四川省2025届高三数学高考备考应对策略课件

教学有方，备考不慌 ——2025年四川高考备考应对策略 一、新课标二卷试题及解法浏览 考复数模长运算，概念题，容易题。 预测2025考 考命题相关知识运算，数学符号理解判断，容易题。2025有可能考集合 试题及解法浏览 试题及解法浏览 考三棱台体积和线面角公式和处理，中档题。预测考与球有关 试题及解法浏览 考三角函数，考学生对同周期函数性质的理解，数形结合处理更易操作，容易题。 考抛物线和圆综合，考察学生等价转化，数形结合、计算等关键能力，属于中档偏难题。 试题及解法浏览 试题及解法浏览 此题以三次函数为背景考零点极值对称性等知识，考察学生逻辑推理，数形结合等关键能力，属于中偏难。 试题及解法浏览 考等差数列通项公式前n项和，常规题、容易题。 以三角函数变化为载体考查弦切变换，单角与和角转化求解，属常规题、中档题。 试题及解法浏览 考察学生排列组合知识，考察学生的推理能力，分类讨论意识，考思维，属难题。 试题及解法浏览 试题及解法浏览 利用正、余弦定理、两角和公式、辅助角公式解三角形，属常规题、容易题。 导数中很常规问题，题目比较常规，考查切线、极值、含参数讨论，对学生的运算能力和观察能力有一定的要求。属于中档题 试题及解法浏览 考察空间位置关系证明，计算问题。第一问为计算式证明，第二问可选择坐标向量法，，对学生空间想象能力、逻辑推理能力、运算能力都有一定的要求，属中档偏难题目。 试题及解法浏览 试题及解法浏览 ， ， ， ， 为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ 试题及解法浏览 试题及解法浏览 本题综合概率多方面知识，既关注特殊，又关注一般，对学生推理能力和字母运算能力提出了较高要求，属于难题。 试题及解法浏览 试题及解法浏览 此题以双曲线和数列结合考查学生推理能力，数形结合能力，计算能力，难度大，核心能力要求高，要完整做出，对数学思维品质有很高要求 试题及解法浏览 试题及解法浏览 试题及解法浏览 试题及解法浏览 此题创新性、探究性层次性较强，考察的知识看似比较简单，但对学生抽象概括、逻辑推理等思维要求较高。反映了“考能力、考思维、考素养”的命题特点，此题作为压轴题，很好地承担了选拔功能，特别是第三问对于大多学生和老师可以说难度极大。 试题及解法浏览 题号 新I卷 新Ⅱ卷 难易 1 集合运算 复数运算 易 2 复数运算 简易逻辑 易 3 平面向量 平面向量 易 4 三角函数（公式，给值求值） 概率统计（统计） 易 5 立体几何（旋转体表面积、体积） 解析几何（方程） 易 6 函数参数范围（分段函数单调性） 函数参数取值 中 7 三角函数（图像） 立体几何（线面角） 中 8 抽象函数（递推关系） 函数最值 中 9 正态分布 三角函数（图像与性质） 中 10 三次函数（性质） 解析几何（圆、抛物线） 中 11 解析几何（创新） 三次函数（性质） 难 考点排布 题号 新I卷 新Ⅱ卷 难易 12 双曲线离心率 数列求和（等差） 易 13 切线方程（两曲线公切线） 三角函数（公式） 中 14 统计概率（概率） 排列组合 难 15 解三角形 解三角形 易 16 解析几何（直线与椭圆） 导数（切线、最值） 中 17 立体几何（证平行、求二面角大小） 立体几何 中 18 函数与导数（最值、对称、范围） 概率统计与不等式综合 难 19 新定义数列 解析几何与数列结合 难 考点排布 易、中、难试题分值：68：47：45，后两道题第三问难度大，综合考虑难度系数约为5：3：2。 2023与2024新课标2卷考点排布对比 改变相对固化的试题形式。----------《深化新时代教育评价改革总体方案》 考点排布 调减试题数量，给学生充足的思考时间。----------《中国高考评价体系》 分值变化 试题特点1：依托高考评价体系 2、创新性 试题特点1：依托高考评价体系 2、创新性 试题特点：依托高考评价体系 反刷题、反套路。 试题特点1：依托高考评价体系 3、综合性与应用性 试题特点1：依托高考评价体系 概率与不等式综合 解析几何与数列综合 试题特点1：依托高考评价体系 人教A版第一册255页 试题特点2：紧贴课本从试题看得出，命题者是重视教材的 人教A版第一册237页 试题特点2：紧贴课本 人教A版选修一108页 试题特点2：紧贴课本 人教A版选修一115页 试题特点2：紧贴课本 人教A版选择性必修二104页 试题特点2：紧贴课本 人教A版第一册87页 试题特点2：紧贴课本 试题特点2：紧贴课本（根在教材） 试题特点3：入手宽，起点低，落点高 试题特点3：入手宽，起点低，落点高 + 试题特点3：入手宽，起点低，落点高 试题特点3：入手宽，起点低，落点高 试题特点3：入手宽，起点低，落点高 试题特点4：考理解 对二项分布性质的理解。 对单调性的理解。 对集合语言的理解。 试题特点4：考理解 考直观感知能力 试题特点5：考能力 考等价转化能力 试题特点5：考能力 考归纳推理能力 考运算能力，运算是种能力数学离开运算寸步难行 试题特点5：考能力 试题特点5：考思维 多想少算 试题特点5：考思维 观察单调性，观察特殊点，观察函数值，特殊根，这个根往往与参数无关，多想少算。 由因导果，执果索因，两边夹击，大胆猜想，小心求证，从特殊到一般……多想少算。 试题特点5：考思维 观点一：许多考生表示，今年的数学试卷难度超出了他们的预期，试题的灵活性和深度都让他们倍感压力。特别是那些平时在数学上表现中等的考生，更是感受到了前所未有的压力和挑战。他们中的许多人，在选择题和填空题部分就遇到了不少困难，而到了大题部分，更是感到无从下手。（主要是一卷感受） 观点二：总体感觉还可以，没有想象的那么难，猛的一看似乎很难，但其实静下心来也跟平常做的题差不多，主要是对创新和解题思路提出了更高的要求，就是时间上有点紧张，还好都答题完了，就是没时间检查。 （二卷感受） 试题评价：2024年考生感受 试题评价：官方评价 试题评价：官方评价 2024年数学新课标卷调减了题量，同时增加了解答题的总分值，优化了多选题的赋分方式，强化了考查思维过程和思维能力的功能。试卷题量减少能够增加学生的思考时间，学生不必过多地关注做题的进度和速度，可以更专注、更深入地思考，更从容地试错，使思维能力强的学生能够展示素养、发挥潜力、脱颖而出，发挥高考的选拔功能，引导数学教学关注对学生核心素养的培养。 新课标卷打破以往的命题模式，灵活、科学地确定试题的内容和顺序。机动调整试题顺序有助于打破学生机械应试的套路，打破教学中僵化、刻板的训练模式，防止猜题押题，同时测试学生的应变能力和解决各种难度问题的能力。引导教学培养学生全面掌握主干知识、提升基本能力，灵活地整合知识解决问题。 试卷聚焦主干知识内容和重要原理、方法，着重考查数学学科核心素养，引导中学教学遵循教育规律，突出数学教学本质，回归课标，重视教材，重视概念教学，夯实学生学习基础，给学生预留思考和深度学习的空间。避免超纲学、超量学，助力减轻学生学业负担。 试题评价：官方评价 数学作为一门重要的基础学科，也是唯一一门具有理科性质的统考科目，在服务人才选拔、服务国家发展战略、助力强国建设方面承担重要责任、发挥关键作用。