精品解析：人教版2024-2025学年八年级数学上册第一次月考水平测试试卷

2024-2025学年八年级上学期第一次月考数学试卷 （时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 篆体是我国汉字古代书体之一．下列篆体字“美”，“丽”，“北”，“京”中，不是轴对称图形的为（　　） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系xOy中，点A（3，-4）关于y轴的对称点B的坐标是（ ） A. （3，4） B. （-3，-4） C. （-3，4） D. （-4，3） 3. 如图所示，为估计池塘岸边A、B的距离，小方在池塘的一侧选取一点O，测得米，米，A、B间的距离不可能是（　　） A. 5米 B. 15米 C. 10米 D. 20米 4. 若△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，则△ABC一定是（ ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 任意三角形 5. 如图，在中，D为上一点，把沿折叠，使点C落在上的点E处，则是的（ ） A. 中线 B. 高线 C. 角平分线 D. 对角线 6. 如图，已知，，下列添加的条件中，下列哪一个选项不能用于判定的选项是（ ） A. B. C. D. 7. 若≌，则根据图中提供的信息，可得出的值为（ ） A. 30 B. 27 C. 35 D. 40 8. 如图，等腰的周长为21，底边的长度为5，的垂直平分线交于点，交于点，则的周长为（ ） A 13 B. 14 C. 15 D. 1 9. 如图，点是的内心，若，则等于（　　） A. B. C. D. 10. 如图，在和中，，，，．连接、交于点，连接．下列结论： ①；②；③平分；④平分 其中正确的结论个数有（ ）个． A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 若一扇窗户打开后，用窗钩将其固定，主要运用的几何原理是_________． 12. 一个等腰三角形的两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长是_______． 13. 如图，．，那么的长为________． 14. 如图，中，是上的中线，是中边上的中线，若的面积是，则的面积是_____． 15. 如图，图形的各个顶点都在33正方形网格的格点上．则______． 16. 如图，在中，，于点，，，点为边上的动点，点为边上的动点，则的最小值是____． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 若一个多边形的内角和是它的外角和的倍，求该多边形的边数． 18. 如图，和相交于点，，．求证． 19. 在由单位正方形（每个小正方形边长都为1）组成的网格中，的顶点均在格点上． （1）把向左平移4个单位，再向上平移2个单位得到，请画出，并写出点坐标； （2）请画出关于x轴对称的，并求出的面积． 20. 已知△ABC中，∠B＝50°，∠C＝70°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E点． （1）求∠EDA的度数； （2）AB＝10，AC＝8，DE＝3，求S△ABC． 21. 证明：等腰三角形两腰上的中线相等（要求：根据图形，写出已知，求证，并证明） 已知：如图所示，是等腰三角形，，__________，是边上的中线． 求证：__________ 证明： 22. 如图，在中，． （1）尺规作图：①在上求作一点，使点到的距离等于的长； ②连接，求作线段对称轴；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的作图条件下，记对称轴与，，的交点分别是点，，，若，试判断形状，并说明理由． 23. 如图，中，，，的角平分线交于点E．点D为上一点，且，，交于点M． （1）求的度数； （2）若于点H，，求的长． 24. 数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，，D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使，请补充完整证明“≌”的推理过程． 求证：≌ 证明：延长AD到点E，使 在和中已作， ______， 中点定义， ≌______， 探究得出AD的取值范围是______； 【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 问题解决】 如图2，中，，，AD是的中线，，，且，求AE的长． 25. 如图，在平面直角坐标系中，，，连接，设，且，以为腰作等腰三角形，． （1）①当时，点Q坐标为______； ②当时，求点Q的坐标（用含a的式子表示）； （2）当且时，过点Q作交y轴于点F，过P作交于点D，连接．则当点P在运动过程中时，线段会有怎样的数量关系？请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年八年级上学期第一次月考数学试卷 （时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 篆体是我国汉字古代书体之一．下列篆体字“美”，“丽”，“北”，“京”中，不是轴对称图形的为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】分析：根据关于某条直线对称的图形叫轴对称图形，进而判断得出即可． 详解：A.是轴对称图形，不合题意； B.不是轴对称图形，符合题意； C.是轴对称图形，不合题意； D.是轴对称图形，不合题意； 故选B. 点睛：本题考查的是轴对称图形的概念，掌握轴对称图形的概念是解题的关键. 2. 在平面直角坐标系xOy中，点A（3，-4）关于y轴的对称点B的坐标是（ ） A. （3，4） B. （-3，-4） C. （-3，4） D. （-4，3） 【答案】B 【解析】 【分析】根据直角坐标系和轴对称的性质分析，即可得到答案． 【详解】点A（3，-4）关于y轴的对称点B的坐标是：（-3，-4） 故选：B． 