精品解析：福建省龙岩市第二中学2023-2024学年高三上学期开学考数学试题

龙岩二中2023～2024学年第一学期高三开学考 数学试题 命题人、审题人：高三数学备课组 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，则“”是“”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 函数(且)的图像恒过定点,则点的坐标是( ) A. B. C. D. 4. 已知，则函数的图像不可能是（ ） A. B. C. D. 5. 若函数是R上的增函数，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 设函数,则使成立的的取值范围是 A. B. C. D. 7. 函数在内存在极值点，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 8. 已知函数，当时，函数恰有六个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分．有选错的0分．） 9. 下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是　　 A. B. C. D. 10. 已知，，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（ ） A. 的图象关于对称 B. 的图象关于对称 C. D. 12. 已知函数，若，则可取（ ） A. 1 B. 2 C. D. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 函数，若，则___________ 14. 若函数的定义域是，则函数的定义域为_________． 15. 已知函数，，，若，都有，则实数m的取值范围是____________. 16. 已知正实数a，b满足，则的最小值为__________． 四、解答题：本题共8小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 设函数的定义域为，集合 . （1）求集合； （2）若：，：，且是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 18. 已知函数． （1）若，试求的最小值； （2）对于任意的，不等式成立，试求的取值范围． 19. 已知 ，其中为常数 （1）当 时，求的值； （2）当时，关于的不等式恒成立，试求的取值范围； 20. 如图1，在中，，，，是的中点，在上，.沿着将折起，得到几何体，如图2 （1）证明：平面平面； （2）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值. 21. 为落实立德树人根本任务，坚持五育并举全面推进素质教育，某学校举行了乒乓球比赛，其中参加男子乒乓球决赛的12名队员来自3个不同校区，三个校区的队员人数分别是3，4，5.本次决赛的比赛赛制采取单循环方式，即每名队员进行11场比赛（每场比赛都采取5局3胜制），最后根据积分选出最后的冠军.积分规则如下：比赛中以或取胜的队员积3分，失败的队员积0分；而在比赛中以取胜的队员积2分，失败的队员的队员积1分.已知第10轮张三对抗李四，设每局比赛张三取胜的概率均为. （1）比赛结束后冠亚军(没有并列)恰好来自不同校区的概率是多少？ （2）第10轮比赛中，记张三取胜的概率为. ①求出的最大值点； ②若以作为的值，这轮比赛张三所得积分为，求的分布列及期望. 22. 已知函数，，，令. （1）讨论函数的单调性； （2）若关于x的不等式恒成立，求整数m的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 龙岩二中2023～2024学年第一学期高三开学考 数学试题 命题人、审题人：高三数学备课组 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解对数不等式和一元二次不等式，再由集合的交集运算即可得出结果. 【详解】， 所以 故选：D 2. 设，则“”是“”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】 分别求出两不等式的解集，根据两解集的包含关系确定. 【详解】化简不等式，可知 推不出； 由能推出， 故“”是“”的必要不充分条件， 故选B． 【点睛】本题考查充分必要条件，解题关键是化简不等式，由集合的关系来判断条件． 3. 函数(且)的图像恒过定点,则点的坐标是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】令对数的真数等于,求得 的值,可得它的图像恒过定点的坐标,即可求得答案. 【详解】 函数,(且). 令,解得 当, 函数(且)的图像恒过定点. 故选:A． 【点睛】本题考查了对数函数的图像经过定点问题,解题关键是掌握对数函数定义和函数过定点的解法,考查了分析能力和计算能力,属于基础题． 4. 已知，则函数的图像不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据含参函数的解析式和函数特殊值判断函数可能的图像. 【详解】根据可知，所以当时，，即，故选项A错误，而当为其他值时，B,C,D均有可能出现. 故选：A 5. 若函数是R上的增函数，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分段函数的单调性即可求解. 【详解】函数是R上的增函数， ，解得. 