2.5.1 直线与圆的位置关系（第1课时）（导学案）-【上好课】高二数学选择性必修第一册同步高效课堂（人教A版2019）

2.5.1 直线与圆的位置关系（第1课时） 导学案 1、 教学目标 1. 理解直线和圆的三种位置关系． 2. 会用圆心到直线的距离来判断直线与圆的位置关系． 3. 会用代数法来判断直线与圆的位置关系． 4. 能解决直线与圆位置关系的求切线方程、求弦长等综合问题． 2、 教学重难点 重点：会用圆心到直线的距离来判断直线与圆的位置关系，会用代数法来判断直线与圆的位置关系． 难点：能解决直线与圆位置关系的求切线方程、求弦长等综合问题. 3、 教学过程 1． 新课探究 回顾：在本章2.3.1的学习中，我们是如何用方程定量计算研究两条直线的位置关系的？ 2． 应用新知 例1 已知直线和圆心为的圆，判断直线与圆的位置关系；如果相交，求直线被圆所截得的弦长． 追问：直线与圆相交，如何求直线被圆所截得的弦长? . 跟踪练习：已知直线和圆心为的圆，判断直线与圆的位置关系；如果相交，求直线被圆所截得的弦长． 3． 新课探究 思考：观看以下动画，思考是否还有其他方法判断直线与圆的位置关系呢？ 教师：将以上动画的三个瞬间定格如下：再次思考是否还有其他方法判断直线与圆的位置关系呢？ 4． 应用新知 例1 已知直线和圆心为的圆，判断直线与圆的位置关系；如果相交，求直线被圆所截得的弦长． 追问：直线与圆相交，如何求直线被圆所截得的弦长? 跟踪练习：已知直线和圆心为的圆，判断直线与圆的位置关系；如果相交，求直线被圆所截得的弦长． 思考：与初中的方法比较，你认为用方程判断直线与圆的位置关系有什么优点？ 追问：例1中两种解法（代数法和几何法）的差异是什么？ 例2 过点作圆的切线，求切线的方程． 例2 过点作圆的切线，求切线的方程． 例2 过点作圆的切线，用两种方法求切线的方程． 5． 能力提升 题型一：根据直线与圆的位置关系求参数（值）范围 例题1 已知直线方程,圆的方程.当m为何值时,直线与圆 (1)有两个公共点; (2)只有一个公共点; (3)没有公共点? 题型二：求过圆上一点的圆的切线方程 例题2 已知过点P(2,2) 的直线l与圆相切,求直线l的方程. 题型三：过圆内一定点动直线被圆截的最短弦长问题 例题3 已知圆，直线.求直线被圆截得的弦长最短时的值以及最短弦长. 6． 课堂小结 7． 随堂限时小练 1．直线与圆的位置关系为（ ） A．相交且过圆心 B．相交且不过圆心 C．相切 D．相离 2．若圆被直线平分，则（    ） A．-2 B． C． D． 3．已知圆与直线交于，两点，则经过点，，三点的圆的标准方程为 ． 4．已知圆，则圆在点处的切线方程为 ． 5．过点M（2，4）向圆引切线，求其切线的方程． 6．直线与圆交于两点，则弦的长（    ） A． B． C． D． 7．已知直线与圆交于两点，若，则（    ） A． B． C． D． 8. 已知直线与圆交于A,B两点，则当弦最短时，直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 8． 课后作业布置 作业1：完成教材：第93页 练习1,2,3 作业2：配套辅导资料对应的《直线与圆的位置关系》 9． 课后作业 练习（第93页） 1．判断下列各组直线l与圆C的位置关系： （1）， 圆； （2）， 圆； （3）， 圆． 2． 已知直线与圆心在原点的圆相切，求圆的方程． 3．判断直线与圆的位置关系；如果相交，求直线被圆截得的弦长． 学科网（北京）股份有限公司 ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.5.1 直线与圆的位置关系（第1课时） 导学案 1、 教学目标 1. 理解直线和圆的三种位置关系． 2. 会用圆心到直线的距离来判断直线与圆的位置关系． 3. 会用代数法来判断直线与圆的位置关系． 4. 能解决直线与圆位置关系的求切线方程、求弦长等综合问题． 2、 教学重难点 重点：会用圆心到直线的距离来判断直线与圆的位置关系，会用代数法来判断直线与圆的位置关系． 