2.5.1 直线与圆的位置关系（第1课时）（教学课件）-【上好课】高二数学选择性必修第一册同步高效课堂（人教A版2019）

第二章 直线与圆的方程 2.5.1直线与圆的 位置关系(第1课时) ·选择性必修第一册· 1 学习目标 理解直线和圆的三种位置关系． 会用圆心到直线的距离来判断直线与圆的位置关系．（重点） 会用代数法来判断直线与圆的位置关系．（重点） 能解决直线与圆位置关系的求切线方程、求弦长等综合问题．（难点） 2 3 4 情景导入 01 2.5.1直线与圆的位置关系(第1课时) 创设背景，引入新知 把太阳看作一个圆，海天交线看作一条直线， 那么在日出的过程中，体现了直线和圆的哪些位置关系？ “海上生明月，天涯共此时。” 回顾初中知识，我们知道，直线与圆有三种位置关系： (1) 直线与圆相交，有两个公共点；(2) 直线与圆相切，只有一个公共点； (3) 直线与圆相离，没有公共点． 创设背景，引入新知 类比用方程研究两条直线位置关系的方法， 如何利用直线和圆的方程通过定量计算研究直线与圆的三种位置关系呢？ 在前面平面解析几何学习中，我们学习了： ① 直线的方程，圆的方程； ② 用方程研究两条直线的位置关系， 02 代数法判断直线 与圆的位置关系 2.5.1直线与圆的位置关系(第1课时) 探究新知 回顾 在本章2.3.1的学习中， 我们是如何用方程定量计算研究两条直线的位置关系的？ 探究 类比以上方法， 得出如何用方程定量计算研究直线与圆的的位置关系的方法. 联立两条直线方程，构成方程组， 方程组解的个数即可得到两直线交点的个数，从而得出两条直线位置关系. 联立直线方程和圆的方程，构成方程组， 代入消元得到一个一元二次方程，计算∆，即可判断方程解的个数， 从而可以得出直线与圆交点的个数，即可判断直线与圆的位置关系. 应用新知 例 1： 详解 代数法 探究新知 总结 第 1 步 联立：将直线方程和圆的方程联立 第 2 步 消元：消元得到一元二次方程 1.代数法判断直线与圆的位置关系的步骤： 2.代数法计算弦长： 计算出直线与圆的两个交点坐标，直接用两点间的距离公式求弦长即可 第 3 步 算∆：计算一元二次方程的∆，得出∆的正负性 第 4 步 定论：根据∆的正负性，下结论 探究新知 追问 分析 已判断直线与圆有两个交点，若能求出两个交点坐标，利用两点间的距离公式即可求得弦长 详解 应用新知 跟踪练习： 详解 03 几何法判断直线 与圆的位置关系 2.5.1直线与圆的位置关系(第1课时) 探究新知 思考： 观看以下动画， 思考是否还有其他方法判断直线与圆的位置关系呢？ 探究新知 思考：将以上动画的三个瞬间定格如下： 再次思考是否还有其他方法判断直线与圆的位置关系呢？ 提示 分析下面三个图中的两个量：d与r,你会有怎样的结论？ d: 圆心到直线的距离；r：圆的半径 直线与圆 相交 直线与圆 相切 直线与圆 相离 d = r d > r d < r 应用新知 例 1： 详解 几何法 探究新知 追问 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧 知识小贴士： 分析 根据垂径定理，可以构造一个直角三角形， 然后利用勾股定理即可求得弦长. 详解 探究新知 总结 第 1 步 算r：将圆的方程化为标准方程得圆心坐标和半径r. 第 2 步 算d：计算圆心到直线的距离d， 1.几何法判断直线与圆的位置关系的步骤： 2.几何法计算弦长： 借助垂径定理，构造直角三角形，利用勾股定理求弦长即可 第 3 步 下结论：根据d与r的大小关系，下结论 应用新知 跟踪练习： 详解 探究新知 思考：与初中的方法比较，你认为用方程判断直线与圆的位置关系有什么 优点？ 用方程判断是定量计算分析，若相交或相切可以直接求出交点（切点）坐标 思考：例1中两种解法（代数法和几何法）的差异是什么？ 解法1：即代数法是直接运用直线和圆的方程组成的方程组，有无实数解的情况判断直线圆位置关系，完全代数的方法，比较容易想到，计算量比较大. 