故选：D. 6. 设函数,则使成立的的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：，定义域为，∵，∴函数为偶函数，当时，函数单调递增，根据偶函数性质可知：得成立，∴，∴，∴的范围为故答案为A. 考点：抽象函数的不等式. 【思路点晴】本题考查了偶函数的性质和利用偶函数图象的特点解决实际问题，属于基础题型，应牢记．根据函数的表达式可知函数为偶函数，根据初等函数的性质判断函数在大于零的单调性为递增，根据偶函数关于原点对称可知，距离原点越远的点，函数值越大，把可转化为，解绝对值不等式即可． 7. 函数在内存在极值点，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】转化为导数在内存在变号零点，参变分离，转化为函数值域问题求解即可. 【详解】由题意知：在内存在变号零点，即在内有解，则， 易得在内单调递减，值域为，故. 故选：A. 8. 已知函数，当时，函数恰有六个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出函数的表达式，再根据函数的表达式画出图象，最后根据数形结合思想求解. 【详解】当时，； 当时，. 当时，， 可得， 当时，， 可得， 当时，， 可得. 画出函数在上的图象如下图所示： 由上图，， 函数恰有六个零点，即函数与函数有6个交点， 从上图观察可知在直线与直线之间即可满足题意， 此时，. 故选：B 【点睛】求解本题的关键，一是求出函数的表达式，二是数形结合思想的运用. 二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分．有选错的0分．） 9. 下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是　　 A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】运用函数的奇偶性和单调性的定义、常见函数的奇偶性和单调性，即可得到结论． 【详解】解：对于A，是偶函数，不满足题意； 对于B，，则，所以是偶函数，不满足题意； 对于C，，则，即为奇函数，，所以在区间上单调递增，满足题意； 对于D，，则，即为奇函数，且与在定义域上单调递增，所以在上单调递增，显然在区间上单调递增，满足题意． 故选：CD． 10. 已知，，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据基本不等式进行逐一判断即可. 【详解】A：因为，，所以，当且仅当时取等号， 故本选项正确； B：因为，，所以有，当且仅当时取等号，故本选项正确； C：因为，当且仅当时取等号，所以本选项不正确； D：因为，，所以有，当且仅当时取等号，所以本选项不正确， 故选：AB 11. 已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（ ） A. 的图象关于对称 B. 的图象关于对称 C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据偶函数与奇函数得到对称，并得到周期，结合以上信息即可得到. 【详解】为偶函数， 关于对称， 根据图像变换关于对称，故A正确； 为奇函数， 关于中心对称， 根据图像变换关于中心对称，故B错误； 由以上分析得的周期为，即，故C正确； 关于中心对称， ，， 关于对称， ，, ， 是周期为的函数， ， ， ，故D错误. 故选：AC. 12. 已知函数，若，则可取（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】由，利用同构结合在上单调递增，即可得到，则，记，求出即可判断在上的单调性，即可得出，由此即可选出答案. 【详解】因为，所以， 因为恒成立， 所以在上单调递增， 又， 因为，即， 所以， 所以， 记， 所以 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以，即 故选：CD. 【点睛】本题考查利用导数求函数的最值，属于难题，其中将变形为的结构，是解本题的关键. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 函数，若，则___________ 【答案】或 【解析】 【分析】先求出得值，得到，由此分类讨论，求得的值. 【详解】由题意，函数，可得， 若，即， 当时，可得，解得或（舍去）； 当时，可得，解得， 故答案为：或. 14. 若函数的定义域是，则函数的定义域为_________． 【答案】 【解析】 【分析】由函数y=f（x）的定义域为[，2]，知≤log2x≤2，由此能求出函数y=f（log2x）的定义域即可． 【详解】∵函数y=f（x）的定义域为[，2]， ∴≤log2x≤2， ∴≤x≤4． 故答案为： 【点睛】本题主要考查函数的定义域和对数不等式的解法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. 15. 已知函数，，，若，都有，则实数m的取值范围是____________. 【答案】 【解析】 【分析】函数，，，若，都有，等价于，再求函数，，，，的最值即可得解. 【详解】解：由，，则， 由，，则， 因为函数，，，若，都有，则， 即，即， 故答案为. 【点睛】本题考查了不等式有解与恒成立问题，重点考查了函数的最值的求法，属中档题. 16. 已知正实数a，b满足，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】化简得，，再将看成整体，利用基本不等式求解最小值即可 【详解】由有，则，当且仅当，即，时取等号. 