专题07 椭圆的标准方程与几何性质六种考法-【常考压轴题】2024-2025学年高二数学压轴题攻略（苏教版2019选择性必修第一册）

专题07 椭圆的标准方程与性质六种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、椭圆的定义…………………………………………………………………2 类型二、椭圆标准方程中的参数 3 类型三、焦点三角形 5 类型四、对称性 8 类型五、离心率 10 类型六、与其他章节融合…………………………………………………………………13 压轴能力测评（10题） 17 1. 椭圆的定义 （1）平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距． （2）集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0. ①当2a>|F1F2|时，M点的轨迹为椭圆； ②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹为线段F1F2； ③当2a<|F1F2|时，M点的轨迹不存在． 容易忽视圆锥曲线定义的限制条件，在椭圆的定义中，对常数加了一个条件，即常数大于。这种规定是为了避免出现两种特殊情况——轨迹为一条线段或无轨迹。 2.椭圆标准方程中的参数 确定椭圆的标准方程包括“定位”与“定量”两个方面，“定位”是指确定椭圆与坐标系的相对位置，在中心为原点的前提下，确定焦点在哪个坐标轴上，以判断方程的形式，若情况不明，应对参数进行讨论，“定量”则是指确定a2、b2的值，常用待定系数法求解。 3.焦点三角形 利用定义求焦点三角形的周长和面积．解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义、正弦定理或余弦定理，其中|PF1|＋|PF2|＝2a两边平方是常用技巧； 常见结论：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点F1，F2构成的△PF1F2叫做焦点三角形． 若r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆＋＝1(a＞b＞0)中： ①当r1＝r2，即点P为短轴端点时，θ最大； ②S＝|PF1||PF2|sin θ＝c|y0|，当|y0|＝b，即点P为短轴端点时，S取得最大值，最大值为bc； ③△PF1F2的周长为2(a＋c)． 4.对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 过椭圆中心的直线与椭圆相交的两点坐标互为相反数；平行于x轴的直线与椭圆相交的两点横坐标互为相反数，纵坐标相等；平行于y轴的直线与椭圆相交的两点纵坐标互为相反数，横坐标相等； 5. 离心率 e＝，且e∈(0,1) 6. 与其他章节融合 与三角形、不等式以及平面向量等章节融合。 类型一、椭圆的定义 例．设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（     ） A．1 B．2 C．4 D．5 【变式训练1】已知，P是椭圆上的任意一点，则的最大值为 . 【变式训练2】设分别是椭圆的左，右焦点，过的直线交椭圆于两点，则的最大值为（     ） A． B． C． D．6 类型二、椭圆标准方程中的参数 例．已知焦点在轴上的椭圆的焦距等于，则实数的值为（     ） A．或 B．或 C． D． 【变式训练1】已知为椭圆的右焦点，过原点的直线与相交于两点，且轴，若，则的长轴长为（     ） A． B． C． D． 【变式训练2】设为椭圆的焦点，若在椭圆上存在点，满足，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 类型三、焦点三角形 例．设O为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点 P在C上，，则（     ） A． B． C． D． 【变式训练1】已知椭圆C：的左､右焦点分别是，，为椭圆C上一点，则下列结论不正确的是（     ） A．的周长为6 B．的面积为 C．的内切圆的半径为 D．的外接圆的直径为 【变式训练2】（多选）椭圆的标准方程为为椭圆的左、右焦点，点．的内切圆圆心为，与分别相切于点，则（     ） A． B． C． D． 类型四、对称性 例．（多选）已知为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为两点都在上，，三点共线，（不与重合）为上顶点，则（     ） A．的最小值为4 B．为定值 C．存在点，使得 D． 【变式训练1】已知椭圆 的左右焦点为．直线与椭圆相交于两点， 若， 且， 则椭圆的离心率为 ． 