1.4.1一元二次函数（3知识点+4题型+巩固训练）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（北师大版2019必修第一册）

4.1一元二次函数 课程标准 学习目标 1.通过学习一元二次函数的图象，培养直观想象素养. 2.借助一元二次函数性质的应用培养逻辑推理素养 1.掌握一元二次函数的图象及图象变换 2.会求一元二次函数的最值及相关问题。 知识点01抛物线 1.定义：通常把叫做一元二次函数，一元二次函数的图象叫作抛物线。定义域是R。 2.二次函数解析式的表示法(a≠0) (1)一般式形如 y=ax2+bx+c. (2)顶点式形如y=a(x-h)2+k. (3)两根式形如y=a(x-)(x-). 【即学即练1】（24-25高一上·全国·课后作业）二次函数的图象开口向下，与y轴正半轴相交，则函数的零点个数是（    ） A．1 B．2 C．0 D．无法确定 【答案】B 【分析】根据二次函数的性质可得，即可由判别式求解. 【详解】由于的图象开口向下，与y轴正半轴相交， 所以， 故，因此函数有两个零点， 故选：B 【即学即练2】（23-24高一上·江西南昌·开学考试）在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可判断出，由此可判断二次函数的图象可能的位置，即得答案. 【详解】根据一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可判断出，则图像，开口向上，对称轴为；D正确. 故选：D 知识点02一元二次函数的图像变换 一元二次函数 y=a(x-h)2+k 的图象可以由 y=ax2 的图象经过向左(或向右)平移|h| 个单位长度，再向上(或向下)平移|k|个单位长度而得到. 【即学即练3】（20-21高一上·陕西西安·阶段练习）函数的图象可以看作由函数的图象，经过下列的哪种平移得到（    ） A．向右平移6个单位，再向下平移8个单位 B．向左平移6个单位，再向下平移8个单位 C．向右平移6个单位，再向上平移8个单位 D．向左平移6个单位，再同上平移8个单位 【答案】B 【解析】根据平移规律“左加右减，上加下减”可得出正确选项. 【详解】根据“左加右减，上加下减”的规律可知，将函数的图象向左平移个单位可得到函数的图象，再将所得函数图象向下平移个单位得到函的图象. 故选：B. 【点睛】本题考查二次函数图象的平移变换，要充分理解平移规律“左加右减、上加下减”，考查推理能力，属于基础题. 【即学即练4】（20-21高一上·安徽蚌埠·阶段练习）如果把抛物线向右平移1个单位长度，新图像与直线相交于点，则的值为 . 【答案】 【解析】点在直线上得到，由图象平移得到新函数的解析式，再代入A点坐标，可得值. 【详解】因为新函数图象与直线相交于点， 所以，即， 抛物线图象向右平移1个单位长度， 新图象对应的解析式为，又在图象上， 所以，得， 故答案为：. 【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，图象的平移，属于基础题. 知识点03 一元二次函数的性质 抛物线 开口方向 a>0,开口向上；a<0,开口向下。 顶点坐标 （h，k） (-) 对称轴 直线 直线 最值 a>0 时， 时，, a<0 时， 时，, 增减性 a>0 在对称轴的左侧，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，y随x的增大而增大。 a<0 在对称轴的左侧，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，y随x的增大而减小。 【即学即练5】（23-24高一上·北京东城·期中）函数函数的单调减区间是 ，在区间的最大值是 ． 【答案】 4   【分析】由二次函数的对称轴及开口方向得单调性，由单调性可得最值． 【详解】由题意，它的图象是开口向下的抛物线， 对称轴是直线，因此减区间是， 在区间上， 时，递增，时，递减，因此， 故答案为：；4. 【即学即练6】（23-24高一上·北京顺义·阶段练习）已知函数， (1)求的单调区间； (2)求在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增 (2)， 【分析】（1）由二次函数开口和对称轴可直接判断； （2）由定区间的图像特征直接求解即可. 【详解】（1）由，函数对称轴为，又因函数开口向上， 故在上函数单调递减，在上函数单调递增； （2）因为，时单减，时单增， ，. 难点：动轴问题 示例1：（24-25高一上·上海·课后作业）求函数在上的最小值． 【答案】最小值为 【分析】根据对称轴分三种情况讨论结合单调性得出最小值即可. 【详解】∵的图像开口向上，对称轴为． （1）当，即时，在上严格减，故当时，函数的最小值为． （2）当，即时，在上严格增，故当时，函数的最小值为． （3）当时，对称轴，故当时，函数的最小值为． 综上，记最小值为，则 难点：动区间问题 示例2：（24-25高一上·全国·课前预习）已知函数． (1)若，求函数的最值； (2)若，求函数的最值． 【答案】(1)最小值为，最大值为 (2)答案见解析 【分析】（1）求出函数的对称轴为，由二次函数的单调性，即可求解. （2）分类讨论定区间与对称轴的关系，结合二次函数的图象与性质，可得答案. 【详解】（1）∵函数的图象开口向上，对称轴为直线， ∴在上单调递减，在上单调递增，且． ∴，． （2）由（1）知对称轴为直线， ①当，即时， ，． ②当，即时， ，． ③当，即时， ，． ④当，即时， ，． 设函数的最大值为，最小值为， 则有， . 【题型1：一元二次函数的图像与平移变换】 例题1．