选：D． 【变式7-3】（2023-2024七年级·北京东城·期末）小明设计了一个如图所示的数值转换程序． (1)当输入吋，求输出的值为多少？ (2)若的值大于4，直接写出一个符合条件的的值． 【答案】(1) (2)（答案不唯一，符合要求即可） 【分析】本题考查了程序流程图与有理数计算．理解程序流程图是解题的关键． （1）由题意知，，由，可知，计算求解即可； （2）由题意知，，当时，，可知，进而可知，符合要求． 【解答】（1）解：由题意知，， ∵， ∴， ∴输出的值为； （2）解：由题意知，， 当时，，且， ∴， ∴符合条件． 【变式7-4】（2023-2024七年级·河南驻马店·期中）小可同学设计了几张如图写有不同运算的卡片A，B，C，D，小可选择一个有理数，让她的同桌小佳选择A，B，C，D的顺序，进行一次列式计算． (1)当小可选择了4，小佳选择了的顺序，列出算式并计算结果； (2)当小可选择了，小佳选择了（______）（______）的顺序，若列式计算的结果刚好为，请通过计算判断小佳选择的顺序． 【答案】(1)算式：，结果是； (2)小佳选择了，计算见解析． 【分析】本题考查程序流程图与有理数的混合运算： （1）按照选择的顺序列式计算即可； （2）按照，两种顺序分别计算，看哪个结果刚好是即可． 【解答】（1）解：由题意，算式为：， ； （2）解：若选择， 可得： ； 若选择， 可得： ； 列式计算的结果刚好为， 小佳选择了． 【变式7-5】（2023-2024七年级下·贵州毕节·阶段练习）请你按下列程序进行计算，把答案填写在表格内，然后看看有什么规律，想想为什么会有这样的规律？    (1)填写表内的空格： 输入 …… 输出答案 …… (2)你发现的规律是： ． (3)请用简要的过程说明你发现的规律． 【答案】(1)见解析 (2)无论输入什么数，输出的结果为输入的数 (3)见解析 【分析】本题主要考查了代数式求值，整式的四则混合计算，正确理解题意是解题的关键． （1）根据程序流程图，代入数据进行计算即可； （2）根据（1）所求可以发现输出的结果为输入的结果； （3）设输入的数字为n，只需要证明即可． 【解答】（1）解：当时，输出的结果为： ； 当时，输出的结果为： ； 当时，输出的结果为： ； 当时，输出的结果为： ； 填表如下： 输入 …… 输出答案 3 2 …… （2）解：由（1）可知，无论输入什么数，输出的结果为输入的数， 故答案为：无论输入什么数，输出的结果为输入的数； （3）解：设输入的数字为n， 由程序计算得：． ∴无论输入什么数，输出的结果为输入的数． 【中考真题提前练】 1．（2023·浙江杭州·中考真题）（   ） A．0 B．2 C．4 D．8 【答案】D 【分析】先计算乘方，再计算加法即可求解． 【解答】解：， 故选：D． 2．（2024·山东·中考真题）下列实数中，平方最大的数是（   ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是实数的大小比较，乘方运算，先分别计算各数的乘方，再比较大小即可. 【解答】解：∵，，，， 而， ∴平方最大的数是3； 故选A 3．（2022·湖北宜昌·中考真题）中国是世界上首先使用负数的国家．两千多年前战国时期李悝所著的《法经》中已出现使用负数的实例．《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数及其加减法运算法则，并给出名为“正负术”的算法．请计算以下涉及“负数”的式子的值： ． 【答案】-10 【分析】根据有理数运算法则进行计算即可． 【解答】解：， 故答案为：． 【点评】此题考查含乘方的有理数混合运算，掌握乘方的计算法则，有理数混合运算的计算法则是解题的关键． 4．（2022•湖南长沙•中考真题）当今大数据时代，“二维码”具有存储量大、保密性强、追 踪性高等特点，它已被广泛应用于我们的日常生活中，尤其在全球“新冠”疫情防控期间，区 区“二维码”已经展现出无穷威力．看似“码码相同”，实则“码码不同”．通常，一个“二 维码”由1000个大大小小的黑白小方格组成，其中大约80%的小方格专门用做纠错码和其他 用途的编码，这相当于1000个方格只有200个方格作为数据码．根据相关数学知识，这200 个方格可以生成2200个不同的数据二维码，现有四名网友对2200的理解如下： YYDS（永远的神）：2200就是200个2相乘，它是一个非常非常大的数； DDDD（懂的都懂）：2200等于2002； JXND（觉醒年代）：2200的个位数字是6； QGYW（强国有我）：我知道210＝1024，103＝1000，所以我估计2200比1060大． 其中对2200的理解错误的网友是 （填写网名字母代号）． 【答案】DDDD 【分析】由乘方的定义可知，2200就是200个2相乘，2002是2个200相乘；通过计算可得2n的尾数2，4，8，6循环，由循环规律可确定2200的个位数字是6；由积的乘方运算可得2200＝（210）20＝（1024）20，1060＝（103）20＝100020，由此可得2200＞1060，从而可求解． 【解答】解：（1）∵2200就是200个2相乘， ∴YYDS（永远的神）的说法正确； ∵2200就是200个2相乘，2002是2个200相乘， ∴2200不等于2002， ∴DDDD（懂的都懂）说法不正确； ∵21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，…， ∴2n的尾数2，4，8，6循环， ∵200÷4＝50， ∴2200的个位数字是6， ∴JXND（觉醒年代）说法正确； ∵210＝1024，103＝1000， ∴2200＝（210）20＝（1024）20，1060＝（103）20＝100020， ∵1024＞1000， ∴2200＞1060， ∴QGYW（强国有我）说法正确； 故答案为：DDDD． 【点评】本题考查实数的运算，熟练掌握乘方的性质，尾数的循环规律是解题的关键． 5．（2023·湖北随州·中考真题）计算： ． 【答案】0 【分析】先算乘方，再计算乘法，最后算加减． 【解答】解：． 故答案为：0． 【点评】此题主要考查了有理数的混合运算，关键是掌握运算法则． 6．（2024·江西·中考真题）计算： ． 【答案】1 【分析】根据乘方运算法则进行计算即可． 【解答】解：． 故答案为：1． 【点评】本题主要考查了有理数的乘方运算，熟练掌握乘方运算法则，是解题的关键． 7．（2024·甘肃·中考真题）定义一种新运算*，规定运算法则为：（m，n均为整数，且）．例：，则 ． 【答案】8 【分析】根据定义，得，解得即可． 本题考查了新定义计算，正确理解定义的运算法则是解题的关键． 【解答】根据定义，得， 故答案为：8． 8．（2024·广西·中考真题）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算．先算乘法和乘方，再算加法即可． 【解答】解：原式 ． 学科网（北京）股份有限公司 $$