【变式训练2】已知，是椭圆C的两个焦点，过且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，且，则椭圆C的标准方程为（     ） A． B． C． D． 类型五、离心率 例．设椭圆的左､右焦点分别为，直线交椭圆于点，，若的周长的最大值为16，则的离心率为（     ） A． B． C． D． 【变式训练1】已知椭圆上存在点，使得，其中是椭圆的两个焦点，则椭圆的离心率的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式训练2】P是椭圆C：（）上一点，、是的两个焦点，，点在的平分线上，为原点，，且．则的离心率为（     ） A． B． C． D． 【变式训练3】已知椭圆的左､右焦点分别为为上一点，且，若，的外接圆面积是其内切圆面积的25倍，则椭圆的离心率 ． 类型六、与其他章节融合 例．已知O为坐标原点A，B，C为椭圆E：上三点，且，，直线BC与x轴交于点D，若，则E的离心率为（     ） A． B． C． D． 【变式训练1】（多选）已知椭圆的离心率为，左，右焦点分别为，，过且倾斜角为的直线与椭圆C交于A，B两点（点A在第一象限），P是椭圆C上任意一点，则（     ） A．a，b满足 B．的最大值为 C．存在点P，使得 D． 【变式训练2】（多选）如图是数学家Germinal Dandelin用来证明一个平面截圆锥侧面得到的截口曲线是椭圆的模型（称为“Dandelin双球”）．在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，截面分别与球，球切于点E，F（E，F是截口椭圆C的焦点）．设图中球，球的半径分别为4和1，球心距，则（     ） A．椭圆C的中心不在直线上 B． C．直线与椭圆C所在平面所成的角的正弦值为 D．椭圆C的离心率为 1．已知椭圆的左顶点为A，上顶点为B，左、右焦点分别为，，延长交椭圆E于点P．若点A到直线的距离为，的周长为16，则椭圆E的标准方程为（     ） A． B． C． D． 2．椭圆的焦点F1，F2，点P为其上的动点，当∠F1PF2为钝角时，点P横坐标的取值范围是（     ） A．（﹣，） B．（﹣，） C．（﹣，） D．（﹣，） 3．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，短轴长为2，为坐标原点，点在上且（为椭圆的半焦距），直线与交于另一个点，若，则的标准方程为（     ） A． B． C． D． 4．已知椭圆的左、右焦点分别为，，P为椭圆C在第一象限内的一点，，直线与C的另一个交点为Q，O为坐标原点，则的面积为（     ） A． B． C． D． 5．（多选）已知椭圆：的两个焦点分别为，，是C上任意一点，则（     ） A．的离心率为 B．的周长为12 C．的最小值为3 D．的最大值为16 6．（多选）已知椭圆上有一点，､分别为其左右焦点，，的面积为，则下列说法正确的是（     ） A．若，则； B．若，则满足题意的点有个； C．若是钝角三角形，则； D．椭圆的内接矩形的周长的最小值为. 7．设,分别是椭圆的左､右焦点，过点的直线交椭圆于两点，，若，则椭圆的离心率为___________. 8．已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上不与顶点重合的任意一点，I为的内心，记直线的斜率分别为，若，则椭圆E的离心率为 ． 9．已知椭圆（a＞b＞0）的焦点为F1，F2，如果椭圆C上存在一点P，使得，且PF1F2的面积等于6，则实数b的值为____，实数a的取值范围为________． 10．已知，是椭圆的两个焦点，且椭圆上存在一点，使得，若点，分别是圆D：和椭圆C上的动点，则当椭圆的离心率取得最小值时，的最大值是___________． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 椭圆的标准方程与性质六种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、椭圆的定义…………………………………………………………………2 类型二、椭圆标准方程中的参数 3 类型三、焦点三角形 5 类型四、对称性 8 类型五、离心率 10 类型六、与其他章节融合…………………………………………………………………13 压轴能力测评（10题） 17 1. 椭圆的定义 （1）平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距． （2）集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0. ①当2a>|F1F2|时，M点的轨迹为椭圆； ②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹为线段F1F2； ③当2a<|F1F2|时，M点的轨迹不存在． 