（22-23高一上·河北保定·期末）关于二次函数，则下列正确的是（    ） A．函数图象与x轴总有两个不同的交点 B．若函数图象与x轴正半轴交于不同的两点，则 C．不论k为何值，若将函数图象向左平移1个单位，则图象经过原点 D．当时，y随x的增大而增大，则 【答案】C 【分析】根据二次函数对应二次方程的判别式判断A，由根与系数的关系判断B，由图象的平移判断C，根据对称轴判断D. 【详解】，函数图象与x轴总有两个不同的交点或相同的交点，故A错误； 若函数图象与x轴正半轴交于不同的两点，则由根与系数的关系知，解得且，故B错误； 若将函数图象向左平移1个单位，可得到，令，则，即图象经过原点，故C错误； 当时，y随x的增大而增大，即函数图象的对称轴，解得，故D错误. 故选：C 变式1．（21-22高一上·江西九江·期末）二次函数的图象向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，所得图象对应的函数表达式为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】利用函数的图象变换可求得变换后的图象对应的函数解析式. 【详解】将二次函数的图象向上平移个单位长度得到函数的图象， 再向右平移个单位长度得函数的图象， 故选：B. 变式2．（18-19高一·全国·课后作业）如果将一元二次函数的图象向右平移个单位，再向下平移个单位，得到的函数图象的对称轴为，最大值为，则、的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将变换后的二次函数的解析式表示出来为，然后利用逆向变换，即将函数的图象先向上平移个单位，再向左平移个单位，可得出函数的图象，由此可得出、的值. 【详解】由题意知，变换后所得函数的解析式为，且. 然后将函数的图象先向上平移个单位，得到函数，再将所得函数图象向左平移个单位，可得到函数的图象，因此， 故选D. 【点睛】本题考查二次函数的图象变换，解题时要根据变换的每一步写出对应的函数解析式，在已知变换后的函数的解析式，也可以利用逆向变换得出结果，考查推理能力，属于中等题. 变式3．（18-19高一·全国·课后作业）二次函数的图象可以由函数的图象经过怎样的变换得到（   ） A．先向左平移个单位，再向下平移个单位 B．先向左平移个单位，再向上平移个单位 C．先向右平移个单位，再向下平移个单位 D．先向右平移个单位，再向上平移个单位 【答案】A 【分析】根据平移规律“左加右减，上加下减”可得出正确选项. 【详解】根据“左加右减，上加下减”的规律可知，将函数的图象向左平移个单位可得到函数的图象，再将所得函数图象向下平移个单位得到函的图象，故选A. 【点睛】本题考查二次函数平移变换，要充分理解平移规律“左加右减、上加下减”的应用，考查推理能力，属于基础题. 变式4．（21-22高一上·陕西安康·阶段练习）抛物线的对称轴和顶点坐标分别是（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】配方后求出抛物线的对称轴和顶点坐标. 【详解】， 所以抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为 故选：B 变式5．（21-22高一下·山东淄博·阶段练习）函数与y轴交点纵坐标为（    ） A． B．-3 C． D．0 【答案】C 【分析】根据函数的解析式，令，即可求得答案. 【详解】由题意函数， 故令，则，即函数与y轴交点纵坐标为4， 故选：C 【方法技巧与总结】 (1)对于二次函数的图象判断问题要抓住函数图象的特征或特殊点，如图象的开口方向、顶点位置、对称轴及与两坐标轴的交点所处的位置等做出判断。 (2)一般地，二次函数的图象可以通过上下、左右平移得到，平移前将二次函数化成顶点式y=比较直观。 (3)对于同一直角坐标系中两个含变量的函数图象问题(一般为选择题),当函数中含有一个变量时,常通过对变量的讨论对函数图象做出判断;当函数中含有两个或两个以上的变量时，先在各选项中假设其中一个函数的图象正确，由此确定变量的取值范围，再由变量的取值范围确定另一个函数的图象的位置从而判断图象的正误。 【题型2：一元二次函数图像的增减与最值】 例2．（23-24高一上·新疆阿克苏·阶段练习）已知二次函数，下列结论正确的是（    ） A．其图像的开口向上 B．图像的对称轴为直线 C．当时，随的增大而减小 D．函数有最小值3 【答案】C 【分析】求得二次函数图像的开口方向判断选项A；求得二次函数图像的对称轴判断选项B；求得二次函数当时的单调性判断选项C；求得3为函数最大值否定选项D. 【详解】选项A：二次函数开口向下.判断错误； 选项B：二次函数图像的对称轴为直线.判断错误； 选项C：二次函数当时，随的增大而减小.判断正确； 选项D：当时，函数有最大值3，该函数无最小值.判断错误. 故选：C 变式1．（23-24高一上·全国·课后作业）下列区间中，使函数逐渐增加的区间是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二次函数的单调性可得出结果. 【详解】二次函数的图象开口向下，对称轴为直线， 所以，函数的增区间为， 故选：D. 变式2．（21-22高一上·陕西渭南·阶段练习）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由二次函数性质可直接得到结果. 【详解】为开口方向向下，对称轴为的二次函数， 的单调递减区间为. 故选：B. 变式3．（23-24高一上·广东揭阳·期中）函数的单调递增区间为 . 【答案】和 【分析】画函数图像，再根据图像得出结果. 【详解】函数，开口向上与轴的两个交点 对称轴为， 图像如下 所以函数单调递增区间为 故答案为： 变式4．（23-24高一上·云南·阶段练习）函数的递减区间是 ． 【答案】 【分析】根据题意，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】由函数， 可得其图象开口向下，图象的对称轴是直线，故其递减区间是． 故答案为：. 变式5．（22-23高一上·北京·期中）已知函数，则函数的单调增区间是 ． 【答案】 【分析】利用二次函数的性质确定递增区间即可. 【详解】由，开口向下且对称轴为， 所以的单调增区间是. 故答案为： 变式6．（21-22高一上·江西上饶·期末）函数的单调递增区间是 . 【答案】和（开区间也正确） 【分析】分段讨论得出函数的解析式，由二次函数的性质可求得答案. 【详解】解：因为函数， 令，解得或，又函数的对称轴为， 所以函数的单调递增区间是和， 故答案为：和. 变式7．（21-22高一上·河北石家庄·期中）已知函数f(x)=x2-2x，x∈R (1)画出函数f(x)的简图（不用列表） (2)根据函数f(x)图象写出函数的定义域、值域、单调区间 【答案】(1)答案见详解. (2)定义域为；值域为； 单调递减区间为，单调递增区间为 【分析】（1）根据二次函数解析式即可得出图象. （2）由函数图象，结合定义域、值域以及单调性定义即可得出答案. 【详解】（1）f(x)=x2-2x，x∈R，图象如下： （2）由（1）图象可知， 函数的定义域为；值域为； 单调递减区间为，单调递增区间为. 【方法技巧与总结】 观察图象主要是把握其本质特征:开口方向决定a的符号，在y轴上的交点决定c的符号(值)，对称轴的位置决定的符号，另外还要注意与x轴的交点、函数的单调性等 【题型3：一元二次函数解析式的求法】 例3．（20-21高一上·湖南郴州·开学考试）已知二次函数图象的顶点坐标为，且过点，则该二次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设二次函数的解析式为，将点的坐标代入函数解析式，求得的值，即可得解. 【详解】设二次函数的解析式为，将点的坐标代入函数解析式得，解得，所以，二次函数解析式为. 故选：C. 变式1．（22-23高一上·甘肃酒泉·期中）已知二次函数的图象过点，图象向左平移个单位后的对称轴是轴，向下平移个单位后与轴只有一个交点，则此二次函数的解析式为 ． 【答案】 【分析】根据题意，结合二次函数的图象与性质，设，由二次函数的图象过点，代入求得的值，即可求解 【详解】因为二次函数图象向左平移个单位后的对称轴是轴， 再向下平移个单位后与轴只有一个交点， 所以二次函数的图象的顶点坐标为， 设二次函数的解析式为， 又因为二次函数的图象过点，代入可得， 所以二次函数的解析式为. 故答案为：. 变式2．（2023高三·全国·专题练习）已知（b，c为实数），且，，则的解析式为 . 【答案】 【分析】解法一：代入直接解方程即可求解； 解法二：利用二次函数的对称性求出b，然后代入即可求值. 【详解】解法一：由题意知，解得， 所以的解析式为. 解法二：由题意知，得，则，得， 所以的解析式为. 故答案为： 变式3．（2022高一·全国·专题练习）一个二次函数的图象的顶点坐标为，与y轴的交点坐标为，这个二次函数的解析式是 【答案】 【分析】根据二次函数的顶点坐标为，设这个二次函数的解析式为顶点式，然后再把点代入顶点式求解出待定参数a，从而得到函数的解析式. 【详解】∵二次函数的图象的顶点坐标是， ∴设这个二次函数的解析式为，把代入得， ∴这个二次函数的解析式为. 故答案为：. 变式4．（20-21高一上·广东江门·阶段练习）已知二次函数的图象的顶点坐标为，且过点，则该二次函数的解析式是 . 【答案】 【解析】设二次函数为，代入点求解即可. 【详解】因为二次函数的图象的顶点坐标为， 所以设， 代入点， 可得，解得， 所以函数解析式为 故答案为： 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，考查了二次函数的性质，属于中档题. 变式5．（23-24高一上·全国·课后作业）已知二次函数 满足. (1)求的解析式； (2)求的对称轴方程和图象上最高点的坐标. 【答案】(1) (2)对称轴为，最高点的坐标为 【分析】（1）利用待定系数法直接求解析式； （2）结合二次函数的性质求解即可. 【详解】（1）依题意设， 因为， 所以， 解得 ， 则. （2）由（1）知 所以， 所以的图象关于直线对称轴，图象上最高点的坐标为. 变式6．（21-22高一上·江西南昌·阶段练习）已知二次函数当有最大值，且它的图象与轴有两个交点，两个交点的距离为5，求这个二次函数的解析式． 【答案】 【分析】设二次函数的图象与轴有两个交点分别为，且，根据题意列出方程组，求得，设函数为，代入，即可求解. 【详解】由题意，设二次函数的图象与轴有两个交点分别为，且， 因为二次函数当有最大值，且两个交点的距离为5， 可得，解得，即， 可设二次函数的解析式为， 将点代入，可得，解得， 所以二次函数的解析式为. 变式7．（20-21高一上·安徽阜阳·阶段练习）已知二次函数满足：当时，，当或时，.求该二次函数的解析式，并求出该函数的最小值. 【答案】，最小值为. 【解析】当或时，，可设，再把时，代入可解，最小值用配方法即可求解. 【详解】解：由当或时，，可设， 由当时，，得. ∴，且函数y的最小值为． 【点睛】考查二次函数解析式及其最小值的求法，基础题. 【方法技巧与总结】 求一元二次函数解析式的方法应根据已知条件的特点，选用解析式的形式，利用待定系数法求解 (1) 若已知条件是图象上的三个点，则设所求一元二次函数为一般式y=，a，b,c为常数，a≠0 的形式. (2) 若已知一元二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大(小值，则设所求一元二次函数为顶点式(其中顶点(h，k),a 为常数，a≠0) (3)若已知一元二次函数图象与x轴的两个交点的坐标为(,0)(,0)，则设所求一元二次函数为两根式 y=a(x-)(x-)(a 为常数, a≠0.). 【题型4：一元二次函数在闭区间的最值】 例4．（24-25高一上·北京·开学考试）已知二次函数（为常数），当时，函数值y的最小值为，则m的值是（　　） A． B．1 C．2或 D． 【答案】C 【分析】利用二次函数的性质，先求得抛物线对称轴，分和，两种情况进行分析，求得的值即可． 【详解】∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ①当时，抛物线的开口向上， ∵当时，函数在处取得最小值， 又函数值y的最小值为，∴当时，，∴，解得． ②当时，抛物线的开口向下， ∵当时，函数在处取得最小值， 又函数值y的最小值为，∴当时，，∴，解得： 故选：C． 变式1．（23-24高一上·浙江台州·期中）已知，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的单调性判断求解. 【详解】，，开口向上，对称轴为， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，函数取得最小值为， 结合对称性，当时，函数取得最大值为5， 所以的取值范围为. 故选：C. 变式2．（23-24高一上·广东茂名·期中）函数在上的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】由函数， 因为，所以当时，函数取得最小值，最小值为. 故选：C. 变式3．（23-24高一上·浙江宁波·阶段练习）已知 ，则函数的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次函数的图象和性质求解即可. 【详解】因为表示对称轴为，开口向下的抛物线， 所以当时取最大值， 故选：C 变式4．（23-24高一上·辽宁·期末）已知函数在上单调递增，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意，由二次函数的单调性，即可得到结果. 【详解】图像的对称轴为直线， 因为在上单调递增， 所以，则. 故答案为： 变式5．（23-24高一上·四川达州·期中）函数在上的最小值为 . 【答案】 【分析】二次函数在某区间的最值，结合图像的开口方向，对称轴，离对称轴的远近可得. 【详解】函数,其图像开口向下，对称轴为， ，离对称轴较远，则 故答案为： 变式6．（24-25高一上·上海·课堂例题）求函数在区间上的最小值． 【答案】答案见解析 【分析】根据二次函数的对称轴分类讨论. 【详解】函数，图象开口向上，对称轴为． ①当时，在单调递增，当时，函数取得最小值为0． ②当时，在单调递减，当时，函数取得最小值为． ③当，时，函数取得最小值为． 变式7．（23-24高一上·河南南阳·阶段练习）已知一元二次函数 (1)求其图象的顶点坐标，并指出图象由函数怎么变化而来. (2)当时,求y的最值. 【答案】(1)答案见解析 (2)， 【分析】（1）配方，再根据二次函数的性质即可求出顶点坐标，再根据平移变换即可得解； （2）根据二次函数的性质即可得解. 【详解】（1）， 其图象的顶点坐标为， 其图象是由函数的图象先向右平移个单位，再向上平移个单位得到的； （2）由， 当时，，当时，. 变式8．（23-24高一上·河北石家庄·期中）若函数的定义域为，值域为，则实数的取值范围. 【答案】 【分析】根据二次函数的性质即可求解. 【详解】，对称轴为， 且 ， 所以当定义域为，值域为时，， 【方法技巧与总结】 求一元二次函数y=在[m，n]上的最值的步骤: (1)配方，找对称轴; (2)判断对称轴与区间的关系: (3)求最值:若对称轴在区间外，则一元二次函数在[m，n]的端点处取得最值;若对称轴在区间内,则在对称轴取得最小值，最大值在[m,n]端点处取得. 一、单选题 1．（23-24高一上·广东深圳·期中）二次函数在上的最大值为（    ） A．-1 B．0 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用二次函数的单调性求最大值. 【详解】因为函数是开口向上的抛物线，且对称轴为：， 所以在上单调递减，在上单调递增，且， 所以函数在上的最大值为：. 故选：C 2．（22-23高一上·山西太原·阶段练习）如图，抛物线的对称轴是直线，下列结论：（1）；（2）；（3）；（4），正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】结合二次函数的图象与性质求得正确答案. 【详解】根据图象可知，（1）错误. 图象与轴有两个交点，，（2）正确. 当时，，（3）正确. 当时，；当时，. 两式相加得，而，所以，（4）正确. 所以正确的有个. 故选：B 3．（22-23高一上·北京朝阳·阶段练习）已知函数，则当时，y的最大值和最小值分别是（　　） A．5， B．5，1 C．5， D．1， 【答案】A 【分析】利用二次函数的性质，结合闭区间求最值即可. 【详解】由，开口向上且对称轴为， 又，故当有最大值为5，当有最小值为. 故选：A 4．（22-23高一上·辽宁·阶段练习）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据作差法以及二次函数的性质即可求出. 【详解】因为,,所以,即. 故选：A. 5．（22-23高一上·甘肃张掖·阶段练习）已知，则当______时，有最大值为（    ） A．， B．，0 C．， D．2，6 【答案】C 【分析】对函数配方，结合函数的单调性，求出最大值. 【详解】， 因为，所以当时，取得最大值，最大值为. 故选：C 6．（22-23高一上·吉林白城·阶段练习）下列关于二次函数的说法，正确的是（ ） A．顶点坐标是 B．当时，随的增大而减少 C．对称轴是直线 D．当时有最小值 【答案】B 【分析】根据二次函数的对称轴可判定C,根据函数的顶点可判定A与D,利用函数的增减性可判定B，即可求解. 【详解】由二次函数可知对称轴是直线,故选项C错误，不符合题意； 由二次函数可知开口向下，当时有最大值，故选项D不正确； 由二次函数可知顶点坐标为，故选项A错误，不符合题意； 由二次函数可知顶点坐标为，开口向下，对称轴是直线,当时，随的增大而减小，故选项B正确，符合题意； 故选：B. 7．（21-22高一上·辽宁沈阳·开学考试）已知二次函数，那么y的最大值是（    ） A． B． C．16 D．0 【答案】C 【分析】先判断二次函数对称轴，再比较两个端点大小即可. 【详解】二次函数对称轴为，开口向上 当时，， 当时，， 所以当时，y取得最大值16. 故选：C 二、多选题 8．（22-23高一上·四川·阶段练习）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图像经过点A（1，0），B（5，0），下列说法正确的是（　　） A．c＜0 B．b2﹣4ac＜0 C．x＝3时函数y＝ax2+bx+c取最小值 D．图像的对称轴是直线x＝3 【答案】CD 【分析】由的两根分别为，结合韦达定理以及二次函数的性质判断即可. 【详解】因为二次函数y＝ax2+bx+c的图像经过点A（1，0），B（5，0），所以的两根分别为. 由图可知，，由韦达定理可知，即，故A错误； 由图可知，该二次函数与轴有两个交点，即，故B错误； 由韦达定理可知，，即该二次函数的对称轴为，即在x＝3时函数y＝ax2+bx+c取最小值，故CD正确； 故选：CD 9．（22-23高一上·广西桂林·期中）关于函数，以下说法中正确的是（    ） A．函数的最大值为1 B．函数图象的对称轴是直线 C．函数的单调递减区间是 D．函数图象过点 【答案】ABD 【分析】利用二次函数的图象和性质判断. 【详解】解：函数， A. 当时，函数取得最大值为1，故正确； B.函数图象的对称轴是直线，故正确； C.函数的单调递减区间是，故错误； D.函数图象过点，故正确， 故选：ABD 10．（22-23高一上·四川泸州·期中）若函数在上是单调减函数，则实数k的值可能是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】CD 【分析】根据二次函数的对称轴位置，讨论函数在的单调性，从而可得结果. 【详解】已知函数的对称轴为, 若函数在上是减函数，，解得， 故 . 故选：CD 三、填空题 11．（2023高一上·浙江台州·专题练习）当时，二次函数的最大值为5，则m的值是 ． 【答案】0或4 【分析】利用二次函数的性质可求的值. 【详解】， 因为抛物线的对称轴为，开口向上，则其最大值，只能在或时取得， 当时，，解得或6， 当时，，此时在或0时取得最大值5，符合题意， 当时，，此时在取得最大值，显然不合题意舍去； 当时，二次函数的最大值为， 解得或（舍去）. 当时，，此时在时取得最大值5，符合题意， 当时，，此时在时取得最大值21，不符合题意， 综上所述，的值为或. 故答案为：0或4. 12．（24-25高一上·上海·随堂练习）若函数在上是严格减函数，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用二次函数的单调性求解. 【详解】解：因为函数在上是严格减函数， 所以， 所以，解得， 故答案为： 13．（23-24高一上·山西朔州·阶段练习）抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，C点在y轴正半轴上，若是直角三角形，则 ． 【答案】 【分析】根据韦达定理，结合射影定理即可求解. 【详解】设，， 由于是直角三角形，所以，且直角为, 又，，所以， 故答案为： 14．（23-24高一上·广东东莞·期末）若、，且，则的最大值为 ． 【答案】/0.25 【分析】由题意转换成二次函数的最值来做即可. 【详解】由题意，，所以， 所以等号成立当且仅当，即的最大值为. 故答案为：. 四、解答题 15．（19-20高一·全国·课后作业）已知一元二次函数 （1）指出它的图象可以由函数的图象经过怎样的变换而得到； （2）指出它的图象的对称轴，试述函数的变化趋势及最大值或最小值. 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析. 【分析】（1）利用左加右减的平移原则，即可得答案； （2）由（1）可得对称轴及函数图象的变化趋势，及根据开口方向，可得函数的最值； 【详解】（1）配方，得 所以函数的图象可以由函数的图象向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度而得到. （2）由（1）可知：该函数的图象开口向上，对称轴为直线； 在区间（，-2]上，函数值y随自变量x的增大而减小， 在区间上，函数值y随自变量x的增大而增大； 函数值y在处取得最小值3，即. 【点睛】本题考查配方法求函数的对称轴、平移变换、最值，考查运算求解能力，属于基础题. 16．（19-20高一下·安徽滁州·阶段练习）设二次函数，是常数，． (1)判断该二次函数图象与轴的交点的个数，说明理由． (2)若该二次函数图象经过，，三个点中的其中两个点，求该二次函数的表达式． (3)若，点在该二次函数图象上，求证：． 【答案】(1)二次函数图象与轴的交点的个数有两个或一个，理由见解析； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）令函数为0，利用判别式即可得出交点个数； （2）分析函数过哪两个点，利用待定系数法即可求解； （3）将点代入二次函数得出，结合已知不等式，即可证明不等式. 【详解】（1）由题意， 在二次函数，是常数，中， 当时，， ， 方程有两个不相等实数根或两个相等实根． 二次函数图象与轴的交点的个数有两个或一个. （2）由题意及（1）得， 在二次函数，是常数，中， 图象经过，，三个点中的其中两个点， 当时，， 抛物线不经过点， 把点，分别代入得： 解得 抛物线解析式为：. （3）由题意及（1）（2）证明如下： 在二次函数，是常数，中， 点在该二次函数图象上， ∴当时，①， ， ②， ①②相加得：， . 17．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知函数． (1)求函数的最小值； (2)若函数在区间上的值域为，求的值． 【答案】(1)最小值2； (2)． 【分析】（1）配方后可得答案； （2）根据的单调性可得答案． 【详解】（1）设， 所以时最小值2； （2）在上严格增， 因为是对称轴为，开口向上的抛物线， 所以， ，， 所以． 18．（23-24高一上·江西南昌·开学考试）已知抛物线与轴交于，两点.    (1)求的值和点的坐标； (2)在抛物线上任取一点，作点关于原点的对称点. ①是否存在，两点均在抛物线上的情况？如果存在，求的长；如果不存在，请说明理由； ②请在网格中画出点所在曲线的大致图像，并求当取得最小值时点的坐标. 【答案】(1)， (2)①存在，；②图见解析，或 【分析】（1）根据题意，将的坐标代入，即可得到，然后由二次函数的对称性即可得到的坐标； （2）根据题意，由的对称性，列出方程，代入计算即可得到结果，再由二次函数的最值，即可得到的最小值. 【详解】（1）∵抛物线过点， ∴，解得. ∴抛物线的解析式为. ∴抛物线的对称轴为， 由，得. ∴点的坐标为. （2）①存在，两点均在抛物线上的情况. 设点的坐标为，则点坐标为. 若，两点均在抛物线上，则有 解得， 或. ∴点，的坐标分别为， 或，. ∴ ②点所在曲线的大致图像如图所示，该图像为抛物线.    由坐标为和点，得. ∵在抛物线上， ∴. ∴. 不妨设，则有. ∴当时，取得最小值. 即，解得. ∴当取得最小值点的坐标为或. 19．（23-24高一上·甘肃白银·阶段练习）对于二次函数，若存在，使得成立，则称为二次函数的不动点． (1)求二次函数的不动点； (2)若二次函数有两个不相等的不动点，且、，求的取值范围； (3)若对任意实数，二次函数恒有不动点，求的取值范围． 【答案】(1)不动点为和 (2) (3) 【分析】（1）根据题意，列出方程，即可得到结果； （2）根据题意，由不动点的定义，列出不等式，即可得到结果； （3）根据题意，由不动点的定义，列出不等式，即可得到结果； 【详解】（1）由题意知：， 解得，，所以不动点为和． （2）依题意，有两个不相等的正实数根， 即方程有两个不相等的正实数根， 所以，解得 （3）由题知：， 所以，由于函数恒有不动点， 所以，即， 又因为是任意实数，所以， 即（），解得，所以的取值范围是． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.1一元二次函数 课程标准 学习目标 1.通过学习一元二次函数的图象，培养直观想象素养. 2.借助一元二次函数性质的应用培养逻辑推理素养 1.掌握一元二次函数的图象及图象变换 2.会求一元二次函数的最值及相关问题。 知识点01抛物线 1.定义：通常把叫做一元二次函数，一元二次函数的图象叫作抛物线。定义域是R。 2.二次函数解析式的表示法(a≠0) (1)一般式形如 y=ax2+bx+c. (2)顶点式形如y=a(x-h)2+k. (3)两根式形如y=a(x-)(x-). 【即学即练1】（24-25高一上·全国·课后作业）二次函数的图象开口向下，与y轴正半轴相交，则函数的零点个数是（    ） A．1 B．2 C．0 D．无法确定 【即学即练2】（23-24高一上·江西南昌·开学考试）在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 知识点02一元二次函数的图像变换 一元二次函数 y=a(x-h)2+k 的图象可以由 y=ax2 的图象经过向左(或向右)平移|h| 个单位长度，再向上(或向下)平移|k|个单位长度而得到. 【即学即练3】（20-21高一上·陕西西安·阶段练习）函数的图象可以看作由函数的图象，经过下列的哪种平移得到（    ） A．向右平移6个单位，再向下平移8个单位 B．向左平移6个单位，再向下平移8个单位 C．向右平移6个单位，再向上平移8个单位 D．向左平移6个单位，再同上平移8个单位 【即学即练4】（20-21高一上·安徽蚌埠·阶段练习）如果把抛物线向右平移1个单位长度，新图像与直线相交于点，则的值为 . 知识点03 一元二次函数的性质 抛物线 开口方向 a>0,开口向上；a<0,开口向下。 顶点坐标 （h，k） (-) 对称轴 直线 直线 最值 a>0 时， 时，, a<0 时， 时，, 增减性 a>0 在对称轴的左侧，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，y随x的增大而增大。 