2.2第1课时　基本不等式-2024-2025学年高一上学期必修第一册数学同步学案（自主预习+题型研析+当堂温习+分层练习）（人教2019A版专用）

2.2第1课时　基本不等式（人教2019A版专用） 目录 【自主预习】 2 【题型研析】 2 【题型一】基本不等式的简单应用 2 【题型二】利用基本不等式直接求最值 3 【题型三】利用基本不等式证明不等式 4 【当堂温习】 5 【分层练习】 6 考试要求： 1.掌握基本不等式≤(a>0，b>0). 2.能灵活应用基本不等式解决一些证明、比较大小问题. 素养要求： 通过学习掌握基本不等式及其简单应用，重点提升数学运算、逻辑推理素养. 自主预习 一、基本不等式 (1)基本不等式：如果a>0，b>0，则≤，当且仅当a＝b时，等号成立. (2)其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数.两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 二、最值问题 已知x，y都为正数，则： (1)如果积xy等于定值P，那么当且仅当x＝y时，和x＋y有最小值2； (2)如果和x＋y等于定值S，那么当且仅当x＝y时，积xy有最大值S2，简记为：积定和最小，和定积最大. 题型研析 【题型一】基本不等式的简单应用 一、单选题 1．（23-24高一上·辽宁朝阳·期中）小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b（a<b），其全程的平均时速为v，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·江苏淮安·期中）已知实数a，b，c满足，，且，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（2024·全国·模拟预测）已知，则下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（22-23高一上·山西大同·阶段练习）下列结论正确的是（    ） A．当时， B．当时，的最小值是2 C．当时， D．当时，的最小值为3 三、填空题 5．（2023高一·上海·专题练习）已知，且，则下列不等式中，恒成立的序号是 . ①；②；③；④. 6．（2023高三·全国·专题练习）已知且，下列各式中最大的是 .(填序号) ①；②；③；④. 解题策略： 利用基本不等式比较实数大小的注意事项 (1)利用基本不等式比较大小，常常要注意观察其形式(和与积). (2)利用基本不等式时，一定要注意条件是否满足a>0，b>0. 【题型二】利用基本不等式直接求最值 一、单选题 1．（24-25高一上·全国·课后作业）设且，则的最大值是（    ） A．400 B．100 C．40 D．20 2．（23-24高二下·河北石家庄·期末）已知，则的最大值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 二、多选题 3．（23-24高一上·广东河源·阶段练习）下列命题正确的是（    ） A．若，且， B．已知正数、满足，则的最小值为 C．若，则的最大值是 D．若，，，则的最小值是 4．（24-25高二上·安徽·开学考试）已知正数，满足，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值 三、填空题 5．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知，则的最大值为 ． 6．（2024高一上·浙江宁波·专题练习）已知正实数 满足 ，则 的最小值为 . 解题策略： 在利用基本不等式求最值时要注意三点 一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件是否具备. 【题型三】利用基本不等式证明不等式 一、单选题 1．（24-25高一上·上海·随堂练习）若、、是互不相等的正数，且，则下列关系中可能成立的是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24高三下·北京顺义·阶段练习）已知，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、多选题 3．（23-24高一下·贵州六盘水·期末）下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·山东淄博·期中）以下命题正确的是（    ） A．已知a，b，c，d均为实数，若，，则 B．已知a为正数，则 C．若a，b，c是正数，则 D．已知，则 三、填空题 5．（2023高一·上海·专题练习）已知都是正实数，若，则则与的大小关系是 ． 6．（2024·上海静安·二模）在下列关于实数的四个不等式中，恒成立的是 ．（请填入全部正确的序号） ①；②；③；④． 