2024年高考数学重点考查学生逻辑推理、批判性思维、创新思维等关键能力，助力拔尖创新人才选拔，引导培育支撑终身发展和适应时代要求的能力。 试卷贯彻改革要求，注重整体设计，很好地处理考试时间、试卷题量、试题难度之间的关系，统筹协调试题的思维量、计算量和阅读量。优化题量设置、合理控制试题的计算量，尽量避免繁难运算，保证学生在分析问题过程中有充裕的时间进行思考，强调对思维能力的考查，适应拔尖创新人才选拔需要。 试题突出创新导向，新课标卷根据试卷结构调整后整卷题量减少的客观情况，创新能力考查策略，设计全新的试题情境、呈现方式和设问方式，加强解答题部分对基本能力的考查，提升压轴题的思维量，突出理性思维和数学探究，考查学生运用数学思维和数学方法发现问题、分析问题和解决问题的能力。 试题评价：官方评价 试题强化综合性考查，强调对原理、方法的深入理解和综合应用，考查知识之间的内在联系，引导学生重视对学科理论本质属性和相互关联的深刻理解与掌握，引导中学通过深化基础知识、基本原理方法的教学，培养学生形成完整的知识体系和网络结构。 2024年高考数学试卷立足课程标准，考查的内容依据学业质量标准和课程内容，注重考查学生对基础知识和基本技能的熟练掌握和灵活应用，强调知识的整体性和连贯性，引导教学以课程目标和核心素养为指引，避免超纲教学，注重内容的基础性和方法的普适性，避免盲目钻研套路和机械训练。 高考数学通过创新试卷结构设计和试题风格，深化基础性考查，强调对学科基础知识、基本方法的深刻理解，不考死记硬背、不出偏题怪题，引导中学把教学重点从总结解题技巧转向培养学生学科核心素养。机械刷题收益下降 今年的高考数学试卷已经非常明确地告诉我们无论是日常教学还是高考备考复习教学，“回归课标、重视教材才是王道”。我们应坚持这样的观点:课程标准是教材编写、课堂教学、学业评价和高考命题的依据，教材是教学的核心资源,课堂教学应以课程标准为遵循，根据学情、利用教材进行创新设计与实施。我们应追求的是:通过教学，使学生在面对新颖情境、陌生问题时能独立找到解决方法。 章建跃博士，中国教育学会中学数学教学专业委员会理事长、学术委员会主任，人民教育出版社编审，课程教材研究所研究员，《中国数学教育》杂志主编， 试题评价：专家观点 试题评价：专家观点 何小亚教授，中国数学会数学教育分会理事，全国中文核心期刊、中国科技核心期刊《数学教育学报》编委。 备考理念1：研究高考 1、研究课标 4.增强了指导性。本着为编写教材服务、为教学服务、为考试评价服务的原则，突出课程标准的可操作性，切实加强对教材编写、教学实施、考试评价的指导。课程标准通俗易懂，逻辑更清晰，原则上每个模块或主题由“内容要求”“教学提示”“学业要求”组成，大部分学科增加了教学与评价案例，同时依据学业质量标准细化评价目标，增强了对教学和评价的指导性。 【内容要求比如第一章】内容包括:集合、常用逻辑用语、相等关系与不等关系、从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式。 4.从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式.用函数理解方程和不等式是数学的基本思想方法。本单元的学习，可以帮助学生用一元二次函数认识一元二次方程和一元二次不等式。通过梳理初中数学的相关内容，理解函数、方程和不等式之间的联系，体会数学的整体性。内容包括:从函数观点看一元二次方程、从函数观点看一元二次不等式。(1)从函数观点看一元二次方程会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系。(2)从函数观点看一元二次不等式①经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义。能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集。②借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系(参见案例1)。 备考理念1：研究高考 1、研究课标（掌控内容） 函数交点 方程解 函数交点 备考理念1：研究高考 2、研究教材（构建体系，考题根在教材） 备考理念1：研究高考 (1)构建良好的知识体系 逻辑性是数学学科的一大特征，在知识梳理过程中要注意知识的来龙去脉及知识之间的逻辑关系，可以通过思维导图 或者框图构建知识体系，使学生对知识的复习结构化、体系化。 理清知识主干，互动剖析联系。教师按由根（中心问题）到干（知识主干）、由干到枝（知识联系）、有枝到果（知识要点）的思维顺序，引导学生回顾知识，构建知识网络。 作为每一章第一课时需要介绍本章知识脉络，作为每一节内容也需要细化知识的形成过程及逻辑关系。 备考理念1：研究高考 2、研究教材 ---对经典例习题变式拓展 2、研究教材 ---对经典例习题变式拓展 备考理念1：研究高考 2、研究教材- 2、研究教材- 2、研究教材---对经典例习题变式拓展 备考理念1：研究高考 2、研究教材 ---对经典例习题变式拓展 备考理念1：研究高考 2、研究教材 ---对经典例习题变式拓展 备考理念1：研究高考 2、研究教材 ---对经典例习题变式拓展 备考理念1：研究高考 2、研究教材 ---对经典例习题变式拓展 备考理念1：研究高考 第三定义 2、研究教材 ---对经典例习题变式拓展 备考理念1：研究高考 第二定义 2、研究教材 ---对经典例习题变式拓展 备考理念：研究高考 第二定义 2、研究教材 ---对经典例习题变式拓展 备考理念1：研究高考 第三定义 2、研究教材 ---对经典例习题变式拓展（类似的张角是不是也有这些性质）？ 备考理念1：研究高考 3、研究考题（把控方向） 备考理念1：研究高考 备考理念1：研究高考题 研究高考题，才能预测高考题，高考题就是最好的复习资料。认真研究历年的高考试题，就不难找出高考命题的轨迹，从而把握试题的难度。 ——南京大学段康宁教授 备考理念1：老师先研究高考 纵向来看，高考题具有很强的传承性，在传承的基础上适度创新。通过研究往年的高考真题，把握考向，揣摩命题风格（高水平的考试一定是双向博弈），提取学生需要掌握的知识，达到的能力以及思维水平，进而确定复习的目标与难度。 备考理念1：研究高考 81 备考理念2：重视基础 锻造基本功 今年7月巴黎奥运会日本乒乓混双放话说针对中国队备战了一年，决赛阶段绝对要克制中国队，摘得金牌。结果：首轮就被朝鲜队水灵灵的送走了，这事儿告诉我们什么？ 刷题不能只练压轴题，基础题一点也不能放松。 备考理念2：重视基础 锻造基本功 数学基本功：运算的功底，作图、识图、用图的功底，推理（演绎推理、合情推理）的功底，转化与划归的功底，分类讨论的功底，空间想象的功底…… 推理（归纳推理，演绎推理，合情推理）是数学的“命根子”，运算是数学的“童子功”数学运算有数字运算，字母运算和几何特质运算（解析几何几何关系想在 前，计算跟在后，立体几何很多是计算式证明），数学育人的基本途径是对学生进行系统的（逻辑）思维训练，训练的基本载体是逻辑推理和数学运算。