容易忽视圆锥曲线定义的限制条件，在椭圆的定义中，对常数加了一个条件，即常数大于。这种规定是为了避免出现两种特殊情况——轨迹为一条线段或无轨迹。 2.椭圆标准方程中的参数 确定椭圆的标准方程包括“定位”与“定量”两个方面，“定位”是指确定椭圆与坐标系的相对位置，在中心为原点的前提下，确定焦点在哪个坐标轴上，以判断方程的形式，若情况不明，应对参数进行讨论，“定量”则是指确定a2、b2的值，常用待定系数法求解。 3.焦点三角形 利用定义求焦点三角形的周长和面积．解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义、正弦定理或余弦定理，其中|PF1|＋|PF2|＝2a两边平方是常用技巧； 常见结论：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点F1，F2构成的△PF1F2叫做焦点三角形． 若r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆＋＝1(a＞b＞0)中： ①当r1＝r2，即点P为短轴端点时，θ最大； ②S＝|PF1||PF2|sin θ＝c|y0|，当|y0|＝b，即点P为短轴端点时，S取得最大值，最大值为bc； ③△PF1F2的周长为2(a＋c)． 4.对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 过椭圆中心的直线与椭圆相交的两点坐标互为相反数；平行于x轴的直线与椭圆相交的两点横坐标互为相反数，纵坐标相等；平行于y轴的直线与椭圆相交的两点纵坐标互为相反数，横坐标相等； 5. 离心率 e＝，且e∈(0,1) 6. 与其他章节融合 与三角形、不等式以及平面向量等章节融合。 类型一、椭圆的定义 例．设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（     ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】B 【解析】方法一：因为，所以， 从而，所以．故选：B. 方法二：因为，所以，由椭圆方程可知，， 所以，又，平方得： ，所以． 故选：B. 【变式训练1】已知，P是椭圆上的任意一点，则的最大值为 . 【答案】 【解析】由已知可得为椭圆的焦点， 根据椭圆定义， 所以， 当且仅当时等号成立， 故的最大值为. 故答案为：25 【变式训练2】设分别是椭圆的左，右焦点，过的直线交椭圆于两点，则的最大值为（     ） A． B． C． D．6 【答案】B 【分析】根据椭圆定义可知周长为定值4a，从而可得当最小时，最大，再根据椭圆焦点弦最小为通径即可求解． 【详解】由椭圆的定义知 ∴的周长为， ∴当最小时，最大． 当轴，即AB为通径时，最小，此时， ∴的最大值为． 故选：B． 类型二、椭圆标准方程中的参数 例．已知焦点在轴上的椭圆的焦距等于，则实数的值为（     ） A．或 B．或 C． D． 【答案】D 【分析】由椭圆的焦点在轴上确定，再根据即可求. 【详解】因为椭圆的焦点在轴上，所以，根据题意可得，解得. 故选：D. 【变式训练1】已知为椭圆的右焦点，过原点的直线与相交于两点，且轴，若，则的长轴长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的对称性可知，就是到椭圆左焦点的距离；再根据椭圆的定义和“焦点三角形”求的值. 【详解】设，如图，记为的左焦点，连接， 则由椭圆的对称性可知，由，设，则. 又轴，所以，即， 所以，解得. 所以的长轴长为. 故选：B 【变式训练2】设为椭圆的焦点，若在椭圆上存在点，满足，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由椭圆的性质知：当在椭圆左右顶点时最大， ∴椭圆上存在一点使，只需在椭圆左右顶点时， 此时，，即， 又， ∴，解得， 又，∴. 故选：A. 类型三、焦点三角形 例．设O为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点 P在C上，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】方法一：根据焦点三角形面积公式求出的面积，即可得到点的坐标，从而得出的值； 方法二：利用椭圆的定义以及余弦定理求出，再结合中线的向量公式以及数量积即可求出； 方法三：利用椭圆的定义以及余弦定理求出，即可根据中线定理求出． 【详解】方法一：设，所以， 由，解得：， 由椭圆方程可知，， 所以，，解得：， 即，因此． 故选：B． 方法二：因为①，， 即②，联立①②， 解得：， 而，所以， 即． 故选：B． 