解题策略： 用基本不等式证明不等式的策略与注意事项 (1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”. (2)注意事项： ①多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立； ②巧用“1”的代换证明不等式； ③对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，创造使用基本不等式的条件再使用. 当堂温习 一、单选题 1．（23-24高二下·重庆·期末）阿基米德有句名言：“给我一个支点，我就能撬起整个地球!”这句话说的便是杠杆原理，即“动力×动力臂=阻力×阻力臂”．现有一商店使用两臂不等长的天平称黄金，一位顾客到店里预购买黄金，售货员先将的砝码放在天平左盘中，取出黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，取黄金放在天平左盘中使天平平衡，最后将称得的和黄金交给顾客，则顾客购得的黄金重量（    ） A．大于 B．等于 C．小于 D．无法确定 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知实数．满足且，则下列不等式关系一定正确的是（    ）． A． B． C． D． 二、多选题 3．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）已知，则下列不等式可能成立，也可能不成立的是 （    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·江苏南通·开学考试）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 5．（24-25高一上·上海·课堂例题）若，，则、、、中最大的一个是 ． 6．（21-22高一上·上海徐汇·期中）《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明，现有图形如图所示，为线段上的点，且为的中点，以为直径作半圆，过点作的垂线交半圆于，连结，过点作的垂线，垂足为，若不添加辅助线，则该图形可以完成的所有无字证明为 ．（填写序号） ①② ③④ 分层练习 【基础篇】 一、单选题 1．（23-24高三上·陕西·阶段练习）已知，则以下不正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·贵州六盘水·期中）下列不等式一定成立的是（    ） A． B．若 C． D． 3．（2024高二下·安徽·学业考试）已知，且，则（    ） A．的最大值为1 B．的最小值为1 C．的最大值为 D．的最小值为 4．（22-23高一上·江苏徐州·阶段练习）若对任意，恒成立，则a的最小值为（    ）． A． B． C． D． 二、多选题 5．（23-24高一上·四川泸州·期末）已知，则下列不等关系正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·山东枣庄·期末）已知a，b，c满足，且，则（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高三上·重庆·开学考试）若正实数满足，则下列说法正确的是（    ） A．有最大值为 B．有最小值为 C．有最小值为 D．有最大值为 三、填空题 8．（23-24高三上·天津南开·阶段练习）已知，均为正实数，且，则的最大值为 . 9．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）若正实数满足，则的最大值为 ． （2）已知，且，则的最小值是 ． 10．（2022高一上·全国·专题练习）已知，则与的比较 ． 四、解答题 11．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）已知，，求证：； （2）已知，，，且，求证：． 12．（23-24高一上·天津滨海新·阶段练习）（1）若，求的最大值； （2）求在时的最小值． （3）已知，且，求的最小值． （4）已知正数满足．求的最大值． 【能力篇】 一、单选题 1．（22-23高二下·重庆·期末）已知，下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 2．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）已知，则取得最大值时，的值为 . （2）已知，则的最大值为 . （3）已知，则的最小值为 . 三、解答题 3．（24-25高一上·辽宁·阶段练习）根据要求完成下列问题： (1)解关于的不等式； (2)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 【培优篇】 一、单选题 1．（24-25高一上·云南文山·阶段练习）已知为不相等的正实数，满足．则下列不等式中不正确的为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 2．