（我们最容易忽视计算，有时候要给学生示范计算过程） 备考理念2：重视基础 锻造基本功 以往高考复习中常见的教学弊端是大量刷题，重数量轻质量，学生对知识没有融会贯通，对方法没有弄清算理，死搬硬套，解答过程繁琐。不知道方法是怎么来的，原理是什么，难以做到举一反三，触类旁通。 如解析几何问题。 弄清算理：解析几何的本质是在平面上引入平面直角坐标系，点与有序实数对对应，曲线与方程对应，通过方程解析图形（形状、位置、大小、性质），通过图形感知方程（要教导学生，几何性质在前（几何量之间转化），代数运算转化在后），解答解析几何问题便需要按照这样的思路分析。 滤清算理 简化算法 备考理念2：重视基础 锻造基本功 备考理念2：重视基础 锻造基本功 这相当于得到一个二级结论 从数的角度进行严谨的推导，再结合图形直进行观感知让学生对问题的理解更为全面，更深刻，同时也作为研究解析几何问题的一种范式。 让学生理清算理，积累经验，形成意识，遇到相关问题便会如法炮制。比如抛物线类似问题：定点问题，最值问题 备考理念：重视基础 锻造基本功 2021年全国乙卷与上面问题如出一辙。 备考理念2：重视基础 锻造基本功 优化算法：“想对算错”是学生高考失分（显性、隐形）的重要原因。究其原因，一方面是学生运算基本功不过关，另一方面是学生不注意优化算法，导致“想得少算得多”。反观复习备考，教师在引领学生进行复习备考的过程中总认为运算是学生的事，让学生反复训练是唯一出路，其实，运算也需要思维的参与，如何巧算，如何简算，如何优化算法，也是需要教师引领学生长期进行探究、尝试和感悟的（运算是思维，运算是能力应成为师生共识，教师要研究一下计算的技巧、套路）。 比如，独立检验卡方系数的计算，方差的计算每个学生都会算，但是能不能算对？多长时间能算对？怎么算的？需要复习时重点关注。 比如，解析几何问题能不能从图形的角度提取信息，从同构的角度简化计算？ 比如，函数与导数问题能不能能不能直观分析出一些信息？等等。 备考理念2：重视基础 锻造基本功 备考理念2：重视基础 锻造基本功 备考理念2：重视基础 锻造基本功 大多学生基本都是按上述解法去做的，能够完全做对需要足够大的耐心及极强的运算能力，客观来说，学生很难做下去，即使做出来，出错率也是蛮高的。那么，如何优化此类题目的解法？ 备考理念2：重视基础 锻造基本功 备考理念2：重视基础 锻造基本功 优化后的解法 备考理念2：重视基础 锻造基本功 当然，优化解法，简化算法，不是一两节课所能解决的问题，需要在教学中引领学生不断地练习、总结与感悟，强化学生这方面的意识，教师要参与计算的研究，循序渐进，逐步提升（不轻易破坏结构是对数学美的认识）。 备考理念2：重视基础 锻造基本功 备考理念3：训练思维 一题多解可以开拓学生的视野，让学生学会从不同的角度审视问题，分析问题解决问题，提高思维的灵活性，多题一解可以帮助学生建立知识之间的多元联系，看透问题的本质，培养学生思维的深度与广度。同时，在问题的解答过程中提炼通性通法与简捷解法。 1、 通过一题多解与多题一解训练思维. 解法一：利用三角函数有界性建立不等式求解 备考理念3：训练思维 解法二：利用二次方程有实根建立不等式求解 备考理念3：训练思维 解法三：利用圆锥曲线有界性建立不等式求解 备考理念3：训练思维 解法四：利用圆锥曲线有界性建立不等式求解 备考理念3：训练思维 解法五：巧用图形的几何特性建立不等式求解 备考理念3：训练思维 解法六：利用基本不等式建立不等式求解 备考理念3：训练思维 解法七：利用焦点三角形顶角最大角范围建立不等式求解 备考理念3：训练思维 解法八：利用焦点三角形面积最大值建立不等式求解 备考理念3：训练思维 5.求最小距离问题 备考理念3：训练思维 6.利用切线解答恒成立问题 备考理念3：训练思维 6.利用切线解答恒成立问题 备考理念3：训练思维 2、通过题目变式训练思维 备考理念3：训练思维 改变题目的条件或者问题，通过解答反思，让学生更加全面深刻地认识问题的本质及解答途径。 备考理念3：训练思维 备考理念3：训练思维 备考理念3：训练思维 3、通过创新性问题训练思维 高考试题的选拔功能主要体现在考生对一些创新性问题（老师没教过，学生没见过）的求解水平上，考察学生在陌生的情境下解决问题的能力，这类问题往往与学生高中所学知识关系不大，高中学生未必能做出来，没上过高中的学生未必做不出来，主要考察学生的思维。 备考理念3：训练思维 备考理念：训练思维 备考理念3：训练思维与固化思维模式 备考理念3：训练思维 备考理念3：训练思维 备考理念4：套路与反套路 在熟练套路的前提下反套路。 图1 备考理念：套路与反套路 备考理念4：套路与反套路 备考理念4：套路与反套路 备考理念5：因材施教 对于90分以下的同学    课本一定是最好的课外辅导资料！将课本知识点学懂，课后题刷透，夯实基础，提升基本解题能力。（老师们可以拿资料先和教材对比一下，我相信市面大多数资料重教材） 打好基础：重点在基础知识的扎实掌握。需要对课本内容进行全面、系统的复习，特别是基本概念、公式和定理的理解和记忆（手段可以抽背默写等）。 强化基本题型：多做基础题，掌握常见题型的解题方法（固化思维），逐步建立信心。 提升计算能力：注重计算的准确性和速度，多做练习题，熟练掌握基本计算技能。 复习笔记：整理笔记，总结每一章的重要知识点和典型例题，形成系统的知识体系。学会绘制每个版块的思维导图 寻求帮助：不懂的问题要及时向老师或同学请教，切记不要积累疑惑（老师主动）。 每一个学校学生的数学学习水平都参差不齐，每一个老师所带班级学生的数学基础都千差万别。 备考理念5：因材施教 二、90-120分的学生  巩固基础提高综合解题能力，强练习，多做中档题，训练思维与刷题准确率，向更高层次迈进。 深化理解：在掌握基础知识的基础上，进一步理解和运用知识，做到举一反三。 多角度思考：培养从不同角度思考问题的能力，增强对题目的灵活应变能力。 专题训练：针对薄弱环节进行专项训练，逐步攻克难点和疑点。（每周找时间练习） 扩展思维：尝试一些中等难度的综合题，培养解题思维和创新能力。多学习一些优秀的解题方法和思路，借鉴他人的经验。 错题集：整理错题，分析错误原因，避免重复犯错。通过错题的反思和总结，吸取教训，提高解决问题的能力，同时也要求学生对正确题分析，找共同点形成经验。有句话，只要不是高考，平时考试最不重要的就是分数，最重要的形成经验，吸取教训 强调意志力，奥运会上全红婵每天训练10几个小时，靠兴趣吗？靠意志靠对国家荣誉，学习本质是纠偏，本身就具有不舒服性 备考理念5：因材施教 三、120分以上的学生     突破难题，激发潜能！尽力去突破！突破高分瓶颈，攻克压轴题，追求卓越！ 1.注重细节，避免失误：精细化练习，注重每个步骤的正确性，避免不必要的失误。多做高质量的综合题和压轴题，培养耐心和细致的解题习惯。 2.挑战有难度题目：多做有难度题目和综合性题目，锻炼自己的思维能力和综合应用能力。 3.创新思维，提升应变能力：培养创新思维，面对新题型和开放性题目，培养灵活应变的能力。尝试不同的解题方法，提高解题的独创性和效率，多思考题目的本质。 4.模拟考试：进行模拟考试，练习时间管理和答题策略，适应考试的节奏和压力,锻炼应试能力。 5.深化理解，精益求精：深入理解各个知识点的内涵和外延，做到举一反三。 6.保持良好心态：战胜恐惧必须接近或者进入恐惧，考试中保持冷静，稳中求进，不急不躁。 备考理念4：因材施教 备考措施6：精心准备 2、合理选择。每位老师都得根据自己做带学生的实际选取适合于学生水平的专题以及题目，以将要复习的知识与方法为立足点，选取、改编、整合例习题。选择比努力更重要。 3、充分预设。备好课是上好课的前提，每一个知识点怎么理解，知识体系怎么形成，每一个问题思路怎么出来，还有什么方法……课前教师要充分做好功课。这样才能深入浅出 4、尊重学情。学生会怎么想？学生能达到怎样的水平？根据学生的实情确定教学目标，设计教学思路，规划教学方法，设定教学容量。 功夫放在备课上，技巧放在选题上，落实放在训练上，提高放在讲评上。 1、拟定目标：数学复习的总的目标是理解概念，掌握方法，训练思维，形成思想，提升素养，培植精神。具体到某一节课上通过复习要达成怎样的目标心里要想明白，比如离心率的复习，要通过师生的交流及例习题的探究促进学生理解离心率的概念，意义，算法。 5.主干知识重点讲练，突出高考“热点”问题· 非主干知识:集合与简易逻辑、复数、平面向量、不等式（熟练和基础） 主干知识:（勇气与技巧）（江苏省如皋中学 姚新国老师写了一篇文章叫新高考背景下重点板块分析与教学建议，有兴趣的老师可以网上下载） (1)三角:三角函数的图像与性质、三角恒等变换、解三角形。 (2)数列:等差、等比数列，数列求通项、求和，留意数列与其他知识交汇问题。 (3)立体几何:空间几何体的表面积、体积，点线面位置关系，用空间向量解决点线面的相关问题。 (4)解析几何:以基本性质、基本运算考査直线与圆、椭圆、双曲线、抛物线，突出直线和圆锥曲线的交点、弦长、轨迹、定值定点、最值范围等。 (5)概率与统计:概率计算、统计应用、数学期望，独立性检验和回归分析。 (6)函数与导数:函数的四大性质，函数模型的应用，应用导数知识解决函数问题是重点，经常与其他板块知识交汇融合考查。高考数学思想方法专题:函数与方程、数形结合、化归与转化、分类讨论思想方法 备考措施6：精心准备 备考措施7：课堂教学 1、把控节奏。高三复习常见的一种模式是快节奏、大容量，这种模式产生的负面效应是每个问题都蜻蜓点水，似乎每个问题都讲了，但学生却理解掌握不到位。倒不如把一道题引导学生想清楚，搞明白，触类旁通，做一道会一类。 3、引导反思。教之道在于度学之道在于悟。要给学生留足反思感悟的时间。不能为了解题而解题，题目是载体，承载着知识、方法、思想、精神，在题目解答之后引领学生反思思路是怎么出来的？用到了那些知识与方法？能不能总结出一般的解题模板，能不能进行进一步的拓展…… 2、调动学生。学生是学习的主体，没有学生的积极参与，复习的效果将大打折扣，以问题引导学生思考，注重学生讲解，一方面学生在将的过程中有一个思维加工的过程，能讲出来讲明白，对问题的理解与认识便增加了提高了一个层次；另一方面，在学生的讲解过程中，教师可以进一步发现学生的思维过程与学习水平，并以此为教学素材开展教学。 备考措施8：减负增效 1、对点练习。高三复习常见的一种布置作业的现象是“大水漫灌”，无选择，无区别，大多资料课后习题数量过多，针对性较弱。作为教师要提前解答甄别，布置适合学生水平的适量对点练习题，学生抄袭作业的问题从某个方面来说是教师导致的，只有教师跳入题海才可能将学生托出题海。 2、试卷讲评。试卷讲评课是高三常见的课型，要提高试卷讲评课的效率前提是做好统计分析工作，班级学生主题出错的是那些题目？出错的主要原因是什么？选择哪些题目讲评？教师讲还是学生讲？设置怎样的对点练习题？对后期教学的启发是什么？对于出错率太高或者出错率较低的题目如何处理？ 类型 原因分析 解决方案 概念问题 1.存在知识盲区,对于某些知识点不清楚、未理解 2.某些公式结论记忆不牢，考试时运用不准确. 进行某础知识过关，对考纲要求掌握但记忆不牢的问题反复强化. 方法问题 1.某一种方法解不出便“吊死在一棵树上”，不懂得转换思路. 2.根本找不到解决问题的突破口，无计可施. 将错题进行归类整理，寻找各种问题、方法的共性和差异，解题时多问几个为什么. 细心问题 1.读题不仔细，没有看清题目所求,通过主观臆断做题; 2.非智力因素的计算错误多. 登记自己易犯错误反复提醒，养成规范运算的习惯. 信心问题 1.看到一些较为复杂的题目不敢尝试，直接放弃; 2.计算结果奇怪怀疑自己计算的准确性，不敢继续, 对高考常考但薄弱题型针对性训练，突破做难题的心理障赔. 时间问题 时间不够，做不完 合理分配时间，适当舍弃卡壳的题目 3、学法指导：学生常见的问题及解决方案 备考措施8：减负增效 科任教师：老师心态要平和，生源好有生源好的难处，生源差有生源差的好处，（优秀教练成功的秘诀？）课堂气氛的调节，对学生的肯定与鼓励; 班主任：关注学生心理变化，倾听学生心声，个体交流与集体班会相结合。 学校层面：安排张弛有度，通过趣味性的文体活动调适学生的心理，通过心理辅导帮助学生有效排解。 每个学校的高考备考方案都大体相同，我们学校7月到第二年三月一般完成一轮，每周要考试。但是高考成绩却差异较大，除了学生生源的因素之外，我想最重要的差别就是对方案的执行力，以及对若干教学策略的落实和优化。 备考措施8：减负增效 4、心理建设。高三学生压力大，郁闷、焦虑等负面情绪容易常常伴随着学生，对学生的心理建设工作成效直接影响者高三复习备考的效率。对学生的心理干预是学校各个方面应该深入思考、科学应对的重点工作。 总结： 就是：“三体系建设，学法体系，知识体系，思维（解法）体系” 考试就是：与命题者斗智斗勇，万法归宗 1、大概率是二卷，多关注二卷地区模拟卷 2、转变观念，强化圆锥曲线和导数复习，因为这两块可能不再是压轴题 3、提升学习意识，与时俱进，注重基础与创新 祝愿各位老师： 备考过程，一帆风顺！ 祝愿各位同学： 百练成钢，考试不慌！ 总结： 1．已知 ，则 　　 A．0 B．1 C． D．2 解： ，则 ．故选： ． 2．已知命题 ， ，命题 ， ，则 　　 A． 和 都是真命题 B． 和 都是真命题 C． 和 都是真命题 D． 和 都是真命题 解：命题： ， ， 时，不成立，所以命题： 是假命题；则 是真命题．命题 ， ， 时成立，所以命题 是真命题， 是假命题； 所以 和 都是真命题．故选： ． A．100块稻田亩产量中位数小于 B．100块稻田中的亩产量低于 的稻田所占比例超过 C．100块稻田亩产量的极差介于 至 之间 D．100块稻田亩产量的平均值介于 至 之间 解：对于 ，根据频率分布表知， ，所以100块稻田亩产量中位数不小于 ，选项 错误； 对于 ，亩产量不低于 的稻田频数为 ，所以亩产量低于 的稻田所占比例为 ，选项 错误； 对于 ，亩产量的极差最大值为 ，最小值为 ，所以极差介于 至 之间，选项 正确； 对于 ，估计平均数为 ，选项 7．