方法三：因为①，， 即②，联立①②，解得：， 由中线定理可知，，易知，解得：． 故选：B． 【变式训练1】已知椭圆C：的左､右焦点分别是，，为椭圆C上一点，则下列结论不正确的是（     ） A．的周长为6 B．的面积为 C．的内切圆的半径为 D．的外接圆的直径为 【答案】D 【分析】根据焦点三角形的性质即可求解AB，根据等面积法即可求解C，根据面积公式以及正弦定理及可求解D. 【详解】由题意知，，，， 由椭圆的定义知，，， ∴的周长为，即A正确； 将代入椭圆方程得，解得， ∴的面积为，即B正确； 设的内切圆的半径为r，则， 即，∴，即C正确； 不妨取，则，， ∴的面积为， 即，∴， 由正弦定理知，的外接圆的直径，即D错误， 故选:D.    【变式训练2】（多选）椭圆的标准方程为为椭圆的左、右焦点，点．的内切圆圆心为，与分别相切于点，则（     ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】椭圆：，则，所以， 又，所以点再椭圆上， 连接，    则，故A不正确； 由椭圆的定义可得， 又的内切圆圆心为，所以内切圆半径， 由于， 所以， 故，故C正确； 又， 所以 则，所以，故D正确； 又，所以， 又，所以，即，故B正确. 故选：BCD. 类型四、对称性 例．（多选）已知为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为两点都在上，，三点共线，（不与重合）为上顶点，则（     ） A．的最小值为4 B．为定值 C．存在点，使得 D． 【答案】BCD 【分析】求出可判断A；由椭圆的对称性可判断B；因为，所以以为直径的圆与椭圆有交点可判断C；求出可判断D. 【详解】对于A，由椭圆的方程可知， 所以焦点，设，则，， 因为在椭圆上，所以， ， 即，A错误； 对于B，由椭圆的对称性可知，，可得B正确； 对于C，因为，所以以为直径的圆与椭圆有交点，则存在点， 使得，故C正确； 对于D，设，则， 则， 故D正确． 故选:BCD． 【变式训练1】已知椭圆 的左右焦点为．直线与椭圆相交于两点， 若， 且， 则椭圆的离心率为 ． 【答案】 【详解】 由椭圆的对称性可得四边形为平行四边形，则， 由，得， 因为，所以， 又，所以， 在中，由余弦定理得， 即， 所以， 即椭圆的离心率. 故答案为：. 【变式训练2】已知，是椭圆C的两个焦点，过且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，且，则椭圆C的标准方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用椭圆的对称性、勾股定理、椭圆的定义求得，再求得后可得标准方程． 【详解】由对称性，又，则， 所以，，又，则， 椭圆标准方程为． 故选：B． 类型五、离心率 例．设椭圆的左､右焦点分别为，直线交椭圆于点，，若的周长的最大值为16，则的离心率为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意，的周长等于， 而，当且仅当三点共线时取等号， 则， 因此当直线过点时，的周长取得最大值，即，解得， 所以的离心率， 故选：C 【变式训练1】已知椭圆上存在点，使得，其中是椭圆的两个焦点，则椭圆的离心率的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用椭圆的定义求出，再利用线段和差关系建立不等式求解即得. 【详解】点在椭圆上，是椭圆的两个焦点，令半焦距为c， 由及，得， 显然，当且仅当点共线，且在线段上时取等号， 因此，即，又，则， 所以椭圆的离心率的取值范围是. 故选：A 【变式训练2】P是椭圆C：（）上一点，、是的两个焦点，，点在的平分线上，为原点，，且．则的离心率为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，设，，延长交于A， 由题意知，O为的中点，故为中点， 又，即，则， 又由，则是等腰直角三角形， 故有，化简得，即， 代入得， 即，由所以， 所以，. 故选：C. 【变式训练3】已知椭圆的左､右焦点分别为为上一点，且，若，的外接圆面积是其内切圆面积的25倍，则椭圆的离心率 ． 【答案】 【详解】 根据已知条件有，有正弦定理面积公式有： ，又， 所以， 设的外接圆半径为，内切圆半径为， 因为为椭圆上一点，则，又， 以的三边为底，内切圆半径为高的三个三角形面积和等于面积， 所以，解得， 由正弦定理有：，解得， 又的外接圆面积是其内切圆面积的25倍，即，即， 所以，即， 即，两边同除以，得，又，解得. 故答案为： 类型六、与其他章节融合 例．