a<0 在对称轴的左侧，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，y随x的增大而减小。 【即学即练5】（23-24高一上·北京东城·期中）函数函数的单调减区间是 ，在区间的最大值是 ． 【即学即练6】（23-24高一上·北京顺义·阶段练习）已知函数， (1)求的单调区间； (2)求在区间上的最大值和最小值. 难点：动轴问题 示例1：（24-25高一上·上海·课后作业）求函数在上的最小值． 难点：动区间问题 示例2：（24-25高一上·全国·课前预习）已知函数． (1)若，求函数的最值； (2)若，求函数的最值． 【题型1：一元二次函数的图像与平移变换】 例题1．（22-23高一上·河北保定·期末）关于二次函数，则下列正确的是（    ） A．函数图象与x轴总有两个不同的交点 B．若函数图象与x轴正半轴交于不同的两点，则 C．不论k为何值，若将函数图象向左平移1个单位，则图象经过原点 D．当时，y随x的增大而增大，则 变式1．（21-22高一上·江西九江·期末）二次函数的图象向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，所得图象对应的函数表达式为（     ） A． B． C． D． 变式2．（18-19高一·全国·课后作业）如果将一元二次函数的图象向右平移个单位，再向下平移个单位，得到的函数图象的对称轴为，最大值为，则、的值为（    ） A． B． C． D． 变式3．（18-19高一·全国·课后作业）二次函数的图象可以由函数的图象经过怎样的变换得到（   ） A．先向左平移个单位，再向下平移个单位 B．先向左平移个单位，再向上平移个单位 C．先向右平移个单位，再向下平移个单位 D．先向右平移个单位，再向上平移个单位 变式4．（21-22高一上·陕西安康·阶段练习）抛物线的对称轴和顶点坐标分别是（ ） A．， B．， C．， D．， 变式5．（21-22高一下·山东淄博·阶段练习）函数与y轴交点纵坐标为（    ） A． B．-3 C． D．0 【方法技巧与总结】 (1)对于二次函数的图象判断问题要抓住函数图象的特征或特殊点，如图象的开口方向、顶点位置、对称轴及与两坐标轴的交点所处的位置等做出判断。 (2)一般地，二次函数的图象可以通过上下、左右平移得到，平移前将二次函数化成顶点式y=比较直观。 (3)对于同一直角坐标系中两个含变量的函数图象问题(一般为选择题),当函数中含有一个变量时,常通过对变量的讨论对函数图象做出判断;当函数中含有两个或两个以上的变量时，先在各选项中假设其中一个函数的图象正确，由此确定变量的取值范围，再由变量的取值范围确定另一个函数的图象的位置从而判断图象的正误。 【题型2：一元二次函数图像的增减与最值】 例2．（23-24高一上·新疆阿克苏·阶段练习）已知二次函数，下列结论正确的是（    ） A．其图像的开口向上 B．图像的对称轴为直线 C．当时，随的增大而减小 D．函数有最小值3 变式1．（23-24高一上·全国·课后作业）下列区间中，使函数逐渐增加的区间是（　　） A． B． C． D． 变式2．（21-22高一上·陕西渭南·阶段练习）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 变式3．（23-24高一上·广东揭阳·期中）函数的单调递增区间为 . 变式4．（23-24高一上·云南·阶段练习）函数的递减区间是 ． 变式5．（22-23高一上·北京·期中）已知函数，则函数的单调增区间是 ． 变式6．（21-22高一上·江西上饶·期末）函数的单调递增区间是 . 变式7．（21-22高一上·河北石家庄·期中）已知函数f(x)=x2-2x，x∈R (1)画出函数f(x)的简图（不用列表） (2)根据函数f(x)图象写出函数的定义域、值域、单调区间 【方法技巧与总结】 观察图象主要是把握其本质特征:开口方向决定a的符号，在y轴上的交点决定c的符号(值)，对称轴的位置决定的符号，另外还要注意与x轴的交点、函数的单调性等 【题型3：一元二次函数解析式的求法】 例3．（20-21高一上·湖南郴州·开学考试）已知二次函数图象的顶点坐标为，且过点，则该二次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 变式1．（22-23高一上·甘肃酒泉·期中）已知二次函数的图象过点，图象向左平移个单位后的对称轴是轴，向下平移个单位后与轴只有一个交点，则此二次函数的解析式为 ． 变式2．（2023高三·全国·专题练习）已知（b，c为实数），且，，则的解析式为 . 变式3．（2022高一·全国·专题练习）一个二次函数的图象的顶点坐标为，与y轴的交点坐标为，这个二次函数的解析式是 变式4．（20-21高一上·广东江门·阶段练习）已知二次函数的图象的顶点坐标为，且过点，则该二次函数的解析式是 . 变式5．（23-24高一上·全国·课后作业）已知二次函数 满足. (1)求的解析式； (2)求的对称轴方程和图象上最高点的坐标. 变式6．（21-22高一上·江西南昌·阶段练习）已知二次函数当有最大值，且它的图象与轴有两个交点，两个交点的距离为5，求这个二次函数的解析式． 变式7．（20-21高一上·安徽阜阳·阶段练习）已知二次函数满足：当时，，当或时，.求该二次函数的解析式，并求出该函数的最小值. 【方法技巧与总结】 求一元二次函数解析式的方法应根据已知条件的特点，选用解析式的形式，利用待定系数法求解 (1) 若已知条件是图象上的三个点，则设所求一元二次函数为一般式y=，a，b,c为常数，a≠0 的形式. (2) 若已知一元二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大(小值，则设所求一元二次函数为顶点式(其中顶点(h，k),a 为常数，a≠0) (3)若已知一元二次函数图象与x轴的两个交点的坐标为(,0)(,0)，则设所求一元二次函数为两根式 y=a(x-)(x-)(a 为常数, a≠0.). 