（2024·重庆渝中·模拟预测）已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 3．（2024·全国·模拟预测）设为实数中最大的数．若，，则的最小值为 ． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.2第1课时　基本不等式（人教2019A版专用） 目录 【自主预习】 2 【题型研析】 2 【题型一】基本不等式的简单应用 2 【题型二】利用基本不等式直接求最值 5 【题型三】利用基本不等式证明不等式 9 【当堂温习】 12 【分层练习】 17 考试要求： 1.掌握基本不等式≤(a>0，b>0). 2.能灵活应用基本不等式解决一些证明、比较大小问题. 素养要求： 通过学习掌握基本不等式及其简单应用，重点提升数学运算、逻辑推理素养. 自主预习 一、基本不等式 (1)基本不等式：如果a>0，b>0，则≤，当且仅当a＝b时，等号成立. (2)其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数.两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 二、最值问题 已知x，y都为正数，则： (1)如果积xy等于定值P，那么当且仅当x＝y时，和x＋y有最小值2； (2)如果和x＋y等于定值S，那么当且仅当x＝y时，积xy有最大值S2，简记为：积定和最小，和定积最大. 题型研析 【题型一】基本不等式的简单应用 一、单选题 1．（23-24高一上·辽宁朝阳·期中）小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b（a<b），其全程的平均时速为v，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·江苏淮安·期中）已知实数a，b，c满足，，且，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（2024·全国·模拟预测）已知，则下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（22-23高一上·山西大同·阶段练习）下列结论正确的是（    ） A．当时， B．当时，的最小值是2 C．当时， D．当时，的最小值为3 三、填空题 5．（2023高一·上海·专题练习）已知，且，则下列不等式中，恒成立的序号是 . ①；②；③；④. 6．（2023高三·全国·专题练习）已知且，下列各式中最大的是 .(填序号) ①；②；③；④. 参考答案： 题号 1 2 3 4 答案 C B ABC AC 1．C 【分析】求出平均速度可判断AB；利用基本不等式可判断CD. 【详解】设甲乙两地相距s，则平均速度故A错误，B错误； 又∵，∴， 根据基本不等式及其取等号的条件可得：， ∴，即， 故C正确，D错误． 故选：C． 2．B 【分析】利用基本不等式得到，两式相减得到，作差得到，从而得到答案. 【详解】因为，由基本不等式得， 故， 因为，，两式相减得， ， 故，所以， 故， 所以. 故选：B 3．ABC 【详解】根据不等式的性质可得A、B的正误；根据基本不等式可得C的正误；利用作差法可得D的正误. 【分析】由，得，所以，A正确． 因为，所以，所以0，所以，B正确． 因为，所以，当且仅当时取等号， 所以，C正确． 因为，所以，D错误． 故选：ABC． 4．AC 【分析】根据基本不等式及其等号成立的条件逐项判断后可判断ABC的正误，结合反例可判断D的正误. 【详解】对于A，由基本不等式可得，当且仅当时等号成立，故A正确. 对于B，由基本不等式可得，当且仅当时等号成立， 而，故等号不成立，故的最小值不是2，故B错误. 对于C，由基本不等式可得，当且仅当时等号成立，故C正确. 对于D，取，则，故的最小值不为3，故D错误. 故选：AC. 5．④ 【分析】由重要不等式可得，当时，等号成立，所以①错误；显然若时，②和③均错误；利用基本不等式可知④正确. 【详解】易知因为对于恒成立，当且仅当时，等号成立，所以①错误； 对于②，③，显然时，不等式均不成立，即②和③错误； 对于④，因为，所以，由基本不等式可得，当且仅当a=b成立即④正确； 故答案为：④ 6．④ 【分析】根据不等式的性质和基本不等式可以得到相关结论. 【详解】因为，所以，，，， 所以，，当时， 由基本不等式可知，所以， 由上可知，，，所以四个式子中最大． 故答案为：④. 解题策略： 利用基本不等式比较实数大小的注意事项 (1)利用基本不等式比较大小，常常要注意观察其形式(和与积). (2)利用基本不等式时，一定要注意条件是否满足a>0，b>0. 【题型二】利用基本不等式直接求最值 一、单选题 1．（24-25高一上·全国·课后作业）设且，则的最大值是（    ） A．400 B．100 C．40 D．20 2．（23-24高二下·河北石家庄·期末）已知，则的最大值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 二、多选题 3．