难点：能解决直线与圆位置关系的求切线方程、求弦长等综合问题. 3、 教学过程 1． 新课探究 回顾：在本章2.3.1的学习中，我们是如何用方程定量计算研究两条直线的位置关系的？ 联立两条直线方程，构成方程组， 方程组解的个数即可得到两直线交点的个数，从而得出两条直线位置关系. 探究：类比以上方法，得出如何用方程定量计算研究直线与圆的的位置关系的方法. 联立直线方程和圆的方程，构成方程组， 代入消元得到一个一元二次方程，计算∆，即可判断方程解的个数， 从而可以得出直线与圆交点的个数，即可判断直线与圆的位置关系. 2． 应用新知 例1 已知直线和圆心为的圆，判断直线与圆的位置关系；如果相交，求直线被圆所截得的弦长． 预设：联立直线与圆的方程，得 消去，得， 所以方程③有两个解，直线与圆有两个公共点 所以，直线与圆相交的位置关系为：相交． 教师：以上判断直线与圆的位置关系的方法，称之为代数法. 追问：直线与圆相交，如何求直线被圆所截得的弦长? 预设：解方程，得，． 把，分别代入方程①，得，． 所以，直线与圆的两个交点是，． 因此所求弦长． 师生：共同总结，1、代数法判断直线与圆的位置关系的步骤： ① 联立：将直线方程和圆的方程联立 ② 消元：消元得到一元二次方程 ③ 算∆：计算一元二次方程的∆，得出∆的正负性 ④ 定论：根据∆的正负性，下结论 2、代数法计算弦长： 计算出直线与圆的两个交点坐标，直接用两点间的距离公式求弦长即可 跟踪练习：已知直线和圆心为的圆，判断直线与圆的位置关系；如果相交，求直线被圆所截得的弦长． 预设： 联立直线与圆的方程，得 消去，得，所以 所以，直线与圆相交，有两个公共点，它们位置关系为：相交. 解方程③得，分别代入方程①，得，． 所以，直线与圆的两个交点是，． 因此所求弦长． 3． 新课探究 思考：观看以下动画，思考是否还有其他方法判断直线与圆的位置关系呢？ 教师：将以上动画的三个瞬间定格如下：再次思考是否还有其他方法判断直线与圆的位置关系呢？ d: 圆心到直线的距离，r：圆的半径 4． 应用新知 例1 已知直线和圆心为的圆，判断直线与圆的位置关系；如果相交，求直线被圆所截得的弦长． 预设：圆的方程可化为，因此圆心的坐标为，半径为，圆心到直线l的距离． 所以直线l与圆C相交，有两个公共点． 教师：以上判断直线与圆位置关系的方法，称之为几何法. 追问：直线与圆相交，如何求直线被圆所截得的弦长? 知识小贴士：垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧 预设：解如图，由垂径定理，得， 解得 师生：共同总结，1、几何法判断直线与圆的位置关系的步骤： ① 算r：将圆的方程化为标准方程得圆心坐标和半径r. ② 算d：计算圆心到直线的距离d， ③ 下结论：根据d与r的大小关系，下结论 2、几何法计算弦长： 借助垂径定理，构造直角三角形，利用勾股定理求弦长即可 跟踪练习：已知直线和圆心为的圆，判断直线与圆的位置关系；如果相交，求直线被圆所截得的弦长． 预设：圆的方程圆心的坐标为，半径为， 圆心到直线l的距离． 所以直线l与圆C相交，有两个公共点． 由垂径定理，得． 思考：与初中的方法比较，你认为用方程判断直线与圆的位置关系有什么优点？ 用方程判断是定量计算分析，若相交或相切可以直接求出交点（切点）坐标 追问：例1中两种解法（代数法和几何法）的差异是什么？ 解法1，即代数法是直接运用直线和圆的方程组成的方程组，有无实数解的情况判断直线圆位置关系，完全代数的方法，比较容易想到，计算量比较大. 解法2，即几何法是利用图形中的相关几何量(圆心到直线的距离，圆的半径)的大小比较，判断直线与圆位置关系. 利用图形的几何性质，有助于简化计算. 例2 过点作圆的切线，求切线的方程． 预设：设切线的斜率为，则切线的方程为． 因为直线与圆相切，所以方程组 ， 只有一组解． 消元，得． ① 因为方程①只有一组解，所以 ． 解得或． 因此，所求切线的方程为，或． 