【点睛】本题考查了直角坐标系、轴对称的性质；解题的关键是熟练掌握坐标、轴对称的性质，从而完成求解． 3. 如图所示，为估计池塘岸边A、B的距离，小方在池塘的一侧选取一点O，测得米，米，A、B间的距离不可能是（　　） A. 5米 B. 15米 C. 10米 D. 20米 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三角形三边的关系，熟练掌握三角形三边的关系是解题的关键．根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，求出范围，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 即5米米， ∴不可能等于5米， 故选：A． 4. 若△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，则△ABC一定是（ ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 任意三角形 【答案】C 【解析】 【分析】设∠A=x°，∠B=2x°，∠C=3x°，根据∠A+∠B+∠C=180°得出方程x+2x+3x=180，求出x即可． 【详解】解：∵△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3， ∴设∠A=x°，∠B=2x°，∠C=3x°， ∵∠A+∠B+∠C=180， ∴x+2x+3x=180°， ∴x=30，2x=60°，3x=90°， ∴∠C=90°，∠A=30°，∠B=60°， 即△ABC是直角三角形， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理的应用，能根据题意得出方程是解此题的关键，注意：三角形的内角和等于180°． 5. 如图，在中，D为上一点，把沿折叠，使点C落在上的点E处，则是的（ ） A. 中线 B. 高线 C. 角平分线 D. 对角线 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意得到和关于直线对称，从而得到，即可得到是的高线． 【详解】解：如图，∵沿折叠，点C落在上的点E处， ∴和关于直线对称， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴是的高线． 故选：B 【点睛】本题考查了轴对称的性质“成轴对称的两个图形的对应点的连线被对称轴垂直平分”，熟知轴对称的性质是解题关键． 6. 如图，已知，，下列添加的条件中，下列哪一个选项不能用于判定的选项是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定定理，熟练掌握三角形全等的判定定理是解答本题的关键．根据三角形全等的判定定理，，，，，分析每一个选项，只有C选项不能判定，由此得到答案． 【详解】选项中，，，，符合，可以判定，故本选项不符合题意； 选项中， ，，，符合，可以判定，故本选项不符合题意； 选项中，，，，不能判定，故本选项符合题意； 选项中，，得到，又，，符合，可以判定，故本选项不符合题意； 故选：C． 7. 若≌，则根据图中提供的信息，可得出的值为（ ） A. 30 B. 27 C. 35 D. 40 【答案】A 【解析】 【分析】△ABC中利用三角形内角和可求得∠A=70°，则可得∠A和∠D对应，则EF=BC，可得到答案． 【详解】∵∠B=50°，∠C=60°， ∴∠A=70°， ∵△ABC≌△DEF， ∴∠A和∠D对应， ∴EF=BC=30， ∴x=30， 故选：A． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边、对应角相等是解题的关键． 8. 如图，等腰的周长为21，底边的长度为5，的垂直平分线交于点，交于点，则的周长为（ ） A. 13 B. 14 C. 15 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查垂直平分线的性质．由垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可得，所以的周长，根据题目条件求出即可． 【详解】解：由题意得， ， 是的垂直平分线， ， 的周长． 故选：A． 9. 如图，点是的内心，若，则等于（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由点是的内心，可得平分，平分，可得，，再结合三角形的内角和定理可得答案． 【详解】解：∵点是的内心， ∴平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴； 故选A 【点睛】本题考查的是三角形的内心的含义，三角形的内角和定理的应用，熟记三角形的内心是三角形三个内角平分线的交点是解本题的关键． 10. 如图，在和中，，，，．连接、交于点，连接．下列结论： ①；②；③平分；④平分 其中正确的结论个数有（ ）个． A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】由SAS证明△AOC≌△BOD，得到∠OAC＝∠OBD，由三角形的外角性质得：∠AMB＋∠OBD＝∠AOB＋∠OAC，得出∠AMB＝∠AOB＝36°，①正确； 根据全等三角形的性质得出∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，②正确； 作OG⊥AC于G，OH⊥BD于H，如图所示：则∠OGC＝∠OHD＝90°，由AAS证明△OCG≌△ODH（AAS），得出OG＝OH，由角平分线的判定方法得出MO平分，④正确； 由∠AOB＝∠COD，得出当∠DOM＝∠AOM时，OM才平分∠BOC，假设∠DOM＝∠AOM，由△AOC≌△BOD得出∠COM＝∠BOM，由MO平分∠BMC得出∠CMO＝∠BMO，推出△COM≌△BOM，得OB＝OC，而OA＝OB，所以OA＝OC，而，故③错误；即可得出结论． 