（23-24高一上·广东河源·阶段练习）下列命题正确的是（    ） A．若，且， B．已知正数、满足，则的最小值为 C．若，则的最大值是 D．若，，，则的最小值是 4．（24-25高二上·安徽·开学考试）已知正数，满足，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值 三、填空题 5．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知，则的最大值为 ． 6．（2024高一上·浙江宁波·专题练习）已知正实数 满足 ，则 的最小值为 . 参考答案： 题号 1 2 3 4 答案 A A BC ABD 1．A 【分析】直接用基本不等式求解即可. 【详解】因为 所以 即 所以 当且仅当且，即时等号成立. 故选：A 2．A 【分析】根据题意结合基本不等式运算求解，注意基本不等式的成立的条件. 【详解】因为，则， 可得，即， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为4. 故选：A. 3．BC 【分析】利用基本不等式逐项判断，注意不等成立的前提条件． 【详解】对于选项，若均为负数，不等式不成立，所以错误； 对于选项，，所以， 则， 所以，，当且仅当，即当时，等号成立，故正确； 对于选项，因为，，当且仅当即时，等号成立，所以，故正确； 对于选项，因为，所以， 所以，当且仅当即时，等号成立，所以的最小值是，故错误． 故选：． 4．ABD 【分析】利用基本不等式判断A、B；依题意可得，再由基本不等式判断C、D. 【详解】因为正数，满足， 所以，当且仅当，即，时等号成立， 解得，所以，故的最大值为，故A正确； ， 即，又，所以， 所以的最小值为，当且仅当，即，时等号成立，故B正确； 由可得， 所以， 当且仅当时等号成立，此时，，又为正数，矛盾，故C错误； ，当且仅当，即，时等号成立，故D正确. 故选：ABD 5． 【分析】整理，观察和为定值，利用基本不等式直接求解即可． 【详解】， 当且仅当， 即时等号成立， 故答案为：． 6． 【分析】由已知得，然后利用基本不等式可得答案. 【详解】正实数且得， 所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立. 的最小值为. 故答案为： 解题策略： 在利用基本不等式求最值时要注意三点 一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件是否具备. 【题型三】利用基本不等式证明不等式 一、单选题 1．（24-25高一上·上海·随堂练习）若、、是互不相等的正数，且，则下列关系中可能成立的是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24高三下·北京顺义·阶段练习）已知，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、多选题 3．（23-24高一下·贵州六盘水·期末）下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·山东淄博·期中）以下命题正确的是（    ） A．已知a，b，c，d均为实数，若，，则 B．已知a为正数，则 C．若a，b，c是正数，则 D．已知，则 三、填空题 5．（2023高一·上海·专题练习）已知都是正实数，若，则则与的大小关系是 ． 6．（2024·上海静安·二模）在下列关于实数的四个不等式中，恒成立的是 ．（请填入全部正确的序号） ①；②；③；④． 参考答案： 题号 1 2 3 4 答案 C B BCD ABD 1．C 【分析】利用基本不等式及已知条件得到，从而得到，即可判断. 【详解】∵、均为正数，且，∴． 又∵，∴．∵，∴，故排除A、B、D． 故选：C． 2．B 【分析】通过举例的方法，以及基本不等式，结合充分，必要条件的定义，即可判断选项. 【详解】若，满足，但， 若，，则，即， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 3．BCD 【分析】对于A，举反例即可判断；对于BCD，结合基本不等式的相关知识即可判断. 【详解】对于A，若，则，故A错误； 对于B，由基本不等式可得，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，因为，所以，故D正确. 故选：BCD. 4．ABD 【分析】根据题意，利用作差法和符号法则可判断A；利用分子有理化和不等式的加法性质比较大小，判断B；利用基本不等式判断C；利用作差法和符号法则可判断D. 【详解】若，则，即， 又因为，所以，故A正确； 因为， ， 而，， 可得，所以， 所以，故B正确， 因为a，b，c是互不相等的正数，由基本不等式可得， ，，所以， 所以C错误； 因为， 因为，所以，所以上式大于0，故D正确. 故选：ABD 5． 【分析】根据题意，结合基本不等式，求得，，，再利用不等式的性质，即可求解. 