解法2：即几何法是利用图形中的相关几何量(圆心到直线的距离，圆的半径)的大小比较，判断直线与圆位置关系. 利用图形的几何性质，有助于简化计算. 04 代数法求圆 的切线方程 2.5.1直线与圆的位置关系(第1课时) 应用新知 例 2： 分析 详解 代数法 探究新知 总结 第 1 步 设斜率k：分斜率“存在”与“不存在”两种情况讨论； 第 2 步 写方程：用点斜式写出直线的方程:y−y0=k(x−x0)； 1.代数法求过圆外一点P(x0,y0)的切线方程： 2.注意事项： ① 过圆外一点的切线一定会有两条 ② 若解方程∆=0只有一个解，说明另一解就是斜率k不存在 第 3 步 联立算∆：联立直线与圆的方程，消元得到一元二次方程， 计算∆； 第 4 步 列方程：利用∆=0建立方程，求出k，即可求得切线方程 应用新知 例 2： 分析 详解 几何法 探究新知 总结 第 1 步 设斜率k：分斜率“存在”与“不存在”两种情况讨论； 第 2 步 写方程：用点斜式写出直线的方程:y−y0=k(x−x0)； 1.几何法求过圆外一点P(x0,y0)的切线方程： 2.注意事项： ① 过圆外一点的切线一定会有两条 ② 若解方程d=r只有一个解，说明另一解就是斜率k不存在 第 3 步 算d和r：计算圆心到直线的距离d和圆的半径r； 第 4 步 列方程：利用d=r建立方程，求出k，即可求得切线方程 应用新知 练习 法一 应用新知 练习 法二 05 2.5.1直线与圆的位置关系(第1课时) 能力提升 能力提升 题型一 根据直线与圆的位置关系求参数（值）范围 例题1 【法一】 能力提升 题型一 根据直线与圆的位置关系求参数（值）范围 例题1 【法二】 应用新知 方法总结 代数法 几何法 根据直线与圆的位置关系求参数（值）范围 联立直线与圆的方程，消元得到一元二次方程， 利用建立不等式（方程），即可解出参数的范围（值） 求圆心到直线的距离d和圆心半径r， 利用 建立不等式（方程），即可解出参数的范围（值） 能力提升 题型二 求过圆上一点的圆的切线方程 例题2 【法一】 能力提升 题型二 求过圆上一点的圆的切线方程 例题2 【法二】 应用新知 方法总结 法一 法二 求过圆上一点P的圆C的切线方程 先判断点P在圆上，则点P为切点；然后用切点和圆心坐标，求直线PC的斜率；然后利用切线与直线PC垂直，求出切线斜率；最后用点斜式即可求切线方程. 设切线的斜率为k，点斜式写出切线方程， 利用建立方程，求出k的值，最后最后用点斜式即可求切线方程. 注意：若方程无解，则说明切线斜率不存在. 能力提升 题型三 过圆内一定点动直线被圆截的最短弦长问题 例题3 【详解】 能力提升 题型三 过圆内一定点动直线被圆截的最短弦长问题 例题3 【详解】 应用新知 方法总结 过圆内一定点动直线被圆截的最短、最长弦长问题 先求动直线的定点坐标，若定点在圆内，则该动直线被圆截的弦长 有最大值和最小值： 最大值：当动直线同时过定点和圆心时，弦长最长，为直径； 最小值：当定点为弦的中点时，即定点与圆心的连线与动直线垂直时弦长最短，结合垂径定理，构造直角三角形，勾股定理可求最短弦长. 06 课堂小结及 限时小练 2.5.1直线与圆的位置关系(第1课时) 课堂小结 随堂限时小练 详解 随堂限时小练 详解 随堂限时小练 详解 随堂限时小练 详解 随堂限时小练 详解 随堂限时小练 详解 随堂限时小练 详解 随堂限时小练 详解 作业布置 作业1：完成教材：第93页 练习1,2,3. 作业2：配套辅导资料对应的《直线与圆的位置关系》.  07 作业布置与 课后练习答案 2.5.1直线与圆的位置关系(第1课时) 课后作业答案 练习（第93页） 课后作业答案 练习（第93页） 课后作业答案 练习（第93页） 课后作业答案 练习（第93页） 课后作业答案 练习（第93页） ·选择性必修第一册· 本课结束 感谢您的聆听 已知直线方程 ,圆的方程 .当m为何值时,直线与圆 (1)有两个公共点; (2)只有一个公共点; (3)没有公共点? 