故答案为： 四、解答题：本题共8小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 设函数的定义域为，集合 . （1）求集合； （2）若：，：，且是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1) 由定义域的定义即可求解; (2) 由是的必 要不充分条件可判断集合是集合的真子集, 分类讨论的情况即可求解. 【小问1详解】 要使得函数有意义，只需要 解得，所以集合 【小问2详解】 因为是的必要不充分条件，所以， 当时，，解得(舍去) 当时，解得， 综上可知，实数的取值范围是 18. 已知函数． （1）若，试求的最小值； （2）对于任意的，不等式成立，试求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意得，然后利用基本不等式可求得结果， （2）将问题转化为在上恒成立，令，则只要即可，从而可求出的取值范围 【小问1详解】 依题意得， 因为，所以， 当且仅当，即时取等号， 所以，当且仅当，即时取等号， 所以当时，的最小值为， 【小问2详解】 因为，所以要使对于任意的，不等式成立，只要在上恒成立， 设，则， 即，解得， 即的取值范围为 19. 已知 ，其中为常数 （1）当 时，求的值； （2）当时，关于的不等式恒成立，试求的取值范围； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据对数的运算性质代入即可求解；（2）根据对数以及指数形式的变形，可将其转化为均值不等式的形式，利用单调性即可求解最值. 【小问1详解】 得 ⇒ ⇒； 【小问2详解】 ， 令， ， 设 ，则 在上为增函数⇒时，有最小值为2， . 20. 如图1，在中，，，，是的中点，在上，.沿着将折起，得到几何体，如图2 （1）证明：平面平面； （2）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据图1可知折叠后，，由此可证平面，再根据面面垂直的判定定理，即可证明结果； （2）由题可知是二面角的平面角，易证是等边三角形，连接，根据图1中的几何关系和面面垂直的性质定理可证平面，再以为原点，，，为，，轴建系，利用空间向量法即可求出线与平面所成角. 【小问1详解】 证明：因为在图1中，沿着将折起， 所以在图2中有，， 又， 所以平面， 又因为平面， 所以平面平面； 【小问2详解】 解：由（1）知，，， 所以是二面角的平面角， 所以， 又因为， 所以是等边三角形， 连接， 在图1中，因为，， 所以， 因为是的中点， 所以， 所以是等边三角形. 取的中点，连接，， 则，， 因为平面平面，平面平面， 所以平面， 所以，，两两垂直， 以为原点，，，为，，轴建系，如图所示. ，，， 所以，， 设平面的法向量为， 则即 取，得平面的一个法向量为， 所以. 设直线与平面所成角为，则. 21. 为落实立德树人根本任务，坚持五育并举全面推进素质教育，某学校举行了乒乓球比赛，其中参加男子乒乓球决赛的12名队员来自3个不同校区，三个校区的队员人数分别是3，4，5.本次决赛的比赛赛制采取单循环方式，即每名队员进行11场比赛（每场比赛都采取5局3胜制），最后根据积分选出最后的冠军.积分规则如下：比赛中以或取胜的队员积3分，失败的队员积0分；而在比赛中以取胜的队员积2分，失败的队员的队员积1分.已知第10轮张三对抗李四，设每局比赛张三取胜的概率均为. （1）比赛结束后冠亚军(没有并列)恰好来自不同校区的概率是多少？ （2）第10轮比赛中，记张三取胜的概率为. ①求出的最大值点； ②若以作为的值，这轮比赛张三所得积分为，求的分布列及期望. 【答案】（1） （2）①； ②的分布列为 0 1 2 3 数学期望：. 【解析】 【分析】（1）利用互斥事件的概率公式即得； （2）由题可求，然后利用导数可求最值，再利用条件可求随机变量的分布列，即得. 【小问1详解】 比赛结束后冠亚军恰好来自不同校区的概率是； 【小问2详解】 ①由题可知， ， 令，得， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减. 所以的最大值点， ②的可能取值为0，1，2，3. ； ； ；. 所以的分布列为 0 1 2 3 的期望为. 22. 已知函数，，，令. （1）讨论函数的单调性； （2）若关于x的不等式恒成立，求整数m的最小值. 【答案】（1）当时，的增区间为，无减区间； 当时，的增区间为，减区间为 （2）2 【解析】 【分析】（1）求导，分与分类讨论，然后利用导函数的正负来确定单调性即可； （2）构造函数，利用导数求函数的最大值，然后将恒成立问题转化为最值问题即可； 【小问1详解】 因为，所以， 当时，，所以在区间上单调递增； 当时，令，即，又，解得， 令，即，又，解得， 综上，当时，的增区间为，无减区间； 当时，的增区间为，减区间为 【小问2详解】 令， 所以． 当时，因为，所以． 所以在上是单调递增函数， 又因为， 所以关于的不等式不能恒成立， 即关于的不等式不能恒成立． 当时，． 令，得， 所以当时，；当时，． 因此函数在是增函数，在是减函数． 故函数的最大值为． 令，，当时， 所以在上是减函数， 又因为，， 所以当时，，所以恒成立，即恒成立 所以整数的最小值为2． 【点睛】关键点点睛：第（1）小问的关键是分与进行分类讨论，第（2）的关键是通过移项构造函数，把恒成立问题转化为求函数的最值问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $