第1章 一元二次方程 单元练习卷- 2024-2025学年苏科版九年级数学上册

第1章一元二次方程同步练习卷-数学九年级上册苏科版 一、单选题 1．一元二次方程方程的根的情况为（   ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．有一个实数根 2．已知三角形两边长分别为2和9，第三边的长为二次方程的一个根，则这个三角形的周长为（    ） A．15 B．21 C．15或21 D．19 3．若是关于的方程的一个根，则的值是（   ） A．2023 B．2022 C．2020 D．2019 4．将一元二次方程化成的形式，则a，b的值分别是（　　） A．，21 B．，11 C．4，21 D．，69 5．一元二次方程配方后可变形为（    ） A． B． C． D． 6．是下列哪个一元二次方程的根（    ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，，，动点P、Q分别从点A、B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为，点Q的速度为，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动，若使的面积为，则点P运动的时间是（　  　） A． B． C． D． 8．某商场将进货价为45元的某种服装以65元售出，平均每天可售30件，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现：每件降价1元，则每天可多售5件，如果每天要盈利800元，每件应降价x元，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．若2是关于的方程的一个根，则 ． 10．如果关于x的方程是一元二次方程，那么m的取值范围为 ． 11．若方程有解，那么的取值范围是 ． 12．设、是方程的两根，则 ． 13．已知对于函数、及中，在情况下，无论x取何值，y始终取最小值，则y的最大值为 ． 14．对于实数a、b，定义运算：①② 例如 ①依此定义方程的解为 ． 三、解答题 15．解下列方程： (1)； (2)． 16．若关于x的一元二次方程有两个实数根． (1)求m的取值范围； (2)若恰好是对角线长为6的矩形的相邻两边的边长，求这个矩形的周长． 17．设是方程的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值： (1)； (2)． 18．已知在关于的分式方程①和一元二次方程②中，、、均为实数，方程①的根为非负数． (1)求k的取值范围； (2)当方程②有两个实数根，，且满足，为负整数时，试判断是否成立，并说明理由． 19．关于的一元二次方程如果有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的一元二次方程为“倍根方程”， (1)方程①，②中，是“倍根方程”的序号______； (2)若一元二次方程是“倍根方程”，求出的值； (3)若是“倍根方程”，求代数式的值． 20．丹东市开展创文明城活动，振兴区某街道有一块矩形空地准备进行绿化．如图，已知该矩形空地长为，宽为，按照规划将预留总面积为的四个小矩形区域（阴影部分）种植花草，并在花草周围修建三条横向通道和三条纵向通道，各通道的宽度相等．求各通道的宽度； 21．“山西是时间的朋友，这片土地处处散发着时光的奇迹……”董宇辉在直播电商平台的山西专场中现场讲解山西的美食产品，深度介绍山西的文化古迹，传播三晋文化，其中山西老陈醋以色、香、醇、浓、酸五大特征，引得广大网友争相购买品尝．某商家抓住商机，以70元/盒的进价购入了一批礼盒装的保健醋口服液，在销售过程中发现，当售价为110元盒时，一天可售出20盒，且该礼盒的单价每降低1元，其销量可增加2盒． (1)若该礼盒的售价为x元/盒，则其日销量可表示为______盒； (2)在（1）的条件下，若商家销售该礼盒每天想要获利1200元，则为尽快减少库存，该礼盒的售价应定为多少？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B D A A D B A 1．C 【分析】根据一元二次方程根的判别式即可求出答案． 本题考查了一元二次方程根判别式，熟练记忆根的判别式是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴一元二次方程方程有两个不相等的实数根． 故选：C． 2．B 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法及三角形三边关系，熟练掌握一元二次方程的解法及三角形三边关系是解题关键．根据方程求得方程的两根，再根据三角形的三边关系，求得三角形周长即可． 【详解】解；解二次方程， ， ，， ∵第三边的长为二次方程的一个根， ∴第三边为4或10， ∵三角形两边长分别为2和9， ∴第三边，即第三边， ∴第三边为10， ∴三角形的周长为， 故选∶B． 3．D 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．利用整体代入的方法计算可简化计算． 先根据一元二次方程根的定义得到，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：∵是关于的方程的一个根， ， ， ， 故选：D． 4．A 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，根据完全平方公式、移项把原方程化为一般形式，即可得到答案． 【详解】解：， 则， ∴， 由题意得：， 解得：， 故选：A． 5．A 【分析】本题考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键． 【详解】解： 故选A． 6．D 【分析】本题主要考查了用公式法解一元二次方程，将求根公式一一代入方程验证即可得出答案． 【详解】解：A．中，，不合题意； B．中，，不合题意； C．，，不合题意； D．3x2+5x﹣1＝0中，，符合题意； 故选：D． 7．B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用—动点问题，借助三角形的面积计算公式来研究图形中的动点问题是解题关键．