【详解】因为，可得，当且仅当时，等号成立， 所以，所以， 所以， 同理可得，， 所以， 即，即. 故答案为：. 6．②③④ 【分析】取特值可判断①；作差法可判断②④；要证即证可判断③. 【详解】对于①，取，故①错误； 对于②，，故②正确； 对于③，当，要证，即证， 即，即证， 而恒成立， 当时，，所以，故③正确. 对于④，，所以，故④正确. 故答案为：②③④. 解题策略： 用基本不等式证明不等式的策略与注意事项 (1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”. (2)注意事项： ①多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立； ②巧用“1”的代换证明不等式； ③对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，创造使用基本不等式的条件再使用. 当堂温习 一、单选题 1．（23-24高二下·重庆·期末）阿基米德有句名言：“给我一个支点，我就能撬起整个地球!”这句话说的便是杠杆原理，即“动力×动力臂=阻力×阻力臂”．现有一商店使用两臂不等长的天平称黄金，一位顾客到店里预购买黄金，售货员先将的砝码放在天平左盘中，取出黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，取黄金放在天平左盘中使天平平衡，最后将称得的和黄金交给顾客，则顾客购得的黄金重量（    ） A．大于 B．等于 C．小于 D．无法确定 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知实数．满足且，则下列不等式关系一定正确的是（    ）． A． B． C． D． 二、多选题 3．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）已知，则下列不等式可能成立，也可能不成立的是 （    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·江苏南通·开学考试）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 5．（24-25高一上·上海·课堂例题）若，，则、、、中最大的一个是 ． 6．（21-22高一上·上海徐汇·期中）《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明，现有图形如图所示，为线段上的点，且为的中点，以为直径作半圆，过点作的垂线交半圆于，连结，过点作的垂线，垂足为，若不添加辅助线，则该图形可以完成的所有无字证明为 ．（填写序号） ①② ③④ 参考答案： 题号 1 2 3 4 答案 A C ABD BCD 1．A 【分析】根据题意设出天平的两臂长，利用杠杆原理，即可解出． 【详解】设天平左臂长为，右臂长为，且， ，， ，， 故选：A． 2．C 【分析】根据不等式的性质，结合作差法、基本不等式进行求解即可. 【详解】因为且， 所以，， 对于A ，因为，，所以，故A错误； 对于B，， 因为，， 所以， 又因为， 所以， 即，故B错误； 对于C，因为， 所以， 所以，当且仅当时等号成立， 所以，故C正确； 对于D，因为， 所以， 又因为， 所以，故D错误. 故选：C. 3．ABD 【分析】AB作差法比较大小，举出可能成立和可能不成立的例子；C选项，利用基本不等式得到C一定正确；D选项，由基本不等式入手，举出可能成立和可能不成立的例子. 【详解】A选项，，故， 当时，，即， 当时，，即， A可能成立，也可能不成立， B选项，， 因为，所以， 当时，， 当时，， 故B可能成立，也可能不成立； C选项，因为，所以，故， 所以，而， 故，即，C一定正确； D选项，若，由基本不等式得， 两个等号成立的条件为， 但，不妨设， 此时， 当时，显然， 故可能成立，也可能不成立，D正确. 故选：ABD 4．BCD 【分析】由已知结合基本不等式及相关结论检验各选项即可判断． 【详解】对于A，因为，，且， 所以，即，当且仅当时等号成立，故A错误； 对于B，根据A可知，，当且仅当时等号成立，故B正确； 对于C，，当且仅当时等号成立，故C正确． 对于D，要证明，只需要证明，由于，则只需要证明，只需证明， 由于，当且仅当时等号成立，此时，故等号不能取到，故，即，故D正确. 故选：BCD 5． 【分析】由基本不等式和作差法比较大小，得到答案. 【详解】，，由基本不等式得；； 又因为，， 所以， 故， 所以最大的一个是 故答案为： 6．①③ 【分析】先明确的几何意义，即在图中相对应的线段，根据直角三角形的相似可得相应的比例式，结合不等关系，即可证明①③选项；由于在该图中没有相应的线段与之对应，可判断②④选项. 【详解】由题意可知， 由 可知 ，即， 所以；在中，，即 当时，点重合， ，此时，所以①正确； 在中，可得即， 所以， 由于，所以， 当时，,此时，所以③正确； 由于在该图中没有相应的线段与之对应，故②④中的不等式无法通过这种几何方法来证明， 故答案为：①③． 分层练习 【基础篇】 一、单选题 1．