【详解】∵∠AOB＝∠COD＝36°， ∴∠AOB＋∠BOC＝∠COD＋∠BOC， 即∠AOC＝∠BOD， 在△AOC和△BOD中， ， ∴△AOC≌△BOD（SAS）， ∴∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，②正确； ∴∠OAC＝∠OBD， 由三角形的外角性质得：∠AMB＋∠OBD＝∠AOB＋∠OAC， ∴∠AMB＝∠AOB＝36°，②正确； 作OG⊥AC于G，OH⊥BD于H，如图所示： 则∠OGC＝∠OHD＝90°， 在△OCG和△ODH中， ， ∴△OCG≌△ODH（AAS）， ∴OG＝OH， ∴平分，④正确； ∵∠AOB＝∠COD， ∴当∠DOM＝∠AOM时，OM才平分∠BOC， 假设∠DOM＝∠AOM ∵△AOC≌△BOD， ∴∠COM＝∠BOM， ∵MO平分∠BMC， ∴∠CMO＝∠BMO， 在△COM和△BOM中， ， ∴△COM≌△BOM（ASA）， ∴OB＝OC， ∵OA＝OB ∴OA＝OC 与矛盾， ∴③错误； 正确的有①②④； 故选B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识；证明三角形全等是解题的关键． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 若一扇窗户打开后，用窗钩将其固定，主要运用的几何原理是_________． 【答案】三角形的稳定性 【解析】 【详解】解：一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，这里所运用的几何原理是三角形的稳定性． 故答案为：三角形的稳定性. 12. 一个等腰三角形的两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长是_______． 【答案】20 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的定义、三角形三边关系等知识，解题关键在于分类讨论思想以及三角形三边关系的应用．分4是底边长、8是腰长和8是底边长、4是腰长两种情况，判断是否能够构成三角形，即可获得答案． 【详解】解：若4是底边长，8是腰长，三边长为4，8，8， 可构成等腰三角形，则等腰三角形的周长为； 若8是底边长，4是腰长，则等腰三角形三边长为4，4，8， ∵，故不能构成等腰三角形， ∴此种情况不存在， ∴等腰三角形的周长为20． 故答案为：20． 13. 如图，．，那么的长为________． 【答案】9 【解析】 【分析】根据全等三角形得到，结合已知线段，利用线段的和差计算可得结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：9． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，灵活运用全等三角形的性质得到是本题的关键． 14. 如图，中，是上的中线，是中边上的中线，若的面积是，则的面积是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角形面积的求法，解题的关键是掌握：三角形的中线平分三角形的面积．据此求出面积比，即可解答． 【详解】解：∵是上的中线， ∴， ∵是中边上的中线， ∴， ∴， ∵的面积是， ∴， ∴的面积是． 故答案为：． 15. 如图，图形的各个顶点都在33正方形网格的格点上．则______． 【答案】45°##45度 【解析】 【分析】通过证明三角形全等得出∠1=∠3，再根据∠1+∠2=∠3+∠2 即可得出答案． 【详解】解：如图所示， 由题意得，在Rt△ABC和Rt△EFC中， ∵ ∴Rt△ABC≌Rt△EFC（SAS） ∴∠3=∠1 ∵∠2+∠3=90° ∴∠1+∠2=∠3+∠2=90° 故答案为：45° 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，由证明三角形全等得出∠1=∠3是解题的关键． 16. 如图，在中，，于点，，，点为边上的动点，点为边上的动点，则的最小值是____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，最短路径问题，连接，过点作，可得，根据垂线段最短可知当、、三点共线且时，的最小值为，结合面积法求解即可． 【详解】解：连接，过点作， ，，，， ，， ， 当、、三点共线且时，的最小值为， ， ，即的最小值为， 故答案为：． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 若一个多边形的内角和是它的外角和的倍，求该多边形的边数． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和与外角和的综合，先设多边形是n边，因为一个多边形的内角和是它的外角和的倍，所以，解出，即可作答． 【详解】解：设多边形是n边形，由题意可得， ， 解得：． ∴该多边形的边数为5 18. 如图，和相交于点，，．求证． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质．由得，再利用即可证明，即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵在和中， ， ， ． 19. 在由单位正方形（每个小正方形边长都为1）组成的网格中，的顶点均在格点上． （1）把向左平移4个单位，再向上平移2个单位得到，请画出，并写出点的坐标； （2）请画出关于x轴对称的，并求出的面积． 【答案】（1），见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先确定各点起始坐标，再确定各点的平移坐标，依次连接即可得到图形． （2）先确定各点的起始坐标，再确定各点的对称坐标，依次连接即可得到图形． 【小问1详解】 因为， 所以向左平移4个单位，再向上平移2个单位后各点坐标为，，，作图如下： 则即为所求． 【小问2详解】 因为， 所以关于x轴对称后各点坐标为，，，作图如下： 所以=． 【点睛】本题考查了坐标系中的平移作图，轴对称，图形的面积计算，熟练掌握坐标平移规律左减右加，上加下减是解题的关键． 20. 已知△ABC中，∠B＝50°，∠C＝70°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E点． （1）求∠EDA的度数； （2）AB＝10，AC＝8，DE＝3，求S△ABC． 【答案】（1）60°；（2）27. 