设点的运动时间为，则，，根据三角形面积公式，得出关于的一元二次方程，求解即可． 【详解】解：设点的运动时间为，则，， ， ， 的面积为， ， 解得：或（舍）， 即使的面积为，则点P运动的时间是， 故选：B． 8．A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设每件降价元则每件的盈利为元，每天可出售件，由总利润每件的盈利日销量，进而列出方程，即可得解． 【详解】解：设每件降价 元，则每件的销售利润为元，每天可售出件， 根据题意得：， 故选：A 9．4 【分析】将代入方程可得一个关于的一元一次方程，解方程即可得． 本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握解的意义是解题的关键． 【详解】解：由题意，将代入方程得：， 解得， 故答案为：4． 10． 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式：，根据一元二次方程的一般形式即可解答． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， 即， 故答案为：． 11． 【分析】本题考查一个数的平方是非负数，熟练掌握该特征是解题的关键；本题考查因为方程为形式，左边是一个完全平方式，总是大于等于，所以在有解的情况下要求． 【详解】解：依题意，在方程中，， 故． 故答案为： 12． 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据一元二次方程的解的定义可得，，然后代入式子求值即可． 【详解】解：∵、是方程的两根， ∴，， ∴ 故答案为：． 13． 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题．分别联立三个函数解析式，求交点坐标，再取最大值． 【详解】解：联立，解得或， 联立，解得， 联立，解得或， 当时，最小，其最大值为， 当时，最小，其最大值不存在， 当时，最小，其最大值为， 当时，最小，其最大值为， 当时，最小，其最大值不存在， 当时，最小，其最大值不存在， 当时，最小，其最大值不存在， ∴在情况下y始终取最小值，则y的最大值为 故答案为：． 14． 【分析】本题考查了新定义，解一元二次方程，熟练掌握知识点，正确理解题意是解题的关键． 先根据题意列出方程，再去分母，转化为解一元二次方程，最后需要注意分母不为0． 【详解】解：由题意得，， ， ， 解得：或， 当时，，不符合题意， ∴原方程的解为：， 故答案为：． 15．(1)， (2)， 【分析】(1)利用配方法计算即可． (2)利用因式分解法法求解即可． 本题考查了配方法，因式分解法，选择适当解方程的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：， ∴， ∴， ∴，． （2）∵， ∴ ∴， 解得，． 16．(1)； (2)这个矩形的周长． 【分析】（1）由方程有两个实数根结合根的判别式即可求解； （2）根据根与系数的关系和矩形的性质可得出关于的一元二次方程，求解即可， 本题考查了根与系数的关系，根的判别式，矩形的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得， 解得：； （2）解：由根与系数的关系可知，， ∵恰好是对角线长为6的矩形的相邻两边的边长， ∴， 整理，得， ∴， 又∵，且， ∴， ∴这个矩形的周长为： ． 17．(1)10 (2) 【分析】本题考查一元二次方程根与系数之间的关系，能根据根与系数之间的关系解决相关问题． （1）分析题意，先得出和的值，把原式变形为，再代入求值，就可得出答案． （2）把原式变形为，再代入求值，就可得出答案． 【详解】（1）解：根据根与系数的关系得， ； （2）解：． 18．(1)且，； (2)成立，见解析 【分析】本题考查解分式方程，一元二次方程的根与系数的关系、一元二次方程根的判别式． （1）分式方程的根是非负数，即，得到，再利用一元二次方程的定义得到，据此求解即可； （2）一元二次方程的二次项系数的值不为0，一元二次方程的两根为、，则，，本题中是，是，是．利用根与系数的关系和判别式大于等于0，列出方程和不等式组，进行运算即可． 【详解】（1）解：解分式方程①得． 方程①的根为非负数， ，解得且． 又一元二次方程中，，所以． 综上所述可知且，； （2）解：成立．理由如下： 是负整数，且，2， ． 方程②有两个实数根，， ． 化简，得， 将代入，得， ，③， △④， 把③代入④得， 整理，可得． 19．(1)① (2)的值为18 (3)代数式的值为或 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，涉及新定义，解题的关键是读懂“倍根方程”的定义和分类讨论思想的应用． （1）求出的根为，，可知是“倍根方程”；求出的根为，，知不是“倍根方程”； （2）设的两个根为和，可得，即可解得的值为18； （3）求出，，可得或，即或，分别代入求值即可． 【详解】（1）的根为，， ， 是“倍根方程”； 的根为，， ， 不是“倍根方程”； 故答案为：①； （2）由一元二次方程是“倍根方程”，设的两个根为和， ， 解得； 经检验，符合题意， 的值为18； （3）由得，， 是“倍根方程”， 或，即或， 当时，； 当时，； 代数式的值为或． 20．各通道的宽度为2米； 【分析】本题考查一元二次方程解决图形面积问题，先平移道路使阴影部分拼在一起，再根据预留总面积列方程求解即可得到答案； 【详解】解：设路宽为，由题意可得， ， 解得：，（不符合题意舍去）， 答：各通道的宽度为． 21．(1) (2)90元/盒 【分析】本题主要考查了列代数式，一元二次方程的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程． （1）根据题意列出代数式即可； （2）根据销售利润单个的利率销售量列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：该礼盒的售价为x元/盒，则其日销量可表示为： 盒； （2）解：根据题意，得：， 整理，得：， 解得：，， 要尽快减少库存， 取， 答：该礼盒的售价应定为90元/盒． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$