（23-24高三上·陕西·阶段练习）已知，则以下不正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·贵州六盘水·期中）下列不等式一定成立的是（    ） A． B．若 C． D． 3．（2024高二下·安徽·学业考试）已知，且，则（    ） A．的最大值为1 B．的最小值为1 C．的最大值为 D．的最小值为 4．（22-23高一上·江苏徐州·阶段练习）若对任意，恒成立，则a的最小值为（    ）． A． B． C． D． 二、多选题 5．（23-24高一上·四川泸州·期末）已知，则下列不等关系正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·山东枣庄·期末）已知a，b，c满足，且，则（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高三上·重庆·开学考试）若正实数满足，则下列说法正确的是（    ） A．有最大值为 B．有最小值为 C．有最小值为 D．有最大值为 三、填空题 8．（23-24高三上·天津南开·阶段练习）已知，均为正实数，且，则的最大值为 . 9．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）若正实数满足，则的最大值为 ． （2）已知，且，则的最小值是 ． 10．（2022高一上·全国·专题练习）已知，则与的比较 ． 四、解答题 11．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）已知，，求证：； （2）已知，，，且，求证：． 12．（23-24高一上·天津滨海新·阶段练习）（1）若，求的最大值； （2）求在时的最小值． （3）已知，且，求的最小值． （4）已知正数满足．求的最大值． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 C B A C ABD ABD ABC 1．C 【分析】利用不等式的性质，结合均值不等式、作差法比较大小判断ABD；举例说明判断C. 【详解】对于B，由，得，即，解得，B正确； 对于A，由，得，A正确； 对于C，取显然满足条件，C错误； 对于D，，由，得， 由，得，即，因此，D正确. 故选：C 2．B 【分析】根据题意，结合基本不等式，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，当时，不等式，所以A不正确； 对于B中，由， 当且仅当时，等号成立，所以B正确； 对于C中，当时，可得，所以C不正确； 对于D中，由，所以，所以D不正确. 故选：B. 3．A 【分析】由基本不等式求解即可． 【详解】因为，且， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为1， 而，且，故无最小值. 故选：A 4．C 【分析】，换元令，．则原问题转化为任意，恒成立.变形，结合基本不等式求最值可解. 【详解】由于，则令，． 则原问题转化为任意，恒成立，即恒成立， 即恒成立. 由于，当且仅当，即取最值. 故，. 由于恒成立，，故a的最小值为. 故选：C. 5．ABD 【分析】利用特值法排除部分答案，剩余选项用不等式性质证明. 【详解】取，， 对C：，不成立，故C错误； 对A：，故A成立； 对B：，因为，所以必定成立，即原不等式成立，故B正确； 对D：，因为，故原不等式成立，故D正确. 故选：ABD 6．ABD 【分析】首先利用放缩法证明出，，从而可以判断ABC，对于D则需要使用基本不等式. 【详解】因为，所以，即，，即， 所以，故AB正确C错误； 对于D：，故D正确. 故选：ABD 7．ABC 【分析】直接利用不等式即可求解AC，利用乘“1”法即可求解B，利用不等式成立的条件即可求解D. 【详解】对于A：因为，则，当且仅当，即时取等号，故A正确， 对于B，，当且仅当，即时取等号，故B正确， 对于C：因为，则，当且仅当，即时取等号，故C正确， 对于D：因为， 当且仅当，即，时取等号，这与均为正实数矛盾，故D错误， 故选：ABC． 8．1 【分析】由题意可得，由，可得，展开后，运用基本不等式可得最值． 【详解】， 由，可得 ， 当且仅当，等号成立，则的最大值为1． 故答案为：1． 9． 1 16 【分析】（1）根据题意，结合基本不等式，即可求解； （2）根据题意，结合，结合基本不等式，即可求解. 【详解】解：（1）由正实数、满足，可得， 当且仅当时，等号成立，所以的最大值为. （2）由，且， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值是. 10． 【分析】由基本不等式得到，进而求得，即可得到答案. 【详解】因为， 可得， 且，当且仅当时，等号成立， 所以，可得， 所以. 故答案为： 11．（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】（1）变形后，利用基本不等式进行求解； （2）利用基本不等式“1”的妙用证明不等式. 