已知正三棱台 的体积为 ， ， ，则 与平面 所成角的正切值为 　　 A． B．1 C．2 D．3 解：设棱台的高为 ，三条侧棱延长后交于一点 ，则由 得： 到上底面 的距离为 ， 到下底面 的距离为 ，所以 与平面 所成角即为 与平面 所成角 ， 9．对于函数 和 ，下列正确的有 　　 A． 与 有相同零点 B． 与 有相同最大值 C． 与 有相同的最小正周期 D． 与 的图像有相同的对称轴 【解析】：对于 ，令 ，解得 ， ，即为 零点， 令 ，解得 ， ，即为 零点，故 ， 零点不同， ， ，故 错误； 对于 ， ， ， ， ，两函数有相同的最大值，故 正确； 对于 ，显然两函数最小正周期都为 ，故 正确；对于 ，由 ， 得，函数 的对称轴是 ， ，由 ， 得，函数 的对称轴是 ， ，故 错误．故选： ． 10．抛物线 的准线为 ， 为 上的动点，过 作 的一条切线， 为切点，过点 作 的垂线，垂足为 ，则 　　 A． 与 相切 B．当 ， ， 三点共线时， C．当 时， D．满足 的点 有且仅有2个 解：对于 ，抛物线 的准线为 ，是 的一条切线，选项 正确； 对于 ， 的圆心为 ，当 、 、 三点共线时， ，所以 ，选项 正确；对于 ，当 时， 或 ，对应的 或 ， 当 时， ， ， 与 并不垂直，选项 错误； 对于 ，焦点 ， ，则 等价于 在 的中垂线上，该直线的方程为 ，它与抛物线有两交点，选项 正确．故选： ． 解法一：由 ，得 ， 对于 ，当 时， 在 上单调递减，在 和 上单调递增； 的极大值 ， 的极小值 （a） ，所以 有三个零点，故 正确； 对于 ，当 时， 在 上单调递减，在 和 上单调递增， 是极小值点，故 错误；对于 ，任何三次函数不存在对称轴，故 错误；对于 ，当 时， ，关于点 中心对称，故 正确．故选： ． 解.法二考虑到三次函数的图像特征如果存在对称中心，两个极值点一定关于 ， （1） 对称，所以a+0=2，且 （a）+1=2 （1）解得 . 11．设函数 ，则 　　 A．当 时， 有三个零点 B．当 时， 是 的极大值点 C．存在 ， ，使得 为曲线 的对称轴 D．存在 ，使得点 ， （1） 为曲线 的对称中心 12．记 为等差数列 的前 项和，若 ， ，则 　　． 解法一：（基本量法）等差数列 中， ， ， 解得， ， ，则 ．故答案为：95． 解法二：（性质法） 13．已知 为第一象限角， 为第三象限角， ， ，则 　　． 解：因为 为第一象限角， 为第三象限角，所以 ， ， 因为 ， ，所以 ， 所以 ， ，所以 则 ．故答案为： ． 14．在如图的 方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有 　24　种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格的4个数之和的最大值是 　　． 解：在如图的 方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中， 则共有 种选法， 在所有符合上述要求的选法中，选中方格的4个数之和的最大值是： ．故答案为：24；112． 15．（13分）记 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 ． （1）求 ； （2）若 ， ，求 周长． 解：（1）因为 ，所以 ，即 ， 由 为三角形内角，得 ，即 ； （2）因为 ， ，由正弦定理可得： ，可得 ，又因为 ，所以 ， ， 在 中，由正弦定理得 ， 所以 ， ， 所以 的周长为 ．综上， 的周长为 ． 16．（15分）已知函数 ． （1）当 时，求曲线 在点 ， （1） 处的切线方程； （2）若 有极小值，且极小值小于0，求 的取值范围． 解：（1） 函数 ， 当 时， ， ， （1） ， 切点坐标为 ， 切线的斜率为 （1） ， 曲线 在点 ， （1） 处的切线方程为： ，整理得： ． （2） 函数 ， ， 当 时， ，函数 在 上单调递增，此时函数 无极值， ，令 ，得 ，当 时， ，当 时， ， 函数 的增区间为 ，减区间为 ， ， ，令 ， ， 在 上单调递减， （1） ， 等价于 ， 的取值范围是 ． . 17．（15分）如图，平面四边形 中， ， ， ， ， ，点 ， 满足 ， ，将 沿 对折至 ，使得 ． （1）证明： ； （2）求面 与面 所成的二面角的正弦值． 解：（1）证明：在 中， ， ， ， 所以 ，所以 ， 所以 ，所以 ，所以 ，由折叠的性质可知 ， 又 ， ， 面 ，所以 面 ， 又 面 ，所以 ． （2） ， ， ，所以 ， ， ，所以 ，所以 ，又因为 ， ， ， 面 ，所以 面 ， 又 面 ，所以 ，所以 ， ， 所在直线两两垂直， 以 ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴建立空间直角坐标系 ，0， ， ， ， ， ，0， ， ， ， ，则 ， ， ， ， ， ，所以 ， ， ， ，0， ， ， ， ， ， ， ， 设平面 的法向量 ， ， ，所以 ， 设 ，则 ， ，所以 ，2， ， 设平面 的法向量 ， ， ，所以 ， 设 ，则 ， ，所以 ， ， ， 设平面 与平面 所成的二面角为 ， ， ，所以 18．（17分）某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛都由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成员为0分，若至少投中一次，则该队进入第二阶段，由该队的另一名队员投篮3次，每次投中得5分，未投中得0分，该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和． 某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为 ，乙每次投中的概率为 ，各次投中与否相互独立． （1）若 ， ，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率； （2）假设 ， 为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，则该由谁参加第一阶段比赛？ 为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ 解：（1） 甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分， 甲第一阶段至少投中一次，乙第二阶段至少投中一次， 甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率为： ． （2） 若甲先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在人的比赛成绩为15分的概率为： ，若乙参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为： ， EMBED Equation.DSMT4 ， ， 为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，该由甲参加第一阶段的比赛． 