教师：以上求切线方程的方法为：代数法 师生：共同总结，1、代数法求圆外一点的切线方程： ① 设斜率k：分斜率“存在”与“不存在”两种情况讨论； ② 写方程：用点斜式写出直线的方程:； ③ 联立算∆：联立直线与圆的方程，消元得到一元二次方程，计算∆； ④ 列方程：利用∆=0建立方程，求出k，即可求得切线方程 2、注意事项： ① 过圆外一点的切线一定会有两条 ② 若解方程∆=0只有一个解，说明另一解就是斜率k不存在 例2 过点作圆的切线，求切线的方程． 预设：设切线的斜率为，则切线的方程为，即． 由圆心到切线的距离等于圆的半径1，得 ， 解得或． 因此，所求切线的方程为，或． 师生：共同总结，1、几何法求圆外一点的切线方程： ① 设斜率k：分斜率“存在”与“不存在”两种情况讨论； ② 写方程：用点斜式写出直线的方程:； ③ 算d和r：计算圆心到直线的距离d和圆的半径r； ④ 列方程：利用∆=0建立方程，求出k，即可求得切线方程； 2、注意事项： ① 过圆外一点的切线一定会有两条 ② ② 若解方程d=r只有一个解，说明另一解就是斜率k不存在 例2 过点作圆的切线，用两种方法求切线的方程． 师生：学生自主完成练习，教师巡视学生做题情况，并选择典型解答，分享答案； 预设：法一：1°当切线的斜率不存在时，即切线的方程为, 易知，直线与圆相切，符合题意； 2°设切线的斜率为，则切线的方程为． 因为直线与圆相切，所以方程组 ， 只有一组解． 消元，得． ① 因为方程①只有一组解，所以 ． 解得． 因此，所求切线的方程为，或． 法二：1°当切线的斜率不存在时，即切线的方程为, 易知，直线与圆相切，符合题意； 2°设切线的斜率为，则切线的方程为，即 由圆心到切线的距离等于圆的半径1，得 ， 解得． 因此，所求切线的方程为，或． 5． 能力提升 题型一：根据直线与圆的位置关系求参数（值）范围 例题1 已知直线方程,圆的方程.当m为何值时,直线与圆 (1)有两个公共点; (2)只有一个公共点; (3)没有公共点? 法一：将直线代入圆的方程,得 , ∴当,即时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点; 当,即时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点; 当,即时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点. 法二：已知圆的方程可化为(x-2)2+(y-1)2=4,即圆心为(2,1),半径r=2. 圆心(2,1)到直线的距离. ∴当,即时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点; 当,即时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点; 当,即时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点. 方法总结：根据直线与圆的位置关系求参数（值）范围 代数法：联立直线与圆的方程，消元得到一元二次方程， 利用∆>0（相交）、∆<0（相离）、∆=0（相切）建立不等式（方程） 即可解出参数的范围（值） 几何法：求圆心到直线的距离d和圆心半径r， 利用d<r（相交）、d>r（相离）、d=r（相切）建立不等式（方程） 即可解出参数的范围（值） 题型二：求过圆上一点的圆的切线方程 例题2 已知过点P(2,2) 的直线l与圆相切,求直线l的方程. 法一：圆的圆心坐标，半径， 又，所以， 易知在圆上，且直线l与圆相切 所以，所以 所以，所求切线方程为：，即 法二：圆的圆心坐标，半径， 设过点的直线的斜率为， （1）当k不存在时，直线l为：，易知与圆不相切，不符合题意； （2）当k存在时，则直线方程，即，由于直线和圆相切，故，得， 所以，所求切线方程为：，即 方法总结: 求过圆上一点P的圆C的切线方程 法一：先判断点P在圆上，则点P为切点；然后用切点和圆心坐标，求直线PC的斜率；然后利用切线与直线PC垂直，求出切线斜率；最后用点斜式即可求切线方程. 