【详解】（1）因为，，所以， 当且仅当时取等号． （2）∵，，，且， ∴ ，当且仅当时取等号． 12．（1）12；（2）；（3）6；（4）. 【分析】对于（1），用配凑法及基本不等式的变形即可求解最大值；对于（2）可以先用换元的方法进行化简，然后直接利用基本不等式求解最小值即可；对于（3）直接利用基本不等式的变形，然后解不等式即可；对于（4）将变成，然后用两次基本不等式求解即可求解最大值. 【详解】（1）， ， 当且仅当，即时等号成立， 的最大值为12. （2）, 令,则 则可化为 , 当且仅当,即时等号成立, 的最小值为. （3）， 即， 解得或(舍), 当且仅当且， 即时等号武立， 的最小值为6. （4）正数满足， , 即, , ， ， 当且仅当且, 即时等号成立, 故的最大值为. 【能力篇】 一、单选题 1．（22-23高二下·重庆·期末）已知，下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 2．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）已知，则取得最大值时，的值为 . （2）已知，则的最大值为 . （3）已知，则的最小值为 . 三、解答题 3．（24-25高一上·辽宁·阶段练习）根据要求完成下列问题： (1)解关于的不等式； (2)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 参考答案： 题号 1 答案 D 1．D 【分析】由不等式的性质和基本不等式即可判断. 【详解】因为，所以，故A错误； 令，则，故B错误； 令，则，，，故C错误； 因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号，故D正确. 故选：D 2． 1 6 【分析】（1）运用配凑法得，再用基本不等式即可求解. （2）运用配凑法得，再用基本不等式即可求解. （3）用分离常数法得，再用基本不等式即可求解. 【详解】（1），，， 所以， 当且仅当，即时，取等号， 故所求的值为. （2），，即， 则 ， 当且仅当，即时，取等号. 故的最大值为1. （3）， ， 当且仅当，即时，取等号. 故的最小值为. 故答案为：. 3．(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）对不同参数范围进行讨论，求解不等式即可. （2）利用分离参数法结合换元法对函数进行化简，再利用基本不等式求解范围即可. 【详解】（1）因为， 当时，即时，原不等式可化为，解得， 所以原不等式的解集为； 当时，即时，原不等式可化为， 当时，即时，， 因为，所以原不等式的解集为； 当时，即时，， 因为，所以原不等式的解集为； （2）因为， 即， 因为恒成立， 所以， 故， 令，因为，所以， 所以对于一切恒成立， 因为，当且仅当时取等号，所以， 所以，且仅当时取等号，即实数的取值范围为. 【培优篇】 一、单选题 1．（24-25高一上·云南文山·阶段练习）已知为不相等的正实数，满足．则下列不等式中不正确的为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 2．（2024·重庆渝中·模拟预测）已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 3．（2024·全国·模拟预测）设为实数中最大的数．若，，则的最小值为 ． 参考答案： 题号 1 2 答案 C BC 1．C 【分析】由已知可得，再利用基本不等式判断各个选项. 【详解】由， 因为为不相等的正实数，所以， 对于A，，故A正确； 对于B，，当且仅当，即 或时等号成立，故B正确； 对于C，，当且仅当，即时等号成立，故C错误； 对于D，等价于，即，当且仅当，即 时等号成立，故D正确． 故选：C． 2．BC 【分析】由已知条件，结合基本不等式计算即可判断AB；根据，结合基本不等式计算即可判断C；根据，基本不等式计算即可判断D. 【详解】A：由，得， 即，得， 解得，当且仅当时等号成立，故A错误； B：由选项A的分析知，故B正确； C：由，得，即， 所以， 得，当且仅当时等号成立，故C正确； D：由，得，即， 所以，得， 当且仅当时等号成立，故D错误. 故选：BC 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 3． 【分析】设，分，分类讨论代数式间的大小关系，利用基本不等式求得的最小值，即可求解． 【详解】设， 则，，， 因为 ，当时，只需考虑，， 又因为，， 两式相乘得，可得，当且仅当时取等号， 当时，，只需考虑，， 两式相乘得， 则，当且仅当时取等号， 因为，故，综上所述，的最小值为． 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是对分和讨论，当时利用基本不等式得到，，再对两不等式相乘得，同理当时，利用该方法亦可得. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$