若甲先参加第一阶段的比赛，数学成绩 的所有可能取值为0，5，10，15， ， ， ， ， ， 记乙参加第一阶段比赛，数学成绩 的所有可能取值为0，5，10，15， 同理 ， ，因为 ，所以 ， 为使得甲、乙，所在队的比赛成绩的数与期望最大，应该由甲参加第一阶段比赛． 19．（17分）已知双曲线 ，点 在 上， 为常数， ，按照如下方式依次构造点 ，3， ，过 斜率为 的直线与 的左支交于点 ，令 为 关于 轴的对称点，记 的坐标为 ， ． （1）若 ，求 ， ； （2）证明：数列 是公比为 的等比数列； （3）设 为△ 的面积，证明：对任意的正整数 ， ． 解：（1） 在 上， ，解得 ， 过 且斜率为 的直线方程为 ，即 ， 联立 ，解得 或 ，故 ， ， 过 斜率为 的直线与 的左支交于点 ，令 为 关于 轴的对称点， 所以 ， ； （2）解：证明： ， 关于 轴的对称点是 ， ， ， ， ， 都在同一条斜率为 的直线上， ； 则 ， ， 都在双曲线上， ，两式相减可得， ， 而 ①， ②， 则② ①可得， ， 则 ， ，故数列 是公比为 的等比数列； （3）解法一：证明：要证： ，只需先尝试 ，即先证 ， 记 ， ，则 ， ，而 ， ， ， ， ， ， ， ． 解法二：先证明：对平面上三个点 ，若 ， ，则 . 证明： .记 ，由 （2）可得 由 ， ， ， 而有 ， ， 这就表明 的取值是与 无关的定值，所以 . Sheet1 函数导数 三角 数列 解析几何 立体几何 概率统计 集合 复数 向量 2024 29 27 22 26 20 20 5 5 5 2023 27 20 17 27 20 22 5 5 5 2024 函数导数 三角 数列 解析几何 立体几何 概率统计 集合 复数 向量 29 27 22 26 20 20 5 5 5 2023 函数导数 三角 数列 解析几何 立体几何 概率统计 集合 复数 向量 27 20 17 27 20 22 5 5 5 Sheet1 函数导数 三角 数列 解析几何 立体几何 概率统计 集合 复数 向量 2024 38 23 17 26 20 11 5 5 5 2023 27 20 17 27 22 22 5 5 5 2024 函数导数 三角 数列 解析几何 立体几何 概率统计 集合 复数 向量 38 23 17 26 20 11 5 5 5 2023 函数导数 三角 数列 解析几何 立体几何 概率统计 集合 复数 向量 27 20 17 27 22 22 5 5 5 Sheet2 2023年与2024年新课标2卷题数及分值设置变化 单选题 多选题 填空题 解答题 合计 2024 5✖8=40 6✖3=18 5✖3=15 13+15+15+17+17=77 19 2023 5✖8=40 5✖4=20 5✖4=20 10+12+12+12+12+12=70 22 备注 多选题评分变化：2023年部分选对得2分；2024年部分选对得部分分。 解答题变化：2023年6道，21题3问，其余题2问；2024年5道，18、19题3问，其余2问。 11.（一卷） 造型可以做成美丽的丝带，将其看作图中曲线C的一部分.已知C过坐标原点O. 且C上的点满足横坐标大于 ，到点 的距离与到定直线 的距离之积为4，则（ ） A. B. 点 在C上 C. C在第一象限的点的纵坐标的最大值为1 D. 当点 在C上时， 14. （一卷）甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲卡片上分别标有数字 1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中， 两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分， 数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）. 则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为_________. （2024新课标2卷.14） 在如图的4×4方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中， 则共有________种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是________． (2024全国甲卷. 16）有6个相同的球，分别标有数字 1、2、3、4、5、6，从中不放回地随机抽取3次， 每次取1个球.记 为前两次取出的球上数字的平均值， 为取出的三个球上数字的平均值， 则 与 差的绝对值不超过 的概率是______． 19. 设m为正整数，数列 是公差不为0的等差数列，若从中删去两项和 后 剩余的 项可被平均分为 组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列 是 可分数列． （1）写出所有 ， ，使数列 是 可分数列； （2）当 时，证明：数列 是 可分数列； （3）从 中一次任取两个数 和 ，记数列 是 可分数列的概率为 ，证明： ． （2024新课标2卷.18） 某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下： 第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成员为0分； 若至少投中一次，则该队进入第二阶段，由该队的另一名队员投篮3次，每次投中得5分，未投中得0分. 该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成， 设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立． （1）若 ，，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队比赛成绩不少于5分的概率． （2）假设 ， （i）为使得甲、乙所在队比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ （ii）为使得甲、乙，所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ (2024新课标2卷.19) 已知双曲线 ，点在 上， 为常数， ． 按照如下方式依次构造点 ，过 作斜率为 直线与 的左支交于点 ， 令 为 关于 轴的对称点，记 的坐标为 . （1）若 ，求 ； （2）证明：数列 是公比为 的等比数列； （3）设 为 面积，证明：对任意的正整数 ， . （2024新课标1卷.4）4. 