【解析】 【分析】（1）先求出∠BAC＝ 60°，再用AD是△ABC的角平分线求出∠BAD，再根据垂直，即可求解； （2）过D作DF⊥AC于F，三角形ABC的面积为三角形ABD和三角形ACD的和即可求解. 【详解】解：（1）∵∠B＝50°，∠C＝70°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣50°﹣70°＝60°， ∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠BAD＝∠BAC＝×60°＝30°， ∵DE⊥AB， ∴∠DEA＝90°， ∴∠EDA＝180°﹣∠BAD﹣∠DEA＝180°﹣30°﹣90°＝60°； （2）如图，过D作DF⊥AC于F， ∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB， ∴DF＝DE＝3， 又∵AB＝10，AC＝8， ∴S△ABC＝×AB×DE＋×AC×DF＝×10×3＋×8×3＝27． 【点睛】本题考查的是三角形，熟练掌握三角形的性质是解题的关键. 21. 证明：等腰三角形两腰上的中线相等（要求：根据图形，写出已知，求证，并证明） 已知：如图所示，是等腰三角形，，__________，是边上的中线． 求证：__________ 证明： 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据题目中的条件和的判定方法，可以证明，然后即可得到． 【详解】解：已知：如图所示，是等腰三角形，，是边上的中线，是边上的中线． 求证：； 证明：在中，，，分别是腰，上的中线， ， 在和中， ， ， ， 即等腰三角形两腰上的中线相等． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 22. 如图，在中，． （1）尺规作图：①在上求作一点，使点到的距离等于的长； ②连接，求作线段的对称轴；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的作图条件下，记对称轴与，，的交点分别是点，，，若，试判断形状，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）是等边三角形． 【解析】 【分析】本题考查作图轴对称变换，等边三角形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）①作平分，交于点；②作出线段的垂直平分线即可； （2）证明，可得结论． 【小问1详解】 解：图形如图所示： 【小问2详解】 解：结论：是等边三角形． 理由：垂直平分线段， ， ， 平分， ， ， ∴， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ，， ， 是等边三角形． 23. 如图，中，，，的角平分线交于点E．点D为上一点，且，，交于点M． （1）求的度数； （2）若于点H，，求长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据直角三角形的两锐角互余可得的度数，根据角平分线的定义可得的度数，根据等边对等角以及三角形的内角和定理可得的度数，进而根据三角形的外角性质可得的度数； （2）根据含30度角的直角三角形的性质，可得，，根据等腰直角三角形的性质可得，进而即可得出，即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了直角三角形两个锐角互余，角平分线的定义，等边对等角以及三角形的内角和定理、三角形的外角性质，含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 24. 数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，，D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使，请补充完整证明“≌”的推理过程． 求证：≌ 证明：延长AD到点E，使 在和中已作， ______， 中点定义， ≌______， 探究得出AD的取值范围是______； 【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 如图2，中，，，AD是的中线，，，且，求AE的长． 【答案】见解析； 1<AD<7； AE=6． 【解析】 【分析】（1）延长AD到点E，使DE=AD，根据SAS定理证明△ADC≌△EDB； （2）根据全等三角形的性质、三角形的三边关系计算； （3）延长AD交EC的延长线于F，证明△ABD≌△FCD，根据全等三角形的性质解答． 详解】延长AD到点E，使， 在和中， 已作， 对顶角相等， 中点定义， ≌， 故答案为对顶角相等，SAS； ≌， ， ， ， 故答案为； 延长AD交EC的延长线于F， ，， ， 在和中， ， ≌， ，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系定理和全等三角形的性质和判定，解题关键是熟记全等三角形的判定条件. 25. 如图，在平面直角坐标系中，，，连接，设，且，以为腰作等腰三角形，． （1）①当时，点Q的坐标为______； ②当时，求点Q的坐标（用含a的式子表示）； （2）当且时，过点Q作交y轴于点F，过P作交于点D，连接．则当点P在运动过程中时，线段会有怎样的数量关系？请说明理由． 【答案】（1）① ② （2），理由见解析 【解析】 【分析】（1）①根据，点Q在第二象限，写出点Q的坐标；②过点作于点，则有，求出点Q的坐标； （2）在上截取，连接，则有，即可得到，，然后证明，可以得到结论． 【小问1详解】 ①当时，点在原点处，如图， ， 又∵点Q在第二象限， ∴点Q的坐标为， 故答案为：； ②过点作于点， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴点Q的坐标为； 【小问2详解】 ，理由为： 在上截取，连接， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，图形与坐标，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$