已知O为坐标原点A，B，C为椭圆E：上三点，且，，直线BC与x轴交于点D，若，则E的离心率为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】取BC的中点M，设，，，，则． ∵A，C在椭圆E上，∴，两式相减，得， 即， ∴． ∵，∴，连接OM，则， ∴，∴，∴． ∵，∴，又，， ∴，得． ∴，∴，即， ∴E的离心率. 故选：D． 【变式训练1】（多选）已知椭圆的离心率为，左，右焦点分别为，，过且倾斜角为的直线与椭圆C交于A，B两点（点A在第一象限），P是椭圆C上任意一点，则（     ） A．a，b满足 B．的最大值为 C．存在点P，使得 D． 【答案】ABD 【分析】A选项，根据离心率得到；B选项，设，，故，计算出；C选项，由椭圆定义及余弦定理，基本不等式得到点P在短轴端点时，最大，且此时，故C错；D选项，法一：设出直线方程，联立椭圆方程，求出，得到结论；法二：利用椭圆的第二定义进行求解. 【详解】A选项，因为C的离心率，所以，，解得，故A对； B选项，由题意得，设，则，， 因为，，所以，， 则， 故B对； C选项，设，，，， 则 ， 当且仅当时，等号成立， 由于在上单调递减， 当点P在短轴端点时，最大，且此时， 故此时，故C错； D选项，法一：直线方程为，即， 与椭圆方程联立得， 因为，所以， ，故，故D对. 法二：据椭圆第二定义易知：， 其中， 即， 解得，同理可得. 所以成立，故D对. 故选：ABD 【变式训练2】（多选）如图是数学家Germinal Dandelin用来证明一个平面截圆锥侧面得到的截口曲线是椭圆的模型（称为“Dandelin双球”）．在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，截面分别与球，球切于点E，F（E，F是截口椭圆C的焦点）．设图中球，球的半径分别为4和1，球心距，则（     ） A．椭圆C的中心不在直线上 B． C．直线与椭圆C所在平面所成的角的正弦值为 D．椭圆C的离心率为 【答案】ACD 【详解】依题意，截面椭圆的长轴与圆锥的轴相交，椭圆长轴所在直线与圆锥的轴确定的平面截此组合体， 得圆锥的轴截面及球，球的截面大圆，如图， 点分别为圆与圆锥轴截面等腰三角形一腰相切的切点，线段是椭圆长轴， 可知椭圆C的中心（即线段的中点）不在直线上，故A正确； 椭圆长轴长， 过作于D，连，显然四边形为矩形， 又， 则， 过作交延长线于C，显然四边形为矩形， 椭圆焦距，故B错误； 所以直线与椭圆C所在平面所成的角的正弦值为，故C正确； 所以椭圆的离心率，故D正确； 故选：ACD. 1．已知椭圆的左顶点为A，上顶点为B，左、右焦点分别为，，延长交椭圆E于点P．若点A到直线的距离为，的周长为16，则椭圆E的标准方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出直线的方程，由点到直线的距离可得，再由的周长为16可得，解方程可求出，即可得出答案. 【详解】由题意，得，，，则直线的方程为， 所以点A到直线的距离①． 由的周长为16，得，即a+c=8②， 联立①②，解得③． 因为，所以④． 联立②④，解得a=6，c=2，所以， 故椭圆E的标准方程为是. 故选：B． 2．椭圆的焦点F1，F2，点P为其上的动点，当∠F1PF2为钝角时，点P横坐标的取值范围是（     ） A．（﹣，） B．（﹣，） C．（﹣，） D．（﹣，） 【答案】C 【分析】设P（x，y），根据椭圆方程求得两焦点坐标，根据∠F1PF2是钝角推断出PF12+PF22＜F1F22代入P坐标求得x和y的不等式关系，求得x的范围． 【详解】解：设P（x，y），由椭圆方程得椭圆焦点坐标为为F1（﹣，0），F2（，0）， 且∠F1PF2是钝角⇔⇔（x+）2+y2+（x﹣）2+y2＜20 ⇔x2+5+y2＜10⇔x2+4（1﹣）＜5⇔x2＜．所以． 故选：C． 3．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，短轴长为2，为坐标原点，点在上且（为椭圆的半焦距），直线与交于另一个点，若，则的标准方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由已知可得三角形是以点P为直角顶点的三角形，设出，根据椭圆的定义求出m，再根据三角形为等腰直角三角形即可求解. 【详解】由题意知，所以点，，在以为圆心，为直径的圆上，连接，则.设，由于，所以，， 根据椭圆的定义可知，，所以， 所以，则.又，所以为等腰直角三角形，可得. 由题意知，又，所以，所以的标准方程为， 故选：A. 4．已知椭圆的左、右焦点分别为，，P为椭圆C在第一象限内的一点，，直线与C的另一个交点为Q，O为坐标原点，则的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，，在中，由余弦定理结合椭圆定义可得，根据面积相等，即可得P点纵坐标，进而得P点坐标，根据点坐标即可得直线方程，与椭圆联立可得点纵坐标，进而求得三角形面积. 