已知 ，则（ ） A. B. C. D. （2024新课标1卷.7） 当 时，曲线与 交点个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 （2024新课标2卷.5） 已知曲线C： （），从C上任意一点P向x轴作垂线段 ， 为垂足， 则线段 的中点M的轨迹方程为（ ） A. （ ）B. （ ）C. （ ） D. （ ） （2024新课标1卷. 11）造型可以做成美丽的丝带，将其看作图中曲线C的一部分. 已知C过坐标原点O.且C上的点满足横坐标大于 ，到点 的距离与 到定直线 的距离之积为4，则（ ） A. B. 点 在C上 C. C在第一象限的点的纵坐标的最大值为1 D. 当点 在C上时， （2024新课标1卷. 13）若曲线 在点处的切线也是曲线 的切线，则 __________. （2024新课标1卷. 18）已知函数 （1）若 ，且 ，求 的最小值； （2）证明：曲线 是中心对称图形； （3）若 当且仅当 ，求 的取值范围． （2024新课标2卷. 11）设函数 ，则（ ） A. 当 时， 有三个零点 B. 当 时， 是 的极大值点 C. 存在a，b，使得 为曲线 的对称轴 D. 存在a，使得点 为曲线 的对称中心 2024年新高考全国2卷各试题与教材的衔接 题号 考点 人教A版(2019)教材溯源 1 复数的运算 必修一P14习题1.3第1，2题 2 命题的判断 必修一 P95 总习题第7题 3 平面向量数量积 必修一P60复习参考题第8题 4 三角恒等变形 必修一P225 复习参考题5第15题 5 简单的几何体 必修二P118例4 7 三角函数图象 必修-P237 例1 8 函数与不等式 选择性必修二P57复习参考题4第17题 9 三角函数 选择性必修三 P87练习第2题，习题7.5第2题 10 抛物线与圆 选择性必修二P104复习参考题5第9题，P99习参考题第13题 11 三次函数 选择性必修一P124第1题 12 三角变换 必修二P104复习参考题第13题 15 解三角形 必修二P54习题6.4第22题 16 四棱锥线面平行、垂直二面角 选必修二P159练习第3题，P165习题86第20题 17 函数导数的应用 选择性必修一P87习题32第13题 （2024新课标2卷.7）已知正三棱台 的体积为 ， ， ，则 与平面 ABC所成角的正切值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 解法六：（1） 的方程为 ，离心率为 ； （2） ，直线 的方程为： ，设 ， 点 到直线 的距离 ， 的面积 ，解得 ， ， 或 ， 的方程为 或 . 对比今年9月清华附中开学考. 已知椭圆 的离心率为 ，左、右顶点分别为 .上、下顶点分别为 ，且 面积为2。 （1）求椭圆C的方程； （2）点P是椭圆C上一点（不与顶点重合），直线 与x轴交于点M，直线 、 分别与直线 交于点N、D，求证： 与 的面积相等. （全国1卷. 19）设m为正整数，数列 是公差不为0的等差数列，若从中删去两项和 后剩余的 项 可被平均分为 组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列 是 可分数列． （1）写出所有 ， ，使数列 是 可分数列； （2）当 时，证明：数列 是 可分数列； （3）从 中一次任取两个数 和 ，记数列 是 可分数列的概率为 ，证明： ． （新课标2卷.19） 已知双曲线 ，点在 上， 为常数， ．按照如下方式依次构造点 ，过 作斜率为 直线与 的左支交于点 ，令 为 关于 轴的对称点，记 的坐标为 . （1）若 ，求 ； （2）证明：数列 是公比为 的等比数列； （3）设 为 面积，证明：对任意的正整数 ， . （2024新课标1卷. 9）为了解推动出口后亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本 均值 ，样本方差 ，已知该种植区以往的亩收入 服从正态分布 ，假设推动出口后的亩收入 服从 正态分布 ，则（ ）（若随机变量Z服从正态分布 ， ） A. B. C. D. （2024全国甲卷. 2）集合 ，则（ ） A. B. C. D. （2024新课标1卷. 6）已知函数为 ，在R上单调递增，则a取值的范围是（ ） A. B. C. D. （2024新课标2卷. 4）某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg）并部分整理下表 亩产量 [900，950） [950，1000） [1000，1050） [1000，1050） [1100，1150） [1150，1200） 频数 6 12 18 30 24 10 据表中数据，结论中正确的是（ ） A. 100块稻田亩产量的中位数小于1050kg B. 100块稻田中亩产量低于1100kg稻田所占比例超过80% C. 100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间 D. 100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间 （2024新课标2卷. 6）设函数 ，，当 时， 曲线 与 恰有一个交点，则 （ ） A. B. C. 1 D. 2 （2024新课标1卷. 8）已知函数为 的定义域为R，， 且当 时 ，则下列结论中一定正确的是（ ） A. B. C. D. （2024新课标1卷. 16）已知 和椭圆 上两点. （1）求C的离心率; （2）若过P的直线 交C于另一点B，且 的面积为9，求 的方程． （2024新课标1卷. 17）如图，四棱锥 中，底面ABCD， ， ． （1）若 ，证明： 平面 ； （2）若 ，且二面角 的正弦值为 ，求 ． （2024新课标2卷. 8）设函数 ， 若 ，则 的最小值为（ ） A. B. C. D. 1 和均为连续的增函数， ，则和同号， 则和有相同的零点， 所以，,代入便可求解 （2024全国甲卷21） 已知函数 ． （1）当 时，求 的极值； （2）当 时， 恒成立，求 的取值范围． 解：（1）当 时， ， ， 在 为增函数， ， 当 时， ，当 时， ， 所以 极小值为 ，无极大值； （2） ， 当 ， 时， ， 为减函数， ， ，与题目矛盾， 所以 ，当 时，要使 ，而 ，故 在 为增函数， 则 在 恒成立，而 ，所以 在 为增函数， 则 在 恒成立，解得 ， 当 时， 在 恒成立，则 在 为增函数， 而 ，所以 在 恒成立，所以 在 为增函数， 而 ，所以当 时， ，综上所述， 的取值范围为 . （2024全国甲卷.20）设椭圆 的 右焦点为 ，点 在 上，且 轴. （1）求 的方程； （2）过点 的直线交 于 两点， 为线段 的中点，直线 交直线 于点 ，证明： 轴. （2）设 ，直线 的斜率存在，并记为 ，方程为： ， 代入 ，化简得 ， ， 直线 方程为： ，将 代入解得 ， 要证明 轴，只需证明 ，即证明 ， 将 ， 代入上式化简得 ， 而 ， 所以 成立，即 轴. 