法二：设切线的斜率为k，点斜式写出切线方程，利用d=r（相切）建立方程，求出k的值，最后最后用点斜式即可求切线方程. 注意：若方程无解，则说明切线斜率不存在. 题型三：过圆内一定点动直线被圆截的最短弦长问题 例题3 已知圆，直线.求直线被圆截得的弦长最短时的值以及最短弦长. 预设：直线，可化为， 联立解得故直线恒过定点. 由，配方得，所以圆心，半径为，直线恒过定点，当直线时，直线被圆截得的弦长最短. 因为直线的斜率为，故直线的斜率为，解得. 此时圆心到直线的距离为， 所以最短弦长为. 方法总结：过圆内一定点动直线被圆截的最短、最长弦长问题 先求动直线的定点坐标，若定点在圆内，则该动直线被圆截的弦长 有最大值和最小值： 最大值：当动直线同时过定点和圆心时，弦长最长，为直径； 最小值：当定点为弦的中点时，即定点与圆心的连线与动直线垂直时弦长最短， 结合垂径定理，构造直角三角形，勾股定理可求最短弦长. 6． 课堂小结 7． 随堂限时小练 1．直线与圆的位置关系为（ ） A．相交且过圆心 B．相交且不过圆心 C．相切 D．相离 【详解】圆，即，其圆心坐标为，半径为， 圆心到直线的距离，直线与圆的位置关系为相切.故选：C 2．若圆被直线平分，则（    ） A．-2 B． C． D． 【详解】由题意得圆心在直线上，则，解得.选D. 3．已知圆与直线交于，两点，则经过点，，三点的圆的标准方程为 ． 【详解】联立直线和圆，解得， 设圆的标准方程为，则有 ，解得， 所以圆的标准方程为. 4．已知圆，则圆在点处的切线方程为 ． 【详解】因为点在圆上，又的圆心为，所以， 易知，直线PC与所求切线垂直，所以所求切线的斜率为：， 所以圆在点处的切线方程为，即． 5．过点M（2，4）向圆引切线，求其切线的方程． 【详解】由于（2－1）2＋（4＋3）2＝50>1，故点M在圆外． 当切线斜率存在时，设切线方程是y－4＝k（x－2），即kx－y＋4－2k＝0， 由于直线与圆相切，故，解得． 所以切线方程为24x－7y－20＝0． 又当切线斜率不存在时，直线x＝2与圆相切． 综上所述，所求切线方程为24x－7y－20＝0或x＝2． 6．直线与圆交于两点，则弦的长（    ） A． B． C． D． 【详解】设圆的圆心为，半径， 因为到直线的距离， 所以. 7．已知直线与圆交于两点，若，则（    ） A． B． C． D． 【详解】圆的圆心， 所以圆心到直线的距离为，则， 而，所以，解得：. 故选：A. 8. 已知直线与圆交于A,B两点，则当弦最短时，直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 【详解】，所以直线恒过定点，， 因为，所以点在圆内， 所以当时，弦最短, 设直线的斜率为，则, 所以直线的方程为，即. 故选：D. 8． 课后作业布置 作业1：完成教材：第93页 练习1,2,3 作业2：配套辅导资料对应的《直线与圆的位置关系》 9． 课后作业答案 练习（第93页） 1．判断下列各组直线l与圆C的位置关系： （1）， 圆； （2）， 圆； （3）， 圆． 解析：（1）圆的圆心坐标是，半径．所以圆心到直线的距离． 因为，所以直线与圆相交． （2）方程经过配方，得．所以圆心坐标是，半径．所以圆心到直线的距离．因为，所以直线与圆相切． （3）方程，配方得，所以圆心坐标是，半径．所以圆心到直线l的距离．因为，所以直线与圆相离． 2． 已知直线与圆心在原点的圆相切，求圆的方程． 解析：因为圆心为原点，且圆与直线相切，所以原点到直线的距离即为圆的半径， 所以．所以圆的方程为． 3．判断直线与圆的位置关系；如果相交，求直线被圆截得的弦长． 解析：由圆的方程可知圆心坐标为，半径．因为圆心到直线的距离，所以直线与圆相交．由垂径定理，得弦长为． 学科网（北京）股份有限公司 ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$