【详解】解：因为，所以， 设，，在中， 由余弦定理得， 即，所以， 根据椭圆定义有：，所以， 所以， 因为， 因为P在第一象限，所以，代入椭圆中，得， 因为，所以， 所以直线， 联立，可得 ， 显然，则，因为，所以， 所以 ． 故选：C 5．（多选）已知椭圆：的两个焦点分别为，，是C上任意一点，则（     ） A．的离心率为 B．的周长为12 C．的最小值为3 D．的最大值为16 【答案】BD 【分析】首先分析题意，利用椭圆性质进行逐个求解，直接求出离心率判断A，利益椭圆的定义求出焦点三角形周长判断B，举反例判断C，利用基本不等式求最大值判断D即可. 【详解】由椭圆得 则所以，故A错误; 易知的周长为故B正确； 当在椭圆长轴的一个端点时，取得最小值，最小值为，故C错误； 由基本不等式得，当且仅当时取等， 则取得最大值16，故D正确. 故选：BD. 6．（多选）已知椭圆上有一点，､分别为其左右焦点，，的面积为，则下列说法正确的是（     ） A．若，则； B．若，则满足题意的点有个； C．若是钝角三角形，则； D．椭圆的内接矩形的周长的最小值为. 【答案】ABC 【分析】对于A，利用焦点三角形的面积公式可求解，对于B，利用三角形的面积公式求出三角形的高与比较即可判断，对于C，三角形是钝角三角形，求出三角形是直角三角形的面积，进而可求出范围，对于D，利用椭圆的参数方程以及三角函数的性质求出即可 【详解】由椭圆可得，则， 对于A，设，，则，由此可得，所以的面积为 所以，所以A正确， 对于B，因为，则，所以由椭圆的对称性可知满足题意的点有个，所以B正确，对于C，因为是钝角三角形，所以中有一个角大于，当时，设，则，因为，所以解得，所以，所以是钝角三角形时，有，所以C正确， 对于D，令，，则椭圆内接矩形的周长为 （其中且满足），由得，所以椭圆内接矩形的周长的范围为，即，所以D错误， 故选：ABC 7．设,分别是椭圆的左､右焦点，过点的直线交椭圆于两点，，若，则椭圆的离心率为___________. 【答案】 【分析】求椭圆的离心率，要列出关于的等量关系式，设，根据椭圆的定义以及，可以表示出三角形各边的长度，通过余弦定理得到各边关于的表达式，根据几何关系可以列出关于的等量关系式，从而求出离心率 【详解】设，则，，，. ，在中，由余弦定理得，， ，化简可得，而，故， ，，，，是等腰直角三角形， ，椭圆的离心率 ， 故答案为： 8．已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上不与顶点重合的任意一点，I为的内心，记直线的斜率分别为，若，则椭圆E的离心率为 ． 【答案】/ 【详解】设，设圆与轴相切于点M，N，T， 所以， 所以， 即，所以． 由椭圆的第二定义可知， 所以，所以， 由等面积法得到， 所以． 因为，所以，所以，即． 故答案为： 9．已知椭圆（a＞b＞0）的焦点为F1，F2，如果椭圆C上存在一点P，使得，且PF1F2的面积等于6，则实数b的值为____，实数a的取值范围为________． 【答案】 [2，+∞） 【分析】根据椭圆的定义及题意列方程，转化求解b；再由向量等式得x2+y2＝c2，结合点P在椭圆上可得x2＝（c2﹣b2），即c2≥b2，可得a2＝b2+c2≥2b2，然后求解a的范围． 【详解】解：由椭圆的定义可知：|PF1|+|PF2|＝2a， 又，PF1F2的面积等于6，∴|PF1||PF2|＝6，即|PF1||PF2|＝12， 由（|PF1|+|PF2|）2＝4a2，|PF1|2+|PF2|2＝4c2，可得4c2﹣4a2＝﹣24，得， 因此，∴b＝．设，由，可得： x2+y2＝c2，① 而椭圆C：，② 由①②得x2＝（c2﹣b2），∴c2≥b2，从而a2＝b2+c2≥2b2＝12， 故（舍去），或a≥2，∴a的取值范围为[2，+∞）． 故答案为：；[2，+∞）． 10．已知，是椭圆的两个焦点，且椭圆上存在一点，使得，若点，分别是圆D：和椭圆C上的动点，则当椭圆的离心率取得最小值时，的最大值是___________． 【答案】 【分析】根据题中条件，得到的最大值不小于即可，由余弦定理，结合基本不等式，得到点为短轴的顶点时，最大；不妨设点为短轴的上顶点，记，得出离心率的最小值，连接，得到，根据椭圆的定义，结合三角形的性质，求出的最大值，即可得出结果. 【详解】若想满足椭圆上存在一点，使得，只需的最大值不小于即可， 由余弦定理，可得 ，当且仅当 ， 即点为短轴的顶点时，的余弦值最小，即最大； 如图，不妨设点为短轴的上顶点，记，则 ， 于是离心率， 因此当椭圆的离心率取得最小值时，，则椭圆 ； 连接，根据圆的性质可得:， 所以只需研究的最大值即可；连接，，， 当且仅当，，三点共线（点在线段的延长线上）时，不等式取得等号， 所以的最大值为 ，因此的最大值是. 故答案为：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$