当时，曲线与恰有一个交点， 所以方程在有一个解， 即在有一个解， 设函数，为偶函数， 所以与在处相切，. 案例：教材必修一139页出现了取倒函数已知 ， 我们是不是可以挖掘一下？还有哪些取倒函数？ 案例：教材选修有研究 ，我们是不是可以挖掘一下？如何去判断函数的交点？ 研究真题，才能把握命题规律，考题就是最好的复习资源，与其大量做题，不如抽出时间认真研究往年的试题，往年的试题反映了命题者对考试内容的深思熟虑，对设问和答案的准确拿捏，对学生水平的客观判断，研究这些试题，就如同和命题者对话。 ——教育部考试中心刘芃研究员 （2016课标全国Ⅱ卷）（11）已知 是双曲线 的左，右焦点，点 在 上， 与 轴垂直， ,则 的离心率为（ ） （A） （B） （C） （D）2 （2017课标全国Ⅱ卷）9. 若双曲线 EMBED Equation.DSMT4 （ ， ）的一条渐近线被圆 所截得的弦长为2，则 的离心率为（ ） A．2 B． C． D． （2018课标全国Ⅱ卷） 12．已知 ，是椭圆 的左，右焦点， 是 的左顶点，点 在过 且斜率为 的直线上， 为等腰三角形， ，则 的离心率为 A． B． C． D． （2019课标全国Ⅱ卷） 11．设F为双曲线C： 的右焦点， 为坐标原点，以 为直径的圆与圆 交于P，Q两点.若 ，则C的离心率为 A． B． C．2 D． （2020课标1卷.15） 设双曲线 的左右焦点分别为 ，过 作平行于 轴的直线交C于A，B两点，若 ，则C的离心率为___________． 解：点 到点 的距离 ，将 代入椭圆方程 ，得 ， ， 令 ， ，对称轴 ， 当 ，即 时， ， ， 当 ，即 时 ， 。 对上述问题进一步分析，当，即离心率，即椭圆较圆时， 下顶点到上定点的距离最大，最大值为短轴； 当，即离心率，即椭圆较扁时，纵坐标为的点到上定点的 距离最大，最大值为中心到准线的距离。 11. 设 是椭圆 的上顶点，若 上的任意一点 都满足 ，则 的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【解】设 ，由 ，因为 ， ，所以 ， 因 ，当 ，即 时， ，即 ，符合题意，由 可得 ，即 ；当 ，即 时， ，即 ，化简得， ，显然该不等式不成立． 当直线 的斜率存在时,设其方程为 ,点 , 则由 可得 . 由韦达定理可得 . 由 为椭圆右顶点可得 ,故有 . 故 . 综上可知, 成立. （1）不妨将问题一般化： 联立方程组 ，将直线方程代入椭圆方程得， 【解法2】当直线 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 轴时,直线 的方程为 ,由此可得点 ,又由 为椭圆右顶点可得 ,故有 . 当直线 的斜率存在时,设其方程为 ,点 ,则由 可得 . 由点 在直线 上可得 , 故 .综上可知, 成立. 例.设椭圆的左、右焦点为，如果椭圆上存在点，使，求离心率的取值范围。 例5（2019年高考江苏卷第10题）在平面直角坐标系 中， 是曲线 上的一个动点，则点 到直线 的距离的最小值是 . 解：如图，当点 为与直线 平行的曲线切线的切点时， 到直线 的距离最小， 令 ，解得 ，将 代入 ，得 ， 的坐标为 ，所以， 到直线 的距离的最小值是 . 例6 ．已知函数 ，（恒成立中的曲直分离转化成切线问题) 恒成立，则实数 的取值范围是______. 解：作出函数 EMBED Equation.DSMT4 与函数 的图象，如图所示， 设切点为 ，因为，所以 ， 解得 ，所以 ，所以 ． 若不等式恒成立，则必有，其中，是过点的切线的斜率， （2024新课标1卷.14） 甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为_________. （2023新课标．12）下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器 （容器壁厚度忽略不计）内的有（    ） A．直径为 的球体 B．所有棱长均为 的四面体 C．底面直径为 ，高为 的圆柱体 D．底面直径为 ，高为 的圆柱体 （2022全国乙卷. 4）嫦娥二号卫星在完成探月任务后,继续进行深空探测,成为我国 第一颗环绕太阳飞行的人造行星,为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值, 用到数列 ： , , ,…,依此类推, 其中 ．则（D） A. B. C. D. （2021新课标2卷.14）写出一个同时具有下列性质①②③的函数 ① ②当 时, ；③ 是奇函数. （2019年全国1卷．4古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与 肚脐至足底的长度之比是 （ ≈0.618，称为黄金分割比例)， 著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度 与咽喉至肚脐的长度之比也是 ．若某人满足上述两个黄金分割比例， 且腿长为105 cm，头顶至脖子下端的长度为26 cm，则其身高可能是（ ） A．165 cm B．175 cm C．185 cm D．190 cm （2017全国2卷.7）甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师 询问成语竞赛的成绩。老师说:你们四人中有2 位优秀,2 位良好， 我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩. 看后甲对大家说:我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则（ ） A.乙可以知道四人的成绩 B.丁可以知道四人的成绩 C.乙、丁可以知道对方的成绩 D.乙、丁可以知道自己的成绩 例1（2010 天津）如图3，在 中，，，，则=（ ）。 A． B． C． D． 解法一（代数化法）：由条件得 ， 在 中，由正弦定理得 ，即 ， 所以 。 解法一（代数化法）：如图1，设 ， ，故选A 例2（2023全国乙卷．12）已知 的半径为1,直线PA与 相切于点A,直线PB与 交于B,C两点, D为BC的中点,若 ,则 的最大值为（    ） A． B． C． D． 解法二：如图2，根据平面向量数量积的几何意义， 等于 与 在 方向上的投影之积， ， 故求 的最大值即就是求 在 方向上的投影的最大值， 易证点 的轨迹是以 为直径的圆 ，过 作 的平行线与圆 交于 ， 当 处于 位置时 在 方向上的投影取到最大值 ， ，故选A. 图2 解法三：如图3，建立平面直角坐标系， ， ， ， 设 ，代入☉ 得 ， ， ， ，令 ， 则 ， 当且仅当 即 时上式取等号， 取最大值 ，故选A. 图3 $$