【题型4：一元二次函数在闭区间的最值】 例4．（24-25高一上·北京·开学考试）已知二次函数（为常数），当时，函数值y的最小值为，则m的值是（　　） A． B．1 C．2或 D． 变式1．（23-24高一上·浙江台州·期中）已知，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式2．（23-24高一上·广东茂名·期中）函数在上的最小值是（    ） A． B． C． D． 变式3．（23-24高一上·浙江宁波·阶段练习）已知 ，则函数的最大值是（    ） A． B． C． D． 变式4．（23-24高一上·辽宁·期末）已知函数在上单调递增，则的取值范围是 . 变式5．（23-24高一上·四川达州·期中）函数在上的最小值为 . 变式6．（24-25高一上·上海·课堂例题）求函数在区间上的最小值． 变式7．（23-24高一上·河南南阳·阶段练习）已知一元二次函数 (1)求其图象的顶点坐标，并指出图象由函数怎么变化而来. (2)当时,求y的最值. 变式8．（23-24高一上·河北石家庄·期中）若函数的定义域为，值域为，则实数的取值范围. 【方法技巧与总结】 求一元二次函数y=在[m，n]上的最值的步骤: (1)配方，找对称轴; (2)判断对称轴与区间的关系: (3)求最值:若对称轴在区间外，则一元二次函数在[m，n]的端点处取得最值;若对称轴在区间内,则在对称轴取得最小值，最大值在[m,n]端点处取得. 一、单选题 1．（23-24高一上·广东深圳·期中）二次函数在上的最大值为（    ） A．-1 B．0 C．3 D．4 2．（22-23高一上·山西太原·阶段练习）如图，抛物线的对称轴是直线，下列结论：（1）；（2）；（3）；（4），正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3．（22-23高一上·北京朝阳·阶段练习）已知函数，则当时，y的最大值和最小值分别是（　　） A．5， B．5，1 C．5， D．1， 4．（22-23高一上·辽宁·阶段练习）已知，，则（    ） A． B． C． D． 5．（22-23高一上·甘肃张掖·阶段练习）已知，则当______时，有最大值为（    ） A．， B．，0 C．， D．2，6 6．（22-23高一上·吉林白城·阶段练习）下列关于二次函数的说法，正确的是（ ） A．顶点坐标是 B．当时，随的增大而减少 C．对称轴是直线 D．当时有最小值 7．（21-22高一上·辽宁沈阳·开学考试）已知二次函数，那么y的最大值是（    ） A． B． C．16 D．0 二、多选题 8．（22-23高一上·四川·阶段练习）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图像经过点A（1，0），B（5，0），下列说法正确的是（　　） A．c＜0 B．b2﹣4ac＜0 C．x＝3时函数y＝ax2+bx+c取最小值 D．图像的对称轴是直线x＝3 9．（22-23高一上·广西桂林·期中）关于函数，以下说法中正确的是（    ） A．函数的最大值为1 B．函数图象的对称轴是直线 C．函数的单调递减区间是 D．函数图象过点 10．（22-23高一上·四川泸州·期中）若函数在上是单调减函数，则实数k的值可能是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 三、填空题 11．（2023高一上·浙江台州·专题练习）当时，二次函数的最大值为5，则m的值是 ． 12．（24-25高一上·上海·随堂练习）若函数在上是严格减函数，则实数a的取值范围是 ． 13．（23-24高一上·山西朔州·阶段练习）抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，C点在y轴正半轴上，若是直角三角形，则 ． 14．（23-24高一上·广东东莞·期末）若、，且，则的最大值为 ． 四、解答题 15．（19-20高一·全国·课后作业）已知一元二次函数 （1）指出它的图象可以由函数的图象经过怎样的变换而得到； （2）指出它的图象的对称轴，试述函数的变化趋势及最大值或最小值. 16．（19-20高一下·安徽滁州·阶段练习）设二次函数，是常数，． (1)判断该二次函数图象与轴的交点的个数，说明理由． (2)若该二次函数图象经过，，三个点中的其中两个点，求该二次函数的表达式． (3)若，点在该二次函数图象上，求证：． 17．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知函数． (1)求函数的最小值； (2)若函数在区间上的值域为，求的值． 18．（23-24高一上·江西南昌·开学考试）已知抛物线与轴交于，两点.    (1)求的值和点的坐标； (2)在抛物线上任取一点，作点关于原点的对称点. ①是否存在，两点均在抛物线上的情况？如果存在，求的长；如果不存在，请说明理由； ②请在网格中画出点所在曲线的大致图像，并求当取得最小值时点的坐标. 19．（23-24高一上·甘肃白银·阶段练习）对于二次函数，若存在，使得成立，则称为二次函数的不动点． (1)求二次函数的不动点； (2)若二次函数有两个不相等的不动点，且、，求的取值范围； (3)若对任意实数，二次函数恒有不动点，求的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$