将直线 代入圆的方程,得 EMBED Equation.DSMT4 \* MERGEFORMAT , ∴当 ,即 时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点; 当 ,即 时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点; 当 ,即 时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点. 已知直线方程 ,圆的方程 .当m为何值时,直线与圆 (1)有两个公共点; (2)只有一个公共点; (3)没有公共点? 已知圆的方程可化为(x-2)2+(y-1)2=4,即圆心为(2,1),半径r=2. 圆心(2,1)到直线 的距离 . ∴当 ,即 时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点; 当 ,即 时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点; 当 ,即 时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点. 已知过点P(2,2) 的直线l与圆 相切,求直线l的方程. 圆 的圆心坐标 ，半径 ， 又 ，所以 ， 易知 在圆 上，且直线l与圆相切 所以 ，所以 所以，所求切线方程为： ，即 已知过点P(2,2) 的直线l与圆 相切,求直线l的方程. 圆 的圆心坐标 ，半径 ， 设过点 的直线的斜率为 ， （1）当k不存在时，直线l为： ，易知与圆不相切，不符合题意； （2）当k存在时，则直线方程 ，即 ，由于直线和圆相切，故 ，得 ， 所以，所求切线方程为： ，即 已知圆 ，直线 . 求直线 被圆 截得的弦长最短时 的值以及最短弦长. 直线 ，可化为 ， 联立 解得 故直线 恒过定点 . 由 ，配方得 ， 所以圆心 ，半径为 ，直线 恒过定点 ， 当直线 时，直线 被圆截得的弦长最短. 已知圆 ，直线 . 求直线 被圆 截得的弦长最短时 的值以及最短弦长. 因为直线 的斜率为 ， 故直线 的斜率为 ，解得 . 此时圆心 到直线 的距离为 ， 所以最短弦长为 . 1．直线 与圆 的位置关系为（ ） A．相交且过圆心 B．相交且不过圆心 C．相切 D．相离 圆 ，即 ， 其圆心坐标为 ，半径为 ， 圆心到直线 的距离 ， 直线与圆的位置关系为相切. 故选：C 2．若圆 被直线 平分，则 （    ） A．-2 B． C． D． 由题意得圆心 在直线 上， 则 ，解得 .故选：D. 3．已知圆 与直线 交于 ， 两点，则经过点 ， ， 三点的圆的标准方程为 ． 联立直线和圆 ，解得 ， 设圆的标准方程为 ，则有 ，解得 ， 所以圆的标准方程为 . 4．已知圆 ，则圆 在点 处的切线方程为 ． 因为点 在圆上，又 的圆心为 ，所以 ， 易知，直线PC与所求切线垂直，所以所求切线的斜率为： ， 所以圆 在点 处的切线方程为 ，即 ． 5．过点M（2，4）向圆 引切线，求其切线的方程． 由于（2－1）2＋（4＋3）2＝50>1，故点M在圆外． 当切线斜率存在时，设切线方程是y－4＝k（x－2），即kx－y＋4－2k＝0， 由于直线与圆相切，故 ，解得 ． 所以切线方程为24x－7y－20＝0． 又当切线斜率不存在时，直线x＝2与圆相切． 综上所述，所求切线方程为24x－7y－20＝0或x＝2． 6．直线 与圆 交于 两点，则弦 的长（    ） A． B． C． D． 设圆 的圆心为 ，半径 ， 因为 到直线 的距离 ， 所以 . 7．已知直线 与圆 交于 两点，若 ，则 （    ） A． B． C． D． 圆 的圆心 ， 所以圆心 到直线 的距离为 ，则 ， 而 ，所以 ，解得： . 故选：A. 已知直线 与圆 交于A,B两点，则当弦 最短时，直线l的方程为（    ） A． B． C． D． ，所以直线 恒过定点 ， ， 因为 ，所以 点在圆 内， 所以当 时，弦 最短, 设直线 的斜率为 ，则 , 所以直线 的方程为 ，即 . 故选：D. $$